Curve and mKdV equation

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1. 曲線のお話 1 @kurousagi_tsu
2. 2 曲線・直線とは 点の集合 曲線（その方程式）だけでも 応用先はいっぱい
3. 3 曲線例 Folium of Descartes Clothoid Cycloid = − ℎ sin = 1 − ℎ cos = sin 1 = 0 cos 2 2 d = 0 sin 2 2 d = 2 1+3 =
4. 4 曲線例 Euler spiral Koch curve Hilbert curve Eliptic curve 2 = 3 + 2 = 0 cos () 2 d = 0 sin () 2 d
5. 5 離散点→曲線（補間） Cubic Hermite Interpolation −Spline 画像作成ソフトでおなじみ
6. 6 媒介変数（径数） = ∈ ℝ2 は媒介変数という 曲線上の点の位置
7. 7 媒介変数（径数）の例 = 0 cos d 0 sin d Clothoid曲線 ∈ 5 ∈ 0,9 = 5 = 0 = 10
8. 8 接ベクトル d d = d d d d ∈ ℝ2 接ベクトル = ∈ ℝ2 は媒介変数という 曲線上の点の位置 接ベクトルの大きさはバラバラ
9. 9 弧長径数 d d () = 1 媒介変数に規則を付け加える 弧長径数と呼ぶ = | | d 弧長 = d このをパラメータとして用いる による の変化量は大きさ 1
10. 10 弧長径数の例 = 0 | | d = 2/ 弧長径数 = 0 cos 2 2 d 0 sin 2 2 d Clothoid曲線 ∈ 5 ∈ 0,9 黒丸：媒介変数 赤丸：弧長径数 ∈ 5 ∈ 0,9 = 5 = 5 = = 0
11. 11 フレネ標構 = 0 −1 1 0 とおくと = () = ( , ()) = ′() −′() ′() ′() そのまま回転行列として使える = ′ = ′ ′ = −′ ′ 単位接ベクトル 単位法ベクトル が弧長パラメータの時 フレネ標構
12. 12 フレネ標構（例） 赤緑 弧長径数 紫紺 媒介変数 軸が大きいほど曲線上を進む速度は速い 軸の長さは1
13. 13 曲率とフレネの公式 ′ = −′′ ′′ = −()() d d () = () 0 −() () 0 ′ = () () : 曲率 ′() の向きは と同じ フレネの公式 曲率 角度 位置 で積分 cos sin をで積分
14. 14 曲率（例） ′ = () =
15. 15 = 1 = 4 − −1 tan 2 曲率 − −1 = tan 2 ( + −1 ) 同一平面上で 3点−1 , , +1 が与えられたとき 接ベクトル = +1− 法ベクトル = 0 −1 1 0 と定義する = |+1 − | 離散曲率 接ベクトル 離散な曲線に対して曲率を求めてみる
16. 16 弾性力 = =1 2 弾性エネルギー = sec2 2 tan 2 − sec2 +1 2 tan +1 2 弾性力 1 = 2 = tan 3 = sec2 2 tan 2 方向に動かしたときに得る何か
17. 17 話は変わって・・・ 曲線が時間変化するとき を考えてみよう ある条件のとき曲線が 時間と位置の式で厳密に書けるらしい
18. 18 曲線の時間発展 ; = ; ; + ; (; ) フレネ標構の時間発展を表す連立微分方程式 = , = とおいたとき 等周条件 = 0 = 0 − 0 = 0 − − + 0 = (1) の積分条件を求めると = + (2)
19. 19 (1), (2) をまとめた条件 = (1) (1) を (2) に代入して = + (2) = + 2 + (∗) と を適切に選ぶと， (∗) の解 (; ) は， ; を曲率にもつ曲線族
20. 20 mKdV方程式 + + 3 2 2 = 0 modified Korteweg-de Vries equations (mKdV方程式) 解が存在することが知られている ソリトン解 cn波解 dn波解 と選ぶと，積分可能条件は ; = − (; ) ; = − ; 2/2 非線形の偏微分方程式 普通じゃない！ 時間と位置の関数で表せる
21. 21 ソリトン解 = 2 sech() = − + 2 tanh −2 sech − 1 = − 横軸 : 縦軸 : () 横軸 : 縦軸 :
22. 22 cn波解 1/ 2 < < 1 = 2 cn ; = − + 2 ; − 2 cn ; − 1 = 1 22 − 1 = − 横軸 : 縦軸 : () 横軸 : 縦軸 :
23. 23 dn波解 1/ 2 < < 1 = 2 dn ; = − 4 − ; − 4 dn ; − 1 = 1 2 − 2 = − 横軸 : 縦軸 : () 横軸 : 縦軸 :
24. 24 ポテンシャルmKdV方程式 + + 3 2 2 = 0 modified Korteweg-de Vries equations (mKdV方程式) ポテンシャルmKdV方程式 ; + 1 2 3 ; + ; = 0 ; = 0 (; ) − 0 0; + 0
25. 25 ベックルンド変換 ′ + ′ 2 = 2 sin − 2 + 2 = − ′ 2 + 82 sin − 2 + 2′′ cos − 2 + 42′ ′ = = を使って新たな が得られる この連立方程式を満たす は ポテンシャルmKdV方程式を満たす 非線形重ね合わせの特徴を持つ
26. 26 多重ソリトン解 −ソリトン解 = 0, = 0にベックルンド変換を回 繰り返して得られる mKdV方程式の解 ≥ 1をまとめて多重ソリトン解 ポテンシャル = 0, = 0 ベックルンド変換 ソリトン解 ソリトン解 2 − ソリトン解
27. 27 2-ソリトン解 = 4 2 2 − 1 2 (2 cosh 1 − 1 cosh 2 ) (1 2 + 2 2) cosh 1 cosh 2 − 21 2 (1 + sinh 1 sinh 2 ) 1 = 4 tan−1 1 2 = 4 tan−1 2 1 , 2 , 1 , 2 ∈ ℝ 1 = 21 − 81 3 + 21 2 = 22 − 82 3 + 22 = 4 tan−1 1 + 2 2 − 1 tan 1 − 2 4
28. 28 2-ソリトン解 1 , 2 , 1 , 2 ∈ ℝ = 4 2 2 − 1 2 (2 cosh 1 − 1 cosh 2 ) (1 2 + 2 2) cosh 1 cosh 2 − 21 2 (1 + sinh 1 sinh 2 )
29. 29 参考文献 さらに 半離散曲線，離散曲線への拡張 キーワード：差分幾何，離散微分幾何 井ノ口 順一 曲線とソリトン（開かれた数学） 朝倉書店，2010
30. 30 まとめ 曲線の話した