ルベーグ測度の定義を整理する

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1. ϧϕʔάଌ౓ͷఆٛΛ੔ཧ͢Δ தҪ ӻ࢘ 2020 ೥ 4 ݄ 27 ೔ 1

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2. ༗ݶՃ๏଒ͱಉ༷ʹɺσ-Ճ๏଒ B Ͱ͸ɺB ͷݩͲ͏͠ͷ࿨ɺࠩɺੵΛߴʑՃࢉແݶճɺԋࢉͨ͠΋ͷ΋ B ͷݩʹͳΓ·͢ɻ 2.2 ू߹ؔ਺ʹؔ͢Δఆٛ ఆٛ 3

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3. ͕ಘΒΕΔɻ 3. ͸ɺA1 , · · · , An ʹରͯ͠ɺ

   B1 = A1 , Bn = An − n−1 ∪ k=1 Ak (n = 2, 3, · · · ) ͱஔ͘ͱɺB1 , · · · , Bn ͸ޓ͍ʹૉͳू߹ͰɺBk ⊂ Ak ɺ͓Αͼɺ n ∑ k=1 Bk = n ∪ k=1 Ak ͕੒Γཱͭɻैͬͯɺm ͷ༗ݶՃ๏ੑͱ୯ௐੑΛ༻͍ͯɺ m ( n ∪ k=1 Ak ) = m ( n ∑ k=1 Bk ) = n ∑ k=1 m(Bk ) ≤ n ∑ k=1 m(Ak ) ͕੒Γཱͭɻ ˙ 2.3 ֎ଌ౓Λܦ༝ͨ͠ଌ౓ͷߏ੒ํ๏ ఆٛ 6 ۭؒ X ͷ͢΂ͯͷ෦෼ू߹ A ʹରͯ͠ఆٛ͞Εͨू߹ؔ਺ Γ(A) ͕ɺ࣍ͷ৚݅Λຬͨ࣌͢ɺ Carath´ eodory ֎ଌ౓ͱ͍͏*1ɻ 1. Γ(ϕ) = 0, 0 ≤ Γ(A) ≤ ∞ 2. A ⊂ B ⇒ Γ(A) ≤ Γ(B) ɹʢ୯ௐੑʣ 3. Γ ( ∞ ∪ n=1 An ) ≤ ∞ ∑ n=1 Γ(An ) ɹʢྼՃ๏ੑʣ ఆٛ 7 ۭؒ X ʹ֎ଌ౓ Γ ͕ఆٛ͞Ε͍ͯΔ࣌ɺ෦෼ू߹ E ⊂ X ͕࣍ͷ৚݅Λຬͨ࣌͢ɺE Λ Γ-Մଌू ߹ͱ͍͏ɻ A ⊂ X ⇒ Γ(A) = Γ(A ∩ E) + Γ(A ∩ EC) (1) ఆཧ 2 Γ-Մଌू߹ E ͷ৚݅͸ɺ࣍ͱಉ஋Ͱ͋Δɻ ೚ҙͷ A1 ⊂ E ͱ೚ҙͷ A2 ⊂ EC ʹରͯ͠ɺΓ(A1 + A2 ) = Γ(A1 ) + Γ(A2 ) ʢূ໌ʣ (1) ͕੒Γཱͭ࣌ɺ೚ҙͷ A1 ⊂ E ͱ೚ҙͷ A2 ⊂ EC ʹରͯ͠ɺA = A1 + A2 ͱͯ͠ (1) Λద༻͢Δ ͱɺΓ(A1 + A2 ) = Γ(A1 ) + Γ(A2 ) ͕ಘΒΕΔɻ൓ରʹɺఆཧͷ৚͕݅੒Γཱͭ࣌ɺ೚ҙͷ A ⊂ X ʹରͯ͠ɺ A1 = A ∩ E ͱ A2 = A ∩ EC ͱͯ͠ఆཧͷ৚݅Λద༻͢Δͱ (1) ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ຊઅͰ͸ɺ༗ݶՃ๏తଌ౓ m ͔Β֎ଌ౓ Γ Λߏ੒Ͱ͖Δ͜ͱɺͦͯ͠ɺΓ-Մଌू߹Λ͢΂ͯूΊͨू߹଒ MΓ ͸ σ-Ճ๏଒ʹͳΓɺΓ ͸ MΓ ্ͷଌ౓ʹͳΔ͜ͱΛॱΛ௥ͬͯূ໌͠·͢ɻ͜ΕʹΑΓɺ೚ҙͷۭؒ X ʹ͓͍ͯɺ༗ݶՃ๏తଌ౓ m Λఆٛ͢Ε͹ɺଌ౓ µ ʹࣗવʹ֦ுͰ͖Δ͜ͱʹͳΓ·͢ɻ *1 ͜ΕҎ߱͸ɺ୯ʹ֎ଌ౓ͱݴ͑͹ɺCarath´ eodory ֎ଌ౓Λࢦ͢΋ͷͱ͠·͢ɻ 3

4. ఆཧ 3 F Λ X ͷ෦෼ू߹ͷ༗ݶՃ๏଒ɺm(E) Λ F ্ͷ༗ݶՃ๏తଌ౓ͱ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺ࣍ͷ 2

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5. ਤ 1 ޓ͍ʹૉͳू߹ʹΑΔඃ෴ͷߏ੒ ͕ಘΒΕΔɻ 2. E ͸ E ࣗ਎ͷඃ෴Ͱ͋Δ͔ΒɺΓ(E) ≤

   m(E) ͸ࣗ໌ɻͦ͜Ͱɺ൓ର޲͖ͷෆ౳߸Λࣔ͢ɻ En Λ E ͷ೚ҙͷඃ෴ E ⊂ ∞ ∪ n=1 En ͱ͢Δ࣌ɺਤ 1 ͷ༷ʹɺޓ͍ʹૉͳू߹ʹΑΔඃ෴ Fn Λ࠶ߏ੒͢Δɻ ۩ମతʹ͸ɺ࣍ͷ༷ʹఆٛ͢Ε͹Α͍ɻ F1 = E1 ∩ E, Fn = ( En − n−1 ∪ k=1 Ek ) ∩ E (n = 2, 3, · · · ) ͢ΔͱɺFn ⊂ En ɺFn ∈ FɺE = ∞ ∑ n=1 Fn ͕੒Γཱͪɺm(E) ͕༗ݶՃ๏଒ F ্Ͱ׬શՃ๏తͰ͋Δ͜ͱ ͔Βɺ࣍ͷؔ܎͕ಘΒΕΔɻ m(E) = ∞ ∑ n=1 m(Fn ) ≤ ∞ ∑ n=1 m(En ) ্ࣜӈลͰ E ͷ͢΂ͯͷඃ෴ʹ͍ͭͯͷԼݶΛऔΔͱɺm(E) ≤ Γ(E) ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ͜ΕͰɺ༗ݶՃ๏తଌ౓ m ͔Β֎ଌ౓ Γ ͕ߏ੒Ͱ͖Δ͜ͱ͕෼͔Γ·ͨ͠ɻ(2) ͷఆٛ͸ɺू߹ A ͷ֎ ଌ౓ Γ(A) Λʮ֎ଆ͔Β෴ͬͨू߹ͷଌ౓ ∞ ∑ n=1 m(En )ʯͰۙࣅ্ͨ͠ͰɺͦͷԼݶΛऔͬͨ΋ͷͱߟ͑ΒΕ ·͢ɻ ଓ͍ͯɺΓ-Մଌू߹Λ͢΂ͯूΊͨू߹଒ MΓ ͸ σ-Ճ๏଒ʹͳΔ͜ͱΛূ໌͠·͢ɻ ิ୊ 1 Γ-Մଌू߹Λ͢΂ͯूΊͨू߹଒ MΓ ʹ͍ͭͯɺ͕࣍੒Γཱͭɻ 1. E ∈ MΓ ⇒ EC ∈ MΓ 2. E, F ∈ MΓ ⇒ E − F ∈ MΓ , E ∩ F ∈ MΓ 3. E1 , E2 , · · · , En ∈ MΓ ⇒ n ∪ k=1 Ek ∈ MΓ , n ∩ k=1 Ek ∈ MΓ 5

6. ʢূ໌ʣ 1. Γ-Մଌू߹ͷఆٛʢఆٛ 7ʣ͸ɺE ͱ EC ʹ͍ͭͯରশͳͷͰ੒Γཱͭɻ 2. ͸͡Ίʹɺ E,

   F ∈ MΓ ͱͨ࣌͠ʹɺ E ∩F ͕ఆཧ 2 ͷ৚݅Λຬͨ͢͜ͱΛࣔ͢ɻࠓɺ ೚ҙͷ A ⊂ E ∩F ͱ೚ҙͷ B ⊂ (E ∩ F)C = EC ∪ FC ʹରͯ͠ɺB1 = B ∩ FɺB2 = B ∩ FC ͱ͓͘ͱɺ͕࣍੒Γཱͭɻ Γ(A) + Γ(B) = Γ(A) + Γ(B1 + B2 ) ≤ Γ(A) + Γ(B1 ) + Γ(B2 ) (∵ ֎ଌ౓ͷྼՃ๏ੑ) = Γ(A + B1 ) + Γ(B2 ) ( ∵ A ⊂ E, B1 ⊂ EC, E ∈ MΓ ) = Γ(A + B1 + B2 ) ( ∵ A + B1 ⊂ F, B2 ⊂ FC, F ∈ MΓ ) = Γ(A + B) ɹҰํɺΓ ͷྼՃ๏ੑΑΓɺΓ(A) + Γ(B) ≥ Γ(A + B) ͳͷͰɺ͜ΕΒΛ߹ΘͤͯɺΓ(A) + Γ(B) = Γ(A + B) ͱͳΓɺఆཧ 2 ͷ৚͕݅੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺE ∩ F ∈ MΓ ͱͳΔɻ͜ΕΑΓɺ1. ͷ݁ Ռͱ߹ΘͤͯɺE − F = E ∩ FC ∈ MΓ ΋੒Γཱͭɻ 3. 2. ͷ݁ՌΛ༗ݶճద༻͢Ε͹ɺ n ∩ k=1 Ek ∈ MΓ ͕੒Γཱͭɻ·ͨɺυɾϞϧΨϯͷެࣜʹΑΓɺ1. ͷ݁ Ռͱ߹Θͤͯɺ n ∪ k=1 Ek = ( n ∩ k=1 EC k )C ∈ MΓ ͕੒Γཱͭɻ ˙ ఆཧ 4 Γ-Մଌू߹ E ⊂ X Λ͢΂ͯूΊͨू߹଒ MΓ ͸ɺσ-Ճ๏଒Ͱ͋Δɻ ʢূ໌ʣ σ-Ճ๏଒ͷ৚݅ (ఆٛ 2) Λॱʹ֬ೝ͢Δɻ1. ͷ ϕ ∈ MΓ ͸ࣗ໌ɻ2. ͸ิ୊ 1 ͷ 1. ΑΓ੒Γཱͭɻ3. ʹ ͍ͭͯ͸ɺE1 , E2 , · · · ∈ MΓ ͕༩͑ΒΕͨͱͯ͠ɺ F1 = E1 , Fn = En − n−1 ∪ k=1 Ek (n = 2, 3, · · · ) ͱ͓͘ͱɺF1 , F2 , · · · ͸ޓ͍ʹૉͳू߹Ͱɺ ∞ ∪ n=1 En = ∞ ∑ n=1 Fn ͕੒Γཱͭɻͦ͜ͰɺS = ∞ ∑ n=1 Fn ∈ MΓ Λࣔ͢ɻͳ͓ɺิ୊ 1 ʹΑΓɺF1 , F2 , · · · ∈ MΓ ͕੒Γཱͭɻ ·ͣɺ४උͱͯ͠ɺn = 1, 2, · · · ʹ͍ͭͯɺ೚ҙͷ A ⊂ X ʹରͯ͠ɺ Γ(A) ≥ n ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) (3) ͕੒Γཱͭ͜ͱΛ਺ֶతؼೲ๏Ͱࣔ͢ɻn = 1 ͷ৔߹͸ɺ࣍ͷܭࢉʹΑΓ੒Γཱͭɻ Γ(A) = Γ(A ∩ F1 ) + Γ(A ∩ FC 1 ) (∵ F1 ∈ MΓ ) ≥ Γ(A ∩ F1 ) + Γ(A ∩ SC) ( ∵ FC 1 ⊃ SC, ֎ଌ౓ͷ୯ௐੑ ) 6

7. (3) ͕ n ·Ͱ੒ΓཱͭͱԾఆͯ͠ɺn + 1 ͷ৔߹Λࣔ͢ɻ(3) Ͱ A Λ

   A ∩ FC n+1 ʹஔ͖׵͑ͨ΋ͷΛߟ͑ Δͱɺ Γ(A ∩ FC n+1 ) ≥ n ∑ k=1 Γ(A ∩ FC n+1 ∩ Fk ) + Γ(A ∩ FC n+1 ∩ SC) = n ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) ( ∵ Fk ⊂ FC n+1 , SC ⊂ FC n+1 ) ͕ಘΒΕΔɻ͜ΕΛ༻͍ͯɺ F(A) = Γ(A ∩ Fn+1 ) + Γ(A ∩ FC n+1 ) (∵ Fn+1 ∈ MΓ ) ≥ Γ(A ∩ Fn+1 ) + n ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) = n+1 ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) ͱͳΓɺn + 1 Ͱ΋ (3) ͕੒Γཱͭɻ (3) Ͱ n → ∞ ͷۃݶΛऔΔͱɺ͕࣍ಘΒΕΔɻ Γ(A) ≥ ∞ ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) ͜ͷӈล͸ɺ֎ଌ౓ͷྼՃ๏ੑΛ༻͍Δͱɺ࣍ͷ༷ʹมܗͰ͖Δɻ Γ(A) ≥ ∞ ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) ≥ Γ ( A ∩ ∞ ∑ k=1 Fk ) + Γ(A ∩ SC) = Γ(A ∩ S) + Γ(A ∩ SC) (4) ҰํɺA = (A ∩ S) + (A ∩ SC)ɺ͓Αͼɺ֎ଌ౓ͷྼՃ๏ੑΑΓɺ Γ(A) ≤ Γ(A ∩ S) + Γ(A ∩ SC) Ͱ͋ΔͷͰɺ͜ΕΒΛ߹Θͤͯɺ Γ(A) = Γ(A ∩ S) + Γ(A ∩ SC) ͱͳΔɻ͜Ε͕೚ҙͷ A ⊂ X ʹ͍ͭͯ੒Γཱͭ͜ͱ͔ΒɺS ∈ MΓ Ͱ͋Δɻ ˙ ࠷ޙʹɺ֎ଌ౓ Γ ͸ɺσ-Ճ๏଒ MΓ ্Ͱଌ౓ͷ৚݅ʢఆٛ 5ʣΛຬͨ͢͜ͱΛࣔ͠·͢ɻ ఆཧ 5 ֎ଌ౓ Γ ͸ɺσ-Ճ๏଒ MΓ ্ͷଌ౓Ͱ͋Δɻ ʢূ໌ʣ Γ(ϕ) = 0ɺ͓Αͼɺ0 ≤ Γ(A) ≤ ∞ ͸ࣗ໌ɻͦ͜Ͱɺޓ͍ʹૉͳ F1 , F2 , · · · ∈ MΓ ʹରͯ͠ɺ Γ ( ∞ ∑ n=1 Fn ) = ∞ ∑ n=1 Γ(Fn ) 7

8. Λࣔ͢ɻ͜ͷ Fn ʹ͸ɺఆཧ 4 ͷূ໌Ͱ F1 , F2 , ·

   · · ʹ༻͍ͨ΋ͷͱಉٞ͡࿦͕ద༻Ͱ͖ͯɺ S = ∞ ∑ n=1 Fn ͱͯ͠ɺఆཧ 4 ͷূ໌ʹ͓͚Δ (4) ΑΓɺ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͭɻ Γ(A) ≥ ∞ ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) ≥ Γ(A ∩ S) + Γ(A ∩ SC) ͜͜Ͱɺಛʹ A = S ͷ৔߹Λߟ͑Δͱɺ Γ(S) ≥ n ∑ k=1 Γ(Fn ) ≥ Γ(S) ͱͳΓɺΓ(S) = n ∑ k=1 Γ(Fn ) ͕ಘΒΕΔɻ ˙ 8

9. ਤ 2 ۠ؒͱ۠ؒմͷఆٛʢࢀߟॻ੶ [1] ΑΓҾ༻ʣ 3 Lebesgue ଌ౓ͷఆٛ 3.1 ۠ؒմͷ༗ݶՃ๏଒Λ༻͍ͨଌ౓ͷఆٛ

   ϢʔΫϦουۭؒ RN ʹ͓͍ͯ͸ɺ༗ݶݸͷۣܗΛ૊Έ߹Θͤͨਤܗ͸ɺ༗ݶՃ๏଒ͱͳΔ͜ͱ͕௚ײత ʹཧղͰ͖·͢ɻ͜͜Ͱݴ͏ۣܗ͸ɺ−∞ ≤ aν < bν ≤ ∞ (ν = 1, · · · , N) ʹରͯ͠ɺ I = (a1 , b1 ] × · · · × (aN , bN ] (5) Ͱఆٛ͞ΕΔ΋ͷͰɺ2 ࣍ݩͷ৔߹Ͱ͋Ε͹ɺਤ 2ʢࠨʣͷΑ͏ʹͳΓ·͢ɻ͜ͷΑ͏ͳۣܗΛ͜͜Ͱ͸ RN ʹ͓͚Δʮ۠ؒʯͱݺͼ·͢ɻͦͯ͠ɺਤ 2ʢӈʣͷΑ͏ʹͯ͠ɺ༗ݶݸͷ۠ؒΛޓ͍ʹॏͳΒͳ͍༷ʹฒ΂ ͨ΋ͷΛʮ۠ؒմʯͱݺͼ·͢ɻ۠ؒմ E ͸ɺI1 , · · · , In Λޓ͍ʹૉͳ۠ؒͱͯ͠ɺ͜ΕΒͷ࿨ू߹Ͱද͞ Ε·͢ɻ E = I1 + · · · + In ೋͭͷ۠ؒմ E1 = I1 + · · · + In ͱ E2 = J1 + · · · + Jm ͸ɺڞ௨ͷཁૉΛ࣋ͭ͜ͱ΋͋ΔͷͰɺҰൠʹ ͸ɺ࣍ͷؔ܎͸੒Γཱͪ·ͤΜɻ E1 ∪ E2 = (I1 + · · · + In ) + (J1 + · · · + Jm ) ͔͠͠ͳ͕Βɺ۠ؒͷ૯਺͕༗ݶݸͰ͋Δ͜ͱ͔Βɺ৽ͨʹ۠ؒ K1 , · · · , Kp ΛऔΓ௚ͯ͠ɺ E1 ∪ E2 = K1 + · · · + Kp ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖·͢ɻ͕ͨͬͯ͠ɺ۠ؒմશମͷू߹Λ FN ͱ͢Δͱɺ͜Ε͸༗ݶՃ๏଒ʹͳΓ·͢ɻ ·ͨɺ(5) Ͱ༩͑ΒΕΔ۠ؒ I ͷ໘ੵ m(I) ͸ɺ m(I) = N ∏ ν=1 (bν − aν ) 9

10. Ͱࣗવʹఆٛ͞Ε·͢ɻಉ༷ʹͯ͠ɺ۠ؒմ E = I1 + · · · + In

    ͷ໘ੵ m(E) ͸ɺ m(E) = n ∑ k=1 m(Ik ) ͰఆٛͰ͖·͢*2ɻ͜ͷ࣌ɺm(E) ͸ɺ༗ݶՃ๏଒ FN ্ͷ༗ݶՃ๏తଌ౓ʹͳΔ͜ͱ΋௚ײతʹཧղͰ͖ ·͢ɻ ͞Βʹɺ࣍અͰ༷ࣔ͢ʹɺm(E) ͸ɺFN ্Ͱ׬શՃ๏తͰ΋͋Δ͜ͱ͕෼͔Γ·͢ɻ͕ͨͬͯ͠ɺલষͷ Ұൠ࿦Λద༻͢Δͱɺఆཧ 3 ʹΑΓɺRN ͷ೚ҙͷ෦෼ू߹ A ʹରͯ͠ɺ ʮߴʑՄࢉແݶݸͷ۠ؒմʢ΋͘͠ ͸ɺͦΕΛߏ੒͢Δ۠ؒʣͰ A Λ෴ͬͨࡍͷ۠ؒմͷશ໘ੵͷԼݶʯͱͯ͠ɺA ͷ֎ଌ౓ µ∗(A) ͕ఆٛ͞Ε ͯɺ ʢm(E) ͕׬શՃ๏తͰ͋Δ͜ͱ͔Βʣ۠ؒմ E ʹରͯ͠͸ɺ µ∗(E) = m(E) ͕੒Γཱͪ·͢ɻ͜ͷΑ͏ʹఆٛ͞Εͨ µ∗ Λ Lebesgue ֎ଌ౓ͱ͍͍·͢ɻ͞ΒʹɺRN ͷதͰɺµ∗ ͷҙ ຯͰՄଌͳू߹શମΛ Mµ ͱͯ͠ɺµ∗ ͷఆٛҬΛ Mµ ʹݶఆͨ͠΋ͷ͕ Lebesgue ଌ౓ µ ʹͳΓ·͢ɻ ͪͳΈʹɺఆཧ 3 Ͱ֎ଌ౓Λߏ੒͢ΔࡍʹɺՃࢉແݶݸͷ۠ؒմͰ A Λ෴͏͜ͱΛڐͨ͠఺ʹɺLebesgue ଌ౓ͷͻͱͭͷϙΠϯτ͕͋Γ·͢ɻԾʹɺ༗ݶݸͷ۠ؒմʹݶఆͨ͠৔߹ɺՃࢉແݶݸͷ཭ࢄ఺Λ࣋ͭू߹ ʹରͯ͠ɺଌ౓ 0 Λ༩͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͘ͳΓ·͢ɻ ͜͜·Ͱͷ੔ཧ͕Ͱ͖Ε͹ɺ͜ͷޙ͸ɺҰ୴ɺRN ʹݻ༗ͷ Lebesgue ଌ౓ͷఆٛ͸๨Εͯɺந৅తͳଌ౓ ͷఆٛʹج͍ͮͯɺଌ౓ۭ͕ؒຬͨ͢ੑ࣭Λௐ΂Δࣄ͕Ͱ͖·͢ɻͦͯ͠·ͨಉ࣌ʹɺҰൠͷଌ౓ۭؒʹ͸ແ ͍ɺLebesgue ଌ౓ʹݻ༗ͷੑ࣭Λௐ΂Δ͜ͱ΋ॏཁʹͳΓ·͢ɻ 3.2 m(E) ͕׬શՃ๏తͰ͋Δ͜ͱͷূ໌ ఆཧ 6 RN ʹ͓͚Δ۠ؒմશମͷू߹Λ FN ͱͯ͠ɺ ʢࣗવʹఆٛ͞ΕΔʣ۠ؒմ E ͷ໘ੵ m(E) ͸ɺFN ্ͷ׬શՃ๏తଌ౓Ͱ͋Δɻ ʢূ໌ʣ ޓ͍ʹૉͳՃࢉແݶݸͷ۠ؒմ E1 , E2 , . . . ͕༩͑ΒΕͯɺE = ∞ ∑ n=1 En ͕࠶ͼ۠ؒմʹͳΔɺ͢ͳΘͪɺ ༗ݶݸͷ۠ؒͷ࿨Ͱද͞ΕΔ৔߹ʹɺ m(E) = ∞ ∑ n=1 m(En ) ͕੒Γཱͭ͜ͱΛࣔͤ͹Α͍ɻ ·ͣɺ೚ҙͷ n ʹ͍ͭͯɺE ⊃ n ∑ k=1 Ek Ͱ͋Δ͔Βɺ໘ੵ m ͷ୯ௐੑͱ༗ݶՃ๏ੑʢఆཧ 1ʣʹΑΓɺ m(E) ≥ m ( n ∑ k=1 Ek ) = n ∑ k=1 m(Ek ) ͕੒Γཱͪɺn → ∞ ͷۃݶΛऔΔͱɺ m(E) ≥ ∞ ∑ n=1 m(En ) *2 ݫີʹ͸ɺ͜ͷ஋͸ɺ۠ؒʹΑΔ෼ղํ๏ʹґଘ͠ͳ͍͜ͱΛࣔ͢ඞཁ͕͋Γ·͢ɻ 10

11. ͕ಘΒΕΔɻ࣍ʹɺ͜ͷ൓ର޲͖ͷෆ౳ࣜΛॱΛ௥ͬͯࣔ͢ɻ ֤ En ͸ɺ༗ݶݸͷ۠ؒͷ࿨Ͱද͞ΕΔͷͰɺ͜ΕΒͷ۠ؒΛ͢΂ͯूΊͨ΋ͷΛվΊͯ I1 , I2 , · ·

    · ͱ͢ Δͱɺ E = ∞ ∑ n=1 In (6) ͓Αͼ ∞ ∑ n=1 m(In ) = ∞ ∑ n=1 m(En ) ͱ͍͏ؔ܎͕੒Γཱͭɻ·ͨɺE Λ༗ݶݸͷ۠ؒͰදͨ͠΋ͷΛ E = p ∑ k=1 Kk ͱ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺ೚ҙͷ ϵ0 > 0 ʹରͯ͠ɺ༗քͳ۠ؒմ F Ͱɺ m(E) − ϵ0 ≤ m(F) (7) ͔ͭɺF ⊂ E Λຬͨ͢΋ͷ͕औΕΔɻ۩ମతʹ͸ɺE Λߏ੒͢Δ֤۠ؒ Ki = (a1 , b1 ] × · · · × (aN , bN ] ʹର ͯ͠ɺͦΕͧΕͷ ν = 1, · · · , N ʹ͍ͭͯɺaν ʹ্͔Βऩଋ͢Δ਺ྻ {aνn }ɺ͓Αͼɺbν ʹԼ͔Βऩଋ͢Δ ਺ྻ {bνn } ΛऔΓɺ৽ͨͳ۠ؒ K′ in = (a1n , b1n ] × · · · × (aNn , bNn ] Λ༻ҙ͢Δɻ͜ΕΒͷ۠ؒͷ࿨Λ Fn ͱ͢Ε͹ɺFn ⊂ E ͱͳΔɻҰํɺn → ∞ ͷۃݶͰ m(Fn ) → m(E) ͱͳΔͷͰɺn Λे෼େ͖͘͢Ε͹ɺ m(E) − ϵ0 ≤ m(Fn ) Λຬͨ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ ࣍ʹɺ(6) ʹ͋Δ۠ؒ In Λ In = (an1 , bn1 ] × · · · × (anN , bnN ] ͱ͢Δ࣌ɺ೚ҙͷ ϵ1 > 0 ʹରͯ͠ɺ۠ؒ In ΛΘ͔ͣʹ޿͛ͨ Jn = (an1 , bn1 + δn ] × · · · × (anN , bnN + δn ] Λ m(Jn ) ≤ m(In ) + ϵ1 2n (8) Λຬ༷ͨ͢ʹऔΔɻ ʢ༩͑ΒΕͨ ϵ1 ʹରͯ͠ɺे෼ʹখ͞ͳ δn > 0 ΛऔΔʣ ɻ͞ΒʹɺJn Λ։۠ؒʹͨ͠΋ ͷΛ J′ n = (an1 , bn1 + δn ) × · · · × (anN , bnN + δn ) ͱ͢Δͱɺ࣍ͷแؚؔ܎͕੒Γཱͭɻ F ⊂ E = ∞ ∑ n=1 In ⊂ ∞ ∪ n=1 J′ n ͜͜ͰɺF ͸༗քดू߹Ͱ͋ΓɺҰํɺJ′ n ͸։ू߹ͳͷͰɺBorel-Lebesgue ͷඃ෴ఆཧʹΑΓɺ༗ݶݸͷ J′ n Ͱ F Λ෴͏͜ͱ͕Ͱ͖ɺ࣍ͷแؚؔ܎͕੒Γཱͭɻ F ⊂ F ⊂ n0 ∪ n=1 J′ n ⊂ n0 ∪ n=1 Jn ͜ͷؔ܎ʹଌ౓ m Λద༻͢Δͱɺm ͷ୯ௐੑͱ༗ݶՃ๏ੑɺ͓Αͼɺ(7)(8) ͷؔ܎Λ߹Θͤͯɺ࣍ͷ݁Ռ ͕੒Γཱͭɻ m(E) − ϵ0 ≤ m(F) ≤ n0 ∑ n=1 m(Jn ) ≤ n0 ∑ n=1 { m(In ) + ϵ1 2n } ≤ ∞ ∑ n=1 m(In ) + ϵ1 ϵ0 ͱ ϵ1 ͸೚ҙͳͷͰɺϵ0 , ϵ1 → 0 ͷۃݶΛͱͬͯɺ m(E) ≤ ∞ ∑ n=1 m(In ) = ∞ ∑ n=1 m(En ) 11

12. ͕ಘΒΕΔɻҎ্ʹΑΓɺm(E) = ∞ ∑ n=1 m(En ) ͕ࣔ͞Εͨɻ ˙ 3.3

    Մଌू߹଒ Mµ ͷൣғ ʮ2.3 ֎ଌ౓Λܦ༝ͨ͠ଌ౓ͷߏ੒ํ๏ʯͰ͸ɺΓ-Մଌू߹ΛఱԼΓతʹఆٛ͠·͕ͨ͠ʢఆٛ 7ʣ ɺRN ͷ ৔߹ɺ͢ͳΘͪɺ֎ଌ౓ Γ ͱͯ͠ Lebesugue ֎ଌ౓ µ∗ Λ༻͍ͨ৔߹ʹɺରԠ͢ΔՄଌू߹଒ Mµ ͕ͲͷΑ ͏ͳू߹ʹͳΔͷ͔͕ෆ໌֬Ͱ͢ɻ͜͜Ͱ͸ɺBorel ू߹଒ͷ֓೦Λ༻͍ͯɺMµ ͷʮൣғʯΛߜΓࠐΜͰΈ ·͢ɻ ͸͡ΊʹɺRN ʹݶఆ͠ͳ͍Ұൠ࿦ͱͯ͠ɺ ʮ࠷খͷ σ-Ճ๏଒ʯͱ͍͏֓೦Λಋೖ͠·͢ɻ ఆཧ 7 ۭؒ X ͷ෦෼ू߹͔ΒͳΔ೚ҙͷू߹଒ V0 ʹରͯ͠ɺ͜ΕΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒ B[V0 ] ͕ଘࡏ ͢Δɻ͢ͳΘͪɺB[V0 ] ͸ɺB[V0 ] ⊃ V0 Λຬͨ͢ σ-Ճ๏଒Ͱ͋ΓɺB ⊃ V0 Λຬͨ͢೚ҙͷ σ-Ճ๏଒ B ʹରͯ͠ɺB[V0 ] ⊂ B ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ V0 ΛؚΉ σ-Ճ๏଒͸ɺগͳ͘ͱ΋ 1 ͭ͸ଘࡏ͢Δɻͨͱ͑͹ɺX ͷ͢΂ͯͷ෦෼ू߹͔ΒͳΔू߹଒Λ ߟ͑Ε͹Α͍ɻͦ͜ͰɺV0 ΛؚΉ σ-Ճ๏଒શମͷੵू߹Λ B[V0 ] ͱ͢Ε͹Α͍ɻ ˙ ͦ͜ͰɺRN ʹ͓͍ͯɺ։ू߹શମ͔ΒͳΔू߹଒ ON Λߟ͑ͯɺ͜ΕΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒ B[ON ] Λ RN ʹ͓͚Δ Borel ू߹଒ B ͱ͍͍·͢ɻ͜Ε͸ɺRN ʹ͓͚Δ۠ؒશମ IN ɺ΋͘͠͸ɺ۠ؒմશମ FN ΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒ʹҰக͠·͢ɻ ఆཧ 8 BN = B[IN ] = B[FN ] ʢূ໌ʣ ͸͡Ίʹ B[IN ] = B[FN ] Λࣔ͢ɻ·ͣɺIN ⊂ FN ⊂ B[FN ] Ͱ͋ΓɺB[IN ] ͸ IN ΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏ ଒Ͱ͋Δ͜ͱ͔ΒɺB[IN ] ⊂ B[FN ] ͕੒Γཱͭɻ ࣍ʹɺ೚ҙͷ E ∈ FN ͸༗ݶݸͷ۠ؒͷ࿨Ͱද͞ΕΔͷͰɺE ∈ B[IN ] Ͱ͋ΓɺैͬͯɺFN ⊂ B[IN ]ɻ B[FN ] ͸ FN ΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒Ͱ͋Δ͜ͱ͔ΒɺB[FN ] ⊂ B[IN ] ͕੒ΓཱͭɻҎ্ʹΑΓɺB[IN ] = B[FN ] ͕੒Γཱͭɻ ଓ͍ͯɺB[IN ] = BN Λࣔ͢ɻIN ͷ೚ҙͷݩΛ I = (a1 , b1 ] × · · · × (aN , bN ] ͱ͢ΔͱɺJn = (a1 , b1 + 1 n ) × · · · × (aN , bN + 1 n ) (n = 1, 2, · · · ) ͱͯ͠ɺ I = ∞ ∩ n=1 Jn ͱॻ͚ΔɻJn ͸։ू߹ͳͷɺ͜Ε͸ɺI ∈ BN Λҙຯ͢ΔɻैͬͯɺIN ⊂ BN Ͱ͋ΓɺB[IN ] ͸ IN Λؚ Ή࠷খͷ σ-Ճ๏଒Ͱ͋Δ͜ͱ͔ΒɺB[IN ] ⊂ BN ͕੒Γཱͭɻ ࣍ʹɺRN ͷ೚ҙͷ։ू߹ G ∈ ON ʹରͯ͠ɺ֤఺ x ∈ G ʹ͍ͭͯɺIx ⊂ G ͱͳΔ۠ؒ Ix ͕औΕΔɻ ۠ؒ Ix = (a1 , b1 ] × · · · × (aN , bN ] ʹରͯ͠ɺ։ू߹ Jx = (a1 , b1 ) × · · · × (aN , bN ) ΛऔΔͱɺ ∪ x∈G Jx ⊃ G 12

13. ͱͳΔͷͰɺLindel¨ of ͷඃ෴ఆཧʹΑΓɺՃࢉແݶݸͷ Jx Λ༻͍ͯɺ ∞ ∪ n=1 Jxn ⊃

    G ͱͰ͖Δɻͭ·Γɺ ∞ ∪ n=1 Ixn ⊃ ∞ ∪ n=1 Jxn ⊃ G ͕੒ΓཱͭɻҰํɺIx ⊂ G Ͱ͋ͬͨ͜ͱ͔Βɺ͜Ε͸ɺ G = ∞ ∪ n=1 Ixn ∈ B[In ] Λҙຯ͢Δɻͭ·ΓɺON ⊂ B[In ] ͱͳΔɻB = B[ON ] ͸ɺON ΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒Ͱ͋Δ͔Βɺ͜Ε ΑΓɺB ⊂ B[IN ] ͕ಘΒΕΔɻҎ্ʹΑΓɺB = B[IN ] ͕੒Γཱͭɻ ˙ ͜͜Ͱ͸ɺ։ू߹શମΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒ͱͯ͠ϘϨϧू߹଒ BN Λఆٛ͠·͕ͨ͠ɺRN Ͱ͸ɺՃࢉ ແݶݸͷ։ू߹Λ༻͍ͯดू߹Λද͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔͷͰɺดू߹΋·ͨ BN ʹଐ͠·͢ɻͭ·ΓɺߴʑՃࢉ ແݶݸͷ։ू߹ͱดू߹Λ༻͍ͯʢ͜ΕΒͷ࿨ू߹ɺੵू߹ɺิू߹ͳͲͷԋࢉʹΑΓʣಘΒΕΔू߹͸ɺ͢ ΂ͯϘϨϧू߹଒ BN ʹଐ͢Δ͜ͱʹͳΓ·͢ɻ ͜ͷϘϨϧू߹଒ BN ͸ɺ΍΍௚ײతͳݴ͍ํΛ͢Δͱɺ࣍ͷੑ࣭Λຬͨ͠·͢ɻ • Մଌू߹଒ Mµ ʹؚ·Ε͓ͯΓɺͦͷࠩ Mµ − BN ͸ʮ΄ͱΜͲθϩʯͰ͋Δʢఆཧ 13ɺఆཧ 15ʣ • ೚ҙͷू߹ A ⊂ RN ΛϘϨϧू߹ B ⊂ BN Ͱ֎͔ΒۙࣅͰ͖Δʢఆཧ 11ʣ ͭ·ΓɺՄଌू߹ͷେ෦෼͸Մࢉແݶݸͷ։ू߹ͷ૊Έ߹ΘͤͰ࡞Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͯɺ͜Ε͸ʢՄଌू߹ͱ͸ ݶΒͳ͍ʣ೚ҙͷू߹Λۙࣅతʹද͢ͷʹे෼Ͱ͋Δɺͱ͍͏͜ͱʹͳΓ·͢ɻ͜ͷޙ͸ɺ্هͷؔ܎Λ਺ֶ తʹݫີͳܗͰఆཧͱ͍͖ͯࣔͯ͠͠·͢ɻ ͸͡ΊʹɺBN ͸ɺMµ ʹؚ·ΕΔ͜ͱΛࣔ͠·͢ɻ͜Εʹ͸ɺRN ʹݶఆ͠ͳ͍ɺ࣍ͷҰൠతͳؔ܎Λ༻ ͍·͢ɻ ิ୊ 2 ۭؒ X ͷ෦෼ू߹͔ΒͳΔ༗ݶՃ๏଒ F Λ༻͍ͯɺ֎ଌ౓ Γɺ͓ΑͼɺՄଌू߹଒ MΓ Λߏ੒͠ ͨ৔߹ɺF ⊂ MΓ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ೚ҙͷ E ∈ F ʹରͯ͠ɺE ͕ Γ-ՄଌͰ͋Δ͜ͱΛࣔͤ͹Α͍ɻ·ͣɺ೚ҙͷ A ⊂ X ʹରͯ͠ɺF ͷݩʹΑΔඃ෴Λ A ⊂ ∞ ∪ n=1 En ͱ͢Δͱɺ ∞ ∑ n=1 m(En ) = ∞ ∑ n=1 m(En ∩ E) + ∞ ∑ n=1 m(En ∩ EC) ≥ Γ(A ∩ E) + Γ(A ∩ EC) ͕੒Γཱͭɻ্ࣜͷෆ౳߸͸ɺA ∩ E ⊂ ∞ ∪ n=1 (En ∩ E)ɺ͓ΑͼɺA ∩ EC ⊂ ∞ ∪ n=1 (En ∩ EC) ΑΓɺΓ(A ∩ E) ≤ ∞ ∑ n=1 m(En ∩ E)ɺ͓ΑͼɺΓ(A ∩ EC) ≤ ∞ ∑ n=1 m(En ∩ EC) ͱͳΔ͜ͱΛ༻͍ͨɻ͕ͨͬͯ͠ɺA ͷ͢΂ͯͷ 13

14. ෴͍ํʹؔ͢ΔԼݶΛͱͬͯɺ Γ(A) ≥ Γ(A ∩ E) + Γ(A ∩ EC)

    ͕ಘΒΕΔɻ Ұํɺ֎ଌ౓ Γ ͷྼՃ๏ੑΑΓɺ Γ(A) = Γ(A ∩ E + A ∩ EC) ≤ Γ(A ∩ E) + Γ(A ∩ EC) ͱͳΔͷͰɺҎ্ΑΓɺΓ(A) = Γ(A ∩ E) + Γ(A ∩ EC) ͕੒Γཱͭɻ͜Ε͸ɺE ͕ Γ-ՄଌͰ͋Δ͜ͱΛࣔ͠ ͍ͯΔɻ ˙ ͜ͷิ୊ʹΑΓɺRN ʹ͓͍ͯɺ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͪ·͢ɻ ఆཧ 9 BN ⊂ Mµ ʢূ໌ʣ ิ୊ 2 ΑΓɺFN ⊂ Mµ ͱͳΓɺB[FN ] ͸ɺFN ΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒Ͱ͋Δ͜ͱ͔ΒɺB[FN ] ⊂ Mµ ͕ ੒Γཱͭɻ͞Βʹɺఆཧ 8 ΑΓɺBN = B[FN ] ͳͷͰɺBN ⊂ Mµ ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ͜ΕʹΑΓɺ ͢΂ͯͷ։ू߹ G ͸Մଌू߹Ͱ͋Γɺ ଌ౓ µ(G) ͕ܾ·Γ·͢ɻ͜ͷ࣌ɺ ೚ҙͷू߹ A ⊂ RN ʹରͯ͠ɺͦͷ֎ଌ౓ µ∗(A) ʹे෼ʹ͍ۙଌ౓ µ(G) Λ࣋ͭ։ू߹ G ⊃ A ͕ଘࡏ͠·͢ɻ ఆཧ 10 ೚ҙͷ A ⊂ RN ʹରͯ͠ɺ͕࣍੒Γཱͭɻ µ∗(A) = inf {µ(G) | G ∈ ON , G ⊃ A} ʢূ໌ʣ ֎ଌ౓ µ∗(A) ͷఆٛΑΓɺ೚ҙͷ ϵ > 0 ʹରͯ͠ɺߴʑՃࢉແݶݸͷ۠ؒմ E1 , E2 , · · · ∈ FN ͕͋Γɺ࣍ ͕੒Γཱͭɻ A ⊂ ∞ ∪ n=1 En µ∗(A) + ϵ ≥ ∞ ∑ n=1 m(En ) ͦΕͧΕͷ En (n = 1, 2, · · · ) Λߏ੒͢Δ۠ؒΛ͢΂ͯ·ͱΊͯ I1 , I2 , · · · ͱ͢Δͱɺ͜Ε͸࣍ͷ༷ʹॻ͖ ௚ͤΔɻ A ⊂ ∞ ∪ n=1 In µ∗(A) + ϵ ≥ ∞ ∑ n=1 m(In ) = ∞ ∑ n=1 µ(In ) (9) ࠷ޙͷ౳߸͸ɺ۠ؒʢΑΓҰൠʹ͸۠ؒմʣʹ͍ͭͯ͸ɺµ∗(I) = m(I) Ͱ͋Γɺ͞Βʹิ୊ 2 ΑΓɺ IN ⊂ FN ⊂ MN ͳͷͰɺµ∗(I) = µ(I) ͱͳΔ͜ͱΛ༻͍ͨɻ 14

15. ࣍ʹɺͦΕͧΕͷ In = (an1 , bn1 ] × · ·

    · × (anN , bnN ] ʹରͯ͠ɺ։ू߹ Gn = (an1 , bn1 + δn ) × · · · × (anN , bnN + δn ) Λఆٛͯ͠ɺδn Λे෼ʹখ͘͞औΔͱɺ µ(Gn ) ≤ µ(In ) + ϵ 2n (10) ͱ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷ࣌ɺG = ∞ ∪ n=1 Gn ͱ͢Δͱɺ G ⊃ ∞ ∪ n=1 In ⊃ A Ͱ͋Γɺ͞Βʹɺ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͭɻ inf {µ(G)} ≤ µ(G) ≤ ∞ ∑ n=1 µ(Gn ) ≤ ∞ ∑ n=1 { µ(In ) + ϵ 2n } ≤ µ∗(A) + 2ϵ ͜͜Ͱɺ ࠷ޙͷෆ౳߸͸ (9)(10) Λ༻͍ͨɻ ϵ > 0 ͸೚ҙͰ͋Δ͜ͱ͔Βɺ ϵ → 0 ͷۃݶʹΑΓɺ inf {µ(G)} ≤ µ∗(A) ͕ಘΒΕΔɻ ҰํɺG ⊃ A ͷൣғͰͷԼݶΛߟ͍͑ͯΔͷͰɺinf {µ(G)} ≥ µ∗(A) ͱͳΓɺ͜ΕΒΛ߹Θͤͯɺ inf {µ(G)} = µ∗(A) ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ͜ͷఆཧΛ༻͍Δͱɺ೚ҙͷू߹ A ⊂ RN ʹରͯ͠ɺµ(B) = µ∗(A) ͱͳΔϘϨϧू߹ B ⊃ A Λߏ੒͢ Δ͜ͱ͕Ͱ͖·͢ɻ ఆཧ 11 ೚ҙͷ A ⊂ RN ʹରͯ͠ɺB ⊃ A, µ(B) = µ∗(A) Λຬͨ͢ϘϨϧू߹ B ∈ Mµ ͕ଘࡏ͢Δɻ ʢূ໌ʣ ఆཧ 10 ΑΓɺ೚ҙͷ n = 1, 2, · · · ʹରͯ͠ɺGn ⊃ A, µ(Gn ) ≤ µ∗(A) + 1 n ͱͳΔ։ू߹ Gn ͕ଘࡏ͢ Δɻͦ͜ͰɺB = ∞ ∩ n=1 Gn ͱ͢Δͱɺ͜Ε͸ϘϨϧू߹Ͱ͋ΓɺA ⊂ B ⊂ Gn ͱͳΔɻैͬͯɺ µ∗(A) ≤ µ(B) ≤ µ(Gn ) ≤ µ∗(A) + 1 n ͕੒Γཱͭɻn ͸೚ҙʹେ͖͘ͱΕΔ͜ͱ͔Βɺn → ∞ ͷۃݶΑΓɺµ(B) = µ∗(A) ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ͜Ε͕ɺઌ΄Ͳड़΂ͨʮ೚ҙͷू߹ A ⊂ RN ΛϘϨϧू߹ B ⊂ BN Ͱ֎͔ΒۙࣅͰ͖Δʯͱ͍͏ࣄͷҙ ຯʹͳΓ·͢ɻ ଓ͍ͯɺϘϨϧू߹଒ B ͱՄଌू߹଒ Mµ ͷؔ܎Λௐ΂·͢ɻ͸͡Ίʹɺ೚ҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹର ͯ͠ɺଌ౓ µ(G) ͕ଌ౓ µ(A) ʹ͍͘ΒͰ΋ۙ͘ͳΔΑ͏ʹ։ू߹ G Λબ΂Δ͜ͱΛࣔ͠·͢ɻ࣍ͷఆཧ͸ɺ µ(A) = ∞ ͷ৔߹Ͱ΋੒Γཱͭ఺ʹ஫ҙ͍ͯͩ͘͠͞ɻ ఆཧ 12 ೚ҙͷ A ∈ Mµ ͕༩͑ΒΕͨ࣌ɺ೚ҙͷ ϵ > 0 ʹରͯ͠ɺµ(G − A) < ϵ ͱͳΔ։ू߹ G ⊃ A ͕ ଘࡏ͢Δɻ ʢূ໌ʣ 15

16. µ(A) < ∞ ͷ৔߹͸ɺఆཧ 10 ΑΓɺµ(A) + ϵ < µ(G)

    Λຬͨ͢։ू߹ G ⊃ A ͕ଘࡏ͢ΔͷͰɺ͜ΕΛ༻ ͍ͯɺµ(G − A) = µ(G) − µ(A) < ϵ ͱͳΔɻ µ(A) = ∞ ͷ৔߹͸ɺSn ⊂ R Λݪ఺த৺ɺ൒ܘ n ͷٿମ಺෦͔ΒͳΔ։ू߹ͱͯ͠ɺ A = ∞ ∪ n=1 An , An = A ∩ Sn ͱ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺͦΕͧΕͷ An ʹରͯ͠ɺµ(A) < ∞ ͷ৔߹ͷ݁ՌΛద༻͢Δͱɺµ(Gn − An ) < ϵ 2n Λຬ ͨ͢։ू߹ Gn ⊃ An ͕औΕΔɻͦ͜ͰɺG = ∞ ∪ n=1 Gn ͱஔ͘ͱɺ G ⊃ A, G − A = ∞ ∪ n=1 (Gn − An ) ͕੒Γཱͪɺ͜ΕΒΑΓɺ µ(G − A) ≤ ∞ ∑ n=1 µ(Gn − An ) < ϵ ͕੒Γཱͭɻ ˙ ͜ͷ݁ՌΛར༻͢Δͱɺ೚ҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹରͯ͠ɺµ(B) = µ(A)ʢµ(A) = ∞ ͷ৔߹ΛؚΊΔͳ Β͹ɺµ(B − A) = 0ʣͱͳΔϘϨϧू߹ B ⊃ A ΛऔΕΔ͜ͱ͕ࣔ͞Ε·͢ɻ ఆཧ 13 ೚ҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹରͯ͠ɺµ(B − A) = 0 ͱͳΔϘϨϧू߹ B ⊃ A ͕ଘࡏ͢Δɻ ʢূ໌ʣ ೚ҙͷ n = 1, 2, · · · ʹରͯ͠ɺఆཧ 12 ΑΓɺµ(Gn − A) < 1 n Λຬͨ͢։ू߹ Gn ⊃ A ͕औΕΔɻͦ͜ ͰɺB = ∞ ∩ n=1 Gn ͱ͢ΔͱɺB ͸ɺB ⊃ A Λຬͨ͢ϘϨϧू߹Ͱ͋ΓɺB − A ⊂ Gn − A Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βɺ µ(B − A) ≤ µ(Gn − A) < 1 n ͕੒Γཱͭɻn ͸೚ҙʹେ͖͘औΕΔͷͰɺn → ∞ ͷۃݶΛऔΔͱɺµ(B − A) = 0 ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ্هͷఆཧ͸ɺ೚ҙͷՄଌू߹ A ΛϘϨϧू߹ B Ͱʮ֎͔ΒۙࣅʯͰ͖Δ͜ͱΛද͠·͕͢ɺಉ༷ʹͯ͠ɺ ʮ಺ଆ͔Βۙࣅʯ͢Δ͜ͱ΋ՄೳͰ͢ɻ͜ΕΛࣔ͢ʹ͸ɺఆཧ 12 ʹରԠ͢Δ΋ͷͱͯ͠ɺ࣍ͷఆཧ͕ඞཁʹͳ Γ·͢ɻ ఆཧ 14 ೚ҙͷ A ∈ Mµ ͕༩͑ΒΕͨ࣌ɺ೚ҙͷ ϵ > 0 ʹରͯ͠ɺµ(A − F) < ϵ ͱͳΔดू߹ F ⊂ A ͕ ଘࡏ͢Δɻ ʢূ໌ʣ Sn ⊂ R Λݪ఺த৺ɺ൒ܘ n ͷٿମ಺෦͔ΒͳΔ։ू߹ͱ͢Δɻ͸͡ΊʹɺA ͕༗քͰ Sn ⊃ A ͱͳΔ n ͕ଘࡏ͢Δ৔߹Λߟ͑Δɻ͜ͷ࣌ɺSn ͷดแ Sn ͸ɺՃࢉແݶݸͷ։ू߹ͷੵू߹ͰදݱͰ͖ΔͷͰɺ Sn ∈ BN ⊂ Mµ Ͱ͋ΓɺSn − A ͸Մଌू߹ʹͳΔɻैͬͯɺఆཧ 12 ΑΓɺµ(G − (Sn − A)) < ϵ Λຬͨ͢ ։ू߹ G ⊃ Sn − A ͕ଘࡏ͢Δɻ 16

17. ਤ 3 G − (Sn − A) ͱ A −

    F ͷؔ܎ ͜ͷ࣌ɺF = Sn − G ͱஔ͘ͱɺ͜Ε͸ดू߹Ͱ͋Γɺਤ 3 ΑΓɺF ⊂ Aɺ͔ͭɺA − F ⊂ G − (Sn − A) ͕੒Γཱͭɻैͬͯɺµ(A − F) ≤ µ(G − (Sn − A)) < ϵ ͕੒Γཱͭɻ A ͕༗քͰͳ͍৔߹͸ɺ A1 = A ∩ S1 , An = A ∩ (Sn − Sn−1 ) (n = 2, 3, · · · ) ͱ͢Δͱɺ A = ∞ ∑ n=1 An Ͱ͋Γɺ An ͸༗քͳͷͰɺ ઌ΄Ͳͷ݁ՌΑΓɺ ͦΕͧΕͷ An ʹରͯ͠ɺ µ(An −Fn ) < ϵ 2n Λຬͨ͢ดू߹ Fn ⊂ An ͕औΕΔɻ·ͨɺA1 , A2 , · · · ͸ޓ͍ʹૉͳͷͰɺF1 , F2 , · · · ΋ޓ͍ʹૉͳด ू߹ͱͳΓɺF = ∞ ∪ n=1 Fn ͸ɺF ⊂ A Λຬͨ͢ดू߹ʹͳΔɻ͞Βʹ͜ͷ࣌ɺA − F = ∞ ∪ n=1 (An − Fn ) ͱͳΔ ࣄ͔Βɺµ(A − F) ≤ ∞ ∑ n=1 µ(An − Fn ) < ϵ ͕੒Γཱͭɻ ˙ ͜ͷ݁ՌΛར༻ͯ͠ɺ೚ҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹରͯ͠ɺµ(B) = µ(A)ʢµ(A) = ∞ ͷ৔߹ΛؚΊΔͳΒ ͹ɺµ(A − B) = 0ʣͱͳΔϘϨϧू߹ B ⊂ A ΛऔΕΔ͜ͱΛࣔ͠·͢ɻ ఆཧ 15 ೚ҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹରͯ͠ɺµ(A − B) = 0 ͱͳΔϘϨϧू߹ B ⊂ A ͕ଘࡏ͢Δɻ ʢূ໌ʣ ೚ҙͷ n = 1, 2, · · · ʹରͯ͠ɺఆཧ 14 ΑΓɺµ(A − Fn ) ≤ 1 n Λຬͨ͢ดू߹ Fn ͕औΕΔɻͦ͜Ͱɺ B = ∞ ∪ n=1 Fn ͱ͢ΔͱɺB ͸ɺB ⊂ A Λຬͨ͢ϘϨϧू߹Ͱ͋ΓɺA − B ⊂ A − Fn Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βɺ µ(A − B) ≤ µ(A − Fn ) < 1 n ͕੒Γཱͭɻn ͸೚ҙͷେ͖͘औΕΔͷͰɺn → ∞ ͷۃݶΛऔΔͱɺµ(A − B) = 0 ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ఆཧ 13 ͱఆཧ 15 ͕ɺՄଌू߹଒ Mµ ͱϘϨϧू߹଒ BN ͷࠩ͸ʮ΄ͱΜͲθϩʯͰ͋Δͱ͍͏ࣄͷ࣮࣭ తͳҙຯʹͳΓ·͢ɻ 17

18. ࢀߟจݙ [1]ʮϧϕʔάੵ෼ೖ໳ʯҏ౻ ਗ਼ࡾʢஶʣী՚๪ 18