計算情報学研究室(数理情報学第7研究室)岩田 覚 谷川 眞一 五十嵐歩美坂上晋作 大城泰平
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計算手法を軸とした分野横断型研究の展開離散最適化 連続最適化圧縮センシング化学情報 機械学習エネルギーシステム線形計算情報通信回路・プラントシミュレーションメカニズムデザイン
離散最適化法• 解き易い問題 (最大流問題,最小木問題)アルゴリズムの高速化一般的な枠組• 解き難い問題 (巡回セールスマン問題)近似アルゴリズムメタヒューリスティック厳密解法 (分枝限定法,切除平面法)劣モジュラ関数
劣モジュラ関数• ネットワークのカット容量関数• 行列の階数関数• 多元情報源のエントロピー関数)()()()( YXfYXfYfXf È+dz+VYX Í" ,VX YR2: ®Vf:V 有限集合
一般化固有値計算による大域最適化手法5楕円体間の符号付き距離非凸最適化問題として定式化極値 (KKT) 条件の導出⇒2変数固有値問題への帰着⇒一般化固有値問題による解法非凸2次計画問題への拡張
組合せ的計算幾何学• 幾何的対象に対する計算問題を解くためのアルゴリズム基盤– 動作計画– 幾何的情報システム– 幾何学的モデリング(CAD)• 目標:幾何的対象に背後に潜む組合せ構造を解明したい→ 効率的アルゴリズムの設計goal
幾何的グラフ理論• グラフの埋め込みや剛性– センサーネットワーク位置同定, タンパク質の挙動解析, 結晶構造の同定, ロボット制御• 幾何的特徴を有するグラフの特徴づけ• 連続最適化問題(半正定値計画問題など)と組合せ最適化
メカニズムデザイン9• メカニズムデザイン: みんなが納得する妥協点を見つけるにはどうすれば良いか– マッチング(研究室配属, 学校選択)– 投票(選挙, 市民参加型予算)– 資源配分(業務分担, 授業割当, 医療物資の配分)
メカニズムデザインとアルゴリズム10目標:望ましい性質を満たすメカニズム(アルゴリズム)の設計→ そのようなメカニズムを構築するための数理構造の解明• 望ましい性質:公平性, (資源配分の)効率性, 嘘をついても得をしない…メカニズム例: 劣モジュラ性を満たす選好構造公平かつ効率的な資源配分
決定グラフを用いた最適化手法11実行可能解の集合を決定グラフを用いて表現決定グラフ上の操作で様々な実問題にアプローチネットワークルーティング混雑ゲームの均衡解析st1 234 51 Root r23 345⊥実行可能解集合 決定グラフ
学習理論に基づくアルゴリズム解析12L/L♮凸関数最小化に対する最急降下法の初期解のオンライン学習𝑡𝑠𝑣A*探索のヒューリスティクスDataSketching ⋅高速低ランク近似のスケッチング行列ℓ!-distance = 3argminWarm-startℓ!-distance = 1機械学習で設計“アルゴリズム+機械学習” の汎化誤差解析
代数計算と組合せ最適化130 2 00 1 30 1 3'行列の階数 ≦ 二部グラフのマッチングの最大サイズ(Edmonds 1967)行列要素の零・非零情報から二部グラフを作る
代数計算と組合せ最適化14• 等号が成立するケースの研究,他の離散構造への拡張→ 数え上げ手法へ応用• 行列要素の非可換への拡張→ 線形微分・差分方程式系の解析へ応用• 行列(線形方程式)から非線形方程式への拡張→ 動的システムのシミュレーション手法へ応用𝐹!= 𝐹!"#+ 𝐹!"$𝐴(𝑡)d𝑥d𝑡𝑡 + 𝐵(𝑡)𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡)
数理情報学第7研究室http://www.opt.mist.i.u-tokyo.ac.jp知性に裏付けられた楽観主義合理性(最適性)の追求