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決定係数 r2 と相関係数 r

Hiromasa Kaneko
September 06, 2020

決定係数 r2 と相関係数 r

決定係数 r2 と相関係数 r
決定係数 r2 と相関係数 r
決定係数 r2
相関係数 r
変数の標準化(オートスケーリング)
回帰式
決定係数 r2 の変形
相関係数 r の二乗の変形
(r)2 − r2
標準回帰係数 b
(r)2 − r2

Hiromasa Kaneko

September 06, 2020
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Transcript

  1. 0
    決定係数 r2 と相関係数 r
    明治大学 理⼯学部 応用化学科
    データ化学⼯学研究室 ⾦⼦ 弘昌

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  2. 決定係数 r2 と相関係数 r
    決定係数 r2 と、実測値と予測値との間の相関係数 r を
    二乗したもの (r)2 の関係は、一般的に r2 ≠ (r)2
    最小二乗法による線形回帰分析におけるトレーニングデータでは、
    r2 = (r)2
    ここでは単回帰を例にして r2 = (r)2 を示します
    1

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  3. 決定係数 r2 2
    ( )
    ( )
    2
    ( ) ( )
    C
    2 1
    2
    ( )
    A
    1
    1
    n
    i i
    i
    n
    i
    i
    y y
    r
    y y
    =
    =

    = −



    y(i)︓i 番目のサンプルにおける
    目的変数の値
    yC
    (i)︓i 番目のサンプルにおける
    目的変数の予測値
    yA
    ︓目的変数の平均値
    n︓サンプル数

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  4. 相関係数 r 3
    ( )( )
    ( ) ( )
    ( ) ( )
    A C C,A
    1
    2 2
    ( ) ( )
    A C C,A
    1 1
    n
    i i
    i
    n n
    i i
    i i
    y y y y
    r
    y y y y
    =
    = =
    − −
    =
    − −

     
    y C,A
    ︓目的変数の
    予測値の平均値
    ( )
    ( )( )
    ( ) ( )
    2
    ( ) ( )
    A C C,A
    2 1
    2 2
    ( ) ( )
    A C C,A
    1 1
    n
    i i
    i
    n n
    i i
    i i
    y y y y
    r
    y y y y
    =
    = =
     
    − −
     
     
    =
    − −

     

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  5. 変数の標準化(オートスケーリング) 4
    x(i)︓i 番目のサンプルにおける説明変数の値
    xA
    ︓説明変数の平均値
    問題を簡単にするため、y, x に対して変数の標準化 (オートスケーリング) が
    ⾏われていると仮定 (平均値 は 0、標準偏差(分散) は 1)
    yA
    = 0
    xA
    = 0
    ( ) ( )
    2 2
    ( ) ( )
    A
    1 1
    n n
    i i
    i i
    y y y n
    = =
    − = =
     
    ( ) ( )
    2 2
    ( ) ( )
    A
    1 1
    n n
    i i
    i i
    x x x n
    = =
    − = =
     
    よって、
    (分散 1 より)

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  6. 回帰式 5
    yC
    (i) = b x(i) b︓標準回帰係数
    (x, y は標準化されているため、定数項は 0)

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  7. 決定係数 r2 の変形 6
    ( )
    ( )
    ( )
    ( ) ( )
    2 2
    ( ) ( ) ( ) ( )
    C
    2 1 1
    2
    ( )
    A
    1
    2 2
    ( ) ( ) ( ) 2 ( )
    1 1 1
    ( ) ( ) 2
    1
    ( ) ( ) 2
    1
    1 1
    2
    1
    2
    1
    2
    n n
    i i i i
    i i
    n
    i
    i
    n n n
    i i i i
    i i i
    n
    i i
    i
    n
    i i
    i
    y y y bx
    r
    n
    y y
    y b y x b x
    n
    n b y x b n
    n
    b y x b n
    n
    = =
    =
    = = =
    =
    =
    − −
    = − = −

    − +
    = −
    − +
    = −

    =
     

      



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  8. 相関係数 r の二乗の変形 7
    ( )
    ( )( )
    ( ) ( )
    ( )( )
    ( )
    ( )
    2 2
    ( ) ( ) ( ) ( )
    A C C,A A
    2 1 1
    2 2 2
    ( ) ( ) ( )
    A C C,A A
    1 1 1
    2
    2 ( ) ( )
    1
    2
    2 ( )
    A
    1
    2
    ( ) ( )
    1
    2
    n n
    i i i i
    i i
    n n n
    i i i
    i i i
    n
    i i
    i
    n
    i
    i
    n
    i i
    i
    y y y y y bx bx
    r
    y y y y n bx bx
    b y x
    nb x x
    y x
    n
    = =
    = = =
    =
    =
    =
       
    − − −
       
       
    = =
    − − −
     
     
     
    =

     
     
     
    =
     
      



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  9. (r)2 − r2 8
    ( )
    2
    ( ) ( ) ( ) ( ) 2
    2 1
    2 1
    2
    2
    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
    2
    1 1
    2
    1
    2
    n n
    i i i i
    i i
    n n
    i i i i
    i i
    y x b y x b n
    r r
    n n
    y x bn y x b n
    n
    = =
    = =
     

     
     
    − = −
     
     
    = − +
     
     
     
     
     
     
     

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  10. 標準回帰係数 b 9
    ( ) ( )
    1
    n
    i i
    i
    y x
    b
    n
    =
    =

    x, y が標準化されているとき (平均値 0, 分散 1)、
    標準回帰係数 b は以下のように計算される

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  11. (r)2 − r2 10
    ( )
    2
    2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
    2
    1 1
    2
    ( ) ( ) ( ) ( )
    2
    ( ) ( ) ( ) ( ) 2
    1 1
    2
    1 1
    2
    ( ) ( ) ( ) ( )
    2
    1 1
    1
    2
    1
    2
    1
    2
    n n
    i i i i
    i i
    n n
    i i i i
    n n
    i i i i
    i i
    i i
    n n
    i i i i
    i i
    r r y x bn y x b n
    n
    y x y x
    y x n y x n
    n n n
    y x y x
    n
    = =
    = =
    = =
    = =
     
     
    − = − +
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    = − +
     
     
     
     
     
     
     
     
     
       
    = −
      
      
     
     
     
      2 2
    ( ) ( )
    1
    0
    n
    i i
    i
    y x
    =
     
     
    +
     
      
     
      
     
    =

    よって、 r2 = (r)2

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