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計算情報学研究室 (数理情報学第7研究室)紹介スライド

Taihei Oki
April 27, 2023

計算情報学研究室 (数理情報学第7研究室)紹介スライド

Taihei Oki

April 27, 2023
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Transcript

  1. 計算情報学研究室
    (数理情報学第7研究室)
    岩田 覚 谷川 眞一 五十嵐歩美
    坂上晋作 大城泰平

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  2. 計算手法を軸とした
    分野横断型研究の展開
    離散最適化 連続最適化
    圧縮センシング
    化学情報 機械学習
    エネルギー
    システム
    線形計算
    情報通信
    回路・プラント
    シミュレーション
    メカニズムデザイン

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  3. 離散最適化法
    • 解き易い問題 (最大流問題,最小木問題)
    アルゴリズムの高速化
    一般的な枠組
    • 解き難い問題 (巡回セールスマン問題)
    近似アルゴリズム
    メタヒューリスティック
    厳密解法 (分枝限定法,切除平面法)
    劣モジュラ関数

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  4. 劣モジュラ関数
    • ネットワークのカット容量関数
    • 行列の階数関数
    • 多元情報源のエントロピー関数
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    ( Y
    X
    f
    Y
    X
    f
    Y
    f
    X
    f È
    +
    Ç
    ³
    +
    V
    Y
    X Í
    " ,
    V
    X Y
    R
    2
    : ®
    V
    f
    :
    V 有限集合

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  5. 一般化固有値計算による
    大域最適化手法
    5
    楕円体間の符号付き距離
    非凸最適化問題として定式化
    極値 (KKT) 条件の導出
    ⇒2変数固有値問題への帰着
    ⇒一般化固有値問題による解法
    非凸2次計画問題への拡張

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  7. 組合せ的計算幾何学
    • 幾何的対象に対する計算問題を解くためのアルゴリズム基盤
    – 動作計画
    – 幾何的情報システム
    – 幾何学的モデリング(CAD)
    • 目標:幾何的対象に背後に潜む組合せ構造を解明したい
    → 効率的アルゴリズムの設計
    goal

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  8. 幾何的グラフ理論
    • グラフの埋め込みや剛性
    – センサーネットワーク位置同定, タンパク質の挙動解析, 結晶構
    造の同定, ロボット制御
    • 幾何的特徴を有するグラフの特徴づけ
    • 連続最適化問題(半正定値計画問題など)と組合せ最適化

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  9. メカニズムデザイン
    9
    • メカニズムデザイン: みんなが納得する妥協点を
    見つけるにはどうすれば良いか
    – マッチング(研究室配属, 学校選択)
    – 投票(選挙, 市民参加型予算)
    – 資源配分(業務分担, 授業割当, 医療物資の配分)

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  10. メカニズムデザインとアルゴリズム
    10
    目標:望ましい性質を満たすメカニズム(アルゴリズム)の設計
    → そのようなメカニズムを構築するための数理構造の解明
    • 望ましい性質:公平性, (資源配分の)効率性, 嘘をついても
    得をしない…
    メカニズム
    例: 劣モジュラ性を
    満たす選好構造
    公平かつ効率的な
    資源配分

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  11. 決定グラフを用いた最適化手法
    11
    実行可能解の集合を決定グラフを用いて表現
    決定グラフ上の操作で様々な実問題にアプローチ
    ネットワークルーティング
    混雑ゲームの均衡解析
    s
    t
    1 2
    3
    4 5
    1 Root r
    2
    3 3
    4
    5

    実行可能解集合 決定グラフ

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  12. 学習理論に基づくアルゴリズム解析
    12
    L/L♮凸関数最小化に対する最急降下法
    の初期解のオンライン学習
    𝑡
    𝑠
    𝑣
    A*探索のヒューリスティクス
    Data
    Sketching ⋅
    高速低ランク近似の
    スケッチング行列
    ℓ!
    -distance = 3
    argmin
    Warm-start
    ℓ!
    -distance = 1
    機械学習で設計
    “アルゴリズム+機械学習” の汎化誤差解析

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  13. 代数計算と組合せ最適化
    13
    0 2 0
    0 1 3
    0 1 3
    '
    行列の階数 ≦ 二部グラフのマッチングの最大サイズ
    (Edmonds 1967)
    行列要素の零・非零情報から二部グラフを作る

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  14. 代数計算と組合せ最適化
    14
    • 等号が成立するケースの研究,
    他の離散構造への拡張
    → 数え上げ手法へ応用
    • 行列要素の非可換への拡張
    → 線形微分・差分方程式系の解析へ応用
    • 行列(線形方程式)から非線形方程式への拡張
    → 動的システムのシミュレーション手法へ応用
    𝐹!
    = 𝐹!"#
    + 𝐹!"$
    𝐴(𝑡)
    d𝑥
    d𝑡
    𝑡 + 𝐵(𝑡)𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡)

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  15. 数理情報学第7研究室
    http://www.opt.mist.i.u-tokyo.ac.jp
    知性に裏付けられた楽観主義
    合理性(最適性)の追求

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