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Λຬͨ͢։ू߹ G ⊃ A ͕ଘࡏ͢ΔͷͰɺ͜ΕΛ༻ ͍ͯɺµ(G − A) = µ(G) − µ(A) < ϵ ͱͳΔɻ µ(A) = ∞ ͷ߹ɺSn ⊂ R Λݪத৺ɺܘ n ͷٿମ෦͔ΒͳΔ։ू߹ͱͯ͠ɺ A = ∞ ∪ n=1 An , An = A ∩ Sn ͱ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺͦΕͧΕͷ An ʹରͯ͠ɺµ(A) < ∞ ͷ߹ͷ݁ՌΛద༻͢Δͱɺµ(Gn − An ) < ϵ 2n Λຬ ͨ͢։ू߹ Gn ⊃ An ͕औΕΔɻͦ͜ͰɺG = ∞ ∪ n=1 Gn ͱஔ͘ͱɺ G ⊃ A, G − A = ∞ ∪ n=1 (Gn − An ) ͕Γཱͪɺ͜ΕΒΑΓɺ µ(G − A) ≤ ∞ ∑ n=1 µ(Gn − An ) < ϵ ͕Γཱͭɻ ˙ ͜ͷ݁ՌΛར༻͢ΔͱɺҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹରͯ͠ɺµ(B) = µ(A)ʢµ(A) = ∞ ͷ߹ΛؚΊΔͳ Βɺµ(B − A) = 0ʣͱͳΔϘϨϧू߹ B ⊃ A ΛऔΕΔ͜ͱ͕ࣔ͞Ε·͢ɻ ఆཧ 13 ҙͷՄଌू߹ A ∈ Mµ ʹରͯ͠ɺµ(B − A) = 0 ͱͳΔϘϨϧू߹ B ⊃ A ͕ଘࡏ͢Δɻ ʢূ໌ʣ ҙͷ n = 1, 2, · · · ʹରͯ͠ɺఆཧ 12 ΑΓɺµ(Gn − A) < 1 n Λຬͨ͢։ू߹ Gn ⊃ A ͕औΕΔɻͦ͜ ͰɺB = ∞ ∩ n=1 Gn ͱ͢ΔͱɺB ɺB ⊃ A Λຬͨ͢ϘϨϧू߹Ͱ͋ΓɺB − A ⊂ Gn − A Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βɺ µ(B − A) ≤ µ(Gn − A) < 1 n ͕Γཱͭɻn ҙʹେ͖͘औΕΔͷͰɺn → ∞ ͷۃݶΛऔΔͱɺµ(B − A) = 0 ͕ಘΒΕΔɻ ˙ ্هͷఆཧɺҙͷՄଌू߹ A ΛϘϨϧू߹ B Ͱʮ֎͔ΒۙࣅʯͰ͖Δ͜ͱΛද͠·͕͢ɺಉ༷ʹͯ͠ɺ ʮଆ͔Βۙࣅʯ͢Δ͜ͱՄೳͰ͢ɻ͜ΕΛࣔ͢ʹɺఆཧ 12 ʹରԠ͢Δͷͱͯ͠ɺ࣍ͷఆཧ͕ඞཁʹͳ Γ·͢ɻ ఆཧ 14 ҙͷ A ∈ Mµ ͕༩͑ΒΕͨ࣌ɺҙͷ ϵ > 0 ʹରͯ͠ɺµ(A − F) < ϵ ͱͳΔดू߹ F ⊂ A ͕ ଘࡏ͢Δɻ ʢূ໌ʣ Sn ⊂ R Λݪத৺ɺܘ n ͷٿମ෦͔ΒͳΔ։ू߹ͱ͢Δɻ͡ΊʹɺA ͕༗քͰ Sn ⊃ A ͱͳΔ n ͕ଘࡏ͢Δ߹Λߟ͑Δɻ͜ͷ࣌ɺSn ͷดแ Sn ɺՃࢉແݶݸͷ։ू߹ͷੵू߹ͰදݱͰ͖ΔͷͰɺ Sn ∈ BN ⊂ Mµ Ͱ͋ΓɺSn − A Մଌू߹ʹͳΔɻैͬͯɺఆཧ 12 ΑΓɺµ(G − (Sn − A)) < ϵ Λຬͨ͢ ։ू߹ G ⊃ Sn − A ͕ଘࡏ͢Δɻ 16