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曲線のお話
1
@kurousagi_tsu
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2
曲線・直線とは
点の集合
曲線（その方程式）だけでも
応用先はいっぱい
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3
曲線例
Folium of Descartes
Clothoid
Cycloid
= − ℎ sin
= 1 − ℎ cos
= sin
1
=
0
cos 2
2
d
=
0
sin 2
2
d
= 2
1+3
=
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4
曲線例
Euler spiral
Koch curve Hilbert curve
Eliptic curve
2 = 3 + 2
=
0
cos ()
2
d
=
0
sin ()
2
d
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5
離散点→曲線（補間）
Cubic Hermite Interpolation
−Spline
画像作成ソフトでおなじみ
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6
媒介変数（径数）
= ∈ ℝ2
は媒介変数という
曲線上の点の位置
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7
媒介変数（径数）の例
=
0
cos
d
0
sin
d
Clothoid曲線
∈ 5 ∈ 0,9
= 5
= 0
= 10
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8
接ベクトル
d
d
=
d
d
d
d
∈ ℝ2
接ベクトル
= ∈ ℝ2
は媒介変数という
曲線上の点の位置
接ベクトルの大きさはバラバラ
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9
弧長径数
d
d
() = 1
媒介変数に規則を付け加える
弧長径数と呼ぶ
=
| | d
弧長
=
d
このをパラメータとして用いる
による の変化量は大きさ 1
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10
弧長径数の例 =
0
| | d
= 2/
弧長径数
=
0
cos
2
2
d
0
sin
2
2
d
Clothoid曲線
∈ 5 ∈ 0,9
黒丸：媒介変数
赤丸：弧長径数
∈ 5 ∈ 0,9
= 5
= 5
= = 0
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11
フレネ標構
=
0 −1
1 0
とおくと = ()
= ( , ()) =
′() −′()
′() ′()
そのまま回転行列として使える
= ′ =
′
′
=
−′
′
単位接ベクトル
単位法ベクトル
が弧長パラメータの時
フレネ標構
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12
フレネ標構（例）
赤緑
弧長径数
紫紺
媒介変数
軸が大きいほど曲線上を進む速度は速い
軸の長さは1
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13
曲率とフレネの公式
′ =
−′′
′′
= −()()
d
d
() = ()
0 −()
() 0
′ = () () : 曲率
′() の向きは と同じ
フレネの公式
曲率 角度 位置
で積分 cos sin をで積分
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14
曲率（例）
′ = ()
=
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15
=
1
=
4
− −1
tan
2
曲率
− −1
= tan
2
(
+ −1
)
同一平面上で
3点−1
,
, +1
が与えられたとき
接ベクトル
= +1−
法ベクトル
=
0 −1
1 0
と定義する
= |+1
−
|
離散曲率
接ベクトル
離散な曲線に対して曲率を求めてみる
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16
弾性力
=
=1
2
弾性エネルギー
= sec2
2
tan
2
− sec2
+1
2
tan
+1
2
弾性力
1
=
2
= tan
3
= sec2
2
tan
2
方向に動かしたときに得る何か
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17
話は変わって・・・
曲線が時間変化するとき
を考えてみよう
ある条件のとき曲線が
時間と位置の式で厳密に書けるらしい
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18
曲線の時間発展
; = ; ; + ; (; )
フレネ標構の時間発展を表す連立微分方程式
= ,
=
とおいたとき
等周条件
= 0
=
0 −
0
=
0 −
−
+ 0
= (1)
の積分条件を求めると
=
+ (2)
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19
(1), (2) をまとめた条件
= (1)
(1) を (2) に代入して
=
+ (2)
=
+ 2 + (∗)
と を適切に選ぶと，
(∗) の解 (; ) は， ; を曲率にもつ曲線族
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20
mKdV方程式
+
+
3
2
2
= 0
modified Korteweg-de Vries equations (mKdV方程式)
解が存在することが知られている
ソリトン解 cn波解 dn波解
と選ぶと，積分可能条件は
; = −
(; ) ; = − ; 2/2
非線形の偏微分方程式
普通じゃない！ 時間と位置の関数で表せる
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21
ソリトン解
= 2 sech() =
− + 2 tanh
−2 sech − 1
= −
横軸 :
縦軸 : ()
横軸 :
縦軸 :
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22
cn波解 1/ 2 < < 1
= 2 cn ;
=
− +
2
;
−
2
cn ; − 1
=
1
22 − 1
= −
横軸 :
縦軸 : ()
横軸 :
縦軸 :
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23
dn波解 1/ 2 < < 1
= 2 dn ;
=
−
4
− ;
−
4
dn ; − 1
=
1
2 − 2
= −
横軸 :
縦軸 : ()
横軸 :
縦軸 :
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24
ポテンシャルmKdV方程式
+
+
3
2
2
= 0
modified Korteweg-de Vries equations (mKdV方程式)
ポテンシャルmKdV方程式
; +
1
2
3 ; +
; = 0
; =
0
(; ) −
0
0; + 0
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25
ベックルンド変換
′ + ′
2
= 2 sin
−
2
+
2
= − ′ 2 + 82 sin
−
2
+ 2′′ cos
−
2
+ 42′
′ =
=
を使って新たな が得られる
この連立方程式を満たす は
ポテンシャルmKdV方程式を満たす
非線形重ね合わせの特徴を持つ
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26
多重ソリトン解
−ソリトン解
= 0, = 0にベックルンド変換を回
繰り返して得られる mKdV方程式の解
≥ 1をまとめて多重ソリトン解
ポテンシャル = 0, = 0
ベックルンド変換
ソリトン解
ソリトン解 2 − ソリトン解
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27
2-ソリトン解
=
4 2
2 − 1
2 (2
cosh 1
− 1
cosh 2
)
(1
2 + 2
2) cosh 1
cosh 2
− 21
2
(1 + sinh 1
sinh 2
)
1
= 4 tan−1 1
2
= 4 tan−1 2
1
, 2
, 1
, 2
∈ ℝ
1
= 21
− 81
3 + 21
2
= 22
− 82
3 + 22
= 4 tan−1
1
+ 2
2
− 1
tan
1
− 2
4
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28
2-ソリトン解 1
, 2
, 1
, 2
∈ ℝ
=
4 2
2 − 1
2 (2
cosh 1
− 1
cosh 2
)
(1
2 + 2
2) cosh 1
cosh 2
− 21
2
(1 + sinh 1
sinh 2
)
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参考文献
さらに
半離散曲線，離散曲線への拡張
キーワード：差分幾何，離散微分幾何
井ノ口 順一
曲線とソリトン（開かれた数学）
朝倉書店，2010
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まとめ
曲線の話した