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Curve and mKdV equation

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February 05, 2016
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Curve and mKdV equation

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kurousagi_tsu

February 05, 2016
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  1. 曲線のお話 1 @kurousagi_tsu

  2. 2 曲線・直線とは 点の集合 曲線(その方程式)だけでも 応用先はいっぱい

  3. 3 曲線例 Folium of Descartes Clothoid Cycloid = − ℎ

    sin = 1 − ℎ cos = sin 1 = 0 cos 2 2 d = 0 sin 2 2 d = 2 1+3 =
  4. 4 曲線例 Euler spiral Koch curve Hilbert curve Eliptic curve

    2 = 3 + 2 = 0 cos () 2 d = 0 sin () 2 d
  5. 5 離散点→曲線(補間) Cubic Hermite Interpolation −Spline 画像作成ソフトでおなじみ

  6. 6 媒介変数(径数) = ∈ ℝ2 は媒介変数という 曲線上の点の位置

  7. 7 媒介変数(径数)の例 = 0 cos d 0 sin d Clothoid曲線

    ∈ 5 ∈ 0,9 = 5 = 0 = 10
  8. 8 接ベクトル d d = d d d d ∈

    ℝ2 接ベクトル = ∈ ℝ2 は媒介変数という 曲線上の点の位置 接ベクトルの大きさはバラバラ
  9. 9 弧長径数 d d () = 1 媒介変数に規則を付け加える 弧長径数と呼ぶ =

    | | d 弧長 = d このをパラメータとして用いる による の変化量は大きさ 1
  10. 10 弧長径数の例 = 0 | | d = 2/ 弧長径数

    = 0 cos 2 2 d 0 sin 2 2 d Clothoid曲線 ∈ 5 ∈ 0,9 黒丸:媒介変数 赤丸:弧長径数 ∈ 5 ∈ 0,9 = 5 = 5 = = 0
  11. 11 フレネ標構 = 0 −1 1 0 とおくと = ()

    = ( , ()) = ′() −′() ′() ′() そのまま回転行列として使える = ′ = ′ ′ = −′ ′ 単位接ベクトル 単位法ベクトル が弧長パラメータの時 フレネ標構
  12. 12 フレネ標構(例) 赤緑 弧長径数 紫紺 媒介変数 軸が大きいほど曲線上を進む速度は速い 軸の長さは1

  13. 13 曲率とフレネの公式 ′ = −′′ ′′ = −()() d d

    () = () 0 −() () 0 ′ = () () : 曲率 ′() の向きは と同じ フレネの公式 曲率 角度 位置 で積分 cos sin をで積分
  14. 14 曲率(例) ′ = () =

  15. 15 = 1 = 4 − −1 tan 2 曲率

    − −1 = tan 2 ( + −1 ) 同一平面上で 3点−1 , , +1 が与えられたとき 接ベクトル = +1− 法ベクトル = 0 −1 1 0 と定義する = |+1 − | 離散曲率 接ベクトル 離散な曲線に対して曲率を求めてみる
  16. 16 弾性力 = =1 2 弾性エネルギー = sec2 2 tan

    2 − sec2 +1 2 tan +1 2 弾性力 1 = 2 = tan 3 = sec2 2 tan 2 方向に動かしたときに得る何か
  17. 17 話は変わって・・・ 曲線が時間変化するとき を考えてみよう ある条件のとき曲線が 時間と位置の式で厳密に書けるらしい

  18. 18 曲線の時間発展 ; = ; ; + ; (; )

    フレネ標構の時間発展を表す連立微分方程式 = , = とおいたとき 等周条件 = 0 = 0 − 0 = 0 − − + 0 = (1) の積分条件を求めると = + (2)
  19. 19 (1), (2) をまとめた条件 = (1) (1) を (2) に代入して

    = + (2) = + 2 + (∗) と を適切に選ぶと, (∗) の解 (; ) は, ; を曲率にもつ曲線族
  20. 20 mKdV方程式 + + 3 2 2 = 0 modified

    Korteweg-de Vries equations (mKdV方程式) 解が存在することが知られている ソリトン解 cn波解 dn波解 と選ぶと,積分可能条件は ; = − (; ) ; = − ; 2/2 非線形の偏微分方程式 普通じゃない! 時間と位置の関数で表せる
  21. 21 ソリトン解 = 2 sech() = − + 2 tanh

    −2 sech − 1 = − 横軸 : 縦軸 : () 横軸 : 縦軸 :
  22. 22 cn波解 1/ 2 < < 1 = 2 cn

    ; = − + 2 ; − 2 cn ; − 1 = 1 22 − 1 = − 横軸 : 縦軸 : () 横軸 : 縦軸 :
  23. 23 dn波解 1/ 2 < < 1 = 2 dn

    ; = − 4 − ; − 4 dn ; − 1 = 1 2 − 2 = − 横軸 : 縦軸 : () 横軸 : 縦軸 :
  24. 24 ポテンシャルmKdV方程式 + + 3 2 2 = 0 modified

    Korteweg-de Vries equations (mKdV方程式) ポテンシャルmKdV方程式 ; + 1 2 3 ; + ; = 0 ; = 0 (; ) − 0 0; + 0
  25. 25 ベックルンド変換 ′ + ′ 2 = 2 sin −

    2 + 2 = − ′ 2 + 82 sin − 2 + 2′′ cos − 2 + 42′ ′ = = を使って新たな が得られる この連立方程式を満たす は ポテンシャルmKdV方程式を満たす 非線形重ね合わせの特徴を持つ
  26. 26 多重ソリトン解 −ソリトン解 = 0, = 0にベックルンド変換を回 繰り返して得られる mKdV方程式の解 ≥

    1をまとめて多重ソリトン解 ポテンシャル = 0, = 0 ベックルンド変換 ソリトン解 ソリトン解 2 − ソリトン解
  27. 27 2-ソリトン解 = 4 2 2 − 1 2 (2

    cosh 1 − 1 cosh 2 ) (1 2 + 2 2) cosh 1 cosh 2 − 21 2 (1 + sinh 1 sinh 2 ) 1 = 4 tan−1 1 2 = 4 tan−1 2 1 , 2 , 1 , 2 ∈ ℝ 1 = 21 − 81 3 + 21 2 = 22 − 82 3 + 22 = 4 tan−1 1 + 2 2 − 1 tan 1 − 2 4
  28. 28 2-ソリトン解 1 , 2 , 1 , 2 ∈

    ℝ = 4 2 2 − 1 2 (2 cosh 1 − 1 cosh 2 ) (1 2 + 2 2) cosh 1 cosh 2 − 21 2 (1 + sinh 1 sinh 2 )
  29. 29 参考文献 さらに 半離散曲線,離散曲線への拡張 キーワード:差分幾何,離散微分幾何 井ノ口 順一 曲線とソリトン(開かれた数学) 朝倉書店,2010

  30. 30 まとめ 曲線の話した