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計算情報学研究室 (数理情報学第7研究室)紹介スライド
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Taihei Oki
April 27, 2023
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計算情報学研究室 (数理情報学第7研究室)紹介スライド
Taihei Oki
April 27, 2023
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Transcript
計算情報学研究室 (数理情報学第7研究室) 岩田 覚 谷川 眞一 五十嵐歩美 坂上晋作 大城泰平
計算手法を軸とした 分野横断型研究の展開 離散最適化 連続最適化 圧縮センシング 化学情報 機械学習 エネルギー システム 線形計算
情報通信 回路・プラント シミュレーション メカニズムデザイン
離散最適化法 • 解き易い問題 (最大流問題,最小木問題) アルゴリズムの高速化 一般的な枠組 • 解き難い問題 (巡回セールスマン問題) 近似アルゴリズム
メタヒューリスティック 厳密解法 (分枝限定法,切除平面法) 劣モジュラ関数
劣モジュラ関数 • ネットワークのカット容量関数 • 行列の階数関数 • 多元情報源のエントロピー関数 ) ( )
( ) ( ) ( Y X f Y X f Y f X f È + Ç ³ + V Y X Í " , V X Y R 2 : ® V f : V 有限集合
一般化固有値計算による 大域最適化手法 5 楕円体間の符号付き距離 非凸最適化問題として定式化 極値 (KKT) 条件の導出 ⇒2変数固有値問題への帰着 ⇒一般化固有値問題による解法
非凸2次計画問題への拡張
None
組合せ的計算幾何学 • 幾何的対象に対する計算問題を解くためのアルゴリズム基盤 – 動作計画 – 幾何的情報システム – 幾何学的モデリング(CAD) •
目標:幾何的対象に背後に潜む組合せ構造を解明したい → 効率的アルゴリズムの設計 goal
幾何的グラフ理論 • グラフの埋め込みや剛性 – センサーネットワーク位置同定, タンパク質の挙動解析, 結晶構 造の同定, ロボット制御 •
幾何的特徴を有するグラフの特徴づけ • 連続最適化問題(半正定値計画問題など)と組合せ最適化
メカニズムデザイン 9 • メカニズムデザイン: みんなが納得する妥協点を 見つけるにはどうすれば良いか – マッチング(研究室配属, 学校選択) –
投票(選挙, 市民参加型予算) – 資源配分(業務分担, 授業割当, 医療物資の配分)
メカニズムデザインとアルゴリズム 10 目標:望ましい性質を満たすメカニズム(アルゴリズム)の設計 → そのようなメカニズムを構築するための数理構造の解明 • 望ましい性質:公平性, (資源配分の)効率性, 嘘をついても 得をしない…
メカニズム 例: 劣モジュラ性を 満たす選好構造 公平かつ効率的な 資源配分
決定グラフを用いた最適化手法 11 実行可能解の集合を決定グラフを用いて表現 決定グラフ上の操作で様々な実問題にアプローチ ネットワークルーティング 混雑ゲームの均衡解析 s t 1 2
3 4 5 1 Root r 2 3 3 4 5 ⊥ 実行可能解集合 決定グラフ
学習理論に基づくアルゴリズム解析 12 L/L♮凸関数最小化に対する最急降下法 の初期解のオンライン学習 𝑡 𝑠 𝑣 A*探索のヒューリスティクス Data Sketching
⋅ 高速低ランク近似の スケッチング行列 ℓ! -distance = 3 argmin Warm-start ℓ! -distance = 1 機械学習で設計 “アルゴリズム+機械学習” の汎化誤差解析
代数計算と組合せ最適化 13 0 2 0 0 1 3 0 1
3 ' 行列の階数 ≦ 二部グラフのマッチングの最大サイズ (Edmonds 1967) 行列要素の零・非零情報から二部グラフを作る
代数計算と組合せ最適化 14 • 等号が成立するケースの研究, 他の離散構造への拡張 → 数え上げ手法へ応用 • 行列要素の非可換への拡張 →
線形微分・差分方程式系の解析へ応用 • 行列(線形方程式)から非線形方程式への拡張 → 動的システムのシミュレーション手法へ応用 𝐹! = 𝐹!"# + 𝐹!"$ 𝐴(𝑡) d𝑥 d𝑡 𝑡 + 𝐵(𝑡)𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡)
数理情報学第7研究室 http://www.opt.mist.i.u-tokyo.ac.jp 知性に裏付けられた楽観主義 合理性(最適性)の追求