yukicoder 446 editorial

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1. yukicoder contest 446 解説 seekworser/ぷせうど
2. ◼ Milk ★1: AC 100人 ◼ Minahoshi (Easy) ★1.5: AC 99人 ◼ Mamehinata ★2: AC 71人 ◼ Chiffon ★2.5: AC 65人 ◼ Rusk ★2.5: AC 23人 ◼ Mint ★3: AC 44人 ◼ Lime and Karin ★4: AC 18人 ◼ Minahoshi (Hard) ★4: AC 3人 問題セット
3. A: Milk
4. かわいいですね Milk https://komado.booth.pm/items/2953391
5. 問題概要
6. 解法 ◼ さすがにやるだけ ◼ if 文を使って D が100以下かどうか判定すれば良い ◼ コードゴルフとかもできそう 解答例（Python）
7. 元ネタ ◼ MOFEというサイトがある。 ◼ 難易度に飲み物（主に紅茶）の名前が使われており、最低難易度がMilk
8. B: Minahoshi (Easy)
9. かわいいですね Minahoshi https://mukumi.booth.pm/items/2693309
10. 問題概要
11. LCP arrayとは？ ◼ すべての接尾辞を辞書順に並べてソートした配列で、隣り合う文字列が先頭から何文字一致しているか 元の文字列：abba a ba bba abba 接尾辞 辞書順にソート a ba bba abba 1 0 1 先頭から何文字 一致しているか
12. 解法 ◼ LCP arrayの総和を最大化したい → なるべく隣同士に同じような文字列が並ぶと良さそう……？ すべて同じ文字で揃えるとよさそう aaa...... もしくは bbb...... を出力するとAC ◼ 丁寧に証明するのはややめんどう
13. C: Mamehinata
14. かわいいですね Mamehinata https://mukumi.booth.pm/items/4340548
15. 問題概要
16. 問題概要
17. 問題概要
18. 問題概要
19. 問題概要
20. 問題概要
21. 解法 ◼ BFS木（BFS tree）というものがある ◼ グラフについてBFSで通る辺だけ残したグラフは木になる ◼ 根からの最短距離が d の頂点には、 必ず根からの最短距離が d-1 の頂点から辺が 張られている ◼ 元のグラフにおいて、BFS木の深さが 2 以上 異なる頂点同士を結ぶ辺は無い
22. 解法 ◼ BFS木（BFS tree）というものがある ◼ グラフについてBFSで通る辺だけ残したグラフは木になる ◼ 根からの最短距離が d の頂点には、 必ず根からの最短距離が d-1 の頂点から辺が 張られている ◼ 元のグラフにおいて、BFS木の深さが 2 以上 異なる頂点同士を結ぶ辺は無い → 今塗られている深さの頂点に対して、 → 深さの差が1となる深さの頂点が → すべて塗られる 時刻 1：深さ 1 時刻 2：深さ 0, 2 時刻 3：深さ 1, 3, 5 ◼ あらかじめBFSで各頂点の深さを計算しておけば O(N+M) で解くことができる
23. 注意 頂点1が孤立点の場合は、時刻1以降すべての頂点が白くなってしまう
24. 注意 頂点1が孤立点の場合は、時刻1以降すべての頂点が白くなってしまう
25. 余談 ◼ まじでごめんなさい ◼ コーナー見えにくいだろうな～～と思って出したら、案の定ペナ量産問題に……
26. D: Rusk
27. かわいいですね Rusk https://komado.booth.pm/items/2559783
28. 問題概要
29. 問題概要 A B B B C C C C B B B A A 1回めのトースター 2回めのトースター ◼ あり得るすべての焼き方について、美味しさの総和の最大値を求める
30. 問題概要 1回めのトースター ◼ とりあえず、1回目のトースターだけについて考えると、1～Nの区間を3つの状態に分割できる ◼ これらの状態の遷移は一方通行で、戻ることはできない 1 2 3 初期状態 トースターin トースターout DP[i][j] = （i番目のパンまで見て、状態がjのときの美味しさの最大値）として解ける
31. 問題概要 ◼ トースターが2台になると？ ◼ 大きくは解法は変わらない ◼ 1台目のトースターと2台目のトースターの状態をかけ合わせた状態について動的計画法を行う DP[i][j][k] = （i番目のパンまで見て、1台目のトースターの状態がj、2台目のトースターの状態 がkのときの美味しさの最大値） 1回めのトースター 2回めのトースター
32. 余談 ◼ Ruskは「パンを2度焼きした焼き菓子」という意味らしい、へ～～～
33. E: Chiffon
34. かわいいですね Chiffon https://komado.booth.pm/items/5354471
35. 問題概要
36. 問題概要 ◼ どのピースにもいちごが 1 つ以上乗るように切り分ける
37. 問題概要 ◼ どのピースにもいちごが 1 つ以上乗るように切り分ける 4 4 4 最小のピースを最大化
38. 解法 ◼ 最小のピースを最大化……？ ◼ とても二分探索したくなる見た目！ ◼ Yokan Party（競プロ典型90問 問題1）とよく似ており、実際切れ目をいれる箇所を1箇所決めれ ば、ほぼ同じ解法で解くことができる。
39. 解法 ◼ 最小のピースを最大化……？ ◼ とても二分探索したくなる見た目！ ◼ Yokan Party（競プロ典型90問 問題1）とよく似ており、実際切れ目をいれる箇所を1箇所決めれ ば、ほぼ同じ解法で解くことができる。 判定問題：4以上で切り分けられるか？ 切れ目を固定 6 4 2 No
40. 解法 ◼ 最小のピースを最大化……？ ◼ とても二分探索したくなる見た目！ ◼ Yokan Party（競プロ典型90問 問題1）とよく似ており、実際切れ目をいれる箇所を1箇所決めれ ば、ほぼ同じ解法で解くことができる。 判定問題：4以上で切り分けられるか？ 切れ目を固定 4 Yes 4 4
41. 解法 ◼ 切れ目の位置を1つ固定した問題は O(K log N) で解ける ◼ 切れ目の位置の候補は O(N) なので、全体で O(NK log N) となって間に合わない……
42. 解法 ◼ 切れ目の位置を1つ固定した問題は O(K log N) で解ける ◼ 切れ目の位置の候補は O(N) なので、全体で O(NK log N) となって間に合わない…… 本当か？
43. 解法 ◼ 切れ目の位置を1つ固定した問題は O(K log N) で解ける ◼ 切れ目の位置の候補は O(N) なので、全体で O(NK log N) となって間に合わない…… 本当か？ ◼ いちごは全部で K 個あるので、いちご同士の間隔であって、あいだの長さが 2N/K 以下であるような箇所が 必ず 1 箇所以上存在する。 ◼ いちご同士の間隔にはすべて切れ目をいれるので、その間隔にある切れ目候補だけ全探索すれば良い O(N/K * K log N) = O(N log N)で解くことができる
44. 余談 ◼ ABC370F に円環状のYokan Partyが出題されて爆破されたかと思ったけど、若干解法が違って耐えてた
45. F: Mint
46. かわいいですね Mint https://komado.booth.pm/items/2258111
47. 問題概要
48. 問題概要 ◼ 制約が10の12乗……？ → N or M の ½ 乗の解法が怪しそう ◼ k が小さいところは愚直に計算するとして、kが大きいところで効率的に計算できないか考えたい
49. 問題概要 ◼ 制約が10の12乗……？ → N or M の ½ 乗の解法が怪しそう ◼ k が小さいところは愚直に計算するとして、kが大きいところで効率的に計算できないか考えたい ◼ M = k*d + r (r < k)として表したとき、M mod k （= r）は M – k*d のように表せる ◼ k が大きいとき、dとして考えられる値の候補は少ない ◼ 具体的には、k ≧ √M のとき、d の候補は √M 以下の値しか存在しない ◼ d を固定した場合の問題については等差数列の和の形になるので、d ごとに O(1) で計算可能 k < √M と k ≧ √Mで場合分けをして、k が大きい場合は d の値に応じて解くことによって O(√M) で計算可能
50. 余談 ◼ 実装が結構めんどう（おなじところを重複して数えないようにするなど工夫が必要）なのでこの位置に ◼ 制約メタ読みで解法自体はかなり生えやすいと思う ◼ 直近の yukicoder 445 (菁々祭プログラミングコンテスト2024) でかなり近い問題が出されたけど、 一応解説にこちらの想定解はなかったので強行…… ◼ Mintの想定解のNとMを入れ替えて、x=1,2,…,N について解くことで、O(N√N) で解けるはず…
51. G: Lime and Karin
52. かわいいですね Lime https://komado.booth.pm/items/4876459
53. かわいいですね Karin https://komado.booth.pm/items/3470989
54. 問題概要
55. 問題概要 2 3 1 4 5 (l,r)=(1,1),(1,2),(1,5),(2,2),(2,3), (2,5),(5,5) が条件を満たす → 答えは 7個
56. 解法 2 3 1 4 5 ◼ 頂点 1 を通るパスであって、条件を満たすものを考える ◼ さらに、①頂点1を端点とするもの ②頂点1が端点でないもの に分けると、①の方は簡単に求めること ができる（頂点1から開始してDFSをすれば良い）
57. 2 3 1 4 5 ◼ 頂点 1 を通るパスであって、②頂点1が端点でないもの ある部分木から別の部分木に行く方法で条件を満たすもの 解法
58. 2 3 1 4 5 ◼ 頂点 1 を通るパスであって、②頂点1が端点でないもの ◼ ライムの木を1、カリンの木を-1として、頂点1からの距離を指数とする多項式を各部分木ごとに考える ある部分木から別の部分木に行く方法で条件を満たすもの f1 = x f2 = x^-2 + x^-1 + 1 解法
59. 2 3 1 4 5 ◼ 頂点 1 を通るパスであって、②頂点1が端点でないもの ◼ ライムの木を1、カリンの木を-1として、頂点1からの距離を指数とする多項式を各部分木ごとに考える ある部分木から別の部分木に行く方法で条件を満たすもの f1 = x f2 = x^-2 + x^-1 + 1 = ∑_{k=-1,0,1,…} [x^k] f1 f2 解法
60. ◼ 部分木が 3 つ以上だったら？ ◼ 「異なる部分木同士の多項式の積の総和」は O(N log N) で計算できる ◼ tatyam さんのスライドが詳しい https://speakerdeck.com/tatyam_prime/gao-nan-yi- du-mu-wen-ti-wojie-kutekunitukuji 解法
61. ◼ 頂点 x を含むパスについての解が木の頂点数 N に対して O(N log N) で求まる 木を重心分解して再帰的に解くことで全体 O(N log^2 N) で解くことができる 解法
62. 余談 ◼ ★4 の 2 問のうちかなりストレートな典型枠 ◼ 解法としては LC の Frequency Table of Tree Distance と基本的に同じ ◼ 負の冪を扱う必要がある部分が少し違うくらい ◼ 実装がまじで苦しい、大変だった、みんなも苦しんでほしい
63. H:Minahoshi (Hard)
64. 私です
65. 問題概要
66. 解法 ◼ とりあえず実験してみる N=2: ab N=3: abb N=4: aabb N=5: bbaab N=6: abbaaa N=7: bbaaaba N=8: bbaaabab N=9: baaababbb N=10: bbbaaababb N=11: aababbbaaaa 総和 0 総和 1 総和 2 総和 3 総和 5 総和 7 総和 9 総和 11 総和 13 総和 16
67. ◼ とりあえず実験してみる N=2: ab N=3: abb N=4: aabb N=5: bbaab N=6: abbaaa N=7: bbaaaba N=8: bbaaabab N=9: baaababbb N=10: bbbaaababb N=11: aababbbaaaa 総和 0 総和 1 総和 2 総和 3 総和 5 総和 7 総和 9 総和 11 総和 13 総和 16 +1 +1 +1 +2 +2 +2 +2 +2 +3 解法
68. ◼ とりあえず実験してみる ◼ 総和の隣接差分が増えるタイミングでは何が起きている？ N=2: ab N=3: abb N=4: aabb N=5: bbaab N=6: abbaaa N=7: bbaaaba N=8: bbaaabab N=9: baaababbb N=10: bbbaaababb N=11: aababbbaaaa 総和 0 総和 1 総和 2 総和 3 総和 5 総和 7 総和 9 総和 11 総和 13 総和 16 +1 +1 +1 +2 +2 +2 +2 +2 +3 解法
69. ◼ とりあえず実験してみる ◼ 総和の隣接差分が増えるタイミングでは何が起きている？ N=2: ab N=5: bbaab N=10: bbbaaababb →長さ1の連続部分列にa,bが一度ずつ →長さ2の連続部分列にaa,ab,ba,bbが一度ずつ →長さ3の連続部分列にaaa,aab,aba,abb,baa,bba,bab,bbb →が一度ずつ なるべく異なる連続部分列を文字列中に含めたい 解法
70. aaa aab aba abb baa bab bba bbb 1 2 3 4 5 6 7 8 頂点番号 対応する文字列 接続可能な頂点 1, 2 3, 4 5, 6 7, 8 1, 2 3, 4 5, 6 7, 8 ◼ 長さ k の文字列を頂点として、各頂点の末尾の k−1 文字が、隣接する頂点の先頭 k−1 文字と一致す るように辺を張った有向グラフを考える i=1,…,2^{k-1}について ⌊x/2⌋ = i となるような頂点を全て通り、 指定された長さとなるパスを1つ構築する 解法
71. aaa aab aba abb baa bab bba bbb 1 2 3 4 5 6 7 8 頂点番号 対応する文字列 接続可能な頂点 1, 2 3, 4 5, 6 7, 8 1, 2 3, 4 5, 6 7, 8 ◼ 長さ k の文字列を頂点として、各頂点の末尾の k−1 文字が、隣接する頂点の先頭 k−1 文字と一致す るように辺を張った有向グラフを考える ◼ 長さ 2^{k-1}+1 で、[1と2のいずれか][3と4のいずれか]…[7と8のいずれか]の頂点を全て通り、始点と 終点が一致するウォークが1つ取れたとする。このとき使用した頂点をすべて削除する →残るグラフは、各頂点の入次数と出次数が1となるグラフであり、いくつかのサイクルに分割できる →サイクルの始点と終点で、元のサイクルと行き先をswapすることでサイクルの長さを徐々に大きくできる （詳しい操作は解説を見てください……） 解法
72. aaa aab aba abb baa bab bba bbb 1 2 3 4 5 6 7 8 頂点番号 対応する文字列 接続可能な頂点 1, 2 3, 4 5, 6 7, 8 1, 2 3, 4 5, 6 7, 8 ◼ 長さ k の文字列を頂点として、各頂点の末尾の k−1 文字が、隣接する頂点の先頭 k−1 文字と一致す るように辺を張った有向グラフを考える ◼ 長さ 2^{k-1}+1 で、[1と2のいずれか][3と4のいずれか]…[7と8のいずれか]の頂点を全て通り、始点と 終点が一致するウォークが1つ取れたとする。このとき使用した頂点をすべて削除する →残るグラフは、各頂点の入次数と出次数が1となるグラフであり、いくつかのサイクルに分割できる →サイクルの始点と終点で、元のサイクルと行き先をswapすることでサイクルの長さを徐々に大きくできる （詳しい操作は解説を見てください……） どうやって？ 解法
73. 解法 https://ja.wikipedia.org/wiki/M%E7%B3%BB%E5%88%97
74. ◼ 線形漸化式で乱数を生成する際に、漸化式を原始多項式とすることで0を除く任意のパターンを生成可能 であることが知られている ◼ 証明は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/0407-2.pdf など ◼ したがって、これで初期解を構成して徐々に伸ばしていけば良い。 解法
75. ◼ ★4のややアドホック枠 ◼ 最初 2 乗で提出したら Tester さんに線形にしてもらいました、ありがとう…… ◼ 1st UC で既出らしい、そんな…… 解法