局所環と非単元 Local ring

局所環と非単元 Local ring

環Rが局所環 ⇔ Rの非単元がイデアルになる
この命題の証明をしました

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Hanpen_Robot

August 13, 2014
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Transcript

  1. 局所環と非単元の集合 Hanpen Robot

  2. 今日のテーマ 以下の命題の証明をします! 環Rが局所環 ⇔ ∖ ∗がイデアル

  3. *記号の定義* : 環Rの極大イデアルの集合 ∗: 環Rの単元の集合 ∴ ∖ ∗ は環Rの非単元の集合となる!

  4. そもそも局所環とは? 1コしか極大イデアルがない環のこと 「環Rが局所環である」を数式で書くと, !∃ ∈ , ≠ となる. !∃ は「唯一存在する」って意味です

  5. 環Rが局所環 ⇔ ∖ ∗がイデアル (⇒)の証明: ∈ , ≠ と仮定する. Step1

    ⊂ ∖ ∗を示す. ∈ ∗ ⇒ ∉ (∵ ≠ ) ∈ ⇒ ∉ ∗ (対偶命題) ∈ ⇒ ∈ ∖ ∗ ∴ ⊂ ∖ ∗
  6. Step2 ∖ ∗ ⊂ を示す. ∈ ∖ ∗ ⇒ ⊂

    (∵ ≠ ) そして,明らかに ∈ つまり, ∈ ∖ ∗ ⇒ ∈ ⊂ ∈ ∖ ∗ ⇒ ∈ ∴ ∖ ∗ ⊂ ※なお, = {rx | ∈ }で によって生成されたイデアルを意味している
  7. <結論> ∖ ∗ = ∈ ∖ ∗は極大イデアルと等しい ゆえに, ∖ ∗はイデアルである!

  8. (⇐)の証明: ∖ ∗がイデアルと仮定する. をの任意のイデアルとする. はイデアルなので, ∈ ∗ ⇒ ∉ ∈

    ⇒ ∉ ∗(対偶命題) ∈ ⇒ ∈ ∖ ∗ ⊂ ∖ ∗ ∴ ∖ ∗は唯一の極大イデアル (∵ は任意のイデアル) 証明終了
  9. 環Rが局所環 ⇔ ∖ ∗がイデアル この命題を使えば、環が局所環か判定出来る!