Fonaments de la integració estocàstica

Transcript

1. Fonaments de la integració estocàstica: Anàlisi de les formulacions de Itô i Stratonovich Emma Barranco Universitat Autònoma de Barcelona - 2 de setembre de 2026
2. Plantejament Objectiu Donar sentit a una integral estocàstica de la forma ∫︂ T f (s, ω) dBs (ω)”. ” 0 Itô, 1944 Stratonovich, 1966 Dona lloc a una regla de la cadena modificada. Recupera la regla de la cadena clàssica. ∫︂ T ∫︂ T f ◦ dBs f dBs 0 0 Idea clau Interpretacions diferents d’una integral estocàstica respecte del brownià.
3. Elements de les integrals estocàstiques Objectes d’estudi ∫︂ T ∫︂ T f (s, ω) dBs (ω) 0 f (s, ω) ◦ dBs (ω) i 0 Integrand: f (s, ω) Integrador: Bs (ω) Un procés estocàstic. Un procés brownià. Definició 1 B0 = 0. 2 Té increments independents. 3 Bt − Br ∼ N(0, t − r ). 4 Té trajectòries contı́nues q.s.
4. La irregularitat del brownià Sobre un interval de temps [0,T ], Propietats de les trajectòries Les trajectòries són no diferenciables en cap punt q.s. La variació quadràtica és T . ∑︂ (∆Bj )2 → T en L2 (Ω). j Idea clau (∆Bj )2 ≈ ∆tj .
5. La irregularitat del brownià Remarca Aquest comportament impedeix utilitzar tècniques d’integració clàssiques. Simulacions de trajectòries brownianes a l’interval [0,1].
6. Integrands de Itô Quins processos podran ser integrands? Definició V(0, T ) és l’espai de processos f (t, ω) : [0, ∞) × Ω −→ R tals que: [︂∫︁ ]︂ T 2 ds 1 E |f (s, ω)| < ∞. 0 2 f (t, ω) és Ft -adaptat, on Ft = σ(Bs | 0 ≤ s ≤ t). Exemples Bt+1 (ω) no pot ser integrand. (Bt (ω))2 sı́ pot ser integrand.
7. Estratègia de la construcció de Itô 1. Processos elementals Definim la integral per una classe senzilla d’integrands de V(0, T ), els elementals ϕn (s, ω). ∫︂ T ϕn dBs 0 2. Densitat Tot f ∈ V(0, T ) es pot aproximar per elementals. ϕn → f 3. Extensió La isometria de Itô permet definir la integral per tot V(0, T ). ∫︂ T ϕn → f ∫︂ T ϕn dBs → =⇒ 0 f dBs 0
8. Itô per elementals Per una partició de mida n, Πn = {0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T }, Definició Els processos elementals són els ϕn ∈ V(0, T ) de la forma: ϕn (s, ω) = n−1 ∑︂ εj (ω)1[tj ,tj+1 ) (s), j=0 on εj és un coeficient aleatori que és Ftj -mesurable.
9. Itô per elementals Dues trajectòries d’un procés f ∈ V(0, T ) Dues trajectòries d’un procés elemental aproximant ϕn
10. Itô per elementals Definició La integral de Itô per elementals es defineix com: ∫︂ T ϕn (s, ω) dBs = 0 n−1 ∑︂ j=0 εj (ω)(Btj+1 − Btj )(ω).
11. Extensió de la definició Densitat dels processos elementals Donat f ∈ V(0, T ), llavors existeix una successió de processos elementals ϕn tal que ||f (s, ω) − ϕn (s, ω)|| −−−−−→ 0. ||Πn ||→0 Isometria de Itô Sigui ϕn (s, ω) un procés elemental, llavors es compleix: [︄(︃∫︂ )︃2 ]︄ [︃∫︂ T T ϕn (s, ω)dBs E 0 =E 0 ]︃ |ϕn (s, ω)|2 ds .
12. La integral de Itô Definició Sigui f ∈ V(0, T ) i ϕn l’elemental que l’aproxima. Llavors la integral de Itô de f es defineix com: ∫︂ T ∫︂ T f (s, ω) dBs = 0 lim ||Πn ||→0 0 ϕn (s, ω) dBs en L2 (Ω), Remarca S’aproxima pel punt esquerre de la partició. Si f ∈ V(0, T ) té trajectòries contı́nues q.s., llavors ∫︂ T f (s, ω) dBs = 0 lim ||Πn ||→0 n−1 ∑︂ j=0 f (tj , ω)∆Bj en L2 (Ω).
13. La integral de Itô Com hem d’entendre una integral Propietats de Itô estocàstica? Linealitat. Com a v.a. ∫︂ T f (s, ω) dBs (ω) = I (ω). 0 Com a procés ∫︂ t f (s, ω) dBs (ω) = I (t, ω) 0 per 0 ≤ t ≤ T. Additivitat dels lı́mits d’integració. Trajectòries contı́nues. Martingala.
14. Càlcul de les integrals de Itô La ω ve donada pel brownià. ∫︁ F (s, x) = f (s, x)dx. ∂f Continuı̈tat de f , ∂F ∂s , ∂x . Fórmula ∫︂ T 0 f (s, Bs ) dBs = F (s, Bs )|T 0 − ∫︂ T (︃ 0 )︃ ∂F 1 ∂f (s, Bs ) + (s, Bs ) ds. ∂s 2 ∂x
15. Exemples d’integrals de Itô Exemple 1 Comparant amb ⃓T x2 ⃓ x dx = 2 ⃓ , 0 ∫︁ T 0 ∫︂ T 0 1 1 Bs dBs = BT2 − T 2 2 ⏞ ⏞ ⏟⏟ Addicional Exemple 2 ∫︂ T 0 )︃ ∫︂ T (︃ 3 BT3 Bs 2 s T s s Bs · e dBs = ·e − · e + Bs · e ds 3 3 0 ⏞ ⏟⏟ Variable aleatòria ⏞
16. La regla de la cadena modificada de Itô Per què no segueix la regla de la cadena clàssica? En forma diferencial, dF = Fs ds + Fx dBs + 1 Fxx ds. 2 ⏞ ⏟⏟ ⏞ Terme corrector Idea de fons (∆Bj )2 ≈ ∆tj =⇒ (dBs )2 ≈ ds És pot definir una integral estocàstica que satisfaci la regla de la cadena clàssica?
17. La construcció de Stratonovich Idea clau Avaluar l’integrand en els punts mitjos dels intervals de la partició. Es perd estructura de martingala. tj∗ = tj + tj+1 2 Diferència principal respecte la construcció de Itô No es compleix la isometria de Itô, fonamental per l’extensió a V(0, T ).
18. La integral de Stratonovich Definició 2 ∂f ∂ f Sigui f (s, x) una funció contı́nua amb parcials contı́nues ∂f ∂s , ∂x , ∂x 2 . Llavors la integral de Stratonovich de f es defineix com: ∫︂ T f (s, Bs ) ◦ dBs = 0 lim ||Πn ||→0 n−1 (︂ )︂ ∑︂ f tj∗ , Btj∗ ∆Bj (ω) j=0 en L2 (Ω).
19. La integral de Stratonovich Conversió Itô-Stratonovich ∫︂ T ⏞0 ∫︂ ∫︂ T 1 T ∂f (s, Bs ) ds . f (s, Bs ) ◦ dBs = f (s, Bs ) dBs + 2 0 ∂x 0 ⏟⏟ ⏞ ⏞ ⏟⏟ ⏞ ⏞ ⏟⏟ ⏞ Integral de Stratonovich Propietats de Stratonovich Linealitat. Additivitat dels lı́mits d’integració. Trajectòries contı́nues. No martingala. Integral de Itô Terme corrector
20. Càlcul de les integrals de Stratonovich F (s, x) = ∫︁ f (s, x)dx ∂f ∂F Continuı̈tat de f , ∂f ∂s , ∂x , ∂s Fórmula ∫︂ T 0 f (s, Bs ) ◦ dBs = F (s, Bs )|T 0 − ∫︂ T 0 Regla de la cadena clàssica En forma diferencial, dF = Fs ds + Fx ◦ dBs . ∂F (s, Bs ) ds. ∂s
21. Exemples de la integral de Stratonovich Exemple 1 ∫︂ T 0 1 Bs ◦ dBs = BT2 2 ⃓T x2 ⃓ Anàloga a 0 x dx = 2 ⃓ . ∫︁ T 0 Exemple 2 ∫︂ T 0 ∫︂ T 3 BT3 Bs 2 s T Bs · e ◦ dBs = ·e − · e s ds ⏞ ⏟⏟ ⏞ 3 3 0 ⏞ ⏟⏟ ⏞ ⏞ ⏟⏟ ⏞ Fx F Fs Regla de la cadena: dF = Fs ds + Fx ◦ dBs .
22. Itô i Stratonovich Quan coincideixen? Si el terme corrector s’anul·la. Llavors compleixen la fórmula clàssica d’integració per parts. ∫︂ T ∫︂ T f (s) ◦ dBs = 0 0 f (s) dBs = f (s)Bs |T 0 − ∫︂ T Bs f ′ (s) ds. 0 Exemple ∫︂ T 2 ∫︂ T s ◦ dBs = 0 2 2 ∫︂ T s dBs = T BT − 2 0 Bs · s ds. 0
23. Conclusions Itô Stratonovich Integrands molt generals Integrands prou regulars Avaluació punt esquerre Avaluació punt mig Martingala No martingala Regla de la cadena modificada Regla de la cadena clàssica
24. Gràcies per la vostra atenció.