数学とプログラミングの世界を楽しもう〜プロジェクトオイラー〜

数学とプログラミングの
世界を楽しもう
プログラマのための数学勉強会@福岡
2015.09.04
@tkengo

View Slide

立石賢吾
Twitter : @tkengo
github : @tkengo
RubyとJavaScriptが好きです。でも、トトロの方が
もっと好きです。

View Slide

Project Euler

View Slide

Project Euler
計算問題をプログラミングを使って
解いて答えを入力するサイト。

View Slide

Project Euler
•全ての問題は一般的なスペックのPCで1分以内で解ける。
•でも、別に1分以上かかっても答えが出ればOK。
•正解後にフォーラム上で他人の解答を閲覧可能。
•問題を解く度にレベルが上ったりアワードをもらえたり。

View Slide

問題紹介

View Slide

3と5の倍数

View Slide

10未満の3または5の倍数である自然数には3, 5, 6, 9が
あり、それらの合計は23である。
では、1000未満の3または5の倍数の全ての自然数の合
計を求めよ。
問1: 3と5の倍数

View Slide

1000未満の3または5の倍数の全ての自然数の合計とは
つまり...
3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 + ...

View Slide

つまり...
3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 + ...
( 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ...)
= (①3の倍数の合計)

View Slide

つまり...
3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 + ...
( 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ...)
=
+ ( 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + ...)
(①3の倍数の合計)
(②5の倍数の合計)

View Slide

つまり...
3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 + ...
( 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ...)
=
+ ( 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + ...)
- (15 + 30 + 45 + ...)
(③15の倍数の合計)
※①と②で2回足し上げてる
のを相殺するために引く

View Slide

つまり...
3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 + ...
( 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ...)
=
+ ( 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + ...)
- (15 + 30 + 45 + ...)
=
(③15の倍数の合計)
※①と②で2回足し上げてる
のを相殺するために引く
N(3)
X
k=1
3k +
N(5)
X
k=1
5k
N(15)
X
k=1
15k
✓
N(d) =

1000 1
d
◆

View Slide

各項が一定数ずつ増えていく数列のことを等比数列と言
いますね。等比数列の和というと...
例: 3 ずつ増えていく数列(公差 d = 3)

View Slide

= 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999
S3

View Slide

= 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999
= 999 + 996 + 993 + ... + 6 + 3
S3
S3

View Slide

= 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999
= 999 + 996 + 993 + ... + 6 + 3
+
S3
S3

View Slide

= 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999
= 999 + 996 + 993 + ... + 6 + 3
= 1002 + 1002 + 1002 + ... + 1002 + 1002
+
S3
S3
2S3

View Slide

= 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999
= 999 + 996 + 993 + ... + 6 + 3
= 1002 + 1002 + 1002 + ... + 1002 + 1002
(= 333) 個
+

1000 1
3
S3
S3
2S3

View Slide

= 3 + 6 + 9 + ... + 996 + 999
= 999 + 996 + 993 + ... + 6 + 3
= 1002 + 1002 + 1002 + ... + 1002 + 1002
+
(= 333) 個

1000 1
3
S3
S3
2S3
S3 =
1
2
· 1002 · 333 = 501 · 333 = 166833

View Slide

一般的に公差 d の数列が n 個ある場合の総和は、以下の
ようにして計算できますね。
例: d ずつ増えていく数列(公差 d)
= d + 2d + ... + (n-1)d + nd
Sn

View Slide

= d + 2d + ... + (n-1)d + nd
Sn
= nd + (n-1)d + ... + 2d + d
Sn

View Slide

= d + 2d + ... + (n-1)d + nd
Sn
= nd + (n-1)d + ... + 2d + d
Sn
+

View Slide

= d + 2d + ... + (n-1)d + nd
Sn
= nd + (n-1)d + ... + 2d + d
Sn
= (n+1)d + (n+1)d + ... + (n+1)d + (n+1)d
2Sn
+

View Slide

= d + 2d + ... + (n-1)d + nd
Sn
= nd + (n-1)d + ... + 2d + d
Sn
= (n+1)d + (n+1)d + ... + (n+1)d + (n+1)d
2Sn
n 個
+

View Slide

= d + 2d + ... + (n-1)d + nd
Sn
= nd + (n-1)d + ... + 2d + d
Sn
= (n+1)d + (n+1)d + ... + (n+1)d + (n+1)d
2Sn
n 個
+
Sn =
1
2
· (n + 1)d · n =
n(n + 1)d
2

View Slide

等差数列の和の公式を使うと...
N(3)
X
k=1
3k +
N(5)
X
k=1
5k
N(15)
X
k=1
15k
✓
N(d) =

1000 1
d
◆

View Slide

等差数列の和の公式を使うと...
N(3)
X
k=1
3k +
N(5)
X
k=1
5k
N(15)
X
k=1
15k
✓
N(d) =

1000 1
d
◆
=
N(3)((N(3) + 1)3
2
+
N(5)(N(5) + 1)5
2
N(15)(N(15) + 1)15
2

View Slide

自乗の合計の差

View Slide

問6: 自乗の合計の差
最初の10個の自然数の”自乗の総和”は
最初の10個の自然数の”総和の自乗”は
これらの差は　　　　　　　　である。
では、最初の100個の自然数の”自乗の総和”と”総和の自
乗”の差を求めよ。
12 + 22 + · · · + 102 = 385
(1 + 2 + · · · + 10)2 = 552 = 3025
3025 385 = 2640

View Slide

総和の自乗は、問1で求めた等差数列の和の公式が適用
できますね。
(1 + 2 + · · · + 99 + 100)2 =
✓
100(100 + 1)
2
◆2

View Slide

自乗の総和は別途公式があるので求めてみます。n = 4
までを計算してみると...
12 + 22 + 32 + 42

View Slide

= 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4)
= 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1)
= 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4)
12 + 22 + 32 + 42
9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9)

View Slide

= 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4)
= 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1)
= 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4)
12 + 22 + 32 + 42
9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9)
2 · 4 + 1 = 9

View Slide

= 1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + (4 + 4 + 4 + 4)
= 4 + (4 + 3) + (4 + 3 + 2) + (4 + 3 + 2 + 1)
= 4 + (3 + 4) + (2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4)
12 + 22 + 32 + 42
9 + (9 + 9) + (9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9)
1+2+3+4個(つまりn=4までの等差数列の和) 個
=
4(4 + 1)
2
= 10

View Slide

とおくと、前頁の結果から
S4 = 12 + 22 + 32 + 42
3S4 = (2 · 4 + 1) ·
4(4 + 1)
2
となるのがわかります。

View Slide

S4 = 12 + 22 + 32 + 42
3S4 = (2 · 4 + 1) ·
4(4 + 1)
2
この 4 を n に一般化してみると
3Sn = (2n + 1) ·
n(n + 1)
2
となります。

View Slide

S4 = 12 + 22 + 32 + 42
3S4 = (2 · 4 + 1) ·
4(4 + 1)
2
この 4 を n に一般化してみると
3Sn = (2n + 1) ·
n(n + 1)
2
となります。整理すると
Sn =
n(n + 1)(2n + 1)
6

View Slide

まとめると
n
X
k=1
k2 = 12 + 22 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
n
X
k=1
k = 1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
2

View Slide

まとめると
n
X
k=1
k2 = 12 + 22 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
n
X
k=1
k = 1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
2
(1 + 2 + · · · + 100)2 =
✓
100(100 + 1)
2
◆2
12 + 22 + · · · + 1002 =
100(100 + 1)(2 · 100 + 1)
6

View Slide

自身のべき乗

View Slide

問48: 自身のべき乗
11 + 22 + 33 + · · · + 1010 = 10405071317
である。では以下の級数の下10桁を求めよ。
11 + 22 + 33 + · · · + 10001000

View Slide

いつものように n = 1000 における以下の数列の和を求
めてみる。
11 + 22 + 33 + · · · + nn

View Slide

•n = 1000 とかなると桁がものすごいことになる。
•C言語とかだと完全に桁あふれする。
•実際に n = 1000 の時を計算してみると...

View Slide

100036819914469517709537501122764679556779368062293465458376098810023491074771619438142865909952784594586994264319129089472034
297990640767964725986043423846803832604080969103761537037623771364851006311573295146177424670558426686575960181584366644283228
455688031311454815153919097539848549664557651346585858271233640116622195618817344953167410268890832176466302030669977040862534
076609159502279137936809836930637560281385664635877375155877521346022579657984658333400734935862434233933298133457123788880928
310334876026136017595081560917946402687100524365210998086355214201424290343406856093657323107934219403186441391810123815105650
926739351576039284247250139159407346300152184381107376702171102630750469573346789782186690664846982834660741296739580179779168
360983472243224195284535256468186824036956956619282555532355807806199752768998384886337478678933158156525205917261433942460098
614325923316758337107036262555453185205416611714885822950858158961433759446327755438051838092130121883632710223140733220110974
010258021646929833176692061964608379073280762736061442808517156500628972850868896422679964719258292405858953075067457838536556
187855958968575622569234891474692281091391561983475411764835803581412867029415856566994208773628639094224154722601500447133063
011307204270428890504214262819377191859457430220214720118848634591319083375230747696601054742392887106311878302603638131903905
200825207205793366671291894623331279369709407422418787204597097644430924278218773832025749008082433007499169869823956112581112
760786390035522173784669056770734407449414526666210383981284021630344847691395707235573271662709837224522304679291974725911315
742582406485833141540094327821304295463505357404520998451222126424190355017841682455141254863759000777908253928824775165356689
988274959440589510258798553952770949351004954644542726561747839910718823868177121590423411939224748975107908594805594509880561
796372292846955426378221762516042800822884555254034449486019526711518709222776619575390721112664615014061474423397476527347561
996431185285861416781966834012473048771016200679352998575882065367727437956331349545452663271872348233949482575982107640169431
604345651211793793545646352146302119772669498355892913235757618859497751663073421286386945616420552553676731129813718251149464
946366307375921921305682356166777609373942574288393071260996216346408803882656913203216069263720618308594298797368458427649178
484311547207790040169259569411927355351102599126544603936628892174358133320008371710524117150460688354341886202404755217705526
342446950129890590193815824593863369410502481516667981368915666834119771347509438990488712679446890189385047505001120522574245
555562575056021323038791033798395033324502065323898911550701388295627776388079568721085719649389314265671310596627542214460598
805893960060360422692140140209651929425048867029798339635327946045314237554226788198919748178978067895509376319365860369089847
4826976906544473978017455720367929981796023041785852626797271283465789498383642350667978127819110846700
•n = 1000 とかなると桁がものすごいことになる。
•C言語とかだと完全に桁あふれする。
•実際に n = 1000 の時を計算してみると...

View Slide

mod

View Slide

5
1 ⌘
5(mod9)

View Slide

5
1 ⌘
5(mod9)
5
2 ⌘
5
1 ·
5 = 5
·
5 = 25
⌘
7(mod9)

View Slide

5
1 ⌘
5(mod9)
5
2 ⌘
5
1 ·
5 = 5
·
5 = 25
⌘
7(mod9)
5
3 ⌘
5
2 ·
5 = 7
·
5 = 35
⌘
8(mod9)

View Slide

5
1 ⌘
5(mod9)
5
2 ⌘
5
1 ·
5 = 5
·
5 = 25
⌘
7(mod9)
5
3 ⌘
5
2 ·
5 = 7
·
5 = 35
⌘
8(mod9)
5
4 ⌘
5
3 ·
5 = 8
·
5 = 40
⌘
4(mod9)

View Slide

5
1 ⌘
5(mod9)
5
2 ⌘
5
1 ·
5 = 5
·
5 = 25
⌘
7(mod9)
5
3 ⌘
5
2 ·
5 = 7
·
5 = 35
⌘
8(mod9)
5
4 ⌘
5
3 ·
5 = 8
·
5 = 40
⌘
4(mod9)
5
5 ⌘
5
4 ·
5 = 4
·
5 = 20
⌘
2(mod9)

View Slide

下10桁を求めればよいのでの世界で計算して
いけばOK。最大でも未満の数にし
かならない。
mod10
10
1010 = 10000000000

View Slide

偶数の
フィボナッチ数

View Slide

問2: 偶数のフィボナッチ数
フィボナッチ数列の各項は前の2つの項から生成され
る。最初の項が1, 2から始まるとすると、最初の10項は
以下のようになる。
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89
400万を超えないフィボナッチ数列を考える時、偶数値
の合計を求めよ。

View Slide

フィボナッチ数列の一般項を求めてみます。
一般に、前の項によって次の項の値が決まるものを漸化
式、特にフィボナッチ数列のように前の2つの項によっ
て次の項の値が決まるものを三項間漸化式といいます
ね。

View Slide

漸化式の解き方は
•特性方程式を解く
•行列を使って解く
の2種類がありますが、行列を使った解き方の方が面白
いのでそちらの方法で求めてみます。

View Slide

まず、フィボナッチ数列は以下のように表せますね。
F0 = 0, F1 = 1
※問題文では初項が 1, 2 になっていますが 0, 1 の方が計算しやすいのでこうします。
Fn = Fn 2 + Fn 1(n > 1)

View Slide

✓
F1
F2
◆
=
✓
0 1
1 1
◆ ✓
F0
F1
◆
=
✓
F1
F0 + F1
◆
行列を使っても表せます。
F0 = 0, F1 = 1

View Slide

✓
F1
F2
◆
=
✓
0 1
1 1
◆ ✓
F0
F1
◆
=
✓
F1
F0 + F1
◆
F0 = 0, F1 = 1

View Slide

✓
F1
F2
◆
=
✓
0 1
1 1
◆ ✓
F0
F1
◆
=
✓
F1
F0 + F1
◆
F0 = 0, F1 = 1
✓
F2
F3
◆
=
✓
0 1
1 1
◆ ✓
F1
F2
◆
=
✓
0 1
1 1
◆ ✓
0 1
1 1
◆ ✓
F0
F1
◆

View Slide

✓
F1
F2
◆
=
✓
0 1
1 1
◆ ✓
F0
F1
◆
=
✓
F1
F0 + F1
◆
F0 = 0, F1 = 1
✓
F2
F3
◆
=
✓
0 1
1 1
◆ ✓
F1
F2
◆
=
✓
0 1
1 1
◆ ✓
0 1
1 1
◆ ✓
F0
F1
◆
=
✓
0 1
1 1
◆2
✓
F0
F1
◆

View Slide

一般化してみると
という風に表すことができます。
F0 = 0, F1 = 1
✓
Fn
Fn+1
◆
=
✓
0 1
1 1
◆n
✓
F0
F1
◆

View Slide

一般化してみると
という風に表すことができます。
F0 = 0, F1 = 1
✓
Fn
Fn+1
◆
=
✓
0 1
1 1
◆n
✓
F0
F1
◆
A =
✓
0 1
1 1
◆
と置くとを求めることができれば
Fn
を計算できそう。
An

View Slide

単純にを求めると n が大きくなった時にかなり大変
なので、ちょっと工夫します。
An

View Slide

対角行列のべき乗は簡単に求めることができますね。
⇤ =
0
B
B
B
@
1 0 . . . 0
0 2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 . . . m
1
C
C
C
A
こういう対角行列Λが
あるとすると...

View Slide

対角行列のべき乗は簡単に求めることができますね。
⇤ =
0
B
B
B
@
1 0 . . . 0
0 2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 . . . m
1
C
C
C
A
⇤n =
0
B
B
B
@
n
1
0 . . . 0
0 n
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 . . . n
m
1
C
C
C
A
こういう対角行列Λが
あるとすると...
Λのn乗はこうなる

View Slide

ここでを行列の掛け算で表してみます。
A = P⇤P 1
A =
✓
0 1
1 1
◆
⇤
( は対角行列)

View Slide

この行列 A の n 乗を計算してみると
An = (P⇤P 1)n = P⇤P 1P⇤P 1 · · · P⇤P 1 = P⇤nP 1
A = P⇤P 1
A =
✓
0 1
1 1
◆
⇤
( は対角行列)

View Slide

この行列 A の n 乗を計算してみると
An = (P⇤P 1)n = P⇤P 1P⇤P 1 · · · P⇤P 1 = P⇤nP 1
A = P⇤P 1
A =
✓
0 1
1 1
◆
⇤
( は対角行列)
となるのでべき乗の計算が簡単になります。問題はどう
やってこの都合の良い行列を見つけるか？

View Slide

P =
✓
p11 p21
p12 p22
◆
= (p1, p2)
とりあえず行列を列ベクトルの集まりとしてみます。
P

View Slide

A = P⇤P 1 の両辺の右側にをかけてみると
P
AP = P⇤
P =
✓
p11 p21
p12 p22
◆
= (p1, p2)
P
となる。

View Slide

A = P⇤P 1 の両辺の右側にをかけてみると
P
AP = P⇤
P =
✓
p11 p21
p12 p22
◆
= (p1, p2)
P
A(p1, p2) = (p1, p2)⇤
となる。を代入すると
P
となります。

View Slide

A(p1, p2) = (p1, p2)⇤
なのでは
⇤ =
✓
1 0
0 2
◆
(Ap1, Ap2) = (p1, p2)
✓
1 0
0 2
◆
= ( 1p1, 2p2)
と表せます。

View Slide

A(p1, p2) = (p1, p2)⇤
なのでは
⇤ =
✓
1 0
0 2
◆
(Ap1, Ap2) = (p1, p2)
✓
1 0
0 2
◆
= ( 1p1, 2p2)
と表せます。よって
Ap1 = 1p1
Ap2 = 2p2
ということですね。

View Slide

Ap1 = 1p1
Ap2 = 2p2
これは要するにとがの固有ベクトルということ。
A
p1 p2
A = P⇤P 1 のはの固有ベクトルを並べた行列だと
いうことがわかりました！
A
P
そして対角行列の対角要素はの固有値です！
⇤ A

View Slide

ではの固有値と固有ベクトルを求めてみます。固有値は
以下の特性多項式を解くことで求められましたね。
A
det( I A) = 0

View Slide

A
det( I A) = 0
det( I A) = det
✓✓
0
0
◆ ✓
0 1
1 1
◆◆

View Slide

A
det( I A) = 0
det( I A) = det
✓✓
0
0
◆ ✓
0 1
1 1
◆◆
= det
✓
1
1 1
◆

View Slide

A
det( I A) = 0
det( I A) = det
✓✓
0
0
◆ ✓
0 1
1 1
◆◆
= det
✓
1
1 1
◆
= · ( 1) ( 1) · ( 1)

View Slide

A
det( I A) = 0
det( I A) = det
✓✓
0
0
◆ ✓
0 1
1 1
◆◆
= det
✓
1
1 1
◆
= · ( 1) ( 1) · ( 1)
= 2 1 = 0

View Slide

あとはを解きましょう。二次方程式の解
2 1 = 0
の公式に当てはめるだけです。

View Slide

2 1 = 0
ax
2 +
bx
+
c
= 0
x
= b
±
p
b
2 4
ac
2
a
の時なので

View Slide

2 1 = 0
ax
2 +
bx
+
c
= 0
x
= b
±
p
b
2 4
ac
2
a
の時なので
=
( 1) ±
p
( 1)2 4 · 1 · ( 1)
2 · 1
=
1 ±
p
5
2
固有値が求まりました！

View Slide

1 =
1 +
p
5
2
, 2 =
1
p
5
2
とおいて
を解きましょう。
次は固有ベクトルを求めます。
Ap1 = 1p1
Ap2 = 2p2

View Slide

✓
0 1
1 1
◆ ✓
p11
p12
◆
=
✓
p12
p11 + p12
◆
=
✓
1p11
1p12
◆
なので
という連立方程式を解きます。
p12 = 1p11
p11 + p12 = 1p12

View Slide

✓
0 1
1 1
◆ ✓
p11
p12
◆
=
✓
p12
p11 + p12
◆
=
✓
1p11
1p12
◆
なので
とはいうものの既にで答えは出ています。
p12 = 1p11
p12 = 1p11
p11 + p12 = 1p12

View Slide

✓
0 1
1 1
◆ ✓
p11
p12
◆
=
✓
p12
p11 + p12
◆
=
✓
1p11
1p12
◆
なので
これはが決まれば自動的にも決まるということ。
p12 = 1p11
p11 p12
p12 = 1p11
p11 + p12 = 1p12

View Slide

✓
0 1
1 1
◆ ✓
p11
p12
◆
=
✓
p12
p11 + p12
◆
=
✓
1p11
1p12
◆
なので
これはが決まれば自動的にも決まるということ。
なので、これ全部固有ベクトルです。
p12 = 1p11
p11 p12
p12 = 1p11
p11 + p12 = 1p12
p1 =
✓
1
1
◆
, p1 =
✓
3
3 1
◆
, p1 =
✓
999
999 1
◆

View Slide

2
の方の固有ベクトルも同じ理屈です。とはいえ、計算
は簡単な方がいいので、一番単純なものを固有ベクトル
として選びます！
p1 =
✓
1
1
◆
, p2 =
✓
1
2
◆

View Slide

最初に戻ります。フィボナッチ数列は以下のように表さ
れるのでした。
✓
Fn
Fn+1
◆
=
✓
0 1
1 1
◆n
✓
F0
F1
◆

View Slide

✓
Fn
Fn+1
◆
=
✓
0 1
1 1
◆n
✓
F0
F1
◆
An = (P⇤P 1)n = P⇤nP 1
=
✓
1 1
1 2
◆ ✓
n
1
0
0 n
2
◆
1
p
5
✓
2 1
1 1
◆

View Slide

✓
Fn
Fn+1
◆
=
✓
0 1
1 1
◆n
✓
F0
F1
◆
An = (P⇤P 1)n = P⇤nP 1
=
✓
1 1
1 2
◆ ✓
n
1
0
0 n
2
◆
1
p
5
✓
2 1
1 1
◆
さっき求めた固有ベクトル

View Slide

✓
Fn
Fn+1
◆
=
✓
0 1
1 1
◆n
✓
F0
F1
◆
An = (P⇤P 1)n = P⇤nP 1
=
✓
1 1
1 2
◆ ✓
n
1
0
0 n
2
◆
1
p
5
✓
2 1
1 1
◆
さっき求めた固有ベクトル逆行列。計算過程は省略...

View Slide

✓
Fn
Fn+1
◆
=
✓
0 1
1 1
◆n
✓
F0
F1
◆
An = (P⇤P 1)n = P⇤nP 1
=
✓
1 1
1 2
◆ ✓
n
1
0
0 n
2
◆
1
p
5
✓
2 1
1 1
◆
=
1
p
5
✓
1
n
2
n
1 2
n
1
n
2
1
n+1
2
n+1
1 2
n+1
1
n+1
2
◆

View Slide

✓
Fn
Fn+1
◆
=
1
p
5
✓
1
n
2
n
1 2
n
1
n
2
1
n+1
2
n+1
1 2
n+1
1
n+1
2
◆ ✓
F0
F1
◆
=
1
p
5
✓
1
n
2
n
1 2
n
1
n
2
1
n+1
2
n+1
1 2
n+1
1
n+1
2
◆ ✓
0
1
◆
となります。

View Slide

✓
Fn
Fn+1
◆
=
1
p
5
✓
1
n
2
n
1 2
n
1
n
2
1
n+1
2
n+1
1 2
n+1
1
n+1
2
◆ ✓
F0
F1
◆
=
1
p
5
✓
1
n
2
n
1 2
n
1
n
2
1
n+1
2
n+1
1 2
n+1
1
n+1
2
◆ ✓
0
1
◆
となります。今はが欲しいので1行目だけ計算します。
Fn
Fn =
1
p
5
(( 1
n
2
n
1 2) · 0 + ( n
1
n
2
) · 1)

View Slide

✓
Fn
Fn+1
◆
=
1
p
5
✓
1
n
2
n
1 2
n
1
n
2
1
n+1
2
n+1
1 2
n+1
1
n+1
2
◆ ✓
F0
F1
◆
=
1
p
5
✓
1
n
2
n
1 2
n
1
n
2
1
n+1
2
n+1
1 2
n+1
1
n+1
2
◆ ✓
0
1
◆
となります。今はが欲しいので1行目だけ計算します。
Fn
=
1
p
5
( n
1
n
2
) =
1
p
5
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
Fn =
1
p
5
(( 1
n
2
n
1 2) · 0 + ( n
1
n
2
) · 1)

View Slide

ということでフィボナッチ数列の一般項は
Fn =
1
p
5
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
という式だとわかりました！
F0 = 0, F1 = 1
初項をとした場合

View Slide

ということでフィボナッチ数列の一般項は
Fn =
1
p
5
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
という式だとわかりました！
もう少し頑張ります！
F0 = 0, F1 = 1
初項をとした場合

View Slide

問題文で400万を超えないフィボナッチ数とありましたが
n がいくつで400万を超えるか計算してみます。
Fn =
1
p
5
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
> 4000000

View Slide

Fn =
1
p
5
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
> 4000000
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
> 4000000
p
5

View Slide

Fn =
1
p
5
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
> 4000000
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
> 4000000
p
5
この両辺の対数をとってみます。

View Slide

log
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
>
log 4000000
p
5

View Slide

この式の左辺の第二項は n が大きくなると 0 に近づくので
簡単のため無視します。
log
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
>
log 4000000
p
5

View Slide

log
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
>
log 4000000
p
5
log
1 +
p
5
2
!n
>
log 4000000
p
5

View Slide

log
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
>
log 4000000
p
5
log
1 +
p
5
2
!n
>
log 4000000
p
5
n
log
1 +
p
5
2
!
>
log 4000000
p
5

View Slide

では両辺の対数を実際に計算してみます。
= 0.6020 + 6 + 0.3495
= 6.9515
log 4000000
p
5
= log 2
2 ·
10
6 ·
5
1
2
= 2 log 2 + 6 log 10 + 0
.
5 log 5
= 2 · 0.301 + 6 · 1 + 0.5 · 0.699
log
1 +
p
5
2
!
= log
✓
1 + 2
.
236
2
◆
= log
✓
3
.
236
2
◆
= log 1
.
618
= 0.2068

View Slide

よって 4000000 より大きい n は
n
log
1 +
p
5
2
!
>
log 4000000
p
5
0.2068n > 6.9515
n > 33.2607 · · ·

View Slide

よって 4000000 より大きい n は
n
log
1 +
p
5
2
!
>
log 4000000
p
5
0.2068n > 6.9515
n > 33.2607 · · ·
n は整数なのでが 4000000 を超えない最大のフィボ
ナッチ数。(n が 0 から始まる場合)
F33

View Slide

までの偶数の和を考えてみます。数列を眺めてると
F33
F0 = 0
F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3
F5 = 5
F6 = 8
F7 = 13
F8 = 21
F9 = 34

View Slide

F33
F0 = 0
F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3
F5 = 5
F6 = 8
F7 = 13
F8 = 21
F9 = 34
偶数
偶数
偶数

View Slide

どうも n が 3 の倍数の時が偶数っぽい。
F33
F0 = 0
F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3
F5 = 5
F6 = 8
F7 = 13
F8 = 21
F9 = 34
偶数
偶数
偶数

View Slide

Fn =
1
p
5
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
今ですが、
長ったらしいので、以下のように置き換えます。
=
1 +
p
5
2
, ˆ =
1
p
5
2
※ちなみにっていうの
　は黄金比としてよく知ら
　れてますね。

View Slide

Fn =
1
p
5
(
1 +
p
5
2
!n
1
p
5
2
!n
)
今ですが、
長ったらしいので、以下のように置き換えます。
すると以下のように表せます。
=
1 +
p
5
2
, ˆ =
1
p
5
2
※ちなみにっていうの
　は黄金比としてよく知ら
　れてますね。
Fn =
n ˆn
p
5

View Slide

n が 3 の倍数のフィボナッチ数列の和を考えてみると
F3 + F6 + · · · + F30 + F33 =
11
X
k=1
F3k

View Slide

これに一般項を代入してみると
F3 + F6 + · · · + F30 + F33 =
11
X
k=1
F3k
11
X
k=1
F3k =
11
X
k=1
3k ˆ3k
p
5
=
1
p
5
11
X
k=1
3k
11
X
k=1
ˆ3k
!

View Slide

なんかこれ、等比級数っぽくないですか？
これに一般項を代入してみると
F3 + F6 + · · · + F30 + F33 =
11
X
k=1
F3k
11
X
k=1
F3k =
11
X
k=1
3k ˆ3k
p
5
=
1
p
5
11
X
k=1
3k
11
X
k=1
ˆ3k
!

View Slide

等比級数にはこういう公式がありますよね。
これを代入してみましょう。
n
X
k=1
ark 1 =
a(rn 1)
r 1

View Slide

※ とするとこうなります。の場合も同じ。
n
X
k=1
ark 1 =
a(rn 1)
r 1
a = 3, r = 3 ˆ
11
X
k=1
F3k =
1
p
5
3(( 3)11 1)
3 1
ˆ3((ˆ3)11 1)
ˆ3 1
!

View Slide

※ とするとこうなります。の場合も同じ。
ここで、カッコの中の分数の式をまとめたい衝動に駆られ
ます。でも分母の値が違うのでまとめれない・・・
n
X
k=1
ark 1 =
a(rn 1)
r 1
a = 3, r = 3 ˆ
11
X
k=1
F3k =
1
p
5
3(( 3)11 1)
3 1
ˆ3((ˆ3)11 1)
ˆ3 1
!

View Slide

さて、ここではの解でしたよねー？
固有値を求めるとこでやりました。と、いうことは
, ˆ
x
2
x
1 = 0
2 1 = 0

View Slide

, ˆ
x
2
x
1 = 0
2 1 = 0
2 = + 1
この式から以下の式が導かれます。

View Slide

, ˆ
x
2
x
1 = 0
2 1 = 0
2 = + 1
3 = 2 + = + 1 + = 2 + 1

View Slide

, ˆ
x
2
x
1 = 0
2 1 = 0
2 = + 1
3 = 2 + = + 1 + = 2 + 1
つまりこういうことです。
3 1 = 2 ※ も同じ理屈です。
ˆ

View Slide

11
X
k=1
F3k =
1
p
5
3( 33 1)
2
ˆ3(ˆ33 1)
2ˆ
!
=
1
2
·
1
p
5
⇣
2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1)
⌘
=
1
2
·
2( 33 1) ˆ2(ˆ33 1)
p
5
=
1
2
·
35 2 ˆ35 + ˆ2
p
5
=
1
2
35 ˆ35
p
5
2 ˆ2
p
5
!

View Slide

答えが見えてきました。この式、わかりますか？
1
2
35 ˆ35
p
5
2 ˆ2
p
5
!

View Slide

↓ ↓
1
2
35 ˆ35
p
5
2 ˆ2
p
5
!
F35 F2

View Slide

↓ ↓
1
2
35 ˆ35
p
5
2 ˆ2
p
5
!
F35 F2
11
X
k=1
F3k =
1
2
(F35 F2)
つまり 4000000 を超えないフィボナッチ数の偶数項の和
はこうなります。

View Slide

お疲れ様でした

View Slide

問2: 偶数のフィボナッチ数おまけ
F35 =
35 ˆ
35
p
5
=
1
p
5
8
<
:
1 +
p
5
2
!35
1
p
5
2
!35
9
=
;

View Slide

F35 =
35 ˆ
35
p
5
=
1
p
5
8
<
:
1 +
p
5
2
!35
1
p
5
2
!35
9
=
;
(1 +
p
5)35 = 35C0135
p
5
0
+ 35C1134
p
5
1
+ · · · + 35C3411
p
5
34
+ 35C3510
p
5
35

View Slide

F35 =
35 ˆ
35
p
5
=
1
p
5
8
<
:
1 +
p
5
2
!35
1
p
5
2
!35
9
=
;
(1 +
p
5)35 = 35C0135
p
5
0
+ 35C1134
p
5
1
+ · · · + 35C3411
p
5
34
+ 35C3510
p
5
35
= 35C0
+ · · · + 35C34517
+35C35517
p
5
+35C150
p
5

View Slide

F35 =
35 ˆ
35
p
5
=
1
p
5
8
<
:
1 +
p
5
2
!35
1
p
5
2
!35
9
=
;
(1 +
p
5)35 = 35C0135
p
5
0
+ 35C1134
p
5
1
+ · · · + 35C3411
p
5
34
+ 35C3510
p
5
35
= 35C0
+ · · · + 35C34517
+35C35517
p
5
+35C150
p
5
= (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) +
p
5(· · · )
整数部無理数部

View Slide

F35 =
35 ˆ
35
p
5
=
1
p
5
8
<
:
1 +
p
5
2
!35
1
p
5
2
!35
9
=
;
(1 +
p
5)35 = 35C0135
p
5
0
+ 35C1134
p
5
1
+ · · · + 35C3411
p
5
34
+ 35C3510
p
5
35
= 35C0
+ · · · + 35C34517
+35C35517
p
5
+35C150
p
5
= (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) +
p
5(· · · )
(1
p
5)35 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517)
p
5(· · · )

View Slide

F35 =
35 ˆ
35
p
5
=
1
p
5
8
<
:
1 +
p
5
2
!35
1
p
5
2
!35
9
=
;
(1 +
p
5)35 = 35C0135
p
5
0
+ 35C1134
p
5
1
+ · · · + 35C3411
p
5
34
+ 35C3510
p
5
35
= 35C0
+ · · · + 35C34517
+35C35517
p
5
+35C150
p
5
= (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517) +
p
5(· · · )
(1
p
5)35 = (35C050 + 35C251 + · · · + 35C32516 + 35C34517)
p
5(· · · )
(1 +
p
5)35 (1
p
5)35 = 2
p
5(· · · )

View Slide

数学とプログラミングの
世界を楽しもう
おわり

View Slide

数学とプログラミングの世界を楽しもう〜プロジェクトオイラー〜

数学とプログラミングの世界を楽しもう〜プロジェクトオイラー〜

けんご

More Decks by けんご

Other Decks in Programming

Featured

Transcript