201909_StringBeginners_Palindrome_Shawna

StringBeginners（https://sites.google.com/view/stringbeginners/workshop） にて発表

Transcript

1. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 回文について，少し考えてみる Shawna
2. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 極大回文を O(n) 時間で列挙するアルゴリズム
 文字列上の回文を見てみる
3. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  たけやぶやけた •  よのなかねかおかおかねかなのよ そもそも回文ってなんだっけ
4. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  長さ n の文字列上に存在する回文は最大いくつ？ 回文の個数 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
5. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  代表的な回文（極大回文）を 2n-1 個保持すれば， すべての回文を保持できる． 極大回文 a a b a a b a a b a b a a b b a a a b a
6. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  長さ n の文字列 w に出現する極大回文を O(n) 時間で すべて列挙する． •  偶回文（長さが偶数の回文）のみ考える． •  奇回文（長さが奇数の回文）は，もとの文字列を２倍に すれば求まる． •  文字列 w に出現する極大回文の集合を MPals(w) とする． •  位置 c を中心とする長さ 2r の回文を Pal(c, r) とする． 極大回文を列挙してみる（準備）
7. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  w[1..c-1] 上の極大回文はすべて列挙できているとし， 位置 c を中心とする極大回文を計算する． •  MPals(c, r) は，r 時間で計算できる． 極大回文を列挙してみる [Manacher, 1975] w c r r
8. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  任意の Pal(c, r) ∈ MPals(w)，0 < d ≤ r に対して， Pal(c-d, rl ), Pal(c+d, rr ) ∈ MPals(w) は， (1)~(3) のいずれかを満たす． •  (1) rl < r-d à rr = rl •  (2) rl = r-d à rr ≥ r-d •  (3) rl > r-d à rr = r-d 極大回文を列挙してみる（補題） w c r r
9. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  任意の Pal(c, r) ∈ MPals(w)，0 < d ≤ r に対して， Pal(c-d, rl ), Pal(c+d, rr ) ∈ MPals(w) は， (1)~(3) のいずれかを満たす． •  (1) rl < r-d à rr = rl •  (2) rl = r-d à rr ≥ r-d •  (3) rl > r-d à rr = r-d 極大回文を列挙してみる（補題） w c r r d rl (1)
10. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  任意の Pal(c, r) ∈ MPals(w)，0 < d ≤ r に対して， Pal(c-d, rl ), Pal(c+d, rr ) ∈ MPals(w) は， (1)~(3) のいずれかを満たす． •  (1) rl < r-d à rr = rl •  (2) rl = r-d à rr ≥ r-d •  (3) rl > r-d à rr = r-d 極大回文を列挙してみる（補題） w c r r d rl (1) d rr
11. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  任意の Pal(c, r) ∈ MPals(w)，0 < d ≤ r に対して， Pal(c-d, rl ), Pal(c+d, rr ) ∈ MPals(w) は， (1)~(3) のいずれかを満たす． •  (1) rl < r-d à rr = rl •  (2) rl = r-d à rr ≥ r-d •  (3) rl > r-d à rr = r-d 極大回文を列挙してみる（補題） w c r r d rl (2)
12. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  任意の Pal(c, r) ∈ MPals(w)，0 < d ≤ r に対して， Pal(c-d, rl ), Pal(c+d, rr ) ∈ MPals(w) は， (1)~(3) のいずれかを満たす． •  (1) rl < r-d à rr = rl •  (2) rl = r-d à rr ≥ r-d •  (3) rl > r-d à rr = r-d 極大回文を列挙してみる（補題） w c r r d rl (2) d rr
13. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  任意の Pal(c, r) ∈ MPals(w)，0 < d ≤ r に対して， Pal(c-d, rl ), Pal(c+d, rr ) ∈ MPals(w) は， (1)~(3) のいずれかを満たす． •  (1) rl < r-d à rr = rl •  (2) rl = r-d à rr ≥ r-d •  (3) rl > r-d à rr = r-d 極大回文を列挙してみる（補題） w c r r d rl (2) d a b b b rr
14. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  任意の Pal(c, r) ∈ MPals(w)，0 < d ≤ r に対して， Pal(c-d, rl ), Pal(c+d, rr ) ∈ MPals(w) は， (1)~(3) のいずれかを満たす． •  (1) rl < r-d à rr = rl •  (2) rl = r-d à rr ≥ r-d •  (3) rl > r-d à rr = r-d 極大回文を列挙してみる（補題） w c r r d rl (3)
15. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  任意の Pal(c, r) ∈ MPals(w)，0 < d ≤ r に対して， Pal(c-d, rl ), Pal(c+d, rr ) ∈ MPals(w) は， (1)~(3) のいずれかを満たす． •  (1) rl < r-d à rr = rl •  (2) rl = r-d à rr ≥ r-d •  (3) rl > r-d à rr = r-d 極大回文を列挙してみる（補題） w c r r d (3) d rr rl
16. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  任意の Pal(c, r) ∈ MPals(w)，0 < d ≤ r に対して， Pal(c-d, rl ), Pal(c+d, rr ) ∈ MPals(w) は， (1)~(3) のいずれかを満たす． •  (1) rl < r-d à rr = rl •  (2) rl = r-d à rr ≥ r-d •  (3) rl > r-d à rr = r-d 極大回文を列挙してみる（補題） w c r r d (3) d rr rl b b b a
17. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  任意の Pal(c, r) ∈ MPals(w)，0 < d ≤ r に対して， Pal(c-d, rl ), Pal(c+d, rr ) ∈ MPals(w) は， (1)~(3) のいずれかを満たす． •  (1) rl < r-d à rr = rl •  (2) rl = r-d à rr ≥ r-d •  (3) rl > r-d à rr = r-d 極大回文を列挙してみる（補題） w c r r d (3) d rr rl b b b a
18. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 極大回文を列挙してみる w c r r d rl •  w[1..c-1] 上の極大回文はすべて列挙できているとし， 位置 c を中心とする極大回文を計算する． •  MPals(c, r) は，r 時間で計算できる． •  (1) rl < r-d à rr = rl 　(2) rl = r-d à rr ≥ r-d　(3) rl > r-d à rr = r-d •  c より左の位置を中心とする極大回文を右から順に見ていく． –  (1), (3) の場合，右にコピーする．次の極大回文を計算する． –  (2) の場合，(2) の反対側の位置を中心として， 左右に延ばし，極大回文を求める． この極大回文を MPals(c, r) とする．
19. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 接頭辞回文を O(log n) 個の等差数列で保持できることの証明
 ある位置から始まる回文を見てみる
20. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  長さ n の文字列上の ある位置 i を開始位置とする回文はいくつ？ 始点を基準に回文を見てみる
21. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  極大回文をすべて保持しておけば， i について計算すれば，位置 i を開始位置とする回文は 計算できるが， 今日はとりあえず置いておく． •  位置 i を開始位置とする回文を， O(log (n-i)) 個の等差数列で保持する． •  かんたんのため（毎回 n-i と書くのが面倒なため）， 接頭辞回文を O(log n) 個の等差数列で保持する場合を考 える． 開始位置を基準に回文を保持する [Apostolico, 1995]
22. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  PPals(w)：文字列 w 上の接頭辞回文の集合 •  PPals(w) = {w[1..a1 ], w[1..a2 ], …, w[1,ak ] } ただし a1 < a2 < … < ak とする •  ai +1 = ai + di •  TR：T の逆文字列 O(log n) 個の等差数列で保持するための準備 w a1 a2 a3 d2
23. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  w[1..q] ∈ PPals(w), 1 ≤ i < j ≤ q を満たす任意の数 q につ いて， w[i..j] = w[q-j+1..q-i+1]R O(log n) 個の等差数列で保持するための補題（１） w q i j
24. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  任意の a と d について， w[1..a], w[1..a+d] ∈ PPals(w) かつ a-d ≥ 0 ならば w[1..a-d] ∈ PPals(w) •  w[1..a-d] = w[a-(a-d)+1..a-a+1]R = w[d+1..a]R = (w[(a+d)-a+1..(a+d)-(d+1)+1]R)R = w[d+1..a] = w[1..a-d]R （参考 ：補題（１）w[i..j] = w[q-j+1..q-i+1]R） •  同じ理由で a-2d も a-3d も…　à　等差数列で保持できる w a a+d a-d O(log n) 個の等差数列で保持するための補題（２）
25. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  di ≤ di+1 が成り立つ． •  di > di+1 と仮定する． w[1..ai+1 ], w[1..ai+1 +di+1 ] (= w[1..ai+2 ]) ∈ PPals(w) より， w[1..ai+1 -di+1 ] ∈PPals(w)．　∵ 補題（２） ai = ai+1 -di < ai+1 -di+1 < ai+1 w[1..ai ] の次に長い接頭辞回文は w[1..ai+1 ] あることに反 する． O(log n) 個の等差数列で保持するための補題（３）
26. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  di ≠ di+1 のとき， di+1 ≥ di + di-1 が成り立つ． •  補題（２）より， w[1..ai+1 -di+1 ] ∈ PPals(w)． 　 ai+1 -di+1 = aj (1 ≤ j ≤ i)とおく． di+1 = ai+1 -aj = = di ≠ di+1 より， j < i．（もし j = i だと，di+1 = = di ） よって、 di+1 = ≥ di + di-1 (al+1 -al ) dl l= j i ∑ l= j i ∑ dl l=i i ∑ dl l= j i ∑ O(log n) 個の等差数列で保持するための補題（４）
27. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  di = di+1 を満たすあいだは，１つの等差数列で保持できる． •  等差数列にならない状況を詰め込む （di ≠ di+1 ばかりにする）． 　　　2　　　　 　　　3 　　　di-1 + di-2 　 di = 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … O(log n) 個の等差数列で保持する i = 1 i = 2 i > 2 di
28. HABATAKITAI Laboratory Everything is String. 元 HABATAKITAI Laboratory Everything is String. •  di = di+1 を満たすあいだは，１つの等差数列で保持できる． •  等差数列にならない状況を詰め込む （di ≠ di+1 ばかりにする）． 　 di = 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … •  ところで，フィボナッチ数列を思い出してみる． 　Fi = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … •  フィボナッチ数列の一般項を調べて，いい感じに式変形する だけ．（わからなかったら聞いてください） O(log n) 個の等差数列で保持する