Teorema de Bayes

Explicación del Teorema de Bayes con tres ejercicios

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1. Teorema de Bayes Alan Yael Cbrera Iirqui Perla María Vejar Acuña Probabilidad y estadística descriptiva Grupo 458 09/10/2026
2. Thomas Bayes y la idea principal Thomas Bayes fue un matemático inglés y ministro presbiteriano. Aunque llevó una vida discreta, su obra póstuma "Ensayo para resolver un problema en la doctrina de las chances" (1763) estableció las bases de la inferencia probabilística. El teorema de Bayes permite actualizar la probabilidad de un evento cuando se obtiene nueva información.
3. Fórmula Fórmula: Ejemplo: Si A= “tener una enfermedad” y B= “test positivo”, entonces P(A|B) es la probabilidad de tener la enfermedad dado que el test fue positivo. Dónde: P(A|B) - Posterior / Probabilidad a posteriori: Es lo que quieres saber. La probabilidad de que ocurra A, sabiendo que ya ocurrió B. P(B|A) - Verosimilitud / Likelihood: La probabilidad de que ocurra B, si A fuera verdad. Es qué tan bien explica A a B. P(A) - Probabilidad a priori: Lo que ya creías de A antes de saber nada de B. Tu creencia inicial. P(B) - Evidencia / Marginal: La probabilidad total de que ocurra B en cualquier caso. Sirve para normalizar, para que el resultado total no sea mayor a 100%.
4. ¿Para que sirve? Diagnóstico médico: Calcular la probabilidad real de tener una enfermedad dado un resultado positivo en una prueba. Filtros de spam: Determinar si un correo es spam basándose en la presencia de ciertas palabras. Control de calidad: Identificar la línea de producción más probable que causó un defecto. Inteligencia artificial: Clasificadores Naive Bayes para reconocimiento de texto, recomendaciones y análisis de sentimientos. Pronóstico del clima: Actualizar probabilidades de lluvia según nuevas observaciones meteorológicas.
5. Cómo resolver un problema 1. Define los eventos: Identifica claramente que es A y qué es B. 2. Anota los datos: Escribe P(A), P(B|A), y si es necesario P(B|¬A). 3. Calcula P(B): Usa la probabilidad total: P(B)=P(B A)⋅P(A)+P(B ¬A)⋅P(¬A) ∣ ∣ 4. Aplica la fórmula: Divide el numerador entre P(B).
6. Problema 1: Fábrica En una fábrica, la máquina A produce 60% de los productos y la máquina B el 40%. El 5% de los productos de A son defectuosos, mientras que el 8% de los de B lo son. Si se selecciona un producto defectuoso al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A?
7. Problema 2: Prueba de Covid Una prueba de COVID tiene 95% de sensibilidad (detecta el virus si está presente) y 90% de especificidad (da negativo si no hay virus). En una población, el 2% está infectado. Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad real de que esté infectada?
8. Problema 3: Universidad En una universidad, 70% de los estudiantes son de ingeniería y 30% de humanidades. El 40% de ingeniería usa laptop Apple, mientras que el 60% de humanidades también. Si ves a alguien con una Apple, ¿cuál es la probabilidad de que sea de humanidades?
9. Conclusión El teorema de Bayes es una herramienta poderosa para actualizar creencias con nueva evidencia, esencial en medicina, tecnología y toma de decisiones. Error común a evitar: Confundir P(B|A) con P(A|B). ¡No son lo mismo! La verosimilitud no es la probabilidad posterior
10. Fuentes Consultadas Britannica – Thomas Bayes biography BBC Mundo – Qué es el teorema de Bayes IPN – Aplicaciones del Teorema de Bayes MathHistory – Thomas Bayes