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1. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 1 1 1 1 堅持第一 2012/03/30 版 3 3 樣本空間與機 機率 率 3-1 樣本空間、事件與機率性質 1. A A B B B A B ∩ ∩ ∩ ∩ A B ∪ ∪ ∪ ∪ A B ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ S S S A S S A A A B B A B − − − − , A B互 互 互 互不 不 不 不相 相 相 相容 容 容 容 A′ ′ ′ ′ S 2. 古典機率的定義 古典機率的定義 古典機率的定義 古典機率的定義 設 S S S S 為有 n 個樣本點的樣本空間，確定各樣本點出現的機會均等，事件 A 發生的機率為 ( ) P A ， 則 ( ) ( ) ( ) n A P A n S = = A S 集合 的元素個數 集合 的元素個數 3. 機率的性質 機率的性質 機率的性質 機率的性質 (1) 機率的範圍：樣本空間 S 中的任一事件 A，則 P A ≤ ≤ 0 ( ) 1 (2) 和事件 A∪B 的機率：事件 A S ⊂ ， B S ⊂ ，則 P A B P A P B P A B ∪ = − ∩ ( ) ( )+ ( ) ( ) (3) 必然事件：事件 A S ⊂ ，若 P A = ( ) 1 ，則必 A S = ，稱事件 A「必定發生」 (4) 不可能事件：事件 A S ⊂ ，若 P A = ( ) 0，則必 A = ∅ ，稱事件 A 「不可能發生」 名 詞 定 義 說 明 集 合 表 示 法 1. 試驗 一個不確定其結果的動作過程 2. 樣本空間 一項試驗中，所有可能發生的結果所成集合 S 3. 樣本點(樣本) 樣本空間中的每一元素 a∈ ∈ ∈ ∈S 4. 事件 樣本空間中的任一子集 A⊂ ⊂ ⊂ ⊂S 5. 不可能事件 永遠不會發生的事件(亦稱空事件) ∅ ∅ ∅ ∅ 6. 餘事件 不在 A 中的樣本所構成的事件，稱 A 的餘事件 A′ ′ ′ ′=S–A 7. 互斥事件 事件 A 和事件 B 不可能同時發生 A∩B=∅ ∅ ∅ ∅
2. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 2 遙遙領先 2012/03/30 版 Ex1 某次數學測驗，甲及格的機率為 1 2 ，而乙及格的機率為 3 5 ，二人同時及格的機率為 3 10 (1) 求甲、乙都不及格的機率？ (2) 求乙及格或甲不及格的機率？ (1) P (甲′∩乙′)=1−P (甲∪乙) = 1− ( 1 2 + 3 5 − 3 10 ) = 2 10 = 1 5 (2) 文氏圖知：P (甲′∪乙) = 1− [P (甲) −P (甲∩乙) ] = 1− ( 1 2 − 3 10 ) = 8 10 = 4 5 Ex2 設 A，B 表示二事件，且 P ( A∪B )= 3 4 ，P ( A′ )= 2 3 ，P ( A∩B )= 1 4 (1) P ( B )=______ (2) P ( A′∩B′ )=_______ ∵ P ( A′ )= 2 3 ∴ P ( A )= 1 3 (1) P ( A∪B )=P ( A )+P ( B ) −P ( A∩B ) ⇒ 3 4 = 1 3 +P ( B )− 1 4 ∴ P ( B )= 2 3 (2) P ( A′∩B′ )=P ( A∪B ) ′=1−P ( A∪B )=1− 3 4 = 1 4 Ex3 (1) 若 A、B 為互斥事件且 P ( A′∩B′ )= 2 7 ，P ( A )= 1 4 ，則 P(B)=______ (2) 若 P (A)= 1 2 ，P (B)= 1 3 ，P ( A∪B )= 4 5 ，則 P ( A′∪B′ )=？ P ( A′∩B′ ) =？ P ( A∩B′ )=？ (1) ( ) 1 ( ) P A B P A B ′ ∩ ′ = − ∪ ⇒ ( ) P A B ∪ = 5 7 又 A、B 為互斥事件⇒ ( ) 0 P A B ∩ = ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B ∪ = + − ∩ ⇒ 5 1 ( ) 0 7 4 P B = + − 故 13 ( ) 28 P B = (2) P ( A′∪B′ )= 29 30 P ( A′∩B′ ) = 1 5 P ( A∩B′ )= 7 15 Ex4 (1) 投擲一枚硬幣 3 次，出現至少兩正面的事件為 A ，寫出樣本空間 S 及事件 A (2) 投擲一枚硬幣 3 次，求出現出現至少兩正面的機率？ (3) 同時擲三個骰子，求出現點數均不相同的機率？ (1) 以 ( ) , , x y z 代表依次擲出的結果的樣本 樣本空間 S＝ {(+,+,+)， (+,+,−)， (+,−,+)， (−,+,+)， (+,−,−)， (−,+,−)， (−,−,+)， (−,−,−)} 事件 A={(+,+,−)， (+,−,+)， (+,+,−)， (+,+,+)} (2) 4 1 8 2 P = = (3) 6 3 3 3 6 5 4 5 9 6 6 P × × = = Ex5 擲骰子 5 次，出現點數依序為 a、b、c、d、e，求滿足( )( )( )( ) 0 a b b c c d d e − − − − = 之機率？ ( a－b )( b－c ) ( c－d ) ( d－e )=0 ⇔ a=b 或 b=c 或 c=d 或 d=e ⇔（全） − (a≠b 且 b≠c 且 c≠d 且 d≠e） ∴ 機率= 1− 6．5．5．5．5 65 = 671 1296 甲 乙 甲 乙
3. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 3 3 3 3 堅持第一 2012/03/30 版 崇崇 綸綸 媛媛 儒儒 人名 站名 多對一 崇崇 綸綸 媛媛 儒儒 人名 站名 一對一 Ex6 小南在提款時忘了密碼，但他還記得密碼的六位數字中，有二個 3，二個 8，一個 9，一個 2，於 是他就用此六個數字隨意排成一個六位數輸入提款機，求他只試一次就成功之機率？ 只試一次就成功之機率= 1 6! 2!2! = 1 180 Ex7 袋中有 4 個黑球，3 個白球 (1) 取一球後不放回，再取一球，求取出二球均為黑球的機率？ (2) 同時取二球，求兩球均為黑球的機率？ (3) 觀察(1)(2)其機率是否相同？ (1) P ( A )= 4 7 × 3 6 = 2 7 (2) P ( B ) = 4 2 7 2 C C = 2 7 (3) 是 Ex8 將 1 號球 1 個，2 號球 2 個，……，9 號球 9 個一起放入袋中，現從袋內取出一球，假設每一 球被取出的機率均等，則取出號碼是偶數的機率為______ 2 4 6 8 20 4 1 2 3 9 45 9 P + + + = = = + + + + ⋯ Ex9 方程式 x2+px+q=0 的係數 p、q 分別是骰子 A、B 所擲出的點數，求該方程式有實根的機率？ 有實根 ⇔ p2> –4q ⇒ 共 19 組解 ⇒ 機率= 19 6×6 = 19 36 Ex10 同樂會中舉辦抽獎遊戲， 48 支籤中有 5 支籤有獎，每人抽一支籤，小明認為中獎的機率不高， 決定禮讓其他任先抽而選擇抽取最後剩下的一支籤，求小明中獎的機率？ 與先抽後抽的次序無關 ∴ = 5 48 P Ex11 崇崇、綸綸、媛媛、儒儒一起從「新店市公所站」搭乘捷運回家，且 4 人都須於途中 5 個捷運 站 ( 七張、大坪林、景美、萬隆、公館 ) 下車，求人中至少有 2 人在同一站下車的機率？ Key point 異物分人型 → 函數對應 至少有 2 人在同一站下車機率 =1− (4 人皆不在同一站下車機率) = 4 5 4 3 2 101 1 125 5 × × × − = p 2 3 4 5 6 q 1 1～ ～ ～ ～2 1～ ～ ～ ～4 1～ ～ ～ ～6 1～ ～ ～ ～6
4. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 4 遙遙領先 2012/03/30 版 Ex12 一個袋子裡有 5 個白球、3 個紅球，每次取一球，取後不放回，求白球先取完的機率？ 將 8 個球排成一列，共有 8！ 5！3！ = 8．7．6 3．2 =56 ( 種 ) 方法 紅球排在最後一個有 7！ 5！2！ = 7．6 2 =21 ( 種 ) 方法 故白球先取完的機率為 21 56 = 3 8 Ex13 同時投擲三粒公正的骰子，求三粒出現的點數和為 10 的機率？ 三粒出現的點數和為 10 之情形如下： ( 6 , 3 , 1 )，( 6 , 2 , 2 )，( 5 , 4 , 1 )，( 5 , 3 , 2 )，( 4 , 4 , 2 )，( 4 , 3 , 3 ) 出現的方法數為 3！+ 3！ 2！+3！+3！+ 3！ 2！+ 3！ 2！=27 ∴ 機率= 27 63 = 1 8 Ex14 同時擲三個均勻的骰子，求至少有兩個骰子的點數相同的機率 □□□的填空選擇 兩個骰子的點數相同的機率= 6 63 + 3 3! 6 1 5 2! 6 × × × = 96 216 = 4 9 Ex15 在附圖的棋盤方格中，隨機任意取兩個格子 則選出的兩個格子不在同行( 有無同列無所謂) 的機率是多少？ 所求機率= 16 12 4 16 15 5 × = × Ex16 有 3 個不同的球與 3 個不同的箱子，每個球都隨機放入其中的一個箱子，試問： (1) 每個箱子都有一個球的機率？ (2) 至少有一個箱子沒有球的機率？ (1) n ( S )=33=27 每個箱子都有一個球之方法有 3!=6（種） ⇒ 每個箱子都有一個球之機率為 3! 27 = 2 9 (2) 所求機率=1－（每個箱子都有一個球之機率）=1－ 2 9 = 7 9 Ex17 有一正四面體的公正骰子，四面點數分別為 1、2、3、4。將此骰子丟三次，底面的點數分別 為 a、b、c，則這三個數可作為三角形三邊長的機率是多少？ 【92.學測】 樣本空間 S 共有 43=64 ( 個 )元素 設 A 表三數可作為三角形三邊長的事件 (1) 正∆：( 1,1, 1)、( 2,2,2 )、( 3,3,3 )、( 4,4,4)，共 4 個 (2) 等腰∆：(1,2,2)、(1,3,3)、(1,4,4)、( 2,2,3)、(2,3,3)、(2,4,4)、(3,3,4)、( 3,4,4)，共 8× 3! 2! =24 ( 個 ) (3) 其他∆：( 2 , 3 , 4 )，有 3!=6 ( 個 ) 故 ( ) 4 24 6 34 n A = + + = 故 34 17 ( ) 64 32 P A = =
5. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 5 5 5 5 堅持第一 2012/03/30 版 Ex18 四個箱子，每箱裡皆有 1 號球、2 號球、3 號球、4 號球各一個。從每箱中各取一個球，求 (1) 取出的四球皆同號的機率？ (2) 取出的四球皆為奇數號球的機率？ (3) 取出的四球不含 2 號球或不含 4 號球的機率？ □□□□的填空選擇 (1) 四球皆為同號球的機率= 4 44 = 1 64 (2) 四球皆為奇數號球的機率= = 24 44 = 16 256 = 1 16 (3) P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )－P ( A∩B )= 34 44 + 34 44 － 24 44 = 81 256 + 81 256 － 16 256 = 146 256 = 73 128 Ex19 求四人中至少有二人在同一月份出生的機率 至少有二人在同一月份出生的機率=1－4 人皆不同月份出生的機率=1－ 12．11．10．9 12．12．12．12 =1－ 55 96 = 41 96 Ex20 自一副撲克牌 ( 52 張 ) 中任取 2 張，每張被取到的機會相同，求 2 張花色相同的機率 P = C C C = 4 13 1 2 52 2 4×13×6 26×51 = 4 17 Ex21 30 人參加尾牙摸彩，每人依序從一袋中 30 張彩券抽出一張，抽後不放回，其中 10 張是有獎， 其餘 20 張無獎，求 (1) 前 2 人中恰有一人中獎的機率為何？ (2) 第 3 人中獎的機率為何？ (1) 恰有一人中獎的機率 = × + × = × 10 20 20 10 40 30 29 87 (2) 第 3 人中獎的彩券取法有 C C × 10 29 1 2 種，所求機率= C P × = × × 10 29 1 2 1 30 29 28 3 《另解的驗證》 √ √ √ 10 0 0 0 × × × × 9 9 9 9 × × × × 8 8 8 8 = = = = 720 720 720 720 √ × × × × √ 10 0 0 0 × × × × 20 20 20 20 × × × × 9 9 9 9 = = = = 1800 1800 1800 1800 × × × × √ √ 20 0 0 0 × × × × 10 10 10 10 × × × × 9 9 9 9 = = = = 1800 1800 1800 1800 × × × × × × × × √ 20 × × × × 19 19 19 19 × × × × 10 10 10 10 = = = = 3800 3800 3800 3800 共計 8120 所求機率= = × × 8120 1 30 29 28 3 Ex22 (1) 投擲一枚公正的硬幣四次，求出現正、反面各二次的機率？ (2) 同時丟四個均勻的硬幣，求恰有二個出現反面的機率？ (1)(2)同義 □□□□ 即求「正正反反」的排列有 4! 6 2!2! = (種） ∴ 所求機率= 6 24 = 3 8
6. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 6 遙遙領先 2012/03/30 版 Ex23 某次期中考，小黑的七名死黨數學成績分別為： 78，72，78，86，80，76，72 從這七個分數中隨機抽出三個，已知其中一個為 78，則： (1) 抽出的三個數之中位數為 78 的機率為何？ (2) 抽出的三個數之平均數為 78 的機率為何？ (1) 重排：72，72，76，78，78，80，86 中位數為 78 有三類：（78,78,□），( □,78,78），（□,78,□） ∴ 機率= C C C C C C C C × + × + × × = 2 2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 1 1 1 7 3 17 35 (2) 3 個中已知其中一個為 78，又 3 個的平均數為 78 ⇒ （78 , 76 , 80） ∴ 機率= C C C C × × 2 1 1 1 1 1 7 3 = 2 35 Ex24 彩票公司每天開獎一次，從 1、2、3 三個號碼中隨機開出一個。開獎時，如果開出的號碼和前 一天相同，就要重開，直到開出與前一天不同的號碼為止。如果在第一天開出的號碼是 3，求 在第五天開出號碼同樣是 3 的機率？ 【92 指甲】 【解 1】 樣本空間：3,□,□,□,□ ⇒ 樣本空間個數= 2 2 2 2 16 × × × = 因第一天﹑第五天開出的號碼都是 3，即 3,□,□,□,3 的得事件個數=6 6 6 6 ∴ 在第五天開出號碼同樣是 3 的機率= 6 3 16 8 = 【解 2】 作樹狀圖 樣本空間的個數 n (S)=8 × 2=16 事件（第 1 天開 3 號，第 5 天也開出 3 號）的個數 n (A)=3 × 2=6，其機率為 n (A) n (S) = 6 16 = 3 8 【解 3】 應用高二下轉移矩陣求解 (暫略) Ex25 小華有三雙不同型式的襪子，混合放在衣櫃中。有一天他從衣櫃中拿出二隻襪子，問拿到的是 同型式的機率是多少？ 同型式的機率為 2 2 2 2 2 2 6 2 1 5 C C C C + + = 1,□,1 □可為 2、3 2,□,2 □可為 1、3 1,□,2 □可為 3 2,□,1 □可為 2、 □,□,□可分類為 √ √ √
7. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 7 7 7 7 堅持第一 2012/03/30 版 Ex26 工廠生產原子筆，12 枝一盒，品管人員從每盒任取 3 支檢查，若有 2 支或 2 支以上不良，則 整盒淘汰。若有一盒有 4 枝不良，求此盒被淘汰的機率？ 一盒有 4 枝不良品 ⇒ 此盒良品 8 枝 ∴ 此盒被淘汰的機率= 4 8 4 8 2 1 3 0 12 3 48 4 13 220 55 C C C C C + + = = Ex27 盒中有 10 個球，各球印有號碼 1 到 10，由盒中取 4 球，求 4 球號碼中第二大數目為 6 的機率？ □ 6 □ □ Ex28 五日天樂團的五個團員中，恰有 4 人在同一月份出生的機率為 a 125 ，則 a= 機率 P= 5 12 4 1 5 11 12 C C × × ∴ a=660 Ex29 甲、乙、丙、丁四人玩猜拳遊戲，各出「剪刀」 、 「石頭」 、 「布」三者之一，今四人同時出一拳， 求 (1) 只有甲獲勝的機率為______ (2) 不分勝負的機率為______ (1) 只有甲獲勝的機率= 4 3 1 27 3 = (2) 不分勝負的機率= 4 2 4 3 3! 39 13 81 27 3 C + = = i Ex30 由一副 52 張的撲克牌中任選 5 張，求恰成兩對 ( 例如點數為 22559，33KKA 等 ) 的機率？ 所求=(兩同兩同一異)機率= 13 4 4 11 4 2 2 2 1 1 52 5 ( ) ( ) 198 4165 C C C C C C × = Ex31 投一公正骰子三次，出現點數分別為 x，y，z，求 x＜y＜z 的機率？ □□□的填空選擇 6 3 3 20 5 216 54 6 C P = = = Ex32 擲 3 粒公正骰子，求點數為兩同一異的機率？ 兩同一異的機率= 6 5 1 1 3 3! 90 5 2! 216 12 6 C C × = = 4 球之號碼中第二大數目是 6 的機率= 4 1 5 1 1 2 10 4 40 4 210 21 C C C C × × = = 四人皆出同一拳 有二人出同一拳，另二人各出不同拳 刀 石 布 甲 乙 丙 丁 四選一 7, 8, 9, 10
9. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 1 1 1 1 堅持第一 2012/03/30 版 Ex33 擲 4 個骰子，求出現點數為兩同兩同（即 aabb，a≠b）的機率？ 先選後排： (6 種點數取其中 2 種)×(4 顆骰子兩兩相同) ∴ 出現點數為兩同兩同的情況有 6 2 4! 2!2! C × 種 故機率為 6 2 4 4 4! 90 5 2!2! 72 6 6 C × = = 《誤解》 6 5 1 1 4 4 4! 180 5 2!2! 36 6 6 C C × = = ( why？) Ex34 甲、乙、丙三人同住一室，每天抽籤決定一人打掃，求在 6 天中每人恰好各掃了兩天的機率？ 6 天中每人恰好各掃了兩天的機率= 6 6! 10 2!2!2! 81 3 = 【另解】 6 4 2 2 2 2 6 10 81 3 C C C = Ex35 甲、乙、丙三人各擲一粒公正的骰子，出現的點數依次為 x、y、z，求 x+y+z=8 的機率？ 【解 1】8=1+1+6=1+2+5=1+3+4=2+2+4=2+3+3 ⇒ x+y+z=8 的機率= 3 3! 3! 3! 3! 3! 21 7 2! 2! 2! 216 72 6 + + + + = = 【解 2】 x+y+z=8 的機率= 3 7 8 3 5 3 21 7 216 216 72 6 H C − = = = Ex36 (1) 甲乙丙⋯ 等 10 人，本週當值日生，每天 2 人，每人只當一次，求甲乙恰好同一天的機率？ (2) 阿貴和阿美及其他 8 名同學共 10 名學生輪到本周擔任值日生。本周 5 個上課日每天從尚未 當過的同學中抽籤選出 2 位輪值。求阿貴和阿美同一天擔任值日生的機率？【93 指考乙】 (1)(2)同義 【解 1】排列觀點：甲乙恰好同一天當值日生的機率= ! ! × × × = × 5 5 10 1 8 2 1 9 10 2 【解 2】組合觀點：甲乙恰好同一天當值日生的機率= C C C C C C C C C C C × = 5 2 8 6 4 2 1 2 2 2 2 2 10 8 6 4 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 9 【解 3】甲乙恰好同一天當值日生的機率= × = × 10 1 1 10 9 9 【解 4】甲乙恰好同一天當值日生的機率= C C × = × = 2 2 10 2 1 1 5 5 45 9 Ex37 甲、乙、丙等 6 位同學平均編入 A、B、C 三班，求甲、乙、丙三人均不在同一班的機率？ 甲乙丙三人均不在同一班的機率= 3 2 1 1 1 1 6 4 2 2 2 2 3! 2 5 C C C C C C × =
10. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 2 遙遙領先 2012/03/30 版 Ex38 有一個橢圓，長軸長為 10，短軸長為 8，長軸頂點 A1 、A2 ，短軸頂點 B1 、B2 ，焦點 F1 、F2 ， 中心 K，從以這七點為頂點的三角形中任選一個三角形，求其面積小於 10 的機率？ 三角形個數= 7 5 3 3 3 3 24 − − = C C C 面積小於 10 的三角形個數=8 三角形面積小於 10 的機率= 8 1 24 3 = Ex39 九人身高為(單位：公分) 160、163、166、170、172、174、176、178、180，此九人平均身高 為 171 公分。隨機抽樣 3 人，求抽到 3 人的平均身高等於母體平均身高的機率？【91 學測】 隨機抽樣 3 人，平均身高為 171 公分的有： ( 163 , 172 , 178 )，( 163 , 174 , 176)，( 163 , 170 , 180)共 3 種 ⇒ 所求的機率為 9 3 3 1 28 = C Ex40 (1) 甲、乙、丙……壬等九人，平分成三組，求甲乙兩人在同一組的機率？ (2) 甲、乙、丙……壬等九人，平分成三組，求甲乙兩人在不同一組的機率？ (1) 甲乙兩人在同一組的機率= 6 3 7 3 3 1 9 6 3 3 3 3 1 2! 4 3! C C C C C C = (2) 甲乙兩人不在同一組的機率=1− 甲乙兩人在同一組的機率= 1 3 1 4 4 − = 《另解的驗正》 甲乙兩人在同一組的機率= 7 5 3 2 2 3 9 6 3 3 3 3 210 3 2! 280 4 3! C C C C C C × = = Ex41 將甲乙丙…等 12 人平分成三隊，每隊 4 人，則甲乙兩人不在同一隊的機率為何？ 【解 1】 甲乙兩人不在同一隊的機率= 10 7 4 3 3 4 12 8 4 4 4 4 120 35 6 24 8 12 11 10 9 70 11 3! C C C C C C × × × = = × × × × 【解 2】 甲乙兩人不在同一隊的機率= 1－甲乙兩人在同一隊的機率= 8 4 10 4 4 2 12 8 4 4 4 4 3 8 2! 1 1 11 11 3! C C C C C C − = − = 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 乙
11. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 3 3 3 3 堅持第一 2012/03/30 版 Ex42 AB…等 8 件相異物，分 2 件、3 件、3 件三堆，則 A、B 在相異兩堆之機率為何？ 【雄中】 樣本空間個數： 8 6 3 2 3 3 ( ) 280 2! C C C n S = = A、B 在相異兩堆的事件可分下列三類 (1) ( 1、2、3 ) ⇒ 6 5 3 1 2 3 60 C C C = (2) ( 1、2、3 ) ⇒ 6 5 3 1 2 3 60 C C C = (3) ( 2、2、2 ) ⇒ 6 4 2 2 2 2 90 C C C = ∴ A、B 在相異兩堆之機率= 60 60 90 210 3 280 280 4 + + = = 《另解的驗正》A、B 在同一堆的事件可分下列兩類 (1) (3、3) ⇒ 6 3 3 3 10 2! C C = (2) (2、1、3) ⇒ 6 4 3 2 1 3 60 C C C = ∴ ∴ ∴ ∴ A、B 在相異兩堆之機率=1－A、B 在同一堆的之機率= 10 60 3 1 280 4 + − = Ex43 2008 年北京奧運棒球比賽共有古巴、美國、加拿大、中華臺北、日本、南韓、中國、荷蘭等 八隊參賽。古巴、美國、日本是世界球迷認為最有機會奪冠的 A 級棒球隊，以抽籤方式將這八 隊分為 A、B 兩組，每組四隊。若三隊 A 級棒球隊在同一組，即稱為死亡之組。求分組結果產 生死亡之組的機率？ ∴ 產生死亡之組的機率= 5 4 1 4 8 4 4 4 5 1 1 35 7 2 C C C C = = × A B A B B A B B A A B (1) A B B A A B (1) A B A B A B (1) A B A B 古 巴 美 國 日 本
12. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 4 遙遙領先 2012/03/30 版 Ex44 棒球比賽有甲乙丙丁四隊參加，先將四隊隨機抽籤分成兩組 比賽，兩組的勝隊再參加冠亞軍決賽，如右圖：根據過去的 紀錄，所有隊伍比賽時各隊獲勝的機率均為 0.5。求冠亞軍決 賽由甲、乙兩隊對戰的機率？（四捨五入到小數三位） 【96 指考乙】 【解 1】 先將甲排入，乙在第一場比賽不遇到甲的機率為 2 3 故所求機率為 2 1 1 1 3 2 2 6 × × = =0.1666… 0.167 ≈ (A) (B) (C) 【解 2】 甲乙須不同組且甲乙均勝 故所求機率= 4 2 2 2 2 1 1 1 1.6666 1.667 1 2 2 6 2 C C × × = = ≈ × ⋯ 【解 3】決賽由甲、乙兩隊對戰⇒ 甲、乙不同組 又分組方式有(甲乙，丙丁), (甲丙，乙丁) , (甲丁，乙丙)⇒甲、乙不同組之機率＝ 2 3 所求＝ 2 3 × 1 2 (勝出)× 1 2 (勝出)＝ 1 0.167 6 ≈ Ex45 將 4 封書寫有不同文字的信紙放入 4 個已事先填好不同地址的信封中，設每 1 封信都有預定 寄發的地址，求至少有 1 封裝對信封的機率？ 信封 A B C D 信紙 a b c d 【解 1】至少有 1 封裝對信封的機率=1− (全部皆裝錯信封的機率) =1− 4 4 4 4 1 2 3 4 4! 3! 2! 1! 0! 24 24 12 4 1 15 5 1 4! 24 24 8 C C C C − + − + − + − + = − = = 【解 2】 恰有 1 封裝對信封的方法= 4 3 3 3 1 1 2 0 (3! 2! 1! 0!) 4 2 8 C C C C − × + × − × = × = 恰有 2 封裝對信封的方法= 4 2 3 2 1 0 (2! 1! 0!) 6 1 6 C C C − × + × = × = 或 4 2 (2 1) 6 1 6 C − = × = 恰有 3 封裝對信封的方法= 4 封裝對信封的方法= 1 ∴ 至少有 1 封裝對信封的機率= 8 6 1 15 5 4! 24 8 + + = = Ex46 自六對夫婦中任選 4 人，求 4 人均不為夫婦的機率？ 夫 A B C D E F 妻 a b c d e f 【解 1】 4 男 ， 3 男 1 女， 2 男 2 女， 1 男 3 女， 4 女 4 人均不為夫婦機率= 6 6 3 6 4 6 5 6 4 3 1 2 2 1 3 4 12 4 240 16 495 33 C C C C C C C C C + + + + = = 【解 2】4 人均不為夫婦的機率= 6 4 12 4 2! 2! 2! 2! 240 16 495 33 C C × × × × = = ◦ 甲 乙 丙 丁 ◦ 甲 丙乙 丁 ◦ 甲 丁乙 丙
13. 方圓 方圓 方圓 方圓數學 數學 數學 數學 數學權威 筆記本講義(詳解完整不再累死抄筆記) 系統整理 內容充實 深入淺出 互動活潑 輕鬆學習 事半功倍 教材最新 方圓數學 5 5 5 5 堅持第一 2012/03/30 版 Ex47 從 5 對夫婦中任選出 4 人，求此 4 人均不為夫婦之機率為？ 夫 A B C D E 妻 a b c d e 【解 1】 4 人均不為夫婦之機率= 5 4 4 10 4 (2!) 80 8 210 21 C C × = = 【解 2】 4 人均不為夫婦之機率：4 男、3 男 1 女、2 男 2 女、1 男 3 女、4 女 ∴ 4 隻皆不成雙的機率= 5 5 2 5 3 5 4 5 4 3 1 2 2 1 3 4 10 4 80 8 210 21 C C C C C C C C C + + + + + = = Ex48 鞋櫃中有不同的鞋子 5 雙，從中任取 4 隻，求 4 隻皆不成雙的機率為_____ 【解 1】4 隻皆不成雙的機率= 5 4 4 10 4 (2!) 80 8 210 21 C C × = = 【解 2】4 隻皆不成雙：4 右、3 右 1 左、2 右 2 左、1 右 3 左、4 左 ∴4 隻皆不成雙的機率= 5 5 2 5 3 5 4 5 4 3 1 2 2 1 3 4 10 4 80 8 210 21 C C C C C C C C C + + + + + = = Ex49 某人上班有甲、乙兩條路線可供選擇。早上定時從家裡出發，走甲路線有 1 10 的機率會遲到， 走乙路線則有 1 5 的機率會遲到。無論走哪一條路線，只要不遲到，下次就走同一條路線，否則 就換另一條路線。假設他第一天走甲路線，求第三天也走甲路線的機率？ 可能情況為：(A) 甲 遲到 ─ ─ ─ →乙 遲到 ─ ─ ─ →甲 (B) 甲 不遲到 ─ ─ ─ →甲 不遲到 ─ ─ ─ →甲 則 機率為( 1 10 × 1 5 )+( 9 10 × 9 10 )= 83 100 Ex50 6 個不同的球，任意放入 3 個不同箱子，球要放完，且每箱個數不限。求恰一個空箱的機率？ 球先分堆再放入箱 故 恰一個空箱的機率= + + = 6 36 90 60 62 243 3 5 5 1 1 10 2 25 5 45 9 C C q C = = = 乙 甲 甲 乙 甲 乙 甲 4 5 1 5 1 10 9 10 9 10 1 10 左 A B C D E 右 a b c d e (1,5)⇒ C C × × = 6 5 1 5 3 2 36 (2,4)⇒ C C × × = 6 4 2 4 3 2 90 (3,3)⇒ ! C C × × = 6 3 3 3 3 2 60 2