ルベーグ測度の定義を整理する

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4. ೚ҙͷ A1 ⊂ E ͱ೚ҙͷ A2 ⊂ EC ʹରͯ͠ɺΓ(A1 + A2 ) = Γ(A1 ) + Γ(A2 ) ʢূ໌ʣ (1) ͕੒Γཱͭ࣌ɺ೚ҙͷ A1 ⊂ E ͱ೚ҙͷ A2 ⊂ EC ʹରͯ͠ɺA = A1 + A2 ͱͯ͠ (1) Λద༻͢Δ ͱɺΓ(A1 + A2 ) = Γ(A1 ) + Γ(A2 ) ͕ಘΒΕΔɻ൓ରʹɺఆཧͷ৚͕݅੒Γཱͭ࣌ɺ೚ҙͷ A ⊂ X ʹରͯ͠ɺ A1 = A ∩ E ͱ A2 = A ∩ EC ͱͯ͠ఆཧͷ৚݅Λద༻͢Δͱ (1) ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ͳ͓ɺ֎ଌ౓ Γ ͷྼՃ๏ੑʢఆٛ 6 ͷ 3.ʣΑΓɺ೚ҙͷ A1 , A2 ⊂ X (A1 ∩ A2 = ϕ) ʹରͯ͠ɺΓ(A1 ) + Γ(A2 ) ≥ Γ(A1 + A2 ) ͕੒ΓཱͭͷͰɺE ⊂ X ͕ Γ-Մଌू߹Ͱ͋Δ͜ͱΛࣔ͢ʹ͸ɺఆཧ 3 ʹ͓͍ͯɺ Γ(A1 ) + Γ(A2 ) ≤ Γ(A1 + A2 ) ͕ࣔͤΕ͹े෼Ͱ͢ɻಉ༷ʹɺ೚ҙͷ A, E ⊂ X ʹ͍ͭͯɺ֎ଌ౓ Γ ͷྼՃ ๏ੑ͔Β͕࣍੒Γཱͪ·͢ɻ Γ(A ∩ EC) + Γ(A ∩ E) ≥ Γ((A ∩ EC) ∪ (A ∩ E)) = Γ(A) ͕ͨͬͯ͠ɺఆٛ 7 ʹ͓͍ͯ΋ɺΓ(A) ≥ Γ(A ∩ EC) + Γ(A ∩ E) ͕ࣔͤΕ͹े෼Ͱ͢ɻ ͜ͷޙɺຊઅͰ͸ɺ༗ݶՃ๏తଌ౓ m ͔Β֎ଌ౓ Γ Λߏ੒Ͱ͖Δ͜ͱɺͦͯ͠ɺΓ-Մଌू߹Λ͢΂ͯूΊ ͨू߹଒ MΓ ͸ σ-Ճ๏଒ʹͳΓɺΓ ͸ MΓ ্ͷଌ౓ʹͳΔ͜ͱΛॱΛ௥ͬͯূ໌͠·͢ɻ͜ΕʹΑΓɺ೚ҙ ͷۭؒ X ʹ͓͍ͯɺ༗ݶՃ๏తଌ౓ m Λఆٛ͢Ε͹ɺଌ౓ µ ʹࣗવʹ֦ுͰ͖Δ͜ͱʹͳΓ·͢ɻ ఆཧ 4 F Λ X ͷ෦෼ू߹ͷ༗ݶՃ๏଒ɺm(E) Λ F ্ͷ༗ݶՃ๏తଌ౓ͱ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺ࣍ͷ 2 ͕ͭ੒Γ ཱͭɻ 1. ೚ҙͷ A ⊂ X ʹରͯ͠ɺߴʑՃࢉແݶݸͷ En ∈ F Ͱ A Λ෴͍ʢA ⊂ ∞ ∪ n=1 En ʣ ɺ͢΂ͯͷ෴͍ํʹ ର͢ΔԼݶͰɺ࣍ͷू߹ؔ਺ Γ(A) Λఆٛ͢Δͱɺ͜Ε͸֎ଌ౓ʹͳΔɻ Γ(A) = inf { ∞ ∑ n=1 m(En ) } (2) 2. ಛʹ m(E) ͕༗ݶՃ๏଒ F ্Ͱ׬શՃ๏తͰ͋Ε͹ɺ͕࣍੒Γཱͭɻ E ∈ F ⇒ Γ(E) = m(E) ʢূ໌ʣ 1. ֎ଌ౓ͷ 3 ͭͷ৚݅Λॱʹࣔ͢ɻ 1. Γ(ϕ) = 0, 0 ≤ Γ(A) ≤ ∞ ɹ͜Ε͸ɺ(2) ͷఆٛΑΓࣗ໌ʹ੒Γཱͭɻ 2. A ⊂ B ⇒ Γ(A) ≤ Γ(B) ɹ En Λ B ͷ೚ҙͷඃ෴ B ⊂ ∞ ∪ n=1 En ͱ͢ΔͱɺA ⊂ B ΑΓɺA ⊂ ∞ ∪ n=1 En ͕੒Γཱͭɻ͜ͷ࣌ɺA 4
5. ͷ͢΂ͯͷඃ෴ʹର͢ΔԼݶͱͯ͠ɺF(A) ͕ఆٛ͞ΕΔ͜ͱ͔Βɺ Γ(A) ≤ ∞ ∑ n=1 m(En ) ͕੒Γཱͭɻ্ࣜӈลͰ B ͷ͢΂ͯͷඃ෴ʹ͍ͭͯͷԼݶΛऔΔͱ Γ(B) ʹͳΔͷͰɺΓ(A) ≤ Γ(B) ͕੒Γཱͭɻ 3. Γ ( ∞ ∪ n=1 An ) ≤ ∞ ∑ n=1 Γ(An ) ɹ A1 , A2 , · · · ⊂ X ͕༩͑ΒΕͨ࣌ɺ೚ҙͷ ϵ > 0 ʹରͯ͠ɺͦΕͧΕͷ An ʹ͍ͭͯɺ Γ(An ) + ϵ 2n ≥ ∞ ∑ k=1 m(Enk ) ͱͳΔඃ෴ An ⊂ ∞ ∪ k=1 Enk ͕ଘࡏ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺ ∞ ∪ n=1 An ⊂ ∞ ∪ n=1 ∞ ∪ k=1 Enk Ͱ͋Γɺ ∞ ∪ n=1 ∞ ∪ k=1 Enk ͸ ∞ ∪ n=1 An ͷඃ෴ʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͔Βɺ Γ ( ∞ ∪ n=1 An ) ≤ ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ k=1 m(Enk ) ≤ ∞ ∑ n=1 { Γ(An ) + ϵ 2n } = ∞ ∑ n=1 Γ(An ) + ϵ ͕੒Γཱͭɻϵ > 0 ͸೚ҙͰ͋Δ͜ͱ͔Βɺϵ → 0 ͷۃݶʹΑΓɺ Γ ( ∞ ∪ n=1 An ) ≤ ∞ ∑ n=1 Γ(An ) ͕ಘΒΕΔɻ 2. E ͸ E ࣗ਎ͷඃ෴Ͱ͋Δ͔ΒɺΓ(E) ≤ m(E) ͸ࣗ໌ɻͦ͜Ͱɺ൓ର޲͖ͷෆ౳߸Λࣔ͢ɻ En Λ E ͷ೚ҙͷඃ෴ E ⊂ ∞ ∪ n=1 En ͱ͢Δ࣌ɺਤ 1 ͷ༷ʹɺޓ͍ʹૉͳू߹ʹΑΔඃ෴ Fn Λ࠶ߏ੒͢Δɻ ۩ମతʹ͸ɺ࣍ͷ༷ʹఆٛ͢Ε͹Α͍ɻ F1 = E1 ∩ E, Fn = ( En − n−1 ∪ k=1 Ek ) ∩ E (n = 2, 3, · · · ) ͢ΔͱɺFn ⊂ En ɺFn ∈ FɺE = ∞ ∑ n=1 Fn ͕੒Γཱͪɺm(E) ͕༗ݶՃ๏଒ F ্Ͱ׬શՃ๏తͰ͋Δ͜ͱ ͔Βɺ࣍ͷؔ܎͕ಘΒΕΔɻ m(E) = ∞ ∑ n=1 m(Fn ) ≤ ∞ ∑ n=1 m(En ) ্ࣜӈลͰ E ͷ͢΂ͯͷඃ෴ʹ͍ͭͯͷԼݶΛऔΔͱɺm(E) ≤ Γ(E) ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ͜ΕͰɺ༗ݶՃ๏తଌ౓ m ͔Β֎ଌ౓ Γ ͕ߏ੒Ͱ͖Δ͜ͱ͕෼͔Γ·ͨ͠ɻ(2) ͷఆٛ͸ɺू߹ A ͷ֎ ଌ౓ Γ(A) Λʮ֎ଆ͔Β෴ͬͨू߹ͷଌ౓ ∞ ∑ n=1 m(En )ʯͰۙࣅ্ͨ͠ͰɺͦͷԼݶΛऔͬͨ΋ͷͱߟ͑ΒΕ ·͢ɻ ଓ͍ͯɺΓ-Մଌू߹Λ͢΂ͯूΊͨू߹଒ MΓ ͸ σ-Ճ๏଒ʹͳΔ͜ͱΛূ໌͠·͢ɻ 5
6. ਤ 1 ޓ͍ʹૉͳू߹ʹΑΔඃ෴ͷߏ੒ ิ୊ 1 Γ-Մଌू߹Λ͢΂ͯूΊͨू߹଒ MΓ ʹ͍ͭͯɺ͕࣍੒Γཱͭɻ 1. E ∈ MΓ ⇒ EC ∈ MΓ 2. E, F ∈ MΓ ⇒ E − F ∈ MΓ , E ∩ F ∈ MΓ 3. E1 , E2 , · · · , En ∈ MΓ ⇒ n ∪ k=1 Ek ∈ MΓ , n ∩ k=1 Ek ∈ MΓ ʢূ໌ʣ 1. Γ-Մଌू߹ͷఆٛʢఆٛ 7ʣ͸ɺE ͱ EC ʹ͍ͭͯରশͳͷͰ੒Γཱͭɻ 2. ͸͡Ίʹɺ E, F ∈ MΓ ͱͨ࣌͠ʹɺ E ∩F ͕ఆཧ 3 ͷ৚݅Λຬͨ͢͜ͱΛࣔ͢ɻࠓɺ ೚ҙͷ A ⊂ E ∩F ͱ೚ҙͷ B ⊂ (E ∩ F)C = EC ∪ FC ʹରͯ͠ɺB1 = B ∩ FɺB2 = B ∩ FC ͱ͓͘ͱɺ͕࣍੒Γཱͭɻ Γ(A) + Γ(B) = Γ(A) + Γ(B1 + B2 ) ≤ Γ(A) + Γ(B1 ) + Γ(B2 ) (∵ ֎ଌ౓ͷྼՃ๏ੑ) = Γ(A + B1 ) + Γ(B2 ) ( ∵ A ⊂ E, B1 ⊂ EC, E ∈ MΓ ) = Γ(A + B1 + B2 ) ( ∵ A + B1 ⊂ F, B2 ⊂ FC, F ∈ MΓ ) = Γ(A + B) ɹҰํɺΓ ͷྼՃ๏ੑΑΓɺΓ(A) + Γ(B) ≥ Γ(A + B) ͳͷͰɺ͜ΕΒΛ߹ΘͤͯɺΓ(A) + Γ(B) = Γ(A + B) ͱͳΓɺఆཧ 3 ͷ৚͕݅੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺE ∩ F ∈ MΓ ͱͳΔɻ͜ΕΑΓɺ1. ͷ݁ Ռͱ߹ΘͤͯɺE − F = E ∩ FC ∈ MΓ ΋੒Γཱͭɻ 3. 2. ͷ݁ՌΛ༗ݶճద༻͢Ε͹ɺ n ∩ k=1 Ek ∈ MΓ ͕੒Γཱͭɻ·ͨɺυɾϞϧΨϯͷެࣜʹΑΓɺ1. ͷ݁ Ռͱ߹Θͤͯɺ n ∪ k=1 Ek = ( n ∩ k=1 EC k )C ∈ MΓ ͕੒Γཱͭɻ ˙ 6
7. ఆཧ 5 Γ-Մଌू߹ E ⊂ X Λ͢΂ͯूΊͨू߹଒ MΓ ͸ɺσ-Ճ๏଒Ͱ͋Δɻ ʢূ໌ʣ σ-Ճ๏଒ͷ৚݅ (ఆٛ 2) Λॱʹ֬ೝ͢Δɻ1. ͷ ϕ ∈ MΓ ͸ࣗ໌ɻ2. ͸ิ୊ 1 ͷ 1. ΑΓ੒Γཱͭɻ3. ʹ ͍ͭͯ͸ɺE1 , E2 , · · · ∈ MΓ ͕༩͑ΒΕͨͱͯ͠ɺ F1 = E1 , Fn = En − n−1 ∪ k=1 Ek (n = 2, 3, · · · ) ͱ͓͘ͱɺF1 , F2 , · · · ͸ޓ͍ʹૉͳू߹Ͱɺ ∞ ∪ n=1 En = ∞ ∑ n=1 Fn ͕੒Γཱͭɻͦ͜ͰɺS = ∞ ∑ n=1 Fn ∈ MΓ Λࣔ͢ɻͳ͓ɺิ୊ 1 ʹΑΓɺF1 , F2 , · · · ∈ MΓ ͕੒Γཱͭɻ ·ͣɺ४උͱͯ͠ɺn = 1, 2, · · · ʹ͍ͭͯɺ೚ҙͷ A ⊂ X ʹରͯ͠ɺ Γ(A) ≥ n ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) (3) ͕੒Γཱͭ͜ͱΛ਺ֶతؼೲ๏Ͱࣔ͢ɻn = 1 ͷ৔߹͸ɺ࣍ͷܭࢉʹΑΓ੒Γཱͭɻ Γ(A) = Γ(A ∩ F1 ) + Γ(A ∩ FC 1 ) (∵ F1 ∈ MΓ ) ≥ Γ(A ∩ F1 ) + Γ(A ∩ SC) ( ∵ FC 1 ⊃ SC, ֎ଌ౓ͷ୯ௐੑ ) (3) ͕ n ·Ͱ੒ΓཱͭͱԾఆͯ͠ɺn + 1 ͷ৔߹Λࣔ͢ɻ(3) Ͱ A Λ A ∩ FC n+1 ʹஔ͖׵͑ͨ΋ͷΛߟ͑ Δͱɺ Γ(A ∩ FC n+1 ) ≥ n ∑ k=1 Γ(A ∩ FC n+1 ∩ Fk ) + Γ(A ∩ FC n+1 ∩ SC) = n ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) ( ∵ Fk ⊂ FC n+1 , SC ⊂ FC n+1 ) ͕ಘΒΕΔɻ͜ΕΛ༻͍ͯɺ F(A) = Γ(A ∩ Fn+1 ) + Γ(A ∩ FC n+1 ) (∵ Fn+1 ∈ MΓ ) ≥ Γ(A ∩ Fn+1 ) + n ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) = n+1 ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) ͱͳΓɺn + 1 Ͱ΋ (3) ͕੒Γཱͭɻ (3) Ͱ n → ∞ ͷۃݶΛऔΔͱɺ͕࣍ಘΒΕΔɻ Γ(A) ≥ ∞ ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) 7
8. ͜ͷӈล͸ɺ֎ଌ౓ͷྼՃ๏ੑΛ༻͍Δͱɺ࣍ͷ༷ʹมܗͰ͖Δɻ Γ(A) ≥ ∞ ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) ≥ Γ ( A ∩ ∞ ∑ k=1 Fk ) + Γ(A ∩ SC) = Γ(A ∩ S) + Γ(A ∩ SC) (4) ҰํɺA = (A ∩ S) + (A ∩ SC)ɺ͓Αͼɺ֎ଌ౓ͷྼՃ๏ੑΑΓɺ Γ(A) ≤ Γ(A ∩ S) + Γ(A ∩ SC) Ͱ͋ΔͷͰɺ͜ΕΒΛ߹Θͤͯɺ Γ(A) = Γ(A ∩ S) + Γ(A ∩ SC) ͱͳΔɻ͜Ε͕೚ҙͷ A ⊂ X ʹ͍ͭͯ੒Γཱͭ͜ͱ͔ΒɺS ∈ MΓ Ͱ͋Δɻ ˙ ࠷ޙʹɺ֎ଌ౓ Γ ͸ɺσ-Ճ๏଒ MΓ ্Ͱଌ౓ͷ৚݅ʢఆٛ 5ʣΛຬͨ͢͜ͱΛࣔ͠·͢ɻ ఆཧ 6 ֎ଌ౓ Γ ͸ɺσ-Ճ๏଒ MΓ ্ͷଌ౓Ͱ͋Δɻ ʢূ໌ʣ Γ(ϕ) = 0ɺ͓Αͼɺ0 ≤ Γ(A) ≤ ∞ ͸ࣗ໌ɻͦ͜Ͱɺޓ͍ʹૉͳ F1 , F2 , · · · ∈ MΓ ʹରͯ͠ɺ Γ ( ∞ ∑ n=1 Fn ) = ∞ ∑ n=1 Γ(Fn ) Λࣔ͢ɻ͜ͷ Fn ʹ͸ɺఆཧ 5 ͷূ໌Ͱ F1 , F2 , · · · ʹ༻͍ͨ΋ͷͱಉٞ͡࿦͕ద༻Ͱ͖ͯɺ S = ∞ ∑ n=1 Fn ͱͯ͠ɺఆཧ 5 ͷূ໌ʹ͓͚Δ (4) ΑΓɺ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͭɻ Γ(A) ≥ ∞ ∑ k=1 Γ(A ∩ Fk ) + Γ(A ∩ SC) ≥ Γ(A ∩ S) + Γ(A ∩ SC) ͜͜Ͱɺಛʹ A = S ͷ৔߹Λߟ͑Δͱɺ Γ(S) ≥ n ∑ k=1 Γ(Fn ) ≥ Γ(S) ͱͳΓɺΓ(S) = n ∑ k=1 Γ(Fn ) ͕ಘΒΕΔɻ ˙ 8
9. 2.4 ଌ౓ͷ׬උੑ Ұൠʹɺۭؒ X ্ͷ σ-Ճ๏଒ B ͱ B Ͱఆٛ͞Εͨଌ౓ µ ͕͋Δ࣌ɺ3 ͭ૊ (X, B, µ) Λଌ౓ۭؒͱݺ ͼɺB ʹଐ͢Δू߹Λ µ-Մଌू߹ͱݺͼ·͢ɻͦͯ͠ɺµ(B) = 0 Ͱ͋Δ µ-Մଌू߹ B ʹ͍ͭͯɺ೚ҙͷ෦ ෼ू߹ A ⊂ B ͕ µ-Մଌू߹ʹͳΔ࣌ɺଌ౓ۭؒ (X, B, µ) Λ׬උͰ͋Δͱ͍͍·͢ɻͳ͓ɺA ͕ µ-Մଌू ߹Ͱ͋Ε͹ɺµ(A) = µ(B) − µ(B − A) ≤ µ(B) = 0 ͕੒Γཱͭ͜ͱ͔Βɺµ(A) = 0 ͕ݴ͑·͢ɻ͕ͨͬ͠ ͯɺ׬උͳଌ౓ۭؒͷ৚݅͸ɺ ʮଌ౓ 0 ͷ µ-Մଌू߹ͷ೚ҙͷ෦෼ू߹͕ଌ౓ 0 ͷ µ-Մଌू߹ʹͳΔ͜ͱʯͱ ݴ͍׵͑ͯ΋ߏ͍·ͤΜɻ Ұൠʹ͸ɺ׬උͰͳ͍ଌ౓ۭؒ΋ଘࡏ͠·͕͢ɺ࣍ͷఆཧ͕ࣔ͢Α͏ʹɺલઅͷखଓ͖Λ༻͍ͯ֎ଌ౓͔Β ఆٛ͞Εͨଌ౓ۭؒ͸ɺඞͣ׬උʹͳΓ·͢ɻ ఆཧ 7 ۭؒ X Ͱఆٛ͞Εͨ Γ-Մଌू߹ B ͕ Γ(B) = 0 Λຬͨ࣌͢ɺ೚ҙͷ E ⊂ B ͸ Γ-Մଌू߹Ͱ͋Δɻ (ূ໌) ֎ଌ౓ͷ୯ௐੑΑΓ Γ(E) ≤ Γ(B) = 0 ͳͷͰɺΓ(E) = 0 ͕੒Γཱͭɻ͜ͷ࣌ɺ೚ҙͷ A ⊂ X ʹରͯ͠ɺ ֎ଌ౓ͷ୯ௐੑΑΓ Γ(A ∩ E) ≤ Γ(E) = 0 ͳͷͰɺ Γ(A ∩ E) = 0 Ͱ͋Γɺ͜ΕΑΓ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͭɻ Γ(A) ≥ Γ(A ∩ EC) = Γ(A ∩ EC) + Γ(A ∩ E) ͜͜Ͱ࠷ॳͷෆ౳߸͸ɺ΍͸Γ֎ଌ౓ͷ୯ௐੑʹΑΔɻҰํɺ֎ଌ౓ͷྼՃ๏ੑΑΓɺٯ޲͖ͷෆ౳ࣜ΋੒ Γཱͭɻ Γ(A ∩ EC) + Γ(A ∩ E) ≥ Γ((A ∩ EC) ∪ (A ∩ E)) = Γ(A) ͕ͨͬͯ͠ɺΓ(A) = Γ(A ∩ EC) + Γ(A ∩ E) Ͱ͋ΓɺE ͸ Γ-Մଌू߹Ͱ͋Δɻ ˙ ࣍ষͰ͸ɺϢʔΫϦουۭؒ RN ʹ͓͚Δ Lebesgue ଌ౓Λఆٛ͠·͕͢ɺ͜Ε͸ɺ֎ଌ౓͔Βఆٛ͞ΕΔ ͨΊ׬උͳଌ౓ۭؒʹͳΓ·͢ɻ ࣍ʹɺ׬උͰͳ͍ଌ౓ۭؒΛ֦ுͯ͠ɺ׬උͳଌ౓ۭؒΛߏ੒͢Δखଓ͖Λઆ໌͠·͢ɻ͸͡Ίʹɺू߹ A ͱू߹ B ͷରশࠩ A ⊖ B Λ࣍Ͱఆٛ͠·͢ɻ A ⊖ B = (A − B) + (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B) ରশࠩ͸ɺ࣍ͷؔ܎Λຬͨ͠·͢ɻ AC ⊖ BC = A ⊖ B (A1 ∪ A2 ) ⊖ (B1 ∪ B2 ) ⊂ (A1 ⊖ B1 ) ∪ (A2 ⊖ B2 ) ࣍ʹɺ ʢ׬උͱ͸ݶΒͳ͍ʣଌ౓ۭؒ (X, B, µ) ʹ͓͍ͯɺX ͷ෦෼ू߹ E Ͱɺ࣍ͷ৚݅Λຬͨ͢΋ͷશ ମΛ B ͱ͠·͢ɻ E ⊖ B ⊂ N Ͱɺ µ(N) = 0 ͱͳΔɺ B, N ∈ B ͕ଘࡏ͢Δ (5) 9
10. E ∈ B ͷ৔߹͸ɺB = E, N = ϕ ͱऔΕ͹Α͍ͷͰɺB ⊃ B ͕੒Γཱͪ·͢ɻ·ͨɺE ∈ B Ͱ͋Δ࣌ɺ ೚ҙͷ෦෼ू߹ E′ ⊂ E ʹ͍ͭͯɺE′ ⊖ B ⊂ E ⊖ B Ͱ͋Δ͜ͱ͔ΒɺE′ ∈ B ͱͳΓ·͢ɻ͕ͨͬͯ͠ɺB ্Ͱఆٛ͞Εͨଌ౓ µ Λ B ্ʹ֦ு͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Ε͹ɺ͜Ε͸׬උͳଌ౓ۭؒʹͳΓ·͢ɻͳ͓ɺݩͷ ଌ౓ۭ͕ؒ׬උͳ৔߹͸ɺB = B ͱͳΓ·͢ɻͳͥͳΒɺE ⊖ B ⊂ N ΑΓ E ⊖ B ͸ µ-Մଌू߹Ͱ͋Γɺ E = (E − B) + (E ∩ B) = ((E ⊖ B) − B) + (B − (E ⊖ B)) ͱॻ͚ΔͷͰɺE ΋ µ-Մଌू߹ʹͳΔ͔ΒͰ͢ɻ ͜ͷޙ͸ɺ࣮ࡍʹ B Λ༻͍ͯɺ׬උͳଌ౓ۭؒʹ֦ுͰ͖Δ͜ͱΛࣔ͠·͢ɻ ิ୊ 2 (5) ͷ৚݅Ͱఆٛ͞ΕΔ B ʹ͍ͭͯɺ೚ҙͷ E ∈ B ʹରͯ͠ɺ(5) Λຬͨ͢ B1 , B2 ͱͯ͠ B1 ⊂ E ⊂ B2 Λຬͨ͢΋ͷ͕औΕΔɻ ʢূ໌ʣ (5) Λຬͨ͢ B, N Λ༻͍ͯɺB1 = B ∪ N, B2 = B − N ͱ͢ΔͱɺB1 ⊂ E ⊂ B2 Ͱ͋ΓɺE ⊖ B1 ⊂ N, E ⊖ B2 ⊂ N ͕੒Γཱͭɻ ˙ ิ୊ 3 (5) ͷ৚݅Ͱఆٛ͞ΕΔ B ͸ σ-Ճ๏଒ʹͳΔɻ ʢূ໌ʣ B ͕ఆٛ 2 ͷ৚݅Λຬͨ͢͜ͱΛ֬ೝ͢Ε͹ྑ͍ɻ·ͣɺ ۭू߹ ϕ ʹ͍ͭͯ͸ɺ B = N = ϕ ͱͯ͠ɺ (5) ͕ ੒Γཱͭɻ࣍ʹɺ E ∈ B ͱ͢Δ࣌ɺ (5) Λຬͨ͢ B, N Λ༻͍ͯɺ EC ⊖BC = E ⊖B ⊂ N ͱͳΔͷͰɺ EC ʹ ͍ͭͯ΋ (5) ͕੒Γཱͭɻ࠷ޙʹɺEn ∈ B (n = 1, 2, · · · ) ͱ͢Δ࣌ɺ࣍Λຬͨ͢ Bn , Nn ∈ B (n = 1, 2, · · · ) ͕ଘࡏ͢Δɻ En ⊖ Bn ⊂ Nn , µ(Nn ) = 0 ͜ͷ࣌ɺE = ∞ ∪ n=1 En , B = ∞ ∪ n=1 Bn , N = ∞ ∪ n=1 Nn ͱ͓͘ͱɺB, N ∈ B Ͱ͋Γɺଌ౓ͷྼՃ๏ੑΛ༻͍ͯɺ ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͭɻ µ(N) ≤ ∞ ∑ n=1 µ(Nn ) = 0 E ⊖ B ⊂ ∞ ∪ n=1 (En ⊖ Bn ) ⊂ ∞ ∪ n=1 Nn = N ͕ͨͬͯ͠ɺE ʹ͍ͭͯ΋ (5) ͕੒Γཱͭɻ ˙ ఆཧ 8 E ∈ B ʹରͯ͠ɺ(5) Λຬͨ͢ B Λ༻͍ͯɺµ(E) = µ(B) Ͱू߹ؔ਺ µ Λఆٛ͢Δͱɺ(X, B, µ) ͸׬උͳଌ౓ۭؒʹͳΔɻ ʢূ໌ʣ ͸͡Ίʹɺू߹ؔ਺ µ ͕ well-defined Ͱ͋Δ͜ͱΛࣔ͢ɻ͜Εʹ͸ɺ(5) Λຬͨ͢ 2 छྨͷ૊ (B, N) ͱ (B′, N′) ʹ͍ͭͯɺµ(B) = µ(B′) Ͱ͋Δ͜ͱ͕ݴ͑Ε͹Α͍ɻࠓͷ৔߹ɺ B ⊖ B′ ⊂ (E ⊖ B) ∪ (E ⊖ B′) ⊂ N ∪ N′ 10
11. ͱͳΔ͜ͱ͔Βɺµ(B ⊖ B′) = 0 ͕੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺ B1 = (B ⊖ B′) ∩ B ⊂ B ⊖ B′ B2 = (B ⊖ B′) ∩ B′ ⊂ B ⊖ B′ ͱ͢Δ࣌ɺµ(B1 ) = µ(B2 ) = 0 Ͱ͋ΓɺB = (B ∩ B′) + B1 ΑΓɺµ(B) = µ(B ∩ B′) ͕ಘΒΕΔɻಉ༷ ʹɺB′ = (B ∩ B′) + B2 ΑΓɺµ(B′) = µ(B ∩ B′) ͱͳΔͷͰɺµ(B) = µ(B′) ͕੒Γཱͭɻ ิ୊ 3 ΑΓɺ B ͸ σ-Ճ๏଒ͳͷͰɺ ޙ͸ɺ µ ͕ఆٛ 5 ͷ৚݅Λຬͨ͢͜ͱΛࣔͤ͹ྑ͍ɻ·ͣɺ µ(ϕ) = 0ɺ ͓ Αͼɺ 0 ≤ µ(E) ≤ ∞ ͸ࣗ໌Ͱ͋Δɻ࣍ʹɺ En ∈ B (n = 1, 2, · · · ), Ei ∩Ej = ϕ (i ̸= j) ͱͯ͠ɺ E = ∞ ∑ n=1 En ͱ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺิ୊ 2 ΑΓɺ֤ n ʹ͍ͭͯɺ Bn ⊂ En , En − Bn ⊂ Nn , µ(Nn ) = 0, Bi ∩ Bj = ϕ (i ̸= j) ͱͳΔ΋ͷ͕औΕΔɻ·ͨɺµ ͷఆٛΑΓɺµ(En ) = µ(Bn ) ͱͳΔɻ͜͜Ͱɺ B = ∞ ∪ n=1 Bn , N = ∞ ∪ n=1 Nn ͱஔ͘ͱɺ B ⊂ E, E − B ⊂ ∞ ∪ n=1 (En − Bn ) ⊂ N, µ(N) = 0 ͕੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺE, B, N ͸ (5) Λຬ͓ͨͯ͠Γɺµ(E) = µ(B) ͕੒Γཱͭɻͦͯ͠ɺµ ͸ B ্ ͷଌ౓Ͱ͋Δ͔Βɺ ∞ ∑ i=1 µ(En ) = ∞ ∑ n=1 µ(Bn ) = µ(B) = µ(E) ͕੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺµ ͸ B ্ͷଌ౓Ͱ͋Γɺ(X, B, µ) ͸ଌ౓ۭؒʹͳΔɻ͜Ε͕׬උͰ͋Δ͜ͱ͸ɺ ิ୊ 2 ͷ௚લͷຊจͷٞ࿦ʹΑΔɻ ˙ ͜͜·Ͱͷٞ࿦͔Β෼͔ΔΑ͏ʹɺσ-ू߹଒ B ͱ͜ΕΛ׬උԽͨ͠ σ-ू߹଒ B ͕͋Δ࣌ɺ೚ҙͷ E ∈ B ʹରͯ͠ɺB1 ⊂ E ⊂ B2 , µ(B1 − E) = µ(E − B2 ) = 0 ͱͳΔ B1 , B2 ⊂ B ͕औΕ·͢ɻ͜Ε͸ɺେࡶ೺ʹ ͸ɺ ʮB ͱ B ͷࠩ͸ɺଌ౓ 0 Ͱ͋Δʯͱ͍͏͜ͱͰɺB Λ׬උԽ͢ΔͨΊͷ࠷௿ݶͷ֦ுͱཧղ͢Δࣄ͕Ͱ ͖·͢ɻ࣍ষͰ͸ɺϢʔΫϦουۭؒ RN ʹ͓͍ͯɺLebesgue ֎ଌ౓ µ∗ Λ༻͍ͯɺLebesgue Մଌू߹଒ Mµ ͱ Lebesgue ଌ౓ µ Λఆٛ͠·͕͢ɺBorel ू߹଒ BN Λ׬උԽͨ͠΋ͷ͕ Lebesgue Մଌू߹଒ Mµ ʹҰக͢Δࣄ͕ࣔ͞Ε·͢ɻ 11
12. ਤ 2 ۠ؒͱ۠ؒմͷఆٛʢࢀߟॻ੶ [1] ΑΓҾ༻ʣ 3 Lebesgue ଌ౓ͷఆٛ 3.1 ۠ؒմͷ༗ݶՃ๏଒Λ༻͍ͨଌ౓ͷఆٛ ϢʔΫϦουۭؒ RN ʹ͓͍ͯ͸ɺ༗ݶݸͷۣܗΛ૊Έ߹Θͤͨਤܗ͸ɺ༗ݶՃ๏଒ͱͳΔ͜ͱ͕௚ײత ʹཧղͰ͖·͢ɻ͜͜Ͱݴ͏ۣܗ͸ɺ−∞ ≤ aν < bν ≤ ∞ (ν = 1, · · · , N) ʹରͯ͠ɺ I = (a1 , b1 ] × · · · × (aN , bN ] (6) Ͱఆٛ͞ΕΔ΋ͷͰɺ2 ࣍ݩͷ৔߹Ͱ͋Ε͹ɺਤ 2ʢࠨʣͷΑ͏ʹͳΓ·͢ɻ͜ͷΑ͏ͳۣܗΛ͜͜Ͱ͸ RN ʹ͓͚Δʮ۠ؒʯͱݺͼ·͢ɻͦͯ͠ɺਤ 2ʢӈʣͷΑ͏ʹͯ͠ɺ༗ݶݸͷ۠ؒΛޓ͍ʹॏͳΒͳ͍༷ʹฒ΂ ͨ΋ͷΛʮ۠ؒմʯͱݺͼ·͢ɻ۠ؒմ E ͸ɺI1 , · · · , In Λޓ͍ʹૉͳ۠ؒͱͯ͠ɺ͜ΕΒͷ࿨ू߹Ͱද͞ Ε·͢ɻ E = I1 + · · · + In ೋͭͷ۠ؒմ E1 = I1 + · · · + In ͱ E2 = J1 + · · · + Jm ͸ɺڞ௨ͷཁૉΛ࣋ͭ͜ͱ΋͋ΔͷͰɺҰൠʹ ͸ɺ࣍ͷؔ܎͸੒Γཱͪ·ͤΜɻ E1 ∪ E2 = (I1 + · · · + In ) + (J1 + · · · + Jm ) ͔͠͠ͳ͕Βɺ۠ؒͷ૯਺͕༗ݶݸͰ͋Δ͜ͱ͔Βɺ৽ͨʹ۠ؒ K1 , · · · , Kp ΛऔΓ௚ͯ͠ɺ E1 ∪ E2 = K1 + · · · + Kp ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖·͢ɻ͕ͨͬͯ͠ɺ۠ؒմશମͷू߹Λ FN ͱ͢Δͱɺ͜Ε͸༗ݶՃ๏଒ʹͳΓ·͢ɻ ·ͨɺ(6) Ͱ༩͑ΒΕΔ۠ؒ I ͷ໘ੵ m(I) ͸ɺ m(I) = N ∏ ν=1 (bν − aν ) 12
13. Ͱࣗવʹఆٛ͞Ε·͢ɻಉ༷ʹͯ͠ɺ۠ؒմ E = I1 + · · · + In ͷ໘ੵ m(E) ͸ɺ m(E) = n ∑ k=1 m(Ik ) ͰఆٛͰ͖·͢*2ɻ͜ͷ࣌ɺm(E) ͸ɺ༗ݶՃ๏଒ FN ্ͷ༗ݶՃ๏తଌ౓ʹͳΔ͜ͱ΋௚ײతʹཧղͰ͖ ·͢ɻ ͞Βʹɺ࣍અͰ༷ࣔ͢ʹɺm(E) ͸ɺFN ্Ͱ׬શՃ๏తͰ΋͋Δ͜ͱ͕෼͔Γ·͢ɻ͕ͨͬͯ͠ɺલষͷ Ұൠ࿦Λద༻͢Δͱɺఆཧ 4 ʹΑΓɺRN ͷ೚ҙͷ෦෼ू߹ A ʹରͯ͠ɺ ʮߴʑՄࢉແݶݸͷ۠ؒմʢ΋͘͠ ͸ɺͦΕΛߏ੒͢Δ۠ؒʣͰ A Λ෴ͬͨࡍͷ۠ؒմͷશ໘ੵͷԼݶʯͱͯ͠ɺA ͷ֎ଌ౓ µ∗(A) ͕ఆٛ͞Ε ͯɺ ʢm(E) ͕׬શՃ๏తͰ͋Δ͜ͱ͔Βʣ۠ؒմ E ʹରͯ͠͸ɺ µ∗(E) = m(E) ͕੒Γཱͪ·͢ɻ͜ͷΑ͏ʹఆٛ͞Εͨ µ∗ Λ Lebesgue ֎ଌ౓ͱ͍͍·͢ɻ͞ΒʹɺRN ͷதͰɺµ∗ ͷҙ ຯͰՄଌͳू߹શମΛ Mµ ͱͯ͠ɺµ∗ ͷఆٛҬΛ Mµ ʹݶఆͨ͠΋ͷ͕ Lebesgue ଌ౓ µ ʹͳΓ·͢ɻ ͪͳΈʹɺఆཧ 4 Ͱ֎ଌ౓Λߏ੒͢ΔࡍʹɺՃࢉແݶݸͷ۠ؒմͰ A Λ෴͏͜ͱΛڐͨ͠఺ʹɺLebesgue ଌ౓ͷͻͱͭͷϙΠϯτ͕͋Γ·͢ɻԾʹɺ༗ݶݸͷ۠ؒմʹݶఆͨ͠৔߹ɺՃࢉແݶݸͷ཭ࢄ఺Λ࣋ͭू߹ ʹରͯ͠ɺଌ౓ 0 Λ༩͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͘ͳΓ·͢ɻ ͜͜·Ͱͷ੔ཧ͕Ͱ͖Ε͹ɺ͜ͷޙ͸ɺҰ୴ɺRN ʹݻ༗ͷ Lebesgue ଌ౓ͷఆٛ͸๨Εͯɺந৅తͳଌ౓ ͷఆٛʹج͍ͮͯɺଌ౓ۭ͕ؒຬͨ͢ੑ࣭Λௐ΂Δࣄ͕Ͱ͖·͢ɻͦͯ͠·ͨಉ࣌ʹɺҰൠͷଌ౓ۭؒʹ͸ແ ͍ɺLebesgue ଌ౓ʹݻ༗ͷੑ࣭Λௐ΂Δ͜ͱ΋ॏཁʹͳΓ·͢ɻ 3.2 m(E) ͕׬શՃ๏తͰ͋Δ͜ͱͷূ໌ ఆཧ 9 RN ʹ͓͚Δ۠ؒմશମͷू߹Λ FN ͱͯ͠ɺ ʢࣗવʹఆٛ͞ΕΔʣ۠ؒմ E ͷ໘ੵ m(E) ͸׬શ Ճ๏తͰ͋ΓɺFN ্ͷ׬શՃ๏తଌ౓ µ ʹҰக͢Δɻ ʢূ໌ʣ ޓ͍ʹૉͳՃࢉແݶݸͷ۠ؒմ E1 , E2 , . . . ͕༩͑ΒΕͯɺE = ∞ ∑ n=1 En ͕࠶ͼ۠ؒմʹͳΔɺ͢ͳΘͪɺ ༗ݶݸͷ۠ؒͷ࿨Ͱද͞ΕΔ৔߹ʹɺ m(E) = ∞ ∑ n=1 m(En ) ͕੒Γཱͭ͜ͱΛࣔͤ͹Α͍ɻ ·ͣɺ೚ҙͷ n ʹ͍ͭͯɺE ⊃ n ∑ k=1 Ek Ͱ͋Δ͔Βɺ໘ੵ m ͷ୯ௐੑͱ༗ݶՃ๏ੑʢఆཧ 1ʣʹΑΓɺ m(E) ≥ m ( n ∑ k=1 Ek ) = n ∑ k=1 m(Ek ) ͕੒Γཱͪɺn → ∞ ͷۃݶΛऔΔͱɺ m(E) ≥ ∞ ∑ n=1 m(En ) *2 ݫີʹ͸ɺ͜ͷ஋͸ɺ۠ؒʹΑΔ෼ղํ๏ʹґଘ͠ͳ͍͜ͱΛࣔ͢ඞཁ͕͋Γ·͢ɻ 13
14. ͕ಘΒΕΔɻ࣍ʹɺ͜ͷ൓ର޲͖ͷෆ౳ࣜΛॱΛ௥ͬͯࣔ͢ɻ ֤ En ͸ɺ༗ݶݸͷ۠ؒͷ࿨Ͱද͞ΕΔͷͰɺ͜ΕΒͷ۠ؒΛ͢΂ͯूΊͨ΋ͷΛվΊͯ I1 , I2 , · · · ͱ͢ Δͱɺ E = ∞ ∑ n=1 In (7) ͓Αͼ ∞ ∑ n=1 m(In ) = ∞ ∑ n=1 m(En ) ͱ͍͏ؔ܎͕੒Γཱͭɻ·ͨɺE Λ༗ݶݸͷ۠ؒͰදͨ͠΋ͷΛ E = p ∑ k=1 Kk ͱ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺ೚ҙͷ ϵ0 > 0 ʹରͯ͠ɺ༗քͳ۠ؒմ F Ͱɺ m(E) − ϵ0 ≤ m(F) (8) ͔ͭɺF ⊂ E Λຬͨ͢΋ͷ͕औΕΔɻ۩ମతʹ͸ɺE Λߏ੒͢Δ֤۠ؒ Ki = (a1 , b1 ] × · · · × (aN , bN ] ʹର ͯ͠ɺͦΕͧΕͷ ν = 1, · · · , N ʹ͍ͭͯɺaν ʹ্͔Βऩଋ͢Δ਺ྻ {aνn }ɺ͓Αͼɺbν ʹԼ͔Βऩଋ͢Δ ਺ྻ {bνn } ΛऔΓɺ৽ͨͳ۠ؒ K′ in = (a1n , b1n ] × · · · × (aNn , bNn ] Λ༻ҙ͢Δɻ͜ΕΒͷ۠ؒͷ࿨Λ Fn ͱ͢Ε͹ɺFn ⊂ E ͱͳΔɻҰํɺn → ∞ ͷۃݶͰ m(Fn ) → m(E) ͱͳΔͷͰɺn Λे෼େ͖͘͢Ε͹ɺ m(E) − ϵ0 ≤ m(Fn ) Λຬͨ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ ࣍ʹɺ(7) ʹ͋Δ۠ؒ In Λ In = (an1 , bn1 ] × · · · × (anN , bnN ] ͱ͢Δ࣌ɺ೚ҙͷ ϵ1 > 0 ʹରͯ͠ɺ۠ؒ In ΛΘ͔ͣʹ޿͛ͨ Jn = (an1 , bn1 + δn ] × · · · × (anN , bnN + δn ] Λ m(Jn ) ≤ m(In ) + ϵ1 2n (9) Λຬ༷ͨ͢ʹऔΔɻ ʢ༩͑ΒΕͨ ϵ1 ʹରͯ͠ɺे෼ʹখ͞ͳ δn > 0 ΛऔΔʣ ɻ͞ΒʹɺJn Λ։۠ؒʹͨ͠΋ ͷΛ J′ n = (an1 , bn1 + δn ) × · · · × (anN , bnN + δn ) ͱ͢Δͱɺ࣍ͷแؚؔ܎͕੒Γཱͭɻ F ⊂ E = ∞ ∑ n=1 In ⊂ ∞ ∪ n=1 J′ n ͜͜ͰɺF ͸༗քดू߹Ͱ͋ΓɺҰํɺJ′ n ͸։ू߹ͳͷͰɺBorel-Lebesgue ͷඃ෴ఆཧʹΑΓɺ༗ݶݸͷ J′ n Ͱ F Λ෴͏͜ͱ͕Ͱ͖ɺ࣍ͷแؚؔ܎͕੒Γཱͭɻ F ⊂ F ⊂ n0 ∪ n=1 J′ n ⊂ n0 ∪ n=1 Jn ͜ͷؔ܎ʹଌ౓ m Λద༻͢Δͱɺm ͷ୯ௐੑͱ༗ݶՃ๏ੑɺ͓Αͼɺ(8)(9) ͷؔ܎Λ߹Θͤͯɺ࣍ͷ݁Ռ ͕੒Γཱͭɻ m(E) − ϵ0 ≤ m(F) ≤ n0 ∑ n=1 m(Jn ) ≤ n0 ∑ n=1 { m(In ) + ϵ1 2n } ≤ ∞ ∑ n=1 m(In ) + ϵ1 ϵ0 ͱ ϵ1 ͸೚ҙͳͷͰɺϵ0 , ϵ1 → 0 ͷۃݶΛͱͬͯɺ m(E) ≤ ∞ ∑ n=1 m(In ) = ∞ ∑ n=1 m(En ) 14
15. ͕ಘΒΕΔɻҎ্ʹΑΓɺm(E) = ∞ ∑ n=1 m(En ) ͕ࣔ͞Εͨɻ ͕ͨͬͯ͠ɺF ⊂ Mµ Ͱ͋Ε͹ɺ۠ؒմͷ໘ੵ m(E) ͸ଌ౓ µ ʹҰக͢Δ͜ͱ͕ݴ͑Δɻ͜ͷ఺ʹ͍ͭͯ ͸ɺ͜ͷޙͷఆཧ 21 ͷূ໌Λࢀরɻ ˙ 3.3 Մଌू߹଒ Mµ ͷൣғ ʮ2.3 ֎ଌ౓Λܦ༝ͨ͠ଌ౓ͷߏ੒ํ๏ʯͰ͸ɺΓ-Մଌू߹ΛఱԼΓతʹఆٛ͠·͕ͨ͠ʢఆٛ 7ʣ ɺRN ͷ ৔߹ɺ͢ͳΘͪɺ֎ଌ౓ Γ ͱͯ͠ Lebesugue ֎ଌ౓ µ∗ Λ༻͍ͨ৔߹ʹɺରԠ͢ΔՄଌू߹଒ Mµ ͕ͲͷΑ ͏ͳू߹ʹͳΔͷ͔͕ෆ໌֬Ͱ͢ɻ͜͜Ͱ͸ɺBorel ू߹଒ͷ֓೦Λ༻͍ͯɺMµ ͷʮൣғʯΛߜΓࠐΜͰΈ ·͢ɻ ͸͡ΊʹɺRN ʹݶఆ͠ͳ͍Ұൠ࿦ͱͯ͠ɺ ʮ࠷খͷ σ-Ճ๏଒ʯͱ͍͏֓೦Λಋೖ͠·͢ɻ ఆཧ 10 ۭؒ X ͷ෦෼ू߹͔ΒͳΔ೚ҙͷू߹଒ V0 ʹରͯ͠ɺ͜ΕΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒ B[V0 ] ͕ଘ ࡏ͢Δɻ͢ͳΘͪɺB[V0 ] ͸ɺB[V0 ] ⊃ V0 Λຬͨ͢ σ-Ճ๏଒Ͱ͋ΓɺB ⊃ V0 Λຬͨ͢೚ҙͷ σ-Ճ๏଒ B ʹରͯ͠ɺB[V0 ] ⊂ B ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ V0 ΛؚΉ σ-Ճ๏଒͸ɺগͳ͘ͱ΋ 1 ͭ͸ଘࡏ͢Δɻͨͱ͑͹ɺX ͷ͢΂ͯͷ෦෼ू߹͔ΒͳΔू߹଒Λ ߟ͑Ε͹Α͍ɻͦ͜ͰɺV0 ΛؚΉ σ-Ճ๏଒શମͷੵू߹Λ B[V0 ] ͱ͢Ε͹Α͍ɻ ˙ ͦ͜ͰɺRN ʹ͓͍ͯɺ։ू߹શମ͔ΒͳΔू߹଒ ON Λߟ͑ͯɺ͜ΕΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒ B[ON ] Λ RN ʹ͓͚Δ Borel ू߹଒ BN ͱ͍͍·͢ɻ͜Ε͸ɺRN ʹ͓͚Δ۠ؒશମ IN ɺ΋͘͠͸ɺ۠ؒմશମ FN ΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒ʹҰக͠·͢ɻ ఆཧ 11 BN = B[IN ] = B[FN ] ʢূ໌ʣ ͸͡Ίʹ B[IN ] = B[FN ] Λࣔ͢ɻ·ͣɺIN ⊂ FN ⊂ B[FN ] Ͱ͋ΓɺB[IN ] ͸ IN ΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏ ଒Ͱ͋Δ͜ͱ͔ΒɺB[IN ] ⊂ B[FN ] ͕੒Γཱͭɻ ࣍ʹɺ೚ҙͷ E ∈ FN ͸༗ݶݸͷ۠ؒͷ࿨Ͱද͞ΕΔͷͰɺE ∈ B[IN ] Ͱ͋ΓɺैͬͯɺFN ⊂ B[IN ]ɻ B[FN ] ͸ FN ΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒Ͱ͋Δ͜ͱ͔ΒɺB[FN ] ⊂ B[IN ] ͕੒ΓཱͭɻҎ্ʹΑΓɺB[IN ] = B[FN ] ͕੒Γཱͭɻ ଓ͍ͯɺB[IN ] = BN Λࣔ͢ɻIN ͷ೚ҙͷݩΛ I = (a1 , b1 ] × · · · × (aN , bN ] ͱ͢ΔͱɺJn = (a1 , b1 + 1 n ) × · · · × (aN , bN + 1 n ) (n = 1, 2, · · · ) ͱͯ͠ɺ I = ∞ ∩ n=1 Jn ͱॻ͚ΔɻJn ͸։ू߹ͳͷɺ͜Ε͸ɺI ∈ BN Λҙຯ͢ΔɻैͬͯɺIN ⊂ BN Ͱ͋ΓɺB[IN ] ͸ IN Λؚ Ή࠷খͷ σ-Ճ๏଒Ͱ͋Δ͜ͱ͔ΒɺB[IN ] ⊂ BN ͕੒Γཱͭɻ ࣍ʹɺRN ͷ೚ҙͷ։ू߹ G ∈ ON ʹରͯ͠ɺ֤఺ x ∈ G ʹ͍ͭͯɺIx ⊂ G ͱͳΔ۠ؒ Ix ͕औΕΔɻ 15
16. ۠ؒ Ix = (a1 , b1 ] × · · · × (aN , bN ] ʹରͯ͠ɺ։ू߹ Jx = (a1 , b1 ) × · · · × (aN , bN ) ΛऔΔͱɺ ∪ x∈G Jx ⊃ G ͱͳΔͷͰɺLindel¨ of ͷඃ෴ఆཧʹΑΓɺՃࢉແݶݸͷ Jx Λ༻͍ͯɺ ∞ ∪ n=1 Jxn ⊃ G ͱͰ͖Δɻͭ·Γɺ ∞ ∪ n=1 Ixn ⊃ ∞ ∪ n=1 Jxn ⊃ G ͕੒ΓཱͭɻҰํɺIx ⊂ G Ͱ͋ͬͨ͜ͱ͔Βɺ͜Ε͸ɺ G = ∞ ∪ n=1 Ixn ∈ B[In ] Λҙຯ͢Δɻͭ·ΓɺON ⊂ B[In ] ͱͳΔɻB = B[ON ] ͸ɺON ΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒Ͱ͋Δ͔Βɺ͜Ε ΑΓɺB ⊂ B[IN ] ͕ಘΒΕΔɻҎ্ʹΑΓɺB = B[IN ] ͕੒Γཱͭɻ ˙ ͜͜Ͱ͸ɺ։ू߹શମΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒ͱͯ͠ Borel ू߹଒ BN Λఆٛ͠·͕ͨ͠ɺRN Ͱ͸ɺՃࢉ ແݶݸͷ։ू߹Λ༻͍ͯดू߹Λද͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔͷͰɺดू߹΋·ͨ BN ʹଐ͠·͢ɻͭ·ΓɺߴʑՃࢉ ແݶݸͷ։ू߹ͱดू߹Λ༻͍ͯʢ͜ΕΒͷ࿨ू߹ɺੵू߹ɺิू߹ͳͲͷԋࢉʹΑΓʣಘΒΕΔू߹͸ɺ͢ ΂ͯ Borel ू߹଒ BN ʹଐ͢Δ͜ͱʹͳΓ·͢ɻ ͜ͷ Borel ू߹଒ BN ͸ɺ΍΍௚ײతͳݴ͍ํΛ͢Δͱɺ࣍ͷੑ࣭Λຬͨ͠·͢ɻ • Մଌू߹଒ Mµ ʹؚ·Ε͓ͯΓɺͦͷࠩ Mµ − BN ͸ʮ΄ͱΜͲθϩʯͰ͋Δʢఆཧ 16ɺఆཧ 18ʣ • ೚ҙͷू߹ A ⊂ RN Λ Borel ू߹ B ∈ BN Ͱ֎͔ΒۙࣅͰ͖Δʢఆཧ 14ʣ ͭ·ΓɺՄଌू߹ͷେ෦෼͸Մࢉແݶݸͷ։ू߹ͷ૊Έ߹ΘͤͰ࡞Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͯɺ͜Ε͸ʢՄଌू߹ͱ͸ ݶΒͳ͍ʣ೚ҙͷू߹Λۙࣅతʹද͢ͷʹे෼Ͱ͋Δɺͱ͍͏͜ͱʹͳΓ·͢ɻ͜ͷޙ͸ɺ্هͷؔ܎Λ਺ֶ తʹݫີͳܗͰఆཧͱ͍͖ͯࣔͯ͠͠·͢ɻ ͸͡ΊʹɺBN ͸ɺMµ ʹؚ·ΕΔ͜ͱΛࣔ͠·͢ɻ͜Εʹ͸ɺRN ʹݶఆ͠ͳ͍ɺ࣍ͷҰൠతͳؔ܎Λ༻ ͍·͢ɻ ิ୊ 4 ۭؒ X ͷ෦෼ू߹͔ΒͳΔ༗ݶՃ๏଒ F Λ༻͍ͯɺ֎ଌ౓ Γɺ͓ΑͼɺՄଌू߹଒ MΓ Λߏ੒͠ ͨ৔߹ɺF ⊂ MΓ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ೚ҙͷ E ∈ F ʹରͯ͠ɺE ͕ Γ-ՄଌͰ͋Δ͜ͱΛࣔͤ͹Α͍ɻ·ͣɺ೚ҙͷ A ⊂ X ʹରͯ͠ɺF ͷݩʹΑΔඃ෴Λ A ⊂ ∞ ∪ n=1 En ͱ͢Δͱɺ ∞ ∑ n=1 m(En ) = ∞ ∑ n=1 m(En ∩ E) + ∞ ∑ n=1 m(En ∩ EC) ≥ Γ(A ∩ E) + Γ(A ∩ EC) 16
17. ͕੒Γཱͭɻ্ࣜͷෆ౳߸͸ɺA ∩ E ⊂ ∞ ∪ n=1 (En ∩ E)ɺ͓ΑͼɺA ∩ EC ⊂ ∞ ∪ n=1 (En ∩ EC) ΑΓɺΓ(A ∩ E) ≤ ∞ ∑ n=1 m(En ∩ E)ɺ͓ΑͼɺΓ(A ∩ EC) ≤ ∞ ∑ n=1 m(En ∩ EC) ͱͳΔ͜ͱΛ༻͍ͨɻ͕ͨͬͯ͠ɺA ͷ͢΂ͯͷ ෴͍ํʹؔ͢ΔԼݶΛͱͬͯɺ Γ(A) ≥ Γ(A ∩ E) + Γ(A ∩ EC) ͕ಘΒΕΔɻ Ұํɺ֎ଌ౓ Γ ͷྼՃ๏ੑΑΓɺ Γ(A) = Γ(A ∩ E + A ∩ EC) ≤ Γ(A ∩ E) + Γ(A ∩ EC) ͱͳΔͷͰɺҎ্ΑΓɺΓ(A) = Γ(A ∩ E) + Γ(A ∩ EC) ͕੒Γཱͭɻ͜Ε͸ɺE ͕ Γ-ՄଌͰ͋Δ͜ͱΛࣔ͠ ͍ͯΔɻ ˙ ͜ͷิ୊ʹΑΓɺRN ʹ͓͍ͯɺ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͪ·͢ɻ ఆཧ 12 BN ⊂ Mµ ʢূ໌ʣ ิ୊ 4 ΑΓɺFN ⊂ Mµ ͱͳΓɺB[FN ] ͸ɺFN ΛؚΉ࠷খͷ σ-Ճ๏଒Ͱ͋Δ͜ͱ͔ΒɺB[FN ] ⊂ Mµ ͕ ੒Γཱͭɻ͞Βʹɺఆཧ 11 ΑΓɺBN = B[FN ] ͳͷͰɺBN ⊂ Mµ ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ͜ΕʹΑΓɺ ͢΂ͯͷ։ू߹ G ͸Մଌू߹Ͱ͋Γɺ ଌ౓ µ(G) ͕ܾ·Γ·͢ɻ͜ͷ࣌ɺ ೚ҙͷू߹ A ⊂ RN ʹରͯ͠ɺͦͷ֎ଌ౓ µ∗(A) ʹे෼ʹ͍ۙଌ౓ µ(G) Λ࣋ͭ։ू߹ G ⊃ A ͕ଘࡏ͠·͢ɻ ఆཧ 13 ೚ҙͷ A ⊂ RN ʹରͯ͠ɺ͕࣍੒Γཱͭɻ µ∗(A) = inf {µ(G) | G ∈ ON , G ⊃ A} ʢূ໌ʣ ֎ଌ౓ µ∗(A) ͷఆٛΑΓɺ೚ҙͷ ϵ > 0 ʹରͯ͠ɺߴʑՃࢉແݶݸͷ۠ؒմ E1 , E2 , · · · ∈ FN ͕͋Γɺ࣍ ͕੒Γཱͭɻ A ⊂ ∞ ∪ n=1 En µ∗(A) + ϵ ≥ ∞ ∑ n=1 m(En ) ͦΕͧΕͷ En (n = 1, 2, · · · ) Λߏ੒͢Δ۠ؒΛ͢΂ͯ·ͱΊͯ I1 , I2 , · · · ͱ͢Δͱɺ͜Ε͸࣍ͷ༷ʹॻ͖ ௚ͤΔɻ A ⊂ ∞ ∪ n=1 In µ∗(A) + ϵ ≥ ∞ ∑ n=1 m(In ) = ∞ ∑ n=1 µ(In ) (10) 17
18. ࠷ޙͷ౳߸͸ɺ۠ؒʢΑΓҰൠʹ͸۠ؒմʣʹ͍ͭͯ͸ɺµ∗(I) = m(I) Ͱ͋Γɺ͞Βʹิ୊ 4 ΑΓɺ IN ⊂ FN ⊂ MN ͳͷͰɺµ∗(I) = µ(I) ͱͳΔ͜ͱΛ༻͍ͨɻ ࣍ʹɺͦΕͧΕͷ In = (an1 , bn1 ] × · · · × (anN , bnN ] ʹରͯ͠ɺ։ू߹ Gn = (an1 , bn1 + δn ) × · · · × (anN , bnN + δn ) Λఆٛͯ͠ɺδn Λे෼ʹখ͘͞औΔͱɺ µ(Gn ) ≤ µ(In ) + ϵ 2n (11) ͱ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷ࣌ɺG = ∞ ∪ n=1 Gn ͱ͢Δͱɺ G ⊃ ∞ ∪ n=1 In ⊃ A Ͱ͋Γɺ͞Βʹɺ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͭɻ inf {µ(G)} ≤ µ(G) ≤ ∞ ∑ n=1 µ(Gn ) ≤ ∞ ∑ n=1 { µ(In ) + ϵ 2n } ≤ µ∗(A) + 2ϵ ͜͜Ͱɺ࠷ޙͷෆ౳߸͸ (10)(11) Λ༻͍ͨɻ ϵ > 0 ͸೚ҙͰ͋Δ͜ͱ͔Βɺϵ → 0 ͷۃݶʹΑΓɺ inf {µ(G)} ≤ µ∗(A) ͕ಘΒΕΔɻ ҰํɺG ⊃ A ͷൣғͰͷԼݶΛߟ͍͑ͯΔͷͰɺinf {µ(G)} ≥ µ∗(A) ͱͳΓɺ͜ΕΒΛ߹Θͤͯɺ inf {µ(G)} = µ∗(A) ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ͜ͷఆཧΛ༻͍Δͱɺ೚ҙͷू߹ A ⊂ RN ʹରͯ͠ɺµ(B) = µ∗(A) ͱͳΔ Borel ू߹ B ⊃ A Λߏ੒͢ Δ͜ͱ͕Ͱ͖·͢ɻ ఆཧ 14 ೚ҙͷ A ⊂ RN ʹରͯ͠ɺB ⊃ A, µ(B) = µ∗(A) Λຬͨ͢ Borel ू߹ B ∈ BN ͕ଘࡏ͢Δɻ ʢূ໌ʣ ఆཧ 13 ΑΓɺ೚ҙͷ n = 1, 2, · · · ʹରͯ͠ɺGn ⊃ A, µ(Gn ) ≤ µ∗(A) + 1 n ͱͳΔ։ू߹ Gn ͕ଘࡏ͢ Δɻͦ͜ͰɺB = ∞ ∩ n=1 Gn ͱ͢Δͱɺ͜Ε͸ Borel ू߹Ͱ͋ΓɺA ⊂ B ⊂ Gn ͱͳΔɻैͬͯɺ µ∗(A) ≤ µ(B) ≤ µ(Gn ) ≤ µ∗(A) + 1 n ͕੒Γཱͭɻn ͸೚ҙʹେ͖͘ͱΕΔ͜ͱ͔Βɺn → ∞ ͷۃݶΑΓɺµ(B) = µ∗(A) ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ͜Ε͕ɺઌ΄Ͳड़΂ͨʮ೚ҙͷू߹ A ⊂ RN Λ Borel ू߹ B ⊂ BN Ͱ֎͔ΒۙࣅͰ͖Δʯͱ͍͏ࣄͷҙ ຯʹͳΓ·͢ɻ ଓ͍ͯɺBorel ू߹଒ B ͱՄଌू߹଒ Mµ ͷؔ܎Λௐ΂·͢ɻ͸͡Ίʹɺ೚ҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹର ͯ͠ɺଌ౓ µ(G) ͕ଌ౓ µ(A) ʹ͍͘ΒͰ΋ۙ͘ͳΔΑ͏ʹ։ू߹ G Λબ΂Δ͜ͱΛࣔ͠·͢ɻ࣍ͷఆཧ͸ɺ µ(A) = ∞ ͷ৔߹Ͱ΋੒Γཱͭ఺ʹ஫ҙ͍ͯͩ͘͠͞ɻ ఆཧ 15 ೚ҙͷ A ∈ Mµ ͕༩͑ΒΕͨ࣌ɺ೚ҙͷ ϵ > 0 ʹରͯ͠ɺµ(G − A) < ϵ ͱͳΔ։ू߹ G ⊃ A ͕ ଘࡏ͢Δɻ 18
19. ʢূ໌ʣ µ(A) < ∞ ͷ৔߹͸ɺఆཧ 13 ΑΓɺµ(A) + ϵ < µ(G) Λຬͨ͢։ू߹ G ⊃ A ͕ଘࡏ͢ΔͷͰɺ͜ΕΛ༻ ͍ͯɺµ(G − A) = µ(G) − µ(A) < ϵ ͱͳΔɻ µ(A) = ∞ ͷ৔߹͸ɺSn ⊂ R Λݪ఺த৺ɺ൒ܘ n ͷٿମ಺෦͔ΒͳΔ։ू߹ͱͯ͠ɺ A = ∞ ∪ n=1 An , An = A ∩ Sn ͱ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺͦΕͧΕͷ An ʹରͯ͠ɺµ(A) < ∞ ͷ৔߹ͷ݁ՌΛద༻͢Δͱɺµ(Gn − An ) < ϵ 2n Λຬ ͨ͢։ू߹ Gn ⊃ An ͕औΕΔɻͦ͜ͰɺG = ∞ ∪ n=1 Gn ͱஔ͘ͱɺ G ⊃ A, G − A = ∞ ∪ n=1 (Gn − An ) ͕੒Γཱͪɺ͜ΕΒΑΓɺ µ(G − A) ≤ ∞ ∑ n=1 µ(Gn − An ) < ϵ ͕੒Γཱͭɻ ˙ ͜ͷ݁ՌΛར༻͢Δͱɺ೚ҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹରͯ͠ɺµ(B) = µ(A)ʢµ(A) = ∞ ͷ৔߹ΛؚΊΔͳ Β͹ɺµ(B − A) = 0ʣͱͳΔ Borel ू߹ B ⊃ A ΛऔΕΔ͜ͱ͕ࣔ͞Ε·͢ɻ ఆཧ 16 ೚ҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹରͯ͠ɺµ(B − A) = 0 ͱͳΔ Borel ू߹ B ⊃ A ͕ଘࡏ͢Δɻ ʢূ໌ʣ ೚ҙͷ n = 1, 2, · · · ʹରͯ͠ɺఆཧ 15 ΑΓɺµ(Gn − A) < 1 n Λຬͨ͢։ू߹ Gn ⊃ A ͕औΕΔɻͦ͜ ͰɺB = ∞ ∩ n=1 Gn ͱ͢ΔͱɺB ͸ɺB ⊃ A Λຬͨ͢ Borel ू߹Ͱ͋ΓɺB − A ⊂ Gn − A Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βɺ µ(B − A) ≤ µ(Gn − A) < 1 n ͕੒Γཱͭɻn ͸೚ҙʹେ͖͘औΕΔͷͰɺn → ∞ ͷۃݶΛऔΔͱɺµ(B − A) = 0 ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ্هͷఆཧ͸ɺ೚ҙͷՄଌू߹ A Λ Borel ू߹ B Ͱʮ֎͔ΒۙࣅʯͰ͖Δ͜ͱΛද͠·͕͢ɺಉ༷ʹͯ͠ɺ ʮ಺ଆ͔Βۙࣅʯ͢Δ͜ͱ΋ՄೳͰ͢ɻ͜ΕΛࣔ͢ʹ͸ɺఆཧ 15 ʹରԠ͢Δ΋ͷͱͯ͠ɺ࣍ͷఆཧ͕ඞཁʹͳ Γ·͢ɻ ఆཧ 17 ೚ҙͷ A ∈ Mµ ͕༩͑ΒΕͨ࣌ɺ೚ҙͷ ϵ > 0 ʹରͯ͠ɺµ(A − F) < ϵ ͱͳΔดू߹ F ⊂ A ͕ ଘࡏ͢Δɻ ʢূ໌ʣ Sn ⊂ R Λݪ఺த৺ɺ൒ܘ n ͷٿମ಺෦͔ΒͳΔ։ू߹ͱ͢Δɻ͸͡ΊʹɺA ͕༗քͰ Sn ⊃ A ͱͳΔ n ͕ଘࡏ͢Δ৔߹Λߟ͑Δɻ͜ͷ࣌ɺSn ͷดแ Sn ͸ɺՃࢉແݶݸͷ։ू߹ͷੵू߹ͰදݱͰ͖ΔͷͰɺ 19
20. ਤ 3 G − (Sn − A) ͱ A − F ͷؔ܎ Sn ∈ BN ⊂ Mµ Ͱ͋ΓɺSn − A ͸Մଌू߹ʹͳΔɻैͬͯɺఆཧ 15 ΑΓɺµ(G − (Sn − A)) < ϵ Λຬͨ͢ ։ू߹ G ⊃ Sn − A ͕ଘࡏ͢Δɻ ͜ͷ࣌ɺF = Sn − G ͱஔ͘ͱɺ͜Ε͸ดू߹Ͱ͋Γɺਤ 3 ΑΓɺF ⊂ Aɺ͔ͭɺA − F ⊂ G − (Sn − A) ͕੒Γཱͭɻैͬͯɺµ(A − F) ≤ µ(G − (Sn − A)) < ϵ ͕੒Γཱͭɻ A ͕༗քͰͳ͍৔߹͸ɺ A1 = A ∩ S1 , An = A ∩ (Sn − Sn−1 ) (n = 2, 3, · · · ) ͱ͢Δͱɺ A = ∞ ∑ n=1 An Ͱ͋Γɺ An ͸༗քͳͷͰɺ ઌ΄Ͳͷ݁ՌΑΓɺ ͦΕͧΕͷ An ʹରͯ͠ɺ µ(An −Fn ) < ϵ 2n Λຬͨ͢ดू߹ Fn ⊂ An ͕औΕΔɻ·ͨɺA1 , A2 , · · · ͸ޓ͍ʹૉͳͷͰɺF1 , F2 , · · · ΋ޓ͍ʹૉͳด ू߹ͱͳΓɺF = ∞ ∪ n=1 Fn ͸ɺF ⊂ A Λຬͨ͢ดू߹ʹͳΔɻ͞Βʹ͜ͷ࣌ɺA − F = ∞ ∪ n=1 (An − Fn ) ͱͳΔ ࣄ͔Βɺµ(A − F) ≤ ∞ ∑ n=1 µ(An − Fn ) < ϵ ͕੒Γཱͭɻ ˙ ͜ͷ݁ՌΛར༻ͯ͠ɺ೚ҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹରͯ͠ɺµ(B) = µ(A)ʢµ(A) = ∞ ͷ৔߹ΛؚΊΔͳΒ ͹ɺµ(A − B) = 0ʣͱͳΔ Borel ू߹ B ⊂ A ΛऔΕΔ͜ͱΛࣔ͠·͢ɻ ఆཧ 18 ೚ҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹରͯ͠ɺµ(A − B) = 0 ͱͳΔ Borel ू߹ B ⊂ A ͕ଘࡏ͢Δɻ ʢূ໌ʣ ೚ҙͷ n = 1, 2, · · · ʹରͯ͠ɺఆཧ 17 ΑΓɺµ(A − Fn ) ≤ 1 n Λຬͨ͢ดू߹ Fn ͕औΕΔɻͦ͜Ͱɺ B = ∞ ∪ n=1 Fn ͱ͢ΔͱɺB ͸ɺB ⊂ A Λຬͨ͢ Borel ू߹Ͱ͋ΓɺA − B ⊂ A − Fn Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βɺ µ(A − B) ≤ µ(A − Fn ) < 1 n ͕੒Γཱͭɻn ͸೚ҙͷେ͖͘औΕΔͷͰɺn → ∞ ͷۃݶΛऔΔͱɺµ(A − B) = 0 ͕ಘΒΕΔɻ ˙ 20
21. ఆཧ 16 ͱఆཧ 18 ͕ɺՄଌू߹଒ Mµ ͱ Borel ू߹଒ BN ͷࠩ͸ʮ΄ͱΜͲθϩʯͰ͋Δͱ͍͏ࣄͷ࣮࣭ తͳҙຯʹͳΓ·͢ɻ͜ΕΒͷࣄ࣮Λར༻͢ΔͱɺBorel ू߹଒ BN Λ׬උԽͨ͠΋ͷ͕Մଌू߹଒ Mµ ʹ Ұக͢Δࣄ͕ࣔ͞Ε·͢ɻ ఆཧ 19 ଌ౓ۭؒ (RN , BN , µ) Λఆཧ 8 ͷํ๏Ͱ׬උԽͨ͠ଌ౓ۭؒ (RN , BN , µ) ͸ɺଌ౓ۭؒ (RN , Mµ , µ) ʹҰக͢Δɻ ʢূ໌ʣ ͸͡ΊʹɺBN ⊂ Mµ Λࣔ͢ɻA ∈ BN ͱ͢ΔͱɺA ⊖ B ⊂ N, µ(N) = 0 ͱͳΔ B, N ∈ BN ⊂ Mµ ͕ औΕΔɻ͜ͷ࣌ɺଌ౓ۭؒ (RN , Mµ , µ) ͸׬උͰ͋Δ͜ͱ͔Βɺ N ⊃ A − B ∈ Mµ , N ⊃ B − A ∈ Mµ ͕੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺ A = (A − B) ∪ (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − (B − A)) ͱॻ͚Δ͜ͱ͔ΒɺA ∈ Mµ ͱͳΔɻ·ͨɺN ⊃ A ⊖ B ΑΓɺMµ ্ͷଌ౓ͱͯ͠ɺµ(B) = µ(A) ͕੒Γ ཱͭͷͰɺµ(A) = µ(B) = µ(A) ͱͳΓɺBN ্ͷଌ౓ µ ͸ɺMµ ্ͷଌ౓ µ ʹҰக͢Δɻ ࣍ʹɺMµ ⊂ BN Λࣔ͢ɻ೚ҙͷ A ∈ Mµ ʹ͍ͭͯɺఆཧ 16 ΑΓɺA ⊂ B, µ(B − A) = 0 Λຬͨ͢ B ∈ BN ͕औΕΔɻ͕ͨͬͯ͠ɺN = B ͱͯ͠ɺA ͸ (5) ͷ৚݅Λຬͨ͢ɻΑͬͯɺA ∈ BN ͱͳΔɻ ˙ 4 ֦ுఆཧͱ௚ੵଌ౓ ͜͜Ͱ͸ɺ࠶ͼɺRN ʹݶఆ͠ͳ͍ҰൠͷۭؒͰ੒Γཱͭؔ܎Λٞ࿦͠·͢ɻ͜Ε·Ͱʹɺ༗ݶՃ๏଒ F ্ ͷ༗ݶՃ๏తଌ౓ m ͔Β֎ଌ౓ Γ Λܦ༝ͯ͠ɺଌ౓ µ Λߏ੒Ͱ͖Δ͜ͱΛࣔ͠·ͨ͠ɻ͜ͷࡍɺఆཧ 4 Ͱ ݟͨΑ͏ʹɺm ͕׬શՃ๏తͰ͋Ε͹ɺF ্Ͱ m ͱ Γ ͸Ұக͢ΔͷͰɺΓ ͸ m ͷࣗવͳ֦ுͱΈͳ͢͜ͱ ͕Ͱ͖·͢ɻ͞Βʹɺ֎ଌ౓ Γ ͔Β σ-Ճ๏଒ MΓ ্ͷଌ౓ µ Λߏ੒ͨ͠ࡍʹɺF ⊂ MΓ ͕੒Γཱͯ͹ɺଌ ౓ µ ΋·ͨɺm ͷࣗવͳ֦ுʹͳΓ·͕͢ɺ͜Ε͸ඞͣ੒Γཱͪ·͢ɻ ఆཧ 20 ʮ2.3 ֎ଌ౓Λܦ༝ͨ͠ଌ౓ͷߏ੒ํ๏ʯͷखଓ͖ʹΑͬͯɺ༗ݶՃ๏଒ F ͔Βߏ੒ͨ͠ σ-Ճ๏଒ MΓ ʹ͍ͭͯɺF ⊂ MΓ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ ೚ҙͷ E ∈ F ͕ఆٛ 7 ͷ৚݅Λຬͨ͢͜ͱΛࣔͤ͹Α͍ɻ೚ҙͷ A ⊂ X ʹରͯ͠ɺඃ෴ A ⊂ ∞ ∪ n=1 En , En ∈ F Λߟ͑ͨ࣌ɺEn = En ∩ E + En ∩ EC ΑΓɺm ͷ༗ݶՃ๏ੑΛ༻͍ͯɺ m(En ) = m(En ∩ E) + m(En ∩ EC) ͕੒Γཱͭɻ͞Βʹɺ A ∩ E ⊂ ∞ ∪ n=1 (En ∩ E), A ∩ EC ⊂ ∞ ∪ n=1 (En ∩ EC) 21
22. ͱͳΔ͜ͱ͔Βɺ ∞ ∑ n=1 m(En ) = ∞ ∑ n=1 { m(En ∩ E) + m(En ∩ EC) } = ∞ ∑ n=1 m(En ∩ E) + ∞ ∑ n=1 m(En ∩ EC) ≥ Γ(A ∩ E) + Γ(A ∩ EC) ͕੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺA ͷ͋ΒΏΔඃ෴ͷԼݶΛऔͬͯɺ Γ(A) ≥ Γ(A ∩ E) + Γ(A ∩ EC) ͕ಘΒΕΔɻ֎ଌ౓ͷྼՃ๏ੑ͔Βٯ޲͖ͷෆ౳ࣜ΋੒ΓཱͭͷͰɺE ͸ఆٛ 7 ͷ৚݅Λຬ͍ͨͯ͠Δɻ ˙ ͜ͷ͜ͱ͔Βɺ༗ݶՃ๏଒ F ্ͷ༗ݶՃ๏తଌ౓ m ͕׬શՃ๏తͰ͋Δ͜ͱ͸ɺF ΛؚΉ σ-Ճ๏଒্ͷଌ ౓ µ ʹࣗવʹ֦ுͰ͖Δ͜ͱͷे෼৚݅Λ༩͑Δࣄ͕Θ͔Γ·͢ɻٯʹͦͷΑ͏ͳ֦ு͕͋Ε͹ɺଌ౓ µ ͕ ׬શՃ๏తͰ͋Δ͜ͱ͔Βɺm ΋׬શՃ๏తʹͳΔͷͰɺඞཁ৚݅ͱ΋ݴ͑·͢ɻఆཧ 9 ͰݟͨΑ͏ʹɺRN ্ͷ۠ؒմͷ໘ੵ m ͸׬શՃ๏తͰ͋ΔͷͰɺLebesgue ଌ౓ʹ͍ͭͯ΋͜ͷҰൠ࿦͕౰ͯ͸·Γɺ۠ؒմͷ Lebesugue ଌ౓͸௚ײతͳҙຯͰͷ໘ੵͱҰக͠·͢ɻ ͨͩ͠ɺ͜ͷΑ͏ͳ֦ு͕ҰҙͰ͋Δͱ͸ݶΓ·ͤΜɻ֎ଌ౓ Γ Λ༻͍֦ͨுͷ৔߹͸ɺσ-Ճ๏଒ MΓ ্ ΁ͷ֦ுͱͳΓ·͕͢ɺ͜Εͱ͸ผʹ σ-Ճ๏଒ B ⊂ MΓ ΁ͷ֦ு µ ͕͋ͬͨ৔߹ɺ͜Ε͕ Γ Λ༻͍֦ͨு ͱҰக͢Δ৚݅ͱͯ࣍͠ͷ֦ுఆཧ͕஌ΒΕ͍ͯ·͢ɻ ఆཧ 21 ۭؒ X ͷ༗ݶՃ๏଒ F ্ͷ༗ݶՃ๏తଌ౓ m ʹ͓͍ͯɺm(Xk ) < ∞ Λຬͨ͢Մࢉݸͷू߹ Xk ∈ F (k = 1, 2, · · · ) ʹΑͬͯɺX = ∞ ∪ k=1 Xk ͱॻ͚Δ΋ͷͱ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺm ͕׬શՃ๏తͰ͋Γɺ֎ଌ ౓ Γ Λ༻͍ͨ σ-Ճ๏଒ MΓ ্΁ͷ֦ுɺ͓Αͼɺ͜Εͱ͸ผͷ σ-Ճ๏଒ B ⊂ MΓ ΁ͷ֦ு µ ͕͋Ε͹ɺ ೚ҙͷ B ∈ B ʹ͍ͭͯɺµ(B) = Γ(B) ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ ೚ҙͷ B ∈ B ʹ͍ͭͯɺඃ෴ B ⊂ ∞ ∪ n=1 En (En ∈ F) Λߟ͑Δͱɺµ ͕ m ͷ֦ுͰ͋Δ͜ͱ͔Β µ(En ) = m(En ) Ͱ͋Γɺ µ(B) ≤ ∞ ∑ n=1 µ(En ) = ∞ ∑ n=1 m(En ) ͕੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺ͋ΒΏΔඃ෴ͷԼݶΛͱͬͯɺµ(B) ≤ Γ(B) ͕੒Γཱͭɻ ࣍ʹɺఆཧͷ৚݅ͱͯ͠༩͑ΒΕͨ Xk (k = 1, 2, · · · ) ʹରͯ͠ɺ k ∪ i=1 Xk Λ৽͘͠ Xk ͱ͢Δͱɺ X1 ⊂ X2 ⊂ · · · , lim k→∞ Xk = X Λݟͨ͢ Xk ∈ F (k = 1, 2, · · · ) ͕ಘΒΕΔɻ͜ͷ৽͍͠ Xk ͷ 1 ͭʹରͯ͠ɺB ⊂ Xk ͱͳΔ B ∈ B Λߟ ͑Δͱɺઌ΄Ͳͷ݁Ռɺ͓Αͼɺµ ͱ Γ ͕͍ͣΕ΋ m ͷ֦ுͰ͋Δ͜ͱΛ༻͍ͯɺ࣍ͷҰ࿈ͷؔ܎͕੒Γ ཱͭɻ µ(B) ≤ Γ(B) = Γ(Xk ) − Γ(Xk − B) = µ(Xk ) − Γ(Xk − B) ≤ µ(Xk ) − µ(Xk − B) = µ(B) 22
23. ͕ͨͬͯ͠ɺµ(B) ≤ Γ(B) ≤ µ(B)ɺ͢ͳΘͪɺµ(B) = Γ(B) Ͱ͋Δɻ ࠷ޙʹɺ೚ҙͷ B ∈ B Λߟ͑Δͱɺू߹ྻ {B ∩ Xk }k=1,2,··· ͸୯ௐ૿ՃͰ B ʹऩଋͯ͠ɺઌ΄Ͳͷ݁Ռ ΑΓɺµ(B ∩ Xk ) = Γ(B ∩ Xk ) Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βɺ͕࣍੒Γཱͭɻ µ(B) = lim k→∞ µ(B ∩ Xk ) = lim k→∞ Γ(B ∩ Xk ) = Γ(B) ͕ͨͬͯ͠ɺµ(B) = Γ(B) ͕੒Γཱͭɻ ˙ ֦ுఆཧͷԠ༻ྫͱͯ͠ɺ௚ੵۭؒ΁ͷଌ౓ͷ֦ு͕͋Γ·͢ɻࠓɺ֦ுఆཧͷલఏΛຬͨ͢ 2 ͭͷଌ౓ ۭؒ (X, BX , µ1 )ɺ͓Αͼɺ(Y, BY , µ2 ) ͕͋Δͱͯ͠ɺ௚ੵۭؒ Z = X × Y ͷதͰɺK = E × F (E ∈ BX , F ∈ BY ) ͱ͍͏ܗͷू߹Λۣܗू߹ͱݺͼ·͢ɻ͜ͷ࣌ɺ༗ݶݸͷۣܗू߹ͷ௚࿨͔ΒͳΔू߹ F ͸ ༗ݶՃ๏଒ͱͳΔͷͰɺ͜ͷ্ͷ༗ݶՃ๏ଌ౓ m Λ m(E × F) = µ1 (E)µ2 (F) Ͱఆٛ͢Δͱɺ͜Ε͸׬શՃ ๏తͰ͋Γɺ͞ΒʹɺF ͸ɺ֦ுఆཧͷલఏΛຬͨ͢͜ͱ͕ূ໌Ͱ͖·͢*3ɻ͕ͨͬͯ͠ɺF ΛؚΉ࠷খͷ σ- Ճ๏଒ BZ = B[F] Λߟ͑ͯɺ༗ݶՃ๏ଌ౓ m ͸ɺBZ ্ͷଌ౓ µ ʹҰҙʹ֦ு͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖·͢ɻ͜Ε Λ µ1 ͱ µ2 ͷ௚ੵଌ౓ͱݺͼ·͢ɻ ಛʹϢʔΫϦουۭؒͷ৔߹͸ɺ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͪ·͢ɻ ఆཧ 22 RN ্ͷ Borel ू߹଒ͱ Lebesgue ଌ౓Λ BN ɺ ͓Αͼɺ µN ͱද࣌͢ɺ 2 ͭͷଌ౓ۭؒ (Rp, Bp , µp ) ͱ (Rq, Bq , µq ) ͔Β Rp+q ্ͷ Borel ू߹଒ Bp+q ΁ͷ௚ੵଌ౓ µ ͕Ұҙʹܾ·Γɺ͜ΕΛ׬උԽͨ͠΋ ͷ͸ Rp+q ্ͷ Lebesgue ଌ౓ µp+q ʹҰக͢Δɻ ʢূ໌ʣ ଌ౓ۭؒ (Rp, Bp , µp ) ͱ (Rq, Bq , µq ) ͸ɺ֦ுఆཧͷલఏ৚݅Λຬ͍ͨͯ͠Δɻ͕ͨͬͯ͠ɺ௚ੵۭؒ Rp × Rq = Rp+q ʹ͓͍ͯɺ༗ݶݸͷۣܗू߹ͷ௚࿨͔ΒͳΔ༗ݶՃ๏଒Λ Fp,q ͱͯ͠ɺ͜ͷ্ͷ༗ݶՃ๏ ଌ౓ m Λ m(A × B) = µp (A)µq (B) Ͱఆٛ͢Δͱɺm ͸ɺB[Fp,q ] ্ͷଌ౓ µ ʹҰҙʹ֦ு͞ΕΔɻ ͜͜ͰɺRp+q ͷ۠ؒմ͸ Fp,q ʹؚ·ΕΔͷͰɺFp,q ⊃ Fp+q ͕੒ΓཱͭɻҰํɺFp,q ͷཁૉ͸ Borel ू ߹଒ Bp+q ʹؚ·ΕΔͷͰɺBp+q ⊃ Fp,q ⊃ Fp+q ͱ͍͏ؔ܎͕੒Γཱͭɻ͜ͷ֤߲Ͱɺͦͷ߲ΛؚΉ࠷খͷ Borel ू߹଒ΛऔΔͱɺ Bp+q ⊃ B[Fp,q ] ⊃ B[Fp+q ] ͕ಘΒΕΔɻ͞Βʹɺఆཧ 11 ΑΓ B[Fp+q ] = Bp+q ͱͳΔͷͰɺBp+q ⊃ B[Fp,q ] ⊃ Bp+q ɺ͢ͳΘͪɺ Bp+q = B[Fp,q ] ͕੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺઌ΄Ͳͷଌ౓ µ ͸ɺBp+q ্ͷଌ౓ʹͳ͍ͬͯΔɻ ҰํɺFp,q ্ͷ༗ݶՃ๏ଌ౓ m ͷ B[Fp,q ](= Bp+q ) ΁ͷ֦ு͸ҰҙͳͷͰɺ΋ͱ΋ͱ Bp+q ্ʹఆٛ͞ Εͨ Lebesgue ଌ౓ µp+q ʹҰக͢Δɻఆཧ 19 ΑΓɺ͜ΕΛ׬උԽͨ͠΋ͷ͸ɺRp+q ্ͷ Lebesgue ଌ౓ µp+q ʹҰக͢Δɻ ˙ 5 Մଌؔ਺ͱੵ෼ ͜͜Ͱ͸ɺҰൠͷଌ౓ۭؒ (X, B, µ) ʹ͓͚ΔՄଌؔ਺ͱͦͷੵ෼ͷఆٛΛͳΔ΂͘ʮ࠷୹ܦ࿏ʯͰ༩͑ ·͢ɻͦͷޙɺվΊͯɺ͜ΕΒͷ͞·͟·ͳੑ࣭Λ͍͖ࣔͯ͠·͢ɻ͜ΕҎ߱͸ɺू߹ E ⊂ X Ͱఆٛ͞Εͨ *3 ۩ମతͳূ໌͸ɺ[1] Λࢀরɻ 23
24. ʢ±∞ ΛؚΉʣ࣮਺஋ؔ਺ f ͕༩͑ΒΕͨ࣌ɺf ʹؔ͢Δ৚݅Λຬͨ͢఺ x ͷू߹Λ࣍ͷΑ͏ʹද͠·͢ɻ E(f > a) = {x ∈ E; f(x) > a} E(f = a) = {x ∈ E; f(x) = a} E(a < f ≤ b) = {x ∈ E; a < f(x) ≤ b} ·ͨɺҰൠʹ࣮਺஋ؔ਺ f ͱݴͬͨ৔߹ɺf ͕औΔ஋ʹ͸ ±∞ ΛؚΊͯߟ͑·͢ɻ 5.1 Մଌؔ਺ͱੵ෼ͷఆٛ ఆٛ 8 ଌ౓ۭؒ (X, B, µ) ʹ͓͍ͯɺू߹ E ⊂ X Ͱఆٛ͞Ε࣮ͨ਺஋ؔ਺ f(x) ͕ɺ೚ҙͷ a ∈ R ʹର ͯ͠ɺE(f > a) ∈ B Λຬͨ࣌͢ɺ͜ΕΛՄଌؔ਺ͱݺͿɻ f ͕Մଌؔ਺Ͱ͋Ε͹ɺ࣍ͷΑ͏ͳू߹΋ B ʹଐ͢Δ͜ͱ͕ݴ͑·͢ɻ E(f ≤ a) = E − E(f > a) ∈ B E(a ≤ f < b) = E(f < b) − E(f < a) ∈ B E(f ≥ a) = ∞ ∩ n=1 E ( f > a − 1 n ) ∈ B E(f = a) = E(f ≥ a) ∩ E(f ≤ a) ∈ B ͜ͷ΄͔ʹ͸ɺՄଌؔ਺ͷઢܕ݁߹ɺ͓ΑͼɺՄଌؔ਺ͷྻͷۃݶ΋Մଌؔ਺ʹͳΔ͜ͱ͕ࣔ͞Ε·͢ʢূ ໌͸লུʣ ɻ ఆٛ 9 E ⊂ X Ͱఆٛ͞Εͨؔ਺ f ͕ɺఆٛҬ E Λ E = E1 + E2 + · · · + En ͱ༗ݶݸͷू߹ͷ௚࿨ʹ෼ ղͯ͠ɺ f(x) = n ∑ k=1 αi χEi (x) (12) ͱ͍͏ܗͰද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ৔߹ɺf Λ୯ؔ਺ͱݺͿɻ͜͜ʹɺαi ͸ʢ±∞ ͸ؚ·ͳ͍ʣ࣮਺஋ͰɺχEi ͸ɺ χEi (x) = { 1 (x ∈ Ei ) 0 (x / ∈ Ei ) Ͱఆٛ͞ΕΔಛੑؔ਺Ͱ͋Δɻ ͳ͓ɺ(12) ͷܗͰ୯ؔ਺͕༩͑ΒΕͨ৔߹ɺαi = αj ͱͳΔ෦෼ʹ͍ͭͯ͸ɺ2 ͭͷू߹ Ei , Ej Λ Ei +Ej ʹ·ͱΊΔ͜ͱͰɺαi ̸= αj (i ̸= j) ͱ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖·͢ɻ͞Βʹɺαi Λ߱ॱʹฒ΂ସ͑ͨ΋ͷΛվΊͯ α1 > α2 > · · · > αn ͱఆٛͰ͖·͢ɻ͜ΕΛ୯ؔ਺ͷਖ਼نܗͱݺͿ͜ͱʹ͠·͢ɻ༩͑ΒΕͨ୯ؔ਺ f ʹͭ ͍ͯɺͦͷਖ਼نܗ͸Ұҙʹܾ·Γ·͢ɻ ఆཧ 23 ୯ؔ਺ f ͕Մଌؔ਺Ͱ͋ΔͨΊͷඞཁे෼৚݅͸ɺਖ਼نܗͰදͨ͠ࡍʹɺ͢΂ͯͷ i ʹ͍ͭͯ Ei ∈ B ͱͳΔ͜ͱͰ͋Δɻ ʢূ໌ʣ ʢे෼৚݅ʣ͢΂ͯͷ i ʹ͍ͭͯ Ei ∈ B ͱͳΔ࣌ɺE(f > a) ͸ɺαi > a Λຬͨ͢ Ei ͷ௚࿨ͳͷͰɺ E(f > a) ∈ B ͕੒Γཱͭɻ 24
25. ʢඞཁ৚݅ʣf ͕Մଌؔ਺ͱ͢Δ࣌ɺͦͷਖ਼نܗʹ͓͍ͯɺE ( f > α1 + α2 2 ) = E1 ΑΓɺE1 ∈ B ͕੒Γ ཱͭɻಉ༷ʹɺE ( f > α2 + α3 2 ) = E1 + E2 ΑΓɺE1 + E2 ∈ B Ͱ͋Γɺઌ΄Ͳͷ݁Ռͱ͋Θͤͯ E2 ∈ B ͕੒ΓཱͭɻҰൠʹɺE ( f > αi + αi+1 2 ) = E1 + · · · + Ei ͱͳΔͷͰɺ਺ֶతؼೲ๏ʹΑΓɺ͢΂ͯͷ i ʹ͍ͭͯ Ei ∈ B ͕੒Γཱͭɻ ˙ f ≥ 0 Ͱ͋ΔՄଌͳ୯ؔ਺ʹ͍ͭͯ͸ɺۣܗͷ໘ੵͱͯࣗ͠વʹੵ෼Λఆٛ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖·͢ɻ ఆٛ 10 E ⊂ X Ͱఆٛ͞Εͨɺf ≥ 0 Λຬͨ͢Մଌͳ୯ؔ਺ͷਖ਼نܗΛ f = n ∑ k=1 αi χEi ͱͯ͠ɺE ্ͷੵ ෼Λ࣍ࣜͰఆٛ͢Δɻ ∫ E f dµ = n ∑ i=1 αi µ(Ei ) (13) ͜͜Ͱ͸ɺਖ਼نܗΛ༻͍ͯੵ෼Λఆ͍ٛͯ͠·͕͢ɺਖ਼نܗҎ֎ͷ৔߹Ͱ΋ɺ͢΂ͯͷ Ei ʹ͍ͭͯ Ei ∈ B Ͱ͋Ε͹ɺͦͷੵ෼͸ (13) Ͱܭࢉ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖·͢ɻ ͦͯ͠ɺ୯ؔ਺Ҏ֎ͷҰൠͷؔ਺ f ≥ 0 ʹ͍ͭͯ͸ɺ୯ௐ૿ՃͰ f ʹऩଋ͢Δ୯ؔ਺ྻ f1 , f2 , · · · Λ༻ ͍ͯੵ෼Λఆٛ͠·͢ɻ͜ͷΑ͏ͳ୯ؔ਺ྻ͸ɺͨͱ͑͹࣍ͷํ๏Ͱߏ੒Ͱ͖·͢ɻfn ͸ɺE(f ≥ n) ্Ͱ ͸ fn = n ΛऔΓɺͦͷଞͷྖҬʹ͍ͭͯ͸ɺ۠ؒ [0, n) Λ 0, 1 2n , 2 2n , · · · , 2nn − 1 2n ͱ 2nn ౳෼ͨ͠஋Ͱ f(x) ͷ஋ΛԼ͔Βۙࣅ͠·͢ɻ͜Ε͸ɺ۠ؒ [0, 1), [1, 2), · · · ͷͦΕͧΕΛ 2n ౳෼͢Δ͜ͱʹ૬౰͢Δͷ Ͱɺn + 1 ͷ෼ׂ͸ɺn ͷ෼ׂͷࡉ෼ʹͳ͍ͬͯΔ఺ʹ஫ҙ͍ͯͩ͘͠͞ɻ۩ମతʹ͸ɺk = 0, 1, · · · , 2nn − 1 ʹରͯ͠ɺE ( k 2n ≤ f < k + 1 2n ) ্Ͱ fn = k 2n ͱఆٛ͠·͢ɻf ͕ՄଌͰ͋Ε͹ɺͦΕͧΕͷ fn ΋Մଌʹ ͳΓ·͢ɻ ͦ͜Ͱɺ͜ͷΑ͏ͳ୯ؔ਺ྻΛ༻͍ͯɺf ≥ 0 Ͱ͋ΔՄଌؔ਺ f ͷੵ෼Λ ∫ E f dµ = lim n→∞ ∫ E fn dµ Ͱఆٛ͠·͢ɻͨͩ͠ɺ͜Ε͕ Well-defined ʹͳΔͨΊʹ͸ɺӈลͷ஋͕୯ؔ਺ྻͷऔΓํʹΑΒͳ͍ࣄΛ ࣔ͢ඞཁ͕͋Γ·͢ɻ͜ͷޙ͸ɺ͜ͷࣄ࣮ΛॱΛ௥͍͖ͬͯࣔͯ͠·͢ɻ ิ୊ 5 f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 Λ E ্ͷՄଌͳ୯ؔ਺ͱ͢Δͱɺ ∫ E (f + g) dµ = ∫ E f dµ + ∫ E g dµ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ f(x) ΋͘͠͸ g(x) ͷ஋͕ ∞ ʹͳΔ఺͕͋Δ৔߹͸ɺ྆ลڞʹ ∞ ͱͳΔͷͰɺ͔֬ʹ੒ཱ͢Δɻͦ͜Ͱ ҎԼͰ͸ɺf(x) < ∞, g(x) < ∞ ͷ৔߹Λߟ͑Δɻ f = n ∑ j=1 αj χFj , E = F1 + · · · + Fn g = m ∑ k=1 βk χGk , E = G1 + · · · + Gm 25
26. ͱ͢Δ࣌ɺ೚ҙͷ j = 1, · · · , n ʹରͯ͠ɺ Fj = Fj ∩ E = Fj ∩ (G1 + · · · + Gm ) = Fj ∩ G1 + · · · + Fj ∩ Gm ΑΓɺχFj = m ∑ k=1 χFj ∩Gk ͱͳΓɺf = n ∑ j=1 m ∑ k=1 αj χFj ∩Gk ͕੒Γཱͭɻಉ༷ʹɺg = n ∑ j=1 m ∑ k=1 βk χFj ∩Gk ͕੒ Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺ f + g = n ∑ j=1 m ∑ k=1 (αj + βk )χFj ∩Gk Ͱ͋Γɺf + g ΋Մଌͳ୯ؔ਺ͱͳΓɺͦͷੵ෼͸࣍ͷΑ͏ʹܭࢉ͞ΕΔɻ ∫ E (f + g) dµ = n ∑ j=1 m ∑ k=1 (αj + βk )µ(Fj ∩ Gk ) = n ∑ j=1 αj m ∑ k=1 µ(Fj ∩ Gk ) + m ∑ k=1 βk n ∑ j=1 µ(Gk ∩ Fj ) = n ∑ j=1 αj µ(Fj ) + m ∑ k=1 βk µ(Gk ) = ∫ E f dµ + ∫ E g dµ ˙ ิ୊ 6 f(x) ≥ 0 Λ E ্ͷՄଌͳ୯ؔ਺ͱ͢ΔͱɺA + B ⊂ E ʹରͯ͠ɺ ∫ A+B f dµ = ∫ A f dµ + ∫ B f dµ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ f = n ∑ i=1 αi χEi , E = E1 + · · · + En ͱ͢Δͱɺ ∫ A+B f dµ = n ∑ i=1 αi µ(Ei ∩ (A + B)) = n ∑ i=1 αi µ(Ei ∩ A) + n ∑ i=1 αi µ(Ei ∩ B) = ∫ A f dµ + ∫ B f dµ ˙ ิ୊ 7 fn ≥ 0 (n = 1, 2, · · · ) Λ୯ௐ૿Ճ͢Δ E ্ͷՄଌͳ୯ؔ਺ྻɺg ≥ 0 Λ E ্ͷՄଌͳ୯ؔ਺ͱ͠ ͯɺE ͷ֤఺Ͱ lim n→∞ fn ≥ g ͱͳΔ࣌ɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ ≥ ∫ E g dµ ͕੒Γཱͭ 26
27. ʢূ໌ʣ E0 = E(g = 0), F = E − E0 ͱஔ͘ͱɺิ୊ 6 Λ༻͍ͯɺ ∫ E fn dµ = ∫ E0 fn dµ + ∫ F fn dµ ≥ ∫ F fn dµ ∫ E g dµ = ∫ E0 g dµ + ∫ F g dµ = ∫ F g dµ ͱͳΔͷͰɺ lim n→∞ ∫ F fn dµ ≥ ∫ F g dµ ͕ࣔͤΕ͹Α͍ɻ͕ͨͬͯ͠ɺ͸͡Ί͔Β E ͷ্Ͱ g > 0 ͱͯ͠ূ ໌͢Ε͹Α͍ɻ ࠓɺg = n ∑ i=1 αi χEi ͱͯ͠ɺαi (i = 1, · · · , n) ͷ࠷খ஋ͱ࠷େ஋ΛͦΕͧΕ α, β ͱ͢Δͱɺ0 < ϵ < α Λຬ ͨ͢೚ҙͷ ϵ ʹରͯ͠ɺg − ϵ ͸ g − ϵ > 0 Λຬͨ͢୯ؔ਺ʹͳΔɻ·ͨɺFn = E(fn > g − ϵ) (n = 1, 2, · · · ) ͱஔ͘ͱɺ{fn } ͕୯ௐ૿ՃͰ lim n→∞ fn ≥ g ͱͳΔ͜ͱ͔Βɺ{Fn } ͸ू߹ͱͯ͠୯ௐ૿ՃͰ lim n→∞ Fn = E ͕ ੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺ lim n→∞ µ(E − Fn ) = 0 ͱͳΔɻ ͜͜Ͱɺµ(E) = ∞ ͱ͢Δͱɺ ∫ E fn dµ ≥ ∫ Fn fn dµ ≥ ∫ Fn (g − ϵ) dµ ≥ (α − ϵ)µ(Fn ) ʹ͓͍ͯɺn → ∞ ͷۃݶΛऔΔͱɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ ≥ (α − ϵ)µ(E) = ∞ ͱͳΓɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ ≥ ∫ E g dµ ͸ඞͣ੒ཱ͢Δɻ͕ͨͬͯ͠ɺ͜ͷޙ͸ɺµ(E) < ∞ ͷ৔߹Λߟ͑Δɻ ࠓɺ lim n→∞ µ(E − Fn ) = 0 ΑΓɺे෼ʹେ͖ͳ n ʹରͯ͠ µ(E − Fn ) < ϵ Ͱ͋Γɺ͜ͷ࣌ɺิ୊ 5ɺิ୊ 6 Λ༻͍ͯɺ࣍ͷؔ܎͕੒Γཱͭɻ ∫ E fn dµ ≥ ∫ Fn fn dµ ≥ ∫ Fn (g − ϵ) dµ = ∫ Fn g dµ − ϵµ(Fn ) = ∫ E g dµ − ∫ E−Fn g dµ − ϵµ(Fn ) ≥ ∫ E g dµ − ∫ E−Fn g dµ − ϵµ(E) (∵ µ(E) ≥ µ(Fn )) ≥ ∫ E g dµ − βµ(E − Fn ) − ϵµ(E) (∵ β ≥ g) > ∫ E g dµ − ϵ{β + µ(E)} (∵ ϵ > µ(E − Fn )) n → ∞ ͷۃݶΛऔΔͱɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ ≥ ∫ E g dµ − ϵ{β + µ(E)} ͱͳΓɺµ(E) < 0 Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βɺϵ → 0 ͷۃݶʹΑΓɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ ≥ ∫ E g dµ 27
28. ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ఆཧ 24 fn ≥ 0 (n = 1, 2, · · · ) ͓Αͼ gn ≥ 0 (n = 1, 2, · · · ) Λ୯ௐ૿Ճ͢Δ E ্ͷ୯ؔ਺ྻͱͯ͠ɺ lim n→∞ fn = lim n→∞ gn ͱ͢Δͱɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ = lim n→∞ ∫ E gn dµ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ gn ͸୯ௐ૿ՃͳͷͰɺ೚ҙͷ m Λݻఆ͢Δͱɺgm ≤ lim n→∞ gn = lim n→∞ fn ͕੒ΓཱͭͷͰɺิ୊ 7 ΑΓɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ ≥ ∫ E gm dµ ͕੒Γཱͪɺm → ∞ ͷۃݶʹΑΓɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ ≥ lim m→∞ ∫ E gm dµ ͕ಘΒΕΔɻfn ͱ gn ΛೖΕସ͑ͯಉٞ͡࿦Λ͢Δͱɺٯ޲͖ͷෆ౳ࣜ΋ಘΒΕΔͷͰɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ = lim m→∞ ∫ E gm dµ ͕ݴ͑Δɻ ˙ ఆཧ 24 ΑΓɺ ୯ؔ਺ͱ͸ݶΒͳ͍Մଌؔ਺ f ≥ 0 ʹ͍ͭͯɺ࣍Ͱੵ෼Λఆٛ͢Δࣄ͕Ͱ͖·͢ɻ ఆٛ 11 E ্ͷՄଌؔ਺ f ≥ 0 ʹ͍ͭͯɺE ͷ֤఺Ͱ f ʹऩଋ͢Δ୯ௐ૿Ճͳ୯ؔ਺ྻ fn ≥ 0 (n = 1, 2, · · · ) Λ༻͍ͯɺ࣍Λ E Ͱͷ f ͷੵ෼ͱ͢Δɻ ∫ E f dµ = lim n→∞ ∫ E fn dµ ·ͨɺ͜ͷΑ͏ͳ୯ؔ਺ྻ fn ≥ 0 ͸ඞͣଘࡏ͢Δɻ f ≥ 0 ʹݶΒͳ͍ҰൠͷՄଌؔ਺ʹ͍ͭͯ͸ɺਖ਼ͷ෦෼ͱෛͷ෦෼ΛΘ͚ͯੵ෼Λܭࢉ͠·͢ɻ ఆٛ 12 E ্ͷՄଌؔ਺ f ʹ͍ͭͯɺf+(x) = max{f(x), 0}, f−(x) = max{−f(x), 0} ͱ͢Δͱɺf = f+ − f− (f+ ≥ 0, f− ≥ 0) ͱͳΔͷͰɺf+ ͱ f− ͦΕͧΕͷੵ෼͕ఆٛ 11 ʹΑͬͯఆٛ͞ΕΔɻ͜ͷ 2 ͭͷ஋ͷ͏ͪɺগͳ͘ͱ΋Ұํ͕༗ݶͷ৔߹ʹɺf ͸ E ্Ͱੵ෼ՄೳͰ͋Γɺ࣍Λͦͷੵ෼஋ͱ͢Δɻ ∫ E f dµ = ∫ E f+ dµ − ∫ E f− dµ 5.2 Lebesgue ͷ߲ผੵ෼ఆཧ ϦʔϚϯੵ෼ͱҟͳΔϧϕʔάੵ෼ͷಛ௃ͱͯ͠ɺ ʮؔ਺ྻ͕ੵ෼Մೳͳؔ਺ͰҰ༷ʹ཈͑ΒΕΔʯ͜ͱ͕ɺ ؔ਺ྻͷੵ෼ͷۃݶ͕ۃݶͷੵ෼ʹҰக͢Δे෼৚݅ʹͳΔͱ͍͏΋ͷ͕͋Γ·͢ɻ ʢϦʔϚϯੵ෼Ͱ͸͜Ε 28
29. ͸੒Γཱͪ·ͤΜɻ ʣ͜ͷఆཧΛূ໌͍͖ͯ͠·͢ɻ͜ΕҎ߱ͷٞ࿦Ͱ͸ɺଌ౓ۭؒ (X, B, µ) Λݻఆͯ͠ɺ ग़ͯ͘Δू߹͸͢΂ͯ B ʹଐ͓ͯ͠Γɺؔ਺͸͢΂ͯՄଌؔ਺Ͱ͋Δ΋ͷͱ͠·͢ɻ ิ୊ 8 ू߹ E ্ͷՄଌؔ਺ f ≥ 0 ʹରͯ͠ɺ୯ؔ਺ͷྻ gn ≥ 0 (n = 1, 2, · · · ) Ͱ E ͷ֤఺ x Ͱ f(x) = ∞ ∑ n=1 g(x) ͱͳΔ΋ͷ͕ଘࡏ͢Δɻ·ͨɺ͜ͷ৚݅Λຬͨ͢೚ҙͷ୯ؔ਺ྻ gn ʹ͍ͭͯɺ ∫ E f dµ = ∞ ∑ n=1 ∫ E gn dµ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ f ͕Մଌؔ਺Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βɺ୯ௐ૿Ճͳ୯ؔ਺ྻ hn ≥ 0 ͰɺE ͷ֤఺Ͱ f ʹऩଋͯ͠ɺ ∫ E f dµ = lim n→∞ ∫ E hn dµ Λຬͨ͢΋ͷ͕ଘࡏ͢Δɻͦ͜Ͱɺg1 = h1 , gn = hn − hn−1 (n ≥ 2) ͱ͢Ε͹ɺิ୊ͷ৚݅Λຬͨ͢ gn ≥ 0 ͱͳΔɻ Ұํɺ͜ͷΑ͏ͳ୯ؔ਺ྻ gn ≥ 0 ͕ଘࡏ͢Δ࣌ɺhN = N ∑ n=1 gn ͱஔ͘ͱɺิ୊ 5 ΑΓɺ ∫ E hN dµ = N ∑ n=1 ∫ E gn dµ ͕੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺ ∫ E f dµ = lim N→∞ ∫ E hN dµ = lim N→∞ N ∑ n=1 ∫ E gn dµ = ∞ ∑ n=1 ∫ E gn dµ ͕੒Γཱͭɻ ˙ ఆཧ 25 E ্ͷՄଌؔ਺ͷྻ fn ≥ 0 (n = 1, 2, · · · ) ͕͋ΓɺE ͷ֤఺Ͱ x Ͱ f(x) = ∞ ∑ n=1 fn (x) ͱͳΔ࣌ɺ ∫ E f dµ = ∞ ∑ n=1 ∫ E fn dµ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ ͦΕͧΕͷ fn ʹରͯ͠ɺิ୊ 8 ΑΓɺ୯ؔ਺ͷྻ gnm (m = 1, 2, · · · ) ≥ 0 ͕͋Γɺ fn (x) = ∞ ∑ m=1 gnm (x), ∫ E fn dµ = ∞ ∑ m=1 ∫ E gnm dµ ͕੒Γཱͭɻ͜ͷ࣌ɺೋॏڃ਺ f(x) = ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ m=1 gnm (x) ʹ͓͍ͯɺgnm (n, m = 1, 2, · · · ) ΛҰྻʹฒ΂ସ͑ ͨ΋ͷΛ gn ͱͯ͠ɺ f(x) = ∞ ∑ n=1 gn (x) = ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ m=1 gnm (x) 29
30. ͕੒Γཱͪɺ࠶ͼɺิ୊ 8 ΑΓɺ ∫ E f dµ = ∞ ∑ n=1 ∫ E gn dµ ͕ಘΒΕΔɻ͞Βʹɺڃ਺ ∞ ∑ n=1 ∫ E gn dµ ͷ࿨ͷॱংΛݩͷೋॏڃ਺ͷॱংʹ໭͢ͱɺ ∑ n=1 ∫ E gn dµ = ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ m=1 ∫ E gnm dµ = ∞ ∑ n=1 ∫ E fn dµ ͱͳΓɺ ∫ E f dµ = ∞ ∑ n=1 ∫ E fn dµ ͕੒Γཱͭɻ ʢೋॏڃ਺ͷ࿨ͷॱং͕ަ׵Ͱ͖Δ͜ͱʹ͍ͭͯ͸ɺ[2] Λࢀ রɻ ʣ ˙ ఆཧ 26 E ্ͷՄଌؔ਺ͷྻ 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ · · · ͕ E ͷ֤఺ x Ͱ lim n→∞ fn (x) = f(x) ͱͳΔ࣌ɺ ∫ E f dµ = lim n→∞ ∫ E fn dµ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ µ(E(fn = ∞)) > 0 ͱͳΔ n ͕ଘࡏ͢Δ৔߹ɺࣔ͢΂͖౳ࣜ͸ɺ྆ลڞʹ ∞ ͱͳͬͯ੒ཱ͢Δɻ͢΂ͯ ͷ n Ͱ µ(E(fn = ∞)) = 0 ͷ৔߹ɺE0 = ∞ ∪ n=1 E(fn = ∞) ΋ଌ౓ 0 Ͱੵ෼஋ʹӨڹ͠ͳ͍ͷͰɺE ͷ֤఺ Ͱ fn < ∞ ͱԾఆͯ͠΋ҰൠੑΛࣦΘͳ͍ɻ ࠓɺg1 = f1 , gn = fn − fn−1 (n ≥ 2) ͱ͢Δͱɺ f(x) = ∞ ∑ n=1 gn (x), gn ≥ 0 ͱͳΔͷͰɺఆཧ 25ɺ͓Αͼɺิ୊ 5 ΑΓɺ ∫ E f dµ = ∞ ∑ n=1 ∫ E gn dµ = lim N→∞ N ∑ n=1 ∫ E gn dµ = lim N→∞ ∫ E fn dµ ͕੒Γཱͭɻ ˙ ఆཧ 27 E ্ͷՄଌؔ਺ͷྻ fn ≥ 0 (n = 1, 2, · · · ) ʹ͍ͭͯɺ ∫ E lim n→∞ fn dµ ≤ lim n→∞ ∫ E fn dµ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ 30
31. gn (x) = inf k≥n fk (x) ͱஔ͘ͱɺ0 ≤ g1 ≤ g2 ≤ · · · ͰɺԼۃݶͷఆٛΑΓɺE ͷ֤఺Ͱ lim n→∞ gn (x) = lim n→∞ fn (x) ͱͳΔɻ͕ͨͬͯ͠ɺఆཧ 26 ΑΓɺ ∫ E lim n→∞ fn dµ = lim n→∞ ∫ E gn dµ = lim n→∞ ∫ E gn dµ ͕੒Γཱͭɻ͜͜Ͱɺ2 ͭ໨ͷ౳߸͸ɺ਺ྻͷۃݶ͕ଘࡏ͢Δ৔߹ɺͦͷ஋͸ԼۃݶʹҰக͢Δͱ͍͏ࣄ࣮Λ ༻͍͍ͯΔɻ Ұํɺ೚ҙͷ n ʹ͍ͭͯɺgn ≤ fn ΑΓɺ ∫ E gn dµ ≤ ∫ E fn dµ ͕੒Γཱͪɺ྆ลͷԼۃݶΛऔΔͱɺઌͷ݁Ռͱ͋Θͤͯɺ ∫ E lim n→∞ fn dµ ≤ lim n→∞ ∫ E fn dµ ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ఆཧ 28 E ্ͷՄଌؔ਺ͷྻ fn (n = 1, 2, · · · ) ͕ E ্ͷੵ෼Մೳͳؔ਺ φ ≥ 0 ʹରͯ͠ɺE ͷ֤఺Ͱ |fn (x)| ≤ φ(x) (n = 1, 2, · · · ) Λຬͨ࣌͢ɺf = lim n→∞ fn ͕ଘࡏ͢Ε͹ɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ = ∫ E f dµ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ |fn | ≤ φ ΑΓɺφ + fn ≥ 0 ͳͷͰɺఆཧ 27 ΑΓɺ ∫ E lim n→∞ (φ + fn ) dµ ≤ lim n→∞ ∫ E (φ + fn ) dµ Ͱ͋Γɺ͜ΕΑΓɺ ∫ E lim n→∞ fn dµ ≤ lim n→∞ ∫ E fn dµ ͕੒Γཱͭɻ ಉ༷ʹɺφ − fn ≥ 0 ͳͷͰɺఆཧ 27 ΑΓɺ ∫ E lim n→∞ (φ − fn ) dµ ≤ lim n→∞ ∫ E (φ − fn ) dµ Ͱ͋Γɺ͜ΕΑΓɺ ∫ E lim n→∞ (−fn ) dµ ≤ lim n→∞ ∫ E (−fn ) dµ ͕੒Γཱͭɻ͜͜Ͱɺ lim n→∞ (−fn ) = − lim n→∞ fn Λ༻͍Δͱɺ ∫ E lim n→∞ fn dµ ≥ lim n→∞ ∫ E fn dµ 31
32. ͕ಘΒΕΔɻ ͕ͨͬͯ͠ɺf = lim n→∞ fn ͕ଘࡏ͢Ε͹ɺf = lim n→∞ f = lim n→∞ f ͱͳΔͷͰɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ ≤ ∫ E f dµ ≤ lim n→∞ ∫ E fn dµ ͕੒ΓཱͭɻҰํɺҰൠʹ lim n→∞ ∫ E fn dµ ≥ lim n→∞ ∫ E fn dµ ͳͷͰɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ = ∫ E f dµ = lim n→∞ ∫ E fn dµ ͢ͳΘͪɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ = ∫ E f dµ ͕੒Γཱͭɻ ˙ ͜Ε͕ Lebesgue ͷ߲ผੵ෼ఆཧʹͳΓ·͢ɻϦʔϚϯੵ෼ͷ৔߹ɺۃݶͱੵ෼ΛೖΕସ͑ΒΕΔಉ༷ͷे ෼৚݅ͱͯ͠ɺؔ਺ྻ fn ͕Ұ༷ऩଋ͢Δͱ͍͏৚͕݅͋Γ·͕͢ɺ͜Ε͸ϧϕʔάੵ෼Ͱ΋੒Γཱͪ·͢ɻ ิ୊ 9 E ্ͷੵ෼Մೳͳؔ਺ͷྻ fn (n = 1, 2, · · · ) ͕ؔ਺ f ʹ E ্ͰҰ༷ऩଋ͢Δ࣌ɺf ΋ੵ෼ՄೳͰɺ lim n→∞ ∫ E fn dµ = ∫ E f dµ ͕੒Γཱͭɻ ʢূ໌ʣ fn ͕ f ʹҰ༷ऩଋ͢Δ͜ͱ͔Βɺ n ≥ N Ͱ͋Ε͹ɺ ͢΂ͯͷ x ∈ E ʹରͯ͠ɺ |fn (x)−fN (x)| < 1ɺ ͢ͳΘ ͪɺ |fn (x)| < |fN (x)|+1 ͱͳΔ N ͕ଘࡏ͢Δɻͦ͜Ͱɺ φ(x) = |fN (x)|+1 ͱͯ͠ɺ fn (n = N, N +1, . . . ) ʹఆཧ 28 Λద༻͢Ε͹Α͍ɻ ˙ ࢀߟจݙ [1]ʮϧϕʔάੵ෼ೖ໳ʯҏ౻ ਗ਼ࡾʢஶʣী՚๪ [2] ೋॏڃ਺ͷॱংަ׵ʹؔ͢Δఆཧʢhttps://enakai00.hatenablog.com/entry/2022/11/23/162302ʣ 32