解析力学入門

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ver1.1 2019/11/27 練成振動子の例を追加
ver1.2 2019/11/29 typo
ver1.3 2019/12/02 「勉強会の目的」を追加
ver1.4 2019/12/10 typo

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1. 解析力学入門 〜 量子コンピュータを勉強するための基礎知識勉強会 〜 Pre Nielsen - Chuang シリーズ ver1.4 2019/12/10 中井 悦司 (Etsuji Nakai) 量子コンピューター仲間
2. この資料の目的 2 • Nielsen - Chuang の量子コンピューターの教科 書を「しっかりと腹落ちして理解する」ために必 要な基礎知識を広く勉強するための資料の一つで す。 • この資料では特に「解析力学」について、説明し ています。（全体像は次ページを参照）
3. 量子回路計算の手順と 量子アルゴリズムを理解する 量子デバイスの 動作原理を理解する 線形代数 古典物理学（解析力学） 量子力学 量子回路計算 量子アルゴリズム 量子デバイスの実装
4. この勉強会の目的について 4 https://twitter.com/enakai00/status/1201412246817009664
5. 解析力学の歴史
6. よくある誤解（？） 6
7. 実際のニュートンの仕事 • 天体の運動を「幾何学的操作」 によって導出する方法を整備 • 「幾何学的操作」を解析学（微 積分）の言葉で表現し直して一 般化したものが「解析力学」 • 解析力学から得られる公式の一 つが有名な 7 https://digital.library.sydney.edu.au/nodes/view/7166
8. 解析力学の始祖「ラグランジュ」 • 力学の根本法則を「ラグランジュ方程式」として定式化 • 「幾何学的発想」に基づいた「最小作用の原理」からラ グランジュ方程式が導出されることを発見 • 大雑把にいうと「与えられた２点を移動する物体の軌跡 は、ある量（作用）を最小にする軌跡に一致する」とい う原理 • 現在は「ラグランジュ形式」の解析力学と呼ばれる 8
9. ハミルトン形式の解析力学 • 「ラグランジュ方程式」と数学的に同等な「ハミルトン方程式」を利用 • 「座標と運動量」を用いた相空間での運動の記述、「エネルギー（ハミルト ニアン）」を用いた物理系の定義など、解析力学の「物理的意味」がより明 らかになる • 統計力学や量子力学など、より現代的な物理学の基礎を与える • 「多体系においても、単一のハミルトニアンで系全体の振る舞いが統合的に 制御される」という視点は、量子ビットのエンタングルメントを理解するポ イントになるかも？ 9
10. 力学系の記述方法
11. 力学のゴール • 物体の「状態」が時間と共にどのように変化するかを数学的に予測する。 • 物体の「状態」を数学的に記述する方法が必要。 • 広がりのある物体の場合、物体の位置に加えて、配置方向や回転状態なども 考える必要がある。 • ここでは、広がりを無視して、物体の位置のみを記述することを考える。 ◦ 広がりを考えない物体を「質点」と呼ぶ。 ◦ 広がりのある物体は、多数の質点が集まったものとみなすこともでき る。 11
12. 質点の記述方法 • 質点の位置は、「座標値」で記述できる。 • 座標の取り方は色々あるが、すべて互いに相互変換できる。（なので、どれ か一つの座標で問題を解けば十分。） 12 デカルト座標 極座標
13. 質点の運動法則に対する要請 • 時刻　　　における座標値　　　　　　が分かれば、次の瞬間 　　　　　 の座標値は決定できるか？ • できない。次の瞬間の位置は、その瞬間の速度　　　　　　にも依存する。 (*) 一般に時刻 t の関数を t で微分したものをドット記号で表す： • （デカルト座標とは限らない）質点の座標を　　　　　　　として、質点の 運動を決定する根本法則は、　　　　　　　　　　　　　を用いて表される はずである。（厳密には、これに加えて、質点に加わる力も含まれる） 13
14. 最小作用の原理と ラグランジュ方程式
15. 最小作用の原理 • 唐突ですが。信じてください。 • 時刻　 に座標　　 にあった質点が、時刻　 に　　 に到達したとする場合、 ある関数　　　　　　があり、この質点は、次で計算される値 S が最小にな る経路を通って運動する。 (*) ここでは複数の座標　　　　　　をまとめて　　と表記しています。） 15 ラグランジアン 作用
16. ラグランジュ方程式 • 最小作用の原理は、微分方程式の形に書き直す事ができる。 • 作用を最小にする経路を　　として、途中の経路をわずかに変化させる。 • この時、作用の微小変化は次で計算される。 （具体的な計算は後ほど） 16
17. ラグランジュ方程式 • もしも　　　　　　　 だとすると、　　　となる変化　　 が作れるので、 最小作用の原理に反する。 • したがって、すべての時刻において、次が成り立つ必要がある。 17 ：ラグランジュ方程式
18. 作用変分の計算 18
19. • 外部からの力を受けずに　　 平面上を運動する質点のラグランジアンは、 次で与えられる。 • ラグランジュ方程式は、次の2つになる。 自由粒子のラグランジアン 19 等速直線運動 質点の運動エネルギーに一致
20. • y 軸方向に重力 mg を受ける質点のラグランジ アンは、次で与えられる。 • ラグランジュ方程式は、次の2つになる。 放物運動 20 「運動エネルギー」-「位置エネルギー」 ニュートンの運動方程式
21. 運動量保存則の一般化
22. • y 軸方向に重力 mg を受ける質点のラグランジアン • x に対するラグランジュ方程式 • 一般にラグランジアンに変数 q が含まれない時、　　　　は保存量になるこ とがわかる。 一般化運動量 22 x 方向の運動量保存則 一般化運動量
23. • 原点からの距離 r のみに依存する位置エネルギー　　 を持つ平面上の質点 • 上式は、デカルト座標と極座標が混在しているので、極座標に統一すると次 が得られる。（計算は次ページ） • これは θ を含まないので、次の保存則が成り立つ。 中心力を受ける質点 23 角運動量保存則
24. 運動量の極座標表示 24
25. • ラグランジュ方程式は、最小作用の原理（「幾何学的」な原理）から得られ るもので、座標の取り方に関係なく同じ形が使える。 • ラグランジアンが与えられると、その系の振る舞いは、原理的にすべて決定 される。（たとえば、運動量保存則が成り立つかどうかは、ラグランジアン を見ればわかってしまう。） ラグランジュ形式のポイント（まとめ） 25
26. ハミルトン形式への移行
27. • ラグランジアン　　　は、　と　を独立変数とみなした関数 • 新しい変数（一般化運動量）を次で導入して・・・ • これを　について解いて、　　　という形に変形すると、　を　　　で書き 直す事ができる。 独立変数の取り替え 27
28. • 　　を変数とする新しい関数（ハミルトニアン）を次式で定義する。 • この時、ラグランジュ方程式と等価な次の方程式が得られる。 （証明は次ページ参照。数学的にはルジャンドル変換に相当。） 独立変数の取り替え 28 ：ハミルトン方程式
29. ハミルトン方程式の導出 29
30. 放物運動 30 運動エネルギー 位置エネルギー ハミルトニアンは、 系全体のエネルギーに一致する
31. 放物運動 31 • x 方向のハミルトン方程式 • y 方向のハミルトン方程式 通常の意味での運動量の定義 x 方向の運動量保存 通常の意味での運動量の定義 y 方向のニュートン方程式
32. 中心力を受ける質点 32
33. 中心力を受ける質点 33 • θ 方向のハミルトン方程式 • r 方向のハミルトン方程式 通常の意味での角運動量の定義 角運動量保存 遠心力！ 一定半径を保って 運動する条件は・・・ 遠心力＝向心力
34. エネルギー保存則と 相空間による運動の記述
35. エネルギー保存則 35 • ハミルトニアンの値は変数　　　のみを通じてのみ変化するとする。（たと えば、位置エネルギーが時間に陽に依存する場合は除く。） • この時、ハミルトン方程式より次が成り立つ。 • ・・・ハミルトニアンは、必ずエネルギーに一致するの？？？ エネルギー保存則！
36. エネルギー保存則の考え方 36 • 「すべての物理系には、対応するハミルトニアンが存在して、その系はハミ ルトン方程式にしたがって運動する」と、まずは信じる。 • ある系の運動を観測して、その運動を正しく導くハミルトニアンを発見す る。 • 得られたハミルトニアンをその系の「エネルギー」と定義する。この定義に より、系のエネルギーは必ず保存する。
37. （参考）時空間の対称性と保存則の関係 37 • ハミルトニアンがある座標に依存しない時、対応する一般化運動量は保存す る。 • 中心力を受ける質点の場合、ハミルトニアンは θ に依存しないので、それに 対応して、角運動量が保存した。 • つまり、空間をある方向に動かしても、系の性質（ハミルトニアン）が変化 しなければ、対応する保存量が必ず存在する。 • 同様に、ハミルトニアンが時刻に依存しない、すなわち、時刻を変えても系 の性質が変わらないことに対応して、エネルギーが保存すると言える。
38. 調和振動子 38 • バネ定数 k のバネに接続された質点には　　　　　の力が働くので、対応す る位置エネルギーは • ハミルトニアンとハミルトン方程式は x 0
39. 調和振動子 39 • 一般解は、A と δ を任意の定数として、 • この時、ハミルトニアン（エネルギー）の値は、 • これより、点　　　　は、ある楕円上を回転運動 することがわかる。（楕円の大きさはエネルギー によって決まる。）
40. 多体系（練成調和振動子） 40 結合項 （質点間の相互作用を記述）
41. 相空間 41 • 一般に多数の質点が存在する「多体系」においても、すべての質点の一般化 座標・一般化運動量　　　　　　　　　　で表される「単一のハミルトニア ン　　　　　　　　　　　によって、系全体の運動は決定される。 • さらに、系全体の運動は、　　　　　　　　　を座標とする「多次元空間上 の１点」の動きとして捉える事ができる。この空間を相空間と言う。 • エネルギー保存則により、この点は、相空間上の「等エネルギー曲面」上を 移動する。
42. （参考）リウビルの定理 42 • 相空間の連結部分の各点が運動方程式に従って移動する時、連結部分の体積 は不変に保たれる。 • 一次元　　　の場合で証明する ◦ 密度　　　　で相空間に分布する点の集合の運動は、連続方程式を満たす ◦ これを用いると密度関数の時間発展は次式になる ◦ ハミルトン方程式を代入すると、上記は 0 になる。つまり、相空間に分布する点 は密度を一定に保って運動するので、体積が増減することはない
43. • 多体系の振る舞いは、その系のハミルトニアンによって一意に決定される。 • 言い換えると、その系のハミルトニアンを決定することが、その系の運動を 決める根本原理を理解することにつながる。（ハミルトン方程式から決まる 運動が、実際に観測される運動に一致するようなハミルトニアンを探す。） • 多体系の運動は、相空間の等エネルギー曲面上の「点」の運動として理解で きる。 ハミルトン形式のポイント（まとめ） 43
44. • 量子力学においても、系の運動はハミルトニアンによって一意に決定される。 • 量子力学では、エネルギーの値は自由にとることができず、一定の条件を満た すエネルギー値のみが存在する。（エネルギーの量子化） • 量子力学では、座標と運動量の値を同時に決定することができない。つまり、 相空間上の点として、系の状態を記述することはできない。代わりに、ヒルベ ルト空間上の点、もしくは、波動関数を用いて、系の状態を記述する。 量子力学へのヒント 44
45. Thank You.