数学とプログラミングの 世界を楽しもう プログラマのための数学勉強会@福岡 2015.09.04 @tkengo

立石 賢吾 Twitter : @tkengo github : @tkengo RubyとJavaScriptが好きです。でも、トトロの方が もっと好きです。

Project Euler

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問題紹介

3と5の倍数

10未満の3または5の倍数である自然数には3, 5, 6, 9が あり、それらの合計は23である。 では、1000未満の3または5の倍数の全ての自然数の合 計を求めよ。 問1: 3と5の倍数

1000未満の3または5の倍数の全ての自然数の合計とは つまり... 3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 + ... 問1: 3と5の倍数

1000未満の3または5の倍数の全ての自然数の合計とは つまり... 3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 + ... ( 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ...) = (①3の倍数の合計) 問1: 3と5の倍数

1000未満の3または5の倍数の全ての自然数の合計とは つまり... 3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 + ... ( 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ...) = + ( 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + ...) (①3の倍数の合計) (②5の倍数の合計) 問1: 3と5の倍数

問1: 3と5の倍数 1000未満の3または5の倍数の全ての自然数の合計とは つまり... 3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 + ... ( 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ...) = + ( 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + ...) - (15 + 30 + 45 + ...) (①3の倍数の合計) (②5の倍数の合計) (③15の倍数の合計) ※①と②で2回足し上げてる のを相殺するために引く

問1: 3と5の倍数 1000未満の3または5の倍数の全ての自然数の合計とは つまり... 3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 + ... ( 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ...) = + ( 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + ...) - (15 + 30 + 45 + ...) = (①3の倍数の合計) (②5の倍数の合計) (③15の倍数の合計) ※①と②で2回足し上げてる のを相殺するために引く N(3) X k=1 3k + N(5) X k=1 5k N(15) X k=1 15k ✓ N(d) =  1000 1 d ◆

問1: 3と5の倍数 各項が一定数ずつ増えていく数列のことを等比数列と言 いますね。等比数列の和というと... 例: 3 ずつ増えていく数列(公差 d = 3)

問1: 3と5の倍数 各項が一定数ずつ増えていく数列のことを等比数列と言 いますね。等比数列の和というと... = 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999 例: 3 ずつ増えていく数列(公差 d = 3) S3

問1: 3と5の倍数 各項が一定数ずつ増えていく数列のことを等比数列と言 いますね。等比数列の和というと... = 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999 = 999 + 996 + 993 + ... + 6 + 3 例: 3 ずつ増えていく数列(公差 d = 3) S3 S3

問1: 3と5の倍数 各項が一定数ずつ増えていく数列のことを等比数列と言 いますね。等比数列の和というと... = 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999 = 999 + 996 + 993 + ... + 6 + 3 例: 3 ずつ増えていく数列(公差 d = 3) + S3 S3

問1: 3と5の倍数 各項が一定数ずつ増えていく数列のことを等比数列と言 いますね。等比数列の和というと... = 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999 = 999 + 996 + 993 + ... + 6 + 3 = 1002 + 1002 + 1002 + ... + 1002 + 1002 例: 3 ずつ増えていく数列(公差 d = 3) + S3 S3 2S3

問1: 3と5の倍数 各項が一定数ずつ増えていく数列のことを等比数列と言 いますね。等比数列の和というと... = 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999 = 999 + 996 + 993 + ... + 6 + 3 = 1002 + 1002 + 1002 + ... + 1002 + 1002 (= 333) 個 例: 3 ずつ増えていく数列(公差 d = 3) +  1000 1 3 S3 S3 2S3

問1: 3と5の倍数 各項が一定数ずつ増えていく数列のことを等比数列と言 いますね。等比数列の和というと... = 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999 = 999 + 996 + 993 + ... + 6 + 3 = 1002 + 1002 + 1002 + ... + 1002 + 1002 例: 3 ずつ増えていく数列(公差 d = 3) + (= 333) 個  1000 1 3 S3 S3 2S3 S3 = 1 2 · 1002 · 333 = 501 · 333 = 166833

問1: 3と5の倍数 一般的に公差 d の数列が n 個ある場合の総和は、以下の ようにして計算できますね。 例: d ずつ増えていく数列(公差 d) = d + 2d + ... + (n-1)d + nd Sn

問1: 3と5の倍数 一般的に公差 d の数列が n 個ある場合の総和は、以下の ようにして計算できますね。 例: d ずつ増えていく数列(公差 d) = d + 2d + ... + (n-1)d + nd Sn = nd + (n-1)d + ... + 2d + d Sn

問1: 3と5の倍数 一般的に公差 d の数列が n 個ある場合の総和は、以下の ようにして計算できますね。 例: d ずつ増えていく数列(公差 d) = d + 2d + ... + (n-1)d + nd Sn = nd + (n-1)d + ... + 2d + d Sn +

問1: 3と5の倍数 一般的に公差 d の数列が n 個ある場合の総和は、以下の ようにして計算できますね。 例: d ずつ増えていく数列(公差 d) = d + 2d + ... + (n-1)d + nd Sn = nd + (n-1)d + ... + 2d + d Sn = (n+1)d + (n+1)d + ... + (n+1)d + (n+1)d 2Sn +

問1: 3と5の倍数 一般的に公差 d の数列が n 個ある場合の総和は、以下の ようにして計算できますね。 例: d ずつ増えていく数列(公差 d) = d + 2d + ... + (n-1)d + nd Sn = nd + (n-1)d + ... + 2d + d Sn = (n+1)d + (n+1)d + ... + (n+1)d + (n+1)d 2Sn n 個 +

問1: 3と5の倍数 一般的に公差 d の数列が n 個ある場合の総和は、以下の ようにして計算できますね。 例: d ずつ増えていく数列(公差 d) = d + 2d + ... + (n-1)d + nd Sn = nd + (n-1)d + ... + 2d + d Sn = (n+1)d + (n+1)d + ... + (n+1)d + (n+1)d 2Sn n 個 + Sn = 1 2 · (n + 1)d · n = n(n + 1)d 2

問1: 3と5の倍数 等差数列の和の公式を使うと... N(3) X k=1 3k + N(5) X k=1 5k N(15) X k=1 15k ✓ N(d) =  1000 1 d ◆

問1: 3と5の倍数 等差数列の和の公式を使うと... N(3) X k=1 3k + N(5) X k=1 5k N(15) X k=1 15k ✓ N(d) =  1000 1 d ◆ = N(3)((N(3) + 1)3 2 + N(5)(N(5) + 1)5 2 N(15)(N(15) + 1)15 2

自乗の合計の差

問6: 自乗の合計の差 最初の10個の自然数の”自乗の総和”は 最初の10個の自然数の”総和の自乗”は これらの差は　　　　　　　　である。 では、最初の100個の自然数の”自乗の総和”と”総和の自 乗”の差を求めよ。 12 + 22 + · · · + 102 = 385 (1 + 2 + · · · + 10)2 = 552 = 3025 3025 385 = 2640

問6: 自乗の合計の差 総和の自乗は、問1で求めた等差数列の和の公式が適用 できますね。 (1 + 2 + · · · + 99 + 100)2 = ✓ 100(100 + 1) 2 ◆2

問6: 自乗の合計の差 自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4 までを計算してみると... 12 + 22 + 32 + 42

問6: 自乗の合計の差 = 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4) = 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1) = 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) 12 + 22 + 32 + 42 9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9) 自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4 までを計算してみると...

問6: 自乗の合計の差 = 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4) = 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1) = 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) 12 + 22 + 32 + 42 9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9) 自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4 までを計算してみると...

問6: 自乗の合計の差 = 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4) = 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1) = 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) 12 + 22 + 32 + 42 9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9) 自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4 までを計算してみると...

問6: 自乗の合計の差 = 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4) = 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1) = 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) 12 + 22 + 32 + 42 9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9) 自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4 までを計算してみると...

問6: 自乗の合計の差 = 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4) = 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1) = 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) 12 + 22 + 32 + 42 9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9) 自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4 までを計算してみると...

問6: 自乗の合計の差 = 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4) = 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1) = 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) 12 + 22 + 32 + 42 9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9) 自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4 までを計算してみると...

問6: 自乗の合計の差 = 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4) = 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1) = 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) 12 + 22 + 32 + 42 9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9) 自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4 までを計算してみると...

問6: 自乗の合計の差 = 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4) = 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1) = 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) 12 + 22 + 32 + 42 9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9) 自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4 までを計算してみると...

問6: 自乗の合計の差 = 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4) = 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1) = 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) 12 + 22 + 32 + 42 9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9) 2 · 4 + 1 = 9 自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4 までを計算してみると...

問6: 自乗の合計の差 = 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4) = 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1) = 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) 12 + 22 + 32 + 42 9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9) 1+2+3+4個(つまりn=4までの等差数列の和) 個 = 4(4 + 1) 2 = 10 自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4 までを計算してみると...

問6: 自乗の合計の差 とおくと、前頁の結果から S4 = 12 + 22 + 32 + 42 3S4 = (2 · 4 + 1) · 4(4 + 1) 2 となるのがわかります。

問6: 自乗の合計の差 とおくと、前頁の結果から S4 = 12 + 22 + 32 + 42 3S4 = (2 · 4 + 1) · 4(4 + 1) 2 となるのがわかります。 この 4 を n に一般化してみると 3Sn = (2n + 1) · n(n + 1) 2 となります。

問6: 自乗の合計の差 とおくと、前頁の結果から S4 = 12 + 22 + 32 + 42 3S4 = (2 · 4 + 1) · 4(4 + 1) 2 となるのがわかります。 この 4 を n に一般化してみると 3Sn = (2n + 1) · n(n + 1) 2 となります。整理すると Sn = n(n + 1)(2n + 1) 6

問6: 自乗の合計の差 まとめると n X k=1 k2 = 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 n X k=1 k = 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1) 2

問6: 自乗の合計の差 まとめると n X k=1 k2 = 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 n X k=1 k = 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1) 2 (1 + 2 + · · · + 100)2 = ✓ 100(100 + 1) 2 ◆2 12 + 22 + · · · + 1002 = 100(100 + 1)(2 · 100 + 1) 6

自身のべき乗

問48: 自身のべき乗 11 + 22 + 33 + · · · + 1010 = 10405071317 である。では以下の級数の下10桁を求めよ。 11 + 22 + 33 + · · · + 10001000

問48: 自身のべき乗 いつものように n = 1000 における以下の数列の和を求 めてみる。 11 + 22 + 33 + · · · + nn

問48: 自身のべき乗 いつものように n = 1000 における以下の数列の和を求 めてみる。 11 + 22 + 33 + · · · + nn

問48: 自身のべき乗 •n = 1000 とかなると桁がものすごいことになる。 •C言語とかだと完全に桁あふれする。 •実際に n = 1000 の時を計算してみると...

問48: 自身のべき乗 100036819914469517709537501122764679556779368062293465458376098810023491074771619438142865909952784594586994264319129089472034 297990640767964725986043423846803832604080969103761537037623771364851006311573295146177424670558426686575960181584366644283228 455688031311454815153919097539848549664557651346585858271233640116622195618817344953167410268890832176466302030669977040862534 076609159502279137936809836930637560281385664635877375155877521346022579657984658333400734935862434233933298133457123788880928 310334876026136017595081560917946402687100524365210998086355214201424290343406856093657323107934219403186441391810123815105650 926739351576039284247250139159407346300152184381107376702171102630750469573346789782186690664846982834660741296739580179779168 360983472243224195284535256468186824036956956619282555532355807806199752768998384886337478678933158156525205917261433942460098 614325923316758337107036262555453185205416611714885822950858158961433759446327755438051838092130121883632710223140733220110974 010258021646929833176692061964608379073280762736061442808517156500628972850868896422679964719258292405858953075067457838536556 187855958968575622569234891474692281091391561983475411764835803581412867029415856566994208773628639094224154722601500447133063 011307204270428890504214262819377191859457430220214720118848634591319083375230747696601054742392887106311878302603638131903905 200825207205793366671291894623331279369709407422418787204597097644430924278218773832025749008082433007499169869823956112581112 760786390035522173784669056770734407449414526666210383981284021630344847691395707235573271662709837224522304679291974725911315 742582406485833141540094327821304295463505357404520998451222126424190355017841682455141254863759000777908253928824775165356689 988274959440589510258798553952770949351004954644542726561747839910718823868177121590423411939224748975107908594805594509880561 796372292846955426378221762516042800822884555254034449486019526711518709222776619575390721112664615014061474423397476527347561 996431185285861416781966834012473048771016200679352998575882065367727437956331349545452663271872348233949482575982107640169431 604345651211793793545646352146302119772669498355892913235757618859497751663073421286386945616420552553676731129813718251149464 946366307375921921305682356166777609373942574288393071260996216346408803882656913203216069263720618308594298797368458427649178 484311547207790040169259569411927355351102599126544603936628892174358133320008371710524117150460688354341886202404755217705526 342446950129890590193815824593863369410502481516667981368915666834119771347509438990488712679446890189385047505001120522574245 555562575056021323038791033798395033324502065323898911550701388295627776388079568721085719649389314265671310596627542214460598 805893960060360422692140140209651929425048867029798339635327946045314237554226788198919748178978067895509376319365860369089847 4826976906544473978017455720367929981796023041785852626797271283465789498383642350667978127819110846700 •n = 1000 とかなると桁がものすごいことになる。 •C言語とかだと完全に桁あふれする。 •実際に n = 1000 の時を計算してみると...

問48: 自身のべき乗 mod

問48: 自身のべき乗 5 1 ⌘ 5(mod9)

問48: 自身のべき乗 5 1 ⌘ 5(mod9) 5 2 ⌘ 5 1 · 5 = 5 · 5 = 25 ⌘ 7(mod9)

問48: 自身のべき乗 5 1 ⌘ 5(mod9) 5 2 ⌘ 5 1 · 5 = 5 · 5 = 25 ⌘ 7(mod9) 5 3 ⌘ 5 2 · 5 = 7 · 5 = 35 ⌘ 8(mod9)

問48: 自身のべき乗 5 1 ⌘ 5(mod9) 5 2 ⌘ 5 1 · 5 = 5 · 5 = 25 ⌘ 7(mod9) 5 3 ⌘ 5 2 · 5 = 7 · 5 = 35 ⌘ 8(mod9) 5 4 ⌘ 5 3 · 5 = 8 · 5 = 40 ⌘ 4(mod9)

問48: 自身のべき乗 5 1 ⌘ 5(mod9) 5 2 ⌘ 5 1 · 5 = 5 · 5 = 25 ⌘ 7(mod9) 5 3 ⌘ 5 2 · 5 = 7 · 5 = 35 ⌘ 8(mod9) 5 4 ⌘ 5 3 · 5 = 8 · 5 = 40 ⌘ 4(mod9) 5 5 ⌘ 5 4 · 5 = 4 · 5 = 20 ⌘ 2(mod9)

問48: 自身のべき乗 下10桁を求めればよいので の世界で計算して いけばOK。最大でも 未満の数にし かならない。 mod10 10 1010 = 10000000000

偶数の フィボナッチ数

問2: 偶数のフィボナッチ数 フィボナッチ数列の各項は前の2つの項から生成され る。最初の項が1, 2から始まるとすると、最初の10項は 以下のようになる。 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 400万を超えないフィボナッチ数列を考える時、偶数値 の合計を求めよ。

問2: 偶数のフィボナッチ数 フィボナッチ数列の一般項を求めてみます。 一般に、前の項によって次の項の値が決まるものを漸化 式、特にフィボナッチ数列のように前の2つの項によっ て次の項の値が決まるものを三項間漸化式といいます ね。

問2: 偶数のフィボナッチ数 漸化式の解き方は •特性方程式を解く •行列を使って解く の2種類がありますが、行列を使った解き方の方が面白 いのでそちらの方法で求めてみます。

問2: 偶数のフィボナッチ数 まず、フィボナッチ数列は以下のように表せますね。 F0 = 0, F1 = 1 ※問題文では初項が 1, 2 になっていますが 0, 1 の方が計算しやすいのでこうします。 Fn = Fn 2 + Fn 1(n > 1)

✓ F1 F2 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F0 F1 ◆ = ✓ F1 F0 + F1 ◆ 問2: 偶数のフィボナッチ数 行列を使っても表せます。 F0 = 0, F1 = 1

✓ F1 F2 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F0 F1 ◆ = ✓ F1 F0 + F1 ◆ F0 = 0, F1 = 1 問2: 偶数のフィボナッチ数 行列を使っても表せます。

✓ F1 F2 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F0 F1 ◆ = ✓ F1 F0 + F1 ◆ F0 = 0, F1 = 1 問2: 偶数のフィボナッチ数 行列を使っても表せます。 ✓ F2 F3 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F1 F2 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F0 F1 ◆

✓ F1 F2 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F0 F1 ◆ = ✓ F1 F0 + F1 ◆ F0 = 0, F1 = 1 問2: 偶数のフィボナッチ数 行列を使っても表せます。 ✓ F2 F3 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F1 F2 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F0 F1 ◆

✓ F1 F2 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F0 F1 ◆ = ✓ F1 F0 + F1 ◆ F0 = 0, F1 = 1 問2: 偶数のフィボナッチ数 行列を使っても表せます。 ✓ F2 F3 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F1 F2 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F0 F1 ◆

✓ F1 F2 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F0 F1 ◆ = ✓ F1 F0 + F1 ◆ F0 = 0, F1 = 1 問2: 偶数のフィボナッチ数 行列を使っても表せます。 ✓ F2 F3 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F1 F2 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ F0 F1 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆2 ✓ F0 F1 ◆

問2: 偶数のフィボナッチ数 一般化してみると という風に表すことができます。 F0 = 0, F1 = 1 ✓ Fn Fn+1 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆n ✓ F0 F1 ◆

問2: 偶数のフィボナッチ数 一般化してみると という風に表すことができます。 F0 = 0, F1 = 1 ✓ Fn Fn+1 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆n ✓ F0 F1 ◆ A = ✓ 0 1 1 1 ◆ と置くと を求めることができれば Fn を計算できそう。 An

問2: 偶数のフィボナッチ数 単純に を求めると n が大きくなった時にかなり大変 なので、ちょっと工夫します。 An

問2: 偶数のフィボナッチ数 対角行列のべき乗は簡単に求めることができますね。 ⇤ = 0 B B B @ 1 0 . . . 0 0 2 . . . 0 . . . . . . ... . . . 0 0 . . . m 1 C C C A こういう対角行列Λが あるとすると...

問2: 偶数のフィボナッチ数 対角行列のべき乗は簡単に求めることができますね。 ⇤ = 0 B B B @ 1 0 . . . 0 0 2 . . . 0 . . . . . . ... . . . 0 0 . . . m 1 C C C A ⇤n = 0 B B B @ n 1 0 . . . 0 0 n 2 . . . 0 . . . . . . ... . . . 0 0 . . . n m 1 C C C A こういう対角行列Λが あるとすると... Λのn乗はこうなる

問2: 偶数のフィボナッチ数 ここで を行列の掛け算で表してみます。 A = P⇤P 1 A = ✓ 0 1 1 1 ◆ ⇤ ( は対角行列)

問2: 偶数のフィボナッチ数 この行列 A の n 乗を計算してみると An = (P⇤P 1)n = P⇤P 1P⇤P 1 · · · P⇤P 1 = P⇤nP 1 ここで を行列の掛け算で表してみます。 A = P⇤P 1 A = ✓ 0 1 1 1 ◆ ⇤ ( は対角行列)

問2: 偶数のフィボナッチ数 この行列 A の n 乗を計算してみると An = (P⇤P 1)n = P⇤P 1P⇤P 1 · · · P⇤P 1 = P⇤nP 1 ここで を行列の掛け算で表してみます。 A = P⇤P 1 A = ✓ 0 1 1 1 ◆ ⇤ ( は対角行列)

問2: 偶数のフィボナッチ数 この行列 A の n 乗を計算してみると An = (P⇤P 1)n = P⇤P 1P⇤P 1 · · · P⇤P 1 = P⇤nP 1 ここで を行列の掛け算で表してみます。 A = P⇤P 1 A = ✓ 0 1 1 1 ◆ ⇤ ( は対角行列)

問2: 偶数のフィボナッチ数 この行列 A の n 乗を計算してみると An = (P⇤P 1)n = P⇤P 1P⇤P 1 · · · P⇤P 1 = P⇤nP 1 ここで を行列の掛け算で表してみます。 A = P⇤P 1 A = ✓ 0 1 1 1 ◆ ⇤ ( は対角行列) となるのでべき乗の計算が簡単になります。問題はどう やってこの都合の良い行列を見つけるか？

問2: 偶数のフィボナッチ数 P = ✓ p11 p21 p12 p22 ◆ = (p1, p2) とりあえず行列 を列ベクトルの集まりとしてみます。 P

問2: 偶数のフィボナッチ数 A = P⇤P 1 の両辺の右側に をかけてみると P AP = P⇤ P = ✓ p11 p21 p12 p22 ◆ = (p1, p2) とりあえず行列 を列ベクトルの集まりとしてみます。 P となる。

問2: 偶数のフィボナッチ数 A = P⇤P 1 の両辺の右側に をかけてみると P AP = P⇤ P = ✓ p11 p21 p12 p22 ◆ = (p1, p2) とりあえず行列 を列ベクトルの集まりとしてみます。 P A(p1, p2) = (p1, p2)⇤ となる。 を代入すると P となります。

問2: 偶数のフィボナッチ数 A(p1, p2) = (p1, p2)⇤ なので は ⇤ = ✓ 1 0 0 2 ◆ (Ap1, Ap2) = (p1, p2) ✓ 1 0 0 2 ◆ = ( 1p1, 2p2) と表せます。

問2: 偶数のフィボナッチ数 A(p1, p2) = (p1, p2)⇤ なので は ⇤ = ✓ 1 0 0 2 ◆ (Ap1, Ap2) = (p1, p2) ✓ 1 0 0 2 ◆ = ( 1p1, 2p2) と表せます。よって Ap1 = 1p1 Ap2 = 2p2 ということですね。

問2: 偶数のフィボナッチ数 Ap1 = 1p1 Ap2 = 2p2 これは要するに と が の固有ベクトルということ。 A p1 p2 A = P⇤P 1 の は の固有ベクトルを並べた行列だと いうことがわかりました！ A P そして対角行列 の対角要素は の固有値です！ ⇤ A

問2: 偶数のフィボナッチ数 では の固有値と固有ベクトルを求めてみます。固有値は 以下の特性多項式を解くことで求められましたね。 A det( I A) = 0

問2: 偶数のフィボナッチ数 A det( I A) = 0 det( I A) = det ✓✓ 0 0 ◆ ✓ 0 1 1 1 ◆◆ では の固有値と固有ベクトルを求めてみます。固有値は 以下の特性多項式を解くことで求められましたね。

問2: 偶数のフィボナッチ数 A det( I A) = 0 det( I A) = det ✓✓ 0 0 ◆ ✓ 0 1 1 1 ◆◆ = det ✓ 1 1 1 ◆ では の固有値と固有ベクトルを求めてみます。固有値は 以下の特性多項式を解くことで求められましたね。

問2: 偶数のフィボナッチ数 A det( I A) = 0 det( I A) = det ✓✓ 0 0 ◆ ✓ 0 1 1 1 ◆◆ = det ✓ 1 1 1 ◆ = · ( 1) ( 1) · ( 1) では の固有値と固有ベクトルを求めてみます。固有値は 以下の特性多項式を解くことで求められましたね。

問2: 偶数のフィボナッチ数 A det( I A) = 0 det( I A) = det ✓✓ 0 0 ◆ ✓ 0 1 1 1 ◆◆ = det ✓ 1 1 1 ◆ = · ( 1) ( 1) · ( 1) では の固有値と固有ベクトルを求めてみます。固有値は 以下の特性多項式を解くことで求められましたね。

問2: 偶数のフィボナッチ数 A det( I A) = 0 det( I A) = det ✓✓ 0 0 ◆ ✓ 0 1 1 1 ◆◆ = det ✓ 1 1 1 ◆ = · ( 1) ( 1) · ( 1) = 2 1 = 0 では の固有値と固有ベクトルを求めてみます。固有値は 以下の特性多項式を解くことで求められましたね。

問2: 偶数のフィボナッチ数 あとは を解きましょう。二次方程式の解 2 1 = 0 の公式に当てはめるだけです。

問2: 偶数のフィボナッチ数 あとは を解きましょう。二次方程式の解 2 1 = 0 の公式に当てはめるだけです。 ax 2 + bx + c = 0 x = b ± p b 2 4 ac 2 a の時 なので

問2: 偶数のフィボナッチ数 あとは を解きましょう。二次方程式の解 2 1 = 0 の公式に当てはめるだけです。 ax 2 + bx + c = 0 x = b ± p b 2 4 ac 2 a の時 なので = ( 1) ± p ( 1)2 4 · 1 · ( 1) 2 · 1 = 1 ± p 5 2 固有値が求まりました！

問2: 偶数のフィボナッチ数 1 = 1 + p 5 2 , 2 = 1 p 5 2 とおいて を解きましょう。 次は固有ベクトルを求めます。 Ap1 = 1p1 Ap2 = 2p2

問2: 偶数のフィボナッチ数 ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ p11 p12 ◆ = ✓ p12 p11 + p12 ◆ = ✓ 1p11 1p12 ◆ なので という連立方程式を解きます。 p12 = 1p11 p11 + p12 = 1p12

問2: 偶数のフィボナッチ数 ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ p11 p12 ◆ = ✓ p12 p11 + p12 ◆ = ✓ 1p11 1p12 ◆ なので という連立方程式を解きます。 とはいうものの既に で答えは出ています。 p12 = 1p11 p12 = 1p11 p11 + p12 = 1p12

問2: 偶数のフィボナッチ数 ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ p11 p12 ◆ = ✓ p12 p11 + p12 ◆ = ✓ 1p11 1p12 ◆ なので という連立方程式を解きます。 とはいうものの既に で答えは出ています。 これは が決まれば自動的に も決まるということ。 p12 = 1p11 p11 p12 p12 = 1p11 p11 + p12 = 1p12

問2: 偶数のフィボナッチ数 ✓ 0 1 1 1 ◆ ✓ p11 p12 ◆ = ✓ p12 p11 + p12 ◆ = ✓ 1p11 1p12 ◆ なので という連立方程式を解きます。 とはいうものの既に で答えは出ています。 これは が決まれば自動的に も決まるということ。 なので、これ全部固有ベクトルです。 p12 = 1p11 p11 p12 p12 = 1p11 p11 + p12 = 1p12 p1 = ✓ 1 1 ◆ , p1 = ✓ 3 3 1 ◆ , p1 = ✓ 999 999 1 ◆

問2: 偶数のフィボナッチ数 2 の方の固有ベクトルも同じ理屈です。とはいえ、計算 は簡単な方がいいので、一番単純なものを固有ベクトル として選びます！ p1 = ✓ 1 1 ◆ , p2 = ✓ 1 2 ◆

問2: 偶数のフィボナッチ数 最初に戻ります。フィボナッチ数列は以下のように表さ れるのでした。 ✓ Fn Fn+1 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆n ✓ F0 F1 ◆

問2: 偶数のフィボナッチ数 最初に戻ります。フィボナッチ数列は以下のように表さ れるのでした。 ✓ Fn Fn+1 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆n ✓ F0 F1 ◆ An = (P⇤P 1)n = P⇤nP 1 = ✓ 1 1 1 2 ◆ ✓ n 1 0 0 n 2 ◆ 1 p 5 ✓ 2 1 1 1 ◆

問2: 偶数のフィボナッチ数 最初に戻ります。フィボナッチ数列は以下のように表さ れるのでした。 ✓ Fn Fn+1 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆n ✓ F0 F1 ◆ An = (P⇤P 1)n = P⇤nP 1 = ✓ 1 1 1 2 ◆ ✓ n 1 0 0 n 2 ◆ 1 p 5 ✓ 2 1 1 1 ◆ さっき求めた固有ベクトル

問2: 偶数のフィボナッチ数 最初に戻ります。フィボナッチ数列は以下のように表さ れるのでした。 ✓ Fn Fn+1 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆n ✓ F0 F1 ◆ An = (P⇤P 1)n = P⇤nP 1 = ✓ 1 1 1 2 ◆ ✓ n 1 0 0 n 2 ◆ 1 p 5 ✓ 2 1 1 1 ◆ さっき求めた固有ベクトル 逆行列。計算過程は省略...

問2: 偶数のフィボナッチ数 最初に戻ります。フィボナッチ数列は以下のように表さ れるのでした。 ✓ Fn Fn+1 ◆ = ✓ 0 1 1 1 ◆n ✓ F0 F1 ◆ An = (P⇤P 1)n = P⇤nP 1 = ✓ 1 1 1 2 ◆ ✓ n 1 0 0 n 2 ◆ 1 p 5 ✓ 2 1 1 1 ◆ = 1 p 5 ✓ 1 n 2 n 1 2 n 1 n 2 1 n+1 2 n+1 1 2 n+1 1 n+1 2 ◆

問2: 偶数のフィボナッチ数 ✓ Fn Fn+1 ◆ = 1 p 5 ✓ 1 n 2 n 1 2 n 1 n 2 1 n+1 2 n+1 1 2 n+1 1 n+1 2 ◆ ✓ F0 F1 ◆ = 1 p 5 ✓ 1 n 2 n 1 2 n 1 n 2 1 n+1 2 n+1 1 2 n+1 1 n+1 2 ◆ ✓ 0 1 ◆ となります。

問2: 偶数のフィボナッチ数 ✓ Fn Fn+1 ◆ = 1 p 5 ✓ 1 n 2 n 1 2 n 1 n 2 1 n+1 2 n+1 1 2 n+1 1 n+1 2 ◆ ✓ F0 F1 ◆ = 1 p 5 ✓ 1 n 2 n 1 2 n 1 n 2 1 n+1 2 n+1 1 2 n+1 1 n+1 2 ◆ ✓ 0 1 ◆ となります。今は が欲しいので1行目だけ計算します。 Fn Fn = 1 p 5 (( 1 n 2 n 1 2) · 0 + ( n 1 n 2 ) · 1)

問2: 偶数のフィボナッチ数 ✓ Fn Fn+1 ◆ = 1 p 5 ✓ 1 n 2 n 1 2 n 1 n 2 1 n+1 2 n+1 1 2 n+1 1 n+1 2 ◆ ✓ F0 F1 ◆ = 1 p 5 ✓ 1 n 2 n 1 2 n 1 n 2 1 n+1 2 n+1 1 2 n+1 1 n+1 2 ◆ ✓ 0 1 ◆ となります。今は が欲しいので1行目だけ計算します。 Fn = 1 p 5 ( n 1 n 2 ) = 1 p 5 ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) Fn = 1 p 5 (( 1 n 2 n 1 2) · 0 + ( n 1 n 2 ) · 1)

問2: 偶数のフィボナッチ数 ✓ Fn Fn+1 ◆ = 1 p 5 ✓ 1 n 2 n 1 2 n 1 n 2 1 n+1 2 n+1 1 2 n+1 1 n+1 2 ◆ ✓ F0 F1 ◆ = 1 p 5 ✓ 1 n 2 n 1 2 n 1 n 2 1 n+1 2 n+1 1 2 n+1 1 n+1 2 ◆ ✓ 0 1 ◆ となります。今は が欲しいので1行目だけ計算します。 Fn = 1 p 5 ( n 1 n 2 ) = 1 p 5 ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) Fn = 1 p 5 (( 1 n 2 n 1 2) · 0 + ( n 1 n 2 ) · 1)

問2: 偶数のフィボナッチ数 ということでフィボナッチ数列の一般項は Fn = 1 p 5 ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) という式だとわかりました！ F0 = 0, F1 = 1 初項を とした場合

問2: 偶数のフィボナッチ数 ということでフィボナッチ数列の一般項は Fn = 1 p 5 ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) という式だとわかりました！ もう少し頑張ります！ F0 = 0, F1 = 1 初項を とした場合

問2: 偶数のフィボナッチ数 問題文で400万を超えないフィボナッチ数とありましたが n がいくつで400万を超えるか計算してみます。 Fn = 1 p 5 ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) > 4000000

問2: 偶数のフィボナッチ数 問題文で400万を超えないフィボナッチ数とありましたが n がいくつで400万を超えるか計算してみます。 Fn = 1 p 5 ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) > 4000000 ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) > 4000000 p 5

問2: 偶数のフィボナッチ数 問題文で400万を超えないフィボナッチ数とありましたが n がいくつで400万を超えるか計算してみます。 Fn = 1 p 5 ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) > 4000000 ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) > 4000000 p 5 この両辺の対数をとってみます。

問2: 偶数のフィボナッチ数 log ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) > log 4000000 p 5

問2: 偶数のフィボナッチ数 この式の左辺の第二項は n が大きくなると 0 に近づくので 簡単のため無視します。 log ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) > log 4000000 p 5

問2: 偶数のフィボナッチ数 この式の左辺の第二項は n が大きくなると 0 に近づくので 簡単のため無視します。 log ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) > log 4000000 p 5 log 1 + p 5 2 !n > log 4000000 p 5

問2: 偶数のフィボナッチ数 この式の左辺の第二項は n が大きくなると 0 に近づくので 簡単のため無視します。 log ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) > log 4000000 p 5 log 1 + p 5 2 !n > log 4000000 p 5 n log 1 + p 5 2 ! > log 4000000 p 5

問2: 偶数のフィボナッチ数 では両辺の対数を実際に計算してみます。 = 0.6020 + 6 + 0.3495 = 6.9515 log 4000000 p 5 = log 2 2 · 10 6 · 5 1 2 = 2 log 2 + 6 log 10 + 0 . 5 log 5 = 2 · 0.301 + 6 · 1 + 0.5 · 0.699 log 1 + p 5 2 ! = log ✓ 1 + 2 . 236 2 ◆ = log ✓ 3 . 236 2 ◆ = log 1 . 618 = 0.2068

問2: 偶数のフィボナッチ数 では両辺の対数を実際に計算してみます。 = 0.6020 + 6 + 0.3495 = 6.9515 log 4000000 p 5 = log 2 2 · 10 6 · 5 1 2 = 2 log 2 + 6 log 10 + 0 . 5 log 5 = 2 · 0.301 + 6 · 1 + 0.5 · 0.699 log 1 + p 5 2 ! = log ✓ 1 + 2 . 236 2 ◆ = log ✓ 3 . 236 2 ◆ = log 1 . 618 = 0.2068

問2: 偶数のフィボナッチ数 では両辺の対数を実際に計算してみます。 = 0.6020 + 6 + 0.3495 = 6.9515 log 4000000 p 5 = log 2 2 · 10 6 · 5 1 2 = 2 log 2 + 6 log 10 + 0 . 5 log 5 = 2 · 0.301 + 6 · 1 + 0.5 · 0.699 log 1 + p 5 2 ! = log ✓ 1 + 2 . 236 2 ◆ = log ✓ 3 . 236 2 ◆ = log 1 . 618 = 0.2068

問2: 偶数のフィボナッチ数 では両辺の対数を実際に計算してみます。 = 0.6020 + 6 + 0.3495 = 6.9515 log 4000000 p 5 = log 2 2 · 10 6 · 5 1 2 = 2 log 2 + 6 log 10 + 0 . 5 log 5 = 2 · 0.301 + 6 · 1 + 0.5 · 0.699 log 1 + p 5 2 ! = log ✓ 1 + 2 . 236 2 ◆ = log ✓ 3 . 236 2 ◆ = log 1 . 618 = 0.2068

問2: 偶数のフィボナッチ数 では両辺の対数を実際に計算してみます。 = 0.6020 + 6 + 0.3495 = 6.9515 log 4000000 p 5 = log 2 2 · 10 6 · 5 1 2 = 2 log 2 + 6 log 10 + 0 . 5 log 5 = 2 · 0.301 + 6 · 1 + 0.5 · 0.699 log 1 + p 5 2 ! = log ✓ 1 + 2 . 236 2 ◆ = log ✓ 3 . 236 2 ◆ = log 1 . 618 = 0.2068

問2: 偶数のフィボナッチ数 では両辺の対数を実際に計算してみます。 = 0.6020 + 6 + 0.3495 = 6.9515 log 4000000 p 5 = log 2 2 · 10 6 · 5 1 2 = 2 log 2 + 6 log 10 + 0 . 5 log 5 = 2 · 0.301 + 6 · 1 + 0.5 · 0.699 log 1 + p 5 2 ! = log ✓ 1 + 2 . 236 2 ◆ = log ✓ 3 . 236 2 ◆ = log 1 . 618 = 0.2068

問2: 偶数のフィボナッチ数 では両辺の対数を実際に計算してみます。 = 0.6020 + 6 + 0.3495 = 6.9515 log 4000000 p 5 = log 2 2 · 10 6 · 5 1 2 = 2 log 2 + 6 log 10 + 0 . 5 log 5 = 2 · 0.301 + 6 · 1 + 0.5 · 0.699 log 1 + p 5 2 ! = log ✓ 1 + 2 . 236 2 ◆ = log ✓ 3 . 236 2 ◆ = log 1 . 618 = 0.2068

問2: 偶数のフィボナッチ数 では両辺の対数を実際に計算してみます。 = 0.6020 + 6 + 0.3495 = 6.9515 log 4000000 p 5 = log 2 2 · 10 6 · 5 1 2 = 2 log 2 + 6 log 10 + 0 . 5 log 5 = 2 · 0.301 + 6 · 1 + 0.5 · 0.699 log 1 + p 5 2 ! = log ✓ 1 + 2 . 236 2 ◆ = log ✓ 3 . 236 2 ◆ = log 1 . 618 = 0.2068

問2: 偶数のフィボナッチ数 よって 4000000 より大きい n は n log 1 + p 5 2 ! > log 4000000 p 5 0.2068n > 6.9515 n > 33.2607 · · ·

問2: 偶数のフィボナッチ数 よって 4000000 より大きい n は n log 1 + p 5 2 ! > log 4000000 p 5 0.2068n > 6.9515 n > 33.2607 · · · n は整数なので が 4000000 を超えない最大のフィボ ナッチ数。(n が 0 から始まる場合) F33

問2: 偶数のフィボナッチ数 までの偶数の和を考えてみます。数列を眺めてると F33 F0 = 0 F1 = 1 F2 = 1 F3 = 2 F4 = 3 F5 = 5 F6 = 8 F7 = 13 F8 = 21 F9 = 34

問2: 偶数のフィボナッチ数 までの偶数の和を考えてみます。数列を眺めてると F33 F0 = 0 F1 = 1 F2 = 1 F3 = 2 F4 = 3 F5 = 5 F6 = 8 F7 = 13 F8 = 21 F9 = 34 偶数 偶数 偶数

問2: 偶数のフィボナッチ数 までの偶数の和を考えてみます。数列を眺めてると どうも n が 3 の倍数の時が偶数っぽい。 F33 F0 = 0 F1 = 1 F2 = 1 F3 = 2 F4 = 3 F5 = 5 F6 = 8 F7 = 13 F8 = 21 F9 = 34 偶数 偶数 偶数

問2: 偶数のフィボナッチ数 Fn = 1 p 5 ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) 今 ですが、 長ったらしいので、以下のように置き換えます。 = 1 + p 5 2 , ˆ = 1 p 5 2 ※ちなみに っていうの 　は黄金比としてよく知ら 　れてますね。

問2: 偶数のフィボナッチ数 Fn = 1 p 5 ( 1 + p 5 2 !n 1 p 5 2 !n ) 今 ですが、 長ったらしいので、以下のように置き換えます。 すると以下のように表せます。 = 1 + p 5 2 , ˆ = 1 p 5 2 ※ちなみに っていうの 　は黄金比としてよく知ら 　れてますね。 Fn = n ˆn p 5

問2: 偶数のフィボナッチ数 n が 3 の倍数のフィボナッチ数列の和を考えてみると F3 + F6 + · · · + F30 + F33 = 11 X k=1 F3k

問2: 偶数のフィボナッチ数 n が 3 の倍数のフィボナッチ数列の和を考えてみると これに一般項を代入してみると F3 + F6 + · · · + F30 + F33 = 11 X k=1 F3k 11 X k=1 F3k = 11 X k=1 3k ˆ3k p 5 = 1 p 5 11 X k=1 3k 11 X k=1 ˆ3k !

問2: 偶数のフィボナッチ数 n が 3 の倍数のフィボナッチ数列の和を考えてみると なんかこれ、等比級数っぽくないですか？ これに一般項を代入してみると F3 + F6 + · · · + F30 + F33 = 11 X k=1 F3k 11 X k=1 F3k = 11 X k=1 3k ˆ3k p 5 = 1 p 5 11 X k=1 3k 11 X k=1 ˆ3k !

問2: 偶数のフィボナッチ数 等比級数にはこういう公式がありますよね。 これを代入してみましょう。 n X k=1 ark 1 = a(rn 1) r 1

問2: 偶数のフィボナッチ数 ※ とするとこうなります。 の場合も同じ。 等比級数にはこういう公式がありますよね。 これを代入してみましょう。 n X k=1 ark 1 = a(rn 1) r 1 a = 3, r = 3 ˆ 11 X k=1 F3k = 1 p 5 3(( 3)11 1) 3 1 ˆ3((ˆ3)11 1) ˆ3 1 !

問2: 偶数のフィボナッチ数 ※ とするとこうなります。 の場合も同じ。 ここで、カッコの中の分数の式をまとめたい衝動に駆られ ます。でも分母の値が違うのでまとめれない・・・ 等比級数にはこういう公式がありますよね。 これを代入してみましょう。 n X k=1 ark 1 = a(rn 1) r 1 a = 3, r = 3 ˆ 11 X k=1 F3k = 1 p 5 3(( 3)11 1) 3 1 ˆ3((ˆ3)11 1) ˆ3 1 !

問2: 偶数のフィボナッチ数 さて、ここで は の解でしたよねー？ 固有値を求めるとこでやりました。と、いうことは , ˆ x 2 x 1 = 0 2 1 = 0

問2: 偶数のフィボナッチ数 , ˆ x 2 x 1 = 0 2 1 = 0 2 = + 1 この式から以下の式が導かれます。 さて、ここで は の解でしたよねー？ 固有値を求めるとこでやりました。と、いうことは

問2: 偶数のフィボナッチ数 , ˆ x 2 x 1 = 0 2 1 = 0 2 = + 1 3 = 2 + = + 1 + = 2 + 1 この式から以下の式が導かれます。 さて、ここで は の解でしたよねー？ 固有値を求めるとこでやりました。と、いうことは

問2: 偶数のフィボナッチ数 , ˆ x 2 x 1 = 0 2 1 = 0 2 = + 1 3 = 2 + = + 1 + = 2 + 1 この式から以下の式が導かれます。 さて、ここで は の解でしたよねー？ 固有値を求めるとこでやりました。と、いうことは

問2: 偶数のフィボナッチ数 , ˆ x 2 x 1 = 0 2 1 = 0 2 = + 1 3 = 2 + = + 1 + = 2 + 1 この式から以下の式が導かれます。 つまりこういうことです。 3 1 = 2 ※ も同じ理屈です。 ˆ さて、ここで は の解でしたよねー？ 固有値を求めるとこでやりました。と、いうことは

問2: 偶数のフィボナッチ数 11 X k=1 F3k = 1 p 5 3( 33 1) 2 ˆ3(ˆ33 1) 2ˆ ! = 1 2 · 1 p 5 ⇣ 2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1) ⌘ = 1 2 · 2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1) p 5 = 1 2 · 35 2 ˆ35 + ˆ2 p 5 = 1 2 35 ˆ35 p 5 2 ˆ2 p 5 !

問2: 偶数のフィボナッチ数 11 X k=1 F3k = 1 p 5 3( 33 1) 2 ˆ3(ˆ33 1) 2ˆ ! = 1 2 · 1 p 5 ⇣ 2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1) ⌘ = 1 2 · 2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1) p 5 = 1 2 · 35 2 ˆ35 + ˆ2 p 5 = 1 2 35 ˆ35 p 5 2 ˆ2 p 5 !

問2: 偶数のフィボナッチ数 11 X k=1 F3k = 1 p 5 3( 33 1) 2 ˆ3(ˆ33 1) 2ˆ ! = 1 2 · 1 p 5 ⇣ 2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1) ⌘ = 1 2 · 2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1) p 5 = 1 2 · 35 2 ˆ35 + ˆ2 p 5 = 1 2 35 ˆ35 p 5 2 ˆ2 p 5 !

問2: 偶数のフィボナッチ数 11 X k=1 F3k = 1 p 5 3( 33 1) 2 ˆ3(ˆ33 1) 2ˆ ! = 1 2 · 1 p 5 ⇣ 2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1) ⌘ = 1 2 · 2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1) p 5 = 1 2 · 35 2 ˆ35 + ˆ2 p 5 = 1 2 35 ˆ35 p 5 2 ˆ2 p 5 !

問2: 偶数のフィボナッチ数 11 X k=1 F3k = 1 p 5 3( 33 1) 2 ˆ3(ˆ33 1) 2ˆ ! = 1 2 · 1 p 5 ⇣ 2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1) ⌘ = 1 2 · 2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1) p 5 = 1 2 · 35 2 ˆ35 + ˆ2 p 5 = 1 2 35 ˆ35 p 5 2 ˆ2 p 5 !

問2: 偶数のフィボナッチ数 答えが見えてきました。この式、わかりますか？ 1 2 35 ˆ35 p 5 2 ˆ2 p 5 !

問2: 偶数のフィボナッチ数 答えが見えてきました。この式、わかりますか？ ↓ ↓ 1 2 35 ˆ35 p 5 2 ˆ2 p 5 ! F35 F2

問2: 偶数のフィボナッチ数 答えが見えてきました。この式、わかりますか？ ↓ ↓ 1 2 35 ˆ35 p 5 2 ˆ2 p 5 ! F35 F2 11 X k=1 F3k = 1 2 (F35 F2) つまり 4000000 を超えないフィボナッチ数の偶数項の和 はこうなります。

問2: 偶数のフィボナッチ数 お疲れ様でした

問2: 偶数のフィボナッチ数 おまけ F35 = 35 ˆ 35 p 5 = 1 p 5 8 < : 1 + p 5 2 !35 1 p 5 2 !35 9 = ;

問2: 偶数のフィボナッチ数 おまけ F35 = 35 ˆ 35 p 5 = 1 p 5 8 < : 1 + p 5 2 !35 1 p 5 2 !35 9 = ; (1 + p 5)35 = 35C0135 p 5 0 + 35C1134 p 5 1 + · · · + 35C3411 p 5 34 + 35C3510 p 5 35

問2: 偶数のフィボナッチ数 おまけ F35 = 35 ˆ 35 p 5 = 1 p 5 8 < : 1 + p 5 2 !35 1 p 5 2 !35 9 = ; (1 + p 5)35 = 35C0135 p 5 0 + 35C1134 p 5 1 + · · · + 35C3411 p 5 34 + 35C3510 p 5 35 = 35C0 + · · · + 35C34517 +35C35517 p 5 +35C150 p 5

問2: 偶数のフィボナッチ数 おまけ F35 = 35 ˆ 35 p 5 = 1 p 5 8 < : 1 + p 5 2 !35 1 p 5 2 !35 9 = ; (1 + p 5)35 = 35C0135 p 5 0 + 35C1134 p 5 1 + · · · + 35C3411 p 5 34 + 35C3510 p 5 35 = 35C0 + · · · + 35C34517 +35C35517 p 5 +35C150 p 5 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) + p 5(· · · ) 整数部 無理数部

問2: 偶数のフィボナッチ数 おまけ F35 = 35 ˆ 35 p 5 = 1 p 5 8 < : 1 + p 5 2 !35 1 p 5 2 !35 9 = ; (1 + p 5)35 = 35C0135 p 5 0 + 35C1134 p 5 1 + · · · + 35C3411 p 5 34 + 35C3510 p 5 35 = 35C0 + · · · + 35C34517 +35C35517 p 5 +35C150 p 5 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) + p 5(· · · ) (1 p 5)35 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) p 5(· · · ) 整数部 無理数部 整数部 無理数部

問2: 偶数のフィボナッチ数 おまけ F35 = 35 ˆ 35 p 5 = 1 p 5 8 < : 1 + p 5 2 !35 1 p 5 2 !35 9 = ; (1 + p 5)35 = 35C0135 p 5 0 + 35C1134 p 5 1 + · · · + 35C3411 p 5 34 + 35C3510 p 5 35 = 35C0 + · · · + 35C34517 +35C35517 p 5 +35C150 p 5 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) + p 5(· · · ) (1 p 5)35 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) p 5(· · · ) 整数部 無理数部 整数部 無理数部

問2: 偶数のフィボナッチ数 おまけ F35 = 35 ˆ 35 p 5 = 1 p 5 8 < : 1 + p 5 2 !35 1 p 5 2 !35 9 = ; (1 + p 5)35 = 35C0135 p 5 0 + 35C1134 p 5 1 + · · · + 35C3411 p 5 34 + 35C3510 p 5 35 = 35C0 + · · · + 35C34517 +35C35517 p 5 +35C150 p 5 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) + p 5(· · · ) (1 p 5)35 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) p 5(· · · ) 整数部 無理数部 整数部 無理数部 (1 + p 5)35 (1 p 5)35 = 2 p 5(· · · )

問2: 偶数のフィボナッチ数 おまけ F35 = 35 ˆ 35 p 5 = 1 p 5 8 < : 1 + p 5 2 !35 1 p 5 2 !35 9 = ; (1 + p 5)35 = 35C0135 p 5 0 + 35C1134 p 5 1 + · · · + 35C3411 p 5 34 + 35C3510 p 5 35 = 35C0 + · · · + 35C34517 +35C35517 p 5 +35C150 p 5 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) + p 5(· · · ) (1 p 5)35 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) p 5(· · · ) 整数部 無理数部 整数部 無理数部 (1 + p 5)35 (1 p 5)35 = 2 p 5(· · · )

問2: 偶数のフィボナッチ数 おまけ F35 = 35 ˆ 35 p 5 = 1 p 5 8 < : 1 + p 5 2 !35 1 p 5 2 !35 9 = ; (1 + p 5)35 = 35C0135 p 5 0 + 35C1134 p 5 1 + · · · + 35C3411 p 5 34 + 35C3510 p 5 35 = 35C0 + · · · + 35C34517 +35C35517 p 5 +35C150 p 5 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) + p 5(· · · ) (1 p 5)35 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) p 5(· · · ) 整数部 無理数部 整数部 無理数部 (1 + p 5)35 (1 p 5)35 = 2 p 5(· · · )

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