2018年度 化学プロセスシステム工学 第１１回

前回までの復習
流体加熱プロセス
連続槽型反応器
タンクの液面高さ(液レベル)制御
少し複雑な流体加熱プロセス：問題設定
設定値変更してみよう
外乱を加えてみよう
PID制御の問題点
微分先行型PID制御 (PI-D制御)
比例微分先行型PID制御 (I-PD制御)
ラプラス変換
一次遅れモデル まとめ
伝達関数
[練習] １次遅れ＋むだ時間 モデルの伝達関数は？
[練習] ２次遅れモデルの伝達関数は？
[練習] PID制御の伝達関数は？
ブロック線図
PID制御のブロック線図 外乱があるときは？
微分先行型PID制御のブロック線図は？
[練習] 少し複雑な流体加熱プロセス
[練習] 伝達関数を求めよう！
[練習] 伝達関数
２次遅れモデル
２次遅れモデルのPID制御のパラメータ
IMC法　理想的な制御
IMC法　モデルが得られて・・・
IMC法　理想的な制御
IMC法 ブロック線図
IMC法 逆数の検討
IMC法 逆数は難しい
IMC法　解決法
IMC法 確認
IMC法
IMC法 練習
１次遅れモデルのラプラス変換
１次遅れモデルのIMCコントローラ
IMC法 練習
１次遅れ＋むだ時間モデルのラプラス変換
１次遅れ＋むだ時間モデルのIMCコントローラ
内部モデル制御(IMC)とPID制御
１次遅れモデルとPID制御
１次遅れモデル IMC
二次遅れモデル IMCコントローラ
二次遅れモデル FBコントローラ
一般的な二次遅れモデル IMCコントローラ
一般的な二次遅れモデル FBコントローラ

Transcript

1. 化学プロセスシステム工学 第１１回 2018年12月20日 (木) 0 理工学部 応用化学科 データ化学工学研究室 専任講師 ⾦⼦ 弘昌
2. 前回までの復習 制御したい対象があったとき、どうする︖ 1
3. 前回までの復習 ラプラス変換とは︖ 伝達関数とは︖ ブロック線図とは︖ 2
4. 流体加熱プロセス 3 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 i ︓input o︓output
5. 連続槽型反応器 連続槽型反応器 (Continuous Stirred Tank Reactor, CSTR) • 反応︓⼀次反応の A → B とする • 流⼊する A の濃度 CAi で流出する A の濃度 CA (Bの濃度) を制御 4 CAi , F CA , F V, T, rA F [m3・min-1]︓⼊⼝・出⼝流量 CAi [kmol・m-3]︓⼊⼝のAの濃度 CA [kmol・m-3]︓CSTR内のAの濃度 V [m3]︓CSTR内の液体体積 T [K]︓CSTR内の液体温度 i ︓input o︓output rA [kmol・m-3 m2]︓Aの反応速度
6. タンクの液面高さ(液レベル)制御 5 A Fi Fo Fi [m3・s-1]︓⼊⼝流量 Fo [m3・s-1]︓出⼝流量 L [m2]︓タンクの液レベル A [m2]︓タンクの断面積 (5 とする) x [-]︓バルブの弁解度 i ︓input o︓output バルブの弁開度 x で液面高さ (液レベル) L を制御 L x
7. 少し複雑な流体加熱プロセス︓問題設定 6 Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１ タンク２ 加熱量 Q で、タンク２の温度 T を制御
8. 設定値変更してみよう 2500 s・・・まで設定値 25℃ それ以降・・・設定値 30℃ 7
9. 外乱を加えてみよう 設定値︓ 25 ℃ 2500 s から F を 0.00003 に 8
10. PID制御の問題点 出⼒変数が細かく上下に振動したときに、微分項が不安定になる • 微分時間を小さくする • PI制御にする 設定値を変更したときに、誤差 e(t) が急激に変化するため • 微分項が不安定になる ⁃ 微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) • ⽐例項の影響により、⼊⼒変数もステップ状になる ⁃ ⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) 9
11. 微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) PID制御の微分項について、e(t) ではなく制御変数 y(t) を微分する 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K e t e r dr T u T dt   = + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓⼊⼒変数
12. ⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) PID制御の⽐例項についても、e(t) ではなく制御変数 y(t) にする 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K y t e r dr T u T dt   = − + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓⼊⼒変数
13. ラプラス変換 12 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換 式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界)
14. ⼀次遅れモデル まとめ 13 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換 式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) S S C 1 K K Y s s s T = − + ( ) ( ) ( ) C S T sY s Y s K U s + = ステップ応答 ( ) 1 U s s = ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −          
15. 伝達関数 14 ( ) ( ) ( ) S C 1 Y s K G s U s T s = = + G(s) を 伝達関数 と呼び、プロセスの⼊⼒と出⼒との間の関係を表す Y(s) = G(s)U(s) 出⼒ = 伝達関数 × ⼊⼒ ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ラプラス変換 １次遅れモデル
16. [練習] １次遅れ＋むだ時間 モデルの伝達関数は︖ tD [s]︓むだ時間 15 ( ) ( ) ( ) C S D dy t T y t K u t t dt + = − １次遅れ+むだ時間 モデル ラプラス変換 ( ) ( ) ( ) ( ) S C exp 1 D Y s K G s t s U s T s = = − + ( ) ( ) ( ) ( ) C S 1 exp D T s Y s K t s U s + = −
17. [練習] ２次遅れモデルの伝達関数は︖ ２次遅れモデル (２次遅れ系、２次遅れプロセス、２次遅れ要素) 16 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = a︓パラメータ (定数) DF ︓減衰係数 (定数) KS ︓定常ゲイン (定数) ( ) ( ) ( ) P 2 2 F 2 1 Y s K G s U s a s D as = = + +
18. [練習] PID制御の伝達関数は︖ PID制御 17 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 t P D de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      t [s]︓時刻 e︓制御変数の偏差 u︓操作変数 KP ︓⽐例ゲイン (定数) TI ︓積分時間 (定数) TD [s]︓微分時間 (定数) ( ) ( ) ( ) I 1 1 P D U s G s K T s E s T s   = = + +    
19. ブロック線図 s 領域において、箱(伝達関数) と 線 (⼊⼒・出⼒) で表したモノ メリット︓プロセスが複数あるとき、⾒通しがよくなる • プロセスシステム・・・単位操作のプロセス (工程) を組み合わせたもの • プラント・・・装置を組み合わせたもの 18 G(s) U(s) Y(s) ⼊⼒ プロセス (伝達関数) 出⼒ Y(s) = G(s)U(s)
20. PID制御のブロック線図 外乱があるときは︖ 外乱︓D(s) 19 T(s) Y(s) フィードバック制御 Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 P D I 1 1 K T s T s   + +     + + D(s)
21. 微分先⾏型PID制御のブロック線図は︖ まずはラプラス変換 • PID制御 • 微分先⾏型PID制御 20 ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t dy t u t K e t e r dr T T dt   = + −      ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U t K E t E t T sY t T s   = + −     ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K E s E s T sE s T s   = + +    
22. 微分先⾏型PID制御のブロック線図は︖ 21 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) I 1 1 T s + P K D T s + − ( ) ( ) ( ) ( ) D I 1 P U t K E t E t T sY t T s   = + −    
23. [練習] 少し複雑な流体加熱プロセス これは何結合︖ 22 Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１ タンク２
24. [練習] 少し複雑な流体加熱プロセス 23 ( ) 2 m dT F T T dt V = − ( ) m i m 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１ タンク２
25. [練習] 伝達関数を求めよう︕ 24 ( ) 2 m dT F T T dt V = − ( ) m i m 1 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + タンク１ タンク２ mDIFF m i T T T = − として、 mDIFF mDIFF 1 1 P dT F Q T dt V V c ρ = − + DIFF i T T T = − ( ) DIFF mDIFF DIFF 2 dT F T T dt V = − タンク１、タンク２の伝達関数をそれぞれ求めて、 全体の伝達関数を求めてみよう︕
26. [練習] 伝達関数 25 タンク１ タンク２ ( ) ( ) ( ) mDIFF P 1 1 T s Q s c V s F ρ = + ( ) ( ) DIFF mDIFF 2 F T s T s V s F = + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) DIFF P 1 2 2 2 P 1 2 P 1 2 P F T s Q s c V s F V s F F Q s c VV s c F V V s c F ρ ρ ρ ρ = + + = + + + ⾒たことは︖
27. ２次遅れモデル 26 ( ) ( ) S 2 2 F 2 1 K Y s U s a s D as = + + 少し複雑な流体加熱プロセスは二次遅れモデルの１つだった︕ 今回の系では、一次遅れ＋むだ時間 モデルと似ている
28. ２次遅れモデルのPID制御のパラメータ ２次遅れモデルのPID制御のパラメータについて考える １次遅れモデル＋むだ時間 モデルのパラメータ決定法はあったけど、 ２次遅れモデルは︖ 内部モデル制御 (Internal Model Control, IMC) 法 • ラプラス変換・伝達関数・ブロック線図を学んだ今ならできる︕ 27
29. IMC法 理想的な制御 理想的な制御を考える 28 GOptCon (s) T(s) Y(s) 理想的な制御 Gprocess (s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 Y(s) = Gprocess (s) GOptCon (s) T(s)
30. IMC法 モデルが得られて・・・ 29 GOptCon (s) = Gmodel (s)-1 とすれば、 Y(s) = Gprocess (s) GOptCon (s) T(s) = Gmodel (s) Gmodel (s)-1 T (s) = T(s) プロセスモデル Gmodel (s) を構築できた︕、とき Gmodel (s) = Gprocess (s) とする (完璧なモデル) Y を目標値に一致できる︕
31. IMC法 理想的な制御 30 プロセスモデル Gmodel (s) を作って、GOptCon (s) = Gmodel (s)-1 とすればいい︕ 外乱やモデル誤差があったら︖ プロセスとモデルを並列にして、 それらの出⼒の差をフィードバックしよう︕ うまくいかない・・・
32. IMC法 ブロック線図 31 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) Gmodel (s) GIMC (s) − + YM (s) Gmodel (s) = Gprocess (s) で外乱もなければ、Y(s) − YM (s) = 0 になるので、 これまでとの整合性もとれる IMCコントローラ
33. IMC法 逆数の検討 32 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ たとえばむだ時間があると︖ ( ) exp D t s − ( ) exp D t s むだ時間(伝達関数) 未来の予測 逆数 ・・・難しい︕
34. IMC法 逆数の検討 33 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ これまでのモデルの伝達関数を⾒てみよう︕ １次遅れモデル ２次遅れモデル ( ) S model 2 2 F 2 1 K G s a s D as = + + ( ) S model C 1 K G s T s = + 分⺟の s の次数の方が、分⼦のそれより大きい
35. IMC法 逆数の検討 34 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ GIMC (s) は︖ １次遅れモデル ２次遅れモデル ( ) 2 2 F IMC S 2 1 a s D as G s K + + = ( ) C IMC S 1 T s G s K + = 分⼦の s の次数の方が、分⺟のそれより大きい 制御としてあり︖
36. IMC法 逆数の検討 35 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ PID制御の伝達関数 (PIDコントローラ) を⾒てみよう︕ 分⼦の s の次数の方が、分⺟のそれより大きいということは︖ ( ) PID I 1 1 P D G s K T s T s   = + +     積分動作できない︕ 微分動作の次数が大きい︕ ノイズに弱い 制御として不安定
37. IMC法 逆数は難しい 36 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ 難しい 1. むだ時間の逆数にすると、未来予測しなければならない 2. 逆数にすると分⺟が 0 になりうる 3. 微分動作の次数が大きく、積分動作できないため、 ノイズに弱く、制御として不安定
38. IMC法 解決法 37 GIMC (s) = Gmodel (s)-1 にしよう︕ できるか︖ 難しい 1. むだ時間は逆数にしない 2. 逆数にすると分⺟が 0 になる可能性があるときは、 GIMC (s) が不安定になるため、 0 になる部分とならない部分とに分ける (分け方に注意) 3. 二次以上の微分動作が含まれない (二乗以上の s がない) ように、コントローラ GIMC (s) を変換する どうする︖
39. IMC法 確認 2. の確認として、試しに、 38 ( ) IMC 1 0 1 G s s α α = > − をラプラス逆変換してみよう︕
40. IMC法 2. について、たとえば 39 ( ) ( ) ( )( ) model 1 , , 0 1 1 K s G s s s α α β γ β γ − = > + + のとき、 ( ) ( ) ( )( ) model1 1 1 1 K s G s s s α β γ + = + + ( ) model2 1 1 s G s s α α − = + にわけ、 ( ) ( ) ( ) model model1 model2 G s G s G s = ( ) model1 G s のみ逆数にする
41. IMC法 40 GIMC (s) = F(s) Gmodel (s)-1 ( ) ( ) 1 1 n F s s λ = + 低域通過フィルタ 1. むだ時間は逆数にしない 2. 逆数にすると分⺟が 0 になる可能性があるときは、 GIMC (s) が不安定になるため、 0 になる部分とならない部分とに分ける (分け方に注意) 3. 二次以上の微分動作が含まれない (二乗以上の s がない) ように、コントローラ GIMC (s) を変換する 安定性を求めて、⼀乗以上の s がないように n を決めることもある
42. IMC法 練習 ⼀次遅れモデルを対象として、IMCのコントローラ GIMC (s) を 設計してみよう • ⼀次フィルタを用いる 41 ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ただし、y(0) = 0 とする
43. １次遅れモデルのラプラス変換 42 ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ( ) ( ) ( ) S model C 1 Y s K G s U s T s = = + ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + =
44. １次遅れモデルのIMCコントローラ 43 ( ) ( ) 1 C IMC model S 1 1 1 1 1 T s G s G s s s K λ λ − + = = + +
45. IMC法 練習 ⼀次遅れ＋むだ時間モデルを対象として、IMCのコントローラ GIMC (s) を 設計してみよう • ⼀次フィルタを用いる 44 ただし、y(0) = 0 とする ( ) ( ) ( ) C S D dy t T y t K u t t dt + = −
46. １次遅れ＋むだ時間モデルのラプラス変換 45 ( ) ( ) ( ) ( ) S model C exp 1 D Y s K G s t s U s T s = = − + ( ) ( ) ( ) C S D dy t T y t K u t t dt + = − ( ) ( ) ( ) ( ) C S 1 exp D T s Y s K t s U s + = −
47. １次遅れ＋むだ時間モデルのIMCコントローラ 46 ( ) ( ) 1 C IMC model+ S 1 1 1 1 1 T s G s G s s s K λ λ − + = = + + ( ) S model+ C 1 K G s T s = + ( ) ( ) ( ) model model+ model G s G s G s − = ( ) ( ) model exp D G s t s − = −
48. 内部モデル制御(IMC)とPID制御 内部モデル制御のブロック線図 47 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) Gmodel (s) GIMC (s) − + YM (s) IMCコントローラ
49. 内部モデル制御(IMC)とPID制御 内部モデル制御と等価なフィードバック(FB)制御のブロック線図は︖ 48 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) Gmodel (s) GIMC (s) YM (s) IMCコントローラ + +
50. 内部モデル制御(IMC)とPID制御 内部モデル制御と等価なフィードバック(FB)制御のブロック線図 49 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + U(s) + + D(s) Gmodel (s) GIMC (s) YM (s) IMCコントローラ + + FBコントローラ GFB (s) GFB (s) を GIMC (s), Gmodel (s) で表してみよう︕
51. 内部モデル制御(IMC)とPID制御 50 ( ) ( ) ( ) ( ) IMC FB IMC model 1 G s G s G s G s = −
52. １次遅れモデルとPID制御 １次遅れモデルの IMC コントローラと、 等価な FB コントローラを求め、それが PID コントローラに なることを確認しよう︕ そして、 • ⽐例ゲイン • 積分時間 • 微分時間 を求めよう︕ 51
53. １次遅れモデル IMC 前の課題より、 52 ( ) ( ) 1 C IMC model S 1 1 1 1 1 T s G s G s s s K λ λ − + = = + + ( ) ( ) ( ) S model C 1 Y s K G s U s T s = = + ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) ( ) IMC FB IMC model 1 G s G s G s G s = − より、 ( ) C FB S C 1 1 T G s K T s λ   = +     これは何か︖
54. １次遅れモデル IMC 53 ( ) PID I 1 1 P D G s K T s T s   = + +     ( ) C FB S C 1 1 T G s K T s λ   = +     よって、 C I C S , , 0 P D T K T T T K λ = = = IMC法によりPIDコントローラを設計できる︕
55. 二次遅れモデル IMCコントローラ 復習︓二次遅れモデルの伝達関数は︖ 以下のような特殊な二次遅れモデルを対象とする IMC コントローラを設計しよう︕ ただし、１次フィルタとする 54 ( ) S model 2 2 F 2 1 K G s a s D as = + + ( ) ( )( ) S model 1 2 1 1 K G s s s τ τ = + +
56. 二次遅れモデル IMCコントローラ 55 ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 IMC model S 1 1 1 1 1 1 s s G s G s s s K τ τ λ λ − + + = = + +
57. 二次遅れモデル FBコントローラ 求めた２次遅れモデルの IMC コントローラと、 等価な FB コントローラを求め、それが PID コントローラに なることを確認しよう︕ そして、 • ⽐例ゲイン • 積分時間 • 微分時間 を求めよう︕ 56
58. 二次遅れモデル FBコントローラ 57 ( ) ( ) ( ) ( ) IMC FB IMC model 1 G s G s G s G s = − より、 ( ) 1 2 1 2 FB S 1 2 1 2 1 1 1 G s s K s τ τ τ τ λ τ τ τ τ   + = + +   + +   ( ) ( )( ) 1 2 IMC S 1 1 1 1 s s G s s K τ τ λ + + = + から、
59. 二次遅れモデル FBコントローラ 58 ( ) 1 2 1 2 FB S 1 2 1 2 1 1 1 G s s K s τ τ τ τ λ τ τ τ τ   + = + +   + +   ( ) PID I 1 1 P D G s K T s T s   = + +     よって、 1 2 1 2 I 1 2 S 1 2 , , P D K T T K τ τ τ τ τ τ λ τ τ + = = + = + IMC法により二次遅れモデルでもPIDコントローラを設計できる
60. ⼀般的な二次遅れモデル IMCコントローラ ⼀般的な二次遅れモデルの伝達関数 IMC コントローラを設計しよう︕ ただし、１次フィルタとする 59 ( ) S model 2 2 F 2 1 K G s a s D as = + +
61. ⼀般的な二次遅れモデル IMCコントローラ 60 ( ) ( ) 2 2 1 F IMC model S 2 1 1 1 1 1 a s D as G s G s s s K λ λ − + + = = + +
62. ⼀般的な二次遅れモデル FBコントローラ 求めた２次遅れモデルの IMC コントローラと、 等価な FB コントローラを求め、それが PID コントローラに なることを確認しよう︕ そして、 • ⽐例ゲイン • 積分時間 • 微分時間 を求めよう︕ 61
63. ⼀般的な二次遅れモデル FBコントローラ 62 ( ) ( ) ( ) ( ) IMC FB IMC model 1 G s G s G s G s = − より、 ( ) F FB S F F 2 1 1 1 2 2 D a a G s s K D a s D λ   = + +     ( ) 2 2 F IMC S 2 1 1 1 a s D as G s s K λ + + = + から、
64. ⼀般的な二次遅れモデル FBコントローラ 63 ( ) PID I 1 1 P D G s K T s T s   = + +     よって、 F I F S F 2 , 2 , 2 P D D a a K T D a T K D λ = = = IMC法により二次遅れモデルでもPIDコントローラを設計できる ( ) F FB S F F 2 1 1 1 2 2 D a a G s s K D a s D λ   = + +    