seetheworld1992
December 20, 2016
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# ディリクレ過程の定義

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December 20, 2016

## Transcript

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σΟϦΫϨաఔͷఆٛ
@seetheworld1992
2016/12/21
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2. ࢀߟจݙ
ຊࢿྉΛ࡞੒͢Δʹ͋ͨΓɼҎԼͷจݙΛࢀߟʹͨ͠ɽ
Antoniak, C. (1974), Mixtures of Dirichlet processes with applications to
Bayesian nonparametric problems, The Annals of Statistics, Vol.2, No.6,
pp.1152-1174.
Ferguson, T. (1973), Bayesian analysis of some nonparametric problems,
The Annals of Statistics, Vol.1, No.2, pp.209-230.
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3. ४උ:ΨϯϚ෼෍
Ferguron(1973) ʹΑΔΨϯϚ෼෍ͷఆٛΛࣔ͢ɽ
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Deﬁnition 1.
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ܗঢ়฼਺ α ≥ 0ɼई౓฼਺ β > 0 ͷΨϯϚ෼෍Λ G (α, β) ͱ͢Δɽα = 0
ͷͱ͖ɼ͜ͷ෼෍͸ 0 ʹୀԽ͢Δ; α > 0 ͷͱ͖ɼ͜ͷ෼෍͸࣮਺্ͷϧ
ϕʔάଌ౓ʹؔ͢ΔҎԼͷີ౓Λ΋ͭɽ
f(z|α, β) =
1
Γ(α)βα
e−z/βzα−1I(0,∞)
(z)
Γ(α) =

0
xα−1e−xdx
IS(z) =
{
1 (z ∈ S)
0 (z /
∈ S)
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4. ४උ:σΟϦΫϨ෼෍ (1/2)
Ferguron(1973) ʹΑΔσΟϦΫϨ෼෍ͷఆٛΛࣔ͢ɽ
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Deﬁnition 2.
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αj ≥ 0 for all j, αj > 0 for some j, j = 1, · · · , k ͱ͠ɼZj ∈ G (αj, 1) Λ
ຬͨ͢ Z1, Z2, · · · , Zk
Λޓ͍ʹಠཱͳ֬཰ม਺ (ͷྻ) ͱ͢Δɽ
(Y1, · · · , Yk) ͷ෼෍Λύϥϝʔλ (α1, · · · , αk) ͷσΟϦΫϨ෼෍ͱ͍͏ɽ
͜͜Ͱ
Yj = Zj/
k

i=1
Zi, for j = 1, · · · , k
Ͱ͋Δɽ·ͨσΟϦΫϨ෼෍Λ D(α1, · · · , αk) ͱॻ͘ɽ
Y1 + · · · + Yk = 1 Ͱ͋ΔͷͰɼ͜ͷ෼෍͸ k ࣍ݩϧϕʔάଌ౓ʹؔͯ͠ৗ
ʹಛҟͰ͋Δ 1ɽ·ͨ೚ҙͷ αj = 0 ͳΒ͹ɼରԠ͢Δ Yj
͸ 0 ʹୀԽ͢Δɽ
1۩ମྫͱͯ͠ k = 2 ͷͱ͖Λߟ͑Δͱɼີ౓ؔ਺͸௚ઢ Y1
+ Y2
= 1 ্ʹ஋ΛͱΔɽ
ೋ࣍ݩϧϕʔάଌ౓ʹؔͯ͠ಛҟͱ͸ɼ͜ͷͱ͖ʹີ౓Λੵ෼ͯ֬͠཰ΛٻΊΑ͏ͱ͠
ͯ΋ɼີ౓ؔ਺ͷԼଆͷମੵΛٻΊΒΕͳ͍͜ͱʹରԠ͢Δɽ
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5. ४උ:σΟϦΫϨ෼෍ (2/2)
ҰํͰɼαj > 0 for all j ͳΒ͹ɼ(Y1, · · · , Yk−1) ͷ෼෍͸ k − 1 ࣍ݩϧ
ϕʔάଌ౓ʹରͯ͠ઈର࿈ଓͰҎԼͷີ౓Λ΋ͭ 2ɽ
f(y1, · · · , yk−1|α1, · · · , αk)
=
Γ(α1 + · · · + αk)
Γ(α1) · · · Γ(αk)
(
k−1

j=1
yαj−1
j
)(1 −
k−1

j=1
yj)αk−1IS(y1, · · · , yk−1)
͜͜Ͱ S ͸ k − 1 ࣍ݩͷ୯ମ (simplex) Ͱ͋Δɽ
S = {(y1, · · · , yk−1) : yj ≥ 0,
k−1

j=1
yj ≤ 1}
2k = 2 ͱ͢Δͱɼϕʔλ෼෍ De(α1
, α2
) ͱͳΔɽ
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6. ४උ:Մଌ෼ׂ
Ferguron(1973) ʹҎԼͷهड़͕͋Δ 3ɽͨͩ͠ɼΘ Λू߹ɼA Λ Θ ͷ෦
෼ू߹Λཁૉͱ͢Δ σ ू߹ମͱ͢Δɽ
ʢ͜͜Ͱ͸ɼBi ∈ A for all i, Bi ∩ Bj = ϕ for all i ̸= j, ∪k
j=1
Bj = Θ ͳ
Β͹ (B1, · · · , Bk) ΛՄଌ෼ׂͱ͍͏͜ͱʹ͢Δʣ
3Ferguron(1973) Ͱ͸ɼΘ Ͱ͸ͳ͘ X Λ࢖༻͍ͯ͠Δɽ
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7. σΟϦΫϨաఔ
Antoniak(1974) ʹ͸σΟϦΫϨաఔͷఆٛͱͯ͠ҎԼ͕ࣔ͞Ε͍ͯΔ 4ɽ
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Deﬁnition 3.
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Θ Λू߹ɼA Λ Θ ͷ෦෼ू߹Λཁૉͱ͢Δ σ ू߹ମͱ͢Δɽα Λ
(Θ, A ) ্ͷۭͰͳ͍༗ݶଌ౓ (ඇෛͰ༗ݶՃ๏త) ͱ͢Δɽ͢΂ͯͷ
k = 1, 2, · · · ͱ Θ ͷ͋ΒΏΔՄଌ෼ׂ (B1, · · · , Bk) ʹ͍ͭͯɼ
(P(B1), · · · , P(Bk)) ͷಉ࣌෼෍͕ύϥϝʔλ (α(B1), · · · , α(Bk)) Λ΋ͭ
σΟϦΫϨɼ͢ͳΘͪ (P(B1), · · · , P(Bk)) ∈ D(α(B1), · · · , α(Bk)) ͳΒ
͹ɼ(Θ, A ) ্ͷϥϯμϜͳ֬཰ଌ౓ P Λ (Θ, A ) ্ͷύϥϝʔλ α Λ΋
ͭσΟϦΫϨաఔͱ͍͍ɼP ∈ D(α) ͱ͔͘ɽ(α(Bi) = 0 ͷͱ͖ɼ
P(Bi) = 0 ͕֬཰ 1 Ͱ੒Γཱͭɽ)
·ͨɼAntoniak(1974) ʹ͸࣮࣭తʹҎԼΛҙຯ͢Δهड़΋͋Δɽ
ʮ͜ͷఆٛ͸ ([0, 1]A , BFA ) ্ͷ֬཰ P ͷଘࡏΛຬ͍ͨͯ͠Δɽ͜͜
Ͱ [0, 1]A ͸ A ͔Β [0, 1] ΁ͷશͯͷؔ਺ͷۭؒΛද͢ͱ͠ɼBFA ͸γ
Ϧϯμʔू߹ʹΑΓੜ੒͞ΕΔ σ ू߹ମΛද͢ͱ͢Δɽ
ʯ
4Ferguron(1973) ʹΑΓఆٛ͞Εͨ΋ͷͰ͋Δ͕ɼ͜͜Ͱ͸͜ͷهड़Λ༻͍Δɽ
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