Properties of loxodromic functions. Master's defense (UA)

Transcript

1. 1 Властивості локсодромних Властивості локсодромних функцій функцій Московчук Наталя
2. 2 Властивості локсодромних функцій Вступ Означення1: Мероморфна функція в *= /{0} ℂ ℂ називається мультиплікативно періодичною, якщо Теорія мероморфних мультиплікативно періоди- чних функцій була розроблена О.Раузенбергером.
3. 3 Ж.Валірон назвав ці функції локсодромними, тому що точки, в яких такі функції у випадку не дійсного q набувають однакові значення, лежaть на логарифмічних спіралях. Будь яка логарифмічна спіраль перетинає всі промені під одним і тим же кутом. Образи логарифмічних спіралей на сфері Рімана при стереографічній проекції перетинають меридіани під одним і тим же кутом і називаються локсодромними кривими (loxos-косий, dromos-шлях). Властивості локсодромних функцій
4. 4 Неважливо яким вважати q: |q| < 1, чи |q| > 1. Розглядатимемо випадок |q| < 1. Означення 2: Функція f називається локсодромною з мультиплікатором q, якщо f є мероморфною в ℂ* і задовільняє рівняння f(qz) = f(z), z є ℂ* Властивості локсодромних функцій
5. 5 Властивості локсодромних функцій 1. Властивості локсодромних функцій Локсодромні функції з мультиплікатором q утворюють поле, яке ми позначаємо L q . Теорема 1: Кожна голоморфна локсодромна функція є сталою. Теорема 2: Якщо функція f є L q і не має ні нулів, ні полюсів на межі кільця тоді сума лишків функції f(z)/z дорівнює нулю.
6. 6 Властивості локсодромних функцій Наслідок: Кожна не стала локсодромна функція з мультиплікатором q має щонайменше 2 полюси ( і 2 нулі ) в кожному кільці C q (R). Теорема 3: Нехай m a ( n b ) позначають кількість нулів (полюсів) функції f з C q (R). Тоді Σm a =Σn b
7. 7 Властивості локсодромних функцій 2. Зображення локсодромних функцій Для z є ℂ* позначимо Теорема 4: Нехай a 1 , ...a m — нулі, b 1 , ...b m — полюси з C q (1) локсодромної функції f з мультиплікатором q. Тоді існує n є таке, що і f зображається у вигляді де С — довільна стала.
8. 8 Властивості локсодромних функцій 3. Вправи 1. Перевірено, що функція є локсодромною. 2. Перевірено, що для фунції S(z) виконуються наступні властивості:
9. 9 Властивості локсодромних функцій 3. Нулі функції g(z) виражаються через нулі локсодромної функції f з мультиплікатором q Отриманий результат: де α k — послідовність всіх нулів функції g(z), а k — функції f(z); ω 1 , ω 2 - періоди функції g(z), такі що Im (ω 2 / ω 1 ) >0 .
10. 10 Список літератури [1] Hellegouarch Y. Invitation to the mathematics of Fermat­Wiles/ - Academic Press, 2002. [2] Valiron G. Gours d'Analyse Mathematique,Theorie des fonctions/ - 2nd Edition, Masson et.Cie., Paris, 1947. [3] Rausenberger O. Lehrbuch der Theorie der Periodischen Functionen Einen Varabeln// - Leipzig, Druck und Ferlag von B.G.Teubner, 1884, 470 p.
11. 11 Дякую за увагу!