ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム)

ゲーム理論の本当に基本的なところを書きました。

自分の研究への応用はいずれ書きたいと思っています。

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1. ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 1
2. 目次 戦略型ゲーム 戦略型ゲームの定義 最適反応とナッシュ均衡 混合戦略と混合戦略ナッシュ均衡 数値計算 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 2
3. 1. 戦略型ゲーム 1.1. 戦略型ゲームの定義 戦略型ゲーム：複数の意思決定主体間の相互作用を表す数理モデル 意思決定主体は自分自身の行動 (純粋戦略) を選択する 行動に対して利得が与えられている 利得は、自分の行動と他の意思決定主体の行動に依存して決まる 数学的に戦略型ゲームを定義する。 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 3
4. Def (戦略型ゲーム) 戦略型ゲーム は、タプル として定義される。 ただし、 : プレイヤーの集合 (有限集合) : 純粋戦略空間 : プレイヤー の純粋戦略集合 : 利得関数、 : プレイヤー の利得関数 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 4
5. 例：囚人のジレンマ , , は以下の表のように定義。 \ プレイヤー が戦略 、プレイヤー が戦略 をとったとき プレイヤー の利得： プレイヤー の利得： ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 5
6. 補足 ：第 要素のみが であるような 次元単位ベクトル とする。 人ゲームの利得は行列 (利得行列) として表現される。 に対して、 , , ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 6
7. プレイヤー 、プレイヤー の利得行列 は以下のようになる。 囚人のジレンマの例では、 となる。 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 7
8. 1.2 最適反応とナッシュ均衡 とする。 Def (最適反応) が に対する純粋最適反応 他のプレイヤーの行動を固定したときの最適な行動 等価な条件は、 1つとは限らないが、必ず存在する ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 8
9. Def (ナッシュ均衡) が (純粋戦略) ナッシュ均衡 自分だけが行動を変更しても得をしない 等価な条件は、 1つとは限らず、存在しない場合もある すべてのプレイヤーにとって合理的 実現すればそこから動かない。どのように実現するかは考えな い。 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 9
10. 例：囚人のジレンマ \ プレイヤー の戦略を に固定したときのプレイヤー の利得 プレイヤー が をとる： 、プレイヤー が をとる： プレイヤー の戦略を に固定したときのプレイヤー の利得 プレイヤー が をとる： 、プレイヤー が をとる： ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 10
11. プレイヤー の戦略を固定したときも同様。 最適反応 に対して に対して ナッシュ均衡： 囚人のジレンマでは、ナッシュ均衡はパレート最適ではない。 パレート最適：自分の利得を上げるには他のプレイヤーの利得 を悪化させる状態 双方のプレイヤーにとって利得が一番良いのは となるこ と。 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 11
12. 1.3 混合戦略と混合戦略ナッシュ均衡 ゲーム を考える。 上の確率分布 をプレイヤー の混合戦略と呼ぶ。 は以下のように表される。 また、純粋戦略空間 に対応する混合戦略空間 は、 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 12
13. 補足 は単位ベクトル を頂点とする 次元単位単 体となる。 のとき、混合戦略 は、線分 , 上の点である。 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 13
14. 以下の記号を定義する。 ： で が実際に起こる確率 利得関数の混合戦略への拡張 (期待利得関数) は、以下で定義される。 , ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 14
15. ゲーム は、 に拡張される。 人ゲームとき、利得関数 は利得行列 を用いて以下のよう に表現される。 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 15
16. 例：囚人のジレンマ 混合戦略集合 は以下のように定義される。 利得関数 は以下のように定義される。 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 16
17. Def (最適反応) を に対する純粋戦略最適反応、 を に対する混合戦略最適反応と呼ぶ。 純粋戦略最適反応対応 : 混合戦略最適反応対応 : ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 17
18. Def (ナッシュ均衡) が成り立つとき、 をナッシュ均衡という。 ナッシュ均衡 すべてのプレイヤーにとって合理的な解 有限ゲームでは必ず存在 (複数存在する可能性あり) ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 18
19. 例：調整ゲーム \ ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 19
20. プレイヤー の混合戦略を で固定する。プレイヤ ー が純粋戦略をとるときの期待利得は、 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 20
21. プレイヤー の混合戦略を で固定する。プレイヤー が純粋戦略をとるときの期待利得は、 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 21
22. 混合戦略最適反応対応 は、 と求められる。 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 22
23. ナッシュ均衡は ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 23
24. 1.4 数値計算 Python の nashpy というパッケージを使うと、2人ゲームの定義、ナ ッシュ均衡の導出が可能。 python3 -m venv ~/.venvs/game_numerical source ~/.venvs/game_numerical/bin/activate (game_numerical) pip install --upgrade pip (game_numerical) pip install -r requirements.txt requirements.txt には、 numpy , nashpy , jupyter , ipykernel が記述 されていれば良い。 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 24
25. 例：じゃんけん A = np.array([[0, 1, -1], [-1, 0, 1], [1, -1, 0]]) B = np.array([[0, -1, 1], [1, 0, -1], [-1, 1, 0]]) coordination_game = nash.Game(A, B) coordination_game ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 25
26. Zero sum game with payoff matrices: Row player: [[ 0 1 -1] [-1 0 1] [ 1 -1 0]] Column player: [[ 0 -1 1] [ 1 0 -1] [-1 1 0]] ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 26
27. equilibria = coordination_game.vertex_enumeration() for eq in equilibria: print(eq) (array([0.33333333, 0.33333333, 0.33333333]), array([0.33333333, 0.33333333, 0.33333333])) ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 27
28. 参考文献 [1] 岡田章, ゲーム理論, 2011. [2] H. Peter, Game Theory: A Multi-Leveled Approach, Springer, 2015. [3] Nashpy's documentation, accessed on 08/06/2022 ゲーム理論の基礎 (非協力ゲーム) AiTachi, GitHub:tcbn-ai, Twitter: @tcbn_ai 28