局所環と非単元 Local ring

環Rが局所環　⇔　Rの非単元がイデアルになる
この命題の証明をしました

Transcript

1. 局所環と非単元の集合 Hanpen Robot
2. 今日のテーマ 以下の命題の証明をします！ 環Rが局所環 ⇔ ∖ ∗がイデアル
3. ＊記号の定義＊ : 環Rの極大イデアルの集合 ∗: 環Rの単元の集合 ∴ ∖ ∗ は環Rの非単元の集合となる！
4. そもそも局所環とは？ １コしか極大イデアルがない環のこと 「環Rが局所環である」を数式で書くと， !∃ ∈ , ≠ となる. !∃ は「唯一存在する」って意味です
5. 環Rが局所環 ⇔ ∖ ∗がイデアル (⇒)の証明: ∈ , ≠ と仮定する. Step1 ⊂ ∖ ∗を示す. ∈ ∗ ⇒ ∉ (∵ ≠ ) ∈ ⇒ ∉ ∗ (対偶命題) ∈ ⇒ ∈ ∖ ∗ ∴ ⊂ ∖ ∗
6. Step2 ∖ ∗ ⊂ を示す. ∈ ∖ ∗ ⇒ ⊂ (∵ ≠ ) そして，明らかに ∈ つまり， ∈ ∖ ∗ ⇒ ∈ ⊂ ∈ ∖ ∗ ⇒ ∈ ∴ ∖ ∗ ⊂ ※なお， = {rx | ∈ }で によって生成されたイデアルを意味している
7. ＜結論＞ ∖ ∗ = ∈ ∖ ∗は極大イデアルと等しい ゆえに， ∖ ∗はイデアルである！
8. (⇐)の証明: ∖ ∗がイデアルと仮定する. をの任意のイデアルとする. はイデアルなので， ∈ ∗ ⇒ ∉ ∈ ⇒ ∉ ∗(対偶命題) ∈ ⇒ ∈ ∖ ∗ ⊂ ∖ ∗ ∴ ∖ ∗は唯一の極大イデアル (∵ は任意のイデアル) 証明終了
9. 環Rが局所環 ⇔ ∖ ∗がイデアル この命題を使えば、環が局所環か判定出来る！
10. 終