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1. 分割統治とデータ構造 PYK合同LT大会 autumn_eel
2. 目次 • 分割統治とは? • 列の分割統治 • 「列の分割統治」とデータ構造 • 木の分割統治 • 「木の分割統治」とデータ構造
3. 目次 • 分割統治とは? • 列の分割統治 • 「列の分割統治」とデータ構造 • 木の分割統治 • 「木の分割統治」とデータ構造
4. 分割統治とは?
5. 分割統治とは?
6. 分割統治とは?
7. 分割統治とは? • 「分けて解いてまとめる」手法 • 1つの大きな問題を複数の小さな問題に分割し、それを利用す ることで大きな問題を解く
8. 目次 • 分割統治とは? • 列の分割統治 • 「列の分割統治」とデータ構造 • 木の分割統治 • 「木の分割統治」とデータ構造
9. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 4 2 6 7 5 1 8 3
10. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 4 2 6 7 5 1 8 3
11. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 4 2 6 7 5 1 8 3 長さ4の列をソートせよという小さな問題に変換
12. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 4 2 6 7 5 1 8 3 長さ4の列をソートせよという小さな問題に変換
13. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 4 2 6 7 5 1 8 3 さらに繰り返して…
14. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 4 2 6 7 5 1 8 3 さらに繰り返して…
15. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 4 2 6 7 5 1 8 3 「長さ1の列をソートする」という問題はすでに解けている!
16. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 4 2 6 7 5 1 8 3 「長さ1の列をソートする」という問題はすでに解けている!
17. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 2 4 6 7 1 5 3 8 今度は解いた小さな問題を大きな問題にまとめていく
18. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 2 4 6 7 1 5 3 8 今度は解いた小さな問題を大きな問題にまとめていく
19. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 2 4 6 7 1 3 5 8 さらに繰り返して…
20. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 2 4 6 7 1 3 5 8 さらに繰り返して…
21. 列の分割統治 • マージソートのアルゴリズム 1 2 3 4 5 6 7 8 ソート完了!
22. 目次 • 分割統治とは? • 列の分割統治 • 「列の分割統治」とデータ構造 • 木の分割統治 • 「木の分割統治」とデータ構造
23. 「列の分割統治」とデータ構造 • ここで、先ほどのマージソートで出てきた、列をまとめていく 過程をもう一度見てみる 4 2 6 7 5 1 8 3 2 4 6 7 1 5 3 8 2 4 6 7 1 3 5 8 1 2 3 4 5 6 7 8
24. 「列の分割統治」とデータ構造 • ここで、先ほどのマージソートで出てきた、列をまとめていく 過程をもう一度見てみる 4 2 6 7 5 1 8 3 2 4 6 7 1 5 3 8 2 4 6 7 1 3 5 8 1 2 3 4 5 6 7 8 …あれ?
25. 「列の分割統治」とデータ構造 • ここで、先ほどのマージソートで出てきた、列をまとめていく 過程をもう一度見てみる 4 2 6 7 5 1 8 3 2 4 6 7 1 5 3 8 2 4 6 7 1 3 5 8 1 2 3 4 5 6 7 8
26. 「列の分割統治」とデータ構造 • ここで、先ほどのマージソートで出てきた、列をまとめていく 過程をもう一度見てみる 4 2 6 7 5 1 8 3 2 4 6 7 1 5 3 8 2 4 6 7 1 3 5 8 1 2 3 4 5 6 7 8 セグ木みたい!!!
27. 「列の分割統治」とデータ構造 • 実は、マージソートによって現れたこの「セグ木みたいな木」 を実際に構築すると、 もとの列で区間[l,r)に含まれるk以下の数の個数を数えるクエリ に答えることができる
28. 「列の分割統治」とデータ構造 • 実は、マージソートによって現れたこの「セグ木みたいな木」 を実際に構築すると、 もとの列で区間[l,r)に含まれるk以下の数の個数を数えるクエリ に答えることができる • 蟻本にも載ってる、領域木というやつ (海外では Merge Sort Tree とも呼ばれているらしい)
29. 「列の分割統治」とデータ構造 • 例: 区間 [1, 8) (0-indexed) に含まれる6以下の数の個数 4 2 6 7 5 1 8 3 2 4 6 7 1 5 3 8 2 4 6 7 1 3 5 8 1 2 3 4 5 6 7 8
30. 「列の分割統治」とデータ構造 • 例: 区間 [1, 8) (0-indexed) に含まれる6以下の数の個数 4 2 6 7 5 1 8 3 2 4 6 7 1 5 3 8 2 4 6 7 1 3 5 8 1 2 3 4 5 6 7 8 それぞれの区間において 「6以下の個数」を二分探索で求め、 それらを足せばOK
31. ここまでのまとめ
32. ここまでのまとめ 分割統治をする過程で現れた木構造をデータ構造として保持する と、なんかいろいろなことができそう!!
33. 目次 • 分割統治とは? • 列の分割統治 • 「列の分割統治」とデータ構造 • 木の分割統治 • 「木の分割統治」とデータ構造
34. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10
35. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 分割した後の木のサイズがもとの半分以下になるような 頂点 (重心) を選ぶ
36. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 8 7 6 5 4 2 1 10
37. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 8 7 6 5 4 2 1 10
38. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 8 7 5 4 10
39. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 8 7 5 4 10 1ステップで半分以下になるので再帰の深さは O(logN)
40. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 7 5 4 10
41. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 7 5 4 10 この問題はもう解けて いるので…
42. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 8 7 5 4 10
43. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 8 7 6 5 4 2 1 10 マークされた頂点を通るパスで、 距離が4以下のものを数えながら 足していく
44. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10
45. 木の分割統治 • 距離が4以下のペアの数を求めたい 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 もとの問題を解くことができた
46. 目次 • 分割統治とは? • 列の分割統治 • 「列の分割統治」とデータ構造 • 木の分割統治 • 「木の分割統治」とデータ構造
47. 「木の分割統治」とデータ構造 • ここでまた、分割した後まとめていく過程を眺めてみる
48. 「木の分割統治」とデータ構造 • ここでまた、分割した後まとめていく過程を眺めてみる
49. 「木の分割統治」とデータ構造 • ここでまた、分割した後まとめていく過程を眺めてみる 高さがO(logN) の根付き木!!
50. 「木の分割統治」とデータ構造 • このデータ構造(根付き木)を使うと例えばこんな問題が解ける
51. 「木の分割統治」とデータ構造 • このデータ構造(根付き木)を使うと例えばこんな問題が解ける
52. 「木の分割統治」とデータ構造 • 問題概要 (意訳) • 2つのクエリを処理します • 指定された頂点を白or黒に変更 • 指定された頂点から黒い頂点への距離の総和を求め、出力
53. 「木の分割統治」とデータ構造 • 問題概要 (意訳) • 2つのクエリを処理します • 指定された頂点を白or黒に変更 • 指定された頂点から黒い頂点への距離の総和を求め、出力 • 想定解はHL分解を使うものだったが…
54. 「木の分割統治」とデータ構造 • それぞれの根付き木の頂点では 1. 「そこの集合に含まれる黒い頂点の個数」 2. 「マークされた頂点から集合に含まれる黒い頂点への距離の総和」 を子の種類ごとにまとめ、その総和も保持 (頂点集合は実際には持たなくてよい)
55. 「木の分割統治」とデータ構造 • 頂点4を黒にする (個数, 総和)
56. 「木の分割統治」とデータ構造 • 頂点4を黒にする (個数, 総和) (1,2) (1,0) (1,1) (1,2) (1,2) (1,2)
57. 「木の分割統治」とデータ構造 • 頂点6を黒にする (個数, 総和) (1,2) (1,0) (1,1) (1,2) (1,2) (1,2)
58. 「木の分割統治」とデータ構造 • 頂点6を黒にする (個数, 総和) (1,2) (1,0) (1,1) (1,2) (2,3) (1,2) (1,0) (1,1)
59. 「木の分割統治」とデータ構造 • 頂点10からの距離の総和を求める (個数, 総和) (1,2) (1,0) (1,1) (1,2) (2,3) (1,2) (1,0) (1,1)
60. 「木の分割統治」とデータ構造 • 頂点10からの距離の総和を求める (個数, 総和) (1,2) (1,0) (1,1) (1,2) (2,3) (1,2) (1,0) (1,1) 1*1+2=3 3*1+2=5 3*2+3=9
61. 「木の分割統治」とデータ構造 • 頂点10からの距離の総和を求める (個数, 総和) (1,2) (1,0) (1,1) (1,2) (2,3) (1,2) (1,0) (1,1) 1*1+2=3 3*1+2=5 3*2+3=9 9-5+3=7 (ダブりを引かなければ ならないことに注意)
62. 「木の分割統治」とデータ構造 ある(もとの)頂点を含む集合は高々O(logN)個なので、 それぞれのクエリはO(logN)回の更新/計算で処理できる!
63. 「木の分割統治」とデータ構造 類題 • PCK2020予選 12 (http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=0439) 距離の総和ではなく最短距離だが、同じような感じでできる • yukicoder TreeAddQuery (https://yukicoder.me/problems/no/1038) それぞれの頂点上でBITを保持する 実装が少し大変
64. まとめ
65. まとめ どうして分割統治の過程をデータ構造にするとうまくいくのか?
66. まとめ どうして分割統治の過程をデータ構造にするとうまくいくのか? おそらく、「分割統治」と「データ構造」が再帰的な構造という 意味で似ているから!
67. まとめ どうして分割統治の過程をデータ構造にするとうまくいくのか? おそらく、「分割統治」と「データ構造」が再帰的な構造という 意味で似ているから! 一見別々な手法が根本的な考え方でつながっていることがわかる と楽しい
68. ご清聴ありがとうございました