第5回ゆるふわオンサイト解説

第５回ゆるふわオンサイト  解説スライド  1  writer/tester: dokin, Tallfall, ayaoni, prd_xxx, tempura0224, momohara
他2名(黄色コーダー) 

目次  2 • A - Yurufuwa Times  • B -
RGB Equation  • C - Not Divide Factorial  • D - ×2÷2%22  • E - A's ugly behavior in the elevator  • F - Range Sum GCD  • G - Exponential Banana Game  • H - Oriented to DAG  • I - A's ugly behavior in the elevator (general)  • J - Yurufuwa Topology  • 各問題FA・AC数  • writer/tester 

A - Yurufuwa Times  問題概要  1以上N以下の整数が与えられるので、第N回のゆるふわオンサイトが西暦何年に開催されたかを解答してください。      3
開催年（西暦）開催タイトル 2019 第1回ゆるふわオンサイト 2019 第2回ゆるふわオンサイト 2020 第3回ゆるふわオンサイト 2023 第4回ゆるふわオンサイト 2023 第5回ゆるふわオンサイト

A - Yurufuwa Times  解法  if 文で場合分けしたり、下記のように第N回と開催年に対応する配列を用意することで解くことができます。  #include <bits/stdc++.h>
using namespace std; int main() { int N; cin >> N; N--; int a[5] = {2019, 2019, 2020, 2023, 2023}; cout << a[N] << endl; return 0; } 4

B - RGB Equation  問題概要  以下の4つのうち3つの等式が与えられます。R,G,Bを求めてください。  ① G +
B = C  ② R + B = M  ③ R + G = Y  ④ R + G + B = W  解法  具体的な手順はいくつかありますが、連立方程式として解けます。式変形と場合分けをがんばります。  5

B - RGB Equation  ・Cがない場合  ① G + B =
C  ② R + B = M  ③ R + G = Y  ④ R + G + B = W  ④*2: 2R + 2G + 2B = 2W  -② : - R - B = -M  -③ : - R - G = -Y  C = G + B = 2W - M - Y  6 ・Mがない場合  ① G + B = C  ② R + B = M  ③ R + G = Y  ④ R + G + B = W  ④*2: 2R + 2G + 2B = 2W  -① : - G - B = -C  -③ : - R - G = -Y  M = R + B = 2W - C - Y 

B - RGB Equation  ・Yがない場合  ① G + B =
C  ② R + B = M  ③ R + G = Y  ④ R + G + B = W  ④*2: 2R + 2G + 2B = 2W  -① : - G - B = -C  -② : - R - B = -M  Y = R + G = 2W - C - M  7 ・Wがない場合  ① G + B = C  ② R + B = M  ③ R + G = Y  ④ R + G + B = W  ① : G + B = C  +② : R + + B = M  +③ : R + G = Y  (R+G+B)*2 = C + M + Y  W = (C+M+Y) / 2 

B - RGB Equation  C,M,Y,W がすべて求められれば  R = W -
C  G = W - M  B = W - Y  のように解が求まります  余談  Python には numpy や sympyに食わせると連立一次方程式を解いてくれるモジュールがあるのですが、HackerRank には対応してなくて残念でした (><)  8

C - Not Divide Factorial  問題概要  正の整数 N が与えられるので、N! を割り切らない最小の正の整数を答えてください。 
方針  • 1, 2, …, N は明らかに N! を割り切るので、N + 1 以上の整数を1つ1つ検証していきます。  • N + 1 以上の整数に対して素因数分解を行い、各素因数 p に対して p の指数と p が N! を割り切る回数を比較します。  ◦ p が N! を割り切る回数は、[N / p] + [N / p^2] + … と求められます   9

C - Not Divide Factorial  具体例（N = 19 のとき）  •
20 = 2^2 × 5^1  ◦ 19! が 2 で割り切れる回数は、[19/2] + [19/2^2] + [19/2^3] + [19/2^4] = 16 となり、2（2の指数）以上。  ◦ 19! が 5 で割り切れる回数は、[19/5] = 3 となり、1（5の指数）以上。   ◦ 故に 20 は 19! を割り切る。   • 21 = 3^1 * 7^1  ◦ 19! が 3 で割り切れる回数は、[19/3] + [19/3^2] = 8 となり、2（3の指数）以上。   ◦ 19! が 7 で割り切れる回数は、[19/7] = 2 となり、1（7の指数）以上。   ◦ 故に 21 は 19! を割り切る。   10

C - Not Divide Factorial  具体例（N = 19 のとき）  •
22 = 2^1 × 11^1  ◦ 19! が 2 で割り切れる回数は、[19/2] + [19/2^2] + [19/2^3] + [19/2^4] = 16 となり、2（2の指数）以上。  ◦ 19! が 11 で割り切れる回数は、[19/11] = 1 となり、1（11の指数）以上。   ◦ 故に 22 は 19! を割り切る。   • 23 = 23^1  ◦ 19! が 23 で割り切れる回数は、0となり、1（23の指数）以上。   ◦ 故に 23 は 19! を割り切らない。   • ゆえに解は「23」！！！  11

C - Not Divide Factorial  この計算、高速なの？  少なくとも答えは N より大きい最小の素数で上から抑えられますが、10^9 以下で最も長
く合成数が連続する区間は 436273010 から 436273290 までの長さ 281 の区間なので、高々 282 個の数に対して検証を行えば良いです。  実は・・・  N ≠ 3 のとき、N より大きい最小の素数が答えになります！  （「ベルトランの仮説」を用いると証明できます）  12

D - x2÷2/22  問題概要  X = 1 から次の操作を繰り返して整数N を作ってください。 
• A … X に 2 をかける  • B … X を 2 でわる  • C … X を 22でわった余りで置き換える  作り方が複数ある場合は、最短かつ辞書式順序最小のものを出力してください。  方針  解き方はいろいろ。各 N について地道に調べていけば解けるはず。  13

D - x2÷2/22  解法1　地道に調べて答えを出力  2 ≡ N または 2 ≡
N × 2 (mod22) をみたす最小の x を K とおく。  FACT : Nを作るために操作Aは最小でも K 回必要  • N = 2, 4, 8, 16 … AをK個並べる  • N = 6, 10, 12, 14, 18, 20 … AをK個並べたあとにCを並べる  • N = 3, 5, 7, 9 … AをK個並べたあとにCBを並べる  • N = 11, 13, 15, 17, 19, 22 … Kが存在しないので、-1 を出力する    14 x  x 

D - x2÷2/22  解法2　全探索  最も長い場合でも出力の長さは12文字なので全探索で間に合う  解法3 最短経路問題に帰着  テスター解。22頂点のグラフを作り、最短経路問題に帰着する  ただ、操作Cの扱いなどケアするべき部分が多いのでわりと大変だと思う...   
15

E - A's ugly behavior in the elevator  問題概要  •
A君は1階からエレベーターに乗り込み、目的階はN階  • 2階, 3階, …, N - 1 階を目的階とする N - 2 人が乗り込んできた  • A君はいくつか目的階を解除して、できるだけ停車回数を少なくしたい  • ただし x 階が目的階の人が y 階で降りることになった場合、A君に対して  y - x のヘイトが向けられる  • このヘイトの総量が H を超えるとアウト  • 途中停車の回数の最小値は？  16

E - A's ugly behavior in the elevator  方針  •
f(i) := (i 回途中停車したときのA君に向けられるヘイトの総和の最小値) とおくと、f は i に関して単調減少関数  • ゆえに f(i) <= H なる i の最大値を二分探索で求めてやれば良い  • あとは f(i) を高速に計算する方法を考えれば良い  17

E - A's ugly behavior in the elevator  f(i) の求め方 
N = 12, i = 2 のときで考えてみます。      18 1  12  3  7  1  4  7  12  差2  差4  差5  差3  差3  差5  ヘイト  1  ヘイト  1+2+3  ヘイト  1+2+3+4  ヘイト  1+2  ヘイト  1+2  ヘイト  1+2+3+4  ヘイト減少！差が2以上 

E - A's ugly behavior in the elevator  f(i) の求め方 
• このように隣り合う停車階の差をとり、それが 2 以上離れている所は差を少なくするようにスライドさせるとヘイトの総和が減少します。  ◦ (…, a, b, …, c, d, …) => (…, a, b + 1, …, c + 1, d, …)   • このような操作を繰り返していくと、できるだけ均等に停車階を設定した時にヘイトが最小になることが分かります。  ◦ 先程の例だと、(1, 4, 8, 12) の時がヘイトが最小になる一例   • ゆえに N - 1 = q * (i + 1) + r と割り算して、q を i +1 - r 個と q + 1 を r 個に分けるのが最適です。  • f(i) = (i + 1 - r) * (1 + … + (q - 1)) + r * (1 + … + q) となり、これは高速に求められます。  19

F - Range Sum GCD  問題概要  数列 A1, A2, …,
AN がある。  区間和をいくつか選んでそのGCD(最大公約数)を G にすることができますか？  例  A = {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3}, G = 7  gcd(5+9, 4+1+5+9+2) = gcd(14, 21) = 7 なので Yes  20

F - Range Sum GCD  考察①  もとの問題は  「区間和のうち、Gの倍数であるものいくつかのGCDを取ってGにできる？」  だが、  「区間和のうち、Gの倍数であるもの全部のGCDを取ってGにできる？」 
という問題を考えてもおなじ。  21

F - Range Sum GCD  考察②  Aの累積和配列 S (S0=0, Si
= A1+A2+...+Ai) を考えると  区間和は Sr -Sl と表せる。  また、Sr - Sl が G の倍数 ⇔ Sr ≡ Sl (mod G) なので、  S を G でわったあまりごとにグループ分けして、  グループごとに差のGCDをすべて取ったものが G になればよい。  22

F - Range Sum GCD  考察②例  A = {3, 1,
4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3}, G = 7  S = {0, 3, 4, 8, 9, 14, 23, 25, 31, 36, 39}  7 で割った余りごとに分けると  (0, 14), (8, 36), (9, 23), (3), (4, 25, 39), (31)  gcd(14-0, 36-8, 23-9, 25-4, 39-4, 39-25) = 7  23

F - Range Sum GCD  考察③  このままだとペアは O(N^2) 組ありえるので N=200000
では間に合わない  ここで、gcd(x, y) = gcd(x, y - x) なので(ユークリッドの互除法)、  gcd(Sm-Sl, Sr-Sl) = gcd(Sm-Sl, (Sr-Sl)-(Sm-Sl)) = gcd(Sm-Sl, Sr-Sm)  つまり、  Sr-Sl と Sm-Sl の gcd を取れば Sr-Sm のことは考えなくてよい！  24

F - Range Sum GCD  考察③  したがってグループ(S1, S2, …,Sk) ごとに、 
gcd(S2-S1, S3-S1, …, Sk-S1) のみを考えれば十分。  これで調べるべきペアを O(N) 組に減らすことができた。  25

F - Range Sum GCD  まとめ  結局この問題は以下のステップで解ける  1. 累積和配列Sを作り、SをGで割ったあまりごとにグループ分けする  2.
各グループごとに、(各項-先頭) の GCD を取る  3. それらの GCD を取る  4. G になれば Yes を出力、ならなければ No を出力  計算量は実装方針にもよりますが O(NlogN+logA) など。  26

G - Exponential Banana Game  問題概要  与えられた条件で以下の交互進行ゲームを行う  ・部屋i には A_i
本のバナナがあり、B_i が設定されている  ・手番では i,j を選び、部屋i のバナナを B_i^j 本、食べる  ・操作ができなくなったほうが負け  先手がゲーム開始前に各部屋あたりM本以下のバナナをこっそり食べるような細工ができるとき、先手が必勝となるような食べ方は何通りあるか？  27

G - Exponential Banana Game  解法  まずM=0 の場合の勝敗がどうなっているかを考えます。  このゲームは操作の選択肢が限られた石取りゲームと同じで、Grundy数で勝敗を求めることができます。 
各部屋におけるGrundy数が求まれば、それらのxorをとることで勝敗を知ることができます。(0: 後手勝ち、非0: 先手勝ち)    28

G - Exponential Banana Game  解法   ただし、一部屋のバナナの数の上限は10^9と大きく、Grundy数を定義通り求めることはできません。  そこで、Grundy数がどのような値をとるかを実験/観察すると、次のことがわかります。 
◆ B_i が奇数の場合  (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... )   と、交互に繰り返す。(奇数→偶数、偶数→奇数にしか遷移しないので明らか)  29

G - Exponential Banana Game  解法   ◆ B_i が偶数の場合 
(0, 1, 0, 1, ... , 0, 1, 2), (0, 1, 0, 1, ... , 0, 1, 2) , ...  のように B_i + 1 周期で繰り返すことがわかります！    例: B_i = 4の場合  (0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 2, ... )   30 B_i + 1 周期 

G - Exponential Banana Game  解法   Grundy数の法則から重要な観察ができ、このゲームのGrundy数は高々2までの値しか取らないことがわかります。  さらに、各部屋のGrundy数のxorを取ったときの途中結果は0～3の整数
(2ビット) で表せることがわかります   このことを用いて、元の問題を考えると、次のようなdpが可能です。  dp[i][j] = 部屋iまで求めた途中結果で、  　　　Grundy数がjとなるようにバナナを食べる場合の数  31

G - Exponential Banana Game  解法  部屋i でバナナをM本まで食べる方法のうち、Grundy数が xとなる食べ方の場合の数は適切に計算することで
O(1)で求まります。  これを利用して適切なdpを書くことで、全体の計算量は O(N) で求められます。(定数倍は 4*4 = 16 程度で、十分間に合います)    類題  H - 8^kゲーム  32

H - Oriented to DAG  33 解説 

実は。。。。  (与えられたグラフの彩色数) - 1 が答えです  34 以下では、上手く向き付けしてDAGを作ったときの最長パスの長さの最小値 = 彩色数 -
1を示します。  

(彩色数) -1 ≧ 最長パスの長さの最小値  35 無向グラフを彩色する。 (左図では、赤,青,緑,ピンクの4彩色)   色に序列を付ける。  例えば、赤
> 青 > 緑 > ピンクとする。  序列の大きい方から小さいほうに辺の向きを付けると、DAGが構成できる (同じ色同士に辺がないことに注意) が、   そのDAGの最長パスの長さは (彩色数 - 1) 以下になる。   証明: 同じ色は二回通ることはないため。  

(彩色数) -1 ≦ 最長パスの長さの最小値  36 3 1 2 0 1
1 辺に向き付けしてDAGを作る。   DAGの各頂点に、「この頂点から始まる最長パスの長さ」を書いていく。  全体で一番大きい数字が最長パスの長さ + 1 になるが、数字が同じ頂点を同じ色で塗れば、 (最長パスの長さ + 1) 色での彩色が可能  証明: dp[v] := 「頂点vから始まる最長パスの長さ」とすると、   dp[v] = max_{vからuへ向かう有向辺が存在} dp[u] + 1 なので、隣接する頂点に書かれた番号は異なる。  

計算量/余談など  37 彩色数を求める計算量は、アルゴリズムによるが、O(3^N) とか、O(2^NN^2) とか、場合によってはもっと早い  詳細はmathnachiaさんのブログを参照: https://www.mathenachia.blog/chromatic-fast/   余談ですが、 
dp[S]:= 集合Sに入ってくる辺の向きを全てつけたときの、最長パスの長さの最小値   でbitDPすると  dp[S] = max_{T⊂S} (dp[T] + 1)   という遷移になるが、これが彩色数のdpと同じになることに気づいても解法にたどり着けるかもしれない。 

I - A's ugly behavior in the elevator (general)   
  問題概要  • A君は1階からエレベーターに乗り込み、目的階はN階  • A1 階, A2 階, …, AM 階を目的階とする M 人が乗り込んできた  • A君はいくつか目的階の解除して、できるだけ停車回数を少なくしたい  • ただし x 階が目的階の人が y 階で降りることになった場合、A君に対して  y - x のヘイトが向けられる  • このヘイトの総量が H を超えるとアウト  • 途中停車の回数の最小値は？    38

  考察  • dp[i][j] := 人 i から人 M までを考えたとき、Ai 階に停まり j 階 skip する場合のヘイトの最小値、としたdpを解くと正しい答えが求まる。  • 勿論この解法では制限実行時間に間に合わない  • 何か良い性質はないだろうか？？    39

  考察  g(x) を x 階 skipする場合のヘイトの合計の最小値とすると、  g は下凸になります (直感的には負の効用逓減が効きます) → Alien’s trick が使えます。   40

  解法  dp[i][j] := 人 i から人 M までを考えたとき、Ai 階に停まり j 回 skip する場合のヘイトの最小値を考える代わりに、1 階 skip するあたり C (この問題では C < 0) のコストがかかると考えて、 dp[i; C] := 人 i から人 M までを考えたとき、Ai 階に停まるときのヘイト + コストの最小値という dp を考えます。   41

  解法  dp[i; C] := 人 i から人 M までを考えたとき、Ai 階に停まるときのヘイト + コストの最小値とすると、 dp[i]=min(j<i) (dp[j]+Σj<k<i(Ak−Aj)+(i−j−1)C) です。整理するためにSi=Σk≧i Akとおくと dp[i]=Si−1+iC+ minj<i (dp[j]−Sj−(j+1)(C−Aj)−i⋅Aj) となり、これは Convex Hull Trick で高速に計算できます 42

  解法  ヘイト+コストの最小値と、それを実現する skip 階数を CHT を用いて求めることができました。C に対して skip 階数がどう変化するのかを考えます。   43

    44 C = 0, H = 20  skip する階数  最小値  最小値は 0 階skip のとき 

    45 C = -10, H = 20  skip する階数  最小値  最小値は 1, 2, 3 階skip のとき 

    46 C = -20, H = 20  skip する階数  最小値  最小値は 3, 4 階 skip のとき 

    47 I - A's ugly behavior in the elevator (general)      解法  g(x) は単調なので、C の値を二分探索すると、ヘイトが H を超えない skip 階数が求まります。計算量は O(M log(NM-sum(A)) です。 (他にも monge グラフ上の最短路問題とみなして解く解法などもあります) 47

J - Yurufuwa Topology        48 問題概要  閉曲線とN個の頂点が与えられる。
頂点の部分集合で、閉曲線が”ほどける”頂点数の最大値を求めよ。 48 右側の頂点のみを選ぶと、ほどける  

J - Yurufuwa Topology        49 49 本質
頂点集合 S に対し、閉曲線 C がほどける ⇔ 任意の2頂点以下のSの部分集合Tに対し、閉曲線Cがほどける

J - Yurufuwa Topology        50 50 方針
頂点1 … N からなるグラフを用意する。集合 {i, j} が “ほどける” とき i と j の間に辺を貼る (自己ループも含む)。最大クリーク問題を解く。 1ケースあたりの計算量 : O(N × 2^N + N × L)

各問題のFA・AC数  51 問題オンサイトFA オンラインFA AC数 A - Yurufuwa Times
hamath(00:43) sayakaamemiyag(00:40) 59 B - RGB Equation noko_(02:44) 59 C - Not Divide Factorial n_fuppy(03:23) 53 D - ×2÷2%22 KKT89(18:04) heno239(17:25) 54 E - A's ugly behavior in the elevator noko_(18:16) 37 F - Range Sum GCD primenumberzz(12:52) 30 G - Exponential Banana Game ytqm3(31:54) 17 H - Oriented to DAG noko_(1:08:06) sayakaamemiyag(1:06:04) 7 I - A's ugly behavior in the elevator (general) heno239(1:36:11) 2 J - Yurufuwa Topology heno239(2:16:00) 1 ※オンラインFAはオンサイトより速かった場合のみ表記しております。 

writer/tester  52 問題 writer tester A - Yurufuwa Times momohara
prd_xxx B - RGB Equation prd_xxx dokin C - Not Divide Factorial ayaoni tempura0224 D - ×2÷2%22 dokin momohara E - A's ugly behavior in the elevator ayaoni prd_xxx F - Range Sum GCD tempura0224 G - Exponential Banana Game prd_xxx dokin H - Oriented to DAG ayaoni I - A's ugly behavior in the elevator (general) Tallfall(原案: ayaoni) ayaoni J - Yurufuwa Topology dokin ayaoni

第5回ゆるふわオンサイト解説

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