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ボリュームレンダリング入門(非一様媒質編) / Introduction to VPT (heterogeneous)

sakanaman
December 12, 2020
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ボリュームレンダリング入門(非一様媒質編) / Introduction to VPT (heterogeneous)

OSKのLT会で発表した際の資料。
非一様媒質でVolumtric Path Tracingを行う方法について説明しました。

sakanaman

December 12, 2020
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Transcript

  1. 非一様媒質であることによる弊害 , = ! ∫! " ## $!%& '% 透過率の解析的な評価が難しい。

    距離サンプリングに必要な逆関数法も使えない。 ! ≔ " + #()
  2. デルタトラッキング & ∇ , = −! , + " #

    , + / $! % & , ' , ' ' まず、媒質中での放射輝度の変化を記述した放射伝達方程式(RTE)は 吸収・散乱による放射輝度の減少 発光による放射輝度の増加 散乱による放射輝度の増加 通常のボリュームレンダリング方程式はこの微分方程式を解くことで得られる。 そこで、この式の持つ意味を変えないで扱いやすい形に変形していくことを考える。 ※微分方程式の解き方はmemoRANDOMを参照してください。
  3. デルタトラッキング null-collisionによる放射輝度の変化は次のようになる −( , + ( / $! − '

    , ' ' = 0 ! ()は" ()や# ()の役割と同様に、上の擬似的な散乱の起こりやすさを表す係数である。 減少 増加
  4. デルタトラッキング −( , + ( / $! − ' ,

    ' ' = 0 先ほど出てきた次の式 これを放射伝達方程式に加えても意味は変わらないことは明らかですね & ∇ , = −! , + " # , + / $! % & , ' , ' ' − ( , + ( ∫ $! − ' , ' '
  5. デルタトラッキング 5 ! ≔ !() + (()とすれば、次のように書ける & ∇ ,

    = −5 ! , + # $ , + + %! " & , ' , ' ' + ( + %! − ' , ' '
  6. デルタトラッキング ここで、 2 & ()の定義に戻れば、 ! ! ≔ ! ()

    + " () ! ()の定め方は自由なので、 2 & が定数Cになるように! ()を定めれば、 ! , ≔ 0 ∫! " 2 3# 045 64 = 0 ∫! " 7 64= 078 透過率が解析的に求まっている!!(null-collisionを経路に組み込んだ上での透過率であることに注意) ちなみに定数Cは& ()の最大値に設定することが多い
  7. デルタトラッキング また距離サンプリングに使う確率変数の分布関数は、 = 1 − ! (, ) = 1

    − #$% これは逆関数法が適用でき、 = −log(1 − u) 非一様媒質を一様媒質のように扱うことができるようになった
  8. デルタトラッキング モンテカルロ積分の推定値は次のようになる。 , = 2 +#, ≥ +#, , =

    2 +#, 2 +#, , = , (" ≥ +#, ) , (" < +#, ) " ≔ 距離サンプリングで求めた値 , ≔ - . &" / 0# , 0$ , / 0# , ) &" 0$ , / 0# , 1% ,,3 4 - . &" / 0# , 0$ , / 0# , - . &" / 0# , 0$ , / 0# , 1% ,,3 41% ,,3 5&(3,3')- . &" / 0# , 0" , / 0# , )(3')) &" 0" , / 0# , 1 ,,3' 4 5&(3,3')- . &" / 0# , 0" , / 0# , 5&(3,3')- . &" / 0# , 0" , / 0# , 1 ,,3' 41 ,,3' 8(393)- . &" / 0# , 0" , / 0# , 8(393)) &" 0" , / 0# , 1 ,,3 4 - . &" / 0# , 0" , / 0# , - . &" / 0# , 0" , / 0# , 1 ,,3 41(,,3) ≔ 境界上の点 (吸収) (散乱) (null-collision)
  9. $ : " 散乱・吸収・null-collisionのどれが起きるかを確率的に決める =% < =$ + =& <

    =$ + =' < =$ = 1 なので、 確率 =% < =$ で、吸収・発光 確率 =& < =$ で、散乱 確率 =' < =$ で、null-collision