リンゴゲームと貧富の差 / Origin of the disparity of wealth

by kaityo256

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1 30 慶應義塾大学理工学部物理情報工学科渡辺宙志 2024年1月18日研究室ミーティングリンゴゲームと貧富の差

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2 30 貧富の差とは？世の中には金持ちと貧乏人がいるこれは能力の差のせいだろうか？それとも単なる運だろうか？

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3 30 リンゴゲーム (1) 一人一つずつリンゴを持つ (2) 提供者と受領者をランダムに選び、提供者から受領者にリンゴを一つ渡す (リンゴを持っていなければ何もしない) 「やりとり」を十分繰り返したらリンゴの数はどうなるか？

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4 30 10人の場合持っているリンゴの数背番号 ※ 持っているリンゴの数が多い順に並べた

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5 30 100人の場合持っているリンゴの数背番号 ※ 持っているリンゴの数が多い順に並べた

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6 30 1000人の場合持っているリンゴの数背番号 ※ 持っているリンゴの数が多い順に並べた半分以上の人がリンゴを持っていないリンゴを9個持っている人

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7 30 貧富の差最初は全員リンゴを一つずつ持っていたのに「持てる者」「持たざる者」が生まれた

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8 30 N=2の場合 1番の人 2番の人確率1/2で1番から2番へ、確率1/2で2番から1番へリンゴを渡す

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9 30 N=2の場合状態は以下の3種類 1番が2つとも持っている 2人が1つずつ持っている 2番が2つとも持っている

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10 30 マルコフ遷移図 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

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11 30 マルコフ連鎖 𝑝1 𝑡 𝑝2 𝑡 𝑝3 𝑡 1番が2つとも持っている確率 2人が1つずつ持っている確率 2番が2つとも持っている確率 tステップ目に・・・

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12 30 マルコフ連鎖 𝑝1 𝑡+1 = 1 2 𝑝1 𝑡 + 1 2 𝑝2 𝑡 𝑝2 𝑡+1 = 1 2 𝑝1 𝑡 + 1 2 𝑝3 𝑡 𝑝3 𝑡+1 = 1 2 𝑝2 𝑡 + 1 2 𝑝3 𝑡 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

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13 30 マルコフ遷移 Ԧ 𝑝𝑡+1 = 𝑀 Ԧ 𝑝𝑡 と表すと 𝑀 = 1/2 1/2 0 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2 定常状態があるなら Ԧ 𝑝∞ = 𝑀 Ԧ 𝑝∞ Ԧ 𝑝∞ は𝑀の固有値1に対応する固有ベクトル Ԧ 𝑝∞ = 1/3 1/3 1/3

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14 30 定常状態 = = Ԧ 𝑝∞ = 1/3 1/3 1/3 すべてのミクロな状態が等確率で実現する

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15 30 N=3 誰かが3つ独占している状態 x 3 誰かが2つ、誰かが1つ持っている状態 x 6 全員が1つずつ持っている状態 x 1 状態が10個あり、10状態のマルコフ遷移になる →面倒くさいマルコフ行列全体を考えずに定常状態を調べたい

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16 30 詳細つり合い一般のマルコフ遷移図の、ある2つの状態間の遷移だけに注目する

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17 30 詳細つり合い A B 𝑃(𝐴 → 𝐵) 𝑃(𝐵 → 𝐴) 𝜋(𝐴) 𝜋(𝐵) 𝜋(𝐴) 状態Aにいる確率 𝜋(𝐵) 状態Bにいる確率 𝑃(𝐴 → 𝐵) 状態AからBに遷移する確率 𝑃(𝐵 → 𝐴) 状態BからAに遷移する確率

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18 30 詳細つり合い 𝑃(𝐴 → 𝐵) 𝑃(𝐵 → 𝐴) 𝜋(𝐴) A国の人口 𝜋(𝐵) B国の人口 𝑃(𝐴 → 𝐵) 毎年、A国からB国に移住する割合 𝑃(𝐵 → 𝐴) 毎年、B国からA国に移住する割合

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19 30 詳細つり合い 𝜋(𝐴)𝑃(𝐴 → 𝐵) 毎年、A国からB国に移住する人数 𝜋(𝐵)𝑃(𝐵 → 𝐴) 毎年、B国からA国に移住する人数定常状態(人口が変わらない)なら 𝜋 𝐴 𝑃 𝐴 → 𝐵 = 𝜋 𝐵 𝑃 𝐵 → 𝐴

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20 30 詳細つり合い A B 𝑃(𝐴 → 𝐵) 𝑃(𝐵 → 𝐴) 𝜋(𝐴) 𝜋(𝐵) 定常状態において以下が成り立つ 𝜋 𝐴 𝜋 𝐵 = 𝑃 𝐵 → 𝐴 𝑃 𝐴 → 𝐵 任意の2状態間の遷移確率がわかれば定常状態の確率の比が求まる

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21 30 N=3の場合提供者に3番が選ばれ、受領者が1番である確率(1/6) 提供者に1番が選ばれ、受領者が3番である確率(1/6) リンゴゲームは、任意の遷移可能な2状態間の遷移確率は等しい逆過程

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22 30 一般のNの場合 𝜋 𝑖 𝜋 𝑗 = 𝑃 𝑗 → 𝑖 𝑃 𝑗 → 𝑖 = 1 ある2状態𝑖, 𝑗について 𝑃 𝑗 → 𝑖 = 𝑃 𝑖 → 𝑗 定常状態は ∴ 𝜋 𝑖 = 𝜋 𝑗 任意の状態𝑖, 𝑗について成り立つので 𝜋 1 = 𝜋 2 = 𝜋 3 = ⋯ すべてのミクロな状態の実現確率は等しい等重率の原理

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23 30 N=3 すべてのミクロな状態が等しい確率で実現する＝状態数に確率が比例する誰かが3つ独占している状態 x 3 誰かが2つ、誰かが1つ持っている状態 x 6 全員が1つずつ持っている状態 x 1 ↑この状態が一番実現確率が高い

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24 30 一般のNの場合全員平等な世界(状態数1) ・・・富を誰かが全て独占(状態数N) ・・・どこか中間に最も実現確率の高い世界

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25 30 一般のNの場合 𝑓𝑘 リンゴをk個持っている人の数 𝑁 リンゴの総数と人数総人口 ෍ 𝑘 𝑁 𝑓𝑘 = 𝑁 リンゴの総数 ෍ 𝑘 𝑁 𝑘𝑓𝑘 = 𝑁 上記の条件の元でエントロピーを最大化 𝑆 = ෍ 𝑘 𝑁 𝑓𝑘 log 𝑓𝑘

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26 30 一般のNの場合 kに関して連続極限をとる 𝑓𝑘 → 𝑓(𝑥) න 𝑓𝑑𝑥 = 𝑁 ෍ 𝑘 𝑁 𝑓𝑘 = 𝑁 ෍ 𝑘 𝑁 𝑘𝑓𝑘 = 𝑁 න 𝑥𝑓𝑑𝑥 = 𝑁 制約条件

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27 30 一般のNの場合 𝐹 = න 𝛽𝑥𝑓 + 𝑓log 𝑓 + 𝜆𝑓 𝑑𝑥 ラグランジュの未定定数法 න 𝑓𝑑𝑥 = 𝑁 න 𝑥𝑓𝑑𝑥 = 𝑁 リンゴの総数に関する制限を記述するラグランジュの未定定数確率の保存を記述するラグランジュの未定定数

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28 30 変分原理 𝐹 = න 𝛽𝑥𝑓 + 𝑓log 𝑓 + 𝜆𝑓 𝑑𝑥 𝛿𝐹 𝛿𝑓 = 0 𝑓 = 𝑍−1exp −𝛽𝑥 𝑍 ≡ exp 𝜆 + 1 = න exp(−𝛽𝑥) 𝑑𝑥 カノニカル分布が実現するただし𝑍は分配関数 𝛽 = 1, 𝑍 = 1/𝑁 制約条件より

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29 30 N=10の場合 𝑓 = 𝑁exp −𝑥 持っているリンゴの数人数の期待値

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30 30 まとめ現実のこの世界は・・・？ • リンゴゲームはランダムに選んだ二人でリンゴ(財産)をやりとりするゲーム • ミクロにはすべての状態が等確率で出現する →等重率の原理 • マクロには、富の独占が起きる →貧富の差 • 全く公平なルールで平等な初期条件から開始したにも関わらず、最終的には貧富の差が生まれる →誰が富むかはただの運？ • リンゴをエネルギーとみなすと粒子がエネルギーを互いにやり取りする物理系と等価となり、カノニカル分布が実現する