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局所環と非単元 Local ring
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Hanpen_Robot
August 13, 2014
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局所環と非単元 Local ring
環Rが局所環 ⇔ Rの非単元がイデアルになる
この命題の証明をしました
Hanpen_Robot
August 13, 2014
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Transcript
局所環と非単元の集合 Hanpen Robot
今日のテーマ 以下の命題の証明をします! 環Rが局所環 ⇔ ∖ ∗がイデアル
*記号の定義* : 環Rの極大イデアルの集合 ∗: 環Rの単元の集合 ∴ ∖ ∗ は環Rの非単元の集合となる!
そもそも局所環とは? 1コしか極大イデアルがない環のこと 「環Rが局所環である」を数式で書くと, !∃ ∈ , ≠ となる. !∃ は「唯一存在する」って意味です
環Rが局所環 ⇔ ∖ ∗がイデアル (⇒)の証明: ∈ , ≠ と仮定する. Step1
⊂ ∖ ∗を示す. ∈ ∗ ⇒ ∉ (∵ ≠ ) ∈ ⇒ ∉ ∗ (対偶命題) ∈ ⇒ ∈ ∖ ∗ ∴ ⊂ ∖ ∗
Step2 ∖ ∗ ⊂ を示す. ∈ ∖ ∗ ⇒ ⊂
(∵ ≠ ) そして,明らかに ∈ つまり, ∈ ∖ ∗ ⇒ ∈ ⊂ ∈ ∖ ∗ ⇒ ∈ ∴ ∖ ∗ ⊂ ※なお, = {rx | ∈ }で によって生成されたイデアルを意味している
<結論> ∖ ∗ = ∈ ∖ ∗は極大イデアルと等しい ゆえに, ∖ ∗はイデアルである!
(⇐)の証明: ∖ ∗がイデアルと仮定する. をの任意のイデアルとする. はイデアルなので, ∈ ∗ ⇒ ∉ ∈
⇒ ∉ ∗(対偶命題) ∈ ⇒ ∈ ∖ ∗ ⊂ ∖ ∗ ∴ ∖ ∗は唯一の極大イデアル (∵ は任意のイデアル) 証明終了
環Rが局所環 ⇔ ∖ ∗がイデアル この命題を使えば、環が局所環か判定出来る!
終