計算情報学研究室 （数理情報学第７研究室） 岩田 覚 谷川 眞一 五十嵐歩美 坂上晋作 大城泰平

計算手法を軸とした 分野横断型研究の展開 離散最適化 連続最適化 圧縮センシング 化学情報 機械学習 エネルギー システム 線形計算 情報通信 回路・プラント シミュレーション メカニズムデザイン

離散最適化法 • 解き易い問題 （最大流問題，最小木問題） アルゴリズムの高速化 一般的な枠組 • 解き難い問題 （巡回セールスマン問題） 近似アルゴリズム メタヒューリスティック 厳密解法 （分枝限定法，切除平面法） 劣モジュラ関数

劣モジュラ関数 • ネットワークのカット容量関数 • 行列の階数関数 • 多元情報源のエントロピー関数 ) ( ) ( ) ( ) ( Y X f Y X f Y f X f È + Ç ³ + V Y X Í " , V X Y R 2 : ® V f : V 有限集合

一般化固有値計算による 大域最適化手法 5 楕円体間の符号付き距離 非凸最適化問題として定式化 極値 （KKT） 条件の導出 ⇒2変数固有値問題への帰着 ⇒一般化固有値問題による解法 非凸２次計画問題への拡張

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組合せ的計算幾何学 • 幾何的対象に対する計算問題を解くためのアルゴリズム基盤 – 動作計画 – 幾何的情報システム – 幾何学的モデリング(CAD) • 目標：幾何的対象に背後に潜む組合せ構造を解明したい → 効率的アルゴリズムの設計 goal

幾何的グラフ理論 • グラフの埋め込みや剛性 – センサーネットワーク位置同定, タンパク質の挙動解析, 結晶構 造の同定, ロボット制御 • 幾何的特徴を有するグラフの特徴づけ • 連続最適化問題(半正定値計画問題など)と組合せ最適化

メカニズムデザイン 9 • メカニズムデザイン: みんなが納得する妥協点を 見つけるにはどうすれば良いか – マッチング（研究室配属, 学校選択） – 投票（選挙, 市民参加型予算） – 資源配分（業務分担, 授業割当, 医療物資の配分）

メカニズムデザインとアルゴリズム 10 目標：望ましい性質を満たすメカニズム（アルゴリズム）の設計 → そのようなメカニズムを構築するための数理構造の解明 • 望ましい性質：公平性, （資源配分の）効率性, 嘘をついても 得をしない… メカニズム 例: 劣モジュラ性を 満たす選好構造 公平かつ効率的な 資源配分

決定グラフを用いた最適化手法 11 実行可能解の集合を決定グラフを用いて表現 決定グラフ上の操作で様々な実問題にアプローチ ネットワークルーティング 混雑ゲームの均衡解析 s t 1 2 3 4 5 1 Root r 2 3 3 4 5 ⊥ 実行可能解集合 決定グラフ

学習理論に基づくアルゴリズム解析 12 L/L♮凸関数最小化に対する最急降下法 の初期解のオンライン学習 𝑡 𝑠 𝑣 A*探索のヒューリスティクス Data Sketching ⋅ 高速低ランク近似の スケッチング行列 ℓ! -distance = 3 argmin Warm-start ℓ! -distance = 1 機械学習で設計 “アルゴリズム＋機械学習” の汎化誤差解析

代数計算と組合せ最適化 13 0 2 0 0 1 3 0 1 3 ' 行列の階数 ≦ 二部グラフのマッチングの最大サイズ (Edmonds 1967) 行列要素の零・非零情報から二部グラフを作る

代数計算と組合せ最適化 14 • 等号が成立するケースの研究， 他の離散構造への拡張 → 数え上げ手法へ応用 • 行列要素の非可換への拡張 → 線形微分・差分方程式系の解析へ応用 • 行列（線形方程式）から非線形方程式への拡張 → 動的システムのシミュレーション手法へ応用 𝐹! = 𝐹!"# + 𝐹!"$ 𝐴(𝑡) d𝑥 d𝑡 𝑡 + 𝐵(𝑡)𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡)

数理情報学第７研究室 http://www.opt.mist.i.u-tokyo.ac.jp 知性に裏付けられた楽観主義 合理性（最適性）の追求