ざっと学んでみる確率過程 〜その1 : ブラウン運動〜

確率過程のイントロダクションとして、ブラウン運動を用いて、解について色々と調べています。各粒子の存在分布がどのようになるのか、それについて概論的にまとめています。

Transcript

1. 0 ざっと学んでみる確率過程 〜その1 : ブラウン運動〜 2024-01-19 第75回NearMe技術勉強会 Kaito Asahi
2. 1 確率過程とは？の前に... 確率ってなんですか？
3. 2 確率過程とは？の前に... 確率ってなんですか？ → なんかいろんなものがある程度でるな...（サイコロを振って、1の⽬が1, 2回出る） → どのくらいでこれは出るのかな？（サイコロ10回振ったら、1の⽬はどのくらい） → こんな傾向があるよな？ということを定量的に表せないか？（確率の必要性） → 確率を可視化したいね（確率分布の必要性）
4. 3 確率過程とは？ 確率過程の定義
5. 4 確率過程とは？ 確率過程の定義 → 下線部分を確認しておきましょう
6. 5 確率過程とは？ 確率空間について → 確率を定義するために必要な空間 Q : 確率を定義するために何が必要でしょうか？ A : • 標本全体の集合（標本空間） • 確率の⼤きさを測るために必要な指標（σ - 加法族） • 確率というものを定量的に計算するためのもの（確率測度） ◦ 標本空間から、実数（空間）への写像など（ ）
7. 6 確率過程とは？ 確率空間について → 確率を定義するために必要な空間 Q : 確率を定義するために何が必要でしょうか？ A : • 標本全体の集合（標本空間） • 確率の⼤きさを測るために必要な指標（σ - 加法族） • 確率というものを定量的に計算するためのもの（確率測度） ◦ 標本空間から、実数（空間）への写像など（ ） コインを投げる時、{{}, {表}, {裏}, {表, 裏}, {裏, 表}}
8. 7 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） • 必要なパラメータ（定数を含む） ◦ ：質量（kg） ◦ ：速度ベクトル（m/s） ◦ ：外⼒（N） ◦ ：時間（s） • 基本の運動⽅程式（質量の時間変化は無視：基本は、運動量の時間変化が⼒となる）
9. 8 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） • ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動（粘性⼒による影響） （ ：減衰パラメータ）として、
10. 9 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） • ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動（粘性⼒による影響） （ ：減衰パラメータ）として、 これでは、ランダムな運動は表せない
11. 10 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） • ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動（粘性⼒による影響） （ ：減衰パラメータ）として、 これでは、ランダムな運動は表せない → Aは定ベクトルで、1方向にのみ推進
12. 11 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） • ランダム⼒を加える （ ：単位質量当たりのランダム⼒）として、 ※具体的な解法はAppendixスライドにて
13. 12 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） • ランダム⼒を加える （ ：単位質量当たりのランダム⼒）として、 ここの積分値が分からない...
14. 13 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分） ⼀般化しておく ※以下を仮定
15. 14 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分）
16. 15 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分） • となる※   を導⼊する                        ※形式的に、 これにより、⼀般的な関数 f(s) を W での積分の形で表すことができた！！ ※過去の勉強会資料を参照：これはブラウン運動を仮定 https://speakerdeck.com/nearme_tech/kuo-san-moderunogai-yao-ss1-kuo-san-moderudeshi-wareruque-lu-wei-fen-ch eng-shi-nituite?slide=13
17. 16 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分） • 伊藤積分で成り⽴つこと 1. （期待値） 2. （等張性）
18. 17 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分） • 伊藤積分で成り⽴つこと 3.                            （マルチンゲール） 4.                                 （線形性）
19. 18 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分） • を導⼊することで、 確率微分⽅程式！！！！
20. 19 2. 伊藤積分（確率積分） • もう少しこの確率微分⽅程式を⾒てみよう 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 ドリフト項 拡散項
21. 20 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分） • 確率微分⽅程式を⼀般化 ドリフト項 拡散項
22. 21 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換） → 確率微分⽅程式にて、変数変換を⾏うもの           ：変数変換 ※3次以降の項は無視する
23. 22 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換） → 確率微分⽅程式にて、変数変換を⾏うもの           ：変数変換 ※3次以降の項は無視する ここから
24. 23 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換） ただし、 伊藤ルール
25. 24 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換） ただし、 伊藤ルール ブラウン運動であるので、  は標準偏差   の 正規分布に従うことから導ける。
26. 25 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換）
27. 26 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換）
28. 27 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換） • 具体例： ,
29. 28 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換） • 具体例： ,
30. 29 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分！！ • 具体例： 4-1. 期待値：
31. 30 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分！！ • 具体例： 4-2. 分散：
32. 31 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分！！ • 具体例： 4-3. 従う確率分布： 定常確率密度分布（正規分布に従う！！）
33. 32 参考⽂献 1. 機械学習のための確率過程入門 確率微分方程式からベイズモデル，拡散モデル まで（https://www.ohmsha.co.jp/book/9784274231087/） 2. σ加法族と可測空間の定義・基本的な性質をわかりやすく （https://mathlandscape.com/sigma-field/） 3. 伊藤の公式を直感的に理解する(追記：ブラック・ショールズモデル （https://www.monte-carlo-note.com/2018/09/Ito-Formula.html）
34. 33 Appendix
35. 34 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 • 以下の線形常微分⽅程式を解く
36. 35 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 • として導いた以下の解を⽤い、定ベクトル を時間依存にする
37. 36 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 • として導いた以下の解を⽤い、定ベクトル を時間依存にする
38. 37 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜
39. 38 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜
40. 39 Thank you