計算情報学研究室 （数理情報学第７研究室）紹介スライド

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1. 計算情報学研究室
   （数理情報学第７研究室）
   岩田 覚 谷川 眞一 五十嵐歩美
   坂上晋作 大城泰平
   

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2. 計算手法を軸とした
   分野横断型研究の展開
   離散最適化 連続最適化
   圧縮センシング
   化学情報 機械学習
   エネルギー
   システム
   線形計算
   情報通信
   回路・プラント
   シミュレーション
   メカニズムデザイン
   

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3. 離散最適化法
   • 解き易い問題 （最大流問題，最小木問題）
   アルゴリズムの高速化
   一般的な枠組
   • 解き難い問題 （巡回セールスマン問題）
   近似アルゴリズム
   メタヒューリスティック
   厳密解法 （分枝限定法，切除平面法）
   劣モジュラ関数
   

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4. 劣モジュラ関数
   • ネットワークのカット容量関数
   • 行列の階数関数
   • 多元情報源のエントロピー関数
   )
   (
   )
   (
   )
   (
   )
   ( Y
   X
   f
   Y
   X
   f
   Y
   f
   X
   f È
   +
   Ç
   ³
   +
   V
   Y
   X Í
   " ,
   V
   X Y
   R
   2
   : ®
   V
   f
   :
   V 有限集合
   

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5. 一般化固有値計算による
   大域最適化手法
   5
   楕円体間の符号付き距離
   非凸最適化問題として定式化
   極値 （KKT） 条件の導出
   ⇒2変数固有値問題への帰着
   ⇒一般化固有値問題による解法
   非凸２次計画問題への拡張
   

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7. 組合せ的計算幾何学
   • 幾何的対象に対する計算問題を解くためのアルゴリズム基盤
   – 動作計画
   – 幾何的情報システム
   – 幾何学的モデリング(CAD)
   • 目標：幾何的対象に背後に潜む組合せ構造を解明したい
   → 効率的アルゴリズムの設計
   goal
   

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8. 幾何的グラフ理論
   • グラフの埋め込みや剛性
   – センサーネットワーク位置同定, タンパク質の挙動解析, 結晶構
   造の同定, ロボット制御
   • 幾何的特徴を有するグラフの特徴づけ
   • 連続最適化問題(半正定値計画問題など)と組合せ最適化
   

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9. メカニズムデザイン
   9
   • メカニズムデザイン: みんなが納得する妥協点を
   見つけるにはどうすれば良いか
   – マッチング（研究室配属, 学校選択）
   – 投票（選挙, 市民参加型予算）
   – 資源配分（業務分担, 授業割当, 医療物資の配分）
   

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10. メカニズムデザインとアルゴリズム
    10
    目標：望ましい性質を満たすメカニズム（アルゴリズム）の設計
    → そのようなメカニズムを構築するための数理構造の解明
    • 望ましい性質：公平性, （資源配分の）効率性, 嘘をついても
    得をしない…
    メカニズム
    例: 劣モジュラ性を
    満たす選好構造
    公平かつ効率的な
    資源配分
    

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11. 決定グラフを用いた最適化手法
    11
    実行可能解の集合を決定グラフを用いて表現
    決定グラフ上の操作で様々な実問題にアプローチ
    ネットワークルーティング
    混雑ゲームの均衡解析
    s
    t
    1 2
    3
    4 5
    1 Root r
    2
    3 3
    4
    5
    ⊥
    実行可能解集合 決定グラフ
    

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12. 学習理論に基づくアルゴリズム解析
    12
    L/L♮凸関数最小化に対する最急降下法
    の初期解のオンライン学習
    𝑡
    𝑠
    𝑣
    A*探索のヒューリスティクス
    Data
    Sketching ⋅
    高速低ランク近似の
    スケッチング行列
    ℓ!
    -distance = 3
    argmin
    Warm-start
    ℓ!
    -distance = 1
    機械学習で設計
    “アルゴリズム＋機械学習” の汎化誤差解析
    

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13. 代数計算と組合せ最適化
    13
    0 2 0
    0 1 3
    0 1 3
    '
    行列の階数 ≦ 二部グラフのマッチングの最大サイズ
    (Edmonds 1967)
    行列要素の零・非零情報から二部グラフを作る
    

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14. 代数計算と組合せ最適化
    14
    • 等号が成立するケースの研究，
    他の離散構造への拡張
    → 数え上げ手法へ応用
    • 行列要素の非可換への拡張
    → 線形微分・差分方程式系の解析へ応用
    • 行列（線形方程式）から非線形方程式への拡張
    → 動的システムのシミュレーション手法へ応用
    𝐹!
    = 𝐹!"#
    + 𝐹!"$
    𝐴(𝑡)
    d𝑥
    d𝑡
    𝑡 + 𝐵(𝑡)𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡)
    

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15. 数理情報学第７研究室
    http://www.opt.mist.i.u-tokyo.ac.jp
    知性に裏付けられた楽観主義
    合理性（最適性）の追求
    

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