第5回ゆるふわオンサイト解説

第５回ゆるふわオンサイト 
解説スライド 
1 
writer/tester: dokin, Tallfall, ayaoni, prd_xxx, tempura0224, momohara 他2名(黄色コーダー) 

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目次 
2
● A - Yurufuwa Times 
● B - RGB Equation 
● C - Not Divide Factorial 
● D - ×2÷2%22 
● E - A's ugly behavior in the elevator 
● F - Range Sum GCD 
● G - Exponential Banana Game 
● H - Oriented to DAG 
● I - A's ugly behavior in the elevator (general) 
● J - Yurufuwa Topology 
● 各問題FA・AC数 
● writer/tester 

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A - Yurufuwa Times 
問題概要 
1以上N以下の整数が与えられるので、第N回のゆるふわオンサイトが西暦何年に開催
されたかを解答してください。 
 
 
3
開催年（西暦）開催タイトル
2019 第1回ゆるふわオンサイト

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A - Yurufuwa Times 
解法 
if 文で場合分けしたり、下記のように第N回と開催年に対応する配列を用意することで
解くことができます。 
#include
using namespace std;
int main() {
int N;
cin >> N;
N--;
int a[5] = {2019, 2019, 2020, 2023, 2023};
cout << a[N] << endl;
return 0;
} 4

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B - RGB Equation 
問題概要 
以下の4つのうち3つの等式が与えられます。R,G,Bを求めてください。 
① G + B = C 
② R + B = M 
③ R + G = Y 
④ R + G + B = W 
解法 
具体的な手順はいくつかありますが、連立方程式として解けます。式変形と場合分けを
がんばります。 
5

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B - RGB Equation 
・Cがない場合 
① G + B = C 
② R + B = M 
③ R + G = Y 
④ R + G + B = W 
④*2: 2R + 2G + 2B = 2W 
-② : - R - B = -M 
-③ : - R - G = -Y 
C = G + B = 2W - M - Y 
6
・Mがない場合 
① G + B = C 
② R + B = M 
③ R + G = Y 
④ R + G + B = W 
④*2: 2R + 2G + 2B = 2W 
-① : - G - B = -C 
-③ : - R - G = -Y 
M = R + B = 2W - C - Y 

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B - RGB Equation 
・Yがない場合 
① G + B = C 
② R + B = M 
③ R + G = Y 
④ R + G + B = W 
④*2: 2R + 2G + 2B = 2W 
-① : - G - B = -C 
-② : - R - B = -M 
Y = R + G = 2W - C - M 
7
・Wがない場合 
① G + B = C 
② R + B = M 
③ R + G = Y 
④ R + G + B = W 
① : G + B = C 
+② : R + + B = M 
+③ : R + G = Y 
(R+G+B)*2 = C + M + Y 
W = (C+M+Y) / 2 

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B - RGB Equation 
C,M,Y,W がすべて求められれば 
R = W - C 
G = W - M 
B = W - Y 
のように解が求まります 
余談 
Python には numpy や sympyに食わせると連立一次方程式を解いてくれるモジュール
があるのですが、HackerRank には対応してなくて残念でした (><) 
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C - Not Divide Factorial 
問題概要 
正の整数 N が与えられるので、N! を割り切らない最小の正の整数を答えてください。 
方針 
● 1, 2, …, N は明らかに N! を割り切るので、N + 1 以上の整数を1つ1つ検証していき
ます。 
● N + 1 以上の整数に対して素因数分解を行い、各素因数 p に対して p の指数と p
が N! を割り切る回数を比較します。 
○ p が N! を割り切る回数は、[N / p] + [N / p^2] + … と求められます  
9

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具体例（N = 19 のとき） 
● 20 = 2^2 × 5^1 
○ 19! が 2 で割り切れる回数は、[19/2] + [19/2^2] + [19/2^3] + [19/2^4] = 16 となり、2（2の指数）
以上。 
○ 19! が 5 で割り切れる回数は、[19/5] = 3 となり、1（5の指数）以上。  
○ 故に 20 は 19! を割り切る。  
● 21 = 3^1 * 7^1 
○ 19! が 3 で割り切れる回数は、[19/3] + [19/3^2] = 8 となり、2（3の指数）以上。  
○ 故に 21 は 19! を割り切る。  
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具体例（N = 19 のとき） 
● 22 = 2^1 × 11^1 
○ 19! が 2 で割り切れる回数は、[19/2] + [19/2^2] + [19/2^3] + [19/2^4] = 16 となり、2（2の指数）
以上。 
○ 故に 22 は 19! を割り切る。  
● 23 = 23^1 
○ 19! が 23 で割り切れる回数は、0となり、1（23の指数）以上。  
○ 故に 23 は 19! を割り切らない。  
● ゆえに解は「23」！！！ 
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この計算、高速なの？ 
少なくとも答えは N より大きい最小の素数で上から抑えられますが、10^9 以下で最も長
く合成数が連続する区間は 436273010 から 436273290 までの長さ 281 の区間なの
で、高々 282 個の数に対して検証を行えば良いです。 
実は・・・ 
N ≠ 3 のとき、N より大きい最小の素数が答えになります！ 
（「ベルトランの仮説」を用いると証明できます） 
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D - x2÷2/22 
問題概要 
X = 1 から次の操作を繰り返して整数N を作ってください。 
● A … X に 2 をかける 
● B … X を 2 でわる 
● C … X を 22でわった余りで置き換える 
作り方が複数ある場合は、最短かつ辞書式順序最小のものを出力してください。 
方針 
解き方はいろいろ。各 N について地道に調べていけば解けるはず。 
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D - x2÷2/22 
解法1　地道に調べて答えを出力 
2 ≡ N または 2 ≡ N × 2 (mod22) をみたす最小の x を K とおく。 
FACT : Nを作るために操作Aは最小でも K 回必要 
● N = 2, 4, 8, 16 … AをK個並べる 
● N = 6, 10, 12, 14, 18, 20 … AをK個並べたあとにCを並べる 
● N = 3, 5, 7, 9 … AをK個並べたあとにCBを並べる 
● N = 11, 13, 15, 17, 19, 22 … Kが存在しないので、-1 を出力する 
 
14
x  x 

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D - x2÷2/22 
解法2　全探索 
最も長い場合でも出力の長さは12文字なので全探索で間に合う 
解法3 最短経路問題に帰着 
テスター解。22頂点のグラフを作り、最短経路問題に帰着する 
ただ、操作Cの扱いなどケアするべき部分が多いのでわりと大変だと思う... 
 
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E - A's ugly behavior in the elevator 
問題概要 
● A君は1階からエレベーターに乗り込み、目的階はN階 
● 2階, 3階, …, N - 1 階を目的階とする N - 2 人が乗り込んできた 
● A君はいくつか目的階を解除して、できるだけ停車回数を少なくしたい 
● ただし x 階が目的階の人が y 階で降りることになった場合、A君に対して 
y - x のヘイトが向けられる 
● このヘイトの総量が H を超えるとアウト 
● 途中停車の回数の最小値は？ 
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方針 
● f(i) := (i 回途中停車したときのA君に向けられるヘイトの総和の最小値) とおくと、f
は i に関して単調減少関数 
● ゆえに f(i) <= H なる i の最大値を二分探索で求めてやれば良い 
● あとは f(i) を高速に計算する方法を考えれば良い 
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f(i) の求め方 
N = 12, i = 2 のときで考えてみます。 
 
 
18
1  12 
3  7  1  4  7  12 
差2  差4  差5  差3  差3  差5 
ヘイト 
1 
ヘイト 
1+2+3 
ヘイト 
1+2+3+4 
ヘイト 
1+2 
ヘイト 
1+2 
ヘイト 
1+2+3+4 
ヘイト減少！
差が2以上 

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f(i) の求め方 
● このように隣り合う停車階の差をとり、それが 2 以上離れている所は差を少なくす
るようにスライドさせるとヘイトの総和が減少します。 
○ (…, a, b, …, c, d, …) => (…, a, b + 1, …, c + 1, d, …)  
● このような操作を繰り返していくと、できるだけ均等に停車階を設定した時にヘイト
が最小になることが分かります。 
○ 先程の例だと、(1, 4, 8, 12) の時がヘイトが最小になる一例  
● ゆえに N - 1 = q * (i + 1) + r と割り算して、q を i +1 - r 個と q + 1 を r 個に分ける
のが最適です。 
● f(i) = (i + 1 - r) * (1 + … + (q - 1)) + r * (1 + … + q) となり、これは高速に求めら
れます。 
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F - Range Sum GCD 
問題概要 
数列 A1, A2, …, AN がある。 
区間和をいくつか選んでそのGCD(最大公約数)を G にすることができますか？ 
例 
A = {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3}, G = 7 
gcd(5+9, 4+1+5+9+2) = gcd(14, 21) = 7 なので Yes 
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考察① 
もとの問題は 
「区間和のうち、Gの倍数であるものいくつかのGCDを取ってGにできる？」 
だが、 
「区間和のうち、Gの倍数であるもの全部のGCDを取ってGにできる？」 
という問題を考えてもおなじ。 
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考察② 
Aの累積和配列 S (S0=0, Si = A1+A2+...+Ai) を考えると 
区間和は Sr -Sl と表せる。 
また、Sr - Sl が G の倍数 ⇔ Sr ≡ Sl (mod G) なので、 
S を G でわったあまりごとにグループ分けして、 
グループごとに差のGCDをすべて取ったものが G になればよい。 
22

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考察②例 
A = {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3}, G = 7 
S = {0, 3, 4, 8, 9, 14, 23, 25, 31, 36, 39} 
7 で割った余りごとに分けると 
(0, 14), (8, 36), (9, 23), (3), (4, 25, 39), (31) 
gcd(14-0, 36-8, 23-9, 25-4, 39-4, 39-25) = 7 
23

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考察③ 
このままだとペアは O(N^2) 組ありえるので N=200000 では間に合わない 
ここで、gcd(x, y) = gcd(x, y - x) なので(ユークリッドの互除法)、 
gcd(Sm-Sl, Sr-Sl) = gcd(Sm-Sl, (Sr-Sl)-(Sm-Sl)) = gcd(Sm-Sl, Sr-Sm) 
つまり、 
Sr-Sl と Sm-Sl の gcd を取れば Sr-Sm のことは考えなくてよい！ 
24

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考察③ 
したがってグループ(S1, S2, …,Sk) ごとに、 
gcd(S2-S1, S3-S1, …, Sk-S1) のみを考えれば十分。 
これで調べるべきペアを O(N) 組に減らすことができた。 
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まとめ 
結局この問題は以下のステップで解ける 
1. 累積和配列Sを作り、SをGで割ったあまりごとにグループ分けする 
2. 各グループごとに、(各項-先頭) の GCD を取る 
3. それらの GCD を取る 
4. G になれば Yes を出力、ならなければ No を出力 
計算量は実装方針にもよりますが O(NlogN+logA) など。 
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G - Exponential Banana Game 
問題概要 
与えられた条件で以下の交互進行ゲームを行う 
・部屋i には A_i 本のバナナがあり、B_i が設定されている 
・手番では i,j を選び、部屋i のバナナを B_i^j 本、食べる 
・操作ができなくなったほうが負け 
先手がゲーム開始前に各部屋あたりM本以下のバナナをこっそり食べるような細工がで
きるとき、先手が必勝となるような食べ方は何通りあるか？ 
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解法 
まずM=0 の場合の勝敗がどうなっているかを考えます。 
このゲームは操作の選択肢が限られた石取りゲームと同じで、Grundy数で勝敗を求め
ることができます。 
各部屋におけるGrundy数が求まれば、それらのxorをとることで勝敗を知ることができま
す。(0: 後手勝ち、非0: 先手勝ち) 
 
28

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解法  
ただし、一部屋のバナナの数の上限は10^9と大きく、Grundy数を定義通り求めることは
できません。 
そこで、Grundy数がどのような値をとるかを実験/観察すると、次のことがわかります。 
◆ B_i が奇数の場合 
(0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... )  
と、交互に繰り返す。(奇数→偶数、偶数→奇数にしか遷移しないので明らか) 
29

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解法  
◆ B_i が偶数の場合 
(0, 1, 0, 1, ... , 0, 1, 2), (0, 1, 0, 1, ... , 0, 1, 2) , ... 
のように B_i + 1 周期で繰り返すことがわかります！ 
 
例: B_i = 4の場合 
(0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 2, ... )  
30
B_i + 1 周期 

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解法  
Grundy数の法則から重要な観察ができ、このゲームのGrundy数は高々2までの値しか
取らないことがわかります。 
さらに、各部屋のGrundy数のxorを取ったときの途中結果は0～3の整数 (2ビット) で表
せることがわかります  
このことを用いて、元の問題を考えると、次のようなdpが可能です。 
dp[i][j] = 部屋iまで求めた途中結果で、 
　　　Grundy数がjとなるようにバナナを食べる場合の数 
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解法 
部屋i でバナナをM本まで食べる方法のうち、Grundy数が xとなる食べ方の場合の数は
適切に計算することで O(1)で求まります。 
これを利用して適切なdpを書くことで、全体の計算量は O(N) で求められます。(定数倍
は 4*4 = 16 程度で、十分間に合います) 
 
類題 
H - 8^kゲーム 
32

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H - Oriented to DAG 
33
解説 

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実は。。。。 
(与えられたグラフの彩色数) - 1 が答えです 
34
以下では、上手く向き付けしてDAGを作ったときの最長パスの長さの最小値 = 彩色数 - 1を示します。  

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(彩色数) -1 ≧ 最長パスの長さの最小値 
35
無向グラフを彩色する。 (左図では、赤,青,緑,ピンクの4彩色)  
色に序列を付ける。 
例えば、赤 > 青 > 緑 > ピンクとする。 
序列の大きい方から小さいほうに辺の向きを付けると、DAGが構
成できる (同じ色同士に辺がないことに注意) が、  
そのDAGの最長パスの長さは (彩色数 - 1) 以下になる。  
証明: 同じ色は二回通ることはないため。  

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(彩色数) -1 ≦ 最長パスの長さの最小値 
36
3
1
2
0
1
1
辺に向き付けしてDAGを作る。  
DAGの各頂点に、「この頂点から始まる最長パスの長さ」を書
いていく。 
全体で一番大きい数字が最長パスの長さ + 1 になるが、数字
が同じ頂点を同じ色で塗れば、 (最長パスの長さ + 1) 色での彩
色が可能 
証明: dp[v] := 「頂点vから始まる最長パスの長さ」とすると、  
dp[v] = max_{vからuへ向かう有向辺が存在} dp[u] + 1 なので、隣接す
る頂点に書かれた番号は異なる。  

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計算量/余談など 
37
彩色数を求める計算量は、アルゴリズムによるが、O(3^N) とか、O(2^NN^2) とか、場合によってはもっ
と早い 
詳細はmathnachiaさんのブログを参照:
https://www.mathenachia.blog/chromatic-fast/  
余談ですが、 
dp[S]:= 集合Sに入ってくる辺の向きを全てつけたときの、最長パスの長さの最小値  
でbitDPすると 
dp[S] = max_{T⊂S} (dp[T] + 1)  
という遷移になるが、これが彩色数のdpと同じになることに気づいても解法にたどり着けるかも
しれない。 

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I - A's ugly behavior in the elevator (general) 
 
 
問題概要 
● A君は1階からエレベーターに乗り込み、目的階はN階 
● A1
階, A2
階, …, AM
階を目的階とする M 人が乗り込んできた 
● A君はいくつか目的階の解除して、できるだけ停車回数を少なくしたい 
● ただし x 階が目的階の人が y 階で降りることになった場合、A君に対して 
y - x のヘイトが向けられる 
● このヘイトの総量が H を超えるとアウト 
● 途中停車の回数の最小値は？ 
 
38

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考察 
● dp[i][j] := 人 i から人 M までを考えたとき、Ai 階に停まり j 階 skip する場合のヘイ
トの最小値、としたdpを解くと正しい答えが求まる。 
● 勿論この解法では制限実行時間に間に合わない 
● 何か良い性質はないだろうか？？ 
 
39

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考察 
g(x) を x 階 skipする場合のヘイトの合計の最小値とすると、 
g は下凸になります (直感的には負の効用逓減が効きます)
→ Alien’s trick が使えます。
 
40

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解法 
dp[i][j] := 人 i から人 M までを考えたとき、Ai 階に停まり j 回 skip する場合のヘイト
の最小値
を考える代わりに、1 階 skip するあたり C (この問題では C < 0) のコストがかかると考
えて、
dp[i; C] := 人 i から人 M までを考えたとき、Ai 階に停まるときのヘイト + コストの最小
値
という dp を考えます。
  41

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解法 
dp[i; C] := 人 i から人 M までを考えたとき、Ai 階に停まるときのヘイト + コストの最小
値
とすると、
dp[i]=min(j整理するためにSi=Σk≧i Akとおくと
dp[i]=Si−1+iC+ minjとなり、これは Convex Hull Trick で高速に計算できます
42

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解法 
ヘイト+コストの最小値と、それを実現する skip 階数を CHT を用いて求めることができ
ました。C に対して skip 階数がどう変化するのかを考えます。
 
43

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44
C = 0, H = 20 
skip する階数 
最小値 
最小値は 0 階skip
のとき 

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45
C = -10, H = 20 
最小値 
最小値は 1, 2, 3
階skip のとき 

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46
C = -20, H = 20 
最小値 
最小値は 3, 4 階
skip のとき 

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47
 
 
解法 
g(x) は単調なので、C の値を二分探索すると、ヘイトが H を超えない skip 階数が求ま
ります。
計算量は O(M log(NM-sum(A)) です。
(他にも monge グラフ上の最短路問題とみなして解く解法などもあります)
47

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J - Yurufuwa Topology 
 
 
 
48
問題概要 
閉曲線とN個の頂点が与えられる。
頂点の部分集合で、閉曲線が”ほどける”頂点数の最大値を求めよ。
48
右側の頂点のみを選ぶと、ほどける  

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49
49
本質
頂点集合 S に対し、閉曲線 C がほどける
⇔
任意の2頂点以下のSの部分集合Tに対し、閉曲線Cがほどける

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50
50
方針
頂点1 … N からなるグラフを用意する。
集合 {i, j} が “ほどける” とき i と j の間に辺を貼る (自己ループも含む)。
最大クリーク問題を解く。
1ケースあたりの計算量 : O(N × 2^N + N × L)

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各問題のFA・AC数 
51
問題オンサイトFA オンラインFA AC数
A - Yurufuwa Times hamath(00:43) sayakaamemiyag(00:40) 59
B - RGB Equation noko_(02:44) 59
C - Not Divide Factorial n_fuppy(03:23) 53
D - ×2÷2%22 KKT89(18:04) heno239(17:25) 54
E - A's ugly behavior in the elevator noko_(18:16) 37
F - Range Sum GCD primenumberzz(12:52) 30
G - Exponential Banana Game ytqm3(31:54) 17
H - Oriented to DAG noko_(1:08:06) sayakaamemiyag(1:06:04) 7
I - A's ugly behavior in the elevator
(general)
heno239(1:36:11) 2
J - Yurufuwa Topology heno239(2:16:00) 1
※オンラインFAはオンサイトより速かった場合のみ表記しております。 

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writer/tester 
52
問題 writer tester
A - Yurufuwa Times momohara prd_xxx
B - RGB Equation prd_xxx dokin
C - Not Divide Factorial ayaoni tempura0224
D - ×2÷2%22 dokin momohara
E - A's ugly behavior in the elevator ayaoni prd_xxx
F - Range Sum GCD tempura0224
G - Exponential Banana Game prd_xxx dokin
H - Oriented to DAG ayaoni
I - A's ugly behavior in the elevator
(general)
Tallfall(原案: ayaoni) ayaoni
J - Yurufuwa Topology dokin ayaoni

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第5回ゆるふわオンサイト解説

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