第1回統計勉強会.pdf

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1. 　 https://www.academix.jp/ AcademiX 統計勉強会 統計勉強会　vol.1 茨城大学工学部情報工学科 木本晴久（Kimoto Haruhisa） 2023/03/12
2. 目次 2 ◻事象と確率 ◻確率分布と母関数 ◻分布の特性値 ◻変換変数 ◻離散型分布 ◻連続型分部と標本分布
3. 目次 3 ◻事象と確率 ◻確率分布と母関数 ◻分布の特性値 ◻変換変数 ◻離散型分布 ◻連続型分部と標本分布
4. 事象と確率 ◦条件付き確率 事象Bが起こるという条件のもとで、事象 Aが起こる確率 ◦ベイズの定理 Bが原因でA(結果)が起きる条件付き確率を表している。 結果が与えられた時に、原因の確率を求めることができる！ P(A)が事後確率　P(B)が事前確率 4
5. 事象と確率 ◦期待値 確率変数がとる値とその値をとる確率の積を全て足し合わせたもので、 確率変数の平均値を表す。 　 ◦分散 「確率変数のとり得る値と期待値（平均値）の差の 2乗」と「確率」との 積を、全て足し合わせたもの。 5 確率変数 ランダムに変動する変数　離散的 or 連続的
6. 目次 6 ◻事象と確率 ◻確率分布と母関数 ◻分布の特性値 ◻変換変数 ◻離散型分布 ◻連続型分部と標本分布
7. 確率分布と母関数 ◦累積分布関数 確率変数xがある値以下の値となる確率。 離散確率変数でも連続確率変数でも同じ形で定義される。 ◦生存関数 確率変数Xが寿命を表す場合には、S(x) = 1 - F(x) は 時刻xにまだ生きている確率を表す。 7
8. 確率分布と母関数 ◦同時確率関数・同時確率密度関数 X, Yを2つの離散確率変数とするとき、 Xが値xをとり、Yが値yをとる確率　→　同時確率関数 X, Yを2つの連続確率変数とし、 F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) を累積分布関数とするとき、 →　同時確率密度関数 8
9. 確率分布と母関数 ◦母関数 確率母関数とモーメント母関数は、 確率関数や、確率密度関数の性質を調べるために有用な道具！ 9
10. 確率分布と母関数 確率母関数とモーメント母関数はどのように定義されるのか？ ・確率母関数 ・モーメント母関数 確率母関数において、s = とおいたもの。 10
11. 目次 11 ◻事象と確率 ◻確率分布と母関数 ◻分布の特性値 ◻変換変数 ◻離散型分布 ◻連続型分部と標本分布
12. 分布の特性値 • 期待値 E[C] = C E[aX + bY + C] = aE[X] + bE[Y] + C E[XY] = E[X] E[Y] • 分散 V[aX + b] = a^2V[X] V[X ± Y] = V[X] + V[Y] ± 2Cov[X, Y] 12
13. 分布の特性値 ◦分散共分散行列 分散共分散行列とは，分散の概念を多次元確率変数に拡張して行列としたもの 。 XiとXjの共分散を要素とする行列である。 分散共分散行列の対角要素は、 Xの分散である。 多次元の確率ベクトルの場合、 期待値　→　ベクトル 分散・共分散　→　非負定値対称行列 ◦相関係数行列 対角要素を１とし、XiとXjの相関係数を(i, j)要素とする行列。 13
14. 分布の特性値 • 中央値 • 最頻値 • 分散 • 四分位範囲 • 変動係数 • 尖度 • 歪度 • 共分散 • 相関係数・偏相関係数 • 加重平均 • 幾何平均 • 調和平均 14
15. 目次 15 ◻事象と確率 ◻確率分布と母関数 ◻分布の特性値 ◻変換変数 ◻離散型分布 ◻連続型分部と標本分布
16. 変数変換 ◦変数変換による確率密度関数の変化 連続型確率変数Xの確率密度関数をf(x)とする。 新な確率変数 Y = g(X)の確率密度関数について考えるとき、 Yの確率密度関数は、 　　　　　　　　　のxとyを変換したもの。 として、与えられます。 16
17. 変数変換 ◦確率変数の線形結合の分布 2つの独立した確率変数 X, Y の線形結合 aX + bY の分布を考える方法 →　変数変換　　（モーメント母関数を使う方法も存在する） Z = aX + bY , W = Y という変換を考え、(Z, W)の分布を考える。 この時、逆変換は、(X, Y) = (Z/a - bW/a, W)　となり、 ヤコビアンは、 　　　　　　　　　　　　　　　　　となる。 17
18. 変数変換 Xの確率密度関数をfx(x) , Yの確率密度関数をfy(y)とすると、 (Z, W) の確率密度関数は、 fx(z/a - bw/a)fy(w)dw/|a| となる。 ここで、wについて積分をすることで、Zの確率密度関数を得る。 18
19. 目次 19 ◻事象と確率 ◻確率分布と母関数 ◻分布の特性値 ◻変換変数 ◻離散型分布 ◻連続型分部と標本分布
20. 離散型分布 ◦離散一様分布 確率変数が離散型である場合に、すべての事象の起こる確率が等しい分布のこと ※一様分布には、離散一様分布と連続一様分布がある ・期待値と分散 20
21. 離散型分布 ◦二項分布 ベルヌーイ試行をn回行って、成功する回数Xが従う確率分布。 Xが二項分布に従う時、 　　　　　　　と書く。 ・期待値と分散 ※ベルヌーイ試行：起こる結果が 2つしかない試行　成功確率 p 21
22. 離散型分布 ◦ポアソン分布 ある期間に平均 λ ( = np ) 回起こる現象が、ある期間にX回起きる確率分布。 ・期待値と分散 ※ポアソン分布は二項分布から派生している ※試行回数nが大きく、確率pが非常に小さい時にポアソン分布が使われる ※「ある事象が起こる平均回数 (λ = np ) 」が分かっていると、確率を算出可能！ 22
23. 離散型分布 ◦幾何分布 成功確率がpである独立なベルヌーイ試行を繰り返す時、初めて成功するまでの試行回 数Xが従う確率分布。 成功確率がpの試行において、k回目で初めて成功する確率 ・期待値と分散 23
24. 離散型分布 ◦超幾何分布 AとBで構成されるN個からなる集団があり、AがM個、BがN-M個であるとします。この集 団から取り出されたn個の中に含まれるAの個数が従う確率分布。 ・期待値と分散 24
25. 目次 25 ◻事象と確率 ◻確率分布と母関数 ◻分布の特性値 ◻変換変数 ◻離散型分布 ◻連続型分部と標本分布
26. 連続型分布 ◦連続一様分布 確率変数Xがどのような値でも、その時の確率密度関数が一定の値をとる分布 。 ・期待値と分散 26
27. 連続型分布 ◦正規分布 左右対称の形をしている 多くの統計的手法において、正規分布を仮定する。 正規分布に従う確率変数 Xの確率密度関数は次の式で表される。 正規分布の中で、特に、平均 = 0、分散 = 1 である正規分布を「標準正規分布」という。 27
28. 連続型分布 ◦指数分布 次に何かが起こるまでの期間が従う分布。 
 ある期間に平均してλ回起こる現象 が、次に起こるまでの期間が指数分布に従うとき、 
 
 
 
 ・期待値と分散
 
 
 ※ポアソン分布との違いに注意！ 
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29. 連続型分布 ◦カイ二乗分布 Z1, Z2, … , Zk が互いに独立で標準正規分布に従う確率変数であるときに、次の式 から算出される自由度kの確率分布。 ・期待値と分散 ※母分散の区間推定の際に使用される 29
30. 参考文献 ・日本統計学会公式認定　統計検定準１級対応　 　「統計学実践ワークブック」 ・統計WEB https://bellcurve.jp/statistics/ 30