problemas propustos de teoria de campos electromagneticos

PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Vol.1 RÉGULO A.
SABRERA ALVARADO

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
Y ELÉCTRICA PROBLEMAS PROPUESTOS CORRESPONDIENTES A LA PRIMERA PARTE DEL CURSO DE TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Colección Tesla Régulo A. Sabrera Alvarado Catedrático de Física, Matemática Computación y SocioFísica Solís Pando Jean Pierre Alumno Semestre académico 2023-1 Lima-Peru 2023

DEDICATORIA Con gran emoción y dedicación, dedico este trabajo a
todos aquellos apasionados por la Teoría de Campos Electromagnéticos. A mi profesor Régulo A. Sabrera Alvarado, quien con paciencia y sabiduría han compartido su conocimiento y despertado en mí un profundo interés por esta fascinante área de la física. A mis compañeros de clase, con quienes he compartido momentos de estudio, discusiones y descubrimientos, y que han enriquecido mi comprensión del tema con sus diferentes perspectivas. A mis padres, quienes me apoyaron a seguir mis sueños de convertirme en ingeniero eléctrico. Agradezco especialmente a todas las mentes brillantes cuyas investigaciones y contribuciones han sentado las bases para el desarrollo de la teoría de campos electromagnéticos.

Página Cap. 01 problemas de Análisis Vectorial Cap. 02 problemas
de Fuerza Eléctrica Cap. 03 problemas de Campo Eléctrico Cap. 04 problemas de Potencial Eléctrico Apéndice 699 436 412 625 CONTENIDO 040 193 349 533 701

ANALISIS VECTORIAL CAP-1 • Producto escalar, producto vectorial. • Productos
triples de vectores • Proyección y componentes de un vector. • Operaciones del algebra vectorial. • Aplicaciones a la Física e Ingeniería 1

Robótica y Cibernética 22 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Las coordenadas polares
de un punto P son: r=5,50 m y =240o. Hallar las coordena das cartesianas de este punto P. a) (2,75; 4,76) b) (2,75; -4,76) c) (-2,75; 4,76) d) (-2,75; -4,76) e) (2,75; 4,76) 02. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares P(2,50 m, 30,0o) y Q(3,80 m, 120,0o). I) Hallar las coordenadas cartesianas de estos puntos. II) Hallar la distancia entre estos puntos. 03. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimen siones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2,00, 1,00) m. I) ¿Qué tan lejos está la mosca de la esquina del cuarto? a) 2,04 m b) 2,24 m c) 2,44 m d) 2,64 m e) 2,84 m II) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares? a) (2,04 m; 20,6o) b) (2,64 m; 24,6o) c) (2,44 m; 22,6o) d) (2,84 m; 28,6o) e) (2,24 m; 26,6o) 04. Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas P(2,00, -4,00) m y Q(3,00, 3,00) m. I) Hallar la distancia entre estos puntos P y Q. a) 8,4 m b) 8,5 m c) 8,6 m d) 8,7 m e) 8,8 m II) Hallar las coordenadas polares de estos puntos P y Q. 05. Si las coordenadas rectangulares de un punto P están dadas por (2, y) y sus coordena das polares son (r, 30o). Hallar y y r. a)1,45 m; 2,41 m b) 1,35 m; 2,21 m c) 1,05 m; 2,11 m d) 1,25 m; 2,31 m e) 1,15 m; 2,31 m 06. Si las coordenadas polares del punto (x, y) son (r, ), hallar las coordenadas polares para los puntos (-x, y), (-2x, -2y), y (3x, -3y). 07. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto son: x=1 u, y=2 u, z=3 u. Hallar las coordenadas cilíndricas de este punto. 08. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto son: x=2 u, y=2 u, z=2 u. Hallar las coordenadas esféricas de este punto. 34 2

Robótica y Cibernética 35 09. Las coordenadas cilíndricas de un
punto P son: =2 u, =30o, z=3 u. Hallar los vecto res unitarios ˆ  , y ˆ  . 10. Hallar la expresión de los vectores unitarios ˆ i , ˆ j, ˆ k que definen las coordenadas carte sianas, en función de los vectores unitarios ˆ  , ˆ  y ˆ k que definen las coordenadas cilín dricas. 11. Las coordenadas esféricas de un punto P son: r=4 u, =37o, y =53o. Hallar los vecto res unitarios ˆ r , ˆ  y ˆ  . 12. Hallar la expresión de los vectores unitarios ˆ i , ˆ j, ˆ k que definen las coordenadas carte sianas, en función de los vectores unitarios ˆ r , ˆ  y ˆ  que definen las coordenadas esfé ricas. 13. Las coordenadas parabólicas planas (f; h) en función de las rectangulares (x; y) vienen dadas por: x = f – h, y = 2(f.h)1/2 donde f>0, h>0. I) Expresar f y h en función de x e y. II) Si f y ˆ h son vectores unitarios, que definen el sistema de coordenadas parabólico, demostrar que f y ˆ h son perpendiculares entre si. III) Demostrar que f y ˆ h son funciones de f y h y hallar sus derivadas respecto de f y h. IV) Probar que el vector de posición de una partícula en el sistema de coordenadas para bólico, viene dado por : 1/2 1/2 1/2 1/2 ˆ ˆ r f (f h) f h (f h) h     . 14. En la Fig01, una topógrafa mide la distancia a través de un río recto con el siguiente método. Partiendo directamente a través de un árbol en la orilla opuesta, camina d=100 m a lo largo del margen del río para establecer una línea base. Luego observa hacia el árbol. El ángulo de su línea base al árbol es de =35,0o. Hallar el ancho del río. a) 65 m b) 70 m c) 75 m d) 80 m e) 85 m 15. En la Fig02, la fuerza 1 F de magnitud F1 =6,0 N actúa sobre el cuerpo en el origen en la dirección de =30,0o sobre el eje-x positivo. La segunda fuerza 2 F de magnitud F2 =5,0 N actúa sobre el cuerpo en la dirección del eje-y positivo. Hallar gráficamente la magnitud y dirección de la fuerza resultante 1 2 F F F   . a) 9,14 N, 59o b) 9,34 N, 55o c) 9,34 N, 51o d) 9,74 N, 53o e) 9,54 N, 57o 16. El vector A tiene una magnitud de A=29 u y puntos en la dirección del eje-y positivo. Cuando el vector B se suma al vector A , el vector A B  apunta en dirección del eje- y negativo con una magnitud de 14 u. Hallar la magnitud y dirección de B. a) -41ˆ j b) -43ˆ j c) -45ˆ j d) -47ˆ j e) -49ˆ j 17. Un patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circular de radio R=5,00 m. Si 3

Análisis Vectorial 36 avanza por inercia alrededor de la mitad
del círculo. I) Hallar la magnitud del vector de desplazamiento. a) 8,0 b) 8,5 m c) 9,0 m d) 9,5 m e) 10,0 m II) Hallar la distancia que patino. a) 15,1 m b) 15,3 m c) 15,5 m d) 15,7 m e) 15,9 m III) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si el patina alrededor de todo el círculo? Fig01 Fig02 18. Tres desplazamientos son: A =150 m a 30,0o al Sur, B=250 m al Oeste y C =150 a 30,0o al Noreste. I) Construya un diagrama separado para cada una de las siguientes posibles formas de sumar estos vectores 1 R A B C    , 2 R B C A    , 3 R C B A    . II) Explique que puede concluir al comparar los diagramas. 19. Un carro de montaña rusa se mueve 200 m horizontalmente y luego se eleva 135 m a un ángulo de 30,0o sobre la horizontal. A continuación viaja 135 m a un ángulo de 40,0o hacia abajo. I) Usando técnicas gráficas, hallar el desplazamiento desde su punto de partida. a) 420,77 m b) 422,77 m c) 424,77 m d) 426,77 m e) 428,77 m II) Hallar la dirección del vector desplazamiento d . a) 2,63o b) -2,63o c) 3,63o d) -3,63o e) 4,63o 20. Un avión vuela desde el campo base al lago A, a 280 km de distancia en la dirección 20,0o al noreste. Después de soltar suministros vuela al lago B, que está a 190 km a 30,0o al noreste del lago A. I) Hallar gráficamente la distancia recorrida. a) 305,9 km b) 306,9 km c) 307,9 km d) 308,9 km e) 309,9 km II) Hallar la dirección desde el lago B al campo base. a) 55,14o b) 56,14o c) 57,14o d) 58,14o e) 59,14o  d v F1 F2  4

Robótica y Cibernética 37 21. Indicar cuáles de las magnitudes
físicas son escalares o vectoriales: peso (W), calor (Q), calor especifico (ce ), ímpetu (I), densidad (), energía (E), volumen (V), potencia. Serway 22. Las componentes de un vector A en las direcciones de los x e y son Ax =-25 u y Ay =40,0 u. Hallar la magnitud y dirección de este vector. a) 48,2 u; 122o b) 46,2 u; 121o c) 45,2 u; 123o d) 49,2 u; 125o e) 47,2 u; 122o 23. El vector A de magnitud A=35,0 u está en la dirección de 325o en sentido antihorario medido desde el eje-x positivo. Hallar las componentes x e y de este vector. a) 25,67 u; -22,08 u b) 25,67 u; -24,08 u c) 25,67 u; -23,08 u d) 25,67 u; -21,08 u e) 28,67 u; -20,08 u 24. Una persona camina 25,0o al noreste recorriendo 3,10 km. ¿Qué distancia tendría que caminar hacia el Norte y hacia el Este para llegar a la misma posición? a) 1,11 km; 2,51 km b) 1,51 km; 2,71 km c) 1,41 km; 2,61 km d) 1,21 km; 2,91 km e) 1,31 km; 2,81 km 25. Obtenga expresiones en forma de componentes para los vectores de posición de coor denadas polares: (12,8 m, 150o), (3,30 cm, 60,0o). 26. Un canillita para entregar un periódico recorre 3,00 cuadras al Oeste, 4,00 cuadras al Norte y luego 6,00 cuadras al Este. I) Hallar su desplazamiento resultante. a) 4 cuadras b) 5 cuadras c) 6 cuadras d) 7 cuadras e) 8 cuadras II) Hallar la distancia total que recorre el canillita. a) 10 cuadras b) 11 cuadras c) 12 cuadras d) 13 cuadras e) 14 cuadras 27. Un explorador se mueve 75,0 m al Norte, 250 m al Este, 125 m a un ángulo de 30,0o al noreste y 150 m al Sur. Hallar la magnitud de su desplazamiento resultante. a) 312,55 m b) 314,55 m c) 316,55 m d) 318,55 m e) 320,55 m II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante. a) 6,07o b) 6,27o c) 6,47o d) 6,67o e) 6,87o 28. Dados los vectores ˆ ˆ A 3i 2 j   y ˆ ˆ B i 4 j    . Hallar A B  , A B  , A B  , A B  , y las direcciones de A B  y A B  . 29. Un perro que corre en el parque, experimenta desplazamientos sucesivos de 3,50 m al Sur, 8,20 a 30o al noreste, y 15,0 m al Oeste. 5

Análisis Vectorial 38 I) Hallar la magnitud del desplazamiento resultante.
a) 7,12 m b) 7,32 m c) 7,52 m d) 7,72 m e) 7,92 m II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante. a) 171,7o b) 173,7o c) 175,7o d) 177,7o e) 179,7o 30. Dados los vectores ˆ ˆ A 2,00i 6,00 j   y ˆ ˆ B 3,00i 2,00 j   . I) Dibuje la suma vectorial C A B   y la diferencia vectorial D A B   . II) Calcule C y D en términos de vectores unitarios. III) Calcule C y D en términos de coordenadas polares, con ángulos medidos respecto del eje-x positivo. 31. En la Fig03, cuando el esquiador se desliza por la pista de ángulo de inclinación = 30o, un trozo de hielo se proyecta a una posición máxima de 1,50 m a =16,0o de la vertical. I) Hallar la componente de su posición máxima paralela a la pista. a) 1,17 m b) 1,37 m c) 1,57 m d) 1,77 m e) 1,97 m II) Hallar la componente de su posición máxima perpendicular a la pista. a) 0,54 m b) 0,64 m c) 0,74 m d) 0,84 m e) 0,94 m 32. En la Fig04, sobre la caja que reposa en el piso se aplican fuerzas 1 F de magnitud F1 = 120 N en la dirección 1 = 60,0o, y 2 F de magnitud F2 =80,0 N en la dirección 2 = 75,0o. I) Hallar la fuerza resultante de la suma de estas fuerzas. a) 181,4 N b) 183,4 N c) 185,4 N d) 187,4 N e) 189,4 N II) Hallar la dirección del vector resultante de la suma de las fuerzas. a) 71,8o b) 73,8o c) 75,8o d) 77,8o e) 79,8o III) Hallar la magnitud de la fuerza 2 F , para que, la fuerza resultante sea nula. a) 110 N b) 115 N c) 120 N d) 125 N e) 130 N Fig03 Fig04   g F1 F2 x y 1 2 6

Robótica y Cibernética 39 33. Dados los tres vectores de
desplazamiento ˆ ˆ A (3i 3j)m   , ˆ ˆ B (i 4 j)m   , y C  ˆ ˆ ( 2i 5 j)m   I) Hallar la magnitud y dirección del vector D A B C    . a) 2,53 m; -41o b) 2,63 m; -42o c) 2,63 m; -43o d) 2,73 m; -44o e) 2,83 m; -45o II) Hallar la magnitud y dirección del vector E A B C     . 34. Dados los vectores A ( 8,70;15,0)cm   y B (13,2; 6,60)cm   . Si A B 3C 0    . Hallar el vector C . a) (7,3ˆ i +7,2ˆ j) cm b) (7,3ˆ i -7,2ˆ j) cm c) (-7,3ˆ i +7,2ˆ j) cm d) (-7,3ˆ i -7,2ˆ j) cm e) (7,5ˆ i +7,8ˆ j) cm 35. Las componentes x, y, z del vector A son: 8,00 u, 12,0 u y -4,00 u, respectivamente. I) Exprese el vector A en notaciones de vectores unitarios. II) Exprese en vectores unitarios el vector B, cuya magnitud es un cuarto la de A , y que está en la misma dirección. III) Exprese en vectores unitarios el vector C , cuya magnitud es tres veces la de A , y que esta en dirección opuesta. 36. Las componentes x, y, z del vector B son: 4,00 u, 6,00 u y 3,00 u, respectivamente. I) Hallar la magnitud del vector B a) 7,51 u b) 7,61 u c) 7,71 u d) 7,81 u e) 7,91 u II) Hallar los ángulos que forma B con ejes x, y, z. a) 55,19o; 36,80o, 65,41o b) 58,19o; 38,80o, 69,41o c) 56,19o; 35,80o, 66,41o d) 57,19o; 37,80o, 68,41o e) 59,19o; 39,80o, 67,41o 37. El vector A tiene una componente x negativa de 3,00 u de magnitud y un componente y positiva de 2,00 u de magnitud. I) Hallar una expresión para A en notación de vectores unitarios. a) 3ˆ i +2ˆ j b) -3ˆ i +2ˆ j c) 3ˆ i -2ˆ j d) -3ˆ i -2ˆ j e) 2ˆ i +3ˆ j II) Hallar la magnitud y dirección de A . a) 3,01 u; 140,31o b) 3,21 u; 142,31o c) 3,41 u; 144,31o c) 3,61 u; 146,31o e) 3,81 u; 148,31o 7

Análisis Vectorial 40 III) Hallar un vector B, tal que,
al sumarse a A da como resultante un vector con compo nente nula en x y componente y negativa de 4,00 u de magnitud. a) 3ˆ i +6ˆ j b) -3ˆ i +6ˆ j c) 3ˆ i -6ˆ j d) -3ˆ i -6ˆ j e) 6ˆ i +3ˆ j 38. Dados ˆ ˆ A (6,00i 8,00 j)u   , ˆ ˆ B ( 8,00i 3,00 j)u    , y ˆ ˆ C (26,0i 19,0 j)u   . I) Hallar "a" y "b" tal que aA +bB+C =0. a) 3; 4 b) 4; 3 c) 7; 5 d) 5; 7 e) 5; 8 II) Un estudiante aprendió que una sola ecuación no se puede resolver para determinar valores para más de una incógnita en ella. ¿Como podría explicarle que tanto "a" como "b" se pueden determinar a partir de la ecuación que se usó en el inciso I). 39. Un jardinero que empuja una podadora experimenta dos desplazamientos. El primero de magnitud 150 cm formando un ángulo de 120o con el eje-x positivo. Si el desplaza miento resultante tiene magnitud de 140 cm y dirección de 35,0o respecto del eje-x po sitivo, hallar el segundo desplazamiento. a) 190 cm b) 192 cm c) 194 cm d) 196 cm e) 198 cm 40. Exprese en notación de vectores unitarios los siguientes vectores. I) El vector E de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o contra las manecillas del reloj, desde el eje x positivo. a) 15,15ˆ i +7,72ˆ j b) -15,15ˆ i +7,72ˆ j c) 15,15ˆ i -7,72ˆ j d) -15,15ˆ i -7,72ˆ j e) 13,15ˆ i +5,72ˆ j II) El vector Fde magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o contra las manecillas del reloj, desde el eje y positivo. a) 7,72ˆ i +15,15ˆ j b) -7,72ˆ i +15,15ˆ j c) 7,72ˆ i -15,15ˆ j d) -7,72ˆ i -15,15ˆ j e) 5,72ˆ i +13,15ˆ j III) El vector G de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o en sentido de las manecillas del reloj, desde el eje y negativo. a) 7,72ˆ i +15,15ˆ j b) -7,72ˆ i +15,15ˆ j c) 7,72ˆ i -15,15ˆ j d) -7,72ˆ i -15,15ˆ j e) 5,72ˆ i +13,15ˆ j 41. Una estación de radar ubica un barco hundido en un intervalo de 17,3 km y orientación de 136o en sentido de las manecillas del reloj desde el Norte. Desde la misma estación, un avión de rescate está en un intervalo horizontal de 19,6 km, 153o en sentido de las manecillas del reloj desde el Norte, con elevación de 2,20 km. 8

Robótica y Cibernética 41 I) Escriba el vector de posición
para el barco en relación con el avión con ˆ i que represen ta el Este , ˆ j el Norte, y ˆ k hacia arriba . a) 3,13ˆ i +5,02ˆ j+2,20 ˆ k b) -3,13ˆ i +5,02ˆ j+2,20 ˆ k c) 3,13ˆ i +5,02ˆ j-2,20 ˆ k d) 3,13ˆ i -5,02ˆ j-2,20 ˆ k e) -3,13ˆ i -5,02ˆ j+2,20 ˆ k II) Hallar la distancia de separación entre el barco y el avión. a) 6,11 km b) 6,31 km c) 6,51 km d) 6,71 km e) 6,91 km 42. El ojo de un huracán se mueve en dirección 60,0o al noreste con una rapidez de 41,0 km/h. I) Hallar la expresión en vector unitario del vector velocidad (en km/h) del huracán. a) 35,5ˆ i +20,50ˆ j b) 35,5ˆ i -20,50ˆ j c) -35,5ˆ i +20,50ˆ j d) -35,5ˆ i -20,50ˆ j e) 31,5ˆ i +24,50ˆ j II) Se mantiene esta velocidad por 3,00 h, después el curso del huracán cambia súbitamen te al Norte y su rapidez baja a 25,0 km/h. Esta nueva velocidad se mantiene durante 1,50 h. Hallar la expresión en vector unitario de la nueva velocidad (km/h)del huracán. a) 21ˆ j b) 22ˆ j c) 23ˆ j d) 24ˆ j e) 25ˆ j III) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du rante las primeras 3,00 h. a) 106,5ˆ i +61,50ˆ j b) -106,5ˆ i +61,50ˆ j c) 106,5ˆ i -61,50ˆ j d) -106,5ˆ i -61,50ˆ j e) 108,5ˆ i +63,50ˆ j IV) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du rante las últimas 1,50 h. a) 35,5ˆ j b) 36,5ˆ j c) 37,5ˆ j d) 38,5ˆ j e) 39,5ˆ j V) ¿A qué distancia del punto de observación está el ojo del huracán, después que pasa so bre este? a) 141,4 km b) 142,4 km c) 143,4 km d) 144,4 km e) 145,4 km 43. En la Fig05, Qoqi está sobre el suelo en el origen de un sistema de coordenadas. El dron vuela con velocidad constante en la dirección del eje-x a una altura de h=7,60 km. En el instante t=0 el dron esta sobre Qiqo el vector de posición es o P =7,60 ˆ j km. En el instante t=30,0 s, el vector de posición es 30 P =(8,04 ˆ i +7,60 ˆ j) km. Hallar la magni tud y dirección del vector de posición del dron en el instante t=45,0 s. 9

Análisis Vectorial 42 a) 13,4 km; 30,2o b) 13,8 km;
34,2o c) 14,0 km; 31,2o d) 12,4 km; 33,2o e) 14,3 km; 32,2o 44. En la Fig06, se muestra la trayectoria de una persona que sale a caminar, la cual, cons ta de cuatro trayectorias en línea recta. Hallar el desplazamiento resultante de la perso na, medido desde el punto de partida 0. a) 220 m b) 225 m c) 230 m d) 235 m e) 240 m Fig05 Fig06 45. Un controlador de tráfico aéreo observa dos aeronaves en la pantalla de su radar. La primera está a una altitud de 800 m, 19,2 km de distancia horizontal y 25,0o al suroes te. La segunda está a una altitud de 1100 m, 17,6 km de distancia horizontal y 20,0o al suroeste. Hallar la distancia entre estas aeronaves. a) 2,19 km b) 2,29 km c) 2,39 km d) 2,49 km e) 2,59 km 46. En la Fig07, la araña esta descansando después de haber construido su red. La fuerza de gravedad sobre la araña es de 0,150 N en el punto de unión 0 de los tres hilos de se da. La unión soporta diferentes fuerzas en los dos hilos por encima de ella de manera que la fuerza resultante sobre la unión es cero. La tensión Tx es de 0,127 N. I) Hallar el ángulo que forma el eje-x con la horizontal. a) 55,9o b) 56,9o c) 57,9o d) 58,9o e) 59,9o II) Hallar la tensión Ty . a) 75,8 mN b) 76,8 mN c) 77,8 mN d) 78,8 mN e) 79,8 mN III) Hallar el ángulo que forma el eje-y con la horizontal. a) 30,1o b) 31,1o c) 32,1o d) 33,1o e) 34,1o 47. En la Fig08, el rectángulo mostrado tiene lados paralelos a los ejes x e y. Los vectores de posición de las dos esquinas son: A =10,0 m a 50o y B=12,0 m a 30,0o. I) Hallar el perímetro del rectángulo.  Po P30 x y 0 y x 300m 100m 150m 200m 60o 30o 10

Robótica y Cibernética 43 a) 10,4 b) 10,6 m c)
10,8 m d) 11,0 m e) 11,2 m II) Hallar la magnitud y dirección del vector desde el origen de la esquina superior dere cha del rectángulo. a) 12,1 m; 33,4o b) 12,3 m; 35,4o c) 12,5 m; 34,4o d) 12,7 m; 37,4o e) 12,9 m; 36,4o Fig07 Fig08 48. Se tiene dos vectores A y B de iguales magnitudes. Para que la magnitud de A +B sea cien veces mayor que la magnitud de A -B. ¿Cuál debe ser el ángulo entre ellos? a) 1,15o b) 1,35o c) 1,55o d) 1,75o e) 1,95o 49. Los vectores A y B tienen iguales magnitudes de 5,00 u. La suma de A y B es el vec tor 6,00 ˆ j. Hallar el ángulo entre los vectores A y B. a) 102,3o b) 104,3o c) 106,3o d) 108,3o e) 110,3o 50. Checho camina 2,5 km hacia el norte y luego 1,5 km en una dirección 30o al este del norte. Jacinta camina directamente entre los mismos puntos inicial y final. ¿Qué distan cia camina Jacinta y en qué dirección? a) 3,07 km; 76,73o b) 3,47 km; 75,73o c) 3,27 km; 79,73o d) 3,67 km; 77,73o e) 3,87 km; 78,73o 51. Una lancha viaja 14 km en dirección 60o al sur del este. Una segunda lancha tiene el mismo desplazamiento, pero viaja al este y luego al sur. ¿Qué distancia viajó la segun da lancha al este? ¿Qué distancia lo hizo al sur? a) 7,4 km; 12,9 km b) 7,2 km; 12,3 km c) 7,6 km; 12,5 km d) 7,8 km; 12,7 km e) 7,0 km; 12,1 km 52. La resultante de dos vectores de desplazamiento tiene una magnitud de 5,0 m y una dirección norte. Uno de los vectores de desplazamiento tiene magnitud de 2,2 m y una dirección de 35o al este del norte. ¿Cuál es el otro vector desplazamiento? 0 y x A B 0 x y Tx Ty 11

Análisis Vectorial 44 a) 1,26ˆ i +3,20ˆ j b) -1,26ˆ
i +3,20ˆ j c) 1,26ˆ i -3,20ˆ j d) -1,26ˆ i -3,20ˆ j e) 1,46ˆ i +3,60ˆ j 53. Tanto Singapur como Quito están (aproximadamente) sobre el ecuador de la Tierra. La longitud de Singapur es 104o este y la de Quito es 78o oeste. I) ¿Cuál es la magnitud del vector de desplazamiento (en metros) entre estas ciudades? a) 12 702 km b) 12 722 km c) 12 742 km d) 12 762 km e) 12 782 km II) ¿Cuál es la distancia entre ellas medida a lo largo del ecuador? a) 19 713 km b) 19 733 km c) 19 753 km d) 19 773 km e) 19 793 km 54. El operador de radar de un barco guardacostas estacionario observa que a las 10h 30m hay un barco no identificado a una distancia de 9,5 km con un rumbo de 60o al este de norte, y a las 11h 10m el barco no identificado está a una distancia de 4,2 km en un rumbo de 33o al este del norte. Medido desde su posición a las 10h 10m. I) ¿Cuál es el vector de desplazamiento del barco no identificado a las 11h 10m? a) 6,07 km; 78,3o S-O b) 6,07 km; 78,3o O-S c) 6,27 km; 76,3o S-O d) 6,27 km; 76,3o O-S e) 6,47 km; 72,3o S-O II) Suponiendo que el barco no identificado continúan en el mismo curso a la misma velo cidad ¿Cuál será su vector de desplazamiento a las 11h 30m. a) 9,10 km; 78,3o S-O b) 9,10 km; 78,3o O-S c) 9,30 km; 76,3o S-O d) 9,30 km; 76,3o O-S e) 9,60 km; 72,3o S-O III) ¿Cuál será su distancia y su rumbo desde el barco? a) 3,0 km; 12,3o N-O b) 3,0 km; 12,3o O-N c) 3,2 km; 14,3o S-O d) 3,2 km; 14,3o O-S e) 3,4 km; 16,3o S-O 55. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 12,0 km en la dirección de 40o al oeste del norte. Hallar las componentes norte y sur de este vector. a) 9,19 km; 7,71 km b) 9,59 km; 7,11 km c) 9,39 km; 7,91 km d) 9,99 km; 7,51 km e) 9,79 km; 7,31 km 56. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 4,0 m y una dirección vertical hacia a bajo. ¿Cuál es la componente de este vector a lo largo de una línea con pendiente ascen dente de 25o? a) -1,3ˆ i (m) b) 1,3ˆ i (m) c) -1,5ˆ i (m) d) 1,5ˆ i (m) e) -1,7ˆ i (m) 57. Considere dos desplazamientos, la primera de magnitud 3 m y la segunda de magnitud 4 m. Muestre como pueden combinarse estos vectores de desplazamiento para obtener 12

Robótica y Cibernética 45 un desplazamiento resultante de magnitud I)
7 m, II) 1 m, III) 5 m. 58. ¿Cuáles son las propiedades de dos vectores a y b tales que: I) a b c   y a+b=c; II) a b a b    ; III) a b c   y a2+b2=c2? 59. Sonia camina 250 m en dirección 35o NE, y luego 170 m hacia el este. I) Usando métodos gráficos, halle su desplazamiento final a partir del punto de partida. II) Compare la magnitud de su desplazamiento con la distancia recorrida. 60. Una persona camina con el siguiente esquema: 3,1 km norte, luego 2,4 km oeste, y fi nalmente 5,2 km sur. I) Construya el diagrama vectorial que representa a este desplazamiento. II) ¿Qué tan lejos y en qué dirección volaría un pájaro en línea recta para llegar al mismo punto final? a) 3,19 m; 41,19o O-S b) 3,19 m; 41,19o S-O c) 3,39 m; 43,19o O-S d) 3,39 m; 43,19o S-O e) 3,59 m; 45,19o O-S 61. Se suman dos vectores a y b . Muestre gráficamente con diagramas vectoriales que la magnitud de la resultante no puede ser mayor que a+b ni menor que Ia-bI, donde las ba rras verticales significan un valor absoluto. 62. Un automóvil recorre hacia el este una distancia de 54 km, luego al norte 32 km y lue go en dirección 28o NE durante 27 km. Dibuje el diagrama vectorial y determine el vec tor desplazamiento total del automóvil desde el punto de partida. a) 80,2 km; 13,94o N-E b) 80,2 km; 13,94o E-N c) 81,2 km; 11,94o N-E d) 81,2 km; 11,94o E-N e) 83,2 km; 14,94o N-E 63. El vector a tiene una magnitud de 5,2 u y está dirigido hacia el este. El vector b tiene una magnitud de 4,3 u y está dirigido 35o NO. Construyendo los diagramas vectoriales, halle las magnitudes y direcciones de I) a b  , y II) a b  . I) Hallar la magnitud y dirección del vector a b  . a) 4,25 u; 50,2o E-N b) 4,25 u; 50,2o N-E c) 4,45 u; 52,2o E-N d) 4,45 u; 52,2o N-E e) 4,65 u; 54,2o E-N II) Hallar la magnitud y dirección del vector a b  . a) 8,24 u; 22,65o S-E b) 8,24 u; 22,65o E-S c) 8,44 u; 24,65o S-E d) 8,44 u; 24,65o E-S e) 8,64 u; 64,65o S-E 64. Un golfista ejecuta tres golpes para meter la bola en el hoyo cuando 3,6 m N, el segun do 1,8 m SE, y el tercero 0,9 m SO. ¿Qué desplazamiento se necesitaría para meter la bola en el hoyo al primer golpe? Trace el diagrama vectorial. 13

Análisis Vectorial 46 a) 2,15 m; 72,66o E-N b) 2,15
m; 72,66o N-E c) 2,35 m; 74,66o E-N d) 2,35 m; 74,66o N-E e) 2,55 m; 76,66o E-N 65. I) ¿Cuáles son las componentes de un vector A en el plano xy si su dirección es 252o a antihorario del eje-x positivo y su magnitud es de 7,34 u? a) 2,27 u; 6,98 u b) -2,27 u; 6,98 u c) 2,27 u; -6,98 u d) -2,27 u; -6,98 u e) 2,47 u; 6,78 u II) La componente x de cierto vector es de -25 u y la componente y es de +43 u. ¿Cuál es la magnitud del vector y el ángulo entre su dirección y el eje x positivo? a) 49,14 m; 120,77o b) 49,74 m; 120,17o c) 49,54 m; 120,37o d) 49,34 m; 120,97o e) 49,94 m; 120,57o 66. En la Fig09, la pieza pesada se arrastra hacia arriba d=13 m sobre el plano inclinado =22o, respecto de la horizontal. I) ¿A qué altura de su posición inicial es levantada? a) 4,07 m b) 4,27 m c) 4,47 m d) 4,67 m e) 4,87 m II) ¿A qué distancia se movió horizontalmente? a) 12,05 m b) 12,25 m c) 12,45 m d) 12,65 m e) 12,85 m 67. En la Fig10, la manecilla minutera de un reloj tiene una longitud de 11,3 cm del eje a la punta. I) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, desde un cuarto de hora hasta la media hora? a) 15,18 cm; 45o O-S b) 15,18 cm; 45o S-O c) 15,58 cm; 45o O-S d) 15,58 cm; 45o S-O e) 15,98 cm; 45o O-S II) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente media hora? a) 22,6 cm; 180o x+ b) 22,6 cm; 180o x- c) 24,6 cm; 180o x+ d) 24,6 cm; 180o x- e) 26,6 cm; 180o x+ III) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente hora? a) 0 cm; 0o x+ b) 0 cm; 0o x- c) 2 cm; 0o x+ d) 2 cm; 0o x- e) 4 cm; 0o x+ 68. Una persona desea llegar a un punto que está a 3,42 km de su ubicación actual y en u na dirección de 35,0o NE. Sin embargo, debe caminar a lo largo de calles que van ya sea de norte a sur o de este a oeste. ¿Cuál es la distancia mínima que podría caminar pa ra llegar a su destino? a) 4,16 km b) 4,36 km c) 4,56 km d) 4,76 km e) 4,96 km 14

Robótica y Cibernética 47 Fig09 Fig10 69. Un barco se
dispone a zarpar hacia un punto situado a 124 km al norte. Una tormenta i nesperada empuja al barco hasta un punto a 72,6 km al norte y 31,4 km al este de su punto de partida. ¿Qué distancia, y en qué dirección, debe ahora navegar para llegar a su destino original? a) 60,23 km; 31,42o N-O b) 60,23 km; 31,42o O-N c) 62,23 km; 33,42o N-O d) 62,23 km; 33,42o O-N e) 64,23 km; 35,42o N-O 70. En la Fig11, las fallas de las rocas son roturas a lo largo de las cuales se han movido las caras opuestas de la masa rocosa, paralelas a la superficie de fractura. Este movimi ento está a menudo acompañado de terremotos. En la Figura los puntos A y B coinci dian antes de la falla. La componente del desplazamiento neto AB paralela a una línea horizontal en la superficie de la falla se llama salto de la dislocación (AC). La compo nente del desplazamiento neto a lo largo de la línea con mayor pendiente del plano de la falla es la brecha de la dislocación (AD). I) ¿Cuál es la desviación neta si el salto de la dislocación es de 22 m y la brecha de la dis locación es de 17 m? a) 25 m b) 26 m c) 27 m d) 28 m e) 29 m II) Si el plano de la falla está inclinado a 52o de la horizontal, ¿Cuál es el desplazamiento vertical neto de B como resultado de la falla en I)? a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m Fig11 Fig12 A C B D 52o R R P P   En t1 En t2 g 13m 22o v  15

Análisis Vectorial 48 71. En la Fig12, una rueda de
radio R=45 cm gira sin arrastre a lo largo de un piso hori zontal, P es un punto pintado sobre la llanta de la rueda. En el instante t1 , P está en el punto de contacto entre la rueda y el piso. En el instante t2 posterior, la rueda ha roda do a la mitad de una vuelta. ¿Cuál es el desplazamiento de P durante el intervalo de tiempo t2 -t1 . a) 1,61 m; 31o E-N b) 1,51 m; 37o N-E c) 1,41 m; 32o N-S d) 1,87 m; 37o N-S e) 1,67 m; 33o E-N 72. Una habitación tienen las dimensiones de 3 m x 3,6 m x 4,2 m. Una mosca que sale de una esquina termina su vuelo en la esquina diametralmente superior opuesta. I) Hallar el vector de desplazamiento (en metros) en un marco con los ejes de coordena das paralelos a las aristas de la habitación. a) 3,0ˆ i +3,6ˆ j+4,2 ˆ k b) 3,2ˆ i +3,8ˆ j+4,0 ˆ k c) 3,8ˆ i +3,2ˆ j+4,6 ˆ k d) 3,6ˆ i +3,0ˆ j+4,4 ˆ k e) 3,0ˆ i +3,4ˆ j+4,8 ˆ k II) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento? a) 6,09 m b) 6,29 m c) 6,49 m d) 6,69 m e) 6,89 m III) ¿Podría la longitud de la trayectoria recorrida por la mosca ser menor que esta distan cia?¿Mayor que esta distancia?¿Igual a esta distancia? IV) Si la mosca caminara en lugar de volar, ¿Cuál sería la longitud de la trayectoria más corta que puede recorrer? a) 7,02 m b) 7,22 m c) 7,42 m d) 7,62 m e) 7,82 m 73. Dados los vectores ˆ ˆ a 4i 3j   y ˆ ˆ b 6i 8 j   . I) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a . a) 3,0; 353o b) 3,5; 313o c) 4,0; 343o d) 4,5; 333o e) 5,0; 323o II) Hallar la magnitud y dirección con el eje +x del vector b . a) 7,0; 35,9o b) 6,0; 38,9o c) 9,0; 37,9o d) 8,0; 39,9o e) 10,0; 36,9o III) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a b  . a) 7,2; 25,6o b) 10,2; 27,6o c) 9,2; 28,6o d) 8,2; 29,6o e) 11,2; 26,6o IV) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector b a  . a) 7,2; 75,7o b) 10,2; 76,7o c) 9,2; 78,7o d) 8,2; 77,7o e) 11,2; 79,7o V) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a b  . a) 7,2; 262o b) 10,2; 266o c) 9,2; 264o d) 8,2; 268o e) 11,2; 260o 16

Robótica y Cibernética 49 74. Un hombre sale de la
puerta frontal, camina 1 400 m E, 2 100 m N, y luego saca una moneda de su bolsillo y lo suelta desde un acantilado de 48 m de altura. En un sistema de coordenadas en el cual los ejes x, y y z positivos apunten al este, al norte, y hacia a rriba, estando el origen en la ubicación de la moneda según el hombre sale de su puerta frontal. I) Escriba una expresión, usando vectores unitarios, para el desplazamiento (en metros) de la moneda. a) -44 ˆ k b) +44 ˆ k c) -42 ˆ k d) +42 ˆ k e) -48 ˆ k II) El hombre regresa a su puerta frontal, siguiendo una trayectoria diferente en el viaje de regreso. ¿Cuál es su desplazamiento (en metros) resultante para el viaje completo? a) 0 ˆ k b) 1 ˆ k c) 2 ˆ k d) 3 ˆ k e) 4 ˆ k 75. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4,13 m SO, 5,26 m E, y 5,94 m en una dirección de 64,0o NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte. I) Halle las componentes de cada desplazamiento. II) Halle las componentes del desplazamiento resultante. III) Halle la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante. IV) Halle el desplazamiento que se requeriría para traer de nuevo a la partícula hasta el pun to de partida. 76. En la Fig13, dos vectores a y b tienen magnitudes iguales a 12,7 u. Están orientados como se muestra en la Figura, y su vector suma es r . I) Halle las componentes x e y del vector r . a) 2,54ˆ i +15,29ˆ j b) 2,14ˆ i +15,19ˆ j c) 2,34ˆ i +15,39ˆ j d) 2,24ˆ i +15,39ˆ j e) 2,44ˆ i +15,59ˆ j II) Halle la magnitud del vector r . a) 15,1 b) 15,3 c) 15,5 d) 15,7 e) 15,9 III) Halle el ángulo que forma el vector r con ele eje +x. a) 80,6o b) 81,6o c) 82,6o d) 83,6o e) 84,6o 77. En la Fig14, una estación de radar detecta a un cohete que se aproxima desde el este. En el primer contacto, la distancia al cohete es de 3 600 m a 40,0o sobre el horizonte. El cohete es rastreado durante otros 123o en el plano este-oeste, siendo la distancia del contacto final de 7 740 m. Halle el desplazamiento (en metros) del cohete durante el pe riodo de contacto del radar. a) -10159,55ˆ i -51,08ˆ j b) -10259,55ˆ i -52,08ˆ j c) -10359,55ˆ i -53,08ˆ j d) -10459,55ˆ i -56,08ˆ j e) -10559,55ˆ i -55,08ˆ j 17

Análisis Vectorial 50 Fig13 Fig14 78. Dos vectores de magnitudes
"a" y "b" forman un ángulo "" entre si cuando son situa dos cola con cola. Pruebe, tomando componentes a lo largo de dos ejes perpendicula res, que la magnitud de su suma es r=[a2+b2+2abcos]1/2. 79. Pruebe que dos vectores deben tener magnitudes iguales si su suma es perpendicular a su diferencia. 80. I) Usando vectores unitarios a lo largo de tres aristas de un cubo, expresé las diago nales (las líneas de una esquina a otra a través del centro del cubo) de un cubo en tér minos de sus aristas, las cuales tienen longitud "a". II) Determine los ángulos formados por las diagonales con las aristas adyacentes. III) Determine la longitud de las diagonales. 81. Un cohete enciende dos motores simultáneamente. Uno produce un empuje de 725 N directamente hacia delante; en tanto el otro da un empuje de 513 N 32,4o arriba de la dirección hacia delante. Hallar la magnitud y la dirección (relativa a la dirección hacia delante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete. a) 1190 N; 13,4o b) 1150 N; 11,4o c) 1170 N; 15,4o d) 1180 N; 12,4o e) 1160 N; 14,4o 82. En la Fig15, para los vectores mostrados A y B de magnitudes A=8,0 m y B=15,0 m, =30o, use el método de componentes para obtener la magnitud y la dirección. I) De la resultante de la suma vectorial A +B. a) -0,5ˆ i +12,9ˆ j b) 0,5ˆ i -12,9ˆ j c) +0,5ˆ i +12,9ˆ j d) -0,5ˆ i -12,9ˆ j e) -0,3ˆ i +10,9ˆ j II) De la resultante de la suma vectorial B+A . a) -0,5ˆ i +12,9ˆ j b) 0,5ˆ i -12,9ˆ j c) +0,5ˆ i +12,9ˆ j d) -0,5ˆ i -12,9ˆ j e) -0,3ˆ i +10,9ˆ j b a 105o 28,2o y x 0 O E 40o 123o 3600m 7740m 18

Robótica y Cibernética 51 III) De la resultante de la
diferencia vectorial A -B. a) -15,5ˆ i +12,9ˆ j b) 15,5ˆ i -12,9ˆ j c) +15,5ˆ i +12,9ˆ j d) -15,5ˆ i -12,9ˆ j e) -13,3ˆ i +10,9ˆ j IV) De la resultante de la diferencia vectorial B-A . a) -15,5ˆ i +12,9ˆ j b) 15,5ˆ i -12,9ˆ j c) +15,5ˆ i +12,9ˆ j d) -15,5ˆ i -12,9ˆ j e) -13,3ˆ i +10,9ˆ j 83. En la Fig16, escriba cada uno de los vectores mostrados, en términos de vectores unitarios ˆ i y ˆ j, si A=3,60 m, B=2,4 m, =20o, y =30o. II) Utilice vectores unitarios para expresar el vector C 3,00A 4,00B   . III) Hallar la magnitud y dirección del vector C . Fig15 Fig16 84. I) ¿El vector (ˆ ˆ ˆ i j k   ) es unitario? Justifique su respuesta. II) Un vector unitario puede tener una componente con magnitud mayor a la unidad? ¿Pue de tener alguna componente negativa? En cada caso, justifique su respuesta. III) Si el vector ˆ ˆ A a(3,0i 4,0 j)   , donde "a" es una constante, hallar el valor de "a" que convierte a A en un vector unitario. Fig17 Fig18 a a a b c d e A B C E D 0 a b c d e 530 A B  y x 0 A B    y x 0 19

Análisis Vectorial 52 85. En la Fig17, hallar el módulo
de la resultante de los vectores mostrados, si c =3/5 u. a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u 86. En la Fig18, en la circunferencia de radio R=1 u, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u 87. En la Fig19, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a 4u  , c 8u  , b 8u  y b 4u  . a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u 88. En la Fig20, en el triángulo equilátero, expresar x en función de a y b . a) 2b a 4  b) 2b a 4  c) 2b a 2  d) 2b a 4  e) b 2a 4  Fig19 Fig20 89. En la Fig21, en la circunferencia de radio 7 u , hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a) 3 u b) 5 u c) 7 u d) 9 u e) 11 u 90. En la Fig22, en el triángulo equilátero de lado a=2 u, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u Fig21 Fig22 a c b 600 A B C a b x d M N a b c d 0 600 e A B C 0 20

Robótica y Cibernética 53 91. En la Fig23, en el
tetraedro de lado a= 6 u. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u 92. En la Fig24, en el tetraedro de lado a= 10 /2u. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a) 1 u b) 3 u c) 5 u d) 7 u e) 9 u 93. En la Fig25, hallar el módulo de la resultante de los vectores contenidos en los cuadra dos de lados 5 u, y que son perpendiculares entre sí. a) 1 u b) 3 u c) 5 u d) 7 u e) 9 u Fig23 Fig24 94. En la Fig26, en el rectángulo de lados 6 u y 8 u, M es punto medio de la diagonal, hallar x en función de a y b . a) 0,28 b 0,50 a  b)1,3b 0,5a  c) 0,5b 1,3a  d) 10,5b 1,3a  e) 1,2b 0,6a  Fig25 Fig26 95. En la Fig27, en la semicircunferencia de radio 4 u, los puntos ABCD dividen en par tes iguales a la semicircunferencia. Hallar x en función de a y b . a) 4a 3b 6  b) 4a 3b 6  c) 3a 4b 6  d) 3a 4b 6  e) 6a 3b 6  A B C D B D C A a b x A B C D M 21

Análisis Vectorial 54 Fig27 Fig28 96. En la Fig28, el
tronco de cono regular de arista a= 3 /2 u tiene bases cuadradas cuya diferencia de sus lados es 6 /4 u. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u 97. En la Fig29, en el triángulo equilátero ABC de lado 4 u y baricentro O, hallar el módu lo de la resultante de los vectores mostrados. a) 0 u b) 1 u c) 2 u d) 3 u e) 4 u 98. En un triángulo ABC el vector AB m  y el vector AC n  . Construir los siguientes vectores. I) m n 2  II) m n 2  III) n m 2  99. Tomando como base los vectores AB b  y AC c  que coinciden con los lados del triángulo ABC, determinar la descomposición de los vectores que coinciden con sus medianas si éstos están aplicados en los vértices del triángulo. Fig29 Fig30 100. En la Fig30, en el paralelepípedo ABCDA'B'C'D' se dan los vectores que coinciden con sus aristas: AB m , AD n y AA' p    . Construir los vectores siguientes: D' C' A' B' D A B C m n p    A B C D x a b 0  A B C D F G H E 0 A B C  22

Robótica y Cibernética 55 I) m n p  
II) 1 m n p 2   III) 1 1 m n p 2 2   IV) m n p   V) 1 m n p 2   101. En la Fig31, en el hexágono regular de lado 5 cm, hallar el módulo del vector resultan te. a) 30 u b) 35 u c) 40 u d) 45 u e) 50 u 102. En la Fig32, en el hexágono regular, expresar x en función de a y b . a) a b 2  b) a b 2  c) a b 4  d) a b 4  e) b a 4  103. En la Fig33, hallar el módulo de la resultante de los infinitos vectores. Si AB = 1 u y BC= 3 u. a) 6,0 u b) 6,2 u c) 6,4 u d) 6,6 u e) 6,8 u Fig31 Fig32 104. En la Fig34, en el cuadrado M y N son puntos medios., hallar x en función de a y b . a) a b 2  b) a b 2  c) a b 4  d) a b 4  e) b a 2  Fig33 Fig34 b x A D F E 0 B C a b x A D F E 0 B C A1 A2 A3 B1 B2 B3 B A C 600  N M a A C D B x b 23

Análisis Vectorial 56 105. Probar que la suma de vectores
posee la propiedad conmutativa; esto es: a b b a    . 106. Un avión se mueve con velocidad de 250 km/h en dirección 37o de norte a oeste res pecto de la Tierra, en presencia de un viento que se desplaza con velocidad de 50 km/h en dirección este a oeste, respecto a Tierra. Hallar el ángulo de desviación que experi menta la velocidad del avión. a) 7,21 b) 7,51o c) 7,81o d) 8,11o e) 8,41o 107. Probar que la suma de vectores posee la propiedad asociativa: a (b c)    (a b)  +c . 108. Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores 1 r = ˆ ˆ ˆ 2i 4 j 5k   y 2 ˆ ˆ ˆ r i 2j 3k    . 109. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. 110. Determinar los ángulos ,  y  que el vector de posición ˆ ˆ ˆ r xi y j zk    forma con los ejes de coordenadas x, y z positivos, además probar que cos2+cos2+cos2=1. 111. Dados los vectores 1 ˆ ˆ ˆ r 2i j k    , 2 ˆ ˆ ˆ r i 3j 2k    , 3 ˆ ˆ ˆ r 2i j 3k     y 4 ˆ ˆ r 3i 2 j    ˆ 5k . Hallar S=(a2+b2+c2)1/2, donde a, b y c satisfacen la ecuación, 4 1 2 3 r a r br cr    . a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94 112. Sean a y b son dos vectores de distinta dirección con A (x 4y)a (2x y 1)b      y B  (y 2x 2)a (2x 3y 1)b      . Si se cumple la relación, 3A 2B  , hallar P=x.y. a) 1,5 b) -1,5 c) 2 d) -2 e) 3 113. Sobre un punto P de un sólido actúan las fuerzas 1 ˆ ˆ ˆ F 2i 3j 5k    , 2 ˆ ˆ ˆ F 5i j 3k     , 3 ˆ ˆ ˆ F i 2 j 4k    medidos en newtons. I) Hallar la fuerza resultante sobre el sólido. II) Hallar la magnitud de la fuerza resultante. 114. Hallar el ángulo agudo entre las diagonales de un cuadrilátero de vértices (0, 0), (3, 2), (4, 6) y (1, 3). a) 82o 41' 30" b) 82o 45' 30" c) 82o 49' 30" d) 82o 53' 30" e) 82o 57' 30" 115. Hallar un vector b de magnitud 2 u, y que tenga la misma dirección que el vector ˆ ˆ ˆ a (3i 6 j 2k)    (u). 116. Hallar el producto escalar o punto de los vectores ˆ ˆ ˆ a 5i 2 j k    y ˆ ˆ b 2i k   . a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 24

Robótica y Cibernética 57 117. Dados los vectores ˆ ˆ
ˆ a 2i j 2k     , y ˆ ˆ ˆ b 3i 6 j 2k    . I) Hallar la razón de las magnitudes de los vectores a y b . a) 0,33 b) 0,43 c) 0,53 d) 0,63 e) 0,73 II) Hallar el ángulo entre los vectores a y b . a) 110o 23' 34" b) 110o 23' 34" c) 110o 23' 34" d) 110o 23' 34" e) 110o 23' 34" 118. Dados los vectores ˆ ˆ ˆ a 4i 3j 2k    y ˆ ˆ ˆ b i 2j k     . Hallar la razón r= axb / a b . a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94 119. El producto punto de dos vectores a y b , y la magnitud de su producto vectorial son iguales. Hallar el ángulo entre los vectores a y b . a) 30o b) 37o c) 45o d) 53o e) 60o 120. El vector desplazamiento a tiene una longitud de 50 m y una dirección 30o al este del norte; el vector de desplazamiento b tiene una longitud de 35 m y una dirección 70o al oeste del norte. I) Hallar la magnitud y dirección del producto vectorial a xb. II) Hallar la magnitud y dirección del producto vectorial bxa . 121. Hallar el producto vectorial o cruz de los vectores ˆ ˆ ˆ a 2i 5 j 3k    y ˆ ˆ b i 2k   . 122. Suponga que, ˆ ˆ a cos ti sen t j     , donde "" es una constante. Hallar da /dt, y pro bar que da /dt es perpendicular al vector a . 123. El vector de desplazamiento a tiene una magnitud de 30 m y una dirección de 20o al sur del este . El vector de desplazamiento b tiene una magnitud de 40 m y una direc ción 20o al oeste del norte. Hallar la componente de a a lo largo de b . a) 19,08 b) -19,08 c) 19,28 d) -19,28 e) 19,48 124. El producto vectorial de ˆ ˆ ˆ A 5,0i 2,0 j 3,0k    y x z ˆ ˆ ˆ B B i 3,0 j B k    es igual al vec tor z ˆ ˆ C 2,0 j C k   . Hallar la expresión, E=Bx .Cz /Bz . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 125. I) Los vectores a y b están sobre el plano-xy. Demostrar que la tangente del ángulo "" entre estos vectores, está dada por: tg=(ax by -ay bx )/(ax bx +ay by ). II) Evaluar la expresión para tg , cuando ˆ ˆ a 4i 3j   y ˆ ˆ b 3i 4 j   . 25

Análisis Vectorial 58 a) 16,06o b) 16,26o c) 16,46o d)
16,66o e) 16,86o 126. Hallar un vector unitario que bisecte el ángulo entre los vectores ˆ ˆ a j 2k   y b  ˆ ˆ ˆ 3i j k   a) ˆ ˆ ˆ 0,97i 0,16 j 0,22k   b) ˆ ˆ ˆ 0,91i 0,18 j 0,26k   c) ˆ ˆ ˆ 0,99i 0,10 j 0,24k   d) ˆ ˆ ˆ 0,93i 0,12 j 0,28k   e) ˆ ˆ ˆ 0,95i 0,14 j 0,20k   127. Hallar el ángulo entre la diagonal principal de un cubo de lados "a", y la diagonal de una cara adyacente. a) 35o 15' 12" b) 35o 15' 32" c) 35o 15' 52" d) 35o 15' 72" e) 35o 15' 92" 128. El producto escalar de dos vectores a y b de magnitudes a=4 u y b=6 u es cero. Hallar la magnitud del producto vectorial de a y b . a) 20 u2 b) 22 u2 c) 24 u2 d) 26 u2 e) 28 u2 129. Dados los vectores ˆ ˆ ˆ a 2i 3j 2k    y ˆ ˆ b 3i 4k    . Hallar la expresión E=(cx .cz )/cy , donde cx , cy , cz son las magnitudes de las componentes de c a xb  . a) 7,1 b) 7,3 c) 7,5 d) 7,7 e) 7,9 130. Dados los vectores ˆ ˆ ˆ a (3i 2 j 2k)u    , ˆ b 4k u  , y ˆ ˆ c (2i 3j) u   . Hallar las expre siónes siguientes: I) a (b c)  , II) a x(b c)  , III) a (bxc), IV) a (bxc). 131. Hallar un vector perpendicular tanto a ˆ ˆ a 4i 3j   como a ˆ ˆ ˆ b i 3j 2k     . 132. Demuestre la relación vectorial: a x(bxc) b(a c) c(a b)   . 133. Las expresiones de cuatro vectores que van del origen de coordenadas a los puntos A, B, C y D, son: ˆ ˆ ˆ a i j k    , ˆ ˆ b 2i 3j   , ˆ ˆ ˆ c 3i 5 j 2k    y ˆ ˆ d k j   . Probar que el vector AB es paralelo al vector CD. 134. Demostrar vectorialmente que la suma de los cuadrados de las diagonales de un parale logramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados. 135. Hallar el área del triángulo de vértices A=(1, 1, 3), B=(2,-1, 5) y C=(-3, 3, 1). a) 4,04 u2 b) 4,24 u2 c) 4,44 u2 d) 4,64 u2 e) 4,84 u2 136. Dados los vectores a y b , probar que, se cumple: a b a b  y a b a b    . 137. Exprese el vector ˆ ˆ ˆ a i 2 j 3k    como una combinación lineal de ˆ ˆ b i k   , ˆ ˆ c i j   , 26

Robótica y Cibernética 59 y ˆ ˆ ˆ d j
k   . a) b 2d  b) 2b d  c) b 2c  d) c d  e) 2c d  138. Dados los vectores ˆ ˆ ˆ a i 2 j 3k    , ˆ ˆ ˆ b 2i 2 j k    y ˆ ˆ c 2i j 4k    , hallar la expre sión: E=(dx .dy .dz )/(ex .ey .ez ) donde dx , dy , dz , ex , ey , ez son las magnitudes de las compo nentes de los productos d a xb  y e bxc  , respectivamente. a) 4,40 b) 4,44 c) 4,48 d) 4,52 e) 4,56 139. Dados los vectores ˆ ˆ ˆ a i 2 j 3k    , ˆ ˆ ˆ b 2i 2 j k    y ˆ ˆ c 2i j 4k    , hallar el ángulo entre los vectores d a xb  y e bxc  . a) o 140 34'14" b) o 142 34'14" c) o 144 34'14" d) o 146 34'14" e) o 148 34'14" 140. Hallar el volumen del paralelepípedo conformado por los vectores ˆ ˆ ˆ a (i 2 j 3k)m    , ˆ ˆ ˆ b ( 3i j 4k)m     , y ˆ ˆ ˆ c (i 2j k) m    . a) 12 m3 b) 14 m3 c) 16 m3 d) 18 m3 e) 20 m3 141. Dados los vectores ˆ ˆ a 2i k j   y ˆ ˆ b 3i 2 j   , hallar la expresión E=kII k , donde kII y k , son el k para el cual a b, y a b  , respectivamente. a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e) 6 142. En la Fig35, demuestre que a (bxc) es igual en magnitud al volumen del paralelepí pedo formado sobre los tres vectores a , b y c . 143. En la Fig36, los tres vectores mostrados tienen magnitudes a=3, b=4 y c=10. I) Calcule las componentes x e y de estos vectores. II) Hallar los números "p" y "q" tal que c pa qb   . Fig35 Fig36 a c b 30o x y 0 i j a b c 27

Análisis Vectorial 60 144. En la Fig37, un vector a
de magnitud 17 m está dirigido 56o en sentido antihorario del eje +x. I) ¿Cuáles son las componentes ax y ay de este vector? II) Un segundo sistema de coordenadas está inclinada 18o con respecto al primero. ¿Cuá les son las componentes x a' y y a' en este sistema primado de coordenadas? III) Hallar el valor de la expresión, E= x y x y (a' a' ) / (a a ) 145. En la Fig38, se muestra dos vectores a y b y dos sistemas de coordenadas que difie ren en que los ejes x y x' y los ejes y y y' forman cada uno un ángulo "" con el otro. Pruebe analíticamente que a b  tiene la misma magnitud y dirección sin importar que sistema se haya usado para llevar a cabo el análisis. Fig37 Fig38 146. Dado un vector ˆ ˆ ˆ a i 2 j 2k     en coordenadas cartesianas. I) Hallar la magnitud del vector a . a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 II) Hallar el vector unitario a ˆ u en la dirección del vector a . a) -(1/3)ˆ i +(2/3)ˆ j-(2/3) ˆ k b) -(1/3)ˆ i +(2/3)ˆ j+(2/3) ˆ k c) -(1/3)ˆ i -(2/3)ˆ j-(2/3) ˆ k d) +(1/3)ˆ i +(2/3)ˆ j-(2/3) ˆ k e) +(1/3)ˆ i +(2/3)ˆ j-(2/3) ˆ k III) Hallar el ángulo que forma el vector a con el eje z positivo. a) 131,8o b) 133,8o c) 135,8o d) 137,8o e) 139,8o 147. Dados los vectores ˆ ˆ ˆ a 5i 2 j k    y ˆ ˆ b 3i 4k    en coordenadas cartesianas. I) Hallar el producto escalar de a por b . a) +11 b) -11 c) +13 d) -13 e) +15 II) Hallar el producto vectorial de a por b . 0 ax ay a'y a'x x x' y' y a=17m 56o 18o 18o 0 x x' y' y a  b v  28

Robótica y Cibernética 61 a) ˆ ˆ ˆ 8i 23j
6k    b) ˆ ˆ ˆ 8i 23j 6k    c) ˆ ˆ ˆ 8i 23j 6k    d) ˆ ˆ ˆ 8i 23j 6k    e) ˆ ˆ ˆ 8i 23j 6k    III) Hallar el ángulo entre los vectores a y b . a) 111,7o b) 113,7o c) 115,7o d) 117,7o e) 119,7o 148. I) Escriba la expresión del vector que va desde el punto P1 (1, 3, 2) hasta el punto P2 (3,-2, 4) en coordenadas cartesianas. a) ˆ ˆ ˆ 2i 5j 2k   b) ˆ ˆ ˆ 2i 5j 2k   c) ˆ ˆ ˆ 2i 5j 2k    d) ˆ ˆ ˆ 2i 5j 2k   e) ˆ ˆ ˆ 2i 5j 2k   II) Hallar la longitud del segmento de línea 1 2 P P . a) 5,14 b) 5,34 c) 5,54 d) 5,74 e) 5,94 III) Hallar la distancia perpendicular desde el origen hasta esta línea. a) 3,00 b) 3,20 c) 3,40 d) 3,60 e) 3,80 149. Dado el vector ˆ ˆ ˆ b 2i 6 j 3k    en coordenadas cartesianas. I) Hallar la magnitud del vector b . a) 5,0 b) 5,5 c) 6,0 d) 6,5 e) 7,0 II) Hallar la expresión del vector unitario b ˆ u . III) Hallar los ángulos que forma el vector b con los ejes x, y, z, respectivamente, y cal cular la suma de los cuadrados de las tangentes de estos ángulos. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 150. Asumiendo que existe un campo vectorial en el espacio 3, dado por: ˆ A (3cos )r   - ˆ ˆ 2r zk    . I) ¿Cuál es el campo vectorial en el punto P(4, 60o, 5)? II) Exprese el campo A en coordenadas cartesianas. III) Determine la ubicación del punto P en coordenadas cartesianas. 151. Exprese el vector 0Q desde el origen 0 hasta el punto Q(3, 4, 5) en coordenadas cilín dricas. a) ˆ ˆ 3i 4j  b) ˆ ˆ 4i 3j  c) ˆ ˆ 4i 4k  d) ˆ ˆ 5i 5k  e) ˆ ˆ 5i 5k  152. Hallar la relación de transformación en forma matricial para las componentes de un vector A , expresadas en los sistemas de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 29

Análisis Vectorial 62 153. Las coordenadas cilíndricas de dos puntos
P1 y P2 son: P1 (4, 60o, 1) y P2 (3, 180o,-1). Hallar la distancia entre estos dos puntos. a) 6,0 b) 6,2 c) 6,4 d) 6,6 e) 6,8 154. Exprese el vector unitario ˆ k en términos de los vectores ˆ r y ˆ  del sistema de coorde nadas esférico. a) ˆ ˆ cos r sen    b) ˆ ˆ cos r sen    c) ˆ ˆ sen r cos    d) ˆ ˆ sen r cos    e) ˆ ˆ cos r sen     155. Una nube de electrones que está confinada en una región en forma de cascarón esféri co de radios interno r1 =2 cm y externo r2 =5 cm, tiene una densidad de carga volumé trica homogénea de =(-310-8)cos2/r4 C/m3. Hallar la carga contenida en esta región. a) -1,0 C b) -1,2 C c) -1,4 C d) -1,6 C e) -1,8 C 156. Hallar la fórmula para el área de la superficie de una esfera de radio "R", integrando el área superficial diferencial en coordenadas esféricas. 157. Hallar la relación de transformación en forma matricial para las componentes de un vector A , expresadas en los sistemas de coordenadas cartesianas y esféricas. 158. Las coordenadas cartesianas de un punto son: P(4,-6, 12). Hallar las coordenadas esfé ricas de este punto. a) (12, 33o, 301,7o) b) (11, 32o, 302,7o) c) (14, 31o, 303,7o) d) (15, 30o, 304,7o) e) (13, 34o, 305,7o) 159. En cierta región del espacio 3 el potencial eléctrico está dada por: V=Vo e-xsen(y/4) donde Vo =2 voltios, y x e y están en metros. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P(1, 1, 0) m. a) 0,50 V/m b) 0,54 V/m c) 0,58 V/m d) 0,62 V/m e) 0,66 V/m 160. Dado un campo vectorial ˆ ˆ E rr zk   (V/m) en coordenadas cilíndricas. Hallar el flujo de salida total a través de un cilindro circular de radio R=2 m y h=4 m centrado en el origen. El eje del cilindro es el eje z. a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49 161. En cierta región del espacio 3 existe un campo, dado por: 2 ˆ ˆ ˆ E rr rcos zk     . Ha llar el valor de la expresión P=Ey .Ez /Ex , donde Ex , Ey , Ez son las componentes del cam po en el punto P(4, 60o, 1). a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0 30

Robótica y Cibernética 63 162. Hallar la circulación del campo
ˆ ˆ F xyi 2x j   en sentido antihorario, a lo largo de un cuarto de circunferencia de radio R=3, inscrita en el primer cuadrante, y centro en 0. a) -21,1 b) +21,1 c) -23,1 d) +23,1 e) -25,1 163. Hallar la circulación del campo ˆ ˆ F xyi 2x j   en sentido horario, a lo largo un cuadra do de lados 4 u, con centro en el origen 0, y lados paralelos a los ejes x e y. a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38 164. I) Dado el campo ˆ A (k / r)  en coordenadas cilíndricas con "k" constante. Demos trar que xA  . II) Dado el campo ˆ A f(r)r  en coordenadas esféricas, donde f es función de la distancia radial "r". Demostrar que xA  . 165. Dado un campo ˆ ˆ F xyi 2x j   en una región 3, verifique el teorema de Stokes sobre un cuadrante de círculo de radio R=3, situado en el primer cuadrante, con centro en 0. 166. Hallar la circulación del campo ˆ ˆ F sen r 3cos     en sentido antihorario, a lo largo del cuadrante de circunferencia de radio R=3, inscrita en el primer cuadrante, y centro en el origen 0. a) 4,0 b) 4,5 c) 5,0 d) 5,5 e) 6,0 167. Dado el campo ˆ ˆ F sen r 3cos     en la región 3, hallar la magnitud del rotacional de F en r=0,3, =53o, y verificar el teorema de Stokes, sobre el cuadrante de circunfe rencia de radio R=3, en el primer cuadrante, con centro en el origen 0. a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 168. Dado el campo radial A =kr ˆ r en coordenadas esféricas, determine si el teorema de la divergencia es válido para la capa encerrada por las superficies esféricas r=R1 , y r=R2 (R2 >R1 ) con centro común en el origen. 169. Demostrar la identidad vectorial, xA   , donde A es un campo vectorial en 3. 170. Demostrar la identidad vectorial, xA 0   , donde A r  es el vector de posición. 171. Demostrar la identidad vectorial r r   /r, donde r es el vector de posición. 172. La ecuación A (BxC) B (CxA) C (AxB)   describe los productos escalares triples de tres vectores A , B y C . Hay otro tipo importante de producto de tres vectores: el producto vectorial triple, Ax(BxC) . Demuestre la siguiente relación desarrollando en 31

Análisis Vectorial 64 coordenadas cartesianas: Ax(BxC) B(A C) C(A B)
  . 173. Hallar la componente del vector ˆ ˆ A zi x j   en el punto P1 (-1, 0,-2) que esté dirigida hacia el punto P2 ( 3 , 150o, 1). a) 1,205 b) 1,225 c) 1,245 d) 1,265 e) 1,285 174. Calcule los resultados de los siguientes productos de vectores unitarios. I) ˆ ˆ i  , II) ˆ ˆ r j, III) ˆ ˆ k r , IV) ˆ ˆ xi  , V) ˆ ˆ xr  , VI) ˆ ˆ xk  . 175. Exprese la componente , A de un vector A en (1 , 1 , z1 ). I) En función de Ax y Ay en coordenadas cartesianas. II) En función de Ar y A en coordenadas esféricas. 176. Exprese la componente , E de un vector E en (r1 , 1 , 1 ). I) En función de Ex , Ey y Ez en coordenadas cartesianas. II) En función de Er y Ez en coordenadas esféricas. 177. Dado un campo vectorial ˆ ˆ E yi x j   , calcule la integral E d  desde P1 (2, 1,-1) hasta P2 (8, 2,-1). A lo largo de una línea recta que une los dos puntos. 178. Denote con r el vector de posición de un punto P(x, y, z). Hallar (1/r). I) En coordenadas cartesianas. II) En coordenadas esféricas. 179. Dado el campo escalar V=2xy-yz+xz. I) Hallar el vector que representa la dirección y la magnitud de la razón de incremento máxima de V en el punto P(2,-1, 0). II) Hallar la razón de incremento de V en el punto P en la dirección hacia el punto Q(0, 2, 6). 180. En un sistema de coordenadas curvilínea, la diferenciación de un vector base puede producir un nuevo vector en otra dirección. I) Hallar ˆ r / y  ˆ  / en coordenadas cilíndricas. II) Use los resultados obtenidos en I) para encontrar la fórmula de A  en coordenadas ci líndricas, usando las ecuaciones =( 1 2 3 u 1 1 u 2 2 u 3 3 ˆ ˆ ˆ u / h u u / h u u / h u )         y A = r z ˆ ˆ ˆ A r A A k     . 181. Calcule la divergencia de los siguientes campos radiales: I) f1 (r)=rn ˆ r , I) f2 (r)=(k(r2) ˆ r , donde k es una constante. 182. Dado un campo vectorial ˆ ˆ ˆ F xyi yz j zxk    . I) Hallar el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad en el primer 32

Robótica y Cibernética 65 octante con un vértice en el
origen. II) Hallar F  y verifique el teorema de la divergencia. 183. Para una función vectorial 2 ˆ ˆ A r r 2zk   , verifique el teorema de la divergencia para la región cilíndrica circular encerrada por r=5, z=0 y z=4. 184. Para una función vectorial dada por: ˆ A zk  . I) Hallar A dS  sobre la superficie de una región semiesférica que es la mitad superior de una esfera de radio R=3 centrada en el origen, con la base plana coincidente con el plano xy. II) Hallar la divergencia de A , A  . III) Verifique el teorema de la divergencia. 185. Un campo vectorial A =(cos2)/r3 ˆ r existe en la región comprendida entre dos capas es féricas definidas por R1 =2 y R2 =3. I) Calcule el flujo de A a través de la superficie S, S A dS  . II) Calcule la integral de la divergencia de A en el volumen V, V ( A)dV   . 186. Para una función escalar f y una función vectorial A , demuestre que la identidad A (fA) f A A f     , en coordenadas cartesianas. Fig39 Fig40 187. En la Fig39, suponga un campo vectorial 2 2 2 ˆ ˆ A (2x y )i (xy y ) j     . I) Hallar A d  a lo largo del contorno triangular mostrado en la Figura. II) Hallar (Axd ) dS  sobre el área triangular. III) ¿Puede expresarse A como el gradiente de un escalar? Explique. 188. En la Fig40, suponga una unción vectorial 2 ˆ ˆ F 5rsen r r cos     . x y 0 2 2 y x 0 D A B C R2 R1 33

Análisis Vectorial 66 I) Hallar F d  a lo
largo del contorno ABCDA en la dirección indicada en la Figura. II) Hallar el rotacional de F, esto es xF  . III) Hallar ( xF) dS   sobre el área sombreada y compare el resultado con el que obtuvo en el inciso I). 189. Dada una función vectorial ˆ A 3sen( / 2)    , verifique el teorema de Stokes sobre la superficie de una semiesfera de radio R=4 y su borde circular. 190. Para una función escalar f y una función vectorial A , demuestre que se cumple la identidad: x(f A) f ( xA) ( f)xA      , en coordenadas cartesianas. 191. Dada la función vectorial 1 2 3 4 ˆ ˆ ˆ F (x 3y c z)i (c x 5z) j (2x c y c z)k         . I) Hallar c1 , c2 y c3 , si F es irrotacional. II) Hallar c4 si F también es solenoidal. 192. Un campo eléctrico está dado por: E =25(x i +y j )/(x2+y2) (N/C). (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar en el punto P(3; 4;-2) m, un vector unitario en la dirección del campo E . a) 0,2 i +0,4 j b) 0,6 i +0,8 j c) 0,4 i +0,6 j d) 0,8 i +0,2 j e) 0,3 i +0,4 j II) Hallar el ángulo entre el campo eléctricoE y el eje-x en el punto P(3; 4;-2). a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º III) Hallar en el plano y=7, el valor de la siguiente integral doble: 4 2 0 0 E jdzdx   . a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 193. Dado el vector campo E =4zy2cos(2x) i +2zysen(2x) j +y2sen(2x)k para la región IxI, IyI y IzI es menor que 2, hallar: I) Las superficies en las que Ey =0, II) La región R en las que Ey =Ez , III) La región R en las que E =0. 194. Expresar el vector campo eléctrico uniforme E =5 i (N/C) en, I) Coordenadas cilíndri cas. II) Coordenadas esféricas. 195.Expresar el vector campo eléctrico E =8sen  ˆ  (N/C) en, I) Coordenadas rectangula res, II) Coordenadas cilíndricas. 196.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión vectorial, viene dado por: E =2xz2 i +2z(x2+1)k (N/C) I) Determinar la ecuación de la línea que pasa por el punto P(1; 3;-1) m. a) x2=z2+2ln(z) b) x2=z2-2ln(z) c) z2=x2+2ln(x) d) z2=x2-2ln(x) e) z2=x2-4ln(x) 34

Robótica y Cibernética 67 II) El punto Q(2; z) m
pertenece a una línea de campo, hallar el valor de "z". a) 2,12 m b) 2,32 m c) 2,52 m d) 2,72 m e) 2,92 m 197.En cierta región R del espacio existe un campo eléctrico, dado por la expresión: E = 20e-5y(cos(5x) i -sen(5x) j ). En el punto P(/6; 0,1; 2): I) Hallar el módulo de E . II) Hallar un vector unitario en la dirección de E . III) Hallar la ecuación de la línea de campo que pasa por el punto P. 198.En una región R dada del espacio existe un campo eléctrico, dado por: E =(4x-2y) i - (2x+4y) j (N/C). Hallar la ecuación de las línea de campo que pasa a través del punto P(2; 3;-4) m. a) y2=x2-4xy+19 b) y2=x2+4xy+19 c) y2=x2+4xy-19 d) y2=x2-4xy-19 e) y2=x2-xy+19 199.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x2 i +y2 j (V/m). Hallar la circulación del campo E , a lo largo de la curva C: y=x2 de (0; 0) a (1; 1) m. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,47 V b) 0,57 V c) 0,67 V d) 0,77 V e) 0,87 V 200.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =2xy i +(x2- z2) j -3xz2 k (N/C). Hallar el trabajo que hace el campo al trasladarse una carga unitaria q=1 C de A(0; 0; 0) a B(2; 1; 3) m a lo largo de: I) El segmento (0; 0; 0)(0; 1; 0) (2; 1; 0) (2; 1; 3). a) +50 J b) -50 J c) +70 J d) -70 J e) +90 J II) La línea recta (0; 0; 0) a (2; 1; 3). a) -36,5 J b) +36,5 J c) -39,5 J d) +39,5 J e) -42,5 201.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = (x- y) i +(x2+ zy) j +5yzk (N/C). Hallar el trabajo realizado por el campo, al trasladarse u na carga unitaria q=1 C a lo largo de la trayectorias rectas (1;0;0)  (0;0;0)  (0;0;1)  (0;2;0). a) 1,0 J b) 1,5 J c) 2,0 J d) 2,5 J e) 3,0 J 202.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x2y i -y j (N/C). (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la circulación C E a lo largo de los segmentos rectos (0;0)  (0;1)  (2;0) (0;0) a) 5/6 b) 7/6 c) 3/4 d) 4/5 e) 2/5 35

Análisis Vectorial 68 II) Hallar: S ( xE) dS 
 , siendo "S" el área encerrada por la curva C, del inciso I) a) 2/5 b) 4/5 c) 7/6 d) 5/6 e) 3/4 III) ¿Se cumple el teorema de Stokes? 203.En una región R del espacio libre, existe una densidad de flujo, dado por: D = 2z2 ˆ  +cos2k . En la región definida por: 05 m, -1 m<z<1 m, 0<<2. Calcular el flujo = S D dS  de la densidad D . a) 170 C b) 172 C c) 174 C d) 176 C e) 178 C 204.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coorde nadas cilíndricas es: E =cos /r2 ˆ r +z cos  ˆ  +z ˆ k (N/C). Hallar el flujo del rotacional del campo a través del hemisferio, definido por: r=4 m, z0. 205.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coorde nadas rectangulares es: E = (x2+y2+z2)1/2[(x-y) i +(x+y) j ]/(x2+y2)1/2. Calcular las sigui entes integrales: I) C E = L E d  , donde L es el borde circular del volumen en forma de cono para helados de arista a=2 m, y ángulo de vértice =60º. a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 II) = 1 S ( xE) dS   , donde S1 es la superficie superior del cono compacto. a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 III) = 2 S ( xE) dS   , donde S2 es la superficie lateral del cono compacto. a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e)  206.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por la expresión: E = sen ˆ  +2 ˆ  I) Hallar la circulación del campo C E a lo largo del contorno de la Fig41. a) 10,17 V b) 10,37 V c) 10,57 V d) 10,77 V e) 10,97 V II) Hallar la circulación del campo C E a lo largo del contorno de la Fig42. a) 4 V b) 5 V c) 6 V d) 7 V e) 8 V 207.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coor denadas cilíndricas es: E =2sen ˆ  +zcos ˆ  +z ˆ k . Hallar el flujo de campo total (en 36

Robótica y Cibernética 69 Nm2/C) hacia fuera a través del
cilindro hueco definido por: 2 m  3 m, 0 z  5 m. a) 191 b) 193 c) 195 d) 197 e) 199 Fig41 Fig42 208.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coor denadas rectangulares es: E =(16xy-z)ˆ i +8x2 ˆ j-x ˆ k (N/C) I) Indicar si el campo E es irrotacional (o conservativo). II) Hallar el flujo neto del campo E sobre el cubo definido por: 0 < x, y, z < 1 m. a) 5 Nm2/C b) 6 Nm2/C c) 7 Nm2/C d) 8 Nm2/C e) 9 Nm2/C III) Hallar la circulación de E alrededor del borde del cuadrado: z=0, 0<x, y<1 m, (Tómese el sentido de circulación en el sentido de la manecillas del reloj) a) 0 J/C b) 1 J/C c) 2 J/C d) 3 J/C e) 4 J/C 209.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coorde nadas rectangulares es: E  (xy-z3) i +(3x2-z) j +(3xz2-y)k (N/C). I) Determinar la expresión K=  +  + , sabiendo que el campo E es irrotacional. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 II) Hallar la divergencia de E , y evaluar en el punto de coordenadas (2;-1; 0) m. a) -1 N/mC b) +1 N/mC c) -2 N/mC d) +2 N/mC e) -3 N/mC 210.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = i +z2 j + 2yzk (V/m). Hallar el trabajo realizado al desplazar una carga de q=5 C desde el punto P(1; 2;-4) m hasta el punto R(3;-5; 6) m. a) 1010 J b) 1020 J c) 1030 J d) 1040 J e) 1050 J 211.En coordenadas cilíndricas, la densidad de carga, viene dado por: v =12 nC/m3, para 1m<<2 m, y =0 para 0<<1 m, >2 m. Hallar la densidad de flujoD en cualquier 0 y x 2 1 1 2 2 1 y x 0 2 2 37

Análisis Vectorial 70 punto del espacio, y evaluar en =1,4
m. (n=10-9) a) 4,18n ˆ  b) 4,38n ˆ  c) 4,58n ˆ  d) 4,78n ˆ  e) 4,98n ˆ  212. Dados el punto P(-2; 6; 3), y el vector ˆ ˆ A yi (x z) j    en coordenadas cartesianas. I) Hallar el punto P en coordenadas cilíndricas. a) (6,32; 108,43o; 3) b) (6,12; 102,43o; 3) c) (6,52; 104,43o; 3) d) (6,92, 100,43o; 3) e) (6,72; 106,43o; 3) II) Hallar el punto P en coordenadas esféricas. a) (7; 64,62o; 108,43o) b) (5; 60,62o; 100,43o) c) (8; 68,62o; 104,43o) d) (4; 62,62o; 102,43o) e) (6; 66,62o; 106,43o) III) Hallar el vector A en el punto P en coordenadas cilíndricas. a) -0,95 ˆ  -6,00 ˆ  b) -0,95 ˆ  +6,00 ˆ  c) +0,95 ˆ  -6,00 ˆ  d) +0,95 ˆ  +6,00 ˆ  e) -0,91 ˆ  -6,40 ˆ  IV) Hallar el vector A en el punto P en coordenadas esféricas. a) -0,86ˆ r -0,41 ˆ  -6,01 ˆ  b) -0,76ˆ r -0,31 ˆ  -5,01 ˆ  c) -0,56ˆ r -0,51 ˆ  -8,01 ˆ  d) -0,66ˆ r -0,61 ˆ  -4,01 ˆ  e) -0,46 ˆ r -0,71 ˆ  -5,01 ˆ  213. Dado el vector ˆ ˆ ˆ B (10 / r)r rcos     en coordenadas esféricas. I) Expresar el vector B en coordenadas cartesianas en el punto P(-3; 4; 0). a) 2ˆ i -ˆ j b) -2ˆ i -ˆ j c) -2ˆ i +ˆ j d) 2ˆ i +ˆ j e) ˆ i -2ˆ j II) Expresar el vector B en coordenadas cilíndricas en el punto P(5; /2; -2). a) 2,47 ˆ  + ˆ  +1,17 ˆ k b) 2,37 ˆ  + ˆ  +1,27 ˆ k c) 2,57 ˆ  + ˆ  +1,37 ˆ k d) 2,67 ˆ  + ˆ  +1,47 ˆ k e) 2,77 ˆ  + ˆ  +1,57 ˆ k 214. Dados los campos vectoriales en el espacio R3: ˆ ˆ ˆ E 5 10 3k       , y ˆ F    ˆ 2-6 ˆ k I) Hallar la magnitud del producto vectorial ExF. a) 70,06 b) 71,06 c) 72,06 d) 73,06 e) 74,06 II) Hallar la componente vectorial de E en el punto P(5; /2; 3) paralela a la línea x=2, z=3. a) -3 ˆ  b) -4 ˆ  c) -5 ˆ  d) 3 ˆ  e) 4 ˆ  III) Hallar el ángulo que forma E con la superficie z=3 en el punto P. 38

Robótica y Cibernética 71 a) 15,02o b) 15,22o c) 15,42o
d) 15,62o e) 15,82o 215.Hallar la circulación del campo 2 2 2 ˆ ˆ ˆ A x i y j z k    a lo largo de la parábola y2=x definida en el plano xy, desde el origen O(0; 0; 0) hasta el punto P(2; 2 ; 0). a) 3,01 b) 3,21 c) 3,41 d) 3,61 e) 3,81 216. I) Dado el campo ˆ ˆ ˆ A zsen 3 cos cos sen k           en coordenadas cilíndricas, exprese este campo en coordenadas cartesianas. II) Dado el campo 2 ˆ ˆ B r r sen   en coordenadas esféricas, exprese este campo en coor denadas cartesianas. 217. Dado el campo vectorial 2 ˆ ˆ ˆ H zcos sen k 2         en coordenadas cilíndricas. I) Hallar ˆ H i en el punto P(1; /3, 0). a) -0,413 b) -0,433 c) -0,453 d) -0,473 e) -0,493 II) Hallar ˆ Hxi en el punto P(1; /3, 0). a) -0,3 ˆ  b) -0,5 ˆ  c) -0,3 ˆ  d) -0,5 ˆ  e) ˆ 0,4k III) Hallar la componente vectorial de H normal a la superficie =1. a) 0 ˆ  b) 0 ˆ  c) ˆ 2 d) ˆ 2 e) ˆ 5k IV) Hallar la componente escalar de H tangencial al plano z=0. a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 218. Dado un campo vectorial, 2ˆ ˆ D rsen r (1/ r)sen cos r        en el espacio R3. I) Evaluar el campo vectorial D en el punto P(10; 150o, 330o). a) -5ˆ r +0,043 ˆ  +100 ˆ  b) -5ˆ r +0,033 ˆ  +100 ˆ  c) -5ˆ r +0,053 ˆ  +100 ˆ  d) -5ˆ r +0,023 ˆ  +100 ˆ  e) -5 ˆ r +0,063 ˆ  +100 ˆ  II) Hallar la componente de D tangencial a la superficie esférica r=10 en el punto P. a) 0,043 ˆ  +100 ˆ  b) 0,013 ˆ  +100 ˆ  c) 0,053 ˆ  +100 ˆ  d) 0,033 ˆ  +100 ˆ  e) 0,023 ˆ  +100 ˆ  III) Hallar un vector unitario en P perpendicular a D y tangencial al cono =150o. 39

Análisis Vectorial 72 a) -1,00ˆ r -0,05 ˆ  b)
-1,00ˆ r +0,05 ˆ  c) +1,00ˆ r -0,05 ˆ  d) +1,00ˆ r +0,05 ˆ  e) -2,00 ˆ r -0,08 ˆ  219. Dado los campos vectoriales, ˆ ˆ ˆ A 3r 2 6      y ˆ ˆ B 4r 3   en el espacio R3. I) Hallar el producto escalar A B. a) -4,0 b) -4,5 c) -5,0 d) -5,5 e) -6,0 II) Hallar la magnitud del producto vectorial AxB. a) 30,48 b) 32,48 c) 34,48 d) 36,48 e) 38,48 III) Hallar la componente vectorial de A a lo largo de ˆ k en el punto P(1; /3; 5/4). a) -0,116ˆ r +0,201 ˆ  b) 0,116ˆ r -0,201 ˆ  c) -0,136ˆ r +0,241 ˆ  d) 0,136ˆ r -0,241 ˆ  e) 0,176ˆ r -0,281 ˆ  220. Demostrar la identidad vectorial, C S ˆ dr xB (nx )xBdS     , donde C es el contorno que limita a la superficie S. 221. En la Fig43, calcular C (y senx)dx cosxdy    , siendo C el triángulo mostrado. a) -1,12 b) -1,22 c) 1,32 d) -1,42 e) -1,52 222. En la Fig44, calcular 2 2 C (xy y )dx x dy    , siendo C la curva cerrada que limita la región definida por y=x e y=x2. a) -1/10 b) +1/10 c) -1/20 d) +1/20 e) -1/30 223. Dada la función derivable f(r) en su dominio, hallar x( r f(r)). Fig43 Fig44 224. Dados, 1 2 3 ˆ ˆ ˆ A A i A j A k    , y ˆ ˆ ˆ r xi y j zk    , hallar (Ax r)  , si xA =0. y B 0 A x (/2;1) (/2;0) y x 0 y=x2 y=x (1;1) 40

Robótica y Cibernética 73 225. Sabiendo que, v x r
  , demostrar que (1/ 2) xv   , siendo =cte. 226. Dado el campo 2 ˆ ˆ ˆ A x yi 2xz j 2yzk    , hallar x xA   en el punto P(1; 1; 1). a) 3ˆ i b) 3ˆ j c) 4ˆ i d) 4ˆ j e) 3 ˆ k 227. Dado el campo 3 2 4 ˆ ˆ ˆ A xz i 2x yz j 2yz k    , hallar xA  en el punto P(1;-1; 1). a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 228. Dado el campo escalar 3 2 4 2x y z   , hallar    en el punto P(1; 1; 1). a) 40 b) 42 c) 44 d) 46 e) 48 229. Hallar la derivada direccional del campo escalar =x2yz+4xz2 en el punto P(1;-2;-1), y en la dirección y sentido del vector ˆ ˆ ˆ a 2i j 2k    . a) 10,33 b) 11,33 c) 12,33 d) 13,33 e) 14,33 230. Dados los campos vectoriales ˆ ˆ ˆ A senui cosu j uk    , ˆ ˆ ˆ B cosui senu j 3k    , y ˆ ˆ ˆ C 2i 3j k    , hallar u 0 dAx(BxC) / du  evaluando en u=0. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 231. Dados los campos vectoriales 2 2 ˆ ˆ ˆ A(t) 3t i (t 4) j (t 2t)k      y ˆ B(t) senti  +3e-t ˆ j- 3 cos t ˆ k , hallar 2 2 t 0 d (AxB) / dt  evaluado en t=0. a) 35,7 b) 36,7 c) 37,7 d) 38,7 e) 39,7 232. Sabiendo que, d2 A /dt2=6tˆ i -24t2 ˆ j+4sent ˆ k , además ˆ ˆ A 2i j   , y dA /dt=-ˆ i -3 ˆ k en t=0. Hallar A en t=/3. a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0 233. Dados los campos vectoriales A =x2yzˆ i -2xz3 ˆ j+xz2 ˆ k y B=2zˆ i +y j-x2 ˆ k , hallar la mag nitud de 2(A xB)/xy, evaluado en el punto P(1; 0; -2). a) 8,1 b) 8,3 c) 8,5 d) 8,7 e) 8,9 234. Dada la curva C de ecuación paramétrica x=t-t3/3, y=t2, z=t+t3/3. I) Hallar el vector unitario tangente ˆ T a la curva C en el punto P(2/3; 1; 4/3). a) 0,71(i+ˆ j) b) 0,71(ˆ i + ˆ k ) c) 0,71(ˆ j+ ˆ k ) d) 0,71(ˆ i - ˆ k ) e) 0,71 ˆ k 41

Análisis Vectorial 74 II) Hallar la curvatura "" de la
curva C en el punto P(2/3; 1; 4/3). a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2 d) 1/4 e) 3/4 III) Hallar el vector unitario normal ˆ N a la curva C para el punto P en el que t=1/2. a) -0,8ˆ i +0,6ˆ j b) 0,8ˆ i -0,6ˆ j c) 0,8ˆ i +0,6ˆ j d) -0,8ˆ i -0,6ˆ j e) 0,2ˆ i IV) Hallar el radio de curvatura "" de la curva C en un punto en el que t=1/2. a) 1,16 b) 1,36 c) 1,56 d) 1,76 e) 1,96 V) Hallar el vector binormal " ˆ B" a la curva C en un punto en el que t=2. a) 0,42ˆ i -0,57ˆ j+0,71 ˆ k b) 0,42ˆ i +0,57ˆ j+0,71 ˆ k c) -0,42ˆ i +0,57ˆ j+0,71 ˆ k d) 0,42ˆ i +0,57ˆ j-0,71 ˆ k e) 0,42ˆ i -0,57ˆ j-0,71 ˆ k VI) Hallar la torsión "" de la curva C en un punto en el que t=1/2. a) 1,13 b) 1,23 c) 1,33 d) 1,43 e) 1,53 235. Una curva C del espacio R3, viene dada en función de la longitud de arco "s" , por las ecuaciones paramétricas: x=tg-1(s), y=(1/2) 2 ln(s2+1), z=s-tg-1(s). I) Hallar el vector unitario tangente ˆ T a la curva C para s= 2 . a) ˆ ˆ ˆ (1/ 3)i j (2 / 3)k   b) ˆ ˆ ˆ i (1/ 3) j (2 / 3)k   c) ˆ ˆ ˆ (2 / 3)i j (1/ 3)k   d) ˆ ˆ ˆ i (2 / 3) j (1/ 3)k   e) ˆ ˆ ˆ (2 / 3)i (1/ 3) j (2 / 3)k   II) Hallar la curvatura "" en la curva C para s= 2 . a) 0,27 b) 0,37 c) 0,47 d) 0,57 e) 0,67 III) Hallar el vector unitario normal ˆ N a la curva C para s= 2 . a) ˆ ˆ ˆ 2 / 3i 1/ 3j 2 / 3k   b) ˆ ˆ ˆ 2 / 3i 1/ 3j 2 / 3k   c) ˆ ˆ ˆ 2 / 3i 1/ 3j 2 / 3k   d) ˆ ˆ ˆ 1/ 3i 2 / 3j 1/ 3k   e) ˆ ˆ ˆ 2 / 3i 1/ 3j 2 / 3k    IV) Hallar el radio de curvatura en un punto de la curva C para s= 2 . a) 1,32 b) 1,72 c) 2,12 d) 2,52 e) 2,92 V) Hallar la binormal ˆ B a la curva C para s= 2 . a) 2/3ˆ i -2/3ˆ j+1/3 ˆ k b) 2/3ˆ i -2/3ˆ j-1/3 ˆ k c) -2/3ˆ i -2/3ˆ j+1/3 ˆ k d) -2/3ˆ i +2/3ˆ j+1/3 ˆ k e) -2/3ˆ i +2/3ˆ j-1/3 ˆ k 42

Robótica y Cibernética 75 VI) Hallar la torsión "" en
un punto de la curva C para s= 2 . a) 0,27 b) 0,37 c) 0,47 d) 0,57 e) 0,67 236. La ecuación paramétrica de una curva C en el espacio R3, está dada por: x=t, y=t2, z=t3 I) Hallar la curvatura "" de esta curva C en un punto en el que t=1. a) 0,13 b) 0,17 c) 0,21 d) 0,25 e) 0,29 II) Hallar el vector unitario normal ˆ N a la curva C en un punto en el que t=1. a) -0,67ˆ i +0,49ˆ j+0,55 ˆ k b) -0,67ˆ i +0,49ˆ j-0,55 ˆ k c) -0,67ˆ i -0,49ˆ j+0,55 ˆ k d) 0,67ˆ i +0,49ˆ j+0,55 ˆ k e) 0,67ˆ i +0,49ˆ j-0,55 ˆ k 237. I) Demostrar que el radio de curvatura "" de una curva plana de ecuaciones y=f(x), z=0, es decir, una curva C situada en el plano xy, viene dada por: =[1+(y')2]3/2/ y" . II) Hallar el radio de curvatura "" en un punto de la curva C, si y=f(x)=3x3, y x=0,5. a) 1,06 b) 1,26 c) 1,46 d) 1,66 e) 186 238. Demostrar que la curvatura "" de la curva C del espacio R3, definida por r = r(t) , viene dada por: = r x r / 3 r , en la que los puntos indican derivadas con respecto al tiempo t. 239. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie del paraboloide z=x2+y2 en el pun to P(1;-1; 2). a) 2x+y-2z=2 b) 2x-2y+z=2 c) 2x-y-2z=2 d) 2x-2y-z=2 e) x-2y+z=2 240. Dado un campo vectorial A en el espacio R3, demuestre explícitamente que xA = 0; es decir, la divergencia del rotacional de cualquier campo vectorial es cero. 241. Con relación a un campo escalar , demuestre que x=0; esto es, el rotacional del gradiente de todo campo escalar es cero. 242. Calcular el laplaciano de los siguientes campos escalares: I) V=e-zsen 2x cosh y, I) U= 2z cos 2, III) W=10r sen2 cos . 243. Calcular el laplaciano de los siguientes campos escalares: I) U=x2y+xyz, II) V=z sen  + z2cos2+2, III) f=cos  sen  ln(r) +r2. 244. Demuestre que el campo vectorial E =(y+z cos xz) ˆ i +xˆ j+x cos xz ˆ k es conservativo. 245. Indicar cuáles de los siguientes enunciado son correctos (C) e incorrectos (I). 43

Análisis Vectorial 76 I) A B+2A , II) A B+5=2A
, III) A(A B)  +2=0, IV) A A+B B=0. a) CICI b) CCII c) IICI d) ICIC e) IIIC 246. Dados los campos vectoriales, ˆ ˆ ˆ F 2i 6j 10k    , y y ˆ ˆ ˆ G i G j 5k    . Si F y G tienen el mismo vector unitario. Hallar la componente "Gy " del campo G . a) 6 b) -3 c) 0 d) 6 e) 4 247. Dados los campos vectoriales, ˆ ˆ ˆ A i j k     y ˆ ˆ ˆ B i j k     . Si A y B son normales entre si. Hallar el coeficiente "". a) -2 b) -1/2 c) 0 d) 1 e) 2 248. Hallar la componente del vector ˆ ˆ ˆ a 6i 2j 3k    a lo largo del vector ˆ ˆ b 3i 4j   . a) -12ˆ i -9ˆ j-3 ˆ k b) 30ˆ i -40ˆ j c) 10/7 d) 2 e) 10 249. Hallar la proyección del vector ˆ ˆ ˆ A 6i 3j 2k     a lo largo del vector unitario ˆ j. a) -12ˆ j b) -4ˆ i c) 3ˆ j d) 7ˆ i e) 12 ˆ k 250. Hallar la componente del vector ˆ ˆ ˆ A 10i 4 j 6k    a lo largo del vector unitario ˆ j. a) 2 b) -3 c) -4 d) 5 e) 3 251. Un río corre al sureste a 10 km/h y una lancha flota en él con la proa hacia la dirección del desplazamiento. Un hombre camina en la cubierta a 2 km/h en una dirección a la derecha y perpendicular a la del movimiento de la lancha. hallar la velocidad del hom bre respecto a la tierra. a) 10,2 km/h; 52,3 SE b) 10,2 km/h; 50,3 NS c) 10,2 km/h; 58,3 SO d) 10,2 km/h; 56,3 SE e) 10,2 km/h; 54,3 NS 252. Dados los vectores: ˆ ˆ ˆ A 5i 3j 2k    , ˆ ˆ ˆ B i 4j 6k     , y ˆ ˆ C 8i 2j   , hallar los valores de  y  tales que A +B+C sea paralela al eje y. a) 13/7; 5/7 b) -13/7; -5/7 c) -12/7; -4/7 d) 12/7; 4/7 e) 3/5; 2/5 253. Dados los vectores ˆ ˆ ˆ A i j 4k     , ˆ ˆ ˆ B 3i j 6k     , y ˆ ˆ ˆ C 5i 2j k     , mutuamente ortogonales, hallar la expresión: E=(-)/. a) 4 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 254. I) Demuestre la relación vectorial, 2 2 2 (A B) (AxB (AB)   . 44

Robótica y Cibernética 77 II) Probar las relaciones entre los
vectores unitarios de base ˆ i , ˆ j, ˆ k : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i (jxk) / i jxk  , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j (kxi) / i jxk  , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k i x j/ i jxk  . 255. Dados los vectores: A =5t2 ˆ i +tˆ j+t3 ˆ k y B=sen t ˆ i -cos tˆ j. I) Hallar d(A B)/dt, II) Ha llar d(AxB)/dt, III) Hallar d(A A)/dt. 256. Demostrar que A y dA /dt son perpendiculares entre si, sabiendo que A =cte., y ade más dA / dt 0. 257. Demostrar que d(A BxC)/du=A Bx (dC /du)+A (dB/du)xC +(dA /du) BxC . 258. Calcular la expresión 2 2 E d[v (dv / dt)x(d v / dt )]/ dt  . 259. Una partícula se desplaza de modo que su vector de posición en cualquier instante "t", está dada por: ˆ ˆ r cos ti sen t j     , siendo "" una constante. I) Demostrar que la velocidad " v " es perpendicular al vector de posición " r ". II) Demostrar que la aceleración "a " está dirigida hacia el origen, y su módulo es 2r. III) Demostrar que el producto vectorial, r xv es un vector constante. 260. Dados los campos escalares F=x3z+ey/x, y G=2z2y-xy2, en el espacio R3. I) Hallar (F+G) y evaluar en el punto (1; 0; -2). II) Hallar (FG) y evaluar en el punto (1; 0; -2). 261. Calcular  r 3, y evaluar para r=4/3. a) 3 r b) 4 r c) 5 r d) 2 r e) 6 r 262. Demostrar que f(r)=f'(r) r /r, donde f es una función continua y derivable en r. 263. Calcular la expresión siguiente F=(3r2-4 r +6/ 3 r ) y evaluar para r=1,5. a) 3,17 r b) 3,27 r c) 3,37 r d) 3,47 r e) 3,57 r 264. Sabiendo que, U=2r4 r , hallar la función escalar U en r=3, si U=20 en r=2. a) 251,67 b) 253,67 c) 255,67 d) 257,67 e) 259,67 265. Hallar (r) en r=1,2, sabiendo que = r /r5 y (1)=0. a) 0,10 b) 0,14 c) 0,18 d) 0,22 e) 0,26 266. Calcular , sabiendo que =(x2+y2+z2) 2 2 2 x y z e   , y evaluar en el punto (1; 1; 1). a) 0,037 r b) 0,047 r c) 0,057 r d) 0,067 r e) 0,077 r 45

Análisis Vectorial 78 267.Dado que, =2xyz3 ˆ i +x2z3 ˆ
j+3x2yz2 ˆ k , hallar (1; 2; 3) sabiendo que (1;-2; 2)=4. a) 70 b) 72 c) 74 d) 76 e) 78 268. Dado =(y2-2xyz3)ˆ i +(3+2xy-x2y3)ˆ j+(6z3-3x2yz2) ˆ k , hallar (2; 2; 2) sabiendo que la constante de integración es C=10. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 269. Siendo U una función derivable de x, y, y z, demostrar que Ud r =dU. 270. Siendo F una función derivable de x, y, y z, funciones derivables de t, demostrar que dF/dt=F/t+Ud r /dt. 271. Demostrar que (F/G)=(GF-FG)/G2, siendo G0. 272. Hallar el vector unitario perpendicular externo a la superficie del paraboloide de revolu ción z=x2+y2 en el punto P(1; 2; 5). a) 0,44i+0,87ˆ j-0,22 ˆ k b) 0,44i-0,87ˆ j-0,22 ˆ k c) -0,44i+0,87ˆ j-0,22 ˆ k d) 0,44i-0,87ˆ j+0,22 ˆ k e) -0,44i-0,87ˆ j+0,22 ˆ k 273.Hallar el vector unitario normal a la superficie (x-1)2+y2+(z+2)2=9 en el punto (3; 1;-4) a) -0,67ˆ i +0,33ˆ j-0,67 ˆ k b) 0,67ˆ i -0,33ˆ j+0,67 ˆ k c) 0,67ˆ i -0,33ˆ j-0,67 ˆ k d) -0,67ˆ i -0,33ˆ j+0,67 ˆ k e) 0,67ˆ i +0,33ˆ j-0,67 ˆ k 274. Hallar el ángulo que forman las superficies S1 : x2+y2+z2=9 y S2 : z=x2+y2-3 en el punto (2;-1; 2). a) 50,35o b) 52,35o c) 54,35o d) 56,35o e) 58,35o 275. Hallar la derivada de =4xz3-3x2y2z en el punto (2;-1; 2) en la dirección 2ˆ i -3ˆ j+6 ˆ k . a) 51,7 b) 53,7 c) 55,7 d) 57,7 e) 59,7 276. Hallar la derivada de la función P=4e-2x-y+z en el punto (1; 1;-1) en dirección hacia el punto (-3; 5; 6). a) -2,02 b) 2,02 c) -2,22 d) 2,22 e) -2,42 277. Hallar la dirección según la cual la derrivada de la función =2xz-y2 en el punto (1; 3; 2) es máxima. ¿Cuál es el módulo de este valor máximo? a) 7,08 b) 7,28 c) 7,48 d) 7,68 e) 7,88 278. Hallar los valores de las constantes "a", "b", "c" de forma que la derivada de la función 46

Robótica y Cibernética 79 =axy2+byz+cz2x3 en el punto (1; 2;-1)
tenga un máximo de módulo 64 en la dirección del eje z. a) 6, 20, -8 b) 6, 28, -8 c) 6, 22, -8 d) 6, 26, -8 e) 6, 24, -8 279. Hallar el ángulo agudo formado por las superficies S1 : xy2z=3x+z2, y S2 : 3x2-y2+2z=1 en el punto (1;-2; 1). a) 71,92o b) 73,92o c) 75,92o d) 77,92o e) 79,92o 280. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie xz2+x2y=z-1 en el punto (1;-3; 2). a) 4x-2y-z=5 b) 4x+2y-z=5 c) -4x+2y-z=5 d) 4x-2y+z=5 e) -4x+2y+z=5 281. Hallar las constantes "a" y "b" de forma que la superficie S1 : ax2-byz=(a+2)x sea orto gonal a la superficie S2 : 4x2y+z3=4, en el punto (1;-1; 2). a) 3/2, 1/2 b) 2/3, 2 c) 3/4, 1 d) 4/3, 3 e) 5/2, 1 282. Dados el campo vectorial A =3xyz2 ˆ i +2xy3 ˆ j-x2yz ˆ k y el campo escalar  =3x2-yz. I) Calcular  A en el punto (1;-1; 1). a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 II) Calcular A   en el punto (1;-1; 1). a) -12 b) -13 c) -14 d) -15 e) -16 III) Calcular ( A)   en el punto (1;-1; 1). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 IV) Calcular ( )    en el punto (1;-1; 1). a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 283. Dado el campo vectorial A =2x2zˆ i -xy2zˆ j+3yz2 ˆ k , hallar A  en el punto (1;1;1). a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 284. Dado el campo escalar =3x2z-y2z3+4x3y+2x-3y-5 en el espacio R3, hallar 2 en el punto P(1;-1; 1). a) -20 b) 20 c) -22 d) 22 e) -24 285. La ecuación paramétrica de una curva C en R3, viene dada por: x=(2t+1)/(t-1), y=t2/(t-1), z=t+2. I) Hallar la curvatura "" de la curva C, para t=2,1. 47

Análisis Vectorial 80 a) 0,015 b) 0,025 c) 0,035 d)
0,045 e) 0,055 II) Hallar la torsión "" de la curva , para t=2,1. a) 0,000 b) 0,023 c) 0,043 d) 0,063 e) 0,083 286. Siendo, r =a cos uˆ i +b sen uˆ j el vector de posición de los puntos de la curva C, y "a" y "b" constantes positivas. I) Hallar la curvatura "" de la curva, y evaluar para a=8, b=6 y u=/3. a) 0,111 b) 0,131 c) 0,151 d) 0,171 e) 0,191 II) Interpretar el caso en el que a=b. 287. La ecuación paramétrica de una curva C en R3, viene dada por: x=-sen , y=1-cos , z=4sen(/2). I) Hallar la curvatura "" de la curva C, para =53o. a) 0,17 b) 0,27 c) 0,37 d) 0,47 e) 0,57 II) Hallar la torsión "" de la curva C, para =53o. a) 0,019 b) 0,039 c) 0,059 d) 0,079 e) 0,099 288. Calcular 2(ln r) en el punto r=0,5. a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0 289. Dado el campo vectorial F=(3x2y-z) ˆ i +(xz3+y4)ˆ j-2x3z2 ˆ k en el espacio R3, hallar ( F) en el punto P(2;-1; 0). a) -6ˆ i +24ˆ j-32 ˆ k b) 6ˆ i -24ˆ j-32 ˆ k c) -6ˆ i -24ˆ j+32 ˆ k d) -6ˆ i +24ˆ j+32 ˆ k e) 6ˆ i +24ˆ j+32 ˆ k 290. Suponga que la velocidad angular  es un vector constante y que la velocidad lineal es v x r   . Demuestre que  v =0. 291. Demuestre la siguiente identidad vectorial 2()=2+2+2. 292. Dadas las funciones escalares U=3x2y y V=xz2-2y, en el espacio R3. Hallar la expre sión [UV] en el punto P(1;-1; 1). a) -18ˆ i +6ˆ j-12 ˆ k b) 18ˆ i -6ˆ j-12 ˆ k c) 18ˆ i +6ˆ j+12 ˆ k d) -18ˆ i -6ˆ j-12 ˆ k e) -18ˆ i -6ˆ j+12 ˆ k 292. Calcular (r3 r ) y evaluar para r=1,5. a) 20,00 b) 20,25 c) 20,50 d) 20,75 e) 21,00 48

Robótica y Cibernética 81 293. Calcular [r(1/r3)], y evaluar para
r=1,25. a) 1,02 b) 1,22 c) 1,42 d) 1,62 e) 1,82 294. Calcular 2[( r /r2)], y evaluar para r=1,25. a) 0,22 b) 0,42 c) 0,62 d) 0,82 e) 1,02 295. Dado el campo vectorial A = r /r, en el espacio R3, calcular ( A ) en r=0,25. a) -120 r b) -122 r c) -124 r d) -126 r e) -128 r 296. Sea f(r) una función derivable y continua, demostrar que 2f(r)=d2f/dr2+(2/r)df/dr. 297. Demostrar que el campo vectorial 4 2 3 2 2 2 ˆ ˆ ˆ A 3y z i 4x z j 3x y k    es solenoidal. 298. Demostrar que el campo vectorial 2 2 3 2 2 2 ˆ ˆ ˆ A (2x 8xy z)i 4x z j 3x y k)     no es sole noidal, y el campo vectorial 2 B xyz A  si es solenoidal. 299. Asumiendo que U y V son campos escalares diferenciables . Demostrar que UxV es solenoidal. 300. Dado el campo vectorial V =(-xˆ i -yˆ j)/(x2+y2)1/2 en el espacio R3. Demostrar que el campoV es un "campo sumidero". 301. Dado el campo vectorial 2 3 ˆ ˆ ˆ A 2xz i yz j 3xz k    y el campo escalar 2 x yz   . I) Hallar xA en el punto (1; 1; 1). a) ˆ j+ ˆ k b) ˆ i + ˆ k c) ˆ i +ˆ j+ ˆ k d) ˆ i - ˆ k e) ˆ i +ˆ j II) Hallar rot( A)  en el punto (1; 1; 1). a) 5ˆ i -3ˆ j-4 ˆ k b) 5ˆ i +3ˆ j-4 ˆ k c) 5ˆ i -3ˆ j+4 ˆ k d) 5ˆ i +3ˆ j+4 ˆ k e) 5ˆ i -3ˆ j III) Hallar x( xA)   en el punto (1; 1; 1). a) 5ˆ i +3 ˆ k b) 3ˆ i +5 ˆ k c) 5ˆ i -3 ˆ k d) 3ˆ i -5 ˆ k e) -5ˆ i -3 ˆ k IV) Hallar [A xA]   en el punto (1; 1; 1). a) -2ˆ i +ˆ j+8 ˆ k b) 2ˆ i -ˆ j+8 ˆ k c) 2ˆ i +ˆ j-8 ˆ k d) 2ˆ i +ˆ j+8 ˆ k e) 2ˆ i +ˆ j V) Hallar x ( A)    en el punto (1; 1; 1). a) 0 b) 2ˆ i +5 ˆ k c) 3ˆ i -2ˆ j-4 ˆ k d) 3ˆ j-4 ˆ k e) 3ˆ i -2ˆ j 49

Análisis Vectorial 82 302. Dados los campos escalares F=x2yz, y
G=xy-3z2 en el espacio R3. I) Hallar [( F) ( G)]    en el punto (1; 1; 1). a) -7ˆ i +2ˆ j-3 ˆ k b) -7ˆ i -2ˆ j+3 ˆ k c) +7ˆ i -2ˆ j-3 ˆ k d) -7ˆ i -2ˆ j-3 ˆ k e) -7ˆ i +3 ˆ k II) Hallar [( F)x( G)]    en el punto (1; 1; 1). a) 0 b) -7ˆ i -3ˆ j c) -8ˆ i +2ˆ j d) 4ˆ i -2ˆ j+2 ˆ k e) -3ˆ j+6 ˆ k III) Hallar x[( F)x( G)]    en el punto (1; 1; 1). a) -23ˆ i +14ˆ j+15 ˆ k b) 23ˆ i -14ˆ j+15 ˆ k c) -23ˆ i -14ˆ j-15 ˆ k d) +23ˆ i +14ˆ j+15 ˆ k e) -23ˆ i -14ˆ j+15 ˆ k 303. Calcular x(r  /r), y evaluar para r=0,5. a) 0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 304. ¿Para qué valor de la constante "a" el vector 3 2 2 ˆ ˆ ˆ A (axy z )i (a 2)x j (1 a)xz k       tendrá su rotacional igual a cero? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 305. Dado una función escalar "" continua y derivable en R3. Probar que rot(grad)=0 . 306. La ecuación paramétrica de una curva C en el espacio R3 es, x=t, y=t2, z=(2/3)t3. I) Hallar la curvatura "" de la curva C en el punto P para el cual t=0,5. a) 0,59 b) 0,69 c) 0,79 d) 0,89 e) 0,99 II) Hallar la torsión "" de la curva C en el punto P para el cual t=0,5. a) 0,59 b) 0,69 c) 0,79 d) 0,89 e) 0,99 307. Dados los campos vectoriales 2 3 ˆ ˆ ˆ A x zi yz j 3xyk    , 2ˆ ˆ ˆ B y i yz j 2xk    , y el cam po escalar =2x2+yz. I) Calcular A ( )   y evaluar en el punto (1; 1; 1). a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 II) Calcular (A )  y evaluar en el punto (1; 1; 1). a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 III) Calcular (A )B  y evaluar en el punto (1; 1; 1). a) 2ˆ i -2ˆ j -2 ˆ k b) 2ˆ i +2ˆ j -2 ˆ k c) 2ˆ i -2ˆ j +2 ˆ k d) 2ˆ i +2ˆ j +2 ˆ k e) 2ˆ i +2ˆ j 50

Robótica y Cibernética 83 IV) Calcular B(A )  y
evaluar en el punto (1; 1; 1). V) Calcular ( A)B  y evaluar en el punto (1; 1; 1). a) 2ˆ i -3ˆ j +2 ˆ k b) 2ˆ i +3ˆ j +2 ˆ k c) 2ˆ i -3ˆ j -2 ˆ k d) 2ˆ i +3ˆ j +2 ˆ k e) 2ˆ i +2 ˆ k 308. Dados los campos vectoriales 2 2 ˆ ˆ ˆ A yz i 3xz j 2xyzk    , ˆ ˆ ˆ B 3xi 4z j xyk    , y el campo escalar =xyz. I) Calcular Ax( )   y evaluar en el punto (1; 1; 1). a) 5ˆ i -ˆ j+4 ˆ k b) -5ˆ i +ˆ j-4 ˆ k c) -5ˆ i -ˆ j+4 ˆ k d) -5ˆ i +ˆ j+4 ˆ k e) 3ˆ i -4 ˆ k II) Calcular (Ax )  y evaluar en el punto (1; 1; 1). a) 5ˆ i -ˆ j+4 ˆ k b) -5ˆ i +ˆ j-4 ˆ k c) -5ˆ i -ˆ j+4 ˆ k d) -5ˆ i +ˆ j+4 ˆ k e) 3ˆ i -4 ˆ k III) Calcular ( xA)xB  y evaluar en el punto (1; 1; 1). a) 16ˆ i +4ˆ j+32 ˆ k b) 16ˆ i -4ˆ j-32 ˆ k c) 16ˆ i +4ˆ j-32 ˆ k d) 16ˆ i -4ˆ j+32 ˆ k e)12ˆ j+8 ˆ k IV) Calcular B xA  y evaluar en el punto (1; 1; 1). a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 309. Dados los campos vectoriales 2ˆ ˆ ˆ A xz i 2y j 3xzk    y 2 ˆ ˆ ˆ B 3xzi 2yz j z k    en el es pacio R3. I) Hallar Ax( xB)  en el punto P(1;-1; 2). a) 16ˆ i +12ˆ j+16 ˆ k b) -16ˆ i -12ˆ j+16 ˆ k c) 16ˆ i -12ˆ j-16 ˆ k d) 16ˆ i +12ˆ j-16 ˆ k e) 16ˆ i -12ˆ j+16 ˆ k II) Hallar (Ax )xB  en el punto P(1;-1; 2). a) 4ˆ j+76 ˆ k b) 4ˆ j-76 ˆ k c) -4ˆ j+76 ˆ k d) -4ˆ j-76 ˆ k e) 4ˆ i -76 ˆ k 310. Demostrar que: 2 1 (v )v v vx( xv) 2      , donde v es la velocidad en R3. 311. Demostrar que: (AxB) B ( xA) A ( xB)      . 312. Demuestre que el campo A conservativo si A posee una de estas dos propiedades: I) La integral de línea del componente tangencial de A a lo largo de una trayectoria que se extiende de un punto P a un punto Q es independiente de la trayectoria. 51

Análisis Vectorial 84 II) La integral de línea de la
componente tangencial de A alrededor de cualquier trayecto ria cerrada es igual a cero. 313. En base a la definición del diferencial de longitud dl, hallar la longitud de cada una de las siguientes curvas: I) =3, 0<z<5, /4<</2, z=constante. a) 2,156 b) 2,356 c) 2,556 d) 2,756 e) 2,956 II) r=1, =30o, 0<<60o. a) 0,504 b) 0,524 c) 0,544 d) 0,564 e) 0,584 III) r=4, 30o<<90o, =constante. a) 4,189 b) 4,389 c) 4,589 d) 4,789 e) 4,989 314. Calcule las áreas de las superficies siguientes con base en el diferencial de área dS. I) =2, 0<z<5, /3<</2. a) 5,036 b) 5,236 c) 5,436 d) 5,636 e) 5,836 II) z=1, 1,<<3, 0<</4. a) 3,142 b) 3,342 c) 3,542 d) 3,742 e) 3,942 III) r=10, /4<<2/3, 0<<2. a) 7,184 b) 7,384 c) 7,584 d) 7,784 e) 7,984 IV) 0<r<4, 60o<<90o, =constante. a) 4,189 b) 4,389 c) 4,589 d) 4,789 e) 4,989 315. Usando la definición del diferencial de volumen dV determine el volumen de las regio nes siguientes. I) 0<x<1, 1<y<2, -3<z<3. a) 4,0 b) 5,0 c) 6,0 d) 7,0 e) 8,0 II) 2<<5, /3<<, -1<z<4. a) 100 b) 105 c) 110 d) 115 e) 120 III) 1<r<3, /2<<2/3, /6<</2. a) 4,138 b) 4,338 c) 4,538 d) 4,738 e) 4,938 316. Dado que, s =x2+xy calcule s S dS   sobre la región S dada por: yx2, 0<x<1. 52

Robótica y Cibernética 85 a) 0,203 b) 0,223 c) 0,243
d) 0,263 e) 0,283 317. Dado que, H =x2 ˆ i +y2 ˆ j calcule L H d  , donde L es a lo largo de la curva y=x2 desde A(0; 0) hasta B(1; 1). a) 0,61 b) 0,63 c) 0,65 d) 0,67 e) 0,69 318. Hallar el volumen cortado a partir del radio de curvatura de la esfera r=a por el cono =. Evaluar para =/3, y =/2. I) El volumen para =/3. a) 1,05a3 b) 1,25 a3 c) 1,45 a3 d) 1,65 a3 e) 1,85 a3 II) El volumen para =2/3. a) 2,09 a3 b) 2,29 a3 c) 2,29 a3 d) 2,29 a3 e) 2,29 a3 319. Si la integral B A F d  se considera como el trabajo realizado para mover una partícula de A a B, hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza F=2xyˆ i +(x2-z2)ˆ j-3xz2 ˆ k sobre una partícula que se traslada desde A(0; 0; 0) hasta B(2; 1; 3). I) A lo largo de los segmentos de recta (0; 0; 0)(0; 1; 0) (2; 1; 0) (2; 1; 3). a) -46 b) -48 c) -50 d) -52 e) -54 II) A lo largo de la línea recta (0; 0; 0) a (2; 1; 3) a) -37,5 b) +37,5 c) -38,5 d) +38,5 e) -39,5 320. En la Fig45, dado el campo vectorial H =(x-y)ˆ i +(x2+zy)ˆ j+5yz ˆ k calcular la integral H d  a lo largo del contorno mostrado. a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,5 321. En la Fig46, dado el campo vectorial E =x2yˆ i -yˆ j. I) Calcular L E d  a lo largo de la trayectoria L mostrada en la Figura. a) 5/6 b) 7/6 c) 3/4 d) 4/5 e) 2/5 II) Calcular S ( xE) dS   , donde S es el área encerrada por L. a) 2/5 b) 4/5 c) 7/6 d) 5/6 e) 3/4 III) ¿Se cumple el teorema de Stokes? 53

Análisis Vectorial 86 Fig45 Fig46 322. Dado el campo escalar
V=(x+y)z, calcular S VdS  , donde S es la superficie de la cuña cilíndrica definida por 0<</2, 0<z<2 y dS es normal a su superficie. a) 4 ˆ  +1,33 ˆ k b) 4 ˆ  +1,33 ˆ  c) 1,33 ˆ  +4 ˆ k d) 4 ˆ  +1,33 ˆ k e) 2,45 ˆ   323. Dado el campo vectorial, A =2xyˆ i +xzˆ j-y ˆ k . Calcular la integral AdV  , donde V: I) Es una región rectangular, definida por: 0x2, 0y2, 0z2. a) 16ˆ i +8ˆ j+8 ˆ k b) -6ˆ i +8ˆ j-8 ˆ k c) 16ˆ i -8ˆ j-8 ˆ k d) 16ˆ i +8ˆ j-8 ˆ k e) 16ˆ i -8 ˆ k II) Es una región cilíndrica, definida por: 3, 0z5. a) 50,25 ˆ  b) 52,25 ˆ  c) 54,25 ˆ  d) 56,25 ˆ  e) 58,25 ˆ  III) Es una región esférica, definida por: r4. a) 21,62 ˆ r b) 23,62 ˆ r c) 25,62 ˆ r d) 27,62 ˆ r e) 29,62 ˆ r 324. Dado el campo vectorial A  3x2yzˆ i +x3zˆ j +(x3y-2z) ˆ k , puede decirse que A es: a) Armónico b) Sin divergencia c) Solenoidal d) Rotacional e) Conservativo 325. Si un campo vectorial Q es solenoidal, ¿Cuál de las expresiones siguientes es cierta? a) L Q d 0   b) S Q dS 0   c) xQ 0   d) xQ 0   e) 2Q 0   326. Indique cuál de las siguientes operaciones no está definida. a) grad div b) div rot c) rot grad d) rot div e) div rot 327. Si, r =xˆ i +yˆ j+z ˆ k , es el vector de posición del punto (x; y; z) en el espacio R3 y r= r ¿Cuál de las siguientes expresiones es incorrecta? x y z 0 2 1 1 i k j    y x 1 1 0 2 j i   L S 54

Robótica y Cibernética 87 a) r r / r 
 b) r 1   c) 2(r r) 4   d) xr 0   328. La aceleración de una partícula está dada por 2 ˆ a 2,4k (m s )   . En el instante t=0 s la posición de la partícula es r (0;0;0)  , en tanto, su velocidad es ˆ ˆ v 2i 5k    (ms-1) I) Hallar el modulo de la posición de la partícula en el instante t=1 s. a) 5,0 m b) 5,5 m c) 6,0 m d) 6,5 m e) 7,0 m II) Hallar el modulo de la velocidad de la partícula en el instante t=2 s. a) 8,0 m/s b) 8,5 m/s c) 9,0 m/s d) 9,5 m/s e) 10,0m/s 329. Dados los campos escalares U=4xz2+3yz, T=2(z2+1)cos , H=r2cos  cos , hallar la expresión E= 1 U T H     evaluando U en el punto (1; 1; 1), T en el punto (1; /3; 1), y H en el punto (1; /3; /6). a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58 330. I) Dado el campo escalar (2x 3y) V e cos5z   , hallar V  en el punto P(0,1;-0,2; 0,4). a) -0,558ˆ i +0,837ˆ j-3,047 ˆ k b) -0,558ˆ i -0,837ˆ j+3,047 ˆ k c) 0,558ˆ i -0,837ˆ j-3,047 ˆ k d) 0,558ˆ i +0,837ˆ j-3,047 ˆ k e) -0,558ˆ i -0,837ˆ j-3,047 ˆ k II) Dado el campo escalar 2z T 5 sen     , hallar T  en el punto Q(2; /3, 0). a) 2,5 ˆ  -2,5 ˆ  -17,32 ˆ k b) -2,5 ˆ  +2,5 ˆ  -17,32 ˆ k c) -2,5 ˆ  -2,5 ˆ  -17,32 ˆ k d) 2,5 ˆ  -2,5 ˆ  +17,32 ˆ k e) 2,5 ˆ  +2,5 ˆ  -17,32 ˆ k III) Dado el campo escalar 2 Q sen sen / r    , hallar Q  en el punto S(1; /6; /2). a) -ˆ r +0,867 ˆ  b) ˆ r +0,867 ˆ  c) -ˆ r -0,867 ˆ  d) -ˆ r +0,867 ˆ  e) 0,12 ˆ  331. Hallar el vector unitario normal a S(x; y; z)=x2+y2-z en el punto P(1; 3; 0). a) 0,31ˆ i -0,94ˆ j -0,16 ˆ k b) 0,31ˆ i +0,94ˆ j +0,16 ˆ k c) 0,31ˆ i -0,94ˆ j +0,16 ˆ k d) -0,31ˆ i +0,94ˆ j -0,16 ˆ k e) 0,31ˆ i +0,94ˆ j -0,16 ˆ k 332. La temperatura en un auditorio está dada por T=x2+y2-z. Un mosquito ubicado en el punto (1; 1; 2) en el auditorio desea volar en la dirección que le permita calentarse lo más pronto posible. ¿En qué dirección debe volar el mosquito? a) -2ˆ i +2ˆ j+ ˆ k b) 2ˆ i -2ˆ j+ ˆ k c) 2ˆ i -2ˆ j- ˆ k d) 2ˆ i +2ˆ j- ˆ k e) 2ˆ i +2ˆ j 333. I) Dado el campo xy 2 ˆ ˆ ˆ A e i senxy j cos xzk    ,hallar  A / xA  , en el punto (1;1;1) 55

2,0 e) 2,5 II) Dado el campo 2 2 ˆ ˆ B z cos zsen k      , hallar  B/ xB  , en el punto (1; /3;1) a) -1,11 b) +1,11 c) -1,31 d) +1,31 e) -1,51 III) Dado el campo 1 2 ˆ ˆ ˆ C rcos r r sen 2r sen        , hallar xC  / C , en el punto (1; /3; /6). a) 10,22 b) 11,22 c) 13,22 d) 14,22 e) 15,22 334. I) Dado el campo 2 2 ˆ ˆ ˆ A x yi y z j 2xzk    , hallar xA   / xA  en el punto (1;1; 1). a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 II) Dado el campo 2 3 2ˆ ˆ ˆ A z 3 z k         , hallar xA   / xA  en el punto (1; /3; 1). a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 III) Dado el campo 2 2 ˆ ˆ A r sen r r cos       , hallar xA   / xA  en el punto (1; /3). a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 IV) En el inciso III), calcular xA  y evaluar en el punto P(1,2; 45o; 60o). a) 0,29ˆ r -0,12 ˆ  b) 0,29ˆ r +0,12 ˆ  c) 0,29ˆ r -0,12 ˆ  d) 0,29ˆ r +0,12 ˆ  e) 3,2 ˆ  335. Dado el vector de flujo de calor H k T   , donde "T" es la temperatura y "k" es la con ductividad térmica, demuestre que dado: T 50sen( x / 2)cosh( y / 2)    , entonces, se cumple que: H 0   . 336. I) Compruebe que: (VA) V A A V      , donde "V" es un campo escalar y A un campo vectorial. II) Dados los campos ˆ ˆ ˆ A 2xi 3y j 4zk    y V=xyz, evalúe (VA)  en el punto de coor denadas x=1,5; y=1,2; z=1,8. a) 6,08 b) 6,28 c) 6,48 d) 6,68 e) 6,88 337. I) Compruebe que: x(VA) V( xA) VxA      , donde "V" y "A " son campos esca lar y vectorial, respectivamente. II) Calcular x(VA ) cuando V=1/r2 y A =r cosˆ r +r sen ˆ  +sen cos ˆ  , y evaluar para r=1,2, =30o, =60o. 56

Robótica y Cibernética 89 a) 0,50ˆ r -0,14 ˆ 
+0,35 ˆ  b) 0,50ˆ r +0,14 ˆ  -0,35 ˆ  c) -0,50ˆ r +0,14 ˆ  +0,35 ˆ  d) 0,50ˆ r -0,14 ˆ  -0,35 ˆ  e) 0,50ˆ r +0,14 ˆ  +0,35 ˆ  338. Dado el campo escalar U=xz-x2y+y2z2, evalúe div grad U en el punto P(1; 2; 3). a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 339. Demuestre la relación, ˆ n x k      . 340. Demuestre la relación, x(r / sen )        . 341. I) Dado el campo V=3x2y+xz, evalué V x V / V      en el punto (1; 1; 1). a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 II) Dado el campo V=zcos , evalué V x V / V      en el punto (1; /3; 1). a)  b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 III) Dado el campo V=4r2cos  sen , evalué V x V / V      en el punto (1; /3; /6) a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 342. Dado el vector de posición ˆ ˆ ˆ r xi y j zk    , y el campo T=2zy ˆ i +xy2 ˆ j+ x2yz ˆ k . I) Hallar ( r)T  en el punto x=1; y=1; z=1. a) 3ˆ i +6ˆ j+6 ˆ k b) 3ˆ i +6ˆ j+3 ˆ k c) 3ˆ i +3ˆ j+6 ˆ k d) 6ˆ i +3ˆ j+3 ˆ k e) 6ˆ i +3 ˆ k II) Hallar (r )T  en el punto x=1; y=1; z=1. a) 4ˆ i +4ˆ j+3 ˆ k b) 3ˆ i +4ˆ j+4 ˆ k c) 4ˆ i +3ˆ j+3 ˆ k d) 4ˆ i +3ˆ j+4 ˆ k e) 3ˆ j+4 ˆ k III) Hallar r(r T)  en el punto x=1; y=1; z=1. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 IV) Hallar 2 (r )r  en el punto x=1; y=1; z=1. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 343. Dado el vector de posición ˆ ˆ ˆ r xi y j zk    , r r  y "n" un número entero. I) Hallar n r r  para n=2, y r=1,5. a) 10,25 b) 11,25 c) 12,25 d) 13,25 e) 14,25 57

Análisis Vectorial 90 II) Hallar n xr r  para
n=3, y r=2. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 III) Hallar 2rn para n=2 y r=1,5. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 344. Dado el vector de posición ˆ ˆ ˆ r xi y j zk    , r r  y "n" un número entero. I) Hallar ( nr)  para r=0,5. a) r b) 2 r c) 0,25 r d) ˆ  e) 2 ˆ k II) Hallar 2( nr)  para r=0,5 a) 2 b) 4 c) 8 d) 0,25 e) 6 345. Demostrar la relación vectorial, A( ) ( A / )         . 346. I) Calcular 2V1 para V1 =x3+y3+z3, y evaluar en x=1,y=1, z=1. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 II) Calcular 2V2 para V2 =z2sen 2, y evaluar en =1,5, =30o, z=1,2. a) -0,53 b) -0,63 c) -0,73 d) -0,83 e) -0,93 III) Calcular 2V3 para V3 =r2(1+cos  sen ), y evaluar en r=1,5, =30o, =60o. a) 4,0 b) 4,5 c) 5,0 d) 5,5 e) 6,0 347. Calcular el laplaciano del campo escalar U=x3y2exz, y evaluar en (1;-1; 1). a) 41,49 b) 43,49 c) 45,49 d) 47,49 e) 49,49 II) Calcular el laplaciano del campo escalar V=2z(cos +sen), y evaluar en (5; /6;-2). a) -5,19 b) -6,19 c) -7,19 d) -8,19 e) -9,19 III) Calcular el laplaciano del campo escalar W=e-rsen  cos , y evaluar en (1; /3; /6). a) -0,53 b) -0,63 c) -0,73 d) -0,83 e) -0,93 348. Dado el campo escalar 2 2 2 V x y z  y 2 3 2 2 ˆ ˆ ˆ A x yi xz j y z k    I) Calcular 2V  y evaluar en el punto P(1; 1; 1). a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 II) Calcular 2A  y evaluar en el punto P(1; 1; 1). 58

Robótica y Cibernética 91 a) 2ˆ i -6ˆ j+4 ˆ
k b) -2ˆ i +6ˆ j-4 ˆ k c) 2ˆ i -6ˆ j-4 ˆ k d) 2ˆ i +6ˆ j-4 ˆ k e) 2ˆ i -4 ˆ k III) Calcular grad divA y evaluar en el punto P(1; 1; 1). a) -2ˆ i +2ˆ j-2 ˆ k b) -2ˆ i -2ˆ j+2 ˆ k c) 2ˆ i +2ˆ j-2 ˆ k d) 2ˆ i -2ˆ j-2 ˆ k e) 2ˆ i +2 ˆ k IV) Calcular rot rot A y evaluar en el punto P(1; 1; 1). a) -8ˆ i +2 ˆ k b) +8ˆ j-2 ˆ k c) -8ˆ j-2 ˆ k d) -8ˆ j+2 ˆ k e) 8ˆ i -2 ˆ k 349. Dado el campo vectorial 2 2 ˆ ˆ D 2 z cos k       , en la región definida por: 0 5, - 1z1, 0<<2. I) Calcular S D dS  . a) 170 b) 172 c) 174 d) 176 e) 178 II) Calcular V DdV   . a) 170 b) 172 c) 174 d) 176 e) 178 350. Dado el campo vectorial 2 2 2 ˆ ˆ ˆ F x i y j (z 1)k     , calcular S F dS  , donde S está defi nida por la superficie del cilindro =2, 0<z<2, 02. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 351. Compruebe el teorema de la divergencia S V A dS AdV     , para cada uno de los si guientes casos: I) 2 3 2 ˆ ˆ ˆ A xy i y j y zk    es la superficie del cuboide definido por 0<x<1, 0<y<1, 0<z<1 II) ˆ ˆ ˆ A 2 z 3zsen 4 cos k         y S es la superficie de la cuña 0<<2, 0<<45o, 0<z<5. III) 2 ˆ ˆ A r r rsen cos     y S es la superficie de un cuarto de una esfera definida por 0<r<3, 0<</2, 0<</2. 352. El momento de inercia alrededor del eje z de un cuerpo rígido es proporcional a la inte gral 2 2 V (x y )dxdydz   . Exprese esto como flujo de un campo vectorial A . 353. Calcular el flujo total hacia fuera del vector 2 ˆ ˆ ˆ F sen zcos zk        a través del cilindro hueco definido por 23, 0z5. a) 191 b) 193 c) 195 d) 197 e) 199 59

Análisis Vectorial 92 354. Probar el teorema de Stokes C
S A d xAdS     ,siendo 2 2 ˆ ˆ ˆ A (2x y)i yz j y zk     , "S" la superficie de la unidad superior de la esfera x2+y2+z2=1 y C su contorno límite. a) /4 b) /4 c) 3/4 d)  e) 2/3 355.Calcule el flujo del rotacional del campo 2 ˆ ˆ ˆ T r cos r rsen cos cos         a tra vés del hemisferio esférico r=4, z0. a) 0 b)  c) 3/4 d) /2 e) 2/3 356.Un campo vectorial está dado por: 2 2 2 2 2 ˆ ˆ Q x y z [(x y)i (x y) j]/ x y        . I) Calcule la integral L Q d  , donde L es el borde circular del volumen en forma de co no para helado que se presenta en la Fig.00 a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 8 II) Calcular 1 S ( xQ) dS   , donde S1 es la superficie superior del volumen del cono. a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 8 III) Calcular 2 S ( xQ) dS   , donde S2 es la superficie inclinada del volumen del cono. a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e) 8 357. Sean U y V campos escalares. Demuestre que L L U V d V U d       . 358. Demuestre que, n n r dV 1/ (n 3) r r dS     , donde r , r y n son como se definió en un problema anterior. 359. Dado el campo vectorial 2 ˆ ˆ ˆ G (16xy z)i 8x j xk     . I) Indicar si el campo G es irrotacional o conservativo. II) Calcular el flujo neto del campo G sobre el cubo 0<x, y, z<1. a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 III) Calcular la circulación del campo G alrededor del borde del cuadrado z=0, 0<x, y <1. Suponga la dirección contraria a las manecillas del reloj. a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 360. I) Si el campo vectorial, 3 2 2 ˆ ˆ ˆ T ( xy z )i (3x z) j (3xz y)k          es irrotacional, hallar "", "" y "" 60

Robótica y Cibernética 93 a) =6; =1; =1 b) =1;
=6; =1 c) =1; =1; =6 d) =-6; =1; =1 e) =1; =-6; =1 II) Calcular  Ten el punto x=2, y=-1, z=0. a) -3 b) -4 c) -5 d) -6 e) -8 361. Calcular la integral de Green, 2 2 C (3x 8y )dx (4y 6xy)dy     , donde C es el contor no definido y= x y y=x2. a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 362. Calcular la integral de Green, 2 2 C (3x 8y )dx (4y 6xy)dy     , donde C es el contor no definido x=0, y=0, x+y=1. a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 5/3 363. Calcular la integral de Green, C (3x 4y)dx (2x 3y)dy     , donde C es una circunfe rencia de radio dos con centro en el origen del plano xy y que se recorre en sentido positivo (giro en sentido contrario al de las manecillas del reloj). a) -4 b) +4 c) -6 d) +6 e) -8 364. Resolver el problema anterior para la integral 2 2 2 C (x y )dx 3xy dy    . a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 365. Calcular (  x2-2xy)dx+(x2y+3)dy alrededor de la frontera de la región definida por y2=8x, x=2, y y=0. a) 21,6 b) 23,6 c) 25,6 d) 27,6 e) 29,6 366. Calcule 2 1 0 0 (   10x4-2xy3)dx-3x2y2dy a lo largo de la trayectoria x4-6xy3=4y2. a) 54 b) 56 c) 58 d) 60 e) 62 367. Dado el campo vectorial F=yˆ i +(x-2xz)ˆ j-xy ˆ k , calcular la integral S ( xF) dS   , don de "S" es la superficie de la esfera x2+y2+z2=a2 por encima del plano xy. a) 0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 368. Dados los campos, ˆ ˆ ˆ A ti 3j 2tk    , ˆ ˆ ˆ B i 2 j 2k    , y ˆ ˆ ˆ C 3i t j k    . 61

Análisis Vectorial 94 I) Calcular 2 1 A BxCdt 
. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 II) Calcular 2 1 AxBxCdt  . a) -87/2ˆ i +44/3ˆ j+15/2 ˆ k b) 87/2ˆ i -44/3ˆ j+15/2 ˆ k c) -87/2ˆ i -44/3ˆ j-15/2 ˆ k d) -87/2ˆ i +44/3ˆ j-15/2 ˆ k e) -87/2ˆ i -44/3ˆ j+15/2 ˆ k 369. Dado, 2 ˆ ˆ ˆ R(t) (3t t)i (2 6t) j 4tk      , calcular 4 2 R(t)dt  . a) -50ˆ i -32ˆ j+24 ˆ k b) -50ˆ i +32ˆ j-24 ˆ k c) 50ˆ i +32ˆ j-24 ˆ k d) 50ˆ i -32ˆ j+24 ˆ k e) 50ˆ i -32ˆ j-24 ˆ k 370. Calcular la integral /2 0 ˆ ˆ (3senui 2cosu j)dt    . a) 3ˆ i -2ˆ j b) 3ˆ i +2ˆ j c) -3ˆ i -2ˆ j d) -3ˆ i +2ˆ j e) 2ˆ i -3ˆ j 371. Dado el campo 2 ˆ ˆ ˆ A(t) ti t j (t 1)k     y 2ˆ ˆ B(t) 2t i 6tk   I) Calcular 2 0 A Bdt  . a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 II) Calcular 2 0 AxBdt  . a) -24ˆ i -40/3ˆ j-64/5 ˆ k b) -24ˆ i -40/3ˆ j-64/5 ˆ k c) 24ˆ i -40/3ˆ j+64/5 ˆ k d) -24ˆ i +40/3ˆ j+64/5 ˆ k e) -24ˆ i -40/3ˆ j+64/5 ˆ k 372. Hallar el volumen de la región limitada por la intersección de los cilindros x2+y2=a2 y x2+z2=a2, para a=1,5. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 373. Dado el campo 2 ˆ ˆ ˆ F 4xzi y j yzk    , hallar el flujo E S F dS    donde S es la super ficie del cubo limitado por x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1. a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5 374. Dado el campo ˆ ˆ ˆ A 18zi 12 j 3yk    , calcular el flujo S ˆ A ndS  , donde S es la región 62

Robótica y Cibernética 95 del plano 2x+3y+6z=12, situado en el
primer octante del sistema de coordenadas. a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5 375. Verificar el teorema de la divergencia S V ˆ a ndS adV     , donde a =4xˆ i -2y2 ˆ j+z2 ˆ k es un campo, y S la superficie de la región limitada por el cilindro x2+y2=4, z=0 y z=3. a) 80 b) 82 c) 84 d) 86 e) 88 376. Calcular (y senx)dx cosxdy    , siendo C el contorno del triángulo de vértices en (0; 0), (/2, 0), y (/2, 1), y verificar el teorema de Green. a) -1,02 b) -1,22 c) -1,42 d) -1,62 e) -1,82 377. Dado el campo 2 ˆ ˆ ˆ F 2xzi x j y k    , calcular V FdV  donde V es la región limitada por las superficies x=0, y=0, y=6, z=x2, z=4. a) 128ˆ i -24ˆ j-384 ˆ k b) 128ˆ i +24ˆ j+384 ˆ k c) -128ˆ i -24ˆ j+384 ˆ k d) 128ˆ i +24ˆ j-384 ˆ k e) 128ˆ i -24ˆ j+384 ˆ k 378. Hallar 2 2 2 0 0 (6xy y )dx (3x 2xy)dy       a lo largo de la cilcloide x=-sen, y=1-cos a) 42,65 b) 43,65 c) 44,65 d) 45,65 e) 46,65 379. Hallar 2 C (3x 2y)dx (x 3cosy)dy     a lo largo del paralelogramo de vértices (0; 0), (2; 0), (3; 1) y (1; 1). (Recorrido en sentido positivo) a) -4 b) +4 c) -6 d) +6 e) -8 380. Hallar el área limitada por las funciones f(x)=x3 y g(x)=x definidas en el plano xy. a) 1/2 b) 1/4 c) 2/3 d) 3/4 e) 4/5 381. Hallar el área comprendida entre la parábola x=4-y2 y el eje y. a) 31,88 b) 32,88 c) 33,88 d) 34,88 e) 35,88 382. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola x=4-y2 y el eje y. a) 10,67 b) 11,67 c) 12,67 d) 13,67 e) 14,67 383. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola semicubica y=x3 y la parábola y=2x-x2. a) 3,08 b) 3,28 c) 3,48 d) 3,68 e) 3,88 63

Análisis Vectorial 96 384. Hallar el trabajo realizado por el
campo, F=(2x-y+z)ˆ i +(x+y-z2)ˆ j+(3x-2y+4z) ˆ k al des plazar una partícula una vuelta sobre una circunferencia de radio r=3 contenida en el plano xy, y centro en el origen. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 385. Hallar el trabajo total realizado para desplazar una partícula en un campo de fuerzas dado por, ˆ ˆ ˆ F 3xyi 5z j 10xk    a lo largo de la curva x=t2+1, y=2t2, z=t2, desde t=1 hasta t=2. a) 301 b) 303 c) 305 d) 307 e) 309 386. Dado el campo de fuerzas 2 ˆ ˆ F 3xyi y j,   hallar C F dr  a lo largo de la curva C del plano xy de ecuación y=2x2, desde el punto (0; 0) hasta el punto (1; 2). a) -3/2 b) -5/3 c) -8/5 d) -6/5 e) -7/6 387. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y2=4x y su "latus rectum". a) 4/3 b) 5/3 c) 7/3 d) 8/3 e) 9/5 388. Hallar el área de la superficie comprendida entre las gráficas de las funciones y=3x-x2 y y=3x2-x3. a) 3,08 b) 3,28 c) 3,48 d) 3,68 e) 3,88 389. Hallar el área de la superficie comprendida entre las gráficas de las funciones xy=1 y y(x2+1)=x a la derecha de la recta x=1. a) 0,15 b) 0,35 c) 0,55 d) 0,75 e) 0,95 390. Hallar el área de la superficie comprendida por debajo de la gráfica de la función f(x)=ex y por encima de la gráfica de la función g(x)=1/(x2+1). a) 0,53 b) 0,63 c) 0,63 d) 0,73 e) 0,83 391. Hallar el área de la superficie limitada por las rectas f1 =y=-x+2, f2 =y=x, y la parábola f3 =y=(x-1)2. a) 0,308 b) 0,328 c) 0,348 d) 0,368 e) 0,388 392. Hallar el área de la superficie limitada entre la cisoide de Diocles x3=y2(1/2p-x) y su asíntota y su asíntota x=2p. a) 0,39p-2 b) 0,49p-2 c) 0,59p-2 d) 0,69p-2 e) 0,79p-2 393. Hallar el área de la superficie comprendida entre las curvas y=x2 y y=2/(x2+1). 64

d) 2,67 e) 2,87 394. Hallar el área de la superficie limitada por el eje x y la curva de ecuación y=e-axsen bx (a>0) para x entre 0 y , con a=1,2 y b=3,6. a) 0,48 b) 0,52 c) 0,56 d) 0,60 e) 0,64 395. Hallar el área de la superficie menor limitada por la parábola y=x2/2, y la circunferen cia x2+y2=8. a) 4,62 b) 5,62 c) 6,62 d) 7,62 e) 8,62 396. Hallar el área de la superficie encerrada por la recta x-y=1 y la parábola de ecuación y2= 2x+1. a) 11/3 b) 12/5 c) 13/4 d) 14/7 e) 16/3 397. Hallar el área de la superficie encerrada por la curva de ecuación y2=(1-x2)3. a) 2/3 b) 3/8 c) 2/5 d) 4/5 e) 3/4 398. Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y=ln(x)/4x y y=xln(x). a) 0,02 b) 0,04 c) 0,06 d) 0,08 e) 0,10 399. Hallar el área de la superficie comprendida entre la curva de Agnesi y=a3/(x2+a2) y el eje x. a) a2/2 b) a2/4 c) 3a2/2 d) a2 e) 2a2 400. Hallar el área de la superficie encerrada por las parábolas y=x2, y=x2/2, y la recta y=2x. a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0 401. Hallar el área de la superficie encerrada por las curvas y=ex, y=e-x y el eje x. a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 402. Hallar el área de la superficie encerrada por las curvas y=ex, y=e-x y la recta x=1. a) 1,02 b) 1,22 c) 1,42 d) 1,62 e) 1,82 403. Hallar el área de la superficie encerrada por la función y=sen x y el eje x, para la mitad de un periodo. a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 404. Hallar área de la superficie encerrada por la catenaria y=a cosh(x/a), las rectas x=a, y el eje x. 65

Análisis Vectorial 98 a) 2,15a2 b) 2,35a2 c) 2,55a2 d)
2,75a2 e) 2,95a2 405. Hallar el área limitada por el cerdioide de ecuación, r=2(1-cos ), para 02. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3/4 406. Hallar el área de la superficie encerrada por el astroide de ecuación x2/3+y2/3=a2/3. a) 1,16a2 b) 1,36a2 c) 1,56a2 d) 1,76a2 e) 1,96a2 407. Hallar el área de la superficie encerrada por la involuta del círculo de ecuación dada por: x=a cos +a sen , y=a sen -a cos , y el eje x. a) 6,14a2 b) 6,34a2 c) 6,54a2 d) 6,74a2 e) 6,94a2 408. Hallar el área de la superficie encerrada por la parábola y=x2 y la recta -x+y=2. a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0 e) 4,5 409. Hallar el área de la superficie menor encerrada por la elipse x2/a2+y2/b2 y la parábola y=x2, para a=3, y b=2. a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 410. Hallar el área de la superficie encerrada por la catenaria y=a cosh(x/a), el eje y y la rec ta y=a(e2+1)/2e. a) a2/e b) a2/2e c) 2a2/e d) 3a2/e e) a2/3e 411. Hallar el área de la superficie limitada por la hipérbola x2-y2=9, el eje x, y la recta para lela al eje x que pasa por el punto (5; 4). a) 21,6 b) 22,6 c) 23,6 d) 24,6 e) 25,6 412. Hallar el área de la superficie limitada por el eje polar y la primera vuelta de la espiral de Arquímedes r=a. a) 41,34 b) 42,34 c) 43,34 d) 44,34 e) 45,34 413. Hallar el área de la superficie limitada por una hoja del grafo polar r= 4sen2 . a) /4 b) /2 c) 3/4 d)  e) 2 414. Hallar el área de la superficie limitada por la curva r=sen(/2). a) 2,17 b) 2,37 c) 2,57 d) 2,77 e) 2,97 415. Hallar el área de la superficie encerrada por las curvas r=4/(1-cos ) y r=4/(1+cos ). 66

d) 23,3 e) 24,3 416. Hallar el área de la superficie encerrada en el interior del círculo r=cos  y por fuera de la cardioide r=1-cos . a) 0,38 b) 0,48 c) 0,58 d) 0,68 e) 0,78 417. Dado el campo 2 ˆ ˆ ˆ F 2xyi yz j xzk    , calcular S F dS  donde "S" es la superficie del paralelepípedo definido por x=0, x=2, y=0, y=1, z=0, z=3, además verificar el teore ma de la divergencia. a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38 418. Hallar aproximadamente el área de la superficie encerrada por la parábola y2=4-x, y la función logaritmo natural y=ln(x). a) 6,02 b) 6,22 c) 6,42 d) 6,62 e) 6,82 419. Demostrar la relación dada por: 2 2 V S ˆ ˆ r dV (r n)r dS      . 420. Siendo "S" una superficie cerrada que limita un volumen "V" y A =axˆ i +bˆ j+c ˆ k , de mostrar que, S A dS (a b c)V     . 421. Siendo ˆ n el vector unitario normal exterior a una superficie cerrada de área S, demos trar que se cumple que: V ˆ divndV S   . 422. Hallar la longitud de la curva correspondiente a la lemniscata de Bernoulli, de ecua ción: r=(cos 2)1/2. a) 5,04 b) 5,24 c) 5,44 d) 5,64 e) 5,84 423. Hallar la longitud de la curva correspondiente a la cardioide de ecuación: r=asen3(/3). a) 4,11 b) 4,31 c) 4,51 d) 4,71 e) 4,91 424. Hallar la longitud de la curva dada por: =(1/2)(r+1/r) para "r" variando entre 1 y 3. a) 2,15 b) 2,35 c) 2,55 d) 2,75 e) 2,95 425. Hallar el área de la superficie limitada por el caracol de Pascal, dada por: r=2+cos. a) 3,0 v) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 426. Hallar el área de la superficie generada por la rotación del cardioide r=a(1+cos) alre dedor del eje polar. 67

26,1 e) 28,1 427. Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva r2=cos 2, alrededor del eje polar. a) 3,08 b) 3,28 c) 3,48 d) 3,68 e) 3,88 428. Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva r=acos , alrededor del eje y. a) 9,07a2 b) 9,27a2 c) 9,47a2 d) 9,67a2 e) 9,87a2 429. Hallar el volumen de un cono recto circular de altura h=2 y diámetro de la base D=4. a) 8,18 b) 8,38 c) 8,58 d) 8,78 e) 8,98 430. Hallar el volumen V del sólido de revolución que resulta de girar el arco de parábola y=x2, con x[0; 1], alrededor de la recta x=1. a) /2 b) /4 c) /6 d) /8 e) 3/2 431. Hallar el volumen del toro generado al hacer girar un disco de radio "r" alrededor de una recta a una distancia "a" (a>r) del centro del círculo. a) /2 b) /4 c) /6 d) /8 e) 3/2 432. Hallar el volumen del sólido generado al rotar la superficie formada por la parábola y=x2+1 y las rectas x=1, x=3 alrededor del eje x. a) 61,73 b) 63,73 c) 65,73 d) 67,73 e) 69,73 433. Hallar el volumen del sólido generado al rotar la curva y=x2+1 alrededor del eje y des de y=1 hasta y=5. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 434. Hallar el volumen del esferoide generado por la rotación de la elipse x2/a2+y2/b2=1 (a>b) alrededor del eje x. a) 4ab2/3 b) 4a2b/3 c) 2ab2/3 d) 2a2b/3 e) 3a2b/4 435. Hallar el volumen de un segmento de esfera de radio "a" y altura "h", y evaluar para a=8 y h=4. a) 331 b) 333 c) 335 d) 337 e) 339 436. Se genera una superficie mediante una recta que siempre se desplaza paralela al plano xz y tiene puntos en común con la recta y+z=a, x=0, y la recta x=b, z=0. Hallar el volu men en el primer octante que forma esta superficie. 68

Robótica y Cibernética 101 a) ab2/2 b) a2b/2 c) ab2/3
d) a2b/3 e) a2b/4 437. Hallar el volumen resultante de hacer girar la curva y=8a3/(x2+4a2) alrededor del eje x. a) 2a3 b) 4a3 c) 22a3 d) 42a3 e) 82a3 438. A una esfera compacta de radio "a" se le hace un hueco esférico de radio "h" que pasa por su centro. Hallar la expresión del volumen "V" restante, y evaluar para a=2 y h=3. a) 8/3 b) 10/3 c) 11/3 d) 13/3 e) 14/3 439. Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor del eje x un arco de la cicloide x=a(-sen ), y=a(1-cos ). a) 22a3 b) 32a3 c) 42a3 d) 52a3 e) 62a3 440. Hallar el volumen del sólido que resulta de hacer girar alrededor del eje x, la superficie limitada por las parábolas y=-x2+4, y=x2, y el eje y. a) 43,4 b) 44,4 c) 45,4 d) 46,4 e) 47,4 441. Hallar el volumen del sólido de revolución que resulta de hacer girar alrededor del eje x, la superficie limitada por las parábolas y2=ax, y x2=by, evaluar para a=4 y b=5. a) 80,22 b) 81,22 c) 82,22 d) 83,22 e) 84,22 442. Hallar la fórmula del volumen de una cuña formada a partir de un cilindro recto circu lar de radio "r", pasando un plano por el diámetro de la base y a "" con la misma, eva luar para r=9 y =45o. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 443. Hallar el volumen de revolución generado al girar la curva y=3x/(x2+3) alrededor del eje x. a) 21,6 b) 23,6 c) 25,6 d) 27,6 e) 29,6 444. Demostrar que el volumen de una esfera de radio "R", viene dada por: V=4R3/3, evaluar para R=3. a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38 445. Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar el cisoide de Diocles x2=y2(x-a) alrededor del eje x. a) 5,12 b) 5,32 c) 5,52 d) 5,72 e) 5,92 446. Se tiene un cilindro truncado circular de radio R=4, alturas h1 =6, h2 =8. 69

Análisis Vectorial 102 I) Hallar el área de la superficie
lateral de este cilindro truncado. a) 170 b) 172 c) 174 d) 176 e) 178 II) Hallar el área de la superficie total de este cilindro truncado. a) 270 b) 272 c) 274 d) 276 e) 278 III) Hallar el volumen de este cilindro truncado. a) 351,9 b) 353,9 c) 355,9 d) 357,9 e) 359,9 447. Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x la pará bola semi cubica: y2=x3, alrededor del eje. a)  b) /2 c) /3 d) /4 e) 3/4 448. Dado el campo 2 ˆ ˆ F (5xy 6x )i (2y 4x) j     , hallar C F dr  a lo largo de la curva C del plano xy, y=x3 desde el punto (1; 1) hasta el punto (2; 8). a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 450. A un sólido en forma de tonel parábolico de diámetros d=6, D=8, y altura h=12, se le practica en el centro un agujero esférico de radio R=3. Hallar el cambio porcentual que experimenta el volumen del sólido. a)-20,17 % b) 20,17 % c) -22,17 % d) 22,17 % e) 24,17% 451. Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x, la catenaria dada por y=acosh(x/a), y las rectas x=a. a) 9,05a3 b) 9,25a3 c) 9,45a3 d) 9,65a3 e) 9,85a3 452. Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar alrededor de la recta y=-p la figura limitada por la parábola y2=2px y por la recta x=p/2. a) 2p3/3 b) 4p3/3 c) 3p3/4 d) p3/4 e) p3/3 453. Hallr el volumen del sólido generado al girar la cisoide y2=x3/(2a-x) alrededor de su asíntota x=2a. a) a3 b) 2a3 c) 4a3 d) 2a3 e) 22a3 454. Un sólido tiene una bse circular de radio "r". hallar el volumen del sólido sabiendo que toda sección perpendicular a su base es un triángulo equilátero. Evaluar para r= 3 . a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 2/3 70

Robótica y Cibernética 103 455. Hallar la integral 3 2
(A dA / dt)dt  , si ˆ ˆ ˆ A(2) 2i j 2k    , ˆ ˆ ˆ A(3) 4i 2 j 3k    . a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 456. La aceleración de una partícula en función del tiempo para t0, viene dada por a = tˆ ˆ ˆ e i 6(t 1) j 3sentk     (m/s2), si v(0) 0  , y r(0) 0  , hallar la velocidad v y el des plazamiento r en función del tiempo. I) Evaluar la magnitud de la velocidad instántanea v en el instante t=1 s. a) 9,13 m/s b) 9,33 m/s c) 9,53 m/s d) 9,73 m/s e) 9,93 m/s II) Evaluar la magnitud del desplazamiento r en el instante t=1 s. a) 4,15 m b) 4,35 m c) 4,55 m d) 4,75 m e) 4,95 m 457. Hallar la velocidad aerolar de una partícula que se desplaza a lo largo de la trayectoria r =acos tˆ i +bsen t ˆ j , siendo "a", "b", "" constantes y "t" el tiempo. a) abˆ i b) abˆ j c) abˆ i /2 d) abˆ j/2 e) ab ˆ k /2 458. Demostrar que si una partícula se desplaza en un campo de fuerza central, entonces su trayectoria debe estar contenida en una plano. 459. Demostrar que el momento angular L de una partícula que se desplaza en un campo de fuerza central se conserva. 460. Expresar las ecuaciones de movimiento de una partícula de masa "m" en un campo de fuerza central "F(r) ". 461. Demostrar que para el movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza cen tral, 2 r h cte.    , donde "r" es la distancia radial y "" el ángulo polar. 462. Demostrar que para el movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza cen tral, 2 r 2A 2dA    /dt, donde es la rapidez de crecimiento del área de berrido del vec tor de posición r . 463. Demostrar que una partícula en movimiento bajo la acción de una fuerza central, tiene una velocidad aerolar constante. 464. Haciendo la sustitución, r=u-1, demostrar que la ecuación diferencial que describe el movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central, puede expresarse así: d2u/d2+u=-f(u)/mh2u2, donde "m" es la masa de la partícula, "h" es una constante. 465. I) Probar que un campo de fuerza central es conservativo. II) Hallar la correspondiente energía potencial de una partícula en dicho campo central. 71

Análisis Vectorial 104 466. Expresar la ecuación correspondiente al principio
de conservación de la energía, para una partícula de masa "m" que se mueve en un campo de fuerza central. 467. Demostrar que la ecuación diferencial que describe el movimiento de una partícula de masa "m" en un campo de fuerza central puede expresarse así: (mh2/2r4)[(dr/d)2+ 2 r ] F(r)dr E    , donde "h" es una constante, y "E" es la energía total de la partícula. 468. I) Para una partícula de masa "m" que se mueve en un campo de fuerza central, demos trar que, v2= 2 2 2 r r   =h2[(du/d)2+u2]. II) Usar el resultado del iniso I), para probar que la ecuación de conservación de la ener gía se reduce a: (du/d)2+u2=2(E-V)/mh2, donde "E" es la energía total, "V" es el poten cial asociado a la fuerza conservativa. 469.Expresar la velocidad y aceleración del movimiento libre de una partícula en coorde nadas polares planas (r; ). 470.Expresar la velocidad y aceleración del movimiento libre de una partícula en coorde nadas cilindricas (; ; z). 471.Expresar la velocidad y aceleración del movimiento libre de una partícula en coorde nadas esféricas (r; ; ). 472.Probar que la aceleración a de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio con una velocidad v , viene dado por: a =(dv/dt) T ˆ u +(v2/) N ˆ u , siendo () el radio de curvatura y T ˆ u , N ˆ u vectores unitarios en las direcciones de la tangente y la nor mal a la curva. 474. Demostrar que en coordenadas rectangulares de la magnitud de la velocidad aerolar, viene dada por: (1/2)( x y yx  ). 475. Demostrar por métodos vectoriales que la trayectoria de un planeta alrededor del Sol es una elipse, con el Sol en uno de sus focos. 476.Probar que: k=1/=(x y x y)  / 2 2 (x y )  3/2 es la expresión de la curvatura de una curva plana en un punto P, " "  el radio de curvatura, y (x; y) las coordenadas del punto P. 477.En la Fig13, en el sistema de poleas, hallar la velocidad y la aceleración del bloque 2. sabiendo que las rapideces y aceleraciones de los bloques 1 y 3 son: v1 = 6 m/s, a1 =2 m/s2, v3 =3 m/s y a3 =4 m/s2. Despreciar todo tipo de fricción. a) -11 m/s ; 4 m/s2 b) -15 m/s ; 8 m/s2 c) -17 m/s ; 6 m/s2 d) -11 m/s ; 2 m/s2 e) -13 m/s ; 10 m/s2 478.En la Fig14, una partícula describe una trayectoria parabólica dada por : y=4x2 con 72

Robótica y Cibernética 105 velocidad constante v=4 m/s, donde x,
y están dadas en metros. Hallar el módulo de la componente normal (aN ) de la aceleración, en el instante en que x=0,376 m. a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2 d) 4 m/s2 e) 5 m/s2 Fig13 Fig14 479.Una partícula se mueve en el espacio a lo largo de una trayectoria curva con una velo cidad ( v) y una aceleración (a ). Demostrar que el radio de curvatura instantáneo, vie ne dado por: =v3/ vxa . 480.En la Fig47, el extremo derecho B de la barra de longitud l=2,5 m se mueve con rapi dez de v0 =6 m/s, y el otro extremo A se desliza sobre la pared vertical. Hallar la rapi dez con que se mueve el punto medio de la barra, cuando el extremo B está a una dis tancia de d=2 m de la pared. a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) 6 m/s e) 7 m/s Fig47 Fig48 481.En la Fig48, se muestra el mecanismo biela-manivela para una posición cualquiera de la manivela R. Si la longitud de la biela es l=0,8 m y la manivela de radio R=2 cm gira con una velocidad angular constante de =4 rad/s. Hallar: I) La velocidad instantánea de la cruceta C, cuando   300 l  B C D A R  h  eje liso g A B l 1 2 3 A  g v m 0 i j   x y y=4x2 73

Análisis Vectorial 106 a) 2,1 cm/s b) 3,1 cm/s c)
4,1 cm/s d) 5,1 cm/s e)6,1 cm/s II) La aceleración instantánea de la cruceta C, cuando   300 a) 24,1 cm/s2 b) 25,1 cm/s2 c) 26,1 cm/s2 d) 27,1 cm/s2 e) 28,1 cm/s2 482. Demostrar que el tiempo entre dos posiciones diferentes para una partícula de masa "m" que se mueve en una fuerza de campo central, viene dada por: o r 1/2 r t [G(r)] dr    , donde G(r)=2E/m+(2/m) F(r)dr  -h2/2m2r2. 483. Demostrar que la trayectoria que describe una partícula bajo la acción de una fuerza central atractiva del tipo F(r)=-k/r2, k>0, es una cónica (parabola, elipse o hiperbola). 484. Deducir la ecuación de una cónica r=p/(1+cos), donde "" es la excentricidad de la cónica que puede ser parabola (=0), elipse (<0) o hiperbola (>0). 485. La trayectoria que describe un cuerpo de masa "m", bajo la acción de una fuerza cen tral es una elipse de semiejes "a" y "b". I) Demostrar que la ecuación de la elipse, viene dada por: r=a(1-2)/(1+cos ), donde "" es la excentricidad de la órbita eliptica. II) Demostrar que la distancia del foco O al vértice de la elipse es: OV=a(1-). III) Demostrar que la distancia del foco O al punto más lejano de la órbita es: OU=a(1+). IV) Demostrar que la distancia del foco O al centro C de la elipse es: c=a. V) Demostrar que la distancia del foco O al centro C de la elipse es: c=(a2-b2)1/2. VI) Demostrar que el semieje "b" de la órbita eliptica, viene dada por: b=a(1-2)1/2. 486. Demostrar que los cuadrados de los periodos "" de los planetas en su movimiento al rededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores "a" de sus tra yectorias elipticas (tercera ley de Kepler). 487.En la Fig49, de A sale un auto y se dirige a B situado una distancia de 40 m de la ca rretera, su rapidez en la carretera y fuera de ella es de 5 m/s y 3 m/s.¿ A qué distancia del punto D debe abandonar el auto la carretera, para que el tiempo de viaje sea el me nor posible? a) 10 m b) 20 m c) 30 m d) 40 m e) 50 m 488.En la Fig50, ¿Con qué rapidez mínima debe lanzarse el cuerpo por la mesa horizon tal, para que este al llegar a la parte redondeada en forma de semicircunferencia de ra dio R=2,5 m, describa una trayectoria parabólica? (g=10 m/s2) a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/s d) 4 m/s e) 5 m/s 489.Desde el origen de coordenadas, se dispara un cohete, hacia un satélite que se mueve en una órbita circular de radio R=6000 m. Si el cohete siempre se encuentra en la recta 74

Robótica y Cibernética 107 que une el origen con el
satélite, y las magnitudes de las velocidades de ambos en todo instante es de 50 m/s, hallar el tiempo que demora el cohete en impactar con el satéli te. a) 1 min b) 2 min c) 3 min d) 4 min e) 5 min Fig49 Fig50 490.De un cañón se disparan dos proyectiles seguidos con la misma rapidez v0 =300 m/s y con ángulos de disparo 1 =530 y 2 =370. ¿Para qué intervalo de tiempo entre los dispa ros, los proyectiles colisionan entre sí? (g=10 m/s2) a) 11,0 s b) 11,4 s c) 11,8 s d) 12,2 s e) 12,6 s 491. Dado el campo ˆ ˆ ˆ F (2y 3)i xz j (yz x)k      (N) , hallar C F dr  a lo largo de curva de ecuación paramétrica: x=2t2, y=t, z=t3 desde t=0 hasta t=1. a) 8,03 J b) 8,23 J c) 8,43 J d) 8,63 J e) 8,83 J 492. Dada la fuerza ˆ ˆ F (2x y)i (3y x) j     (N), hallar C F dr  a lo largo de la curva C del plano xy que une los puntos (0; 0) (m), (2; 0) (m) y (3; 2) (m). a) 10 J b) 11 J c) 12 J d) 13 J e) 14 J 493. Hallar el trabajo realizado al desplazar una partícula en el campo de fuerza 2ˆ F 3x i   ˆ ˆ (2xz y) j zk   (N) a lo largo de la curva C definida por x2=4y, 3x3=8z, desde x=0 (m) hasta x=2 (m). a) 10 J b) 12 J c) 14 J d) 16 J e) 18 J 494. Dado el vector ˆ ˆ A (y 2x)i (3x 2y) j     , hallar la circulación de A alrededor de la circunferencia C del plano xy con centro en el origen y radio R=2, sabiendo que C se recorre en sentido positivo (antihorario). a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 A B D C o x=? 40m v R 0 75

Análisis Vectorial 108 495. En la Fig51, dado la fuerza
F=(2x+y2)ˆ i +(3y-4x)ˆ j , hallar la integral C F dr  alrede dor del triángulo, en el sentido indicado. a) -11/3 b) +11/3 c) -13/3 d) +13/3 e) -14/3 Fig51 Fig52 496. En la Fig52, en los extremos de la barra de peso despreciable y longitud l=50 cm es tán sujetadas las bolas de masas m1 =0,4 kg, m2 =0,6 kg. Las velocidades de las bolas están en un mismo plano y sus módulos son, v1 =4 m/s, v2 =2 m/s. Hallar: I) Las distancias de las bolas "1" y "2" al centro de masa (c.m) del sistema. a) 15 cm ; 35 cm b) 35 cm ; 15 cm c) 20 cm ; 30 cm d) 30 cm ; 20 cm e) 25 cm ; 25 cm II) El módulo de la velocidad del centro de masa (c.m) del sistema. a) 0,1 m/s b) 0,2 m/s c) 0,3 m/s d) 0,4 m/s e) 0,5 m/s III) La dirección de la velocidad del centro de masa (c.m) del sistema. a)  b)  c)  d)  e) IV) El módulo de la velocidad angular con la que rota la barra, respecto de su centro de ma sa (eje instantáneo de rotación). a) 10 rad/s b) 12 rad/s c) 14 rad/s d) 16 rad/s e) 18 rad/s 497. I) Dado el vector A =(4xy-3x2z2)ˆ i +2x2)ˆ j-2x3z ˆ k , demostrar que la circulación A es independiente de la trayectoria C que pasa por dos puntos de la misma. II) Demostrar que existe una función derivable "V" de forma que A =V, y evaluar esta función "V" en x=0,5, y=1,5, z=2,5, tomando la constante de integración C=0. a) 0,14 b) 0,24 c) 0,34 d) 0,44 e) 0,54 498. Verificar el teorema de la Divergencia de Gauss para A =4xˆ i +2y2 ˆ j+z2 ˆ k extendida a la región limitada por el cilindro x2+y2=4, y los planos z=0, z=3. a) 80 b) 82 c) 84 d) 86 e) 88 (2;1) 0 i j   x y (2;0) v2 v1 m1 m2 l 76

Robótica y Cibernética 109 499. I) Demostrar que el campo
de fuerzas F=(y2cos x+z3)ˆ i +(2ysen x-4)ˆ j+(3xz2+2) ˆ k (N) es conservativo. II) Hallar el potencial escalar asociado a la fuerza F, y evaluar en x=0,5, y=0,5, z=0,5, to mando la constante de integración C=0, y la masa unitaria m=1 kg. a) 1,02 J/kg b) 1,22 J/kg c) 1,42 J/kg d) 1,62 J/kg e) 1,82 J/kg III) Hallar el trabajo realiazado al desplazar un cuerpo de masa unitaria en este campo des desde el punto A(0; 1;-1) m hasta el punto B(/2;-1; 2) m a) 21,6 J b) 23,6 J c) 25,6 J d) 27,6 J e) 29,6 J 500. En la Fig53, sobre la tabla de masa M=50 kg, ubicada sobre el piso liso, está el cuer po de masa m=10 kg. El coeficiente de fricción entre el cuerpo y la tabla es =1/2. ¿Con qué aceleración se moverá el cuerpo de masa "m" si sobre el actúa la fuerza F0 =80 N? a) 1 2 m s b) 2 2 m s c) 3 2 m s d) 4 2 m s e) 5 2 m s 501. En la Fig54, hallar la fuerza que ejercen las pesas en movimiento sobre la pared verti cal en el instante en que el eje de las pesas forma con la horizontal el ángulo =530. Las pesas inician su movimiento de la posición vertical sin rapidez inicial. La masa de cada bola de las pesas es m=5 kg. (g=10 m/s2) a) 10 N b) 12 N c) 14 N d) 16 N e) 18 N 502. Demostrar que el campo de fuerzas F=r2 r es conservativo y hallar el potencial escalar asociado a este campo de fuerzas. 503. Determinar si el campo de fuerzas F=2xzˆ i +(x2-y)ˆ j+(2z-x2) ˆ k es conservarivo. 504. Demostrar que el trabajo realizado sobre una partícula de masa "m" para desplazarla desde A hasta B, es igual, a la variación de la energía cinética en dichos puntos, tanto si el campo de fuerzas sea conservatio o no. Fig53 Fig54 505. Hallar la circulación C A del vector A =(yz+2x)ˆ i +xzˆ j+(xy+2z) ˆ k a lo largo de la curva g M m F0 g  l 77

Análisis Vectorial 110 x2+y2=1, z=1, en el sentido positivo, desde
el punto (0; 1; 1) hasta el punto (1; 0; 1). a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5 506. I) Dado el campo de fuerzas E r r  , indicar si este campo es conservativo o no. II) En caso que el campo E sea conservativo, hallar su función potencial "V". III) Calcular la circulación del campo E a lo largo de cualquier curva C cerrada simple. 507. Demostrar que (2x cos y+z sen y) dx+(xz cos y-x2sen y) dy+x sen y dz es una diferen cial exacta. Como consecuencia resolver esta ecuación dada. 508. Dada la función escalar (x; y; z)=2xy2z+x2y, calcular C dr   , siendo C la curva defi nida por: x=t, y=t2, z=t3 desde t=0 hasta t=1. a) (19/45)ˆ i +(11/15)ˆ j+(75/77) ˆ k b) (11/45)ˆ i +(21/15)ˆ j+(71/77) ˆ k c) (17/45)ˆ i +(23/15)ˆ j+(75/77) ˆ k d) (13/45)ˆ i +(13/15)ˆ j+(81/77) ˆ k e) (17/45)ˆ i +(19/15)ˆ j+(79/77) ˆ k 509. Dado el vector F=2yˆ i -zˆ j+x ˆ k , calcular la integral C Fxdr  , a lo largo de la curva defi nida por: x=cos t, y=sen t, z=2 cos t, para "t" variando desde t=0 hasta t=/2. a) 1,81ˆ i +2,04ˆ j b) 1,01ˆ i +2,44ˆ j c) 1,41ˆ i +2,84ˆ j d) 1,21ˆ i +2,64ˆ j e) 2ˆ i +2,8ˆ j Fig55 Fig56 510.En la Fig55, los móviles A y B parten simultáneamente de P y Q moviéndose en di recciones perpendiculares con rapideces de v=4 m/s y u=2 m/s, en el instante inicial d1 =40 m y d2 =10 m, respectivamente. I) Después de que tiempo de iniciado el movimiento la distancia entre los móviles A y B es mínima. a) 1 s b) 3 s c) 5 s d) 7 s e) 9 s II) Hallar la distancia mínima entre los móviles A y B. 0 d1 d2 v u P Q x(m) 0 v t=1s  s P y(m) i j   78

Robótica y Cibernética 111 a) 2 2 m b) 3
2 m c) 4 2 m d) 3 3 m e) 4 3 m 511.En la Fig56, la partícula se mueve a lo largo de la parábola y=2x3/2, la longitud de la curva recorrida es s=t3. Si en t0 =0 s, x0 =y0 =s0 = 0 m. Hallar el valor del ángulo " "  en el instante t=1 s. a) o 61 47 22   b) o 62 47 22   c) o 63 47 22   d) o 64 47 22   e) o 65 47 22   512. Dado el vector A =(3x+y)ˆ i -xˆ j+(y-2) ˆ k y B=2ˆ i -3ˆ j+ ˆ k , hallar C (AxB)xdr  alrede dor de la circunferencia del plano xy, de centro en el origen y radio R=2, recorrida en el sentido positivo (antihorario). a) 81,9ˆ i +31,7ˆ j b) 83,9ˆ i +33,7ˆ j c) 85,9ˆ i +35,7ˆ j d) 87,9ˆ i +37,7ˆ j e) 89ˆ i +39,7ˆ j 513. Dado el vector A =yˆ i +2xˆ j-z ˆ k , hallar S ˆ A ndS  , donde "S" es la superficie del plano 2x+y=6 situada en el primer octante y limitado por los planos z=0 y z=4. a) 100 b) 102 c) 104 d) 106 e) 108 514. Dado el vector A =(x+y2)ˆ i -2xˆ j+2yz ˆ k , hallar S ˆ A ndS  , donde "S" es la superficie del plano 2x+y+2z=6 situada en el primer octante. a) 160 b) 162 c) 164 d) 166 e) 168 Fig57 Fig58 515.En la Fig57, el móvil describe la trayectoria elíptica de semiejes a=4 m, b=2 m con velocidad lineal constante de v=2 m/s. Un foco luminoso ubicado en el centro de la cur va le sigue. Para, =300, hallar: I) La velocidad angular del foco luminoso para que el móvil este constantemente ilumina do. a) 3,3 rad/s b) 4,3 rad/s c) 5,3 rad/s d) 6,3 rad/s e) 7,3 rad/s II) La componente radial de la velocidad. 0 B A a b  x y r v P  ' d r     r G 79

Análisis Vectorial 112 a) 11,3 m/s b) 12,3 m/s c)
13,3 m/s d) 14,3 m/s e) 15,3 m/s 516.En la Fig58, el cono circular recto gira alrededor de su vértice sobre una superficie ru gosa con una rapidez angular de =6 rad/s. Hallar la rapidez angular ( '  ) con la que gi ra el cono alrededor de su eje si el ángulo que hace la generatriz (G) con éste es de =37o. a) 6 rad/s b) 8 rad/s c) 10 rad/s d) 11 rad/s e) 14 rad/s 517.En la Fig59, un peatón que se mueve en línea recta a la rapidez de v=4 m/s, ilumi nado por un haz de luz horizontal de un foco situado en el infinito; proyecta su sombra sobre un muro circular de radio R=3 m. Hallar la rapidez de la sombra para el instante t= 5 /2 s y cuando =30o. (El tiempo se cuenta desde el instante en que el peatón esta alineado con el foco y el muro). a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/s d) 4 m/s e) 5 m/s Fig59 Fig60 518. En la Fig60, un chorro de aceite que cae sobre la superficie del agua se extiende for mando una mancha circular de grosor "h", ¿Cómo depende del tiempo la rapidez del movimiento de los extremos de la mancha si en unidad de tiempo ingresa el volumen de aceite "q"? a) 1/2 q ( ) 4 ht  b) 1/2 q ( ) 3 ht  c) 1/2 q ( ) 2 ht  d) 1/2 2q ( ) ht  e) 1/2 q ( ) ht  519. Dado el vector F=2yˆ i -zˆ j+x2 ˆ k calcular la integral S ˆ A ndS  , donde "S" es la super ficie y2=8x situada en el primer octante y limitada por los planos y=4 y z=6. a) 124 b) 126 c) 128 d) 130 e) 132 520. Dado el vector A =6zˆ i +(2x+y)ˆ j-x ˆ k , calcular la integral S ˆ A ndS  , donde "S" es la superficie limitado por el cilindro x2+z2=9, x=0, y=0, z=0 e y=8.  P Rayo de luz s  Q R  g aceite 80

Robótica y Cibernética 113 a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18 521. I) Hallar la integral S ˆ A ndS  extendida a la superficie del cubo de volumen V=1, li mitado por los planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1. a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0 II) Hallar la integral S ˆ A ndS  extendida a la superficie de una esfera de radio "a" con centro en el origen de coordenadas (0; 0). a) 2a3 b) 3a3 c) 4a3 d) 6a3 e) 8a3 522.En la Fig61, el sólido homogéneo está formado por el cilindro de radio "a" y altura H=15 2 cm y la semiesfera de radio "a". ¿Para qué valor mínimo de "a", el sólido es tá en equilibrio estable? a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm 523.En la Fig62, las mitades del cilindro circular compacto de radio R=8 cm y peso total 100 N se apoyan mutuamente, la superficie de contacto entre los cilindros es rugosa, el piso es liso y =370. I) Hallar el módulo de la reacción en B. a) 50 N b) 60 N c) 70 N d) 80 N e) 90 N II) Hallar el módulo de la reacción en A. a) 10 N b) 20 N c) 30 N d) 40 N e) 50 N III) Hallar el módulo de la componente normal de la reacción entre las superficies de con tacto de los semicilindros. a) 22 N b) 24 N c) 26 N d) 28 N e) 30 N IV) Hallar el módulo de la reacción entre las superficies de contacto de los semicilindros a) 22 N b) 24 N c) 26 N d) 28 N e) 30 N V) ¿A qué distancia del punto A actúa la componente normal de la reacción entre las superficies? a) 6 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 9 cm e) 10 cm 524. Dado el vector A =4xzˆ i +xyz2 ˆ j+3z ˆ k , calcular la integral S ˆ A ndS  sobre toda la su 81

Análisis Vectorial 114 perficie de la región por arriba del
plano xy acotada por el cono z2=x2+y2 y el plano z=4. a) 300 b) 310 c) 320 d) 330 e) 340 Fig61 Fig62 525. Hallar el área del plano x+2y+2z=12 limitado por los planos x=0, y=0, x=1, y=1. a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5 526. Hallar el área del plano x+2y+2z=12 limitado por los planos x=0, y=0, y el cilindro x2+y2=16. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 527. Hallar el área de la superficie limitada por la intersección de los cilindros x2+y2=a2 y x2+z2=a2. a) 10a2 b) 12a2 c) 14a2 d) 16a2 e) 18a2 528. Calcular la integral A= 2 S xy dS  , donde "S" es la región comprendida entre la parábo la y=x2 y la recta y=2x. a) 6,0 b) 6,2 c) 6,4 d) 6,6 e) 6,8 529. Calcular la integral 2 S A sen dS     , donde "S" es la región correspondiente a la su perficie del círculo =3cos . a) 1,0 b) 1,2 c) 1,4 d) 1,6 e) 1,8 530. Calcular la integral 2 2 V I (y z )dV    , donde "V" es la pirámide limitada por los planos de coordenadas y por el plano x+y+z=1. a) 1/15 b) 1/20 c) 1/25 d) 1/30 e) 1/35 a H g  R g B A   R R 82

Robótica y Cibernética 115 531. Calcular la integral V V
dV   , donde "V" es el volumen del cuerpo limitado por los planos xOy y xOz, el cilindro x2+y2=ax y la esfera x2+y2+z2=a2. a) 0,1a3 b) 0,2a3 c) 0,3a3 d) 0,4a3 e) 0,5a3 532. En la Fig63, calcular la integral 2 V I r cos dV     , donde "V" es el volumen del co no de altura h=5, ángulo de vértice 2=60o, y que está situado con respecto al siste ma de coordenadas mostrada. a) 4,01 b) 4,21 c) 4,41 d) 4,61 e) 4,81 533.En la Fig64, el tanque cilíndrico de radio R=10 cm, y altura H=1,20 m que contiene a gua de densidad =1000 kg/m3, hasta una altura de h=1 m, se hace girar a una veloci dad angular constante de o =10 rad/s, sin que el agua se derrame. Hallar el cambio en el nivel del agua para el punto más alto de la superficie libre del agua, cuando la ve locidad angular se duplica. (g=10 m/s2) a) 2,5 cm b) 5,0 cm c) 7,5 cm d) 10,5 cm e) 12,5 cm 534. Dado el vector F=(x+2y)ˆ i -3zˆ j+x ˆ k , hallar la integral S ˆ ( xF) ndS   donde S es la su perficie 2x+y+2z=6 limitada por x=0, x=1, y=0 e y=2. a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5 535. Dado la función escalar =4x+3y-2z, hallar la integral S ˆ ndS   donde S es la superfi cie 2x+y+2z=6 limitada por x=0, x=1, y=0 e y=2. a) 2ˆ i -ˆ j-2 ˆ k b) 2ˆ i +ˆ j-2 ˆ k c) 2ˆ i -ˆ j+2 ˆ k d) 2ˆ i +ˆ j+2 ˆ k e) 2ˆ i +2 ˆ k Fig63 Fig64 x 0 y  h z r2 =h/cos h R  H  83

Análisis Vectorial 116 536. Hallar la integral 2 2 1/2
R (x y ) dxdy   extendida a la región R del plano xy limitada por x2+y2=36. a) 140 b) 142 c) 144 d) 146 e) 148 537. Hallar la integral V (2x y)dV   , donde "V" es el volumen limitado por el cilindro z=4-x2 y los planos x=0, y=0, y=2 y z=0. a) 72/3 b) 74/3 c) 76/3 d) 78/3 e) 80/3 538. Hallar la integral V FdV   , donde "V" es el volumen limitado por los planos x=0, y=0, z=0 y 2x+2y+z=4. a) 2/3 b) 4/3 c) 5/3 d) 7/3 e) 8/3 539. Hallar la integral V xFdV   , donde "V" es el volumen limitado por los planos x=0, y=0, z=0 y 2x+2y+z=4. a) 8(ˆ i - ˆ k )/3 b) 8(-ˆ j+ ˆ k )/3 c) 8(ˆ i -ˆ j)/3 d) 8(ˆ j+ ˆ k )/3 e) 8(ˆ j- ˆ k )/3 540.En la Fig65, el cuerpo de masa m=1 kg se mueve en un plano horizontal describiendo la espiral, cuya ecuación en coordenadas polares es: r=b , siendo b=0,147 m una constante y =d/dt=4 rad/s la velocidad angular constante. Hallar: I) El módulo de la fuerza total ejercida sobre el cuerpo, en el instante en que =/2. a) 1 N b) 2 N c) 4 N d) 6 N e) 8 N II) El módulo de la fuerza de Coriolis, en el instante en que =/2. a) 4,1 N b) 4,3 N c) 4,5 N d) 4,7 N e) 4,9 N III) La razón (Fr /F ) entre los módulos de las fuerza radial (Fr ) y tangencial (F ), en el ins tante en que =4 rad. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 541.En la Fig66, el cuerpo de masa m=1 kg se mueve por la espiral cuya ecuación en coor denadas polares es: r=eb, siendo b=2 una constante y =d/dt=4 rad/s la velocidad angular constante. Hallar: I) El módulo de la fuerza ejercida sobre el cuerpo, debida a su aceleración, en el instante en que =/4. a) 380,8 N b) 382,8 N c) 384,8 N d) 386,8 N e) 388,8 N II) El módulo de la fuerza de Coriolis, en el instante en que =/4. 84

Robótica y Cibernética 117 a) 301,9 N b) 303,9 N
c) 305,9 N d) 307,9 N e) 309,9 N III) La razón (Fr /F ) entre los módulos de las fuerza radial (Fr ) y tangencial (F ), en el ins tante en que =4 rad. a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 3/2 e) 4/3 Fig65 Fig66 542. Dados los vectores M =-10ˆ i +4ˆ j-8 ˆ k y N =8ˆ i +7ˆ j-2 ˆ k . I) Hallar un vector unitario en la dirección del vector M 2N   . II) Hallar la magnitud del vector ˆ 5i N 3M   . III) Hallar el vector dada por: M 2N (M N)  . 543. Los tres vértices de un triángulo están ubicados en los puntos A(1; 2; 5), B(-4;-2;-3), y C(1; 3;-2). I) Hallar la longitud del perímetro del triángulo ABC. a) 21,9 b) 22,9 c) 23,9 d) 24,9 e) 25,9 II) Hallar el valor de la expresión N=ux uz /uy , donde ux , uy , uz son las componentes del vec tor unitario ˆ u que esta dirigido desde el punto medio del lado AB al punto medio del lado BC. a) 1,43 b) 1,83 c) 2,23 d) 2,63 e) 3,03 III) Mostrar que este vector unitario ˆ u multiplicado por un escalar es igual al vector de A hacia C y que el vector unitario es por lo tanto paralelo a AC. 544. El vector del origen al punto A está dado por (6;-2;-4), y el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto B es (2;-2; 1). Si la separación de los puntos A y B es de 10 unidades, hallar las coordenadas del punto B. a) -7,83ˆ i +7,83ˆ j-3,92 ˆ k b) 7,83ˆ i +7,83ˆ j+3,92 ˆ k c) 7,83ˆ i -7,83ˆ j-3,92 ˆ k d) 7,83ˆ i +7,83ˆ j-3,92 ˆ k e) 7,83ˆ i -7,83ˆ j+3,92 ˆ k m v 0 0 m v 85

Análisis Vectorial 118 545. Un círculo con centro en el
origen de radio R=2 unidades, se ubica en el plano xy. Hallar el vector unitario en componentes rectangulares ubicado en el plano xy, que es tangente al círculo en el punto ( 3 ; 1; 0), y esta en la dirección de y aumentando su valor. a) (-ˆ i - ˆ 3j)/2 b) (ˆ i + ˆ 3j)/2 c) (-ˆ i + ˆ 3j)/2 d) ( 3 ˆ i +ˆ j)/2 e) (ˆ i + ˆ 3j) 546. En la Fig67, la barra homogénea de peso "W" está en equilibrio, y el coeficiente de fricción de la barra con la superficie es =1/4. Hallar el ángulo mínimo " "  . a) o 31 07 30   b) o 33 07 30   c) o 35 07 30   d) o 37 07 30   e) o 39 07 30   547. En la Fig68, dados dos sistemas de referencia S(XYZ) y S'(X'Y'Z'), probar que las re laciones para los momentos de inercia de un cuerpo de masa "m", en ambos sistemas de referencia, vienen dados por: I) ' x x y x y xy 1 1 I (I I ) (I I )cos2 I sen2 2 2        II) ' y x y x y xy 1 1 I (I I ) (I I )cos2 I sen2 2 2        III) xy x y xy 1 I (I I )sen2 I cos2 2      IV) Probar que el ángulo " "  , para el cual el sistema de ejes X'Y' es principal, viene dado por: 1 xy x y 1 tg [ 2I / (I I )] 2      . V) Probar que el valor máximo del momento de inercia del cuerpo, respecto de los ejes X'Y', viene dado por: ' 2 2 1/2 max x y x y xy I (I I ) [(I I ) 4I ] / 2      VI) Probar que el valor mínimo del momento de inercia del cuerpo, respecto de los ejes X'Y', viene dado por: ' 2 2 1/2 min x y x y xy I (I I ) [(I I ) 4I ] / 2      Fig67 Fig68 548. Un campo vectorial está dado por: 2 2 ˆ ˆ ˆ G 24xyi 12(x 2)j 18z k     . Dado dos puntos, A(1; 2; 1) y Q(-2; 1; 3).  g  R  X' Y' X Y 0  86

Robótica y Cibernética 119 I) Hallar G en el punto
P(1; 2;-1). a) (46; 38; 10) b) (42; 30; 16) c) (44; 34; 14) d) (40; 32; 12) e) (48; 36; 18) II) Hallar un vector unitario en la dirección de G en el punto Q(-2; 1; 3). a) (,26; 0,39; 0,88) b) a) (-0,26; -0,39; 0,88) c) a) (0,26; -0,39; 0,88) d) a) (0,26; 0,39; -0,88) e) a) (-0,26; 0,39; 0,88) III) Hallar un vector unitario dirigido de Q hacia P. a) (0,59; 0,20; -0,78) b) (-0,59; 0,20; 0,78) c) (0,59; -0,20; 0,78) d) (0,59; -0,20; -0,78) e) (-0,59; 0,20; -0,78) IV) Hallar la ecuación de la superficie sobre la cual G =60. 549. Si a es un vector unitario en una dirección dada, B es una constante escalar, y r =xˆ i + yˆ j+z ˆ k , describa la superficie r a =B. ¿Cuál es la relación entre el vector unitario a y el escalar B en esta superficie? [Sugerencia: Considere primero un ejemplo sencillo con x a a  y B=1, y luego considere cualquier a y B.] 550. Dado el campo vectorial E =4zy2cos 2xˆ i +2zy sen 2xˆ j+y2sen 2x ˆ k en la región x , y , y z menores que 2. I) Hallar las superficies para la cual Ey =0. II) Hallar la región para la cual Ey =Ez . III) Hallar la región para la cual E =0. 551. Demostrar la ambigüedad que resulta cuando el producto vectorial es utilizado para hallar el ángulo dos vectores, hallar el ángulo entre A =3ˆ i -2ˆ j+4 ˆ k y B=2ˆ i +ˆ j-2 ˆ k ¿E xiste esta ambigüedad cuando el producto escalar es utilizada? 552. Un campo vectorial esta dada por: G =25(xˆ i +yˆ j)/(x2+y2), en el espacio 3. I) Hallar un vector unitario en la dirección de G en el punto P(3; 4;-2). II) Hallar el ángulo entre G y ˆ i en el punto P(3; 4;-2). a) 30o b) 37o c) 45o d) 53o e) 60o III) Hallar el valor de la siguiente doble integral sobre el plano y=7: 4 2 0 0 ˆ G jdzdx   . a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 553. Expresando las diagonales como vectores y usando la definición del producto escalar o punto, hallar el ángulo menor entre dos diagonales cualesquiera de un cubo, donde 87

Análisis Vectorial 120 cada diagonal conecta vértices diametralmente opuestas y
pasan a través del centro del cubo. a) 64,53o b) 66,53o c) 68,53o d) 70,53o e) 72,53o 554. Dados los puntos M(0,1; -0,2; -0,1), N(-0,2; 0,1; 0;3) y P(0,4; 0; 0,1). I) Hallar el vector MN R . II) Hallar el producto escalar (punto) MN MP R R . III) Hallar la proyección escalar de MN R sobre MP R . a) 0,10 b) 0,12 c) 0,14 s) 0,16 e) 0,18 IV) Hallar el ángulo entre MN R y MP R . a) 70o b) 72o c) 74o d) 76o e) 78o 555. Mostrar que los campos vectoriales A = cos  ˆ  +  sen  ˆ  + ˆ k y B= cos  ˆ  +  sen  ˆ  - ˆ k son perpendiculares entre si, en cualquier caso. 556. I) Hallar la componente vectorial de F=(10; -6; 5) que es paralela a G =(0,1: 0,2; 0,3) II) Hallar la componente vectorial de F que es perpendicular a G . III) Hallar la componente vectorial de G que es perpendicular a F. 557. Mostrar que los campos vectoriales A =(sen 2)/r2 ˆ r +2sen/r2 ˆ  y B=r cos ˆ r +r ˆ  son en cualquier caso paralelos uno a otro. 558. Tres vectores partiendo del origen están dados por: 1 r =(7; 3; -2), 2 r =(-1; 7; -3), y 3 r = (0; 2; 3). I) Hallar un vector unitario perpendicular a ambos vectores 1 r y 2 r . II) Hallar un vector unitario perpendicular a los vectores 1 r - 2 r y 2 r - 3 r . III) Hallar el área del triángulo definido por 1 r y 2 r . a) 30,3 b) 31,3 c) 32,3 d) 33,3 e) 34,3 IV) Hallar el área del triángulo definido por los extremos de los vectores 1 r , 2 r y 3 r . a) 26 b) 28 c) 30 d) 32 e) 34 559. El campo vectorial E =(B/) ˆ  , donde B es una constante, debe ser desplazada tal que sus orígenes se sitúen en la línea, x=2, y=0. Escribir la forma desplazada de E en com ponentes rectangulares, y evaluar la magnitud de E en x=2,5, y=1,5. a) 0,47B b) 0,51B c) 0,55B d) 0,59B e) 0,63B 560. El punto A(-4; 2; 5) y los dos vectores, AM R =(20; 18); -10) y AN R =(-10; 8; 15), 88

Robótica y Cibernética 121 definen un triángulo. I) Hallar un
vector unitario perpendicular al triángulo. II) Hallar un vector unitario en el plano del triángulo y perpendicular a AN R . III) Hallar un vector unitario en el plano del triángulo que bisecte el ángulo interior en A. 561. Transformar el campo vectorial H =(A/) ˆ  , donde A es una constante, de coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas. a) Asen /r ˆ  b) Acos /r ˆ  c) A/r sen ˆ  d) A/r cos ˆ  e) A/r2 ˆ k 562. I) Expresar el campo vectorial D =(x2+y2+z2)-1(xˆ i +yˆ j) en componentes cilíndricas y variables cilíndricas. II) Evaluar D en el punto donde =2, =0,2, y z=5, expresando el resultado en coordena das cartesianas y cilíndricas. 563. Un cilindro de radio "a", centrado en el eje z, rota alrededor del eje z con una veloci dad angular  rad/s. La dirección de rotación es en el sentido antihorario mirando en la dirección del eje z positivo. I) Usando componentes cilíndricas, escribir una expresión para el campo de velocidades, v , que genera la velocidad tangencial en cualquier punto al interior del cilindro. II) Convertir el resultado obtenido en I) a componentes esféricas. III) Convertir a componentes rectangulares. 564.En la Fig69, la partícula bajo la acción de una fuerza central se mueve según la cir cunferencia de diámetro o "r " que pasa por el centro de fuerzas 0. Si en el punto A su velocidad es o "v ", hallar el módulo de su velocidad, cuando   450. a) v0 b) 2 v0 c) 3v0 d) 4v0 e) 5v0 Fig69 Fig70 565.En la Fig70, el tubo cilíndrico delgado y hueco OA está inclinado un ángulo =370 res pecto de la horizontal y gira alrededor de la vertical con una velocidad angular constan te de =5 rad/s. Si una partícula que está obligada a moverse al interior del tubo está r ro  F m 0 A  0  m g a o 89

Análisis Vectorial 122 inicialmente en reposo a una distancia de
a=10 cm de 0. ¿A qué distancia de 0 se en contrará la partícula, luego de t=0,5 s de iniciado su movimiento? (g=10 m/s2) a) 31,6 cm b) 33,6 cm c) 35,6 cm d) 37,6 cm e) 39,6 cm 566. Expresar en componentes cilíndricas. I) El vector que va de C(3; 2; -7) a D(-1; -4; 2). II) Un vector unitario en D dirigido hacia C. III) Un vector unitario en D dirigido hacia el origen. 567. Una esfera de radio "a", centrado en el origen, rota alrededor del eje z a una velocidad angular de  rad/s. La dirección de rotación es en sentido horario cuando se observa en la dirección del eje z positivo. I) Usando componentes esféricas, escribir una expresión para el campo de velocidades v, la cual genera la velocidad tangencial en todo punto interior a la esfera. II) Convertir a componentes rectangulares. 568. Las superficies =3, =5, =100o, = 130o, z=3, y z=4,5 definen una superficie cerra da. I) Hallar el volumen limitado por esta superficie. a) 6,08 b) 6,28 c) 6,48 d) 6,68 e) 6,88 II) Hallar el área total de la superficie que encierra el volumen. a) 14,7 b) 16,7 c) 18,7 d) 20,7 e) 22,7 III) Hallar la longitud total de los doce bordes de las superficies. a) 20,4 b) 22,4 c) 24,4 d) 26,4 e) 28,4 IV) Hallar la longitud de la línea recta más larga que se sitúa enteramente dentro del volu men. a) 3,01 b) 3,11 c) 3,21 d) 3,31 e) 3,41 569. Dado el campo vectorial E =A/r2 ˆ r . I) Expresar este campo E en componentes rectangulares. II) Expresar este campo E en componentes cilíndricas. 570. Dado el punto P cuyas coordenadas esféricas son, r=0,8, =30o, =45o, y el campo vec torial E =(cos ˆ r +sen/sen  ˆ  )/r2. I) Hallar el campo E en el punto P. II) Hallar la magnitud del campo E en el punto P. III) Hallar un vector unitario en la dirección de E en el punto P. 571. I) Expresar el campo vectorial uniforme, F=5ˆ i en componentes cilíndricas. 90

Robótica y Cibernética 123 II) Expresar el campo vectorial uniforme,
F=5ˆ i en componentes esféricas. 572. Las superficies r=2 y r=4, =30o y =50o, y =20o y =60o definen una superficie cerrada. I) Hallar el volumen encerrado por esta superficie. a) 2,11 b) 2,31 c) 2,51 d) 2,71 e) 2,91 II) Hallar el área total de la superficie cerrada. a) 12,01 b) 12,21 c) 12,41 d) 12,61 e) 12,81 III) Hallar la longitud total de los doce bordes de la superficie. a) 17,09 b) 17,29 c) 17,49 d) 17,69 e) 17,89 IV) Hallar la longitud de la línea recta más larga que cae enteramente al interior de la super ficie. a) 2,13 b) 2,33 c) 2,53 d) 2,73 e) 2,93 573. I) Expresar el campo vectorial, G =8 sen  ˆ  en componentes rectangulares. II) Expresar el campo vectorial, G =8 sen  ˆ  en componentes cilíndricas. 574. I) Expresar el vector unitario ˆ i en componentes esféricas en el punto r=2, =1 rad, =0,8 rad. II) Expresar el vector unitario ˆ i en componentes esféricas en el punto x=3, y=2, z=-1. III) Expresar el vector unitario ˆ i en componentes esféricas en el punto =2,5, =0,7 rad, z=1,5. 575. En el punto B(5; 120o; 75o) un campo vectorial tiene el valor A =-12ˆ r -5 ˆ  +15 ˆ  I) Hallar la componente vectorial de A normal a la superficie r=5. II) Hallar la componente vectorial de A tangente a la superficie r=5. III) Hallar la componente vectorial de A tangente al cono =120o. IV) Hallar un vector unitario que sea perpendicular a A y tangente al cono =120o. 576. Dados los vectores ˆ ˆ A i j   , y ˆ ˆ B j k   en el espacio 3. I) Hallar la magnitud de la resultante A B  . 2,05 b) 2,25 c) 2,45 d) 2,65 e) 2,85 II) Hallar el vector 3A 2B  . a) 3ˆ i +ˆ j-2 ˆ k b) 3ˆ i -ˆ j+2 ˆ k c) 3ˆ i +ˆ j+2 ˆ k d) 3ˆ i -ˆ j-2 ˆ k e) 3ˆ i +ˆ j III) Hallar el producto escalar de A por B. 91

2,0 e) 2,5 IV) Hallar el producto vectorial de A por B. a) ˆ i -ˆ j+ ˆ k b) ˆ i +ˆ j- ˆ k c) ˆ i -ˆ j- ˆ k d) ˆ i +ˆ j+ ˆ k e) -ˆ i -ˆ j+ ˆ k 577. Dados los vectores ˆ ˆ A 2i j   , ˆ ˆ B i k   , y ˆ C 4j  en el espacio 3. I) Hallar la expresión E=[[A (B C)]/[(A B) C)]   . a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 II) Hallar la expresión R=[A (BxC)][(AxB) C)] a) 60 b) 62 c) 64 d) 66 e) 68 III) Hallar el triple producto vectorial, Ax(BxC). a) 4ˆ i +8ˆ j+4 ˆ k b) 4ˆ i -8ˆ j-4 ˆ k c) 4ˆ i +8ˆ j-4 ˆ k d) 4ˆ i -8ˆ j+4 ˆ k e) 4ˆ i +4 ˆ k IV) Hallar el triple producto vectorial, (AxB)xC. a) 4ˆ i +8ˆ j+4 ˆ k b) 4ˆ i -8ˆ j-4 ˆ k c) 4ˆ i +8ˆ j-4 ˆ k d) 4ˆ i -8ˆ j+4 ˆ k e) 4ˆ i +4 ˆ k 578. Dados los vectores ˆ ˆ A ai 2 j   , y ˆ ˆ ˆ B ai 2a j 3ak    , hallar el menor ángulo entre es tos dos vectores. a) 30o b) 37o c) 45o d) 53o e) 60o 579. En términos del grupo de base estándar {ˆ i , ˆ j, ˆ k }, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a 2i j 2k, b 3i 4k      y ˆ c i  ˆ ˆ 5j 3k   . I) Hallar 3a 2b 4c   y 2 a b  . II) Hallar a , b y a b . Deducir el ángulo entre a y b. III) Hallar la componente de c en la dirección de a y en la dirección de b . IV) Hallar a xb, bxc y (axb)x(bxc). V) Hallar a (bxc) y (axb) c y verificar que estas son iguales. Indicar en que sentido izquierdo o derecho está el grupo {a, b, c} . VI) Evaluando cada lado de la ecuación, verificar la identidad a x(bxc) (a c)b (a b)c   . 580. Hallar el ángulo entre las dos diagonales principales de un cubo. a) 64,5o b) 66,5o c) 68,5o d) 70,5o e) 72,5o 92

Robótica y Cibernética 125 581. Las proyecciones sobre los ejes
de coordenadas de las fuerzas P , Q y F son las sigui entes: Px =6 N, Py =3 N, Pz =12 N, Qx =3 N, Qy =-7 N, Qz =1 N, Fx =5 N, Fy =2 N, Fz =-8 N. I) Hallar la magnitud de la resultante de la suma de estas fuerzas. a) 11 N b) 13 N c) 15 N d) 17 N e) 19 N II) Hallar la expresión, E=cos cos /cos , donde "", "" y "" son los ángulos que for ma el vector resultante con los ejes x, y, z. a) -3/4 b) -5/6 c) -3/5 d) -7/3 e) -8/5 582. En la Fig71, ABCDEF es un hexágono regular con centro 0 la cual, es también el ori gen de los vectores de posición. Hallar los vectores de posición de los vértices C, D, E, F en términos de los vectores de posición a, b de A y B. 583. En la Fig72, ABCD es un cuadrilátero, en el cual, P, Q, R, S son los puntos medios de los lados AB, BC, CD, DA respectivamente. Mostrar que PQRS es un paralelogramo. 584. En un tetraedro regular, se trazan líneas que conectan los puntos medios de cada lado con los puntos medios de los lados opuestos. Mostrar que estas tres líneas se reúnen en un punto que biseca cada una de estas. 585. Sea ABCD un tetraedro regular y P, Q, R, S los centros medios de las caras opuestas a los vértices opuestos a los vértices A, B, C, D respectivamente. Mostrar que las líneas AP, BQ, CR, DS todas se reúnen en un punto (llamado el centroide del tetraedro),la cual divide cada línea en la razón 3 : 1. Fig71 Fig72 586. Un número de partículas de masa m1 , m2 , m3 ,...están situadas en los puntos con vecto res de posición 1 r , 2 r , 3 r ,...relativo a un origen O. El centro de masa G de las partícu las está definida ser el punto del espacio con vector de posición: R =(m1 1 r +m2 2 r + m3 3 r ,...)/(m1 +m2 +m3 +...). Mostrar que si un origen diferente O' fuese usado, esta defini b B O a C D A E F A P B C D Q R S 93

Análisis Vectorial 126 ción para G debería estar en la
mismo punto del espacio. 587. Probar que las tres perpendiculares a los lados de un triángulo son concurrentes. 588. Si, 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ a i j k       , 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ a i j k       , 3 3 3 3 ˆ ˆ ˆ a i j k       donde ˆ ˆ ˆ {i, j,k} es una base estándar, mostrar que: 1 1 1 1 2 3 2 2 2 3 3 3 a (a xa )           Deducir que la rotación cíclica de los vectores en un triple producto escalar nos da el valor del producto intercambiado. 589. Expresando los vectores a , b , c en términos de una bases estándar apropiada, probar que la identidad a x(bxc) (a c)b (a b)c   . 590. Probar las siguientes identidades: I) (axb) (cxd) (a c)(b d) (a d)(b c)   , II) (a xb) x (cxd) [a, b, d]c [a, b, c]d   , III) ax(bxc) cx(axb) bx(cxa) 0    . 591. Sea {a,b,c} cualquier grupo de base. Entonces la correspondiente base recíproca * * * {a ,b ,c }está definida por: * a bxc /[a,b,c]  , * b cxa /[a,b,c]  , * c a xb /[a,b,c]  . I) Si ˆ ˆ ˆ {i, j,k} es una base estándar, mostrar que * * * ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ {i , j ,k } {i, j,k}  . II) Mostrar que * * * [a ,b ,c ] 1/[a,b,c]  . Deducir que si {a,b,c} es un grupo definido en sentido derecho, entonces, también * * * {a ,b ,c } lo es. III) Mostrar que * * * * * * {(a ) ,(b ) ,(c ) } {a,b,c}.  IV) Si un vector v es expandida en términos del grupo bases {a,b,c} en la forma v  a  + b c    , mostrar que los coeficientes "", "", "" están dadas por * v a   , * v b   , * v c   . 592.En las ecuaciones de Lame. La dirección en la que los rayos-X son fuertemente disper sados en un cristal están determinadas por las soluciones "x" de las ecuaciones de La me, es decir: x a L, x b M, x c N    , donde {a,b,c} son los vectores de base de los lados del cristal, y L, M, N son enteros cualesquiera. Mostrar que las soluciones de las ecuaciones de Lame son: * * * x La Mb Nc    , donde * * * {a ,b ,c }es la base recí proca de la base {a,b,c}. 593. Si 2 3 ˆ ˆ ˆ r(t) (3t 4)i t j (t 3)k      , donde ˆ ˆ ˆ {i, j, k}es una base estándar constante, hallar r y r . Deducir la derivada temporal de r x r . 94

Robótica y Cibernética 127 594. Los puntos A y B
tienen vectores de posición a y b relativo al origen O. Hallar el vec tor de posición x del punto X que divide la línea AB en la razón :  (es decir AX/XB=/). 595.En la Fig73, la barra homogénea doblada de peso despreciable, que tiene unida en su extremo inferior una bola de masa m=0,5 kg, gira con velocidad angular constante de =5 rad/s. (g=10 m/s2, =53o,  0,5 m). I) Hallar la tensión en la barra, en los puntos de unión con la bola. a) 5 N b) 6 N c) 7 N d) 8 N e) 9 N II) Hallar la reacción normal sobre la bola. a) 1 N b) 2 N c) 3 N d) 4 N e) 5 N III) Hallar la fuerza total que ejerce la barra sobre la bola. a) 7,1 N b) 7,3 N c) 7,5 N d) 7,7 N e) 7,9 N IV) ¿En cuántas veces aumenta la fuerza total ejercida por la barra sobre la bola, cuando la velocidad angular se duplica? a) 1,9 b) 2,9 c) 3,9 d) 4,9 e) 5,9 V) ¿La tensión es la misma a lo largo de la parte oblicua de la barra? a) 1/3 s b) 2/3 s c) 3/4 s d) 4/5 s e) 5/6 s 596.En la Fig74, la cadena homogénea de longitud  2 m, que está sobre la superficie li sa de los planos inclinados, cuyo vértice es redondeado, se suelta en la posición mostra da. El ángulo de inclinación es =530 y a=2 /3. (g=10 m/s2) I) Hallar la velocidad de la cadena, en el instante en que su extremo izquierdo pasa por el vértice 0. a) 4/3 m/s b) 5/3 m/s c) 7/3 m/s d) 8/3 m/s e) 7/4 m/s II) ¿En qué tiempo llega el extremo izquierdo de la cadena al vértice 0? a) 0,22 s b) 0,42 s c) 0,62 s d) 0,82 s e) 1,02 s III) Hallar la velocidad de la cadena, en el instante en que su extremo izquierdo pasa por el vértice y el ángulo de inclinación de los planos es o 90   . a) 2,18 m/s b) 2,38 m/s c) 2,58 m/s d) 2,78 m/s e) 2,98 m/s IV) ¿En qué tiempo llega el extremo izquierdo de la cadena al vértice 0, si el ángulo de in- clinación de los planos es o 90   ? a) 0,36 s b) 0,46 s c) 0,56 s d) 0,66 s e) 0,76 s 95

Análisis Vectorial 128 V) ¿Qué valor mínimo debe tener "a",
para que le cadena al soltarse, inicie su movimien to, si el coeficiente de fricción entre la superficie y la cadena es =1/2. a) 1,18 m b) 1,28 m c) 1,38 m d) 1,48 m e) 1,58 m Fig73 Fig74 597. I) En la Fig75, cuatro esferitas, cada una de masa m=2 kg, están situadas en los vérti ces de un tetraedro regular de lado a=1,4 m. Hallar la fuerza gravitacional ejercida so bre una cualquiera de las esferitas por las otras partículas. (G constante gravitacional) a) 2G b) 3G c) 4G d) 5G e) 6G II) Tres esferas rígidas uniformes de masas M=3 kg y radio a=0,5 m están ubicadas sobre una mesa horizontal y están presionadas juntas tal que sus centros están en los vértices de un triángulo. Una cuarta esfera rígida uniforme de masa "M" y radio "a" está ubica da sobre las otras tres tal que todas las cuatro esferas están en contacto uno con la otra. Hallar la fuerza gravitacional ejercida sobre la esfera superior por las otras tres inferio res. a) 20G b) 22G c) 24G d) 26G e) 28G Fig75 Fig76   m g l a m m m m a a a a a m a a m m m m m m m   g 0 a 96

Robótica y Cibernética 129 598. I) En la Fig76, ocho
partículas de masas "m", están situadas en los vértices de un cu bo de lado "a". Hallar la fuerza gravitacional ejercida sobre cualquiera de las partículas por las otras siete partículas. II) Deducir la fuerza gravitacional ejercida sobre las cuatro partículas ubicadas en cuatro caras del cubo por las cuatro partículas ubicadas sobre las caras opuestas. 599. I) Una barra uniforme de masa "M" y longitud "2a" está situado a lo largo del eje x en el intervalo [-a, +a], y una partícula de masa "m" (M=18m) está situada en el punto x=d. Hallar la fuerza ejercida por la barra sobre la partícula. a) 3m2G/a2 b) 4m2G/a2 c) 5m2G/a2 d) 6m2G/a2 e) 7m2G/a2 II) Dos barras uniformes de masas "M" y longitudes "2a", están situadas a lo largo de los intervalos [-a, +a] y [b-a, b+a] del eje x, de modo que, sus centros están separadas por una distancia "b" (b=4a)). Hallar cuantas veces es la fuerza gravitacional que ejerce u na barra sobre la otra barra, respecto de M2G/a2. (G=constante gravitacional) a) ln( 1/2 3 ) 4 b) ln( 1/2 4 ) 3 c) ln( 1/4 3 ) 4 d) ln( 1/4 4 ) 3 e) ln( 1/2 3 ) 2 600. Un disco rígido uniforme tiene masa "M" y radio "a", y una barra rígida uniforme tiene masa "m" y longitud "b". La barra es ubicada a lo largo del eje de simetría verti cal del disco con un extremo en contacto con el disco. Hallar la fuerza necesaria para separar la barra del disco. La barras se encuentra sobre el disco. 601. Mostrar que la fuerza gravitacional ejercida sobre una partícula al interior de una esfe ra hueca simétrica es cero. [Sugerencia: El procedimiento es la misma que la una par tícula situada fuera de una esfera simétrica, excepto en un detalle.] 602. Un hueco estrecho es perforado alrededor del centro de una esfera uniforme de masa "M" y radio "a". Hallar la fuerza gravitacional ejercida sobre una partícula de masa "m" que se encuentra al interior del hueco a una distancia "r" del centro. 603. Una esfera simétrica, de radio "a" y masa "M", tiene su centro a una distancia "b" (b>a) de un plano infinito que contiene una distribución de masa "" por unidad de á rea. Hallar la fuerza gravitacional ejercida sobre la esfera. 604. Dos semiesferas rígidas uniformes, cada una de masa "M" y radios "a" están ubicadas en contacto uno con otra formando una esfera completa. Hallar la fuerza necesaria para separar las semiesferas. 605. Dos bloques idénticos cada una de masa "M" están conectadas por una cuerda inexten sible delgada y pueden moverse sobre la superficie de una tabla horizontal rugosa. Los bloque están siendo jalados a velocidad constante en una línea recta por una cuerda co nectada a una de ellas. La tensión en la cuerda de remolque es "To ". I) ¿Cuál es la tensión en la cuerda que une los bloques? 97

Análisis Vectorial 130 II) La tensión en la cuerda de
remolque es súbitamente incrementada a "4To ". ¿Cuál es loa aceleración instantánea de los bloques y cuál es la tensión instantánea en la cuerda que los conecta? 606. Un cuerpo de masa "M" está suspendida de un punto fijo O mediante una cuerda uni forme inextensible de masa "m" y longitud "b". I) Hallar la tensión en la cuerda a una distancia "z" debajo de O. II) El punto de soporta empieza a elevarse con una aceleración "2g". ¿Ahora, cuál es la tensión en la cuerda? 607. Dos esferas uniformes cada una de masas m=5 000 kg y radios R=47 cm. Son libera das desde el reposo con sus centros separadas d=1 m y moviéndose bajo la acción de sus fuerzas gravitacionales. Mostrar que estas esferas colisionan en menos de 425 s. [G=6,6710-11 Nm2 kg-2.] 608. Un bloque está deslizándose hacia abajo sobre la superficie inclinada de una cuña fija. La fuerza de fricción ejercida sobre el bloque está dada por f=N, donde "N" es la reacción normal y "" es una constante positiva. Hallar la aceleración del bloque. ¿Como difieren los casos <tg  y >tg ? 609. Un avión jet, que inicialmente se mueve a 480 km/h hacia el Este, súbitamente ingresa a una región donde el viento sopla a 160 km/h en dirección 30,0o al noreste. Hallar la nueva rapidez y dirección del avión respecto al nivel de la tierra. 610. Consideremos los dos vectores A = ˆ x +j ˆ y y B= ˆ x +j ˆ y. (Estos son realmente el mismo vector). Encontramos que AxB=0 y que A B=0. Son los dos vectores paralelo a cada uno de los otros o perpendicular a cada uno de os otros? 611. Sean a=8+2j y b=-3+j. Calcular (a) a+b, (b) a-b, (c) ab, y (d) a/b. Dar la respuesta en sus partes real e imaginaria. 612.En el problema anterior, repetir (d), con la respuesta dada en forma de fasor. 613. Hallar la parte real, la parte imaginaria, y la magnitud de ejt, donde  y t son núme ros reales. 614. Sea c un número complejo. Indicar si las siguientes declaraciones son siempre verda deras. (a) (c+c*) es real, (b) (c-c*) es imaginario, (c) c/c* tiene una magnitud 1. 615. Considere la ecuación z2=1+j. Hallar dos valores de z que satisfacen esta ecuación. 616.Sea a be un número real, y sea a 1  . Mostrar que la raíz cuadrada de (1+ja) es apro ximadamente igual a (1 ja / 2).   617. Sa a be un número real positivo, y sea a>>1. Mostrar que la raíz cuadrada de (1+ja) es aproximadamente a 1/2 (1 j)(a / 2)   . 98

Robótica y Cibernética 131 618.Obtener la notación fasorial de las
siguientes funciones armónicas en el tiempo. (a) V(t)=6cos(t+/4), (b) I(t)=-8sen( t), (c) 6cos(120t-/2), (e) D(t)=1-cos(t), (f) U(t)=sen(t+/3)sen(t+/6). 619. Obtener C/t) en términos de  de los siguientes fasores: (a) C=1+j, (b) C=4exp(j0,8), y (c) C=3exp(j/2)+4exp(j0,8). 620. Mostrar que, si V=r+jx y U=g+jy, entonces V(t)U(t)Re{VUejwt]. Hallar la expresión correcta para V(t)U(t) en términos de r, x, g, y, y . 621.Sea ˆ ˆ ˆ A 8x 9y z     y ˆ ˆ ˆ B 2x 4y 3z    . hallar (a) A B  , (b) A B  , (c) A B, y (d) AxB. 622. Hallar el ángulo entre A y B dado en el problema anterior. 623. Mostrar que para V(t)=Vo cos(t+)-Re{Vejt}, V(t)/tjV. 624. Hallar un vector C que sea perpendicular a ˆ ˆ ˆ A 8x 9y z     , que no tenga componen te en ˆ z , y su magnitud sea igual a 1. 625. Hallar el vector C que sea paralelo a ˆ ˆ ˆ a 5x 8y 2z    , y tenga una magnitud igual a 1. 626.Hallar un vector unitario ˆ n que apunte en la misma dirección que un vector trazado desde A hasta B donde las coordenadas rectangulares de A y B son: A(1,0,2) y B(-1,3- 2), respectivamente. 627. Mostrar que las dos definiciones del producto escalar V U dadas en la teoría son equi valentes. Para simplificar el algebra, Ud. podría escoger las coordenadas, tal que, el eje x este a lo largo de V y el eje z sea perpendicular a ambos a V y U. En otras pala bras, sea ˆ V ax  y ˆ ˆ U bx cy   . 628.Probar la ecuación A (B C) A B A C    . usando la aproximación sugerida en el texto de teoría. 629.Hallar la notación fasorial de los siguientes vectores armónicos en el tiempo. (a) V (t)= 3cos(t) ˆ x+4sen(t) ˆ y+cos(t+/2) ˆ z , (b) E (t)=[3cos(t)+4sen(t)] ˆ x +8[cos(t)- sen(t)] ˆ z , (c) H (t)=0,5cos(kz-t) ˆ x . 630. De los siguientes vectores complejos, hallar C (t) en términos de t: (a) C = ˆ x -j ˆ y, (b) C =j( ˆ ˆ x jy  ), y (c) C =exp(-jkz) ˆ x +yexp(jkz) ˆ y. 631. Sea ˆ ˆ ˆ A x jy (1 j2)z     , y sea ˆ ˆ ˆ B x (1 j2)y jz      . Hallar (a) A B  , (b) A B  , (c) A B, y (d) AxB. 99

Análisis Vectorial 132 632. Hallar A A* y Re{AxB*} para
los valores de A y B, dados en el problema anterior. 633. Dibujar el trazo de la punta del vector A(t) , donde (a) ˆ ˆ A x jy   y donde (b) A  ˆ ˆ 4x j3y  . 634. Calcular A B, dado ˆ ˆ A x j2y   y ˆ ˆ B 2x jy   . Son A(t) y B(t) perpendicular en to do caso. 635.Dado el campo vectorial, 3 ˆ ˆ ˆ A 5x 6yzy x z    , hallar (a) xA , (b) xA . 636.Dado el campo escalar =xyz u ; hallar (a) , (b) . 637.Sean: 1 2 3 ˆ ˆ ˆ a a x a y a z    , y 1 2 3 ˆ ˆ ˆ a b x b y b z    . Demostrar las identidades vectoriales (a) x(xa )=( a )-2 a , (b) (axb) =b xa  -a xb  . 638.Demostrar las identidades vectoriales, (a) x(a b  )= xa  + xb  , y (b) (a b  )=  a + b . 639. Demostrar las identidades vectoriales (a) (1 2 )=1 2 +2 1 , (b) (A )= + A  A   . 640.Demostrar que si ˆ e es el vector unitario de la dirección del vector E , entonces, se cumple la relación: 2 ˆ ˆ exde ExdE / E  . 641.Hallar la trayectoria del movimiento para el cual el radio vector r (t) del punto que se mueve satisface la condición d r /dt=a x r , donde a es un vector constante. La derivada d r /dt de la función vectorial r (t) del argumento escalar, es la función vectorial del mismo argumento. Si existe derivada de d r /dt, ella se llama derivada de segundo or den y se indica d2 r /dt2. 642.Demostrar que si r =a et+b e-t, donde a y b son los vectores constantes, entonces d2 r /dt2-2 r =0. 643.Hallar el radio de curvatura de las líneas dadas (a) r =ln cos t ˆ i +ln sen t ˆ j+ 2t ˆ k , (b) r = t2 ˆ i +2t3 ˆ j, (c) r =3t2 ˆ i +(3t-t3)ˆ j+2 ˆ k , para t=1. 644.Hallar la derivada del campo escalar u=xyz en el punto Po (1,-1,1) en dirección del pun to Po hacia el punto P1 (2,3,1). a) 0,43 b) 0,53 c) 0,63 d) 0,73 e) 0,83 645. Hallar la derivada del campo escalar u=arctg(xy) en el punto Po (1,1) que pertenece a la parabóla y=x2 respecto a la dirección de esta curva (en dirección del incremento de la abscisa). 100

d) 0,57 e) 0,67 646. Hallar la derivada del campo escalar u=xz2+2yz en el punto Po (1,0,2) a lo largo de la circunferencia: x=1+cos(t), y=sen(t)-1, z=2. a) -3 b) +3 c) -4 d) +4 e) -5 647.Hallar la derivada del campo escalar u=(x2+y2+z2)1/2 en el punto Po (1,1,1) en dirección del punto Po hacia el punto P1 (3,2,1). a) 0,57 b) 0,67 c) 0,77 d) 0,87 e) 0,97 648.Hallar la derivada del campo escalar u=x2y+xz2-2 en el punto Po (1,1,-1) en dirección del punto Po hacia el punto P1 (2,-1,3). a) -1,33 b) -1,33 c) -1,53 d) 1,53 e) -1,73 649.Hallar la derivada del campo escalar u=xey+yex-z2 en el punto Po (3,0,2) en dirección del punto Po hacia el punto P1 (4,1,3). a) 10,6 b) 11,6 c) 12,6 d) 13,6 e) 14,6 650.Hallar la derivada del campo escalar u=(x/y)-(y/x) en el punto Po (1,1) en dirección del punto Po hacia el punto P1 (4,5). a) -2/3 b) 2/3 c) -3/4 d) 3/4 e) -2/5 651.Hallar la derivada del campo escalar u=ln(x2+y2) en el punto Po (1,2) de la parabóla y2=4x en dirección de esta curva. a) 0,55 b) 0,65 c) 0,75 d) 0,85 e) 0,95 652.Hallar la derivada del campo escalar u=arctg(y/x) en el punto Po (2,-2) de la circunfe rencia x2+y2-4x=0 a lo largo de esta circunferencia. a) 1/2 b) 3/2 c) 2/3 d) 3/4 e) 1/4 653.Hallar la derivada del campo escalar u=x2+y2 en el punto Po (xo ,yo ) de la circunferencia x2+y2=R2, respecto a la dirección de esta circunferencia. a) 0 b) xo c) yo d) xo +yo e) xo -yo 654.Hallar la derivada del campo escalar u=2xy+y2 en el punto Po ( 2 ,1) de la elipse x2/4+y2/2=1 respecto a la dirección de una normal exterior a la elipse en este punto. a) 3,1 b) 4,1 c) 5,1 d) 6,1 e) 7,1 655.Hallar la derivada del campo escalar u=x2-y2 en el punto Po (5,4) de la hipérbola x2- y2=9, respecto a la dirección de esta curva. 101

Análisis Vectorial 134 a) 0 b) 1/2 c) 2/3 d)
3/2 e) 4/5 656.Hallar la derivada del campo escalar u=ln(xy+yz+xz) en el punto Po (0,1,1) respecto a la dirección de la circunferencia x=cos t, y=sen t, z=1. a) -1 b) +1 c) -2 d) +2 e) -3 657.Hallar la derivada del campo escalar u=x2+y2+z2 en el punto Po que corresponde al va lor del parámetro t=/2 respecto a la dirección de la línea helicoidal x=R cos t, y=R sen t, z=at. a) 0,43 b) 0,53 c) 0,63 d) 0,73 e) 0,83 658.Expresar la ecuación del plano osculador en el punto t=2 de la curva r =tˆ i -tˆ j+(1/2)t2 ˆ k a) x-y=0 b) x+y=0 c) 2x-y=0 d) 2x+y=0 e) x-2y=0 659.Expresar la ecuación del plano osculador en el punto t=0 de la curva, dada por: r = et ˆ i +e-t ˆ j+ 2 t ˆ k . a) x+y+ 2 z=0 b) x-y+ 2 z=0 c) x-y- 2 z=0 d) y+ 2 z=0 e) x+ 2 z=0 660.Hallar la torsión en un punto cualquiera t de la curva: r =a ch(t)ˆ i +a sh(t)ˆ j+at ˆ k para a=2, y t=0,4. a) 0,11 b) 0,21 c) 0,31 d) 0,41 e) 0,51 661.Hallar el radio de curvatura de la curva: r =a ch(t)ˆ i +a sh(t)ˆ j+at ˆ k , para a=2, y t=0,4. a) 4,07 b) 4,27 c) 4,47 d) 4,67 e) 4,87 662.Hallar la magnitud del gradiente del campo escalar u=x-2y+3z, en el punto Po (1,1,1). a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94 663.Hallar la curvatura máxima (velocidad) del incremento de la superficie u=xy en el punto Po (2,2,4). a) 4,07 b) 4,27 c) 4,47 d) 4,67 e) 4,87 664.Hallar el ángulo "" entre los gradientes de las funciones escalares u=(x3++y3)1/2, y v=x+y+2 xy , evaluado en el punto Po (1,1). a) 0o b) 30o c) 45o d) 37o e) 60o 665.Hallar la derivada respecto a la dirección del radio vector r para la función escalar u=sen r, donde r r  . 102

Robótica y Cibernética 135 a) sen r b) cos r
c) sen r+cos r d) tg r e) sec r 666.Hallar el gradiente del campo escalar u=ln(x2+y2+z2) evaluado en el punto Po (1,1,-1). a) 2 3 (ˆ i +ˆ j+ ˆ k ) b) 2 3 (ˆ i -ˆ j+ ˆ k ) c) 2 3 (ˆ i +ˆ j- ˆ k ) d) 2 3 (-ˆ i +ˆ j+ ˆ k ) e) 2 3 (ˆ i + ˆ k ) 667. Hallar el gradiente del campo escalar u=z 2 2 2 x y z e   evaluado en el punto Po (0,0,0). a) ˆ i b) ˆ j c) ˆ k d) ˆ i  e) ˆ ˆ i j  668.Hallar el ángulo  entre los gradientes de la función u=arctg(x/y) en los puntos P1 (1,1), y P2 (-1,-1). a) 0 b) /2 c) /3 d)  e) /6 669.Hallar el ángulo  entre los gradientes de la función u=(x+y)ex+y en los puntos P1 (0,0), y P2 (1,1). a) 0 b) /2 c) /3 d)  e) /6 670.Hallar el ángulo  entre los gradientes de las funciones u=(x2+y2+z2)1/2 y v= ln(x2+y2+z2) en el punto P1 (0,0,1). a) 0 b) /2 c) /3 d)  e) /6 671.Hallar los puntos, en los cuales el gradiente del campo escalar u=sen(x+y) es igual a ˆ i +ˆ j . a) y=x+2n b) y=-x+2n c) y=x+n d) y=-x+n e) y=x+n/2 672.Hallar los puntos, en los cuales el módulo del gradientes del campo escalar u= (x2+y2+z2)1/2 es igual a la unidad. a) x+y+z=1 b) x2+y2+z2=1 c) x-y+z=1 d) x+y-z=1 e) y=x+y 673.Hallar la derivada de la función u=(x/a)2+(y/b)2+(z/c)2 en un punto arbitrario P(x,y,z) en dirección del radio vector r de este punto. a) u/r b) 2u/r c) 3u/r d) u/r2 e) 2u/r2 674. Hallar la derivada de la función u=1/r, donde r= r , en dirección del vector s = cosˆ i +cosˆ j+cos ˆ k . ¿Para qué condición esta derivada es igual a cero? a) cos( r s )/r2; para r s b) cos( r s )/r2; para r s  c) -cos( r s )/r2; para r s d) -cos( r s )/r2; para r s  e) cos( r s )/r; para r s 675.Hallar la derivada de la función u=1/r, donde r= r en dicrección de su gradiente eva- 103

Análisis Vectorial 136 luado en el punto P(0,1; 0,2; 0,3)
a) 7,1 b) 7,3 c) 7,5 d) 7,7 e) 7,9 676.Hallar la derivada de la función escalar u=yzex en el punto P1 (0,0,1), por la dirección de su gradiente. a) 1,0 b) 1,2 c) 1,4 d) 1,6 e) 1,8 677.Hallar la dirección y la magnitud de la máxima variación de campos escalar u=x2y+y2z+z2x, en el punto P1 (1,0,0). a) 1 (ˆ i ) b) 1 (ˆ j) c) 1 ( ˆ k ) d) 2 (ˆ i ) e) 2 (ˆ j) 678.Hallar la dirección y la magnitud de la máxima variación de campos escalar u=xyz, en el punto P1 (2,1,-1). a) 1 (a ) b) 2 (a ) c) 3 (a ) d) 4 (a ) e) 5 (a ) donde a =-ˆ i -2ˆ j+2 ˆ k . 679.Hallar la línea vectorial del campo a =-yˆ i +xˆ j+b ˆ k que pasa por el punto (1,0,0). a) x=ytg(z/b) b) y=xtg(z/b) c) x=ysen(z/b) d) y=xcos(z/b) e) x=y+bz 680.Hallar la línea vectorial del campo a =x2 ˆ i -y3 ˆ j+z2 ˆ k que pasa por el punto (1/2,-1/2,1). a) 1/x+1/z=1, 1/x-1/2y2=4 b) 1/x+1/z=1, 1/x+1/2y2=4 c) 1/x-1/z=1, 1/x+1/2y2=4 d) 1/x+1/z=2, 1/x-1/2y2=1 e) 1/x-1/z=1, 1/x+1/2y2=4 681.Hallar el flujo del campo vectorial a = r de r es el radio vector a través del cilindro circular recto de altura h=0,6, radio de base R=0,8, y con eje situado en el eje oZ. a) 3,02 b) 3,22 c) 3,42 d) 3,62 e) 3,82 682. Hallar el flujo del campo vectorial a = r / 3 r a través de la esfera de radio R=0,65 con el centro en el origen de coordenadas O. a) 5,11 b) 5,31 c) 5,51 d) 5,71 e) 5,91 683.Hallar el flujo del campo vectorial a =3ˆ j a través del área de la superficie que tiene la forma del triángulo con los vértices en los puntos P1 (1,2,0), P2 (0,2,0), P3 (0,2,2), en di rección donde se encuentra el origen de coordenadas. a) -1 b) +1 c) -2 d) +2 e) -3 684. Hallar el flujo del campo vectorial a =ˆ i +ˆ j+ ˆ k , donde , ,  son constantes a tra 104

Robótica y Cibernética 137 vés del área de la superficie
perpendicular al eje oZ y que tiene la forma del círculo de radio "R" en dirección positiva del eje oZ. a) R2 b) R2 c) R2 d) 2R2 e) 2R2 685.Hallar el flujo del vector a r  a través de la superficie exterior del cono circular, el vértice del cual está en el origen de coordenadas, el radio de la base es 0,84 y la altura 0,46 (el eje del cono está en el eje oZ.) a) 1,02 b) 1,22 c) 1,42 d) 1,62 e) 1,82 686.Hallar el flujo del campo vectorial a =f( r ) r a través de la esfera de radio R=0,64 con centro en el origen de coordenadas. a) 3,09f(r) b) 3,29f(r) c) 3,49f(r) d) 3,69f(r) e) 3,89f(r) 687.Demostrar que el flujo del rotor (rotacional) a través de la superficie no cerrada que es tá tendida sobre el contorno dado no depende de la forma de la superficie. 688.Hallar la circulación del campo vectorial a =zˆ i +xˆ j+y ˆ k directamente por el contorno L: x2+y2=4, z=0, en dirección correspondiente al recorrido, en sentido antihorario, de la proyección L en el plano xOy, y luego por el teorema de Stokes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 689.Hallar la circulación del campo vectorial a =yˆ i -xˆ j+z ˆ k directamente por el contorno L: x2+y2+z2=4, x2+y2=z2=0, z0, en dirección correspondiente al recorrido, en sentido antihorario, de la proyección L en el plano xOy, y luego por el teorema de Stokes. a) -2 b) +2 c) -3 d) +3 e) -4 690.Hallar la circulación del campo vectorial a =2xzˆ i -yˆ j+z ˆ k directamente por el contorno formado mediante la intersección del plano x+y+2z=2 con los planos de coordenadas. a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 3/4 e) 4/3 691.Hallar la circulación del campo vectorial a =-y3 ˆ i +x3 ˆ j a lo largo de la elipse de ecua ción L: (x/a)2+(y/b)2=1, con a=0,8, b=0,7 en dirección contraria a las agujas del reloj. a) 1,09 b) 1,29 c) 1,49 d) 1,69 e) 1,89 692.En la Fig77, hallar la circulación del campo vectorial a =yexy ˆ i +xexy ˆ j+xyz ˆ k a lo largo de la línea L obtenida por la intersección del cono x2+y2=(z-1)2 con los planos de coordenadas en la dirección indicada. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 693.En la Fig78, hallar el flujo del campo vectorial a =y2 ˆ j+z ˆ k a través del segmento de la 105

Análisis Vectorial 138 superficie z=x2+y2, cortado por el plano z=2.
Se toma la normal exterior respecto al es pacio limitado por el paraboloide. a) - b) + c) -2 d) +2 e) -3 Fig77 Fig78 694.Hallar el flujo del campo vectorial a =yˆ i +zˆ j+x ˆ k a través del lado superior del triángu lo limitado por los planos x+y+z=a, x=0, y=0, z=0. a) a3 b) a3/2 c) 2a3/3 d) a2 e) 3a2/2 695.Hallar el flujo del campo vectorial a =xzˆ i a través de la superficie exterior del para boloide z=1-x2-y2 limitado por el plano z=0 (z0). a)  b) 2 c) /2 d) /4 e) /6 696.Hallar el flujo del campo vectorial a =xˆ i +z ˆ k a través de la superficie lateral del cilin dro circular y=(R2-x2)1/2 limitada por los planos z=0, z=h (h>0). (R=0,8, h=0,6) a) -0,2 b) +0,2 c) -0,4 d) +0,4 e) -0,6 697.Hallar el flujo del campo vectorial a =xˆ i +yˆ j+z ˆ k a través de la parte superior del cír culo que corta el cono z=(x2+y2)1/2 en el plano z=h (h>0). (h=0,85) a) 1,13 b) 1,33 c) 1,53 d) 1,73 e) 1,93 698.Hallar el flujo del campo vectorial a =3xˆ i -yˆ j-z ˆ k a través de la superficie exterior del paraboloide x2+y2=9-z, que se encuentra en el primer octante. a) -31,8 b) +31,8 c) -33,8 d) +33,8 e) -35,8 699.Hallar el flujo del campo vectorial a =(x2+y2)ˆ i +(y2+z2)ˆ j+(z2+x2) ˆ k a través de un seg mento del plano z=0 limitado por la circunferencia x2+y2=1 en dirección de ˆ k . a) /2 b) /3 c) /4 d) 2/3 e) 2/4 C z B O x y A    C z O x y A   z=2 z=0 106

FUERZA ELECTRICA CAP-2 • Interacciones • Carga eléctrica • Distribuciones
de carga eléctrica • Semiconductores y superconductores • Ley de Coulomb 107

Robótica y Cibernética 195 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Dos esferas del
mismo tamaño de cargas Q1 =+110-7 C y Q2 =-310-7 C, se ponen en con tacto y se separan. ¿Cuál es la carga que adquiere cada una de las esferas? (n=10-9) a) +100 nC b) -100 nC c) +200 nC d) -200 nC e) +300 nC 02. ¿Cuántos electrones es necesario quitar de una bola de boliche, que al principio es neutra, para suministrarle una carga eléctrica positiva de Q=1 C. (e=-1,6.10-19 C, =10-6) a) 3,251012 s e b) 4,251012 s e c) 5,251012 s e d) 6,251012 s e e) 7,251012 s e 03. Se tiene una moneda de cobre de 4 g. El número atómico del cobre es Z=29 y su masa ató mica es M=63,5 g/mol. Hallar el valor de la carga total negativa de la moneda. (NA = 6,021023 átomos/mol, e=-1,610-19 C, k=103) a) 175 kC b) 200 kC c) 225 kC d) 250 kC e) 275 kC 04. Un grano de polvo metálico esta constituido de 200 protones y 100 electrones. Hallar la carga eléctrica neta del grano de polvo. (e=-1,610-19 C) a) 1,610-17 C b) 2,610-17 C c) 3,610-17 C d) 4,610-17 C e) 5,610-17 C 05. Una carga igual a la de un número de Avogadro (NA =6,021023) de protones se llama fara day. Hallar el número de culombios que existe en un faraday. (k=9109 Nm2/C2, e= 1,610-19 C, k=103) a) 90,3 kC b) 92,3 kC c) 94,3 kC d) 96,3 kC e) 98,3 kC 06. ¿Cuántos culombios de carga positiva existen en 1 kg de carbono? Doce gramos de carbo no contienen el número de Avogadro de átomos y cada átomo posee seis protones y seis e lectrones. (k=9109 Nm2/C2, NA =6,021023 átomos/mol, e=-1,610-19 C, M=106) a) 40,2 MC b) 42,2 MC c) 44,2 MC d) 46,2 MC e) 48,2 MC 07. I) Calcule el número de electrones que hay en un pequeño alfiler de plata, eléctricamente neutro, de masa m=10 g. La plata tiene 47 electrones por átomo, y su masa molar es de 107,87 g/mol. a) 2,021024 b) 2,221024 c) 2,421024 d) 2,621024 e) 2,821024 II) Se añaden electrones al alfiler hasta que la carga negativa neta sea de q=1 mC. ¿Cuántos electrones se añaden por cada 109 electrones ya presentes? a) 2,18 b) 2,38 c) 2,58 d) 2,78 e) 2,98 108

Fuerza eléctrica 196 08. Supóngase que durante una tormenta, la
descarga de corona de un pararrayos disipa al aire que le rodea 1,010-4 C de carga positiva por segundo. Si esa descarga procede en for ma más o menos continua durante una hora. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,610-19 C) I) ¿Cuánta carga eléctrica sale del pararrayos, en cada hora? a) 0,30 C/h b) 0,32 C/h c) 0,34 C/h d) 0,36 C/h e) 0,38 C/h II) Cuántos electrones pasan al pararrayos desde el aire que lo rodea? a) 1,31018 s e b) 2,31018 s e c) 3,31018 s e d) 4,31018 s e e) 5,31018 s e 09. En la reacción siguiente: Ni2++ 4H2 O  Ni 2 4 O  + 8H+ + s e , ¿Cuántos electrones se libe ran? a) 1 s e b) 2 s e c) 3 s e d) 4 s e e) 5 s e 10. Con frecuencia los iones de litio se disuelven electrolitos. Las reacciones en una batería re cargable de litio cobalto (Li-Co) se pueden representar por: Li  Li+ + 1 s e en la placa de litio, productora de electrones, y Co4+ + N s e  Co3+ en la placa que absorbe electrones, hecha a base de cobalto. Utilice un balance de cargas para determinar la cantidad "N" de electrones absorbidos por átomos de cobalto, durante la reacción. a) 1 s e b) 2 s e c) 3 s e d) 4 s e e) 5 s e 11. Un cascarón esférico tiene carga neta sólo en sus superficies interior y exterior. La carga total, de todo el cascarón, es Qtotal =-10 nC. La carga en la superficie interior es Qinterior = +20 nC. ¿Qué carga hay en la superficie externa del cascarón? a) +20 nC b) -20 nC c) +30 nC d) -30 nC e) +40 nC 12. Se puede platear un objeto metálico, como una cuchara, sumergiéndolo con una barra de plata (Ag) en una solución de nitrato de plata (AgNO3 ). Si a continuación se conectan la cuchara y la barra de plata a un generador eléctrico, y se hace pasar una corriente de una a otra, en las superficies sumergidas se efectuarán las reacciones siguientes: Ag+ + s e  Agmetal y Agmetal  Ag+ + s e Por la primera reacción se deposita plata sobre la cuchara, y por la segunda reacción se sa ca plata de la barra de plata. ¿Cuántos electrones deben hacerse pasar, de la barra de plata a la cuchara de plata, para depositar 1,0 g de plata sobre la cuchara? a) 1,61021 s e b) 2,61021 s e c) 3,61021 s e d) 4,61021 s e e) 5,61021 s e 13. ¿Cuántos electrones existen en un clip sujeta papel de hierro, de masa m=0,3 g?. Cada áto mo de hierro contribuye con 26 electrones. (M=55,8 g/mol, NA =6,0221023 átomos/mol) a) 7,61022 b) 8,01022 c) 8,41022 d) 8,81022 e) 9,21022 109

Robótica y Cibernética 197 14. Supóngase que se quitan todos
los electrones de una moneda de cobre, cuya masa es 2,7 g, y que son colocadas a una distancia de 2 m de los núcleos de cobre que quedan. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de atracción eléctrica sobre los electrones? En cada átomo de cobre hay 29 electrones. (M=63,5 g/mol, NA =6,0221023 átomos/mol) a) 2,81019 N b) 3,21019 N c) 3,61019 N d) 4,01019 N e) 4,41019 N 15. I) ¿Cuántos electrones y protones existen en un organismo humano de masa m=73 kg. La composición aproximada del cuerpo humano es 70 % de oxigeno, 20 % de carbono y 10 % de hidrógeno, masas moleculares 16 g/mol, 12 g/mol, 1,01 g/mol, número de Avogadro NA =6,0221023 átomos/mol, carga electrón e=-1,610-19 C. a) 1,411028 b) 2,411028 c) 3,411028 d) 4,411028 e) 5,411028 II) Hallar el valor de la carga negativa y positiva que existe en un organismo humano de ma sa m=73 kg. (G=109) a) 1,86 GC b) 2,86 GC c) 3,86 GC d) 4,86 GC e) 5,86 GC 16. Se pueden disolver 36 g de cloruro de sodio (sal de mesa) en 100 g de agua. ¿Qué factor interviene en que haya mayor cantidad de electrones (o de protones) en la solución, que la hay en el agua simple? a) 1,1 b) 1,3 c) 1,5 d) 1,7 e) 1,9 17. En un lugar directamente debajo de una nube de tormenta, la carga eléctrica inducida so bre la superficie de la Tierra es +110-7 C/m2 de superficie. (e=-1,610-19 C) I) ¿Cuántos iones con carga positiva simple y por metro cuadrado representa lo anterior? La cantidad característica de átomos sobre la superficie de un sólido es 21019 por metro cua drado a) 2,31011 b) 3,31011 c) 4,31011 d) 5,31011 e) 6,31011 II) ¿Qué fracción de esos átomos debe ionizarse para producirse la carga eléctrica menciona da? a) 1,210-8 b) 3,210-8 c) 5,210-8 d) 7,210-8 e) 9,210-8 18. A una esfera pequeña de plomo de masa m=8 g se suministran electrones, de modo que su carga neta es de Q=-3,2010-9 C. El número atómico del plomo es z=82 y su masa atómica es de M=207 g/mol. (e=-1,60210-19 C, NA =6,0231023 átomos/mol). Hallar: I) El número de electrones excedentes en la esfera. a) 11010 S e b) 21010 S e c) 31010 S e d) 41010 S e e) 51010 S e II) ¿Cuántos electrones excedentes hay por átomo de plomo? a) 1,5810-13 b) 2,5810-13 c) 4,5810-13 d) 6,5810-13 e) 8,5810-13 110

Fuerza eléctrica 198 19. Los relámpagos ocurren cuando hay un
flujo de carga eléctrica entre el suelo y los cumulo nimbos (nubes de tormenta). La tasa máxima de flujo de carga en un relámpago es de alre dedor de 20000 C/s. esto dura 100 s o menos. ¿Cuánta carga fluye entre el suelo y la nu be en este tiempo? (=10-6) a) 1 C b) 2 C c) 3 C d) 4 C e) 5 C 20. Se tiene un anillo delgado de oro de masa m=17,7 g, masa atómica M=197 g/mol y nú mero atómico de z=79. El anillo esta descargado. (e=-1,60210-19 C, NA =6,0231023 áto mos/mol) I) ¿Cuántos protones hay en el anillo? a) 1,271024 b) 2,271024 c) 3,271024 d) 4,271024 e) 5,271024 II) ¿Cuál es la carga positiva del anillo? a) 185 kC b) 2,28 kC c) 4,85 kC d) 685 kC e) 885 kC III) Si el anillo no tiene carga neta, ¿Cuántos electrones hay en el anillo? a) -185 kC b) -2,28 kC c) -4,85 kC d) -685 kC e) -885 kC 21. Se tiene un vaso cilíndrico de radio R=4 cm, altura h=10 cm, lleno con agua de densidad =1 g/cm3. (M=106, e=-1,60210-19 C, NA =6,0231023 átomos/mol) I) Hallar la carga positiva contenida en el vaso con agua. a) 16,9 MC b) 26,9 MC c) 36,9 MC d) 46,9 MC e) 56,9 MC II) Hallar la carga negativa contenida en el vaso con agua. a) -16,9 MC b) -26,9 MC c) -36,9 MC d) -46,9 MC e) -56,9 MC III) Hallar el número de electrones contenidos en el vaso con agua. a) 1,681026 b) 2,681026 c) 3,681026 d) 4,681026 e) 5,681026 22. Los protones de los rayos cósmicos llegan a la atmósfera superior de la Tierra a razón de I=0,15 protones/cm2.s, promediando toda la superficie. ¿Qué cantidad total de corriente re cibe la Tierra desde la atmósfera en forma de protones de radiación cósmica incidente? El radio medio de la Tierra es de R=6,37106 m, e=1,60210-19 C) a) 103 mA b) 123 mA c) 143 mA d) 163 mA e) 183 mA 23. Se tienen tres cilindros de plástico sólidos de radios R=2,50 cm y longitud l=6 cm, el pri mero con densidad de carga superficial uniforme de 1 =20 nC/m2 en sus bases, el segun do con densidad de carga superficial uniforme de 2 =15 nC/m2 en su superficie lateral cur va, y el tercero con densidad de carga volumétrica de 3 =500 nC/m3 en su volumen. Ha llar la relación correcta para las cargas de cada uno de los cilindros. a) Q1 <Q2 <Q3 b) Q3 <Q1 <Q2 c) Q1 <Q3 <Q2 d) Q3 <Q2 <Q1 e) Q2 <Q1 <Q3 111

Robótica y Cibernética 199 24. Se tiene una varilla delgada
de longitud l=60 cm, y densidad de carga lineal no uniforme, dada por: =o (x/l)2, donde o " "  es una constante, y "x" se mide a partir del extremo iz quierdo de la varilla. Hallar la carga total de la varilla. a) 0,1o b) 0,2o c) 0,3o d) 0,4o e) 0,5o 25. Se tiene un disco muy delgado de radio R=20 cm con densidad de carga superficial no uni forme, dada por: =o (r/R)2 sen4, siendo o " "  una constante y " "  el ángulo polar. Ha llar la carga total del disco. a) 0,013o b) 0,023o c) 0,033o d) 0,043o e) 0,053o 26. Se tiene una esfera compacta de radio "R", y densidad de carga volumétrica no uniforme, dada por: =o para 0rR/2 y =2o para R/2 r R, siendo o " "  una constante. Hallar la densidad media de carga volumétrica de la esfera. a) 1,575o b) 1,675o c) 1,775o d) 1,875o e) 1,975o 27. La densidad de carga volumétrica no uniforme de una esfera compacta de radio R=10 cm, viene dado por: =o (r/R)3, siendo o " "  una constante. Hallar la carga total de la esfera. a) 1,0910-3o b) 2,0910-3o c) 3,0910-3o d) 4,0910-3o e) 5,0910-3o 28. Se tiene una esfera metálica compacta de radio R=20 cm, y carga eléctrica de Q=8 nC. Hallar la densidad de carga de esta esfera. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 15,1 nC/m2 b) 15,3 nC/m2 c) 15,5 nC/m2 d) 15,7 nC/m2 e) 15,9 nC/m2 29. Se tiene una esfera compacta de plástico de radio R=20 cm, y densidad de carga volumé trica no uniforme, dada por:  = o r2cos2, siendo o =9 nC/m3 una constante. Hallar la car ga total de la esfera. (p=10-12) a) 2,14 pC b) 2,34 pC c) 2,54 pC d) 2,74 pC e) 2,94 pC 30. Se tiene una lámina muy delgada de densidad de carga superficial de carga no uniforme dada por: =o x2y2/a2b2, para –a  x  +a y –b  y +b, siendo o =9 nC/m2 una constan te. Hallar la carga total de la lámina. (a=10 cm, b=5 cm, p=10-12, n=10-9) a) 10 pC b) 15 pC c) 20 pC d) 25 pC e) 30 pC 31. Una anillo muy delgado de cobre de radio R=20 cm, densidad de carga lineal o " "  , coefi ciente de dilatación lineal o =16,810-6 oC-1 se calienta en T=50 oC. Hallar el cambio por centual que experimenta la densidad lineal de carga, asumiendo que la carga eléctrica se conserva. a) 0,014 % b) 0,024 % c) 0,044 % d) 0,064 % e) 0,084 % 32. El peso medio de un ser humano es de alrededor de W=650 N. Si dos personas comunes 112

Fuerza eléctrica 200 tienen, cada una, una carga excedente de
1,0 C, una positiva y la otra negativa, ¿Qué tan lejos tendrían que estar para que la atracción eléctrica entre ellas fuera igual a su peso de W=650 N (k=9109 Nm2/C2)? a) 3,32 km b) 3,42 km c) 3,52 km d) 3,62 km e) 3,72 km 33. Dos esferas pequeñas separadas por una distancia de d=20 cm tienen cargas iguales, ¿Cuántos electrones excedentes debe haber en cada esfera, si la magnitud de la fuerza de repulsión entre ellas es de F=4,5710-21N ? (e=-1,60210-19 C, NA =6,0231023 átomos/mol, k= 9109 Nm2/C2) a) 859 S e b) 869 S e c) 879 S e d) 889 S e e) 899 S e 34. La magnitud de la fuerza eléctricas entre dos esferas de plástico cargadas positivamente, separadas por una distancia de d=15 cm es de F=0,22 N. (k=9109 Nm2/C2) I) ¿Cuál es la carga de cada esfera, si las dos cargas son iguales? a) 0,54 C b) 0,64 C c) 0,74 C d) 0,84 C e) 0,94 C II) ¿Cuál es la menor carga de las esferas, si una esfera tiene cuatro veces la carga de la otra esfera? a) 1,55 C b) 1,65 C c) 1,75 C d) 1,85 C e) 1,95 C 35. Se tienen dos esferas pequeñas de aluminio de masas m=25 g, separadas por una distancia de d=80 cm. La masa atómica del aluminio es M=26,982 g/mol, y su número atómico es z=13. (e=-1,60210-19 C, NA =6,0231023 g/mol, k=9109 Nm2/C2) I) ¿Cuántos electrones contiene cada esfera? a) 1,251024 b) 3,251024 c) 5,251024 d) 7,251024 e) 9,251024 II) ¿Cuántos electrones tendrían que retirarse de una esfera y agregarse a la otra, para que la magnitud de la fuerza de atracción entre ellas sea de F=104 N. (P=1015)? a) 1,26 P S e b) 2,26 P S e c) 3,26 P S e d) 4,26 P S e e) 5,26 P S e 36. Dos esferas muy pequeñas de masas m=8,55 g, separadas por una distancia de d=15 cm, se cargan con igual cantidad de electrones. ¿Cuántos electrones habría que agregar a cada una de las esferas, para que adquieran una aceleración de a=25g, al ser liberadas. (g=9,8 m/s2, T=1012, e=-1,60210-19 C, k=9109 Nm2/C2) a) 11,28 T S e b) 12,28 T S e c) 13,28 T S e d) 14,28 T S e e)15,28T S e 37. Se libera un protón a una distancia de d=2,5 mm de un protón fijo. (q=1,60210-19 C, mP =1,6710-27 kg, k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la aceleración (en m/s2) inicial del protón, luego de ser liberado. a) 1,21104 b) 2,21104 c) 3,21104 d) 4,21104 e) 5,21104 113

Robótica y Cibernética 201 II) Represente las gráficas de la
aceleración en función del tiempo, y de la velocidad en fun ción del tiempo, correspondiente al movimiento del protón. 38. Una partícula de carga Q1 =-0,55 C ejerce una fuerza hacia arriba de magnitud F=0,2 N, sobre una partícula de carga desconocida 2 "Q " que está a una distancia de d=0,3 m direc tamente por e debajo de ella. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la carga desconocida 2 "Q ". a) 1,64 C b) 3,64 C c) 5,64 C d) 7,64 C e) 9,64 C II) Hallar la magnitud y la dirección de la fuerza que la carga 2 "Q " ejerce sobre 1 "Q ". 39. Tres cargas puntuales se ubican sobre el eje X. La carga Q3 =+5 nC está en el origen 0. La carga Q2 =-3 nC se encuentra en x=+4 cm. La carga 1 "Q " está en x=+2 cm. Hallar la carga 1 "Q ", si la fuerza resultante sobre la carga 3 "Q " es nulo. a) 0,25 nC b) 0,50 nC c) 0,75 nC d) 1,00 nC e) 1,25 nC 40. Dos cargas puntuales Q1 =+2 C, Q2 =-2 C se ubican sobre el eje Y, en y1 =0,3 m, y2 =-0,3 m. Una tercera carga puntual Q3 =+4 C se ubica en el eje X en x=0,4 m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga puntual 3 "Q ". a) 0,146 N b) 0,346 N c) 0,546 N d) 0,746 N e) 0, 946 N II) Hallar la dirección de la fuerza que actúa sobre 3 "Q ". a) 90º b) 180º c) 270º d) 106º e) 233o 41. Tres cargas puntuales están alineadas a lo largo del eje X, la carga Q1 =+3 C está en el o rigen, y la carga Q2 =-5 C se encuentra en x=0,2 m. ¿Donde está situada la carga Q3 =-8 C, si la magnitud de la fuerza resultante sobre 1 "Q " es F=7 N en la dirección negativa del eje X? (k=9109 Nm2/C2) a) -11,43 cm b) +13,43 cm c) -10,43 cm d) +9,43 cm e) -14,43 cm 42. Dos cargas puntuales se ubican sobre el eje Y: la carga Q1 =-1,5 nC en y=-0,6 m y la carga Q2 =+3,2 nC en el origen y=0. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante ejercida por es tas dos cargas sobre una tercera Q3 =+5,0 nC situada en y=-0,4 m? (k=9109 Nm2/C2) a) 2,09 N b) 2,39 N c) 2,59 N d) 2,79 N e) 2,99 N 43. Dos cargas puntuales están situadas sobre el eje X: Q1 =+4,0 nC en x=0,2 m, Q2 =+5,0 nC en x=-0,3 m. Hallar la fuerza resultante ejercida por las cargas 1 "Q " y 2 "Q " sobre una car ga puntual Q3 =-6,0 nC, situada en el origen? (n=10-9, k=9109 Nm2/C2) a) 2,0 N ˆ i b) -2,0 N ˆ i c) 2,4 N ˆ i d) -2,4 N ˆ i e) 3,0 N ˆ i 114

Fuerza eléctrica 202 44. Una cierta cantidad de carga "Q"
se distribuye entre dos esferitas muy pequeñas, tal que, la fuerza de interacción máxima entre las esferitas separadas por una distancia constante d=0,4 mm es F=0,2 N. Hallar el valor de la carga "Q". (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 3,17 nC b) 3,37 nC c) 3,57 nC d) 3,77 nC e) 3,97 nC 45. Dos cargas puntuales Q1 =2,5 C y Q2 =-3,50 C se ubican sobre el eje X en las posiciones x1 =0 m y x2 =0,6 m. ¿En qué posición sobre el eje X, debe ubicarse una tercera carga pun tual "q", tal que, la fuerza resultante sobre ella sea nula? a) +1,27 m b) -1,27 m c) +3,27 m d) -3,27 m e) +2,53 m 46. En la Fig01, las bolas idénticas de masas "m", cargas eléctricas "q", están suspendidas de hilos de seda de longitud " ". (g=9,8 m/s2, k=9109 Nm2/C2) I) Demostrar que para " "  muy pequeño, la distancia entre las bolas, viene dado por la ex presión: x= (q2l/2o mg)1/3. II) Hallar la carga "q" de las bolas, para l=120 cm, m=10 g y x=5 cm. (n=10-9) a) 20 nC b) 22 nC c) 24 nC d) 26 nC e) 28 nC 47. En la Fig02, en los vértices del cuadrado de lados a=20 cm, se ubican cuatro cargas pun tuales Q1 =+5 C, Q2 =-2 C, Q3 =+5 C y Q4 =+2C. Hallar el vector fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=-1 C, situada en el centro del cuadrado. (k=9109 Nm2/C2, T=1012). a) 1,07(ˆ i +ˆ j) TN b) 1,07(ˆ i -ˆ j) TN c) 1,27(ˆ i +ˆ j) TN d) 1,27(ˆ i -ˆ j) TN e) 1,47(ˆ i +ˆ j) TN Fig01 Fig02 48. En la Fig03, en los vértices del cuadrado de lado a=10 mm se encuentran cuatro cargas puntuales. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga puntual q=+1 nC, situada en el punto medio de uno de los lados del cuadrado. a) 0,209 mN b) 0,229 mN c) 0,249 mN d) 0,269 mN e) 0,289 mN II) Hallar el ángulo que forma la fuerza F sobre "q", con respecto al eje X. a) 160º 4' 12" b) 162º 4' 12" c) 164º 4' 12" d) 166º 4' 12" e) 168º 4' 12"   x l q q l y +Q1 -Q2 +Q4 +Q3 a a a -q x 115

Robótica y Cibernética 203 49. En la Fig04, en los
vértices y el centro del cuadrado de lado a=0,2 mm se encuentran esfe ritas en equilibrio, conectadas mediante hilos no tensados. El cuadrado se encuentra en un plano horizontal. Si a cada una de las esferitas se suministra cargas de q=+4 nC. Hallar la tensión del hilo que une dos esferitas situadas en un mismo lado. (k=9109 Nm2/C2) a) 9,16 N b) 9,36 N c) 9,56 N d) 9,76 N e) 9,96 N Fig03 Fig04 50. En los vértices opuestos de un cuadrado de lado "a", se ubican cargas "Q" y "q", respec tivamente. ¿Para que razón Q/q=?, la fuerza resultante sobre cualquiera de las cargas "Q" es nula? a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 2 /2 e) 2 /4 51. En la Fig05, a las bolas conectada entre si mediante un resorte dieléctrico de longitud nor mal l o =4 cm y constante elástica k=80 N/m, se les suministra carga eléctrica de Q=400 nC. Hallar la longitud que se deforma el resorte. (=9109 Nm2/C2) a) 7,0 mm b) 7,2 mm c) 7,4 mm d) 7,6 mm e) 7,8 mm 52. En la Fig06, a 4 cm por debajo de la esferita de carga qA =+5 nC y masa m=210-6 kg que está suspendida del resorte de constante elástica k=10-3 N/m, hay otra esferita de carga qB =-4 nC. Hallar la deformación que experimenta la longitud del resorte (g=10 m/s2) a) 13,25 cm b) 31,28 cm c) 25,36 cm d) 64,24 cm e) 45,21 cm Fig05 Fig06 q q q a a a q q a a a 2nC -3nC 4nC 5nC q Q Q k R.SABRERA  +qA - qB 4cm k   g 116

Fuerza eléctrica 204 53. ¿Cuál debe ser la distancia "d"
de separación entre dos protones, para que la fuerza eléc trica de repulsión, sea igual, al peso del protón? (k=9109 Nm2/C2, e=1,60210-19 C, g=9,8 m/s2, m=1,6710-27 kg, n=10-9) a) 11,08 cm b) 11,28 cm c) 11,48 cm d) 11,68 cm e) 11,88 cm 54. I) ¿Qué cargas iguales positivas debieran colocarse en la Tierra y en la Luna de masas M=5,961024 kg, m=7,31022 kg, para anular la atracción gravitacional? (k=9109 Nm2/C2, G=6,6710-11 Nm2/kg2. a) 5,071013 C b) 5,271013 C c) 5,471013 C d) 5,671013 C e) 5,871013 C II) ¿Cuántos kilogramos de hidrógeno se necesitarían para proporcionar la carga positiva calculada en I)? (z=1, e=1,60210-19 C, NA =6,0231023 átomos/mol) a) 5,07105 kg b) 5,27105 kg c) 5,47105 kg d) 5,67105 kg e) 5,87105 kg 55. Una esferita descargada de radio R1 =4 cm, moviéndose sobre una superficie horizontal dieléctrica totalmente lisa, colisiona con otra esferita fija de radio R2 =6 cm y carga Q=8 nC. Hallar la fuerza entre las esferitas, cuando la distancia de separación entre ellas es de d=12 cm. Asumir que la colisión es totalmente elástica. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 9,0 N b) 9,2 N c) 9,4 N d) 9,6 N e) 9,8 N 56. Una esferita "A" de carga q=800 pC, masa=210-16 kg se lanza con una rapidez de vo = 2105 m/s, hacia otra esferita "B" fija de carga q=800 pC, que se encuentra a la distancia de xo =10 cm. Ambas esferitas se encuentran sobre una superficie dieléctrica horizontal. ¿A qué distancia de la esferita "B", la rapidez de la esferita "A" es nula? (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 5,1 cm b) 5,3 cm c) 5,5 cm d) 5,7 cm e) 5,9 cm 57. Desde el origen de coordenadas, empiezan a moverse simultáneamente del reposo, dos partículas de cargas q=4 pC, a lo largo de los ejes X e Y con rapideces constantes de vx = 0,1 cm/s y vy =0,2 cm/s. ¿Con que rapidez cambia la fuerza, para el instante t=2 s, de ini ciado el movimiento? (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 70 N/s b) 72 N/s c) 74 N/s d) 76 N/s e) 78 N/s 58. Una bolita de masa m=910-23 kg y carga eléctrica q=810-10 C que está suspendido verti calmente de un hilo, se encuentra a la distancia de h=2 cm de una lámina metálica infi nita. Hallar la longitud " " del hilo, si el período de las pequeñas oscilaciones que realiza la bolita es, T=410-9 s, al sacarse de su posición de equilibrio. a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 18 cm 59. En la Fig.07, la bolita de carga eléctrica qo =-4 nC, que esta suspendido del hilo metálico de diámetro D=2 mm, módulo de Young E=11,91010 Pa, se encuentra a una distancia de d=10 cm de la lámina conductora cuadrada de lados a=20 cm y densidad de carga unifor 117

Robótica y Cibernética 205 me =60 nC/m2. Hallar la deformación
unitaria que experimenta la longitud del hilo. (k= 9109 Nm2/C2, n=10-9, p=10-12) a) 12,2 pm b) 32,2 pm c) 52,2 pm d) 72,2 pm e) 92,2 pm 60. En la Fig08, la carga puntual qo =8 nC se encuentra en equilibrio, a la distancia d=2 mm de la carga fija Q=6 nC. Hallar el periodo de las pequeñas oscilaciones de la carga o "q ", cuando se desplaza una pequeña distancia vertical, y se libera. (g=10 m/s2) a) /10 s b) /20 s c) /30 s d) /40 s e) /50 s Fig07 Fig08 61. En la Fig09, la esfera A de peso W=15 N y carga eléctrica q=10  C, está en equilibrio. Hallar la carga eléctrica de la esfera B, si las tensiones en las cuerdas (1) y (2) son igua les. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) -3 C b) 3 C c) -5 C d) 5 C e) 9 C 62. En la Fig10, en el sistema en equilibrio las esferitas son de peso despreciable y tienen car gas eléctricas de Q=2 C. Hallar el peso de la barra homogénea AB. (k=9109 Nm2/C2) a) 20 N b) 40 N c) 80 N d) 60 N e) 10 N Fig09 Fig10 63. En la Fig11, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=1 nC, sa biendo que Q=12510-10 C y AO =5 cm. (k=9109 N/m2/C2, n=10-9) a) 72 nN b) 24 nN c) 48 nN d) 12 nN e) 36 nN g d qo, m Q l d a a   (1) (2) A B 530 10cm       +Q -Q 3cm N A B 118

Fuerza eléctrica 206 64. En la Fig12, hallar el valor
de la carga que se debe ubicar en la posición " B " para que la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=1 nC sea horizontal, sabiendo que la carga en la posición " A " es de magnitud QA =64C. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 15 C b) 20 C c) 27 C d) 32 C e) 45 C Fig11 Fig12 65. La magnitud de la fuerza de interacción entre dos esferitas, separadas por una distancia de d=2 m, y cuya suma de sus cargas positivas es Q=50 C es de F=1 N. Hallar la razón en tre las cargas mayor y menor de las esferitas. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 3,18 b) 3,38 c) 3,58 d) 3,78 e) 3,98 66. Un electrón de carga q=-1,610-19 C y de masa m=9,110-31 kg se mueve en una trayecto ria circular de radio R=2 m, alrededor de un protón de carga q=+1,610-19 C. Hallar la ra pidez con la que se mueve el electrón. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 11,21 km/s b) 11,23 km/s c) 11,25 k m/s d) 11,27 km/s e) 11,29 km/s 67. En la Fig13, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga eléctrica puntual qo =5 nC, ejercido por el filamento fino de longitud l=8 cm, de densidad de carga lineal unifor me de =810-11 C/m, y sabiendo que a=2 cm. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 140 nF b) 142 nN c) 144 nF d) 146 nN e) 148 nN 68. En la Fig14, la carga puntual qo =1 nC se encuentra situado a la distancia de d=5 cm del punto medio del filamento fino de longitud l=15 cm y densidad de carga lineal uniforme de =8 nC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga o "q ". a) 0,1 N b) 0,3 N c) 0,5 N d) 0,7 N e) 0,9 N 69. En la Fig15, si el filamento fino de longitud l=2a, y densidad de carga lineal uniforme de =8 nC/m gira =900 respecto de su punto medio M. ¿En qué porcentaje aumenta (A) o disminuye (D) la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual qo =1 nC? (k= 9109 Nm2/C2) a) D, 20,4 % b) A, 20,4 % c) D, 25,4 % d) A, 25,4 % e) D, 30,4 % Q Q A B C D 740 q 370 530 F A B q QA 119

Robótica y Cibernética 207 Fig.13 Fig.14 70. En la Fig16,
la carga puntual o " q "  se encuentra a una distancia "r" del centro 0 del di polo eléctrico de cargas " q"  , " q"  , separadas por una distancia "d" (d<<r), siendo " "  el ángulo polar, y k=1/4o la constante eléctrica. I) Demostrar que la componente radial r "F " de la fuerza resultante sobre o "q ", viene dado por: Fr =2kqo qd cos /r3. II) Demostrar que la componente tangencial "F "  de la fuerza resultante sobre o "q ", viene dado por: F =kqo qd sen /r3. III) Demostrar que la magnitud de la fuerza resultante sobre la carga puntual o "q ", viene dado por: F=kqo qd 2 3cos 1   /r3. Fig15 Fig16 71. En la Fig17, cuatro cargas de valor q=4 nC están ubicada en los vértices del cuadrado de lado a=3 mm. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga situada en el vértice inferior izquierdo. a) 10,63 mN b) 12,63 mN c) 14,63 mN d) 16,63 mN e) 18,63 mN II) Hallar la magnitud de la fuerza sobre una carga puntual qo =5 pC, situada en el punto de uno de los lados del cuadrado. a) 0,105 mN b) 0,125 mN c) 0,145 mN d) 0,165 mN e) 0,185 mN 72. Dos cargas puntuales 1 "Q " y 2 "Q " situadas en el eje X, están separadas por una distancia " ". (k=9109 Nm2/C2) I) ¿Para qué valor mayor de Q1 /Q2 =?, la fuerza eléctrica sobre una carga o "q ", situada en el eje X a la distancia "D" de la carga 1 "Q ", es nula? +q -q qo r  d 0 qo a  l  l 0 d qo  l M 2a qo  120

Fuerza eléctrica 208 a) 1,50 b) 1,75 c) 2,00 d)
2,25 e) 2,50 II) ¿Para qué valor menor de Q1 /Q2 =?, la fuerza sobre una carga o "q ", situada en el eje X a la distancia "D" de la carga 1 "Q ", es nula? a) 0,24 b) 0,28 c) 0,32 d) 0,36 e) 0,40 III) Hallar el valor de la expresión: k= (s1 .s2 )1/2, donde 1 "s " y 2 "s " son la soluciones mayor y menor para Q1 /Q2 , dadas en I) y II). a) 0,5 b) 0,6 c) 0,7 d) 0,8 e) 0,9 73. En la Fig18, el anillo muy delgado de radio R=10 cm, tiene una densidad de carga lineal uniforme de =400 pC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual de carga qo =5 pC, situada a la distancia de d=10 cm del centro del anillo. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, p=10-12) a) 0,1 nN b) 0,2 nN c) 0,3 nN d) 0,4 nN e) 0,5 nN Fig17 Fig18 74. En la Fig18, el anillo muy delgado tiene una densidad de carga lineal uniforme de =8 nC/m. A la distancia "d" del centro 0 del anillo se libera una partícula de masa m=90 pg, y carga qo =-4 pC. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) ¿Con qué rapidez pasa la partícula por el centro del anillo, para d= 3 R? a) 141,8 m/s b) 143,8 m/s c) 145,8 m/s d) 147,8 m/s e) 149,8 m/s II) ¿A qué distancia del centro del anillo, la magnitud de la aceleración de la partícula es má xima, para un radio de R=2 2 cm? a) 1,0 cm b) 1,5 cm c) 2,0 cm d) 2,5 cm e) 3,0 cm III) ¿Cuál es el valor máximo que adquiere la aceleración (en 106 m/s2) de la partícula, para un radio igual a R=2 2 cm? a) 9,07 b) 9,27 c) 9,47 d) 9,67 e) 9,87 75. En la Fig19, los anillos muy delgados de radios "R", densidades de carga lineal unidor +q a a a -q -q -q qo d R  0 121

Robótica y Cibernética 209 mes de " "  
, se encuentran en planos paralelos separados por una distancia pequeña " "  . Demostrar que la fuerza ejercida por los anillos, sobre la carga o " q "  , situada en el eje co mún, a una distancia "d" de 0, para d<<R, es: F=qo  (9d2-2R2)/4o R4. 76. En la Fig20, el alambre muy delgado en forma de semicircunferencia de radio R=40 cm, tiene una densidad de carga lineal uniforme de =2.10-7 C/m. Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga de prueba qo = 6 C. (k =9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 12 mN b) 24 mN c) 36 mN d) 54 mN e) 60 mN Fig19 Fig20 77. En la Fig.21, las tres espiras circulares tienen la misma densidad de carga lineal de =8 nC/m, y están en planos paralelos separados por la misma distancia. Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga de prueba qo =4 pC. (k=9109 Nm2/C2, R1 =3 cm, p=10-12, n=10-9) a) 32 nN b) 42 nN c) 52 nN d) 62 nN e) 72 nN Fig21 Fig22 78. En la Fig22, las mitades del anillo de radio R=20 cm, tienen densidades de carga lineal de =8 nC/m. Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga de prueba qo =5 pC, situada en el plano del anillo a una distancia de d=40 cm del centro del anillo. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12, n=10-9) a) 1,0 nN b) 1,2 nN c) 1,4 nN d) 1,6 nN e) 1,8 nN 79. En la Fig23, la distancia entre los planos conductores paralelos, puestos a tierra es "D". Una carga puntual "q" se ubica a una distancia "a" del plano "1". Hallar la fuerza que e jercen los planos sobre la carga "q". (k=9109 Nm2/C2) d + - qo 0 R  qo 2cm 2cm 2cm  R2 R3   R1  d R R R qo R d R + - 0 qo 122

Fuerza eléctrica 210 80. En la Fig24, las bolas de
jebe de masas "m", "2m" y cargas "q", están suspendidas de hi los de seda de longitud " ". I) Demostrar que para 1 " "  , 2 " "  muy pequeños la distancia de separación "d" entre las bo las, viene dado por: d= (3kq2l/2mg)1/3. II) Evaluar la distancia, para: m=8 mg, q=0,4 nC, l=20 cm, k=9109 Nm2/C2, g=10 m/s2. a) 2,00 cm b) 2,25 cm c) 2,50 cm d) 2,75 cm e) 3,00 cm Fig23 Fig24 81. Si todos los electrones y protones contenidos en un gramo de hidrógeno de número atómi co z=1, masa molecular M=1 g/mol, pudieran concentrarse en los polos Norte y Sur de la Tierra de radio medio R=6357 km. Hallar la fuerza de interacción entre los electrones y protones. (k=9109 Nm2/C2, NA =6,0231023 átomos/mol) a) 518 kN b) 528 kN c) 538 kN d) 548 kN e) 558 kN 82. Una pequeña carga de q=+1 C, masa m=10 g se encuentra en reposo, a la distancia de ro=1 cm de una carga fija q=-1 C. ¿Qué velocidad se debe suministrar a la carga q"  , tal que escape del campo de la carga " q"  , y no retorne? (k=9109 Nm2/C2) a) 13,01 m/s b) 13,21 m/s c) 13,41 m/s d) 13,61 m/s e) 13,81 m/s 83. Desde muy lejos, se lanza con una velocidad 1 "v " una partícula de masa "m", carga 1 " q "  hacia el centro de un núcleo de carga 2 " q "  . Demostrar que la distancia mínima de aproximación, viene dado por: D=2kq1 q2 /mv2, siendo "k" la constante eléctrica. 84. En la Fig25, las bolitas de cargas q=80 nC, masas m=50 g, cuelgan de hilos de longitud l=20 cm, y cuyos puntos de suspensión distan d=8 mm. Considerando una aproximación de primer orden, hallar el mayor valor de " "  , para el cual el sistema esta en equilibrio, (k=9109 Nm2/C2, g=10 m/s2) a) o 1 06'25" b) o 1 10'25" c) o 1 14'25" d) o 1 18'25" e) o 1 22'25" 85. En la Fig26, las canicas muy pequeñas de masas m=120 g, cargas q=800 nC, están a u na distancia 2Ro (Ro =5 cm), sobre la varilla aislante de masa despreciable, la cual, gira con una velocidad angular de o " "  . Las canicas pueden deslizarse sin fricción, sobre la D a 1 2 q l l 2m m 1 2 g d q q 123

Robótica y Cibernética 211 varilla. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) I) Hallar
el cambio que experimenta la fuerza eléctrica, al disminuir la velocidad angular a o " / 4"  . a) 412 mN b) 432 mN c) 452 mN d) 472 mN e) 492 mN II) Hallar la velocidad angular o " "  , con la que inicialmente giraba la varilla. a) 9,0 rad/s b) 9,2 rad/s c) 9,4 rad/s d) 9,6 rad/s e) 9,8 rad/s Fig25 Fig26 86. En la Fig27, los extremos de los alambres muy delgados en forma de semicircunferen cias de radios R=20 cm, y densidades de cargas " "  , "2 "  , "3 "  , están unidos mediante un aislante en su diámetro común. Los planos de los semianillos forman entre si 120º. Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga de prueba o "q ", situada en su centro común. (k= 9109 Nm2/C2, =8 pC/m, p=10-12) a) 1,0 qo b) 1,2 qo c) 1,4 qo d) 1,6 qo e) 1,8 qo 87. En la Fig28, el disco de plástico muy delgado de radio "R", tiene una densidad de carga superficial uniforme " "  . (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Demostrar que la fuerza sobre la carga de prueba o "q ", situada a una distancia "d" del centro del disco, viene dado por: F= (qo /2o )[1-d/ 2 2 d R  ]. II) Evaluar la fuerza "F" sobre la carga o "q ", para: R=20 cm, =80 pC/m2, y R= 3 d. a) 2,06qo b) 2,26qo c) 2,46qo d) 2,66qo e) 2,86qo 88. Se tiene un anillo de plástico muy delgado de radios interior "a", exterior "b" (b=4a), y densidad de carga superficial uniforme de =80 pC/m2. Hallar la fuerza que ejerce el ani llo sobre una carga de prueba o "q " situada en su centro de curvatura. (Utilizar: ln(x), k= 9109 Nm2/C2, p=10-12) a) qo b) 2qo c) 3qo d) 4qo e) 5qo 89. Se tiene una lámina muy delgada infinita de densidad de carga superficial uniforme " "  . I) Demostrar que la fuerza que ejerce la lámina sobre una carga de prueba o "q ", situado a la distancia "d", viene dado por: F=qo /2o . l l m m   g q q d m m -q +q Ro Ro o 124

Fuerza eléctrica 212 II) Evaluar la fuerza sobre la carga
o "q ", para: =80 pC/m2, d=4 cm y k=9109 Nm2/C2 a) 4,12qo b) 4,32qo c) 4,52qo d) 4,72qo e) 4,92qo Fig27 Fig28 90. Desde una lamina horizontal muy delgada y grande de densidad de carga superficial uni forme de =4 pC/m2, se lanza un electrón con una velocidad de vo =4.103 m/s, formando un ángulo de =30º, por encima de la lámina. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,60210-19 C, me = 9,110-31 kg, p=10-12) I) Hallar el tiempo que tarda el electrón en retornar al plano. a) 0,1 s b) 0,2 s c) 0,3 s d) 0,4 s e) 0,5 s II) Hallar la altura máxima que alcanza el electrón. a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm III) Hallar la distancia entre los puntos de lanzamiento e impacto. a) 30,8 cm b) 32,8 cm c) 34,8 cm d) 36,8 cm e) 38,8 cm 91. Una esferita muy pequeña de masa m=50 g y carga qo =8 nC esta suspendida verticalmen te, mediante un hilo de seda de una lámina horizontal muy grande de densidad de carga su perficial uniforme de =80 C/m2. ¿Qué porcentaje representa la fuerza eléctrica sobre la esferita, respecto de la tensión en la cuerda? (k=9109 Nm2/C2, g=10 m/s2) a) 6,15 % b) 6,35 % 6,55 % d) 6,75 % e) 6,95 % 92. Se tiene una esfera hueca de paredes muy delgadas de radio "R", y densidad de carga superficial uniforme " "  . (k=9109 Nm2/C2, p=1012) I) Demostrar que la fuerza que ejerce la esfera, sobre una carga de prueba o "q ", ubicada a una distancia "r" (r<R) del centro de la esfera es nula. II) Demostrar que la fuerza que ejerce la esfera, sobre una carga de prueba o "q ", situada a una distancia "r" (r>R) del centro de la esfera es: F=qo R2/o r2. III) Evaluar la fuerza sobre o "q " para: R=20 cm, r=22 cm, =50 pC/m2. a) 4,07qo b) 4,27qo c) 4,47qo d) 4,67qo e) 4,87qo 3 2  R R qo R d qo  0 R.SABRERA  125

Robótica y Cibernética 213 93. En la Fig29, la partícula
de masa m=410-14 kg, carga qo =-8 pC, se libera del reposo a u na distancia de d=20 cm de la superficie de la esfera hueca fija de radio R=20 cm, densi dad de carga superficial uniforme =+50 pC/m2. ¿Qué tiempo tarda la partícula en atrave zar la esfera, a través de los agujeros que presenta? (k=9109 Nm2/C2, p=10-12, m=10-3) a) 20,6 ms b) 22,6 ms c) 24,6 ms d) 26,6 ms e) 28,6 ms 94. En la Fig30, ¿Cuántas esferas huecas muy delgadas de radios R, R/2, R/3,…y densidades de carga superficiales de =+50 pC, deben ubicarse concentricamente, tal que, la fuerza sobre una carga de prueba o " q "  , ubicada a una distancia de d=5/4R de la superficie de la esfera mayor, sea F=6,51qo ? (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 Fig29 Fig30 95. En la Fig31, un electrón de masa m=9,110-31 kg, carga e=-1,60210-19 C, se libera del re poso, a una distancia d=5 cm del centro del anillo fijo de radios externo a=20 cm, interno b=10 cm, y densidad de carga superficial uniforme de =+50 pC/m2. (k=9109 Nm2/C2) I) ¿Con que rapidez pasa el electrón por el centro del anillo? a) 55 km/s b) 60 km/s c) 65 km/s d) 70 km/s e) 75 km/s II) Hallar el periodo de las pequeñas oscilaciones que realiza el electrón, para d<<b. a) 1,06 s b) 1,26 s c) 1,46 s d) 1,66 s e) 1,86 s 96. En la Fig32, una carga de prueba o " q "  , primero se ubica en A y luego en B, en presen cia de los cascarones esféricos de radios a=20 cm, b=10 cm y densidades de carga superfi ciales de =+50 pC/m2. Los puntos A y B se encuentran a las distancias de 5 cm de los cascarones A y B, respectivamente. Hallar el cambio que experimenta la magnitud de la fuerza sobre la carga de prueba. (k=9109 Nm2/C2). a) 2,01 qo b) 2,21 qo c) 2,41 qo d) 2,61 qo e) 2,81 qo 97. Se tiene una esfera compacta de plástico de radio R=20 cm, densidad de carga volumétri ca uniforme de =500 pC/m3. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Demostrar que la fuerza sobre una carga de prueba o "q ", situada a la distancia "r". (r<R) del centro de la esfera es: F=qo .r/3o . -qo R 0 d qo 1 2 3           126

Fuerza eléctrica 214 II) Demostrar que la fuerza sobre una
carga de prueba o "q " situada a la distancia "r" (r>R) del centro de la esfera es: F=qo R3/3o r2. III) Demostrar que la fuerza que ejerce la esfera sobre la carga de prueba, para r>R, es equiva lente al de una carga puntual, de carga igual al de la esfera, situada en su centro. IV) Representar la gráfica de la fuerza "F" en función de la distancia radial "r". V) Evaluar la expresión de la fuerza sobre la carga de prueba o "q ", para r=10 cm. a) 1,08qo b) 1,28qo c) 1,48qo d) 1,68qo e) 1,88qo VI) Evaluar la expresión de la fuerza sobre la carga de prueba o "q ", para r=22 cm. a) 3,11qo b) 3,31 qo c) 3,51qo d) 3,71 qo e) 3,91qo Fig31 Fig32 98. En la Fig33, la esfera compacta de radio R=20 cm, que presenta una cavidad esférica de radio r=5 cm, tiene una densidad de carga volumétrica uniforme de =500 pC/m3. La dis tancia del centro de la cavidad al centro de la esfera es a=10 cm. Hallar la fuerza sobre la carga de prueba o " q "  , situada a la distancia de D=22 cm del centro de la esfera. (k= 9109 Nm2/C2, =60º, p=10-12) a) 2,0qo b) 2,5qo c) 3,0qo d) 3,5qo e) 4,0qo Fig33 Fig34 99. En la Fig34, la esfera hueca de plástico de radio R=20 cm flota en agua de densidad de masa =1 g/cm3. Si ubicamos dos cargas puntuales "q", la primera en el centro de la esfe ra unida a esta mediante una varilla de plástico, y la otra a una distancia d=R/4 por enci ma de la esfera, esta se hunde hasta la mitad de su volumen en el agua. Hallar el valor de d -e m a b  a b A B   R g 0 R/4  qo D a r R 0  127

Robótica y Cibernética 215 la carga "q". (k=9109 Nm2/C2) a)
20,6 C b) 22,6 C c) 24,6 C d) 26,6 C e) 28,6 C 100.En la Fig35, la varilla de peso despreciable, longitud l=30 cm, densidad de carga lineal uniforme " "  , en cuyos extremos se encuentran fijas y aisladas dos cargas puntuales de q=+6 nC, se encuentra frente a la esfera hueca de radio R=15 cm, densidad de carga super ficial uniforme =410-8 C/m2, a una distancia d=30 cm de su centro. ¿Para qué valor de la densidad de carga lineal " "  , la fuerza resultante sobre la varilla es nula? (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 10 nC/m b) 20 nC/m c) 30 nC/m d) 40 nC/m e) 50 nC/m 101.En la Fig36, las cinco cargas situadas en los vértices de la pirámide regular de base cua drada y aristas 2a=4 cm, tienen valor de Q=410-7 C. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga situada en el vértice P. a) 6,4 N b) 6,8 N c) 7,2 N d) 7,6 N e) 8,0 N II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga situada en P, respecto de la perpen dicular a la base de la pirámide. a) 115o b) 120o c) 125º d) 130º e) 135º Fig35 Fig36 102.En la Fig37, las esferas idénticas A y B inicialmente descargadas y conectadas a las pa redes mediante resortes de constantes elásticas kA =5 dina/cm, kB =2 dina/cm, están separa das por una distancia de d=5 cm. Si una esfera C de igual tamaño de carga Q=+6,672 nC se pone en contacto primero con la esfera A y luego con B, hallar la nueva distancia de se paración entre las esferas A y B. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, 1 dina=10-5 N) a) 6,0 cm b) 6,2 cm c) 6,4 cm d) 6,6 cm e) 6,8 cm 103.En la Fig38, las cargas puntuales de valor Q=4 C que se encuentran sobre los arcos de circunferencia de radio R=20 cm, equidistan de los ejes x e y. Hallar el vector fuerza eléc trica que ejerce la carga –Q sobre la carga +Q. (k=9109 Nm2/C2) d l q q R  Q Q Q Q 2a 2a 2a 2a P 128

Fuerza eléctrica 216 a) -6,4 (ˆ ˆ i j 
) b) 6,4 (ˆ ˆ i j  ) c) -7,4 (ˆ ˆ i j  ) d) 7,4 (ˆ ˆ i j  ) e) -8,4 (ˆ ˆ i j  ) Fig37 Fig38 104.En el cobre existe aproximadamente un electrón libre por cada átomo. Una moneda de cobre tiene una masa de m=3 g. (k=9109 Nm2/C2, NA = 6,021023 mol-1, e=-1,610-19 C, M=63,5 g/mol) I) ¿Qué porcentaje de la carga libre debería extraerse de la moneda para que ésta adquiriese una carga de q=15 C? a) 2,6910-7 % b) 2,9910-7 % c) 3,2910-7 % d) 3,5910-7 % e) 3,8910-7 % II) ¿Cuál sería la fuerza de repulsión entre dos monedas que tienen esta carga, si estuvieran separadas una distancia de d=25 cm? (Asumir la moneda como carga puntual) a) 30,4 N b) 32,4 N c) 34,4 N d) 36,4 N e) 38,4 N 105.Una carga puntual de Q1 =-5 C esta localizada en x1 =4 m, y1 =-2 m. Una segunda carga puntual de Q2 =12 C está localizada en x2 =1 m, y2 =2 m. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,610-19 C, =10-6, f=10-15) I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre un electrón situado en x=-1 m, y=0. a) 1,67 fN b) 1,87 fN c) 2,07 fN d) 2,27 fN e) 2,47 fN II) Hallar la dirección de la fuerza resultante que actúa sobre el electrón. a) 51,3º b) 53,3º c) 55,3º d) 57,3º e) 59,3º 106.Una carga puntual de Q1 =5 C está ubicada en x1 =1 m, y1 =3 m y otra carga de Q2 =-4 C está ubicada en x2 =2 m, y2 =-2 m. (k=9109 Nm2/C2, e=1,610-19 C, =10-6, f=10-15) I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre un protón situado en x=-3 m, y=1 m a) 0,305 fN b) 0,325 fN c) 0,345 fN d) 0,365 fN e) 0,385 fN II) Hallar la dirección de la fuerza resultante que actúa sobre el protón. a) 230,5º b) 232,5º c) 234,5º d) 236,5º e) 238,5º d kA kB A B y x 0 R R Q Q 129

Robótica y Cibernética 217 107.Una carga puntual de Q1 =-2,5
C esta ubicada en el origen. Una segunda carga puntual de Q2 =6 C se encuentra en x2 =1 m, y2 =0,5 m. Hallar las coordenadas "x" e "y" de la posi ción en la cual un electrón estaría en equilibrio. (k=9109 Nm2/C2) a) (-1,82 ;-0,909) m b) (1,36 ; 0,802) m c) (-1,14 : -0,456) m d) (-1,26 ; -0,782) m e) (1,45 ; 2,142) m 108.En la Fig39, cuatro cargas q=6 nC del mismo valor están fijas en los vértices del cuadra do de lados l=2 mm. Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga situada en el vértice inferior izquierdo, debida a las otras cargas. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3, n=10-9) a) 70 mN b) 72 mN c) 74 mN d) 76 mN e) 78 mN 109.En la Fig40, las cinco cargas iguales a Q=4 nC están igualmente espaciadas en una semi circunferencia de radio R=3 cm. Hallar la magnitud de la fuerza que se ejerce sobre la car ga "Q" ubicada en el centro del diámetro de la semicircunferencia. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,306 mN b) 0,326 mN c) 0,346 mN d) 0,386 mN e) 0,406 mN Fig39 Fig40 110.Una carga puntual q1 =4 C está en el origen y otra carga puntual q2 =6 C está en el eje- x en el punto x2 =3 m, y2 =0. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) I) Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga. 2 "q ". a) -22 mN ˆ i b) +22 mN ˆ i c) -24 mN ˆ i d) +24 mN ˆ i e) -26 mN ˆ i II) Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga 1 "q ". a) -22 mN ˆ i b) +22 mN ˆ i c) -24 mN ˆ i d) +24 mN ˆ i e) -26 mN ˆ i III) Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga. 2 "q ", para 2 "q " negativa. a) -22 mN ˆ i b) +22 mN ˆ i c) -24 mN ˆ i d) +24 mN ˆ i e) -26 mN ˆ i IV) Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga 1 "q ", para 2 "q " negativa. +q l l l -q +q -q l Q Q Q Q Q Q y x 130

Fuerza eléctrica 218 a) -22 mN ˆ i b) +22
mN ˆ i c) -24 mN ˆ i d) +24 mN ˆ i e) -26 mN ˆ i 111.Tres cargas puntuales están en el eje-x: q1 =-6C está en x1 =-3 m, q2 =4 C está en el ori gen y q3 =-6 C está en x3 =3 m. Hallar la fuerza ejercida sobre 1 "q ". (k=9109 N.m2/C2) a) 11 mN ˆ i b) 13 mN ˆ i c) 15 mN ˆ i d) 17 mN ˆ i e) 19 mN ˆ i 112.Dos cargas iguales de 3 C están en el eje-y, una en el origen y la otra en y=6 m. Una ter cera carga q3 =2 C está en el eje-x en x=8 m. Hallar la fuerza ejercida sobre 3 "q ". a) 1,12 mN b) 1,32 mN c) 1,52 mN d) 1,72 mN e) 1,72 mN 113.Tres cargas, cada una de magnitud q=3 nC están en los vértices de un cuadrado de lado a=5 cm. Las dos cargas en los vértices opuestos son positivas y la otra negativa. Hallar la fuerza ejercida por estas cargas sobre una cuarta carga de Q=+3 nC situada en el vértice restante. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 2,16 N b) 2,36 N c) 2,56 N d) 2,76 N e) 2,96 N 114.Una carga q1 =5 C se encuentra sobre el eje-y en y1 =3 cm y una segunda carga q2 =-5 C está sobre el eje-y en y2 =-3 cm. Hallar la fuerza ejercida sobre una carga q3 =2 C situada en el eje-x en x3 =8 cm. (k=9109 Nm2/C2) a) -8,22 N (ˆ j) b) 8,22 N (ˆ j) c) -8,66 N (ˆ j) d) 8,66 N (ˆ j) e) -7,55 N (ˆ j) 115.Dos cargas puntuales 1 "q ", 2 "q " cuando se unen dan una carga total de 6 C. Cuando es tán separadas 3 m la magnitud de la fuerza entre ellas es de F=8 mN. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el valor de la expresión M= 1 2 q q si 1 "q " y 2 "q " son positivas, de modo que se re pelen entre sí. a) 2,53 C b) 2,63 C c) 2,73 C d) 2,83 C e) 2,93 C II) Hallar el valor de la expresión R=q1 / 2 q , si 1 "q " es positiva y 2 "q " es negativa, de modo que se atraen entre sí. a) 6,16 b) 6,36 c) 6,56 d) 6,76 e) 6,96 116.En la Fig41, las pequeñas esferas de masa "m" y cargas "q" están suspendidas del pun to común mediante cuerdas de longitud " ", que forman cada una de ellas un ángulo de " "  con la vertical. I) Demostrar que la carga "q", viene dado por: q=2lsen  (mg tg /k)1/2, siendo "k" la cons tante eléctrica II) Evaluar la fórmula de "q" para: m=10 g, l=50 cm, =10º, k=9109 Nm2/C2, n=10-9. a) 213 nC b) 223 nC c) 233 nC d) 243 nC e) 253 nC 131

Robótica y Cibernética 219 117.En la Fig42, las esferas idénticas
de radio "R" tienen cargas " Q"  , y están unidas me diante un cable aislante de esfuerzo de rotura r =5,2.108 Pa, área de sección transversal A=1,510-4 m2. La distancia entre los centros de las esferas es l=1 m. Hallar la carga de las esferas correspondiente a r " "  . (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 2,15 mC b) 2,35 mC c) 2,55 mC d) 2,75 mC e) 2,95 mC Fig41 Fig42 118.Dos personas de masas iguales a m=70 kg que están paradas a una distancia de un brazo una de otra tienen cada una 1 % más de electrones que de protones. Demostrar que la fuer za eléctrica de repulsión entre ellas, es suficiente para elevar un peso igual al de la Tierra de masa M=61024 kg. (k=9109 Nm2/C2, NA =6,021023 mol-1, e=1,610-19 C, g=9,8 m/s2) 119.I) Dos protones es una molécula están separados por una distancia d=3,810-10 m. Hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre los protones. (k=9109 Nm2/C2, g=6,6710-11 Nm2/kg2, e=1,610-19 C, m=1,6710-27 kg, n=10-9, p=10-12) a) 1,19 nN b) 1,39 nN c) 1,59 nN d) 1,79 nN e) 1,99 nN II) ¿Cómo se compara la magnitud de esta fuerza eléctrica con la magnitud de la fuerza gravi tacional entre los protones? a) 1,041036 b) 1,241036 c) 1,441036 d) 1,641036 e) 1,841036 III) ¿Cuál debe ser la relación carga a masa de una partícula si la magnitud de la fuerza gravi tacional entre dos de estas partículas es igual a la magnitud de la fuerza eléctrica entre e llas? a) 80,1 pC/kg b) 82,1 pC/kg c) 84,1 pC/kg d) 86,1 pC/kg e) 88,1 pC/kg 120.Dos pequeñas esferas de plata, cada una con masa de m=10 g, están separadas por d=1 m. hallar la fracción de los electrones en una esfera que se deben transferir a la otra para producir una fuerza atractiva de F=1,0104 N entre las esferas. El número de electrones por átomo de plata es 47, y el número de átomos por gramo es el número de Avogadro di vidido entre la masa molar de la plata 107,87 g/mol. (k=9109 Nm2/C2) q q m m   l l l +Q -Q 132

Fuerza eléctrica 220 a) 2,1110-9 b) 2,3110-9 c) 2,5110-9 d)
2,7110-9 e) 2,9110-9 121.Una partícula cargada A ejerce una fuerza de 2,62 N sobre una partícula cargada B ubi cada a la derecha, cuando las partículas están separadas por una distancia de 13,7 mm. La partícula B se mueve rectilíneamente alejándose de A hasta alcanzar la distancia entre e llas de 17,7 mm. Hallar la magnitud de la fuerza que se ejerce sobre la partícula A. a) 1,17 N b) 1,37 N c) 1,57 N d) 1,77 N e) 1,97 N 122.Dos bolas metálicas idénticas muy pequeñas portan cargas de q1 =+3 nC y q2 =-12 nC y es tán separadas por una distancia de d=3 cm. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) I) Hallar la magnitud de la fuerza de atracción entre las bolas. a) 0,16 mN b) 0,26 mN c) 0,36 mN d) 0,46 mN e) 0,56 mN II) Hallar la magnitud de la fuerza entre las bolas, luego que estas se ponen en contacto, y se separan una distancia de d=3 cm. a) 0,1025 mN b) 0,2025 mN c) 0,3025 mN d) 0,4025 mN e) 0,5025 mN III) Hallar el cambio que experimenta la magnitud de la fuerza entre las bolas. a) +0,1575 mN b) -0,1575 mN c) +0,2575 mN d) -0,2575 mN e) +0,305 mN 123.Dos pequeñas esferas conductoras idénticas de cargas q1 =12 nC y q2 =-18 nC se colocan con sus centros separados una distancia d=0,3 m. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) I) Hallar la magnitud de la fuerza de interacción entre las esferas. (k=9109 Nm2/C2, a) 20,6 N b) 21,6 N c) 22,6 N d) 23,6 N e) 24,6 N II) Las esferas se conectan por un alambre conductor. Hallar la fuerza de interacción eléctrica entre las esferas, después que se alcanza el equilibrio eléctrico. a) 0,1 N b) 0,3 N c) 0,5 N d) 0,7 N e) 0,9 N 124.En la Fig43, tres cargas puntuales q1 =2 C, q2 =7 C, q3 =-4 C, se colocan en los vérti ces del triángulo equilátero de lados a=0,5 m, Hallar el vector fuerza eléctrica sobre la car ga puntual 2 "q ". (k=9109 N 2/C2) a) 0,57 N b) 0,67 N c) 0,77 N d) 0,87 N e) 0,97 N 125.En la Fig44, dos pequeñas cuentas que tienen cargas positivas "3q" y "q" están fijas en los extremos opuestos de una barra aislante horizontal que se extiende desde el origen al punto x=d. Una tercera cuenta pequeña cargada es libre de deslizarse sobre la barra, ¿Pue de estar en equilibrio estable? 126.Un cristal de NaCl (sal común) se compone de un ordenamiento regular de iones Na+ y Cl-.La distancia entre un ión a su vecino es 2,821010 m, ¿Cuál es la magnitud de la fuerza 133

Robótica y Cibernética 221 eléctrica de atracción entre los dos
iones? Considere los iones como cargas puntuales. a) 2,1 nN b) 2,3 nN c) 2,5 nN d) 2,7 nN e) 2,9 nN Fig43 Fig44 127.En la Fig45, dos cargas puntuales idénticas, cada una con una carga +q, están fijas en el espacio y separadas por una distancia "d". Una tercera carga puntual –Q de masa "m" puede moverse con libertad y se encuentra inicialmente en reposo sobre el eje-x, a una dis tancia "x". I) Demostrar que para "x" muy pequeña (x<<d), el movimiento de –Q es armónico simple a lo largo del eje-x. Hallar el periodo de las pequeñas oscilaciones. II) ¿Qué tan rápido se moverá la carga –Q cuando éste en el punto intermedio entre las dos cargas fijas " q"  , si inicialmente se libera a una distancia a<<d del punto medio? 128.En la Fig46, dentro de una típica nube de tormenta, hay cargas eléctricas de -40 C y +40 C, separadas por una distancia vertical de 5 km. Debe considerarse que esas cargas son puntuales y calcular la magnitud de la fuerza eléctrica de atracción entre ellas. a) 550 kN b) 560 kN c) 570 kN d) 580 kN e) 590 kN Fig45 Fig46 129.Supóngase que se quitan todos los electrones de una moneda de cobre, cuya masa es 2,7 g, y que son colocadas a una distancia de 2 m de los núcleos de cobre que quedan. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de atracción eléctrica sobre los electrones? En cada átomo de cobre hay 29 electrones. (M=55,8 g/mol, NA =6,0221023 átomos/mol) 60o +q1 -q3 +q2 y x 0 d +3q +q y x +q 0 +q d/2 d/2 -Q x +40C -40C 5km nube 134

Fuerza eléctrica 222 a) 2,81019 N b) 3,21019 N c)
3,61019 N d) 4,01019 N e) 4,41019 N 130.Desde muy lejos, cualquier distribución de cargas que tenga una carga neta se comporta más o menos como una carga puntual. Hay dos discos delgados, cada uno de radio R=1 cm, y densidad de carga superficial uniforme de =2,510-8 C/m2. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre los discos, cuando están separados por una distan cia de d=2 m? (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 0,14 pN b) 0,24 pN c) 0,34 pN d) 0,44 pN e) 0,54 pN 131.Al principio, una molécula orgánica lineal y larga tiene una longitud de l o =1,9 m. En ca da extremo de ella hay un átomo simplemente ionizado; en total, la molécula es neutra. Las dos ionizaciones producen un cambio de longitud de l=-0,012l o , ¿Cuál es la constan te efectiva de resorte para esta molécula? (k=9109 Nm2/C2, e=-1,610-19 C, n=10-9) a) 1,87 nN/m b) 2,87 nN/m c) 3,87 nN/m d) 4,87 nN/m e) 5,87 nN/m 132.Deimos es una pequeña luna de Marte, con 2.1015 kg de masa. Supóngase que un elec trón está a 100 km de Deimos. Considérese en los cálculos las masas como puntos mate riales y las cargas puntuales. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,610-19 C, me =9,1110-31 kg, G= 6,6710-11 Nm2/kg2) I) ¿Cuál es la fuerza de atracción gravitacional que ejerce Deimos sobre el electrón? a) 1,210-35 N b) 3,210-35 N c) 5,210-35 N d) 7,210-35 N e) 9,210-35 N II) ¿Qué carga eléctrica negativa se debe colocar en Deimos para equilibrar esta atracción gravitacional? a) 4,410-17 C b) 5,40-17 C c) 6,410-17 C d) 7,410-17 C e) 8,410-17 C III) ¿A cuántas cargas electrónicas equivale? a) 1,25102 s e b) 3,25102 s e c) 5,25102 s e d) 7,25102 s e e) 9,25102 s e 133.En la Fig.47, la carga puntual q1 =-20 nC esta en el punto x=2 m, y=0, del eje-x. Hay una segunda carga puntual q2 =-3 C en el punto x=0, y=-3 m del eje-y. (k=9109 Nm2/C2) I) ¿Cuál es la fuerza eléctrica que ejerce la primera carga sobre la segunda? a) (-23,04 ;-34,56) N b) (-22,04 ;-35,56) N c) (-21,04 ;-36,56) N d) (-20,04 ;-34,56) N e) (-24,04 ;-32,56) N II) ¿Cuál es la fuerza que ejerce la segunda carga sobre la primera? a) (23,04 ; 34,56) N b) (22,04 ; 35,56) N c) (21,04 ; 36,56) N d) (20,04 ; 34,56) N e) (24,04 ; 34,56) N 134.En la Fig.48, un protón está en el origen de coordenadas. Un electrón está en el punto x=410-11 m, y=210-11 m, del plano x-y. (k=9109 Nm2/C2, e=1,610-19 C) 135

Robótica y Cibernética 223 I) Hallar la fuerza que ejerce
el protón sobre el electrón. a) (101 ; 52,5) nF b) (103 ; 51,5) nF c) (102 ; 53,5) nF d) (104 ; 54,5) nF e) (105 ; 55,5) nF II) Hallar la fuerza que ejerce el electrón sobre el protón. a) (-101 ;-52,5) nF b) (-103 ;-51,5) nF c) (-102 ;-53,5) nF d) (-104 ;-54,5) nF e) (-105 ;-55,5) nF Fig47 Fig48 135.Dos trozos diminutos de plástico, cuyas masas son m=5.10-5 g, están a la distancia de d=1 mm. Supóngase que tienen cargas electrostáticas iguales y opuestas, ¿Cuál debe ser la magnitud de la carga para que la atracción eléctrica entre ellas sea igual a su peso? (g= 9,81 m/s2, k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 6,6 pC b) 7,0 pC c) 7,4 pC d) 7,8 pC e) 8,2 pC 136.Hallar el valor de la expresión: K= T L N N , en la que T "N " y L "N " son la cantidad de electrones adicionales que se añaden a la Tierra y la Luna, a fin de, anular la fuerza de a tracción gravitacional? Supóngase que las cantidades de electrones adicionales en la Tie rra y la Luna guarden la misma proporción que las dimensiones radiales de estos cuerpos (6,38/1,74) (k=9109 Nm2/C2, G=6,60-11 Nm2/kg2, ML =7,351022 kg, MT =5,981024 kg, e=-1,610-19 C) a) 1,351032 s e b) 2,351032 s e c) 3,351032 s e d) 4,351032 s e e) 5,351032 s e 137.En la Fig49, la distribución de las cargas eléctricas en una nube de tormenta puede apro ximarse mediante varias cargas puntuales colocadas a alturas diferentes. Supóngase que hay una nube de tormenta con cargas eléctricas de +10 C, -40 C y +40 C a alturas de 2 km, 5 km y 10 km, respectivamente. Considérese que esas cargas son puntuales, y calcúle se la fuerza eléctrica neta que ejercen las dos cargas de 40 C sobre la carga +10 C. (k=103) a) 314 kN b) 324 kN c) 334 kN d) 344 kN e) 354 kN 138.En la Fig50, se muestra la distribución de cargas nucleares (positivas) en una molécula -q1 -q2 2 3 0 y(m) x(m) +e 4.10-11 0 y(m) x(m) 2.10-11 -e 136

Fuerza eléctrica 224 de HCl. Las magnitudes de estas cargas
nucleares de H y de Cl son "e" y "17e" , respecti vamente, y la distancia entre ellas es 1,2810-10 m. ¿Cuál es la fuerza eléctrica neta que e jercen esas cargas sobre un electrón que está a 5,010-11 m arriba del núcleo de H? (k= 9109 Nm2/C2, e=-1,610-19 C, n=10-9) a) 251,6 nN b) 253,6 nN c) 255,6 nN d) 257,6 nN e) 259,6 nN Fig49 Fig50 139.En los cinco vértices de un pentágono regular de lados "a" se encuentran cinco cargas i dénticas +Q, y una carga puntual " q"  en el centro del pentágono. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza, sobre la carga "q"? a) 0 b) 5kqQ/a2 c) 3kqQ/2 2 a d) 3kqQ/4 2 a e) 2kqQ/3 2 a 140.En la Fig51, las esferas idénticas de masas m=2,510-4 kg cada una, portan cargas igua les, y están suspendidas de hilos idénticos de longitud l=10 cm, separados por una distan cia d=25 cm. Si el ángulo que forman los hilos con la vertical es =20º, hallar la carga de cada esfera. (k=9109 Nm2/C2, g=9,8 m/s2, n=10-9) a) 100 nC b) 110 nC c) 120 nC d) 130 nC e) 140 nC Fig51 Fig52 141.En la Fig52, las cargas puntuales de +Q y -2Q están separadas por una distancia d=20 cm La carga puntual "q" es equidistante a las dos anteriores, a una distancia x=20 cm de +40C -40C 5km 2km 10km +10C x(m) Cl H y(m) e 5.10-11 1,28.10-10 x +Q +q x d -2Q y l l m m   g q q d 137

Robótica y Cibernética 225 su punto medio. Hallar la magnitud
de la fuerza eléctrica sobre la carga "q". a) 21,3 kqQ b) 23,3 kqQ c) 25,3 kqQ d) 27,3 kqQ e) 29,3 kqQ 142.En la Fig53, tres cargas puntuales positivas +Q se colocan en tres vértices del cuadrado de lados "L", y una cuarta carga puntual negativa –Q se coloca en el cuarto vértice. Ha llar la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga negativa. (k=9109 Nm2/C2, Q=40 nC, L=0,5 cm) a) 1,1 N b) 1,3 N c) 1,5 N d) 1,7 N e) 1,9 N 143.En la Fig54, se distribuyen cuatro cargas puntuales de Q=4 C en los vértices del cua drado de lados L=2 cm. ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=80 nC coloca da en el centro del cuadrado. (k=9109 Nm2/C2, =10-6, n=10-9) a) 4,1 N b) 4,3 N c) 4,5 N d) 4,7 N e) 4,9 N Fig53 Fig54 144.Aunque los mejores datos experimentales de que se dispone concuerdan con la ley de Coulomb, también coinciden con la ley modificada de Coulomb: F=kq1 q2 e-r/ro/r2 en la que o "r " es una constante con dimensiones de longitud, y con valor numérico que se sabe no es menor que 109 m, y probablemente sea mucho mayor. Aquí, "e" es la base de los loga ritmos naturales. Suponiendo que ro =1,0109 m, ¿Cuál es la desviación fraccionaria entre la ley de Coulomb y la ley modificada de Coulomb, para r=10 m? ¿Y para r=1,0104 m? 145.En la Fig55, en los vértices del triángulo se encuentran fijas tres cargas puntuales +q, +q y –q, de magnitudes iguales. Hallar la magnitud de la fuerza total sobre una de las cargas positivas, debidas a las otras dos. (k=9109 Nm2/C2) a) kq2/a2 b) 2kq2/a2 c) kq2/2a2 d) kq2/3a2 e) 2kq2/3a2 146.En la Fig56, las esferas de cargas q1 =+200 nC y q2 =+60 nC están suspendidas de hilos i dénticos de longitud l=10 cm. Los hilos forman el mismo ángulo de equilibrio de =25º con la vertical. Hallar la masa de cada esfera. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, g=9,8 m/s2) a) 3,13 g b) 3,31 g c) 3,51 g d) 3,71 g e) 3,91 g 147.En la Fig57, hay dos cargas iguales de +Q en dos vértices de un triángulo equilátero de +Q +Q -Q L L L q -Q L +Q +Q -Q L L L q +Q L 138

Fuerza eléctrica 226 lado "a"; una tercera carga de "
q"  está en el otro vértice. A una distancia de "a / 2" fue ra del triángulo y sobre la mediatriz de las cargas de " Q"  está una carga o "q ", sobre la cual la fuerza neta es cero. Hallar el valor de la relación q/Q. a) 5,08 b) 5,28 c) 5,48 d) 5,68 e) 5,88 Fig55 Fig56 148.En la Fig58, dos cargas puntuales +Q y –Q, separadas por una distancia "d" (dipolo eléc trico) están en el eje-x, en x=+d/2 y x=-d/2, respectivamente. Hallar fuerza resultante so bre una tercera carga +q, situada en el eje-x en x>d/2. Simplifíquese el resultado y obten ga la forma de la fuerza resultante aproximada para x>>d. (k=1/4o ) a) Qd/4o x2 b) Qd/2o x2 c) Qd/4o x3 d) Qd/2o x3 e) Qd/o x2 Fig57 Fig58 149.En la Fig59, cuatro cargas puntuales iguales de q=+210-7 C están en los vértices del te traedro regular de lados a=2 cm. Hallar la fuerza que ejercen tres cargas sobre la cuarta carga. (k=9109 Nm2/C2) a) 2,0 N ˆ k b) 2,2 N ˆ k c) 2,4 N ˆ k d) 2,6 N ˆ k e) 2,8 N ˆ k 150.En la Fig60, las barras delgadas de longitudes " " tienen densidades de carga lineal de " "  , distribuidas uniformemente en sus longitudes. La distancia entre los extremos de las barras es "d". (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, usar ln(x)) I) Hallar la expresión para la magnitud de la fuerza de repulsión entre las barras.   l q q l a +q -q +q a a +qo a a -q +Q +Q a/2 a/2 a/2 q +Q d/2 x -Q d/2 0 139

Robótica y Cibernética 227 II) Evaluar la fuerza de repulsión
para: =4 nC/m, l=20 cm, d=4 cm. a) 130,7 nN b) 140,7 nN c) 150,7 nN d) 160,7 nN e) 170,7 nN III) Evaluar la fuerza de repulsión para: =4 nC/m, y l=d. a) 41,4 nN b) 43,4 nN c) 45,4 nN d) 47,4 nN e) 49,4 nN Fig59 Fig60 151.En la Fig61, dos cargas puntuales de Q=+8 C, están separadas por la distancia d=20 cm. Equidistante a estas cargas hay una tercera carga puntual q=-4 nC, a una distancia "x" de su punto medio. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3, =10-6, n=10-9) I) Hallar el valor de "x", para el cual, el valor de la fuerza sobre " q"  es máximo. a) 7,07 cm b) 7,17 cm c) 7,27 cm d) 7,37 cm e) 7,47 cm II) Hallar la magnitud de la fuerza máxima sobre la carga " q"  . a) 20,2 mN b) 21,2 mN c) 22,2 mN d) 23,2 mN e) 24,2 mN Fig61 Fig. 62 152.En la Fig62, tres cargas puntuales positivas idénticas de +Q, +2Q, +3Q están en los vér tices del triángulo equilátero. En el centro de triángulo está una carga puntual de prueba q q q q a a a a a a 4 z x y d l l   -q +Q -Q d x Q 2Q 3Q qo a a a 140

Fuerza eléctrica 228 negativa –qo . Las cuatro cargas están
en equilibrio. La fuerza de atracción entre las cargas +Q y –qo es "F". (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza resultante sobre la carga o " q "  . a) 2F b) 3F c) 2F / 2 d) 3F / 2 e) 5F II) Hallar la dirección de la fuerza resultante sobre la carga o " q "  . a) 210º b) 240º c) 270º d) 300º e) 330º 153.Dos pequeñas esferas de plástico tienen cargas iguales de signos contrarios y magnitudes desconocidas. Cuando la distancia entre los centros de las esferas es d=18 cm, la fuerza de atracción entre ellas es de F=0,3 N, ¿Cuál es el exceso de electrones en una esfera y el dé ficit de electrones en la otra? (k=9109 Nm2/C2, T=1012) a) 2,25 T s e b) 3,25 T s e c) 4,25 T s e d) 5,25 T s e e) 6,25 T s e 154.Las gotas de agua en las nubes de tormenta tienen cargas eléctricas. Supóngase que dos de esas gotas caen, de lado a lado, separadas por una distancia horizontal de d=1 cm. Ca da gota tiene radio R=0,5 mm, y carga Q=20 pC. Hallar la magnitud de la aceleración hori zontal instantánea de cada una. (k=9109 Nm2/C2, =1000 kg/m3, p=10-12) a) 64,7 mm/s2 b) 65,7 mm/s2 c) 66,7 mm/s2 d) 67,7 mm/s2 e) 68,7 mm/s2 155.En la Fig63, en una versión diferente del electroscopio, se utiliza una esfera de corcho fi ja y otra suspendida. La masa de la esfera suspendida es m=1,510-4 kg, y la longitud del hilo de suspensión es l=10 cm. La esfera fija está a d=10 cm directamente debajo del pun to de suspensión de la esfera suspendida. Supóngase que cuando se suministran cargas e léctricas iguales a las dos esferas, la fuerza de repulsión eléctrica empuja la esfera suspen dida, ascendiendo esta hasta que su hilo forma un ángulo de =45º con la vertical. Hallar la carga eléctrica de las esferas. (k=9109 Nm2/C2, g=9,8 m/s2, n=10-9) a) 21,2 nC b) 23,2 nC c) 25,2 nC d) 27,2 nC e) 29,2 nC Fig63 Fig64 d l m 45o Q Q g Q Q Q Q Q a a a P 141

Robótica y Cibernética 229 156.En la Fig64, las cinco cargas
puntuales situadas en los vértices del cubo de lados "a" tie nen valor "Q". I) Hallar el vector fuerza eléctrica ejercida sobre la carga situada en el vértice P. a) ˆ ˆ ˆ 4,18i 0,68 j 4,28k   b) ˆ ˆ ˆ 4,28i 0,58 j 4,18k   c) ˆ ˆ ˆ 4,08i 0,38 j 4,38k   d) ˆ ˆ ˆ 4,38i 0,48 j 4,08k   e) ˆ ˆ ˆ 4,48i 0,18 j 4,48k   II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica ejercida sobre la carga situada en el vértice P. a) 4 N b) 5 N c) 6 N d) 7 N e) 8 N 157.En la Fig65, las cinco cargas puntuales situados en el triángulo rectángulo isósceles de catetos l=21 cm tienen valor q=4 C. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica que experi menta la carga situada en el vértice recto. (k=9109 Nm2/C2) a) 15,17 N b) 15,37 N c) 15,57 N d) 15,77 N e) 15,97 N 158.En la Fig66, las cargas puntuales de valor q=6 C están situados en los puntos de inter sección del cuarto de circunferencia de radio a=20 cm y mitad de circunferencia de diáme tro a=20 cm. Hallar la fuerza eléctrica que ejerce la carga –q sobre la carga +q. (k=9109 Nm2/C2 a) 4,13ˆ i - 9,46ˆ j b) 4,33ˆ i - 9,26ˆ j c) 4,53ˆ i - 9,06ˆ j d) 4,73ˆ i - 9,66ˆ j e) 4,93ˆ i - 9,86ˆ j Fig65 Fig66 159.En el centro de un anillo de alambre delgado de carga q=+210-8 C distribuida uniforme mente en su longitud, se encuentra una carga puntual de Q=+810-5 C. Si la magnitud de la fuerza con la que se ensancha el anillo es T=(8/) N, hallar el radio del anillo. a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm 160.Demostrar que la fuerza de interacción eléctrica por unidad de área entre dos planos para lelos muy grandes con densidades de carga superficiales uniformes 1 " "  y 2 " "  , separa dos una distancia "d", viene dado por: F/A=1 2 /2o , siendo o " "  una constante. l q q q q q l q q x y a a 0 142

Fuerza eléctrica 230 161.En la Fig67, se lanza una partícula
de carga "q" y masa "m" en una trayectoria perpen dicular y dirigida hacia el centro O de la línea que une las partículas de cargas "Q" y ma sas 0 "m " (m0 >>m) separadas una distancia d=4 2 m. ¿A qué distancia de O la fuerza sobre "q" es máxima? a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m 162.En la Fig68, el anillo de radio R=30 cm, masa m=4 g y densidad lineal de carga unifor me de =410-8 C/m, esta en equilibrio en un plano horizontal, en la presencia de la esferi ta cargada que se halla a una distancia d=40 cm del centro del anillo. Hallar el valor de la carga eléctrica de la esferita. (k=9109 Nm2/ C2 , =10-6) a) 18,0C b) 18,2C c) 18,4C d) 18,6C e) 18,8C Fig67 Fig68 163.En la Fig69, hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre los filamentos metálicos muy finos de longitudes a=10 cm y 2a=20 cm, y densidades de carga lineal uni formes =210-5 C/m. (k=9109 Nm2/C2 , usar log(x)) a) 1,20 N b) 1,25 N c) 1,30 N d) 1,35 N e) 1,40 Fig69 Fig70 164.En la Fig70, en el tubo horizontal de longitud l=25 cm se halla una bola con carga de Q=+6C, y en sus extremos esferitas fijas de cargas q1 =+9C, q2 =+4C. Hallar la posi ción de equilibrio de la bola. m, q 0 +Q +Q 22 d Q  g  - 2a a a l q1 q2 Q x=? 143

Robótica y Cibernética 231 a) 10 cm b) 12 cm
c) 14 cm d) 16 cm e) 18 cm 165.En la Fig71, la esferilla de masa m=90g y carga eléctrica "q" se encuentra en equilibrio en la posición mostrada. La otra esferilla de carga "3q" se encuentra fijo, el radio del cas quete, dieléctrico y liso, es R=10 cm. Hallar el valor de la carga "q". (g=10 m/s2) a) 1C b) 2C c) 3C d) 4C e) 5C 166.En la Fig72, las mitades del anillo muy delgado de radio R=20 cm, tienen densidades de carga lineal de =2 nC/m. Hallar la fuerza que ejerce el anillo sobre la carga de prueba qo =8 pC, ubicada en su centro. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, p=10-12) a) 1,04 ˆ j nN b) 1,24 ˆ i nN c) 1,44 ˆ j nN d) 1,64 ˆ i nN e) 1,84 ˆ k nN Fig71 Fig72 167.Un cubo de arista a=3 cm tiene una carga q=2 C, en cada uno de sus vértices. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica resultante en cualquiera de uno de sus vértices. k= 9109 Nm2/C2. a) 131,2 N b) 131,4 N c) 131,6 N d) 131,8 N e) 132,0 N 168.Dos bolas de igual carga y con masas de m=180 g, se suspenden de un mismo punto por medio de hilos de longitud l=20 cm, separándose y formando entre los hilos un ángulo recto. Hallar el valor de la carga de las bolas. (g=10 m/s2 , k=9109 Nm2/C2) a) 1 C b) 2 C c) 3 C d) 4 C e) 5 C 169.En la Fig73, las cargas iguales a q=+210-10 C están unidas por ligas de longitud normal L=10 cm, constante de elasticidad k= 900 N/m y sabiendo que d<<L. Hallar la distancia de separación "d" . (k=9109 Nm2/C2) a) 0,1 cm b) 0,2 cm c) 0,3 cm d) 0,4 cm e) 0,5 cm 170.En la Fig74, siete cargas idénticas q=+4 C están unidas mediante iguales hilos elásti cos Después de dejar las cargas libres, las longitudes de los hilos son de l=30 cm. Hallar la tensión de cada hilo. (k=9109 Nm2/C2 , e=-1,60210-19 C) a) 4,22 N b) 4,32 N c) 4,42 N d) 4,52 N e) 4,62 N  FIJO m ; q 300 3q R 0 z x y qo + - 144

Fuerza eléctrica 232 Fig73 Fig74 171.En la Fig75, la esferita
cargada de masa m=5 g gira en un plano horizontal suspendido de un hilo dentro de un ascensor que sube con aceleración de a=2 m/s2. El radio de giro de la trayectoria es R= 0,02 m y su velocidad angular =20 rad/s. Hallar la carga "q" si: =450 g=10 m/s2 , k=9109 Nm2/C2 y n=10-9 a) 29,2 nC b) 29,4 nC c) 29,6 nC d) 29,8 nC e) 30,2 nC 172.En el eje de un anillo de alambre muy fino de radio R=30 cm y carga Q=+310-10 C distri buida uniformemente, se ubica un electrón a una distancia "x" de su centro (x<<R). Ha llar el período de las pequeñas oscilaciones del electrón. (e=-1,610-19 C, me = 9,110-31 kg k=9109 Nm2/C2 y =10-6) a) 1,3 s b) 1,5 s c) 1,7 s d) 1,9 s e) 2,1 s Fig75 Fig76 173.En la Fig76, cuatro cargas positivas q, Q, q, Q están unidas mediante cinco hilos de longitud l de la forma mostrada (Q>q). Hallar la tensión del hilo que une las cargas Q. (q=3 C, Q=8 C, l=30 cm y k=9109 Nm2/C2) a) 6,21 N b) 6,23 N c) 6,25 N d) 6,27 N e) 6,29 N 174.En los vértices de un tetraedro regular de arista a=30 cm se ubican cuatro cargas iguales a q=+410-7 C. Hallar la fuerza eléctrica sobre una carga q0 =+210-7 C ubicada en el cen tro de la base del tetraedro. (k=9109 Nm2/ C2 y m=10-3) q q q q q q q l l l l l l l l l l l l g q, m q a R   q q Q Q l l l l l 2l q q   d 145

Robótica y Cibernética 233 a) 10 mN b) 12 mN
c) 14 mN d) 16 mN e) 18 mN 175.Tres esferitas idénticas de masas m=360 g y cargas "q" están suspendidas de un mismo punto mediante hilos de longitudes l=2 cm, formando una pirámide cuya base es un trián gulo equilátero de lados igual a a= 3 cm. Hallar la carga eléctrica de cada esferita. (k= 9109 Nm2/C2 , n=10-9) a) 500 nC b) 400 nC c) 300 nC d) 200 nC e) 100 nC 176.En la Fig77, las posiciones de las cargas q1 = +4 C y q2 = +9 C vienen dadas por los radios vectores 1 r y 2 r . Hallar el valor de una tercera carga negativa 3 "q ", tal que la fuer za eléctrica sobre cada una de estas cargas sea nula. a) 1,40 C b) 1,42 C c) 1,44 C d) 1,46 C e) 1,48 C 177.En la Fig78, las cuatro cargas positivas Q, q, Q, q se unen entre sí mediante cuatro hilos de longitudes l=10 cm. Hallar aproximadamente el valor del ángulo "", si Q=16 C, q= 2 C , y k=9109 Nm2/C2 . a) 200 b) 220 c) 240 d) 260 e) 280 Fig77 Fig78 178.Dos esferitas cargadas, de igual radio y peso, suspendidas de hilos de igual longitud, se sumergen en un dieléctrico de densidad 1 =1200 kg/m3 y de constante dieléctrica k=3. Ha llar la densidad "" del material de las esferas para que los ángulos de separación de los hilos en el aire y en el dieléctrico sean iguales. (k=9109 Nm2/C2) a) 900 kg/m3 b) 1800 kg/m3 c) 1500 kg/m3 d) 700 kg/m3 e) 1200 kg/m3 179.Hallar la fuerza por unidad de área (presión), con que se repelen dos planos infinitos con densidades de carga superficial uniformes de =210-5 C/m2. (k=9109 Nm2/C2) a) 7,2 Pa b) 6,4 Pa c) 3,2 Pa d) 1,2 Pa e) 2,4 Pa 180.Se tienen cuatro cargas "q" fijas en los vértices de un cuadrado horizontal de lado igual a l=10 2 cm. Una carga eléctrica q=-1,610-19 C de masa m=9,110-31 kg se desplaza des de el centro del cuadrado hacia arriba una pequeña distancia "x" y se libera. Hallar el pe r1 r2 Z X Y q1 q2 Q q q  l l l l Q 146

Fuerza eléctrica 234 ríodo de sus oscilaciones. (Despreciar la gravedad
sobre " q"  , además 10 2 x  y k= 9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 6,20 ms b) 6,11ms c) 6,24 ms d) 6,26 ms e) 6,28 ms 181.En el centro de un anillo de alambre fino, de radio R=3 cm, y carga eléctrica q=+210-8 C se encuentra otra carga Q=+810-5 C (siendo Q>>q). Hallar la fuerza con la que el anillo se ensancha. a) (2/) N b) (4/) N c) (6/) N d) (8/) N e) (10/) N 182.Dos partículas de cargas Q=+410-9 C están fijas y separadas por una distancia a=1 cm. Una tercera partícula de carga q=-810-10 C y masa m=910-22 kg, se ubica a una distancia "x" del centro de la recta que une las cargas "Q"(x<<d), y se libera. Hallar el período de las pequeñas oscilaciones de la partícula de carga "q". (k=9109 Nm2/C2 , p=10-12) a) 88,0 ps b) 88,2 ps c) 88,4 ps d) 88,6 ps e) 88,8 ps 183.Un cuerpo de masa m= 910-23 kg y carga eléctrica q= 810-10 C está suspendido de un hi lo de longitud l=4 cm. A una distancia h=2 cm debajo del mismo, se halla una lámina me tálica infinita. Hallar el período de las oscilaciones libres de éste cuerpo. (n=10-9) a) 1 ns b) 2 ns c) 3 ns d) 4 ns e) 5 ns 184.En la Fig79, la posición de las cargas eléctricas q1 =4 C y q2 =9 C, vienen dados por los radios vectores 1 r y 2 r . Hallar el radio vector 3 r que define la posición de una tercera carga negativa 3 "q ", tal que, la fuerza que actué sobre cada una de éstas cargas sea nula. a) 1 2 2 3 r r 5 5  b) 1 2 3 2 r r 5 5  c) 1 2 1 2 r r 3 3  d) 1 2 2 1 r r 3 3  e) 1 2 3 1 r r 4 4  185.En la Fig80, las esferitas de cargas eléctricas q1 =0,2 C q2 =4 C y q3 =6 C se unen en línea recta mediante hilos de longitudes iguales a l=3 cm. Hallar la tensión del hilo que une las esferitas de cargas 1 "q " y 2 "q ". (k=9109 Nm2/C2) a) 11 N b) 13 N c) 15 N d) 17 N e) 19 N Fig79 Fig80 r1 r2 Z X Y q1 q2 l q1 q2 q3 l 147

Robótica y Cibernética 235 186.Tres cargas positivas iguales a q=2
C están ubicadas en los vértices de un tetraedro, formado por triángulos equiláteros de lados a=3 cm. Hallar la fuerza ejercida sobre cual quiera de una de las cargas ubicadas en los vértices del tetraedro. (k=9109 Nm2/C2) a) 20 3 N b) 25 2 N c) 40 6 N d) 60 5 N e) 45 3 N 187.En la Fig81, estímese la densidad superficial de carga uniforme " "  en las placas del e lectroscopio que se separan un ángulo de =1,8º, ( <<1). La masa de la unidad de área de las placas es =1,44 kg/m2. (k=9109 Nm2/ C2 y g=10 m/s2) a) 1 C/m2 b) 2 C/m2 c) 3 C/m2 d) 4 C/m2 e) 5 C/m2 188.En la Fig82, en los vértices del hexágono regular de lado "a" se ubican cargas eléctricas iguales a "+q". ¿Para qué valor de la carga "Q", situada en el centro del hexágono, el siste ma de cargas permanece en equilibrio. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,81 q b) 1,83 q c) 1,85 q d) 1,87 q e) 1,89 q Fig81 Fig82 189.En la Fig83, hallar la tensión del hilo que une las bolas idénticas de radio r=3 cm, en cu yo centro se encuentran cargas iguales a Q=810-7 C. Una de las bolas flota en la superfi cie del agua de densidad =103 kg/m3 y la segunda bola tiene una masa m=1 kg y está suspendida del hilo permaneciendo dentro del agua. La distancia entre los centros de las bolas es l=8 cm. (k = 9109 Nm2/C2, g=10 m/s2) a) 9,99 N b) 9,77 N c) 9,55 N d) 9,33 N e) 9,11 N 190.En la Fig84, ¿Con qué fuerza actúa sobre las caras del tetraedro la carga puntual de va lor q=610-6 C ubicada en su centro? La densidad superficial de carga uniforme en las caras es =810-9 C/m2. (k=9109 Nm2/C2 , m=10-3) a) 1,30 mN b) 1,32 mN c) 1,34 mN d) 1,36 mN e) 1,38 mN 191.En la Fig85, hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre el anillo de a lambre fino de radio R=10 cm y carga eléctrica q=410-6 C y el hilo metálico muy largo de densidad lineal de carga uniforme =210-10 C/m, que pasa por el centro del anillo.    g q q q q q q Q a a a a a a 148

Fuerza eléctrica 236 a) 12 N b) 24 N c)
36 N d) 48 N e) 72 N Fig83 Fig84 192.En la Fig86, ¿Qué carga puede suministrarse a la gota de radio R=0,5 cm, si el coefi ciente de tensión superficial es igual a =0,5 N/m? (k=9109 Nm2/C2) a) 14,7 nC b) 16,7 nC c) 18,7 nC d) 20,7 nC e) 22,7 nC Fig85 Fig86 193.Una esfera conductora de radio R=30 cm se corta en dos hemisferios, conectados a tierra y colocados en un campo uniforme de magnitud E0 =40 N/C con el corte normal al campo eléctrico. Hallar la magnitud de la fuerza que tiende a separar los hemisferios. (n=10-9) a) 1 nN b) 3 nN c) 6 nN d) 9 nN e) 12 nN 194.En la Fig87, dos planos conductores infinitos, al cortarse bajo un ángulo recto, dividen el espacio en cuatro zonas. En la zona I se encuentra la carga q=410-7 C a una misma dis tancia a=30 cm de los dos planos. Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga. a) 3,66 mN b) 3,60 mN c) 3,68 mN d) 3,64 mN e) 3,62 mN 195.En la Fig88, hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga q=810-6 C, situada en el cen tro de la envoltura esférica metálica aislada sin carga de radio R=1 m, si en ella hay un pe queño orificio de radio r=10 mm (r<<R). El grosor de la envoltura es h=0,1 mm (h<<r). a) 2,80 nN b) 2,82 nN c) 2,84 nN d) 2,86 nN e) 2,88 nN ¿Q? R g   q A B C D q  R  149

Robótica y Cibernética 237 Fig87 Fig88 196.Un anillo metálico de
radio R=10 cm, posee una carga Q=2 C, distribuida uniformemen te sobre su longitud. Este anillo se rompe bajo la acción de las fuerzas coulombianas, cuando la carga es "Q", se hace otro anillo nuevo idéntico al anterior, pero de un material cuya resistencia mecánica es 10 veces mayor, ¿Qué carga romperá el nuevo anillo? a) 6,30 C b) 6,32 C c) 6,34 C d) 6,36 C e) 6,38 C 197.Un anillo metálico de radio "R", posee una carga "Q", distribuida uniformemente en to da su longitud. ¿Qué carga "q" romperá un anillo nuevo fabricado del mismo material, si las dimensiones de este anillo nuevo son tres veces mayor que los del anillo inicial? a) Q b) 3Q c) 6Q d) 9Q e) 12Q 198.En la Fig89, cuatro electrones, situados en los vértices de un cuadrado de lado a=1 mm, giran describiendo una órbita circular alrededor del protón. Este se encuentra en el centro de dicho cuadrado. Hallar la velocidad angular (en red/s) del movimiento de los electro nes por la órbita. (m= 9,110-31 kg, k=9109 Nm2/ C2) a) 1,70105 b) 1,72105 c) 1,74105 d) 1,76105 e) 1,78105 199.Una moneda de cobre eléctricamente neutra tiene una masa de m=128 g, Número atómi co=29 y Peso atómico= 64, ¿Cuál es el valor de la carga positiva total de sus átomos? a) 5,51 MC b) 5,53 MC c) 5,55 MC d) 5,57 MC e) 5,59 MC 200.Un disco muy delgado de radio a=30 cm, posee una densidad superficial de carga que va ría con "r" según la relación, =o (r /a), siendo o =210-8 C/m2 una constante. Hallar la carga total del disco. (n=10-9) a) 3,71 nC b) 3,73 nC c) 3,75 nC d) 3,77 nC e) 3,79 nC 201.La expresión: o r / r 2 2 o o (r, ) e cos /(r/r )       es una densidad de carga volumétrica en coordenadas esféricas, siendo  el ángulo formado por la proyección de "r" sobre el pla no XY con el eje X. Hallar la cantidad de carga en el volumen esférico encerrado por r=5r0 . (0 =210-10 C/m3 , r0 =20 cm , p=10-12) a) 9,11 pC b) 9,33 pC c) 9,55 pC d) 9,77 pC e) 9,99 pC q R h r a a IV III I II q 150

Fuerza eléctrica 238 202.Un anillo metálico de radio R=10 cm,
posee una carga de Q=810-6 C, distribuida unifor memente en toda su longitud. Hallar la magnitud de la fuerza resultante sobre el anillo, de bido a las fuerzas coulombianas. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,42 N b) 1,44 N c) 1,46 N d) 1,48 N e) 1,50 N 203.En la Fig90, las bolas pequeñas con cargas iguales y masas m=400 g se cuelgan de hilos de seda de longitud l=20 cm a un mismo punto. La distancia entre ellas es x<< . Hallar la velocidad de fuga de las cargas dq/dt de cada una de bolas, si la velocidad de su aproxima ción varía según la ley v a / x  , siendo a=20 una constante. (k=9109 Nm2/C2) a) 1 mC/s b) 2 mC/s c) 3 mC/s d) 4 mC/s e) 5 mC/s Fig89 Fig90 204.En la Fig91, la partícula de carga eléctrica q0 =210-9 C y masa m=810-8 kg está en equilibrio en el centro de la base circular del cono hueco regular de altura h=10 cm y ángulo del vértice 2=/2. ¿Cuál es la densidad de carga superficial uniforme del cono? a) 1,7 nC/m2 b) 3,7 nC/m2 c) 5,7 nC/m2 d) 7,7 nC/m2 e) 9,7 nC/m2 205.En la Fig92, la partícula de carga eléctrica q0 =210-21 C y masa m=310-20 kg, situada en el centro de la base del hemisferio hueco de radio R=10 cm está en equilibrio. Hallar la densidad superficial de carga uniforme " "  (en nC/m2) del hemisferio. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 1,65 b) 2,65 c) 4,65 d) 6,65 e) 8,65 Fig91 Fig92 H  q  g R  m g a a a a -e -e -e -e     q q x l l 151

Robótica y Cibernética 239 206.Se tienen dos partículas de cargas
eléctricas q1 =5 C y q2 = 6 C, ubicados en los puntos (-1, 1, -3) m y (3, 1, 0) m respectivamente. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica que e jerce 2 "q " sobre 1 "q ". (k=909 Nm2/C2 , =10-6 , m=10-3) a) 10,0 mN b) 10,2 mN c) 10,4 mN d) 10,6 mN e) 10,8 mN 207.En la Fig93, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica ejercida por el alambre muy delga do de forma semicircular de radio R=20 cm con densidad de carga lineal uniforme   410-9 C/m sobre la partícula de carga q0 =210-8 C. (k=9109 Nm2/C2) a) 12 N  b) 24 N  c) 36 N  d) 48 N  e) 72 N  208.Hallar la aceleración instantánea (en Tm/s2) que adquiere una partícula de carga q0 = 1,610-19 C y masa m=9,110-31 kg, al ser ubicada en un punto del eje de un anillo a una distancia d=10 cm de su centro, el anillo tiene radio R=10 cm y densidad lineal de carga u niforme =210-10 C/m. (k=9109 Nm2/C2, T=1012) a) 7,01 b) 7,03 c) 7,05 d) 7,07 e) 7,09 209.En la Fig94, la esfera de paredes delgadas, no conductora de radio R=50 cm, carga eléc trica Q=610-5 C, y masa M=1 kg presenta dos orificios pequeños diametralmente opues tos. En el instante inicial la esfera está en reposo. Por la recta que une los orificios se mue ve del infinito con rapidez de 2104 m/s una bolita de masa m=10 g y carga q=410-9 C. Hallar el tiempo que demora la bolilla en recorrer la esfera a través del agujero. (=10-6) a) 100 s b) 110 s c) 120 s d) 130 s e) 140 s Fig93 Fig94 210.En la Fig95, el extremo izquierdo del filamento rectilíneo de longitud l=40 cm se en cuentra a una distancia de d=20 cm de la carga puntual o "q ", situada en el centro del fila mento en forma de semicircunferencia de radio R=20 cm. ¿Para que razón de las densida des de carga 2 /1 =?, la fuerza sobre la carga de prueba o "q " es nula? (k=9109 Nm2/C2) a) 2 b) 3 c) 4 d) 0,5 e) 0,25 211.En la Fig96, la lámina rectangular de lados a=20 cm, b=30 cm y grosor c= 0,1 mm tiene una carga eléctrica q=12 C distribuida uniformemente sobre su superficie. Hallar la fuer R R q0  v d R Q, M q v0=0 152

Fuerza eléctrica 240 za sobre la carga eléctrica puntual Q=
410-8 C, ubicada a una distancia d=4 mm de la lá mina. (=10-6) a) 0,223 N b) 0,225 N c) 0,227 N d) 0,221 N e) 0,229 N Fig95 Fig96 212.En la Fig97, la esfera de radio R=20 cm y carga Q=8.10-6 C distribuida uniformemente se corta en dos partes por un plano que dista h=10 cm del centro de esta. ¿Qué carga mí nima "q" debe ubicarse en el centro de la esfera para que las partes de ésta no se recha cen? a) 1 C b) 2 C c) 4 C d) 6 C e) 8 C 213.En la Fig97, la esfera cargada uniformemente de radio R=20 cm se corta en dos partes por un plano que dista h=10 cm del centro de esta, la carga total de la esfera es Q=410-7 C. Hallar la fuerza con que se rechazan mutuamente las partes de la esfera. a) 3,371 mN b) 3,373 mN c) 3,375 mN d) 3,377 mN e) 3,379 mN 214.En la Fig98, hallar la variación de la fuerza de interacción eléctrica entre la esfera metáli ca de radio R=10 cm, carga eléctrica QS = 6C y la carga puntual q=40 nC ubicada a una distancia d=20 cm del centro de la esfera, si la carga de este aumenta en Q=2 C. a) 12 mN b) 14 mN c) 16 mN d) 18 mN e) 20 mN Fig97 Fig98 215.Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica entre una carga puntual q=210-7 C y una esfera conductora descargada de radio R=10 cm. La carga puntual está ubicada a una distancia d=20 cm del centro de la esfera. (k=9109 Nm2/C2) d q R QS R h R.SABRERA  R R q0 1 2 d l d b a c Q q 153

Robótica y Cibernética 241 a) 3,1 mN b) 3,3 mN
c) 3,5 mN d) 3,7 mN e) 3,9 mN 216.En la Fig99, el dipolo eléctrico, de momento dipolar p=1210-9 Cm, se halla a una dis tancia d=3 cm del plano infinito conectado a tierra. Hallar la fuerza eléctrica ejercida por el dipolo sobre este plano, en una aproximación hasta el 2do orden. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,2 N b) 0,4 N c) 0,6 N d) 0,8 N e) 1,0 N 217.En la Fig100, cada uno de los cinco alambres rectilíneos delgados paralelos separados por una distancia d=2 mm, tienen longitudes infinitas y densidades de carga lineal unifor me de =810-7 C/m. Hallar la fuerza de interacción eléctrica por unidad de longitud en el alambre (1). (k=9109 Nm2/C2) a) 8 N/m b) 9 N/m c) 10 N/m d) 11 N/m e) 12 N/m Fig99 Fig100 218.Se tiene un cono regular compacto de radio de la base circular "R", altura H=50 cm y carga eléctrica Q=610-6 C, distribuida uniformemente en su volumen. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica que ejerce el cono sobre una partícula de carga q=210-8 C, situada en su vértice (R= 3 H, k=9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 1,56 mN b) 1,76 mN c) 1,96 mN d) 2,16 mN e) 2,36 mN 219.Se tiene un disco de radio R=20 cm, y densidad de carga superficial no uniforme dada por - para 0 < r < a, y + para a < r < b. ¿Para qué valor de "a", la fuerza sobre una car ga de prueba o "q ", situada en el eje del disco a la distancia "a" de su centro, es nulo? (k= 9109 Nm2/C2, b=20 cm) a) 0,83 cm b) 1,23 cm c) 1,63 cm d) 2,03 cm e) 2,43 cm 220.En la Fig101, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba o "q "si tuada en el centro común de las semicircunferencias de radios r=10 cm y R=20 cm, for madas por un alambre delgado de densidad de carga lineal uniforme de =200 pC/m. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 10qo b) 12qo c) 14qo d) 16qo e) 18qo 1 2 5                           d p -q +q d 154

Fuerza eléctrica 242 221.En la Fig102, hallar la magnitud de
la fuerza de interacción eléctrica entre el disco delga do de plástico de radio R=20 cm y densidad de carga superficial uniforme =4 nC/m2 y el alambre metálico fino muy largo de densidad lineal de carga uniforme de =2 nC/m, ubicado en el eje del disco. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 51 nN b) 53 nN c) 55 nN d) 57 nN e) 59 nN Fig101 Fig102 222.Una carga de prueba o "q " se encuentra sobre el eje de simetría de un disco de plástico de radio R=10 cm, y densidad de carga superficial =800 pC/m2, a la distancia d=10 cm de su centro. ¿En que porcentaje debe aumentar o disminuir el radio del disco, manteniendo constante la distancia y la densidad, para que la fuerza sobre o "q " aumente en un 50 %? a) 41,69 % b) 43,69 % c) 45,69 % d) 47,69 % e) 49,69 % 223.Dos filamentos muy delgados en forma de segmentos rectilíneos y cuadrante de circunfe rencia tienen una densidad de carga lineal uniforme de =8 nC/m, y están en un mismo plano separados por una distancia de =0,4 mm. Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga de prueba qo =5 pC. (k=9109 Nm2/C2, R=20 cm, n=10-9, p=10-12) a) 5,1 pN b) 5,3 pN c) 5,5 pN d) 5,7 pN e) 5,9 pN 224.Un cilindro compacto de radio R=20 cm, esta dividido en dos partes, la primera tiene u na longitud 1 " " y una densidad de carga volumétrica uniforme 1 " "  , y la segunda una longitud 2 " " y una densidad de carga volumétrica uniforme 2 " "  . ¿Para que longitud 2 " ", la fuerza sobre una carga de prueba o "q ", situada en el centro de la superficie de in terfase es nula? (k=9109 Nm2/C2, 2 =21 , l 1 =40 cm, R=20 cm) a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 18 cm 225.En la Fig103, se ilustra el sistema de desviación electrostática de un osciloscopio de ra yos catódicos. Los electrones de un cátodo calentado (C) adquieren una velocidad inicial u = o ˆ u k de un ánodo cargado positivamente. Los electrones ingresan en z=0 en una región de placas de desviación (D) donde se mantiene un campo eléctrico uniforme d d ˆ E E j  en un ancho "w". Hallar la desviación vertical de los electrones en la pantalla fluorescente (P) en z=L. Ignórese los efectos gravitatorios. qo R r     R 155

Robótica y Cibernética 243 226.En la Fig103, el osciloscopio de
rayos catódicos (ORC) se usa para medir el voltaje apli cado a las placas de desviación paralelas. I) Asumiendo que no hay rupturas en el aislamiento, ¿Cuál es el voltaje máximo que puede medirse si la distancia de separación entre las placas es "h"? a) o u h m ( ) e w b) 2 o u h m ( ) e w c) o u h e ( ) m w d) o u w m ( ) e h e) 2 o u w m ( ) e h II) ¿Cuál es la restricción de "L" si el diámetro de la pantalla es "D"? III) ¿Qué puede hacerse con una geometría fija para duplicar el voltaje máximo que puede me dir el ORC? 227.En la Fig104, tres cargas puntuales de q1 =q2 =q3 =2 C están situadas en el aire, en los vérices de un triángulo equilátero de a=10 cm de lado. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza experimentada por cada carga. a) 6,04 N b) 6,24 N c) 6,44 N d) 6,64 N e) 6,84 N II) Hallar la dirección de la fuerza que experimenta la carga "2", respecto del eje x. a) 30o b) 37o c) 45o d) 53o e) 90o Fig103 Fig104 228.Dos cargas puntuales "Q1 ", "Q2 " están situadas en (0,-5,-1) y (0,-2,6) respectivamente. I) Hallar la razón Q1 /Q2 para que la fuerza total ejercida sobre una carga de prueba en el pun to P(0, 2, 3) no tenga componente en y. a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 4/5 II) Hallar la razón Q1 /Q2 para que la fuerza total ejercida sobre una carga de prueba en el pun to P(0, 2, 3) no tenga componente en z. a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 4/5 229.Tres cargas puntuales Q1 =-9 C, Q2 =4 C y Q3 =-36 C se disponen en una línea recta. La distancia entre Q1 y Q3 es d=9 cm. Se sabe que se puede seleccionar una posición para Q2 de forma que todas las cargas experimenten una fuerza nula. Hallar esta posición para L z  y w uo d1 Ed C D P d 60o +q1 +q3 +q2 y x 0 a a a 156

Fuerza eléctrica 244 la carga Q2 . a) 1,0 cm
b) 1,5 cm c) 2,0 cm d) 2,5 cm e) 3,0 cm 230.Calcular la relación entre las fuerzas de interacción electrostática y gravitacional. I) Para dos electrones. a) 41040 b) 41041 c) 41042 d) 41043 e) 41044 II) Para dos protones. a) 11032 b) 11033 c) 11034 d) 11035 e) 11036 III) ¿Con qué valor de la carga especifica "q/m" (en C/kg) de una partícula estas fuerzas resul tarían iguales en modulo en caso de interacción de partículas idénticas? a) 0,8610-10 b) 0,8610-11 c) 0,8610-12 d) 0,8610-13 e) 0,8610-14 231.¿Con qué fuerza interaccionarían dos bolas de cobre, de 1 g de masa cada una, encontrán dose a 1 m de distancia una de otra, si la carga total de todos los electrones en ellas se dife renciara en un 1 % de la carga total de todos los núcleos? (z=29, M=63,54 g/mol, NA = 6,0231023 átomos/mol, e=-1,610-19 C, k=9109 Nm2/C2, P=1015) a) 1,14 PN b) 1,34 PN c) 1,54 PN d) 1,74 PN e) 1,94 PN 232.Cargas puntuales de Q1 =1 mC y Q2 =-2 mC se ubican en los puntos de coordenadas A(3, 2,-1) y B(-1,-1, 4), respectivamente. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre una carga q=10 nC ubicada en el punto C(0, 3, 1). a) 10,2 N/C b) 10,4 N/C c) 10,6 N/C d) 10,8 N/C e) 11,0 N/C II) Hallar la magnitud de la intensidad del campo eléctrico (en kV/m) en el punto C. a) 1054 b) 1064 c) 1074 d) 1084 e) 1094 233.En la Fig105, dos cargas puntuales de igual masa "m" y carga "Q" están suspendidas de un punto común O por dos hilos de masa despreciable y longitud "l". I) Demuestre que en equilibrio, el ángulo de inclinación "" de cada hilo respecto de la verti cal está dado por: Q2=16o mgl2sen2 tg . II) Probar que para "" mínimo la expresión anterior se reduce a: =[Q2/16o mgl2]1/3. 234.En la Fig106, la separación electrostática de sólidos es una aplicación práctica de la elec trostática. El mineral de fosfato de Florida, consistente en pequeñas partículas de cuarzo y roca fosfata, por ejemplo, puede separarse en sus componentes aplicando un campo eléc trico uniforme E=500 kV/m. Si se supone una velocidad y un desplazamiento iniciales de cero, hallar la separación entre las partículas tras caer 80 cm. Sea Q/m=9 C/kg para partí culas de carga tanto positiva como negativa. (k=9109 Nm2/C2) 157

Robótica y Cibernética 245 a) 70,47 cm b) 71,47 cm
c) 72,47 cm d) 73,47 cm e) 74,47 cm Fig105 Fig106 235.Tres pequeñas esferitas idénticas de masa "m" están suspendidas de un punto común por hilos de masa despreciable de longitudes "l". Una carga "Q" se divide en tres partes igua les entre las esferas, las cuáles alcanzan el equilibrio formando un triángulo equilátero horizontal de lados "a". Demostrar que Q2=12omga3[l2-a2/3]-1/2, donde "g" es la acelera ción debida a la gravedad. 236.Una lámina finita definida por, 0 x1 (m), 0 y1 (m) en el plano z=0 tiene una densi dad de carga superficial dada por, S =xy(x2+y2+25)3/2 nC/m2. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la cantidad de carga eléctrica contenida en la lámina. a) 30,15 nC b) 31,15 nC c) 32,15 nC d) 33,15 nC e) 34,15 nC II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P de coordenadas (0, 0, 5) m. a) 11,05 V/m b) 11,25 V/m c) 11,45 V/m d) 11,65 V/m e) 11,85 V/m III) Hallar la dirección del campo eléctrico, medido respecto del eje x. a) 95,53o b) 96,53o c) 97,53o d) 98,53o e) 99,53o IV) Hallar la fuerza que experimenta una carga puntual de -1 mC colocado en el punto P. a) 11,05 mN b) 11,25 mN c) 11,45 mN d) 11,65 mN e) 11,85 mN 237.Una placa cuadrada definida por: -2 x2 (m), -2y2 (m), z=0, tiene una densidad de carga superficial dada por: =12 y mC/m2. I) Hallar la cantidad de carga eléctrica contenida en la lámina. a) 190 mC b) 192 mC c) 194 mC d) 196 mC e) 198 mC II) Hallar la magnitud del campo eléctrico (en MV/m) en el punto P(0, 0, 10) m. a) 16,02 b) 16,22 c) 16,42 d) 17,62 e) 16,82   q,m l O l g q,m E d h cuarzo fosfato 158

Fuerza eléctrica 246 238.Los planos x=2 y y=-3 tienen densidades
de carga superficial de 1 =10 nC/m2 y 2 =15 nC/m2, respectivamente. Si la línea x=0, z=2 tiene una densidad de carga lineal de =10 nC/m. Hallar la magnitud del campo eléctrico resultante en el punto P(1, 1,-1). a) 1000 V/m b) 1004 V/m c) 1008 V/m d) 1012 V/m e) 1016 V/m 239.La densidad de flujo en cierta región del espacio está dada por: D =zcos2 ˆ k C/m2. I) Hallar la densidad de carga eléctrica en el punto P(1, /4, 3). a) 0,3 C/m3 b) 0,4 C/m3 c) 0,5 C/m3 d) 0,6 C/m3 e) 0,7 C/m3 II) Hallar la carga eléctrica total encerrada en el cilindro de radio 1 m con -2z2 m. a) 2/3 C b) 4/3 C c) 3/2 C d) 3/4 C e) 3/5 C 240.La densidad de flujo en cierta región del espacio está dada por: D =(2y2+z)ˆ i +4xy ˆ j+x ˆ k C/m2. I) Hallar la densidad de carga eléctrica en el punto P(-1, 0, 3). a) -2,0 C/m3 b) 2,0 C/m3 c) 3,0 C/m3 d) -3,0 C/m3 e) -4,0 C/m3 II) Hallar la carga eléctrica total encerrada por el cubo 0x1, 0y1, 0z1. a) 1 C b) 2 C c) 3 C d) 4 C e) 5 C 241.Las cargas puntuales Q1 =5 C y Q2 =-4 C se sitúan en los puntos A(3, 2, 1) y B(-4, 0, 0) respectivamente. I) Hallar la magnitud de la fuerza (en 10-3 V/m) sobre la carga Q1 . a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94 II) Hallar el ángulo que forma el campo eléctrico con el eje x positivo. a) 160,2o b) 162,2o c) 164,2o d) 166,2o e) 168,2o 242.Cinco cargas puntuales idénticas de Q=15 C se localizan en el centro y vértices de un cuadrado definido por -1x, y<1, z=0. I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga puntual de q=10 C en el punto P(0, 0, 2). a) 1,012 N b) 1,032 N c) 1,052 N d) 1,072 N e) 1,092 N II) Hallar la magnitud de la intensidad del campo eléctrico (en kV/m) en el punto P(0, 0, 2). a) 101,2 b) 103,2 c) 105,2 d) 107,2 e) 109,2 243.Las cargas puntuales Q1 y Q2 se localizan en los puntos A(4, 0,-3) y B(2, 0, 1), respec tivamente. Si Q2 =4 nC. Hallar Q1 : I) De modo que, el campo eléctrico en el punto C(5, 0, 6) no tenga componente en z. 159

Robótica y Cibernética 247 a) -8,12 nC b) -8,32 nC
c) -8,52 nC d) -8,72 nC e) -8,92 nC II) De modo que, la fuerza sobre una carga de prueba en C(5, 0, 6) no tenga componente en x a) -41,95 nC b) -42,95 nC c) -43,95 nC d) -44,95 nC e) -45,95 nC 244.Las cargas eléctricas puntuales +Q y +3Q están separadas por una distancia de 2 m. Una tercera carga puntual está ubicada de tal forma que el sistema electrostático se halla en e quilibrio. Hallar la posición y el valor de la tercera carga en términos de Q. 245.I) Se tiene una densidad de carga lineal =12x2 mC/m. Hallar la carga eléctrica total con tenida en el filamento definido por 0<x<5. a) 0,1 C b) 0,2 C c) 0,3 C d) 0,4 C e) 0,5 C II) Se tiene una densidad de carga superficial, dada por: =o z2 nC/m2. Hallar la carga eléctri ca total contenida en el cilindro =3,0 m, 0<z<4 m. a) 1,01 C b) 1,21 C c) 1,41 C d) 1,61 C e) 1,81 C III) Se tiene una densidad de carga volumétrica, dada por: =10/(r sen ) C/m3. Hallar la car ga eléctrica total contenida en la esfera de radio r=4 m. a) 1559 C b) 1569 C c) 1579 C d) 1589 C e) 1599 C 246.I) En el eje-x se tiene un filamento definido por: -5mx4m, y densidad de carga lineal: =2 mC/m. Hallar la carga eléctrica total contenida en el filamento. a) 15 mC b) 16 mC c) 17 mC d) 18 mC e) 19 mC II) En el plano x-y se tiene una placa circular definida por: 0x4 m, 0x4 m y densidad de carga superficial: =5 mC/m2. Hallar la carga eléctrica total contenida en la placa. a) 18 mC b) 19 mC c) 20 mC d) 21 mC e) 22 mC III) Se tiene un paralelepípedo definido por: 0x-2 m, 0y4 m , 0z3 m, y densidad de carga volumétrica =1 mC/m3. Hallar la carga eléctrica total contenida en el paralelepípe do. a) 21 mC b) 22 mC c) 23 mC d) 24 mC e) 25 mC 247.El filamento recto definido por: x=3 m, z=-1 m, tiene una densidad de carga lineal =20 nC/m, y la placa muy grande situado en x=-2 m, tiene una densidad de carga superficial =4 nC/m2. Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga puntual q=-5 mC situada en el origen de coordenadas. a) 0,618 N b) 0,638 N c) 0,658 N d) 0,678 N e) 0,698 N 160

Fuerza eléctrica 248 248.En cierta región en el vació la
densidad de flujo es, D =2y2 ˆ i +4xyˆ j - ˆ k mC/m2. Hallar la carga eléctrica total almacenada en la región, 1 m<x<2 m, 1 m<y<2 m, -1 m<z<4 m. a) 32 mC b) 34 mC c) 36 mC d) 38 mC e) 40 mC 249.En cierta región del espacio, la densidad de flujo es, D =2(z+1)cos  ˆ  -(z+1)sen  ˆ  + 2cos  ˆ k C/m2. I) Hallar la densidad de carga en dicha región del espacio. II) Hallar la carga eléctrica total encerrada en el volumen 0<< m, 0<</2, 0<z<4 m. III) Confirme la ley de Gauss hallando el flujo neto a través de la superficie del volumen descrito en el inciso II). 250.El modelo del átomo de hidrógeno de Thomson es una esfera de carga positiva con un e lectrón (una carga puntual) como su centro. La carga total positiva equivale a la carga e lectrónica "e". Probar que cuando el electrón se encuentra a la distancia "r" del centro de una esfera de carga positiva es atraído con una fuerza F=e2r/4o R3, donde "R" es el ra dio de la esfera. 251.Cuatro cargas positivas de Q=10 nC están ubicadas en el plano z=0 en las esquinas de un cuadrado de lado a=8 cm. Una quinta carga positiva q=10 nC está ubicada en un punto dis tante d=8 cm de las otras cargas. Hallar la magnitud de la fuerza total sobre esta quinta carga en el vació. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,2 mN b) 0,3 mN c) 0,4 mN d) 0,5 mN e) 0,6 mN 252.Dos cargas puntuales iguales a Q1 están ubicadas en los puntos (0, 1, 1) y (0, 0,-1). I) Hallar el lugar de las posibles posiciones de una tercera carga Q2 , la cual, puede ser po sitiva o negativa, tal que, la fuerza sobre una tercera carga "q" positiva ubicada en el pun to (0, 1, 0) sea nulo. II) ¿Cuál es el lugar si las dos cargas originales son +Q1 y -Q1 ? 253.Cargas puntuales de Q=50 nC están ubicadas en los puntos A(1, 0, 0), B(-1, 0, 0), C(0, 1, 0), y D(0,-1, 0) en el espacio libre. Hallar la fuerza total sobre la carga ubicada en A. a) 21,5ˆ i b) 21,5ˆ j c) 21,5 ˆ k d) 23,5ˆ i e) 23,5 ˆ k 254.Se tienen cuatro cargas puntuales idénticas de Q=3 nC situadas en los puntos A(1, 1, 0), B(-1, 1, 0), C(-1,-1, 0) y D(1,-1, 0). Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica (en N) ejerci da por estas cargas sobre una carga "q" ubicada en el punto E(1, 1, 1). (k=9109 Nm2/C2) a) 30,2q b) 32,2q c) 34,2q d) 36,2q e) 38,2q 255.En el espacio libre, se tiene una densidad de carga volumétrica, dada por: =o 5 10 gz e C/m2, donde o =-510-6. Hallar la carga total contenida en el cilindro de eje z, definido por: 01 cm, 2 cmz4 cm. (k=9109 Nm2/C2, f=10-15) a) 70,5 fC b) 72,5 fC c) 74,5 fC d) 76,5 fC e) 78,5 fC 161

Robótica y Cibernética 249 256.I) En el espacio libre, la
densidad de carga volumétrica es, V =1/(x3y3z3) C/m3, hallar la carga contenida en el volumen, 0,1 mIxI, IyI , IzI 0,2 m. a) 3,32 MC b) 3,34 MC c) 3,36 MC d) 3,38 MC e) 0 II) En el espacio libre, la densidad de carga volumétrica es, V =2z2sen 0,6 C/m3, hallar la carga contenida en el volumen, 0  0,1 m, 0  , 2 m z 4 m. a) 1,018 mC b) 1,028 mC c) 1,038 mC d) 1,048 mC e) 1,058 mC III) En el espacio libre, la densidad de carga volumétrica es, V =e-2r/r2 C/m3, hallar la carga contenida en el universo. a) 6,08 C b) 6,28 C c) 6,48 C d) 6,68 C e) 6,88 C 257.En el espacio libre, a lo largo de los ejes x e y (positivo y negativo) se encuentran fila mentos de carga uniforme e infinitas de densidad de carga =5 nC/m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la fuerza (en N) ejercida sobre una carga unitaria ubicada en el punto P(0, 0, 4) m. a) 41 ˆ k b) 43 ˆ k c) 45 ˆ k d) 47 ˆ k e) 49 ˆ k II) Hallar la fuerza (en N) ejercida sobre una carga unitaria ubicada en el punto P(0, 3, 4) m. a) 10,2ˆ j+34,9 ˆ k b) 10,6ˆ j+32,9 ˆ k c) 11,2ˆ j+32,9 ˆ k d) 10,8ˆ j+36,9 ˆ k e) 12ˆ j+30,9 ˆ k 258.En el espacio libre, ocho cargas puntuales idénticas a q=8 nC se ubican en los vértices de un cubo de arista a=4 cm, con una carga en el origen de coordenadas y las tres cargas más cercanas en (a, 0, 0), (0, a, 0) y (0, 0, a). Hallar la magnitud de la fuerza total sobre la carga ubicada en el punto P(a, a, a). (k=9109 Nm2/C2, m=10-3, n=10-9) a) 1,18 mN b) 1,38 mN c) 1,58 mN d) 1,78 mN e) 1,98 mN 259.En el espacio libre, las densidades de carga uniformes y las posiciones de tres láminas in finitas son: 1 =3 nC/m2 en z=-4 m, 2 =6 nC/m2 en z=1 m, y 3 =-8 nC/m2 en z=4 m. Ha llar la fuerza (en N) ejercida por estas láminas sobre una carga unitaria ubicada en el pun to P(1, 5, -5) m. (k=9109 Nm2/C2) a) -54,5 ˆ k b) +54,5 ˆ k c) -56,5 ˆ k d) +56,5 ˆ k e) -58,5 ˆ k 260.En el espacio libre, una carga puntual Q1 =25 nC está en el punto P1 (4,-2, 7) m y una car ga Q2 =60 nC está en P2 (-3, 4,-2) m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre una carga unitaria ubicada en el punto P3 (1, 2, 3) m. a) 7,17 N b) 7,37 N c) 7,57 N d) 7,77 N e) 7,97 N II) Hallar la posición más cercana del origen, a la que debe ubicarse sobre el eje y, la carga u nitaria, tal que la componente-x de la fuerza sea nula. a) -6,29 m b) +6,29 m c) -6,89 m d) +6,89 m e) -7,24 m 162

Fuerza eléctrica 250 261.En el espacio libre, tres cargas puntuales
iguales a Q=5 nC están sobre el eje x en las po siciones x1 =-1 m, x2 =0, x3 =1 m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la fuerza sobre una carga unitaria "q" ubicada en x=5 m. a) 5,0ˆ i b) 5,2ˆ i c) 5,4ˆ i d) 5,6ˆ i e) 5,8ˆ i II) Hallar el valor y ubicación de una única carga puntual equivalente que producirá la mis ma fuerza sobre "q" a grandes distancias. a) 11 nC, 1 m b) 19 nC, 3 m c) 17 nC, 4 m d) 13 nC, 2 m e) 15 nC, 0 m III) Hallar la fuerza eléctrica en x=5 m, utilizando la aproximación obtenida en II). a) 5,0ˆ i b) 5,2ˆ i c) 5,4ˆ i d) 5,6ˆ i e) 5,8ˆ i IV) Hallar el error porcentual cometido en el resultado III) respecto del obtenido en I). a) 3 % b) 4 % c) 5 % d) 6 % e) 7 % 262.En el espacio libre, se ubican una carga puntual Q=2 C en A(4, 3, 5 ) m, y otra carga u nitaria "q" en el punto B(8, 12, 2) m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la componente F de la fuerza eléctrica sobre la carga unitaria "q". a) 155,7 N b) 156,7 N c) 157,7 N d) 158,7 N e) 159,7 N II) Hallar la componente F de la fuerza eléctrica sobre la carga unitaria "q". a) 25,4 N b) 26,4 N c) 27,4 N d) 28,4 N e) 29,4 N III) Hallar la componente Fz de la fuerza eléctrica sobre la carga unitaria "q". a) -45,4 N b) -46,4 N c) -47,4 N d) -48,4 N e) -49,4 N 263.Un dispositivo para medir cargas consiste de dos pequeñas esferas aisladas de radio "a", una de las cuales está fija. La otra se puede desplazar a lo largo del eje x y está sujeta a u na fuerza restrictiva kx, donde "k" es la constante del resorte. Las esferas tienen su centro en x=0, y x=d; la última está fija. I) Si las esferas tienen cargas iguales y opuestas de "Q" coulombios, obtener la expresión pa ra obtener "Q" en función de "x". II) Hallar la máxima carga que puede medirse en términos de o , k y d. III) Obtener la distancia de separación de las esferas. ¿Qué pasa si se aplica una carga mayor? 264.En el espacio libre, se ubica una carga puntual Q=100 nC en el punto A(-1, 1, 3) m. I) Hallar las ubicaciones P(x, y, z) que puede tener una carga unitaria en la que la compo nente x de la fuerza eléctrica es Fx =500 N II) Hallar la coordenada y1 menor si la ubicación de la carga unitaria es P(-2, y1, 3) m. a) 31 cm b) 33 cm c) 35 cm d) 37 cm e) 39 cm 163

Robótica y Cibernética 251 265.Una carga de prueba positiva se
utiliza para obtener el campo que produce una carga pun tual positiva "Q" ubicada en P(a, b, c). Si la carga de prueba se coloca en el origen, la fuer za sobre esta tiene la dirección 0,5ˆ i -0,5 ˆ 3 j, y cuando la carga de prueba se ubica en (1, 0, 0), la fuerza está en la dirección 0,6ˆ i -0,8ˆ j. Hallar a, b y c, correspondiente a la menor distancia de P al origen. a) (3,34, 5,79, 0,124) b) (0,415, -0,733, 0,144) c) (-3,34, -0,75, 0,104) d) (-3,34, 5,79, 0) e) (0,445, -0,75, 0) 266.La fuerza que ejerce una carga Qo ubicada en el origen sobre una carga unitaria "q" ubica da en P(-2, 1,-1) m es Fz =1 kN. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la carga fuente "Qo ". a) -1,23 C b) +1,23 C c) -1,43 C d) +1,43 C e) -1,63 C II) Hallar la fuerza sobre la carga "q" ubicada en M(1, 6, 5) m, en coordenadas rectangulares. a) -30,11ˆ i -180,63ˆ j-150,53 ˆ k b) 30,11ˆ i +180,63ˆ j+150,53 ˆ k c) -32,11ˆ i -184,63ˆ j-156,53 ˆ k d) 32,11ˆ i +184,63ˆ j+156,53 ˆ k e) -34,11ˆ i -182,63ˆ j-154,53 ˆ k III) Hallar la fuerza sobre la carga "q" ubicada en M(1, 6, 5) m, en coordenadas cilíndricas. a) -181,12 ˆ  -152,53 ˆ k b) -187,12 ˆ  -154,53 ˆ k c) -185,12 ˆ  -158,53 ˆ k d) -185,12 ˆ  -156,53 ˆ k e) -183,12 ˆ  -150,53 ˆ k IV) Hallar la fuerza sobre la carga "q" ubicada en M(1, 6, 5) m, en coordenadas esféricas. a) -231ˆ r b) -233ˆ r c) -235ˆ r d) -237ˆ r e) -239ˆ r 267.En una determinada región del espacio hay electrones moviéndose aleatoriamente. En cualquier intervalo de tiempo de 1 s, la probabilidad de encontrar un electrón en una sub región de volumen V=10-15 m3 es de 0,27. ¿Qué densidad de carga volumétrica debe asig nársele a esa sub-región para dicho intervalo?. a) -41,3 C/m3 b) -42,3 C/m3 c) -43,3 C/m3 d) -44,3 C/m3 e)-45,3 C/m3 268.Una densidad de carga volumétrica de V =0,12 C/m3 está en un cascarón esférico entre r=3 cm y r=5 cm. Si V =0 en cualquier otra parte. I) Hallar la carga total contenida en el cascarón esférico. a) 80,1 pC b) 82,1 pC c) 84,1 pC c) 86,1 pC e) 88,1 pC II) Hallar el valor de "r1 " si la mitad de la carga total está en región 3 cm < r < r1 . a) 4,04 cm b) 4,24 cm c) 4,44 cm c) 4,64 cm e) 4,84 cm 164

Fuerza eléctrica 252 269.En un sistema de coordenadas cilíndricas la
densidad de carga varía en función del radio "" de acuerdo con: V =o /(2+a2)2 C/m3. ¿A qué distancia del eje "z" se encuentra la cuarta parte de la carga total. a) 0,50a b) 0,52 a c) 0,54a d) 0,56a e) 0,58a 270.Un volumen esférico de radio R=2 m, tiene una densidad de carga volumétrica de V = 1015 C/m3. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la carga total encerrada en el volumen esférico. a) 31,5 mC b) 32,5 mC c) 33,5 mC d) 34,5 mC e) 35,5 mC II) Suponer que una región de gran tamaño contiene una de estas pequeñas esferas en cada esquina de un enrejado cúbico de a=3 mm de lado y que no hay cargas entre las esferas. Hallar la densidad de carga volumétrica (en MC/m3) en dicha región. a) 1,04 b) 1,24 c) 1,44 d) 1,64 e) 1,84 271.En el espacio libre, está dada una densidad de carga volumétrica por V =o r/a donde "o " y "a" son constantes. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12, f=10-15) I) Hallar la carga total al interior de la esfera ra. a) 1,31 pC b) 1,41 pC c) 1,51 pC d) 1,61 pC e) 1,71 pC II) Hallar la carga total contenida en el cono ra, 00,1. a) 35,6 fC b) 36,6 fC c) 37,6 fC d) 38,6 fC e) 39,6 fC III) Hallar la carga total contenida en la región, ra, 00,1, 00,2. a) 3,56 fC b) 3,66 fC c) 3,76 fC d) 3,86 fC e) 3,96 fC 272.En el espacio libre, una densidad de carga lineal, dada por =16 nC/m, se ubica a lo lar go de la línea definida por y=-2, z=5. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la fuerza (en N) sobre una carga unitaria "q" ubicada en el punto P(1, 2, 3) m. a) 55,5ˆ j -26,8 ˆ k b) 59,5ˆ j -29,8 ˆ k c) 56,5ˆ j -27,8 ˆ k d) 58,5ˆ j -25,8 ˆ k e) 57,5ˆ j -28,8 ˆ k II) Hallar la fuerza (en N) sobre la carga unitaria "a" en este punto sobre el plano z=0 donde la dirección de la fuerza está dada por (1/3)ˆ j -(2/3) ˆ k . a) 21ˆ j-48 ˆ k b) 25ˆ j-49 ˆ k c) 24ˆ j-45 ˆ k d) 23ˆ j-47 ˆ k e) 23ˆ j-46 ˆ k 273.En el espacio, una densidad de carga lineal e infinita =2 nC/m se ubica a lo largo del eje x, a la vez que cargas puntuales de Q=8 nC se ubican en (0, 0, 1) m y (0, 0,-1) m. I) Hallar la fuerza (en N) sobre una carga unitaria "q" ubicada en el punto P(2, 3,-4) m. 165

Robótica y Cibernética 253 a) 2,2ˆ i +7,5ˆ j-9,0 ˆ
k b) 2,8ˆ i +7,1ˆ j-9,8 ˆ k c) 2,6ˆ i +7,7ˆ j-9,6 ˆ k d) 2,4ˆ i +7,9ˆ j-9,2 ˆ k e) 2,0ˆ i +7,3ˆ j-9,4 ˆ k II) ¿Para que densidad "" (en nC/m), la fuerza ejercida sobre "q" en P(0, 0, 3) m es nulo? a) -3,15 b) -3,35 c) -3,55 d) -3,75 e) -3,95 274.En el espacio libre, una densidad de carga lineal =2 C/m está sobre ele eje z. Hallar la fuerza (en kN) ejercida sobre una carga unitaria "q" ubicada en P(1, 2, 3) m. I) Si la densidad de carga lineal está entre -<z<. a) 7,0ˆ i +14,8ˆ j b) 7,8ˆ i +14,2ˆ j c) 7,4ˆ i +14,0ˆ j d) 7,6ˆ i +14,6ˆ j e) 7,2ˆ i +14,4ˆ j II) Si la densidad de carga lineal está entre -4 m<z<4 m. a) 4,3ˆ i +9,0ˆ j+4,3 ˆ k b) 4,7ˆ i +9,6ˆ j+4,5 ˆ k c) 4,5ˆ i +9,4ˆ j+4,1 ˆ k d) 4,1ˆ i +9,2ˆ j+4,7 ˆ k e) 4,9ˆ i +9,8ˆ j+4,9 ˆ k 275.La región del eje z para la cual IzI<2 tiene una densidad de carga lineal no uniforme de =10IzI nC/m y =0 en cualquier otro lugar. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la fuerza ejercida sobre una carga unitaria "q" ubicada en (0, 0, 4) m. a) 31 ˆ k N b) 32 ˆ k N c) 33 ˆ k N d) 34 ˆ k N e) 35 ˆ k N I) Hallar la fuerza ejercida sobre una carga unitaria "q" ubicada en (0, 4, 0) m. a) 15,98ˆ j N b) 16,98ˆ j N c) 17,98ˆ j N d) 18,98ˆ j N e) 19,98ˆ j N 276.En el espacio libre, dos densidades de carga lineales iguales a =75 nC/m se ubican en x=0, y=0,4 m. ¿Qué fuerza por unidad de longitud (en N/m) ejerce cada una de las den sidades lineales sobre la otra? . (k=9109 Nm2/C2) a) 125 b) 126 c) 127 d) 128 e) 129 277.En el espacio libre, se tiene dos láminas paralelas muy grandes con densidades de carga superficiales iguales a =100 nC/m2, situados en z=0,4 m. Hallar la fuerza por unidad de área (en N/m2) que ejerce la lámina superior sobre la inferior. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) -550 ˆ k b) +550 ˆ k c) -560 ˆ k d) +560 ˆ k e) -570 ˆ k 278.Dada la densidad de carga superficial =2 C/m2, en la región <0,2 m, z=0, y tiene el valor de cero en cualquier otro punto. I) Hallar la fuerza sobre una carga unitaria ubicada en el punto P(=0, z=0,5) m. a) 8,1 ˆ k kN b) -8,1 ˆ k kN c) 8,3 ˆ k kN d) -8,3 ˆ k kN e) 8,5 ˆ k kN 166

Fuerza eléctrica 254 II) Hallar la fuerza sobre una carga
unitaria ubicada en el punto P(=0, z=-0,5) m. a) 8,1 ˆ k kN b) -8,1 ˆ k kN c) 8,3 ˆ k kN d) -8,3 ˆ k kN e) 8,5 ˆ k kN 279.Para el caso del disco cargado del problema anterior. I) Demostrar que el campo a lo largo del eje z se reduce al correspondiente de una lámina de carga infinita para valores pequeños de z. II) Demostrar que el campo en el eje z se reduce al correspondiente de una carga puntual pa ra valores grandes de z. 280.En el espacio libre, se encuentran una carga puntual Q=12 nC en P(2, 0, 6) m, un filamen to de densidad de carga lineal =3 nC/m, en x=-2 m, y=3 m; y una lámina muy grande de densidad de carga superficial =0,2 nC/m2 en x=2 m. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 3,9ˆ i +2,5ˆ j+2,5 ˆ k b) -3,9ˆ i +2,5ˆ j+2,5 ˆ k c) 3,9ˆ i +2,5ˆ j-2,5 ˆ k d) 3,9ˆ i -2,5ˆ j-2,5 ˆ k e) -3,9ˆ i -2,5ˆ j-2,5 ˆ k 281.Un dipolo consta de dos cargas puntuales de la misma magnitud pero de signos opuestos Q a una distancia "d" entre si. Cuando las cargas se encuentran sobre el eje z en los pun tos z=d/2 (estando la carga positiva en la posición positiva z), el campo eléctrico en coor denadas esféricas está dada por: E(r, )  =[Qd/(4or3)][2cos ˆ r +sen  ˆ]  , donde r>>d. Hallar las expresiones de la fuerza vectorial en un punto de carga unitaria "q". I) Cuando la carga unitaria se encuentra en el punto P(0, 0, z) m. II) Cuando la carga unitaria se encuentra en el punto P(0, y, 0) m. 282.Dado el campo eléctrico E =(4x-2y)ˆ i -(2x+4y)ˆ j (V/m) en el espacio libre, hallar: I) La ecuación de la línea que pase por el punto P(2, 3,-4) m. a) x2-y2=2xy-15 b) y2-x2=2xy-15 c) x2-y2=4xy-19 d) y2-x2=4xy-19 e) x2-y2=xy-9 II) Un vector unitario que especifique la dirección de E en el punto Q(3,-2, 5) m. a) 0,91ˆ i +0,10ˆ j b) 0,97ˆ i +0,16ˆ j c) 0,95ˆ i +0,18ˆ j d) 0,93ˆ i +0,14ˆ j e) 0,99ˆ i +0,12ˆ j 283.En el espacio libre, un campo eléctrico está dada por: E =2xz2 ˆ i +2z(x2+1) ˆ k (V/m). Hallar la ecuación de la línea que pasa por el punto P(1, 3,-1) m. a) x2=z2+4ln x b) z2=x2+4ln x c) x2=z2+2ln x d) z2=x2+2ln x e) x2=z2-4ln x 284.Dado el campo eléctrico, E =20e-5y(cos 5x ˆ i -sen 5xˆ j) en el espacio libre. I) Hallar el módulo de E en el punto P(/6, 0,1, 2) m. a) 12,0 V/m b) 12,2 V/m c) 12,4 V/m d) 12,6 V/m e) 12,8 V/m II) Hallar el vector unitario que establece la dirección de E en el punto P(/6, 0,1, 2) m. 167

Robótica y Cibernética 255 a) 0,87ˆ i +0,50ˆ j b)
-0,87ˆ i +0,50ˆ j c) 0,87ˆ i -0,50ˆ j d) -0,87ˆ i -0,50ˆ j e) 0,83ˆ i +0,57ˆ j III) Hallar la ecuación de la línea que pasa por el punto P(/6, 0,1, 2) m. a) y=(1/3)ln cos 5x+0,15 b) y=(1/5)ln cos 5x+0,15 c) y=(1/3)ln cos 5x+0,13 d) y=(1/5)ln cos 5x+0,19 e) y=(1/5)ln cos 5x+0,13 285.Para campos eléctricos que no cambian con respecto a z en coordenadas cilíndricas, las ecuaciones de las líneas se obtienen resolviendo la ecuación diferencial E /E =d((d). Hallar la ecuación de la línea que pasa por el punto (2, 30o, 0), siendo el campo eléctrico E = cos 2 ˆ  - sen 2 ˆ  . a) 2=3 2 /sen2 b) 2=2 3 /sen2 c) 2=3 2 /cos2 d) 2=2 3 /cos2 e) 2=3 2 /sen4 286.Se tiene un disco delgado de radio "R" y densidad de carga superficial "". ¿A que dis tancia del centro del disco, debe ubicarse una carga unitaria, tal que, la fuerza del disco sea el de una carga puntual? El error no debe ser mayor que el 1 %. a) 8,06R b) 8,26R c) 8,46R d) 8,66R e) 8,86R 287.Un filamento muy delgado en forma de semicírcunferencia de radio R=8 mm y densidad de carga lineal =4 nC/m esta en la mitad superior del plano xy. Hallar la fuerza sobre una carga unitaria "q" ubicada en el centro de la semicircunferencia. (k=9109 Nm2/C2) a) -5ˆ j N b) 5ˆ j N c) -7ˆ j N d) 7ˆ j N e) -9ˆ j N 288.Una distribución de carga =o [1-(r2/b2)] existe en la región 0rb. Esta distribución de carga está rodeada concéntricamente por una capa conductora de radio interior Ri (>b) y exterior Re . Hallar la fuerza ejercida sobre una carga unitaria colocada en todos los pun tos. 289.Dos superficies cilíndricas coaxiales de longitud infinita, r=a, r=b (b>a), tienen densida des superficiales de carga a , y b , respectivamente. I) Hallar el campo eléctrico en todas las regiones. II) ¿Cuál debe ser la razón entre "b" y "a" para que E se anule para r>b? a) a /b b) -a /b c) b /a d) -b /a e) a /2b 290.Hallar el trabajo realizado para trasladar una carga puntual q=+5 C en el campo eléctri co E  yˆ ˆ i x j  desde el punto P1 (1, 2,-4) m hasta el punto P2 (-2, 8,-4) m. I) A lo largo de la parábola y=2x2. a) 82 J b) 84 J c) 86 J d) 88 J e) 90 J 168

Fuerza eléctrica 256 II) A lo largo de la línea
recta que une los puntos P1 y P2 . a) 82 J b) 84 J c) 86 J d) 88 J e) 90 J 291.Hallar el trabajo realizado para trasladar una carga puntual q=+5 C en el campo eléctri co E  yˆ ˆ i x j  desde el punto P1 (1, 2,-4) m hasta el punto P2 (-2, 8,-4) m. I) A lo largo de la parábola y=2x2. a) -40 J b) +40 J c) -30 J d) +30 J e) -20 J II) A lo largo de la línea recta que une los puntos P1 y P2 . a) -50 J b) +50 J c) -40 J d) +40 J e) +60 J 292.Se tiene un filamento muy delgado de longitud "L", densidad de carga lineal "" situado sobre el eje x, con su centro ubicado en el origen de coordenadas. I) Hallar la fuerza ejercida sobre una carga puntual "q" situada en el eje y a la distancia "d" del centro del filamento. II) Evaluar la expresión obtenida en I) para, q=1 C, =8 pC/m, k=9109 Nm2/C2, L=10 cm y d=5 cm. a) 2,04ˆ j N b) 2,24ˆ j N c) 2,44ˆ j N d) 2,64ˆ j N e) 2,84ˆ j N 293.Se tiene una carga puntual Q=-5 mC ubicada en el punto P(4, 0, 0) m y un filamento rectilíneo muy largo de densidad de carga =3 mC/m ubicado a lo largo del eje y. Hallar la fuerza en (mN) sobre una carga q=1 nC ubicada en el punto Q(4, 0, 3). (k=9109 Nm2/C2) a) 27,14ˆ i +4,64 ˆ k b) 27,34ˆ i +4,04 ˆ k c) 27,54ˆ i +4,24 ˆ k d) 27,74ˆ i +4,44 ˆ k d) 27,94ˆ i +4,84 ˆ k 294.Una carga unitaria "q" se ubica a una distancia "d" del centro de un filamento de longi tud "L" (L=4d) y densidad de carga =8 nC/m. Si en ambos extremos del filamento se retira un 2 % de su longitud, ¿En que porcentaje varia la fuerza sobre la carga unitaria? a) 0,54 % b) 0,64 % c) 0,74 % d) 0,84 % e) 0,94 % 295.Un anillo de radio R=10 cm, densidad de carga lineal "" y un disco de radio R=10 cm, densidad de carga superficial "" se encuentran en planos paralelos separados por una dis tancia d=20 cm. Una carga de prueba "q" se ubica en el eje común equidistante del anillo y del disco. ¿Para que razón de las densidades /, la fuerza sobre "q" es nula? a) 12,1 m-1 b) 12,3 m-1 c) 12,5 m-1 d) 12,7 m-1 e) 12,9 m-1 296.Dos anillos muy delgados concéntricos de radios "R+", "R" (<<1), densidades de car ga "+", "-", respectivamente, se encuentran en un mismo plano. I) Hallar aproximadamente la magnitud de la fuerza sobre una carga de prueba "q" situado en el eje de simetría común a la distancia "d" del centro común. II) ¿A que distancia del centro común, la fuerza sobre la carga de prueba "q" es nula? 169

Robótica y Cibernética 257 a) 2,1R b) 2,3R c) 2,5R
d) 2,7R e) 2,9R 297.En la Fig107, la distancia de los puntos A y B al filamento muy delgado de longitud "l" cm, y densidad de carga lineal "" es "d". (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la razón de las magnitudes de la fuerzas (FA /FB ) sobre una carga q=4 nC ubicado en las posiciones A y B, para l=20 cm, d=4 cm, y =8 nC/m. a) 2,03 b) 2,23 c) 2,43 d) 2,63 e) 2,83 II) Hallar la razón de las magnitudes de la fuerzas (FA /FB ) sobre una carga q=4 nC ubicado en las posiciones A y B, para =8 nC/m y l=d. a) 1,59 b) 1,69 c) 1,79 d) 1,89 e) 1,99 III) Hallar la razón de las magnitudes de la fuerzas (FA /FB ) sobre una carga q=4 nC ubicado en las posiciones A y B, para =8 nC/m, y l>>d. a) 1,2 b) 1,4 c) 1,6 d) 1,8 e) 2,0 Fig107 Fig108 298.En la Fig108, la distancia entre los centros de las esferas hueca y compacta de radios R1 =10 cm, R2 , y densidades de carga =4 pC/m2, =8 nC/m3 es d=4 cm. Hallar el radio R2 si la fuerza sobre la carga puntual q=2 nC equidistante de los centros de las esferas es nula. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,04 cm b) 1,24 cm c) 1,44 cm d) 1,64 cm e) 1,84 cm 299.En cierta región del espacio el campo eléctrico es, E =(3x2+y)ˆ i +xˆ j kV/m . Hallar el tra bajo realizado al desplazar una carga de q=-2 C desde (0, 5, 0) m hasta (2,-1, 0) m. I) Siguiendo la trayectoria (0, 5, 0)(2, 5, 0)(2,-1, 0). a) 10 J b) 11 J c) 12 J d) 13 J e) 14 J II) Siguiendo la trayectoria de la recta y=5-3x. a) 1 J b) 2 J c) 3 J d) 4 J e) 5 J 300.Una carga unitaria "q" se encuentra a la distancia d=l/2 del centro de un filamento muy delgado de longitud l=20 cm, densidad de carga =40 pC/m, que se encuentra a lo largo d 0 B  d l/2 l/2 A q  q d/2 d/2 R1 R2  170

Fuerza eléctrica 258 del eje x con su centro en
el origen 0. Hallar el cambio que experimenta la fuerza eléctrica sobre la carga "q", si se dobla el filamento en dos partes iguales, manteniendo el centro del filamento resultante en el origen 0 y a lo largo del eje x. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,15ˆ j N b) 1,25ˆ j N c) 1,35ˆ j N d) 1,45ˆ j N e) 1,55ˆ j N 301.Una carga puntual q=4 pC se encuentra a la distancia r=22 cm del centro de una esfera compacta de radio R=20 cm, densidad de carga =8 nC/m3. Hallar el radio del agujero concéntrico que se debe hacer a la esfera compacta para que la fuerza eléctrica sobre "q" disminuya a la cuarta parte de la inicial. (k=9109 Nm2/C2) a) 18,17 cm b) 18,37 cm c) 18,57 cm d) 18,77 cm e) 18,97 cm 302.En la Fig109, hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre los dipolos D1 , D2 paralelos de cargas Q=8 nC, separados por la distancia d=2 mm. (k=9109 Nm2/C2) a) 45,24 mN b) 46,24 mN c) 47,24 mN d) 48,24 mN e) 49,24 mN 303.En la Fig110, la distancia de separación entre los centros del anillo de radio R=10 cm, densidad de carga =8 nC/m, y el dipolo eléctrico de cargas Q=4 pC, d=2 mm es a=10 cm. I) Hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre el anillo y el dipolo, hasta una aproximación de primer orden. (k=9109 Nm2/C2) a) 91,5 pN b) 93,5 pN c) 95,5 pN d) 97,5 pN e) 99,5 pN II) Hallar el cambio que experimenta la fuerza eléctrica, cuando el dipolo se gira en 1800 alre dedor de su centro 0. a) 30,2 pN b) 32,2 pN c) 34,2 pN d) 36,2 pN e) 38,2 pN Fig109 Fig110 304.En la Fig111, el alambre delgado en forma de tres cuartos de circunferencia de radio R=10 cm, tiene una densidad de carga =8 nC/m. (k=9109 Nm2/C2) 2d d +Q +Q -Q -Q d D1 D2 a 0 d +Q R -Q  171

Robótica y Cibernética 259 I) Hallar la fuerza eléctrica (en
N) sobre la carga puntual q=4 nC ubicado en 0. a) 1,19ˆ i +1,19ˆ j b) -1,19ˆ i -1,19ˆ j c) 1,19ˆ i -1,19ˆ j d) -1,19ˆ i +1,19ˆ j e) 1,19ˆ j II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual "q", respecto del eje x. a) 45o b) 90o c) 135o d) 225o e) 315o 305.En la Fig112, el alambre delgado en formar de triángulo isósceles de lados a=2 cm tiene una densidad de carga =8 nC/m. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=0,4 nC ubicada en el vértice opuesto al origen 0. (k=9109 Nm2/C2) a) 4,12 N b) 4,32 N c) 4,52 N d) 4,72 N e) 4,92 N Fig111 Fig112 306.En la Fig113, hallar la magnitud de la fuerza de interacción entre el filamento de longi tud l=20 cm, densidad de carga =8 nC/m, y el dipolo eléctrico de cargas Q=60 nC, se paradas por la distancia d=2 mm, y cuyo centro 0 esta a la distancia a=4 cm del extremo derecho del filamento. (k=9109 Nm2/C2). a) 4,50 N b) 4,75 N c) 5,00 N d) 5,25 N e) 5,50 N 307.En la Fig114, la esferita de masa m=50 g se encuentra en el centro de la esfera de radio R=20 cm que contiene al casquete esférico de altura h=10 cm, y densidad de carga super ficial =80 pC/m2. Hallar la tensión en la cuerda que sostiene a la esferita. (g=9,8 m/s2, k=9109 Nm2/C2). a) 2,19 N b) 2,39 N c) 2,59 N d) 2,79 N e) 2,99 N 308.En la Fig115, la carga puntual q=0,4 nC se encuentra a la distancia d=4 cm del centro de la espira cuadrada de lados 2a=20 cm, densidad de carga = 8nC/m. ¿Cuál debe ser el radio "R" de la espira circular de la misma densidad, que al reemplazar a la espira cuadra da, la fuerza sobre la carga puntual "q" situada a la misma distancia, sea la misma? a) 21,4 cm b) 22,4 cm c) 23,4 cm d) 24,4 cm e) 25,4 cm x  y q R R a  q a 0 x y 172

Fuerza eléctrica 260 Fig113 Fig114 309.En la Fig116, las cuatro
partes del anillo de radio R=20 cm, tienen densidades de carga , 2, 3, 4, con =8 nC/m, respectivamente. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=4 nC, ubicada en el centro del anillo. (k=9109 Nm2/C2). a) 5,16ˆ j (N) b) 5,36ˆ j (N) c) 5,56ˆ j (N) d) 5,76ˆ j (N) e) 5,96ˆ j (N) Fig115 Fig116 310.Se tiene un disco metálico muy delgado de radio R=20 cm, densidad de carga superficial =8 nC/m2, que al calentarse aumenta su radio en un 1 %. (k=9109 Nm2/C2). I) Hallar el cambio porcentual que experimenta la densidad de carga superficial del disco. a) -1,57 % b) ) -1,67 % c) ) -1,77 % d) ) -1,87 % e) ) -1,97 % II) Hallar el cambio porcentual que experimenta la fuerza eléctrica sobre una carga de prueba "qo ", situado en el eje de simetría del disco, a la distancia "R/2" de su centro. a) -1,16 % b) -1,36 % c) -1,56 % d) -1,76 % e) -1,96 % 311.En la Fig117, el disco metálico muy delgado de radio R=20 cm, tiene densidad de carga no uniforme . Si la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo " ubica -Q d a +Q l  x 0  Q h g r 2a  d 2a q x q R  y 2 3 4 R 173

Robótica y Cibernética 261 da a la distancia d=20 cm
es nula, hallar el ancho "s" del disco cargado positivamente. a) 7,0 cm b) 7,2 cm c) 7,4 cm d) 7,6 cm e) 7,8 cm 312.En la Fig118, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica que ejercen los filamentos idénti cos de longitudes l=20 cm, y densidades de carga lineal =8 nC/m, sobre la carga puntual q=6 nC, ubicada a la distancia d=20 cm. (k=9109 Nm2/C2). a) 1,06 N b) 1,26 N c) 1,46 N d) 1,66 N e) 1,86 N Fig117 Fig118 313.Un alambre delgado en forma de V tiene longitud L=40 cm, y densidad de carga lineal =8 nC/m. Una carga "qo " esta en el punto medio de la linea que une sus extremos. I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual qo =6 nC. a) 8,04 N b) 8,24 N c) 8,44 N d) 8,64 N e) 8,84 N II) Donde y a que distancia debe ubicarse otra carga puntual q=6 nC, para anular la fuerza eléctrica que ejerce el anillo sobre la carga puntual inicial "q". a) 5,52 cm b) 5,72 cm c) 5,92 cm d) 6,12 cm e) 6,32 cm 314.En la Fig119, las mitades de los anillos delgados concéntricos de radios R=25 cm y r= 12,5 cm cm, tienen densidades de carga lineal de = 8 nC/m. Hallar la fuerza eléctrica (en N) sobre la carga puntual q=4 nC, ubicada en el centro común. (k=9109 Nm2/C2). a) 4,01ˆ j b) 4,21ˆ j c) 4,41ˆ j d) 4,61ˆ j e) 4,81ˆ j 315.En la Fig120, el diapasón metálico de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal de =8 nC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=4 nC, ubi cado en el centro del diapasón. (k=9109 Nm2/C2). a) 3,0 N b) 3,2 N c) 3,4 N d) 3,6 N e) 3,8 N 316.En la Fig121, las mitades del filamento delgado tienen longitud l=50 cm, y densidades de carga lineal =0,4 nC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de d q  r R 0 - F=0 s l 0 q  d l l  174

Fuerza eléctrica 262 prueba qo , situado a la distancia
d=50 cm del filamento. (k=9109 Nm2/C2). a) 4,0qo b) 4,2qo c) 4,4qo d) 4,6qo e) 4,8qo Fig119 Fig120 317.En la Fig122, el alambre delgado en forma de L tiene una longitud de l=40 cm, y una densidad de carga lineal de =0,4 nC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba qo , equidistante del alambre. (k=9109 Nm2/C2, a=10 cm). a) 70qo b) 72qo c) 74qo d) 76qo e) 78qo Fig121 Fig122 318.En la Fig123, hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", ejer cida por el alambre delgado de radio R=25 cm, densidad de carga lineal =80 pC/m. a) 4,07qo b) 4,27qo c) 4,47qo d) 4,67qo e) 4,87qo 319.En la Fig124, hallar la magnitud de la tensión en la cuerda que sostiene a la esferita muy pequeña de carga "qo ", que se encuentra a d=5 cm de la base superior del cilindro de pare des muy delgadas, de radio R=5 cm, altura h=20 cm, y densidad de carga superficial = 80 pC/m2. Despreciar el peso de la esferita. (k=9109 Nm2/C2). a) 1,17qo b) 1,37qo c) 1,57qo d) 1,77qo e) 1,97qo + R q + - - r q R  R + - d qo 2l  l/2  a a qo l/2 175

Robótica y Cibernética 263 Fig123 Fig124 320.En la Fig125, la
carga de prueba "qo " se encuentra en el centro del cascarón esférico de radio R=20cm, densidad de carga superficial =8 nC/m2. Hallar el cambio que experimen ta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre "qo ", cuando se le quita al cascarón un segmen to esférico de altura h=2,5 cm. (k=9109 Nm2/C2). a) 51qo b) 53qo c) 55qo d) 57qo e) 59qo 321.En la Fig126, hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléc trica sobre la carga de prueba "qo ", cuando este se acerca al filamento cargado de gran lon gitud y densidad de carga =80 pC/m, desde la posición inicial r1 =1,0 hasta la posición fi nal r2 =0,5 m. (k=9109 Nm2/C2). a) 50 % b) 75 % c) 100 % d) 125 % e) 25 % Fig125 Fig126 322.En la Fig127, el alambre delgado en forma de triángulo equilátero de arista a=30 cm, densidad de carga lineal =80 pC/m, se encuentra en la base del tetraedro. Hallar la mag nitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ". (k=9109 Nm2/C2). a) 7,04qo b) 7,24qo c) 7,44qo d) 7,64qo e) 7,84qo 323.En la Fig128, los lados de longitud a=25 cm del alambre delgado en forma de cuadrado, tienen densidades de carga , 2, 3, 4 (=80 pC/m). Hallar la magnitud de la fuerza e x + qo R y R - h  qo R d h qo R  0  r2 qo r1   176

Fuerza eléctrica 264 léctrica sobre la carga de prueba "qo
", ubicada en el centro. (k=9109 Nm2/C2). a) 21qo b) 23qo c) 25qo d) 27qo e) 29qo Fig127 Fig128 324.En la Fig129, la esfera compacta de radio R=10 cm, densidad de carga volumétrica =8 nC/m3, presenta una cavidad esférica de radio r=4 cm. La distancia entre los centros de la esfera y la cavidad es a=6 cm, y =60o. (k=9109 Nm2/C2). I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", ubicada a la distan cia d=12 cm del centro de la esfera. (k=9109 Nm2/C2). a) 15,62qo b) 16,62qo c) 17,62qo d) 18,62qo e) 19,62qo II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba qo . a) 8o 11" 9,7" b) 8o 31" 9,7" c) 8o 51" 9,7" d) 8o 71" 9,7" e) 8o 91" 9,7" Fig129 Fig130 325.En la Fig130, la placa delgada en forma de cuadrante de círculo tiene radio R=20 cm, y densidad de carga superficial =0,8 nC/m2. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", ubicada a la distancia d=20 cm. (k=9109 Nm2/C2). a) 3,15qo b) 3,35qo c) 3,55qo d) 3,75qo e) 3,95qo  qo 2 3 4 qo a a a a a  d 0 a  qo  qo 0 R R d   177

Robótica y Cibernética 265 326.En la Fig131, el sistema de
cinco cargas puntuales Q=4 pC se ubican en el eje-x a la misma distancia a=5 cm entre ellas. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", ubicada a la distancia a=5 cm del eje-x. (k=9109 Nm2/C2). a) 6,0qo b) 6,2qo c) 6,4qo d) 6,6qo e) 6,8qo 327.En la Fig132, en el centro del anillo delgado de radio R=1 cm, y carga eléctrica Q=-4 C, se encuentra una carga puntual Q=+4 C. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", ubicada a la distancia x=100 cm del centro del anillo. a) 5,0qo b) 5,2qo c) 5,4qo d) 5,6qo e) 5,8qo Fig131 Fig132 328.En la Fig133, el alambre delgado en forma de semicircunferencia de radio R=20 cm, tie ne una densidad de carga lineal de =80 pC/m. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", ubicada en a la distancia d=20 cm del centro 0 del alambre. (k=9109 Nm2/C2). a) -8,06qo ˆ j b) -8,26qo ˆ j c) -8,46qo ˆ j d) -8,66qo ˆ j (N) e) -8,86qo ˆ j Fig133 Fig134 329.En la Fig134, en el alambre delgado de densidad de carga =80 pC/m, la parte curva en forma de semicircunferencia tiene radio R=20 cm y la parte recta longitud l=40 cm. I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ". P Q Q Q Q Q a a a a a X Y qo qo +Q -Q x R d R R 0  j i qo R qo l x  R l y R 178

Fuerza eléctrica 266 a) -11,18qo ˆ j (N) b) -11,38qo
ˆ j (N) c) -11,58qo ˆ j (N) d) -11,78qo ˆ j (N) e) -11,98qo ˆ j (N) II) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre qo , al retirar el alambre situado a la derecha. a) -12,08 % b) -12,28 % c) -12,48 % d) -12,68 % e) -12,88 % III) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre "qo ", después de girar el alambre curvo en 90o, respecto de los alambre rectilíneos. a) 8,03qo b) 8,23qo c) 8,43qo d) 8,63qo e) 8,83qo 330.En la Fig135, en tres vértices del cuadrado de lados a=20 cm, se encuentran cargas pun tuales de Q1 =2 nC, Q2 =3 nC y Q4 =4 nC. (k=9109 Nm2/C2). I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ". a) 13,11qo b) 13,31qo c) 13,51qo d) 13,71qo e) 13,91qo II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre qo , correspondiente a la permutación de dos cargas que generan la mayor fuerza eléctrica sobre qo . a) 13,08qo b) 13,28qo c) 13,48qo d) 13,68qo e) 13,88qo III) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre "qo ", en esta permutación de dos cargas. a) 1,08 % b) 1,28 % c) 1,48 % d) 1,68 % e) 1,88 % Fig135 Fig136 331.En la Fig136, la esferita de peso despreciable y carga muy pequeña "qo " se encuentra en el centro de la base superior del cilindro, suspendida de la cuerda. El cilindro hueco de radio R=10 cm, longitud l=20 cm, tiene densidad de carga superficial =80 pC/m2. I) Hallar la tensión en la cuerda que sostiene a la esferita de carga qo . Q1 a qo a Q2 Q3  qo l R 179

Robótica y Cibernética 267 a) 2,1qo b) 2,3qo c) 2,5qo
d) 2,7qo e) 2,9qo II) Hallar la tensión en la cuerda, después de quitar la mitad inferior del cilindro, mantenién dose igual la densidad de carga superficial "". a) 1,13qo b) 1,33qo c) 1,53qo d) 1,73qo e) 1,93qo 332.En la Fig137, la carga de prueba "qo " se encuentra a la distancia d=2 cm del filamento me tálico muy delgado de longitud l=10 cm. ¿En cuánto debe aumentar (A) o disminuir (D), la temperatura del filamento, para que el cambio porcentual de la magnitud de la fuerza eléctrica sobre "qo " sea del 0,02 %. (k=9109 Nm2/C2). a) 11,8 oC (A) b) 11,8 oC (D) c) 13,8 oC (A) d) 13,8 oC (D) e) 15,8 oC (A) 333.En la Fig138, la carga de prueba "qo " inicialmente se encontraba en el centro 0 del disco delgado de radio R=9 3 cm, y densidad de carga superficial =80 pC/m2. Hallar la distan cia "d", si la magnitud de la fuerza eléctrica sobre "qo " disminuye a la mitad de la inicial. (k=9109 Nm2/C2). a) 7,0 cm b) 7,5 cm c) 8,0 cm d) 8,5 cm e) 9,0 cm Fig137 Fig138 334.En la Fig139, las densidades de carga lineal de las partes rectas y curva del alambre, son: =+80 pC/m, y =-80 pC/m. Hallar la magnitud de la fuerza que ejerce el alambre sobre la carga de prueba qo . (R=20 cm, k=9109 Nm2/C2). a) -12,8qo ˆ j b) -13,2qo ˆ j c) -13,6qo ˆ j d) -14,0qo ˆ j e) -14,4qo ˆ j 335.En la Fig140, el alambre delgado en forma de cuadrante de circunferencia de radio R= 20 cm, y densidad de carga lineal =80 pC/m, se encuentra en el plano xy. Hallar la mag nitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ". (k=9109 Nm2/C2) a) 5,92qo b) 6,22qo c) 6,52qo d) 6,82qo e) 7,12qo 336.En la Fig141, en el alambre delgado en forma de triángulo equilátero de lados a=20 cm,  qo d l/2 l/2 d qo  R 0 180

Fuerza eléctrica 268 las aristas laterales tienen densidades de carga
=-8 pC/m, y la base =+8 pC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", ubicado en el ortocentro del triángulo. (k=9109 Nm2/C2) a) 4,12qo b) 4,32qo c) 4,52qo d) 4,72qo e) 4,92qo Fig139 Fig140 337.En la Fig142, el alambre delgado de densidad de carga lineal =810-11 C/m, formado por dos cuadrantes de circunferencia esta inscrito en el cuadrado de lados R=20 cm. I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ". a) 20,08qo b) 21,08qo c) 22,08qo d) 23,08qo e) 24,08qo II) ¿Qué porcentaje representa la magnitud de la fuerza eléctrica creada por el cuadrante in ferior, respecto de la magnitud de la fuerza total sobre "qo ". a) 71,85 % b) 72,85 % c) 73,85 % d) 74,85 % e) 75,85 % Fig141 Fig142 338.En la Fig143, el alambre delgado en forma de segmento de circunferencia tiene radio R=20 cm, y densidad de carga lineal =810-11 C/m, siendo =30o. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba qo , ubicado en la posi ción mostrada. - qo R R R + x y R 0 qo R  R x y z - qo - + qo  R R 181

Robótica y Cibernética 269 a) 17,19qo b) 17,39qo c) 17,59qo
d) 17,79qo e) 17,99qo II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba qo , ubicado en el origen 0 de coordenadas. a) 6,04qo b) 6,24qo c) 6,44qo d) 6,64qo e) 6,84qo III) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre qo . a) -64,13 % b) -64,33 % c) -64,53 % d) -64,73 % e) -64,93 % Fig143 Fig144 339.En la Fig144, hallar la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", debido a los tres a lambres idénticos en forma de arco de circunferencia de radio R=20 cm, densidad de car ga lineal =80 pC/m, y sabiendo que =36o. (k=9109 Nm2/C2) a) -9,02qo ˆ j b) -9,22qo ˆ j c) -9,42qo ˆ j d) -9,62qo ˆ j e) -9,82qo ˆ j 340.En la Fig145, el alambre delgado en forma de semi circunferencia de radio R=20 cm, tie ne una densidad de carga lineal de =810-11 C/m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba qo , ubicado en el plano que contiene al alambre, en la posición mostrada. a) 5,17qo b) 5,37qo c) 5,57qo d) 5,77qo e) 5,97qo II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba qo , ubicado en el origen 0 de coordenadas. a) 7,00qo b) 7,20qo c) 7,40qo d) 7,60qo e) 7,80qo III) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre qo . a) 25,26 % b) 26,26 % c) 27,26 % d) 28,26 % e) 29,26 % 341.En la Fig146, la esferita muy pequeña de carga "qo ", masa "m" esta a la distancia "a/2", sobre la perpendicular que pasa por el centro 0 de la placa muy delgada cuadrada de lados 0 x y qo R   0 x y qo R     182

Fuerza eléctrica 270 "a", y densidad de carga superficial =80
pC/m2, sostenida por la cuerda delgada (g=9,81 m/s2, k=9109 Nm2/C2). I) Hallar la tensión "T" en la cuerda que sostiene a la esferita. a) 2,13qo b) 2,33qo c) 2,53qo d) 2,73qo e) 2,93qo II) Hallar la masa "m" de la esferita de carga eléctrica "qo ". a) 0,114qo b) 0,134qo c) 0,154qo d) 0,174qo e) 0,194qo Fig145 Fig146 342.En la Fig147, el alambre delgado en forma de semi circunferencia de radio R=20 cm, tie ne densidad de carga lineal =80 pC/m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", situada a la distan cia d=40 cm. a) 3,12qo b) 3,32qo c) 3,52qo d) 3,72qo e) 3,92qo II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", respecto de la hori zontal (eje-x). a) 301o 11' 11" b) 321o 11' 11" c) 341o 11' 11" d) 361o 11' 11" e) 381o 11' 11" 343.En la Fig148, las cargas puntuales "Q" se encuentran en los centros de las esferas idénti cas aislantes, separados por la distancia d=20 mm. Las esferas están unidas mediante un a lambre delgado de diámetro de sección D=8 m, y de esfuerzo de rotura r =0,3 GN/m2. Hallar la magnitud de las cargas puntuales "Q". (k=9109 Nm2/C2) a) 21,9 nC b) 23,9 nC c) 25,9 nC d) 27,9 nC e) 29,9 nC 344.En la Fig149, en el alambre delgado de densidad de carga lineal =80 pC/m, el radio de la semicircunferencia mayor es R=20 cm . (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ". a) 21,02qo b) 22,02qo c) 23,02qo d) 24,02qo e) 25,02qo 0  j i qo R R R a qo g a a/2  0 183

Robótica y Cibernética 271 II) Hallar la dirección de la
fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ". a) 265o 51' 8,7" b) 266o 51' 8,7" c) 267o 51' 8,7" d) 268o 51' 8,7" e) 269o 51' 8,7" Fig147 Fig148 345.En la Fig150, el alambre delgado de densidad de carga lineal =80 pC/m, está formado por dos alambres en forma de semicircunferencias de radio R=20 cm. (k=9109 Nm2/C2). I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ". a) 6,16qo b) 6,36qo c) 6,56qo d) 6,76qo e) 6,96qo II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga "qo ", medida respecto del eje x. a) 300o 21' b) 302o 21' c) 304o 21' d) 306o 21' e) 308o 21' 346.En la Fig151, en el centro del alambre delgado en forma de semicircunferencia de radio R=20 cm, densidad de carga lineal =80 pC/m, se encuentra una carga de prueba "qo ". Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga "qo ", cuando el alambre se dobla por la mitad, girando alrededor del eje y, en 90o. a) 21,5 % b) 22,5 % c) 23,5 % d) 24,5 % e) 25,5 % Fig149 Fig150 347.En la Fig152, en el alambre delgado de densidad de carga lineal =80 pC/m, las partes rectas tienen longitud de l=20 cm, y la parte curva un radio de R=20 cm. Hallar la magni tud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ". (k=9109 Nm2/C2) a) 7,04qo b) 7,24qo c) 7,44qo d) 7,64qo e) 7,84qo Q Q d  0 qo R R qo R  y x 0 y qo  R d R 184

Fuerza eléctrica 272 348.En la Fig153, el alambre delgado en
forma de "H" tiene una densidad de carga lineal = 80 pC/m, y a=20 cm. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", situado so bre el eje y. (k=9109 Nm2/C2) a) 14,13qo ˆ j b) 14,33qo ˆ j c) 14,53qo ˆ j d) 14,73qo ˆ j e) 14,93qo ˆ j Fig151 Fig152 349.En la Fig154, la raqueta metálica de tenis esta formado por un anillo de radio R=20 cm, y un mango de longitud l=20 cm, ambos con una densidad de carga lineal de =80 pC/m. I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ". a) 8,11qo b) 8,31qo c) 8,51qo d) 8,71qo e) 8,91qo II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga "qo ", medida respecto del eje x po sitivo. a) 92o 11' b) 93o 11' c) 94o 11' d) 95o 11' e) 96o 11' 350.En la Fig155, el alambre delgado esta formado por cuadrantes de circunferencia de ra dio R=20 cm. La mitades superior e inferior tienen densidades de carga de =80 pC/m. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ". (k=9109 Nm2/C2) a) -42,23qo ˆ j b) -43,23qo ˆ j c) -44,23qo ˆ j d) -45,23qo ˆ j e) -46,23qo ˆ j Fig153 Fig154  0 qo R x y 90o qo  R R (1) (1) (2) (1) (3) (1) x y a 0 y x a (3) qo a R  0 R qo R 185

Robótica y Cibernética 273 351.En la Fig156, el alambre delgado
formado por tres cuadrantes de circunferencia de radio R=20 cm, y densidad de carga lineal =80 pC/m, esta contenida en los planos XY, XZ y YZ, respectivamente. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ". (k=9109 Nm2/C2) a) 12,07qo b) 12,27qo c) 12,47qo d) 12,67qo e) 12,87qo 352.En la Fig157, el alambre delgado en forma de triángulo equilátero de lados l=20 2 cm, tiene una densidad de carga lineal =80 pC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica so bre la carga de prueba "qo ", ubicada en el origen de coordenadas 0. (k=9109 Nm2/C2) a) 17,03qo b) 17,23qo c) 17,43qo d) 17,63qo e) 17,83qo Fig155 Fig156 353.En la Fig158, el cucharón metálico esta formado por una taza semiesférica de radio R=10 cm, densidad de carga superficial =80 P/m2, y un mango recto de longitud l=30 cm y densidad de carga lineal =80 pC/m. I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", situada en el cen tro de la taza. a) 5,05qo b) 5,25qo c) 5,45qo d) 5,65qo e) 5,85qo II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica, sobre la carga "qo ", medida respecto del eje x positivo. a) 155o 17' b) 156o 17' c) 157o 17' d) 158o 17' e) 159o 17' 354.En la Fig159, las láminas delgadas muy grandes de densidades de carga superficiales =200 pC/m2, se cortan formando un ángulo de =60o, y dividiendo el espacio en cuatro zonas. Hallar la razón r=F1 /F2 de las magnitudes de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ", ubicada primero en la zona "1" y luego en la zona "2". a) 5,17 b) 5,37 c) 5,57 d) 5,77 e) 5,97 355.En la Fig160, la superficie metálica delgada en forma de octante de esfera de radio R= qo + - R R R R x z  qo y R R R 186

Fuerza eléctrica 274 20 cm, tiene una densidad de carga
superficial =80 pC/m2. Hallar la magnitud de la fuer za eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ", ubicada en el origen 0 de coordenadas. a) 9,0qo b) 9,2qo c) 9,4qo d) 9,6qo e) 9,8qo Fig157 Fig158 356.En la Fig161, en el alambre delgado mostrado de densidad de carga lineal =80 pC/m, las partes rectas tienen longitudes de 40 cm y 20 cm, en tanto, el radio de la parte curva es de R=20 cm. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ". a) 9,1qo b) 9,3qo c) 9,6qo d) 9,5qo e) 9,9qo II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga "qo ", medida respecto del eje x po sitivo. a) 275o 47,1' b) 276o 47,1' c) 277o 47,1' d) 278o 47,1' e) 279o 47,1' Fig159 Fig160 357.En la Fig162, el disco metálico delgado de radio R=20 cm, que presenta un agujero de forma cuadrada, tiene una densidad de carga superficial de =8 nC/m2. Hallar la magni tud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ", situada a la distancia a=10 2 cm, del centro 0 del disco. (k=9109 Nm2/C2) a) 40,4qo b) 41,4qo c) 42,4qo d) 43,4qo e) 44,4qo x z  qo y l l l 30cm  qo 10cm x y  + - qo I II y z x R R R  qo 187

Robótica y Cibernética 275 358.En la Fig163, la superficie del
cono hueco de radio de base R=20 cm, altura H=20 cm, tiene una densidad de carga superficial de =80 pC/m2. Hallar la magnitud de la fuerza e léctrica, sobre la carga de prueba "qo ", situada en el centro de la base. (k=9109 Nm2/C2) a) 2,01qo b) 2,21qo c) 2,41qo d) 2,61qo e) 2,81qo Fig161 Fig162 359.En la Fig164, el alambre delgado en forma de semicircunferencia de radio R=20 cm, tie ne una densidad de carga lineal de =80 pC/m. Una carga de prueba "qo " se coloca prime ro en A y luego en B. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo " en la posición A. a) -12,44qo ˆ j b) +12,44qo ˆ j c) -12,66qo ˆ j d) +12,66qo ˆ j e) -12,88qo ˆ j II) Hallar la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo " en la posición B. a) 13,16qo ˆ j b) 13,36qo ˆ j c) 13,56qo ˆ j d) 13,76qo ˆ j e) 13,96qo ˆ j III) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", cuando pasa de A hacia B. a) 8,09 % b) 8,29 % c) 8,49 % d) 8,69 % e) 8,89 % 360.En la Fig165, la placa rectangular delgada de lados b=40 cm, a=20 cm, tiene una densi dad de carga superficial de =800 pC/m2. Una carga de prueba "qo " se encuentra sobre el eje z, a la distancia z=10 cm del centro de la placa. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ". a) 2,02qo b) 2,22qo c) 2,42qo d) 2,62qo e) 2,82qo II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre "qo ", cuando b. a) 27,09qo b) 27,29qo c) 27,49qo d) 27,69qo e) 27,89qo III) Hallar el aumento que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", respecto de su valor inicial. qo 40cm  R R 20cm y x qo R 0 a R 188

Fuerza eléctrica 276 a) 10,5 veces b) 11,5 veces c)
12,5 veces d) 13,5 veces e) 14,5 veces Fig163 Fig164 361.En la Fig166, el alambre delgado en forma de parábola de ecuación y=x2, tiene una den sidad de carga lineal de =80 pC/m. Hallar la componente en la dirección del eje y, de la fuerza eléctrica ejercida sobre la carga de prueba "qo ". (k=9109 Nm2/C2, a=10 cm) a) -8,04qo ˆ j b) -8,24qo ˆ j c) -8,44qo ˆ j d) -8,64qo ˆ j e) -8,84qo ˆ j Fig165 Fig166 362.En la Fig167, el anillo delgado de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal no uniforme, dada por: =o (5sen2-4cos3), donde o =80 pC/m La carga de prueba "qo " se encuentra en el eje z a la distancia z=20 cm del centro del anillo. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ". a) 21,3qo b) 22,3qo c) 23,3qo d) 24,3qo e) 25,3qo II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", medida respecto del eje x positivo. a) 55o 2,3' b) 56o 2,3' c) 57o 2,3' d) 58o 2,3' e) 59o 2,3' III) Hallar la carga eléctrica total del anillo. R qo  H 0 qo R   x y R/2 R/2 A B z qo 0 b a x 0  qo y a a2 y=x2 189

Robótica y Cibernética 277 a) 0,15 nC b) 0,20 nC
c) 0,25 nC d) 0,30 nC e) 0,35 nC IV) Hallar la densidad de carga lineal media del anillo. a) 200 pC/m b) 210 pC/m c) 220 pC/m d) 230 pC/m e) 240 pC/m V) Hallar magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga "qo ", debida a la densidad media "m " del anillo. a) 19,19qo b) 19,39qo c) 19,59qo d) 19,79qo e) 19,99qo VI) Hallar el cambio porcentual que representa la fuerza eléctrica sobre "qo ", debida a la densi dad de carga media "m ", respecto de la fuerza inicial. a) -12,24 % b) -13,24 % c) -14,24 % d) -15,24 % e) -16,24 % 363.En la Fig168, la superficie del cono hueco truncado de radios de base a=40 cm, b=20 cm, altura H=20 cm, tiene una densidad de carga superficial de =80 nC/m2. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba ubicada en el centro de la base mayor. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,12qo b) 1,32qo c) 1,52qo d) 1,72qo e) 1,92qo Fig167 Fig168 364.En la Fig169, en el alambre formado por tres cuadrantes de circunferencia, el radio de los cuadrantes menores es de R=20 cm, y la densidad del alambre es de =80 pC/m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ". a) 10,11qo b) 10,31qo c) 10,51qo d) 10,71qo e) 10,91qo II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", medida respecto del eje x positivo. a) 351o 43' 43" b) 352o 43' 43" c) 353o 43' 43" d) 354o 43' 43" e) 355o 43' 43" 0 z qo R z y x  b a H  qo 190

Fuerza eléctrica 278 365.En la Fig170, a la esfera compacta
de radio R=20 cm, y densidad de carga volumétrica de =800 pC/m3, se le ha practicado en la parte superior una cavidad semiesférica de radio r=1 cm. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", ubicada en el centro de la base de la cavidad. (k=9109 Nm2/C2) a) 5,18qo b) 5,38qo c) 5,58qo d) 5,78qo e) 5,98qo Fig169 Fig170 366.En la Fig171, los tres filamentos rectilíneos paralelos y espaciados igualmente, tienen longitudes de l=40 cm, y densidades de carga lineal de =80 pC/m. ¿Para qué distancia de separación entre los filamentos cargados negativamente, la fuerza neta sobre la carga de prueba "qo ", situada a la distancia d=10 cm del centro del filamento positivo, es nula? a) 18,04 cm b) 18,24 cm c) 18,44 cm d) 18,64 cm e) 18,84 cm 367.En la Fig172, las placas cuadradas delgadas de lados a=40 cm, y densidades de carga su perficial =80 pC/m2, se encuentran en los planos XY, XZ, YZ. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ", equidistante de las placas d=20 cm. a) 2,01qo b) 2,21qo c) 2,41qo d) 2,61qo e) 2,81qo Fig171 Fig172 R qo R   0 qo R - 0 qo - D - + d l x qo 0 y z    a a a a a a 191

Robótica y Cibernética 279 368.En la Fig173, la placa delgada
cuadrada de lados 2a=40 cm, tiene una densidad de carga superficial =800 pC/m2. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prue ba "qo ", ubicada a la distancia a=20 cm de la placa, y en el plano que lo contiene. a) 4,14qo b) 4,34qo c) 4,54qo d) 4,74qo e) 4,94qo 369.En la Fig174, con dos alambre idénticos de la misma longitud l=40 cm, se hace un anillo y una espira cuadrada, y se les suministra la misma densidad de carga lineal =80 pC/m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre una carga de prueba "qo ", ubicada en el eje de simetría perpendicular al plano del anillo, a una distancia d=40 cm de su centro. a) 675,63qo b) 676,63qo c) 677,63qo d) 678,63qo e) 679,63qo II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre una carga de prueba "qo ", ubicada en el eje de simetría perpendicular al plano de la espira, a una distancia d=40 cm de su centro. a) 31,59qo b) 32,59qo c) 33,59qo d) 34,59qo e) 35,59qo III) Hallar la razón r= Fa /Fc , de las magnitudes de las fuerzas ejercidas por el anillo (Fa ) y la espira cuadrada (Fc ). a) 15,6 b) 16,6 c) 17,6 d) 18,6 e) 19,6 Fig173 Fig174 370.En la Fig175, el anillo de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal de =80 pC/m. Una carga de prueba "qo ", se encuentra en el eje de simetría del anillo a la distancia z=10 cm de su centro. Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuer za eléctrica sobre "qo ", cuando el anillo gira 90o alrededor del eje y. a) -3,18 % b) -3,38 % c) -3,58 % d) -3,78 % e) -3,98 % 371.En la Fig176, la placa delgada cuadrada de lados "2a" tiene densidad de carga superfi cial de =810-10 C/m2. (k=9109 Nm2/C2, 2a=40 cm) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", ubicada a la distan cia d=20 cm del centro de la placa.  a 0 2a 2a qo x y 0 z qo R z y x  192

Fuerza eléctrica 280 a) 15,07qo b) 15,27qo c) 15,47qo d)
15,67qo e) 15,87qo II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", después de haberle practicado un agujero circular concéntrico de radio r=5 cm. a) 13,12qo b) 13,32qo c) 13,52qo d) 13,72qo e) 13,92qo III) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ". a) -8,16 % b) -8,36 % c) -8,56 % d) -8,76 % e) -8,96 % Fig175 Fig176 372.En la Fig177, la placa metálica delgada en forma de triángulo rectángulo de catetos a= 20 cm, tiene una densidad de carga superficial de  800 pC/m2. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ", ubicada en el punto P. (k=9109 Nm2/C2, d= 2 a/2, M punto medio de la hipotenusa) a) 3,12qo b) 3,42qo c) 3,72qo d) 4,02qo e) 4,32qo 373.La ecuación de una superficie plana muy grande es –x + 3y – 6z = 6 m, y tiene una densi dad de carga superficial de =0,53 nC/m2. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre una carga de prueba "qo ", ubicada en el origen 0 de coordenadas. (k=9109 Nm2/C2) a) 30qo b) 32qo c) 34qo d) 36qo e) 38qo Fig177 Fig178 d 2a qo 2a 0 0 z qo R z y x  M qo a a d  P x  qo R y R 193

Robótica y Cibernética 281 374.En la Fig178, el alambre delgado
formado por dos cuadrantes de circunferencia y una se micircunferencia de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal de =80 pC/m. Ha llar la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ", ubicada en el origen 0. a) -13,4qo ˆ j b) +13,4qo ˆ j c) -15,4qo ˆ j d) +15,4qo ˆ j e) -17,4qo ˆ j 375.En la Fig179, el alambre delgado formado por dos cuadrantes de circunferencias de ra dio R=20 cm, y densidades de carga lineal =80 pC/m, esta inscrito en el cuadrado. Ha llar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", situado en el punto medio de la diagonal del cuadrado. (k=9109 Nm2/C2) a) 2,26qo b) 2,56qo c) 2,86qo d) 3,16qo e) 3,46qo 376.En la Fig180, el cilindro compacto de radio R=20 cm, longitud l=50 cm, tiene una densi dad de carga volumétrica de =800 pC/m3. La distancia de la carga de prueba "qo " a la ba se superior del cilindro es d=10 cm.¿A que distancia de la base superior debe hacerse una cavidad esférica de radio r=10 cm (con centro en el eje del cilindro), para que la magnitud de la fuerza eléctrica sobre "qo " disminuya a la cuarta parte. (k=9109 Nm2/C2) a) 17,07 cm b) 17,27 cm c) 17,47 cm d) 17,67 cm e) 17,87 cm Fig179 Fig180 377.En la Fig181, la esfera compacta de radio R=24 cm, con densidad de carga volumétrica =800 pC/m3, presenta una cavidad esférica de radio b=8 cm La distancia entre los cen tros de la esfera y la cavidad es a=10 cm. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba "qo ", ubicada a la distancia de r=6 cm del centro 0' de la cavidad. a) 1,13qo b) 1,33qo c) 1,53qo d) 1,73qo e) 1,93qo 378.En la Fig182, el alambre delgado rectangular de lados a=20 cm, b=40 cm, se dobla por la línea media MN en un ángulo de 90o. Al alambre se le suministra una densidad de car ga lineal de =80 pC/m. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre una carga de prue ba "qo ", equidistante d=10 cm de los centros de las las mitades del alambre resultante. a) 11,15qo b) 11,35qo c) 11,55qo d) 11,75qo e) 11,95qo qo + R R -  qo l R d 194

Fuerza eléctrica 282 Fig181 Fig182 379.Se tiene un prisma regular
de base cuadrada de lados a=40 cm, y altura H=10 cm. Hallar el ángulo solido correspondiente al vértice superior del prisma. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,519 str c) 0,539 str c) 0,559 str d) 0,579 str e) 0,599 str 380.En la Fig183, el anillo delgado de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal de =80 pC/m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre una carga de prueba "qo ", ubicada en el punto de coordenadas (20; 0; 10) cm. a) 1,15qo b) 1,35qo c) 1,55qo d) 1,75qo e) 1,95qo II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre "qo ", respecto del eje x positivo. a) 12,05o b) 13,05o c) 14,05o d) 15,05o e) 12,05o III) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre "qo ", respecto del eje z positivo. a) 71,43o b) 72,43o c) 73,43o d) 74,43o e) 75,43o IV) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ", ubicada en el pun to de coordenadas (0; 0, 10) cm. a) 8,09qo b) 8,29qo c) 8,49qo d) 8,69qo e) 8,89qo V) Hallar el cambio porcentual que experimenta la magnitud de la fuerza eléctrica, medida respecto de la fuerza eléctrica inicial. a) 332,29 % b) 342,29 % c) 352,29 % d) 362,29 % e) 372,29 % 381.En la Fig184, las mitades del alambre delgado en forma de elipse de semiejes a=30 cm, b=20 cm, tienen densidades de carga lineal de =800 pC/m. Hallar la fuerza eléctrica, so bre la carga de prueba "qo ", ubicada en el origen 0 de coordenadas. (k=9109 Nm2/C2) a) -3,12qo ˆ j b) -3,32qo ˆ j c) -3,52qo ˆ j d) -3,72qo ˆ j e) -3,92qo ˆ j 0 0' a  qo r M N b a 195

Robótica y Cibernética 283 Fig183 Fig184 382.Un anillo de alambre
delgado de radio r=2 mm tiene una carga eléctrica q=400 pC distri buida uniformemente en el anillo. ¿Cuál será el incremento de la fuerza de tracción del a lambre, si en el centro del anillo se coloca una carga puntual qo =8 nC? (k=9109 Nm2/C2) a) 1,146 mN b) 1,346 mN c) 1,546 mN d) 1,746 mN e) 1,946 mN 383.En el punto definido por el radio vector o r =2ˆ i +3ˆ j (m) de un plano xy se encuentra una carga puntual Q=+50 C, donde ˆ i y ˆ j son los vectores unitarios de los ejes x e y. Hallar la fuerza eléctrica, sobre una carga de prueba "qo " de radio vector r =8ˆ i -5ˆ j (m). a) (2,1ˆ i -3,8ˆ j)103qo b) (2,9ˆ i -3,2ˆ j)103qo c) (2,3ˆ i -3,0ˆ j)103qo d) (2,5ˆ i -3,4ˆ j)103qo e) (2,7ˆ i -3,6ˆ j)103qo 384.En la Fig185, en los vértices de un cuadrado de diagonal 2l=40 cm, se encuentran las cargas puntuales q=+8 pC y q=-8 pC. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre una carga de prueba "qo ", que se encuentra en un punto que está a la distancia z=1 cm del cen tro del cuadrado, y se sitúa simétricamente respecto de los vértices del mismo. a) 2,07qo b) 3,07qo c) 4,07qo d) 5,07qo e) 6,07qo 385.En la Fig186, en cada uno de los vértices del cubo regular de lados a=2 cm, se encuen tran cargas eléctricas puntuales fijas de Q=8 nC. Hallar el periodo de las pequeñas oscila ciones que realiza la carga q=4 nC de masa m=4g, al desplazarse del centro una peque ña distancia "x", paralelamente a una de sus aristas. (k=9109 Nm2/C2, x<<a, n=10-9) a) 0,54 ms b) 0,64 ms c) 0,74 ms d) 0,84 ms e) 0,94 ms 386.Una esfera de radio "r" tiene una densidad de carga superficial =a r , donde a es un vector constante y r , el radio vector de un punto de la esfera respecto de su centro. Ha llar la fuerza eléctrica ejercida sobre una carga de prueba "qo ", ubicada en el centro de la esfera. (k=9109 Nm2/C2) a) (qo r/2o )a b) (-(qo r/2o )a c) (qo r/3o )a d) (-qo r/3o )a e) (2qo r/3o )a 0 qo R z x y  x a + qo y b - 196

Fuerza eléctrica 284 387.La densidad de carga superficial en una
esfera de radio "R" es, =o cos , donde "o " es una constante positiva, y "" el ángulo polar. Demostrar que dicha densidad de carga puede ser representada como el resultado de un pequeño desplazamiento mutuo de dos "globos" de radio "R" cargados uniformemente, cuyas cargas son iguales en magnitud y opuesta en signo. Haciendo uso de esta representación, hallar el campo eléctrico al inte rior de la esfera. a) o o 1 ˆ k 2    b) o o 2 ˆ k 3    c) o o 3 ˆ k 4    d) o o 1 ˆ k 3    e) o o 1 ˆ k 4    Fig183 Fig184 388.Hallar la fuerza eléctrica sobre una carga de prueba "qo ", ubicada en el centro de un glo bo de radio "R", de densidad de carga volumétrica =a r donde a es un vector constante, r , el radio vector trazado desde el centro del globo. a) 2 o o R q a 2  b) 2 o o R q a 3  c) 2 o o R q a 4  d) 2 o o R q a 5  e) 2 o o R q a 6  389.Un filamento rectilíneo muy largo tiene una densidad de carga lineal uniforme de =80 pC/m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre una carga de prueba "qo ", situado a la dis tancia y=10 cm del extremo del filamento. a) 10,1qo b) 12,1qo c) 14,1qo d) 16,1qo e) 18,1qo II) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga "qo ", respecto del eje x positivo. a) 41o b) 43o c) 45o d) 47o e) 49o 390.En la Fig185, se muestra un filamento delgado muy largo con densidad de carga lineal uniforme =80 pC/m, situado en el eje de simetría de un círculo de radio R=20 con uno de sus extremos en su centro. Hallar el flujo de campo eléctrico (en Nm2/C) a través del área del circulo. (k=9109 Nm2/C2) a) 9,05 b) 9,25 c) 9,45 d) 9,65 e) 9,85 2l +q +q -q -q 2l x 0 q Q Q Q Q Q Q Q Q 197

Robótica y Cibernética 285 391.En la Fig186, las cargas puntuales
q1 =80 pC y q2 =-80 pC, se sitúan a la distancia de 2l=20 cm una de otra. Hallar el flujo del campo eléctrico (en Nm2/C) a través de la su perficie del anillo de radio R=20 cm. (k=9109 Nm2/C2) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Fig185 Fig186 392.En la Fig187, las cargas puntuales q y -q se sitúan 2l=20 cm una de otra, en los extre mos del eje de simetría del circulo de radio R=20 cm. Hallar el flujo de campo eléctrico (en Nm2/C2) a través de la superficie S del circulo. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,35qo /o b) 0,45qo /o c) 0,55qo /o d) 0,65qo /o e) 0,75qo /o 393.En la Fig188, el alambre delgado tiene una densidad de carga lineal =80 pC/m, y la lon gitud de cada una de las partes es a=20 cm. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, so bre la carga de prueba "qo ", ubicada en el origen 0 de coordenadas. (k=9109 Nm2/C2) a) 8,02qo b) 8,22qo c) 8,42qo d) 8,62qo e) 8,82qo Fig187 Fig188 394.En la Fig189, el globo de radio R=20 cm tiene una densidad de carga volumétrica uniforme =8 nC/m3. Hallar el flujo del campo eléctrico (en Nm2/C) a través de la R q1 l q2 l a qo a x a a z y  0 z l  S R +q l -q l S 0 R 198

Fuerza eléctrica 286 sección del globo, formada por el plano
distante ro =10 cm (ro <R) de su centro. (k=9109 Nm2/C2) a) 2,04 b) 2,24 c) 2,44 d) 2,64 e) 2,84 395.Sobre el eje de simetría de una placa cuadrada de lados a=40 cm, densidad de carga su per ficial de =800 pC/m2, a la distancia z=10 de su centro, se ubica una carga de prueba "qo ". ¿Cuál debe ser el radio del disco delgado de la misma densidad de carga, que al u bicar en su eje de simetría a la misma distancia la carga de prueba "qo ", este experimente la misma fuerza eléctrica? (k=9109 Nm2/C2) a) 4,18 cm b) 4,38 cm c) 4,58 cm d) 4,78 cm e) 4,88 cm 396.En la Fig190, los filamentos largos paralelos entre si, tienen densidades de cargas linea les =80 pC/m, cada una de ellas. La distancia entre los filamentos es de l=40 cm. Hallar el valor máximo de la magnitud de la fuerza eléctrica , sobre una carga de prueba "qo " ubi cada en un punto P del plano de simetría de este sistema, situado entre los filamentos. (k=9109 Nm2/C2) a) 7,0qo b) 7,2qo c) 7,4qo d) 7,6qo e) 7,8qo Fig189 Fig190 397.Una superficie cilíndrica infinitamente larga de sección transversal circular se carga uniformemente hasta la densidad superficial de la carga =o cos , donde "" es el ángu lo polar en un sistema de coordenadas, cuyo eje z coincide con el eje de la superficie dada y o =80 pC/m2 una constante. Hallar la fuerza eléctrica ejercida sobre una carga de prue ba "qo ", ubicada en el origen de coordenadas de la superficie cilíndrica. a) -4,12qo ˆ i b) +4,12qo ˆ i c) -4,32qo ˆ i d) +4,32qo ˆ i e) -4,52qo ˆ i 398.En una región R del espacio dado, un campo eléctrico, solo depende de las coordenadas   0 A   x l/2 B P l qo R ro 0 P  S 199

Robótica y Cibernética 287 x e y, según la ley
E =a(xˆ i +yˆ j)/(x2+y2), donde "a" es una constante, ˆ i , ˆ j son los versores de los ejes x e y. Hallar el flujo del campo eléctrico a través de una esfera de radio R=20 cm, con el centro en el origen de coordenadas. a) 2,11a b) 2,31a c) 2,51a d) 2,71a e) 2,91a 399.Una bola de radio R=20 cm, tiene una carga positiva, cuya densidad volumétrica depen de sólo de la distancia "r" hasta su centro según la ley =o (1-r/R), donde o =800 pC/m3 es una constante. Suponiendo que la constante dieléctrica (permeabilidad) de la bola y del medio circundante es igual a la unidad. I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre una carga de prueba "qo " ubicada en r=10 cm, del centro de la bola. a) 1,28qo b) 1,48qo c) 1,68qo d) 1,88qo e) 2,08qo II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre una carga de prueba "qo " ubicada en r=30 cm, del centro de la bola. a) 0,47qo b) 0,67qo c) 0,87qo d) 1,07qo e) 1,27qo III) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica máxima ejercida, sobre la carga de prueba "qo ". a) 2,01qo b) 2,21qo c) 2,41qo d) 2,61qo e) 2,81qo 400.Cierta región R del espacio tiene una densidad volumétrica, dada por: =o exp(-r3), donde o =800 pC/m3, y =1,5 m-3 son constantes. I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre una carga de prueba "qo ", ubicada a la dis tancia r=20 cm del origen de coordenadas. a) 3qo b) 4qo c) 5qo d) 6qo e) 7qo II) Analizar la expresión del campo eléctrico para pequeñas distancias , es decir para r3<<1. II) Analizar la expresión del campo eléctrico para grandes distancias , es decir para r3>>. 401.A la distancia "r" de un filamento largo, con densidad de carga lineal "", se encuentra un dipolo eléctrico, cuyo momento dipolar eléctrico es p . I) Hallar la fuerza F que actúa sobre el dipolo, si el vector p se orienta a lo largo del fila mento. II) Hallar la fuerza F que actúa sobre el dipolo, si el vector p se orienta a lo largo de radio vector r . III) Hallar la fuerza F que actúa sobre el dipolo, si el vector p se orienta perpendicularmente al filamento y al radio vector r . 402.En la Fig0191, el alambre delgado de longitud l=3a=60 cm, tiene densidad de carga li neal =80 pC/m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica ejercida, sobre la carga de prueba "qo ". 200

Fuerza eléctrica 288 a) 6,09qo b) 6,29qo c) 6,49qo d)
6,69qo e) 6,89qo II) Hallar la dirección de la fuerza sobre la carga de prueba "qo ", medida respecto del eje x. a) 31,69o b) 32,69o c) 33,69o d) 34,69o e) 35,69o 403.En la Fig192, en cuatro vértices del cubo de lados a=1 m se encuentran cargas puntuales de valor Q=4 nC. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el origen de coordenadas. a) 30qo b) 32qo c) 34qo d) 36qo e) 38qo Fig191 Fig192 404.En la Fig193, las mitades sombreadas de los anillos de radios R=20 cm tienen densida des de carga lineal uniforme de =+50 pC/m2, y las mitades no sombreadas =-50 pC/m2. Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ". Los anillos están aislados en sus puntos de contacto. (k=9109 Nm2/ C2, p=10-12) a) 10,5qo b) 11,5qo c) 12,5qo d) 13,5qo e) 14,5qo Fig193 Fig194 405.Dos átomos de argón de masa atómica m=39,948 uma débilmente unida Ar2 , bajo la ac ción del potencial de Van der Waals, con Uo =1,6810-21 J y Ro =3,8210-10 m, 1 uma= 1,6610-27 kg. I) Hallar la constante "k" de la fuerza de restitución o restauración. a) 0,809 N/m b) 0,829 N/m c) 0,849 N/m d) 0,869 N/m e) 0,889 N/m x 0 a qo y a a Y X Z Q Q Q Q a a a 0 qo B B R 0 R R qo + + + H Q a a 201

Robótica y Cibernética 289 II) Hallar la frecuencia de oscilación
de un átomo, considerando que el otro átomo está fijo. a) 163 nHz b) 363 nHz c) 563 nHz d) 763 nHz e) 963 nHz III) Hallar la frecuencia de oscilación respecto del centro de masa (c.m) de la molécula de ar gón. a) 196 nHz b) 396 nHz c) 596 nHz d) 796 nHz e) 996 nHz V) Hallar el error porcentual entre los resultados obtenidos en III) y II). a) 21,3 % b) 23,3 % c) 25,3 % d) 27,3 % e) 29,3 % 406.La interacción entre los nucleones (protones y neutrones) puede expresarse hasta un alto grado de exactitud mediante el potencial de Yukawa: U(r)=-Uo (ro /r)e-r/ro, en donde Uo 50 MeV y ro 1,510-13 cm. I) Hallar la expresión para la fuerza correspondiente F(r) II) ¿Cuál es la distancia de separación para la cual la fuerza es el uno por ciento de su valor en r=ro . a) 310-12 cm b) 610-12 cm c) 310-13 cm d) 610-13 cm e) 910-13 cm 407.En la Fig194, se tiene un prisma regular de base cuadrada de lados a=40 cm, y altura H=10 cm. Hallar el flujo de campo eléctrico (en Nm2/C) que pasa por la base del prisma, debido a una carga puntual Q=800 pC, ubicado en el vértice superior del prisma. (k=9109 Nm2/C2) a) 3,27 b) 3,57 c) 3,87 d) 4,17 e) 4,47 408.Dos cargas puntuales positivas iguales a Q=+500 pC, se ubican en los puntos A(a, 0, 0) y B(-a, 0, 0) (a=20 cm). En el punto medio del segmento que las une, hay un plano per pendicular a dicho segmento (plano x=0). (k=9109 Nm2/ C2, p=10-12) I) Hallar el lugar geométrico de los puntos de dicho plano donde el campo eléctrico es máxi ma. a) 10,14 cm b) 12,14 cm c) 14,14 cm d) 16,14 cm e) 18,14 cm II) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre una carga de prueba "qo ", situado en un punto genérico del plano x=0, a una distancia R del origen de coordenadas. a) 80,6qo b) 82,6qo c) 84,6qo d) 86,6qo e) 88,6qo 409.En la Fig195, la corona de disco de radios externo R=20 cm e interno r=10 cm, tiene u na densidad de carga superficial =800 pC/m2, en tanto, el alambre delgado en forma de semicircunferencia de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal =80 pC/m. Ha llar la magnitud de la fuerza eléctrica, sobre la carga de prueba "qo ", ubicada en el origen 0 de coordenadas. (k=9109 Nm2/ C2, p=10-12) a) 21,56qo b) 22,56qo c) 23,56qo d) 24,56qo e) 25,56qo 202

Fuerza eléctrica 290 410.En la Fig196, el alambre delgado de
densidad de carga lineal =80 pC/m, esta formada por tres partes rectilíneas y una curvilínea (a=20 cm). Hallar la magnitud de la fuerza eléc trica, sobre la carga de prueba "qo ", ubicada en el origen 0 de coordenadas. a) 7,02qo b) 7,22qo c) 7,42qo d) 7,62qo e) 7,82qo Fig195 Fig196 411.En la Fig197, en el eje del anillo metálico de radio R=30cm y carga Q=+310-10 C distri. buida uniformemente, se ubica un electrón a una distancia "x" de su centro (x<<R). Ha llar el período de las pequeñas oscilaciones que realiza el electrón. (e=-1,610-19 C, me = 9,110-31 kg k = 9109 Nm2/C2 y  = 10-6) a) 1,3 s b) 1,5 s c) 1,7 s d) 1,9 s e) 2,1 s 412.En la Fig198 se tienen 4 cargas "q" fijas en los vértices de un cuadrado horizontal de la do l=a 2 cm. Una carga q=-1,610-19 C de masa m=9,110-31 kg se desplaza desde el centro del cuadrado hacia arriba una pequeña distancia "x" y se suelta. Hallar el período de sus oscilaciones (desprecie la gravedad, además l>> x y (k=9109 Nm2/C2, a=10) a) 6,20 ms b) 6,22 ms c) 6,24 ms d) 6,26 ms e) 6,28 ms Fig197 Fig198 x z   y -R R 0 -r R qo y qo a x a a a - e, me Q R x   x q q q q -q,m a2 a2 0 203

Robótica y Cibernética 291 413.En la Fig199, la lámina infinita
delgada de densidad de carga superficial =800 pC/m2, presenta un agujero circular de radio R=20 cm. Hallar el periodo de las pequeñas oscila ciones que realiza el electrón de carga qo =-1,610-19 C, masa m=0,110-31 kg, situada en el eje de simetría del agujero a la distancia "x" (x<<R) de 0. Despreciar la fuerza de grave dad. (k=9109 Nm2/ C2, =10-6) a) 0,596 s b) 0,696 s c) 0,796 s d) 0,896 s e) 0,996 s 414.En la Fig200, la esferita de masa m=910-23 kg y carga eléctrica q=810-10 C está suspen dido de un hilo de longitud l=4 cm. A una distancia de h=2 cm debajo del mismo, se ha lla una lámina metálica infinita. Hallar el período de las oscilaciones libres de la esferita. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 1 ns b) 2 ns c) 3 ns d) 4 ns e) 5 ns Fig199 Fig200 415.En la Fig201, dos cargas Q=+410-9 C están fijas y separadas por una distancia a=1 cm. Una tercera carga q=-810-10 C de masa m=910-22 kg, se ubica a una distancia "x" del centro de la recta que une las cargas "Q" (x<<d), y se libera. Hallar el período de las pe queñas oscilaciones que realiza la carga "q". Despreciar la fuerza de gravedad. (k=9109 Nm2/C2 , p=10-12) a) 88,0 ps b) 88,2 ps c) 88,4 ps d) 88,6 ps e) 88,8 ps Fig201 Fig202 416.En la Fig202, la partícula de masa m=4 g y carga eléctrica q=4 nC, se ubica a una distan cia "x" del punto medio 0 de la distancia 2l=8 mm que separa a las cargas puntuales fijas Q=8 nC. Hallar el periodo de las oscilaciones que realiza la partícula al liberarse. (k= x qo  0 R m h m, q g l -q +Q +Q x a/2 a/2 Q Q m, q x 0 2l 1 2 204

Fuerza eléctrica 292 9109 Nm2/C2) a) 1,08 s b) 1,28
s c) 1,48 s d) 1,68 s e) 1,88 s 417.En la Fig203, el cilindro hueco fijo de radio "a" y longitud "2 " tiene una carga total "Q" distribuida uniformemente en su superficie. Demostrar que el período de las peque ñas oscilaciones que realiza la partícula de masa "m" y carga " q"  alrededor del centro del cilindro es: 2 2 3/2 1/2 o T 2 [4 m(a ) / qQ]     . 418.En la Fig204, probar que el período de las pequeñas oscilaciones que realiza la partícula de masa "m" y carga positiva o "q " alrededor del centro 0 es: 2 2 1/2 o T [4 m R / ]     , al sacarse de su posición de equilibrio. Las densidades de carga lineal uniformes de los ani llos de radios "R" es " "   . (Despreciar la fuerza de gravedad) Fig203 Fig204 419.En la Fig205, la partícula de masa m=4 g, carga eléctrica q=8 nC, se libera a una dis tancia "x" del centro 0 del disco hueco uniforme muy delgado de radios interno a=2 mm, b=4 mm y densidad de carga superficial uniforme =6 nC/m2. Hallar el periodo de las pe queñas oscilaciones que realiza la partícula. (k=9109 Nm2/C2, x<<a, n=10-9) a) 11,3 ms b) 13,3 ms c) 15,3 ms d) 17,3 s e) 19,3 ms Fig205 Fig206 420.En la Fig206, en cada uno de los vértices cuadrado de lados a=4 mm, se encuentran car gas eléctricas puntuales fijas de Q=8 nC. Hallar el periodo de las pequeñas oscilaciones que realiza la carga q=4 pC de masa m=4g, al desplazarse del centro una pequeña dis tancia "x", paralelamente a uno de sus lados. (k=9109 Nm2/C2, x<<a, p=10-12, n=10-9) a -q Q l l - - R R q0 d d 0 m,q a b  0 x Q m,q Q Q Q a a 205

Robótica y Cibernética 293 a) 2,09 ms b) 2,29 ms
c) 2,49 ms d) 2,69 ms e) 2,89 ms 421.En la Fig207, en cierta región R del espacio libre, las componentes de un campo elec trostático, son: Ex =Ez =0, Ey =by2, donde b=800 N/Cm1/2 es una constante. Hallar el flujo de campo electrostático (en Nm2/C), a través del cubo de lados a=20 cm. a) 5,13 b) 5,33 c) 5,53 d) 5,73 e) 5,93 422.En la Fig208, el dipolo puntual 1 ˆ p pk  situado en el origen de coordenadas crea un cam po eléctrico en el espacio. En el punto A(a, 0, a) se encuentra otro dipolo de momento di polar 2 p p  dirigido hacia el origen de coordenadas. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el campo eléctrico creado por el dipolo 1 p en el punto A(a, 0, a), y evaluar para: p=4 pCm, a=20 cm. a) 2,12 N/C b) 2,32 N/C c) 2,52 N/C d) 2,72 N/C e) 2,92 N/C II) Hallar el momento que actúa sobre el dipolo 2 p , debido al campo eléctrico del dipolo 1 p , y evaluar para: p=4 pCm, a=20 cm, expresando el momento en pNm. a) -4,1ˆ j b) -4,3ˆ j c) -4,5ˆ j d) -4,7ˆ j e) -4,9ˆ j III) Hallar la energía potencial del dipolo 2 p debido al dipolo 1 p , y evaluar para: p=4 pCm, a=20 cm. a) 5 pJ b) 6 pJ c) 7 pJ d) 8 pJ e) 9 pJ Fig207 Fig208 423.En la Fig209, se tiene dos superficies semiesféricas huecas de radios R=20 cm, con car gas Q=8 nC, uniformemente distribuidas sobre sus superficies, separadas por la distan cia d=5 cm. Hallar el momento dipolar (en nCm) de estas dos superficies. a) 1,0 ˆ k b) 1,5 ˆ k c) 2,0 ˆ k d) 2,5 ˆ k e) 3,0 ˆ k 424.En la Fig210, se tiene dos semianillos circulares muy delgados de radios R=20 cm con x 0 z y a a a a E a p1 -Q y z a +Q +Q -Q x p2 206

Fuerza eléctrica 294 cargas eléctricas de Q=8 nC, uniformemente distribuidas
en sus longitudes, separadas por la distancia d=5 cm. Hallar el momento dipolar (en nCm) de estas mitades de anillo. a) 2,04 ˆ k b) 2,24 ˆ k c) 2,44 ˆ k d) 2,64 ˆ k e) 2,84 ˆ k Fig209 Fig210 425.En la Fig211, se tiene dos conos regulares huecos idénticos de radios R=12 cm, altura H=10 cm, con densidades de carga superficiales =8 nC/m2, respectivamente. Los conos están separados por la distancia d=10 cm. I) Hallar el momento dipolar de estos conos. a) 11,7 pCm b) 12,7 pCm c) 13,7 pCm d) 14,7 pCm e) 15,7 pCm II) Hallar la distancia entre las cargas "Q" del dipolo eléctrico. a) 3,13 cm b) 3,33 cm c) 3,53 cm d) 3,73 cm e) 3,93 cm Fig211 Fig212 426.En la Fig212, el cilindro hueco de paredes muy delgadas, de radio R=10 cm, altura H= 25 cm, tiene una densidad de carga superficial de =80 pC/m2. Hallar la fuerza eléctrica de rechazo entre las mitades 1 y 2 del cilindro. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 1,01 nN b) 1,21 nN c) 1,41 nN d) 1,61 nN e) 1,81 nN d 0 R R O1 O2 +Q -Q R O1  O2 d z +Q -Q R H + d R R O1 O2 -  H R 1 2 207

Robótica y Cibernética 295 427.Una carga puntual "q" se desplaza
de manera uniforme y rectilínea a una velocidad relati vista que constituye la -ésima parte de la luz (=v/c). Hallar el campo eléctrico E' de es ta carga en un punto, cuyo radio vector; respecto a ésta es igual a r y forma un ángulo "" con el vector de su velocidad. 428.Un electro es expulsado, en el instante t=0, de una de las placas de un condensador de placas planas a una velocidad muy pequeña que se puede despreciar. Entre las placas se a plica una tensión de aceleración que varía en función del tiempo, según la ley V=at, don de a=100 V/s. La distancia entre las placas es l=5,0 cm. ¿Qué velocidad tiene el electrón al llegar a la placa contraria? a) 13 km/s b) 14 km/s c) 15 km/s d) 16 km/s e) 17 km/s 429.Un protón acelerado con la diferencia de potencial "V" incide en un campo eléctrico ho mogéneo transversal de un condensador de placas planas, separadas por la distancia "l" en el sentido del movimiento. El campo eléctrico varía en función del tiempo, según la ley E=at, donde "a" es una constante. Considerando el protón no relativista, hallar el ángulo entre las direcciones de su movimiento antes y después de pasar por el condensador, si el protón llega al campo en el instante t=0. Despreciar los efectos de borde. 430.Una partícula cuya carga especifica es "q/m" se mueve en línea recta bajo la acción de un campo eléctrico E=Eo -ax donde "a" es una constante positiva, "x" es la distancia desde el punto en la cual la partícula se encontraba inicialmente en reposo. I) Hallar el recorrido de la partícula hasta el punto en la cual la partícula se encontraba ini cialmente en reposo. II) Hallar la aceleración de la partícula en este punto. 431.Un electrón inicia su movimiento en un campo eléctrico homogéneo de magnitud E=10 kV/cm. ¿Después de qué tiempo de haber iniciado el movimiento la energía cinética del e lectrón llega a ser igual a su energía en reposo?. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) 432.Hallar la aceleración de un electrón relativista que se desplaza a lo largo de un campo eléctrico homogéneo de magnitud "E", en el instante cuando su energía cinética es igual a "T". 433.Un protón relativista en el instante t=0 ingresó, a una velocidad o v , en una zona, donde existe un campo eléctrico homogéneo trasversal E , siendo o v E  . I) Hallar la dependencia entre el tiempo y el ángulo "" formado por el vector de la velo cidad vdel protón y la dirección inicial de su movimiento. II) Hallar la dependencia entre el tiempo y la proyección vx del vector v sobre la dirección i nicial del movimiento. 434.Una barra metálica maciza cilindrica muy larga tiene radio R1 =8 mm, y densidad de car ga superficial 1 =5,037110-8 C/m2. La barra esta rodeada por una delgada placa fotográ fica cilindrica de radio R2 =24 mm, coaxial con la barra. Se lanza un electrón con veloci dad v1 =5,2106 m/s desde un punto muy cercano al conductor macizo pero exterior a él, 208

Fuerza eléctrica 296 describiendo una trayectoria radial, y dirigida hacia
la placa. (e/m=1,7585071011 C/kg) I) Hallar el campo eléctrico (en V/m) generado por la barra maciza, para r>R1 . a) 41,6ˆ r b) 42,6ˆ r c) 43,6ˆ r d) 44,6ˆ r e) 45,6ˆ r II) Hallar la velocidad (en Mm/s) del electrón al impactar contra la placa fotográfica. a) 3,07 b) 3,27 c) 3,47 d) 3,67 e) 3,87 III) Hallar la velocidad (en Mm/s) del electrón a la distancia r=20 mm del eje común. a) 3,12 b) 3,32 c) 3,52 d) 3,72 e) 3,92 435.En la Fig213, hallar la fuerza que ejerce el alambre delgado de densidad de carga lineal =80 pC/m, sobre la carga de prueba "qo ". (k=9109 Nm2/C2, R=20 cm, p=10-12) a) 12,17qo ˆ j b) 12,37qo ˆ j c) 12,57qo ˆ j d) 12,77qo ˆ j e) 12,97qo ˆ j 436.En la Fig214, hallar la fuerza que ejerce el alambre delgado de densidad de carga lineal =80 pC/m, sobre la carga de prueba "qo ". (k=9109 Nm2/C2, R=20 cm, p=10-12) a) 0,12qo ˆ j b) 0,22qo ˆ j c) 0,32qo ˆ j d) 0,42qo ˆ j e) 0,52qo ˆ j Fig213 Fig214 R 0  qo R R  y x R 0 qo R  x y R/2 R 209

CAMPO ELECTRICO CAP-3 • Campo eléctrico • Principio de superposición
de campos • Cálculo de campos eléctricos • Campo y carga eléctrica en un conductor • Tensor Maxwelliano de tensión 210

Robótica y Cibernética 351 PROBLEMAS PROPUESTOS 01.Se ubica un protón
en un campo eléctrico uniforme de magnitud E=2,75103 N/C. (k= 9109 Nm2/C2, e=1,60210-19 C, m=1,6710-27 kg) I) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica (en 10-16 N ) ejercida sobre el protón. a) 1,4 b) 2,4 c) 4,4 d) 6,4 e) 8,4 II) Hallar la magnitud de la aceleración (en 1011 m/s2) que adquiere el protón. a) 1,65 b) 2,65 c) 4,65 d) 6,65 e)8,65 III) Hallar la rapidez (en 105 m/s) del protón después de transcurrido un tiempo de 1 s. a) 1,65 b) 2,65 c) 4,65 d) 6,65 e) 8,65 02.Se tiene una partícula de carga eléctrica Q=-3 nC. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la magnitud y dirección del campo eléctrico creado por esta partícula, en un punto situado a la distancia d=0,25 m, por encima de ella. a) 432 N/C () b) 432 N/C () c) 434 N/C () d) 434 N/C () e) 436 N/C () II) ¿A qué distancia de la partícula, la magnitud del campo eléctrico es E=12 N/C? a) 1,0 m b) 1,5 m c) 2,0 m d) 2,5 m e) 3,0 m 03.Un protón se desplaza horizontalmente hacia la derecha con rapidez de v=4,5106 m/s. (k=9109 Nm2/C2, e=1,60210-19, m=1,6710-27 kg, n=10-9) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico (en 106 N/C) más débil que conduce al protón uniformemente al reposo recorriendo una distancia de d=3,2 cm. a) 1,29 b) 3,29 c) 5,29 d) 7,29 e) 9,29 II) ¿Después de qué tiempo de ingresar al campo eléctrico, el protón se detiene? a) 14,2 ns b) 24,2 ns c) 44,2 ns d) 64,2 ns e) 84,2 ns 04.Un electrón partiendo del reposo en un campo eléctrico uniforme, acelera verticalmente hacia arriba, recorriendo una distancia de d=4,5 m en los primeros t=3 s. (k=9109 Nm2/ C2, e=-1,60210-19 C, m=9,110-31 kg) I) Hallar la magnitud y dirección del campo eléctrico. a) 3,68 N/C, () b) 3,68 N/C, () c) 5,68 N/C, () d) 5,68 N/C, () e) 7,68 N/C () II) ¿Se justifica que se desprecien los efectos de la gravedad? Explique su respuesta cuan titativamente. 05.I) ¿Cuál debe ser la carga (signo y magnitud) de una partícula de masa m=1,45 g para 211

Campo eléctrico 352 que permanezca estacionaria, en presencia de un
campo eléctrico de magnitud E=650 N/C, dirigido verticalmente hacia abajo. (k=9109 Nm2/C2, g=9,8 m/s2, n=10-9) a) -21,8 C b) +21,8 C c) -25,8 C d) +25,8 C e) -27,8 C II) ¿Para que magnitud del campo eléctrico, el peso de un protón es igual a la fuerza eléc trica? a) 102 nN/C b) 112 nN/C c) 122 nN/C d) 132 nN/C e) 142 nN/C 06.I) ¿Cuál es el campo eléctrico (en 1010 N/C) de un núcleo de hierro a una distancia de d=610-10 m de su núcleo? El número atómico del hierro es z=26. Suponer que el núcleo se comporta como una carga puntual. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,60210-19 C) a) 10,4 b) 20,4 c) 30,4 d) 40,4 e)50,4 II) ¿Cuál es el campo eléctrico de un protón a una distancia de d=5,2910-11 m del protón? (e=1,60210-19, T=1012) a) 0,1 TN/C b) 0,3 TN/C c) 0,5 TN/C d) 0,7 TN/C e) 0,9 TN/C 07. La carga puntual Q1 =-5 nC se encuentra en el origen y la carga puntual Q2 =+3 nC está so bre el eje X en x=3 cm. Un punto P se encuentra sobre el eje Y en y=-4 cm. (k=9109 Nm2/C2, k=103) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, mediante el método gráfico. a) 10,5 kN/C b) 20,5 kN/C c) 30,5 kN/C d) 40,5 kN/C e) 50,5 kN/C II) Hallar la razón (Ey /Ex =?) entre las magnitudes de las componentes del campo eléctrico resultante, en las direcciones de los ejes Y y X. a) 3,0 b) 3,2 c) 3,4 d) 3,6 e) 3,8 III) Hallar la dirección del campo eléctrico resultante en el punto P. a) o 100 26´5,8" b) o 104 26´5,8" c) o 106 26´5,8" d) o 108 26´5,8" e) o 102 26´5,8" IV) Resolver las preguntas I), II) y III), mediante el método vectorial. 08.Una carga puntual q=-8 nC se ubica en el origen de coordenadas. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P de coordenadas (1; 2; -1,6) m. a) 14 N/C b) 15 N/C c) 16 N/C d) 17 N/C e) 18 N/C II) Hallar la razón Ey /Ex =? de las magnitudes de las componentes del campo eléctrico en las direcciones de los ejes Y e X. a) 1,13 b) 1,23 c) 1,33 d) 1,43 e) 1,53 III) Hallar la dirección del campo eléctrico en el punto P. 212

Robótica y Cibernética 353 a) o 120 52´12" b) o
122 52´12" c) o 124 52´12" d) o 126 52´12" e) o 128 52´12" 09.Se tienen dos placas horizontales cargadas con signos opuestos, separadas por una distan cia de d=1,6 cm. Desde la placa cargada positivamente, se libera un protón, que golpea la placa cargada negativamente, después de un tiempo de t=1,5 s de liberado. (k=9109 Nm2/C2, e=+1,60210-19 C, m=1,6710-27 kg, =10-6, n=10-9) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico entre las placas horizontales. a) 10,8 nN/C b) 12,8 nN/C c) 14,8 nN/C d) 16,8 nN/C e) 18,8 nN/C II) ¿Con qué rapidez el protón golpea la placa cargada negativamente? a) 1,12 m/s b) 2,12 m/s c) 3,12 m/s d) 4,12 m/s e) 5,12 m/s 10. En la Fig01, la carga puntual Q1 =+8,75 C está adherida a una mesa horizontal sin fric ción, y está unida a la carga puntual Q2 =-6,5 C mediante un alambre aislante de longi tud d=2,5 cm. La magnitud del campo eléctrico uniforme paralela al alambre es de E= 1,85108 N/C. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la tensión en el alambre. a) 381,5 N b) 383,5 N c) 385,5 N d) 387,5 N e) 389,5 N II) Hallar la tensión en el alambre, si las dos cargas son negativas. a) 2021,5 N b) 2121,5 N c) 2221,5 N d) 2321,5 N e) 2421,5 N III) ¿En cuántas veces ha aumentado la tensión en el alambre? a) 3,27 b) 4,27 c) 5,27 d) 6,27 e) 7,27 11.I) Un electrón se desplaza hacia el Este en un campo eléctrico uniforme de magnitud E=1,5 N/C, dirigido hacia el Oeste. En el punto A, la velocidad del electrón es de vA =4,5105 m/s hacia el Este. ¿Cuál es la rapidez (en 105 m/s) del electrón en el punto B, que esta a la distancia de d=0,375 al Este del punto A? a) 6,13 b) 6,33 c) 6,53 d) 6,73 e) 6,93 II) Un protón se desplaza en el campo eléctrico uniforme del inciso I). En el punto A, la velocidad del protón es de vA =1,9104 m/s al Este. ¿Cuál es la rapidez (en 104 m/s) del protón en el punto B? a) 1,19 b) 1,39 c) 1,59 d) 1,79 e) 1,99 12. En la Fig02, hallar la magnitud y dirección del campo eléctrico resultante en el punto P, debido a las cargas Q1 =-5 C, Q2 =-2 C y Q3 =-5 C que se encuentra en una misma lí nea. (k=9109 Nm2/C2, a=8 cm, b=6 cm) a) 1,04107 N/C, () b) 1,04107 N/C, () c) 4,04107 N/C, () d) 4,04107 N/C, () e) 8,04107 N/C, () 213

Campo eléctrico 354 Fig01 Fig02 13. En la Fig03, hallar
la dirección formada por el campo eléctrico resultante en el punto A con respecto a la fuerza eléctrica resultante en B. (si q<<Q) 14. En la Fig04, el péndulo de longitud l=50 cm, masa m=40 g y carga eléctrica q=210-4 C se mueve en un plano vertical con velocidad angular constante =4 rad/s en el campo e léctrico uniforme de magnitud E=3103 N/C. Hallar la diferencia entre las tensiones máxi ma y mínima de la cuerda del péndulo. (g=10 m/s2) a) 1 N b) 2 N c) 3 N d) 4 N e) 5 N Fig03 Fig04 15. En el sistema de coordenadas rectangulares XY, se ubica una carga puntual Q1 =+6 nC en el punto x=+0,15 m, y=0 m, y otra carga puntual Q2 =+6 nC en el punto x=-0,15 m, y=0 m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el vector campo eléctrico en el origen de coordenadas. II) Hallar el vector campo eléctrico en el punto P de coordenadas x=0,3 m, y=0 m. 16.Se coloca una carga puntual Q1 =+5 pC en el origen del sistema de coordenadas rectan gulares XY, y otra carga puntual Q2 =-2 pC se sitúa en x=4 cm, y=0 cm. Si ubicamos una tercera carga puntual Q3 =+6 pC en el punto x=4 cm, y=3 cm. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Hallar la componente en la dirección del eje X de la fuerza (en pN/C) sobre la carga 3 "Q " a) 80,4 ˆ i b) -80,4 ˆ i c) 86,4 ˆ i d) -86,4 ˆ i e) 92,4 ˆ i II) Hallar la componente en la dirección del eje Y de la fuerza (en pN/C) sobre la carga 3 "Q " a) -50,2 ˆ j b) -50,2 ˆ j c) 55,2 ˆ j d) -55,2 ˆ j e) 60,2 ˆ j   A B q +Q -Q l l l l 0 g E l m  d +Q1 -Q2 E 8cm 8cm 6cm P Q1 Q2 Q3 214

Robótica y Cibernética 355 III) Hallar la magnitud de la
fuerza eléctrica (en pN/C) sobre la carga 3 "Q ". a) 100,5 b) 102,5 c) 104,5 d) 106,5 e) 108,5 IV) La dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga 3 "Q ". a) o 321 21,9´ b) o 323 21,9´ c) o 325 21,9´ d) o 327 21,9´ e) o 329 21,9´ 17. Dos partículas de cargas idénticas a Q=+5 nC se encuentran en el eje X en x=-2 m y x=+2. Hallar el cambio que experimenta el vector campo eléctrico en un punto P fijo de coordenadas x=0 m y y=1 m, cuando las partículas se trasladan a sus nuevas posiciones de coordenadas x=-1 m y x=+1 m. (k=9109 Nm2/C2) a) N ˆ 21,77 j C b) N ˆ 23,77 j C c) N ˆ 25,77 j C d) N ˆ 27,77 j C e) N ˆ 29,77 j C 18. Dos esferitas muy pequeñas de cargas Q1 =+12 nC, Q2 =- 4nC que se encuentran en el eje X en x=-1 m y x=+1 m se ponen en contacto y se vuelven a sus posiciones. Hallar el cambio que experimenta el vector campo eléctrico en un punto P fijo de coordenadas x=0 m, y=1 m. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) N ˆ 18 2 i C b) - N ˆ 18 2 i C c) N ˆ 36 2 i C d) N ˆ 36 2 i C  e) N ˆ 48 2 i C 19. En la Fig05, las cargas de las esferitas son: q1 = (7/3) 10-7 C y q2 =10-7 C. Hallar la tensión en el hilo que sostiene a la esferita de carga " q " 2 . (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 30 mN b) 40 mN c) 50 mN d) 60 mN e) 70 mN Fig05 Fig06 20. En la Fig06, las dos esferitas de pesos despreciables y cargas q=10-7 C están al interior de un campo eléctrico, suspendidas de hilos. Hallar " E " , para =530. (k=9109 Nm2/C2) a) 10,0 kN/C b) 10,2 kN/C c) 10,4 kN/C d) 10,6 kN/C e) 10,8 kN/C 21. Un electrón de carga e=-1,610-19 C, masa m=9,110-31 kg se libera en la posición x=0 m, y=b, en presencia de dos cargas puntuales fijas iguales a Q=+8 nC situadas en el eje X en x=-a, x=+a, respectivamente. Hallar la rapidez con la que el electrón pasa por el origen de coordenadas. (k=9109 Nm2/C2, a=30 cm, b=40 cm, n=10-9) 4 cm 3cm +q2 +q1 740    +q -q 25cm   E 215

Campo eléctrico 356 a) 104 km/s b) 124 km/s c)
144 km/s d) 164 km/s e) 184 km/s 22. Un electrón de carga " e"  , masa "m" se libera a la distancia "D" de una partícula fija de carga positiva "Q". Demostrar que el tiempo que tarda el electrón en acercarse a una distancia "x" de la partícula fija, viene dado por: t = (mD/2keQ)1/2 x 1/2 D [x´/(D x´)] dx´   . 23. En la Fig07, el electrón de carga e=-1,610-19 C, masa m=9,110-31 kg se libera en la posi ción mostrada, en presencia de las láminas de plástico muy delgadas y grandes de densi dades de cargas superficiales uniformes de "2 "  y " "  , respectivamente. (k=9109 Nm2/ C2, =+8 pC/m2, p=10-12, =10-6) I) ¿Después de que tiempo de liberado el electrón, impacta con las láminas de plástico? a) 1,243 s b) 2,243 s c) 3,243 s d) 4,243 s e) 5,243 s II) ¿A qué distancia del vértice recto de las láminas impacta el electrón? a) 8 cm b) 10 cm c) 12 cm d) 14 cm e) 16 cm III) ¿Con qué rapidez el electrón impacta con las láminas? a) 359 km/s b) 369 km/s c) 379 km/s d) 389 km/s e) 399 km/s 24. En la Fig.08, tres cargas puntuales Q1 =+50 pC, Q2 =-50 pC y Q3 =+50 pC se ubican en los vértices del triángulo equilátero de lados a=20 cm. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga 3 "Q ", mediante el método gráfico. II) Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga 3 "Q ", mediante el método vectorial. Fig07 Fig08 25. Dos cargas puntuales Q1 =+200 nC y Q2 =-85 nC están separadas por una distancia de d= 12 cm. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar los campos eléctricos creados por las cargas Q1 y Q2 en las posiciones que ocupan Q2 y Q1 , respectivamente. II) Hallar las fuerzas eléctricas sobre cada una de las cargas. 26. En la Fig09, las esferas idénticas A y B inicialmente descargadas y conectadas a las pare des mediante resortes de constantes elásticas kA =5 dina/cm, kB =2 dina/cm, están separa das por una distancia de d=5 cm. Si una esfera C de igual tamaño de carga Q=+6,672 nC +Q1 a a a -Q2 +Q3 40cm 2  30cm m, e 216

Robótica y Cibernética 357 se pone en contacto primero con
la esfera A y luego con B, hallar la nueva distancia de separación entre las esferas A y B. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, 1 dina=10-5 N) a) 5,38 cm b) 5,68 cm c) 5,98 cm d) 6,28 cm e) 6,58 cm 27. En la Fig10, tres partículas idénticas de cargas iguales a Q=+5 nC, están suspendidas, mediante hilos de longitud l=10 cm, a un punto fijo 0, formando un tetraedro regular de la dos " ". Hallar la masa de las partículas. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, m=10-3, g=10 m/s2) a) 5,11 mg b) 5,31 mg c) 5,51 mg d) 5,71 mg e) 5,91 mg Fig09 Fig10 28. En la Fig11, demostrar que el campo eléctrico en el punto P del dipolo de cargas " Q"  separados por una distancia "d" (d<<r), viene dado por: E=p/2o r3, donde "p" es el mo mento dipolar. 29. En la Fig12, demostrar que el campo eléctrico en el punto P, debido a las dos cargas pun tuales idénticas e iguales a "Q", para r<<a, viene dado por: E=2q/4o r2. Fig11 Fig12 30. En la Fig13, hallar la magnitud del campo eléctrico resultante en el centro del cuadrado de lados a=5 cm, en cuyos vértices se encuentran cargas puntuales. (k=9109 Nm2/C2, Q=1 pC, p=10-12) a) 8,2 N/C b) 9,2 N/C c) 10,2 N/C d) 11,2 N/C e) 12,2 N/C 31. En la Fig14, hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, debido a las cargas de valor Q=4 pC, sabiendo que a=5 cm. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 6,0 N/C b) 6,2 N/C c) 6,4 N/C d) 6,6 N/C e) 6,8 N/C l l l l l Q Q Q g 0 r d -Q +Q P 0 a a r +Q +Q P 0 d kA kB A B 217

Campo eléctrico 358 Fig13 Fig14 32. En la Fig15, un
electrón de m=9,110-31 kg y carga e=-1,610-19 C con velocidad horizon tal inicial v0 =107 m/s ingresa en un campo eléctrico vertical de E=105 N/C creado por dos láminas horizontales cargadas. I) ¿Cuál es su posición vertical a la salida de la región donde se encuentra el campo? a) 21,8 cm b) 23,8 cm c) 25,8 cm d) 27,8 cm e) 29,8 cm II) ¿Con qué rapidez sale el electrón de la misma región? a) 80106 m/s b) 82106 m/s c) 84106 m/s d) 86106 m/s e) 88106 m/s III) ¿Cuál es la posición vertical del impacto sobre la pantalla fluorescente F? a) 1,1 m b) 1,3 m c) 1,5 m d) 1,7 m e) 1,9 m Fig15 Fig16 33. En la Fig16, la carga puntual qo =-4 pC se desplaza de izquierda a derecha a lo largo de la recta paralela al eje X. Hallar el trabajo del campo de la carga Q=+8 nC, para el trayecto AB. (k=9109 Nm2/C2, a=30 cm, b=40 cm) a) -140 pJ b) +140 pJ c) -144 pJ d) +144 pJ e) -148 pJ 34. Dos cargas puntuales Q1 =10 nC y Q2 =20 nC están separadas por una distancia de d=1 m. Una tercera carga puntual Q3 =30 nC se traslada desde un punto situado en la línea que u ne las cargas, a 60 cm de Q1 y 40 cm de Q2 , hasta el punto medio del segmento que une las cargas Q1 y Q2 . (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el trabajo que realiza la fuerza que ejerce la carga Q1 sobre la Q3 . a) +0,3 J b) -0,3 J c) +0,6 J d) -0,6 J e) +0,9 J +Q -Q -2Q +2Q a a P Q Q Q Q Q a a a a a X Y y 10cm 5 cm e v0 E -qo A B +Q x y b a   218

Robótica y Cibernética 359 II) Hallar el trabajo que realiza
la fuerza que ejerce la carga Q2 sobre la Q3 . a) -2,3 J b) +2,3 J c) -2,5 J d) +2,5 J e) -2,7 J III) Hallar el trabajo de la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la carga Q3 . a) -1,4 J b) +1,4 J c) -1,8 J d) +1,8 J e) -2,2 J 35. ¿En que porcentaje aumenta (A) o disminuye (D) la magnitud del campo eléctrico creado por una carga puntual Q=4 nC en un punto que se encuentra a la distancia d=2 cm, cuan do el vació se reemplaza por aceite de permitividad relativa r =5? (k=9109 Nm2/C2) a) A, 40 % b) D, 40 % c) A, 80 % d) D, 80 % e) A, 20 % 36. En la Fig17, hallar el trabajo que realiza el campo eléctrico de la carga Q=8 nC, situada en el origen de coordenadas, cuando la partícula de carga qo =40 pC, se desplaza de A ha cia B a lo largo de la hipotenusa del triángulo rectángulo. (k=9109 Nm2/C2, a=10 cm, b=20 cm, p=10-12, n=10-9) a) +10,4 nJ b) -10,4 nJ c) +14,4 nJ d) -14,4 nJ e) +18,4 nJ Fig17 Fig18 37. En la Fig18, la esferita de carga eléctrica qo =4 pC, masa m=200 ng está suspendida medi ante un hilo de un punto fijo 0 de la superficie no conductora cargada, con una densidad de carga superficial uniforme de =5 nC/m2, e inclinada =60º, respecto de la horizontal. (k=9109 Nm2/C2, g=10 m/s2, p=10-12, n=10-9) I) Hallar la tensión en el hilo que sostiene la esferita. a) 2,15 nN b) 2,35 nN c) 2,55 nN d) 2,75 nN e) 2,95 nN II) Hallar el ángulo " "  entre la el hilo y la pared inclinada. a) o 50 50,7´ b) o 52 50,7´ c) o 54 50,7´ d) o 56 50,7´ e) o 58 50,7´ 38. Se tiene un disco muy delgado de radio R=6 cm, densidad de carga superficial uniforme de =810-9 C/m2. ¿A qué distancia del centro del disco en un punto del eje, el campo e léctrico es la mitad del campo eléctrico en un punto situado a la distancia d=8 cm? (k=9109 Nm2/C2) +Q qo A B x y m,qo  T + T  g 219

Campo eléctrico 360 a) 12,19 cm b) 12,39 cm c)
12,59 cm d) 12,79 cm e) 12,99 cm 39. En la Fig19, demostrar que la magnitud del campo eléctrico en el punto P, debido a las cuatro cargas "Q" situadas en los vértices del cuadrado de lados "2a", para a<<d, viene dado por: 12Qa2/4o d4. 40. En la Fig20, en la semiesfera de radio R=20 cm, están inscritas tres mitades de anillos, de densidades de carga lineal uniformes de =50 pC/m, siendo el ángulo entre los planos que los contienen de =45º. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro 0 de la base de la semiesfera. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 21,72 N/C b) 23,72 N/C c) 25,72 N/C d) 27,72 N/C e) 29,72 N/C Fig19 Fig20 41. En la Fig21, en los vértices de la base superior del cubo de lados a=2 m se encuentran cuatro cargas puntuales Q=-2 nC y en los vértices de la base inferior Q=+2 nC. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el vector campo eléctrico resultante en el centro del cubo. a) 21,7 ˆ k N/C b) 23,7 ˆ k N/C c) 25,7 ˆ k N/C d) 27,7 ˆ k N/C e) 29,7 ˆ k N/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro del cubo, cuando se retira la carga ubicada en el vértice (2; 2; 2). a) 20,14 N/C b) 22,14 N/C c) 24,14 N7C d) 26,14 N/C e) 28,14 N/C III) Hallar el aumento o disminución porcentual que experimenta la magnitud del campo eléctrico en el centro del cubo. a) 10,08 % b) 10,28 % c) 10,48 % d) 10,68 % e) 10,88 % 42. En la Fig22, en las diagonales del cuadrado de lados a= 2 m se van ubicando por pares cargas puntuales de Q=6 pC a las distancias de D/2, D/4, D/6,…del centro del cuadrado. ¿Cuántas cargas en total se necesitan ubicar, para que el campo eléctrico en el centro del cuadrado sea de E=19,6 N/C? (k=9109 Nm2/C2, D=2 m, p=10-12) a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 -Q +Q +Q -Q 2a 2a P d 0  0 Z -Q -Q 220

Robótica y Cibernética 361 Fig21 Fig22 43. En la Fig23,
en la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles de lados a=2 m, se en cuentran cuatro cargas puntuales equidistantes, iguales a Q=8 nC. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el vértice recto 0. a) 50,78 N/C b) 52,78 N/C c) 54,78 N/C d) 56,78 N/C e) 58,78 N/C II) Hallar la dirección del vector campo eléctrico en el vértice recto 0. a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º Fig23 Fig24 44. En la Fig24, en cuatro vértices del cubo de lados a=1 m se encuentran cargas puntuales de valor Q=4 nC. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el origen de coordenadas. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 10,33 N/C b) 12,33 N/C c) 14,33 N/C d) 16,33 N/C e) 18,33 N/C 45. En la Fig25, en los vértices del romboide se encuentran cargas puntuales de Q=+8 nC. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el vértice P. (k=9109 N.m2/C2, n=10-9) a) 10,33 N/C b) 12,33 N/C c) 14,33 N/C d) 16,33 N/C e) 18,33 N/C 46. En la Fig26, en tres vértices del paralelogramo regular de lados a=15 cm, b=20 cm, se en cuentran cargas puntuales iguales a Q1 =+20 pC, Q2 =+7 pC, Q3 =+30 pC. (k=9109 Nm2/ C2, p=10-12) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el vértice P del paralelogramo. a a Q Q Q Q (1) (2) 2m Q Q Q Q 2m 0 x y y x z -Q +Q +Q a a a 0 +Q 221

Campo eléctrico 362 a) 10,4 N/C b) 11,4 N/C c)
12,4 N/C d) 13,4 N/C e) 14,4 N/C II) Hallar la dirección del campo eléctrico en el vértice P del paralelogramo. a) o 72 17´49" b) o 72 27´49" c) o 72 37´49" d) o 72 47´49" e) o 72 57´49" Fig25 Fig26 47. En la Fig27, las cargas puntuales de Q=5 pC que se encuentran en los vértices del cua drado de lados a=2 m se ubican en sentido horario en los puntos medios de los lados. Ha llar la variación que experimenta la magnitud del campo eléctrico en el centro del cuadra do. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 61,64 N/C b) 63,64 N/C c) 65,64 N/C d) 67,64 N/C e) 69,64 N/C 48. En la Fig28 las mitades del anillo muy delgado de radio R=20 cm tienen densidades de carga lineal uniformes de =50 pC/m. ¿Qué valor debe tener una carga puntual negativa "q", tal que, ubicada en los puntos A o B, situados a la distancia d=20 cm del anillo, el campo en el centro del anillo sea nulo? (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) A, 120 pC b) B, 120 pC c) A, 160 pC d) B, 160 pC e) A, 200 pC 49. En la Fig29, de la lámina inferior cargada positivamente se lanza un electrón de masa m=9,110-31 kg, carga e=-1,610-19 C, con una velocidad de v=6104 m/s, formando un án gulo de =45º con la lamina. La distancia entre las láminas horizontales es d=2 cm y sus longitudes l=10 cm. (k=9109 Nm2/C2) I) ¿El electrón impacta con las láminas, y de ser así, con cual de ellas? II) Si hay impacto con las láminas, después de que tiempo de lanzado el electrón se produce el impacto. a) 2,4 ns b) 4,4 ns c) 6,4 ns d) 8,4 ns e) 10,4 ns III) Si hay impacto con las láminas, ¿A qué distancia del punto de lanzamiento se produce el impacto? a) 3,18 cm b) 3,38 cm c) 3,58 cm d) 3,78 cm e) 3,98 cm IV) Si hay impacto con las láminas, hallar la rapidez (en 106 m/s) del electrón en el instante del impacto. z y x Q Q Q Q Q Q 3m 4m 6m 10m P 20cm 15cm Q1 Q2 Q3 P 16o 222

d) 4,69 e) 4,89 Fig27 Fig28 50. En la Fig30, la esferita compacta de masa m=200 g, carga q=8 C, radio R=4 mm rueda hacia arriba por el plano dieléctrico inclinado   370 respecto de la horizontal. Si su rapi dez inicial es v0 = 6 m/s, y la distancia máxima que recorre la esferita sobre el plano in clinado es d=2 mes. No hay gravedad. Hallar la magnitud del campo eléctrico E . a) 18 kN/C b) 28 kN/C c) 38 kN/C d) 48 kN/C e) 58 kN/C Fig29 Fig30 51. En la Fig31, el disco muy delgado agujereado de radios interno a=10 cm, externo b=20 cm, tiene una densidad de carga superficial dado por: =o (r2/a2+b2)sen2, donde o =+8 nC/m2, es una constante, "r" la distancia radial, y " "  el ángulo polar. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la carga total del disco agujereado. a) -166 pC b) +166 pC c) -188 pC d) +188 pC e) -204 pC II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro del disco agujereado. a) 0 N/C b) 5 N/C c) 10 N/C d) 15 N/C e) 20 N/C 52. En la Fig32, entre las láminas horizontales de densidades de carga superficiales unifor mes de valor " "  , se encuentra suspendida una gotita de aceite de masa m=324 g, que tiene cinco electrones excedentes. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,60210-19, g=981 m/s2) I) Establecer la dirección del campo eléctrico entre las láminas. II) Hallar el valor de la densidad de carga superficial " "  de las láminas. +Q a a +Q -Q -Q d E l vo e v0  d m E + - A R d d B 0 223

Campo eléctrico 364 a) 20 C/m2 b) 25 C/m2 c)
30 C/m2 d) 35 C/m2 e) 40 C/m2 Fig31 Fig32 53. En la Fig33, la placa muy grande de espesor h=2 cm, y densidad de carga volumétrica =6 C/m3, presenta una cavidad cilíndrica de radio R=40 cm y altura h=2 cm. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, situado a la distancia d=2 m de la placa. (k= 9109 Nm2/C2, =10-6) a) 60,66 kN/C b) 62,66 kN/C c) 64,66 kN/C d) 66,66 kN/C e) 68,66 kN/C Fig33 Fig34 54. En la Fig34, las mitades sombreadas de los anillos de radios R=20 cm tienen densidades de carga lineal uniforme de =+50 pC/m2, y las mitades no sombreadas =-50 pC/m2. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro 0 del anillo indicado. Los anillos es tán aislados en sus puntos de contacto. (k=9109 Nm2/ C2, p=10-12) a) 7,5 kN/C b) 8,5 kN/C c) 9,5 kN/C d) 10,5 kN/C e) 11,5 kN/C 55. En la Fig35, hallar la circulación del campo vectorial ˆ ˆ F yi x j   a lo largo de la trayec toria en forma de semicircunferencia de radio R=2 u, entre los puntos A y B. a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e) 8 56. En la Fig36, las cuatro cargas puntuales de valor Q=5 pC situadas en los vértices del cuadrado de lados a=20 cm, se desplazan hacia el centro del cuadrado una distancia D/4. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) ¿En qué porcentaje varia la magnitud del campo eléctrico en el centro del cuadrado? P 0 R r + d 5e P d  h  R 0 R R 224

Robótica y Cibernética 365 a) 100 % b) 200 %
c) 300 % d) 400 % e) 500 % II) ¿Cuántas veces mayor es la magnitud del campo eléctrico final que el inicial, en el centro del cuadrado? a) 2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 4 III) Hallar el cambio que experimenta la magnitud del campo eléctrico en el centro del cuadrado. a) 11 N/C b) 13 N/C c) 15 N/C d) 17 N/C e) 19 N/C Fig35 Fig36 57. En la Fig37, los anillos muy delgados de radios R=20 cm están en planos perpendicula res y tienen un centro común. Las mitades de los anillos tiene densidades de cargas linea les uniformes de =50 pC/m, y sus puntos de contacto están aislados. Hallar la magni tud del campo eléctrico en el centro común 0. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 12,13 N/C b) 12,33 N/C c) 12,53 N/C d) 12,73 N/C e) 12,93 N/C 58. En la Fig38, el cuerpo de masa m=400 g, carga eléctrica q=2 C se halla en el borde del disco dieléctrico de radio R=1 m, en presencia de un campo eléctrico perpendicular al disco, y de magnitud E=106 N/C ¿A qué frecuencia máxima puede girar el disco, sin que el cuerpo abandone el disco? El coeficiente de fricción estático es S =1/4. (g=10 m/s2) a) 0,10 s-1 b) 0,14 s-1 c) 0,18 s-1 d) 0,22 s-1 e) 0,26 s-1 Fig37 Fig38 59. En la Fig39, la barra muy delgada de longitud " ", densidad de carga lineal no uniforme X 2 A B Y 0 +Q a a +Q -Q -Q D +  + 0 - - S R E f +q 0 225

Campo eléctrico 366 =o (x/l) con o " " 
una constante, se encuentra en un campo eléctrico perpendicular a la barra, cuya magnitud, viene dado por: E=Cx2, donde "C" una constante y "x" esta en metros y se mide a partir del extremo izquierdo de la barra. La barra puede girar en 0. I) Hallar la fuerza total sobre la barra, debido a la acción del campo eléctrico. a) 2 o 1 C 2  b) 3 o 1 C 2  c) 2 o 1 C 4  d) 3 o 1 C 4  e) 2 o 2 C 3  II) Hallar el momento de fuerza total sobre la barra, debido a la acción del campo. a) 4 o 1 C 2  b) 4 o 2 C 3  c) 4 o 1 C 5  d) 4 o 4 C 5  e) 4 o 3 C 4  III) ¿A qué distancia del extremo izquierdo de la barra, actúa la fuerza total F? a) 2l/3 b) 3l/4 c) 4l/5 d) 5l/6 e) l/2 60. En la Fig40, cada una de las tres cuartas partes del arco de anillo muy delgado de radio R=20 cm tienen densidades de carga lineal de =80 pC/m. Hallar la magnitud del cam po eléctrico en el centro 0 del arco de anillo. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 11,18 N/C b) 11,38 N/C c) 11,58 N/C d) 11,78 N/C e) 11,98 N/C 61. Un electrón de masa m=9,110-31 kg, carga e=-1,610-19 C se encuentra en el punto medio del segmento que une dos cargas fijas Q=+5 nC, separadas por una distancia d=10 cm. Hallar el periodo de las pequeñas oscilaciones que realiza el electrón, al desplazarse el electrón ligeramente de su posición de equilibrio a lo largo del segmento que une las car gas fijas, y liberarse. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 31,3 ns b) 33,3 ns c) 35,3 ns d) 37,3 ns e) 39,3 ns Fig39 Fig40 62. En los vértices de la base inferior de un cubo de lados a=20 cm, se ubican cuatro cargas puntuales idénticas de Q=-80 pC. Hallar la magnitud del campo eléctrico, en el centro de la base superior del cubo. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 31,2 N/C b) 33,2 N/C c) 35,2 N/C d) 37,2 N/C e) 39,2 N/C E l  X 0 0 + - - R 226

Robótica y Cibernética 367 63.En la Fig41, hallar la circulación
del campo vectorial 2 2 ˆ F (x y )k   , a lo largo de la tra yectoria de la hélice de radio R=2 u y paso de vuelta R=2 u, desde el punto A hasta un punto B situado N=10 vueltas más arriba. a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80 64. En la Fig42, se lanza una bolita de masa m=400 g, carga q=2 C por la superficie inte rior del cilindro dieléctrico liso de radio R=40 cm con un ángulo de o 45   respecto a la horizontal, en presencia de un campo eléctrico perpendicular a las bases de magnitud E=106 N/C. No hay gravedad. ¿Con qué rapidez inicial o "v " debe lanzarse la bolita para que retorne al punto de lanzamiento, luego de dar n=8 vueltas? a) 10 m/s b) 12 m/s c) 14 m/s d) 16 m/s e) 18 m/s Fig41 Fig42 65. Dos filamentos delgados paralelos muy largos separados por una distancia d=10 cm, es tán contenidos en un mismo plano, y tienen densidades de carga lineal uniformes de =+80 pC/m. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Hallar la distancia del punto equidistante de los filamentos, en el cual, la magnitud del campo eléctrico es máximo. a) 7,1 cm b) 7,3 cm c) 7,5 cm d) 7,7 cm e) 7,9 cm II) Hallar la magnitud máxima del campo eléctrico, en el punto equidistante de los fila mentos. a) 20, 8 N/C b) 22,8 N/C c) 24,8 N/C d) 26,8 N/C e) 28,8 N/C 66. En la Fig43, las mitades de los seis anillos delgados idénticos de radio R=20 cm, tienen densidades de carga lineal de =800 pC/m. La distancia de los centros de los anillos al centro geométrico 0 es d=40 cm. Los anillos están aislados en sus puntos de contacto. Ha llar la magnitud del campo eléctrico en el centro 0. (k= 9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 90 N/C b) 92 N/C c) 94 N/C d) 96 N/C e) 98 N/C 67. En la Fig44, el disco ahuecado muy delgado de radios interno "a", externo "b" (b/a=e), y densidad de carga superficial uniforme de =+2 nC/m2, se dobla por el diámetro conte R R A R E v0  227

Campo eléctrico 368 nido en el eje Y, formando un
ángulo de =90º, quedando la mitad positiva del disco por encima del plano XY. Hallar el cambio que experimenta el campo eléctrico en el centro del disco ahuecado. (k=9109 N.m2/C2, n=10-9, "e" base de los logaritmos naturales) a) N ˆ ˆ 36(i k) C  b) N ˆ ˆ 36( i k) C   c) N ˆ 30( i k) C   d) N ˆ ˆ 30(i k) C  e) N ˆ ˆ 30(i k) C  Fig43 Fig44 68. En la Fig45, las partes del filamento muy delgado doblado en forma de "U", tienen una densidad de carga lineal uniforme de =50 pC/m. (k=9109 Nm2/C2, a=10 cm) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P. a) 10,23 N/C b) 12,23 N/C c) 14,23 N/C d) 16,23 N/C e) 18,23 N/C II) Hallar la dirección del campo eléctrico, respecto de la horizontal. a) o ' 23 34 b) o ' 24 34 c) o ' 25 34 d) o ' 26 34 e) o ' 27 34 69. Un disco muy delgado de aluminio de radio R=20 cm, de densidad de carga superficial u niforme =50 pC/m2, y coeficiente de dilatación =23,810-6 oC-1, eleva su temperatura en T=100 oC. Asumiendo que la carga del disco se conserva. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el aumento (A) o disminución (D) porcentual que experimenta la densidad su perficial de carga del disco. a) A, 0,37 % b) D, 0,37 % c) A, 0,47 % d) D, 0,47 % e) A, 0,57 % II) Hallar el aumento (A) o disminución (D) que experimenta la magnitud del campo e léctrico, en un punto del eje de simetría del disco, situado a una distancia de d=10 cm de su centro, y perpendicular a ella. a) D, 0,28 % b) A, 0,28 % c) D, 0,32 % d) A, 0,32 % e) D, 0,36 % 70. En la Fig46, los filamentos muy delgados en forma de arcos de circunferencia de radios R, R/2, R/4, R/8, tienen densidades de carga lineal uniforme de valor =800 pC/m, y son concéntricos. (k=9109 Nm2/C2, R=40 cm, p=10-12) I) Hallar el vector campo eléctrico en el centro común 0. a) ˆ ˆ 36(i 3j)  b) ˆ ˆ 36(i 3j)  c) ˆ ˆ 54(3i j)  d) ˆ ˆ 54(3i j)  e) ˆ ˆ 64(i 3j)  Z Y X a b + - 0  + + + + + + R 228

Robótica y Cibernética 369 II) Hallar la magnitud del campo
eléctrico en el centro común 0. a) 90 N/C b) 92 N/C c) 94 N/C d) 96 N/C e) 98 N/C Fig45 Fig46 71. En la Fig47, se tiene 100 anillos muy delgados concéntricos de radios R, R/2, R/3,.… cu yas mitades tienen densidades de carga lineal uniformes de =5 pC/m. Hallar la magni tud del campo eléctrico en el centro común 0. (k=9109 Nm2/C2, R=20 cm, p=10-12) a) 30 N/C b) 35 N/C c) 40 N/C d) 45 N/C e) 50 N/C 72. En la Fig48, se tienen tres cargas puntuales iguales a Q1 =-2 nC, Q2 =-3 nC, Q3 =+4 nC. Los lados de las cuadriculas son de a=1 m. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el vector campo eléctrico en el punto P. a) ˆ ˆ 4,59i 0,31j   b) ˆ ˆ 4,59i 0,31j  c) ˆ ˆ 3,24i 0,48 j   d) ˆ ˆ 3,24i 0,48 j  e) ˆ ˆ 5,12i 0,54 j   II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P. a) 4,0 N/C b) 4,2 N/C c) 4,4 N/C d) 4,6 N/C e) 4,8 N/C III) Hallar la dirección del vector campo eléctrico, respecto del eje x positivo. a) o ' 170 8,2 b) o ' 172 8,2 c) o ' 174 8,2 d) o ' 176 8,2 e) o ' 178 8,2 Fig47 Fig48 a a a a P  + - + 0  + - + - - X Y X Y + + - + - -      0 P Q1 Q3 Q2 X Y  229

Campo eléctrico 370 73. Se tiene un plano en forma
de un cuadrado, definido por -2  x+2, -2  y+2 y z=-3, y con densidad de carga superficial no uniforme, dado por: =2 (x2+y2+9)nC/m2. Hallar el vector campo eléctrico en el origen de coordenadas. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) N ˆ 68,19k n C b) N ˆ 68,39k n C c) N ˆ 68,59k n C d) N ˆ 68,79k n C e) N ˆ 68,99k n C 74. En la Fig49, las mitades de los anillos muy delgados de radios R=20 cm, tienen densida des de carga lineal uniformes de =50 pC/m, en tanto el filamento que los conecta tiene longitud l=20 cm y densidad de carga lineal de =+50 pC/m. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro 0 del anillo izquierdo. a) 10,24 N/C b) 12,24 N/C c) 14,24 N7C d) 16,24 N/C e) 18,24 N/C II) Hallar la dirección del campo eléctrico en 0, respecto de la horizontal. a) o ' 184 15,6 b) o ' 184 25,6 c) o ' 184 35,6 d) o ' 184 45,6 e) o ' 184 55,6 Fig49 Fig50 75. En la Fig50, los alambres muy delgados en forma de semicircunferencias de radios R=20 cm, tienen densidades de carga lineal uniformes de =50 pC/m. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro 0 del cuadrado. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12, usar ln(x)) a) 11,02 N/C b) 11,22 N/C c) 11,42 N/C d) 11,62 N/C e) 11,82 N/C 76. En la Fig51, el anillo muy delgado de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal dada por: =o (5-4cos)5/2sen , siendo o " "  una constante, y " "  el ángulo polar. Ha llar la magnitud del cam po eléctrico en el punto P, que se encuentra en el plano del ani llo a una distancia de d=40 cm de su centro 0. (k=9109 Nm2/C2) a) 20,27 N/C b) 22,27 N/C c) 24,27 N7C d) 26,27 N/C e) 28,27 N/C 77. En la Fig52, el alambre muy delgado tiene una densidad de carga lineal uniforme de = 50 pC/m. Los radios de los arcos de circunferencia son R=40 cm, r=20 cm, respectiva mente. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro común 0. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 10,2 N/C b) 11,2 N/C c) 12,2 N/C d) 13,2 N/C e) 14,2 N/C R R l + + + 0 R + - - +  0 230

Robótica y Cibernética 371 Fig51 Fig52 78.Se tienen tres cargas
puntuales iguales a Q1 =-2 nC, Q2 =-3 nC, Q3 =+4 nC, situados en los puntos de coordenadas P1 (-1; -1; 2), P2 (2; -1; -2) y P3 (1; 1; -2), respectivamente. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el vector campo eléctrico en el punto P de coordenadas (2; 2; 2). a) ˆ ˆ ˆ 0,236i 0,884 j 1,029k    (N/C) b) ˆ ˆ ˆ 0,122i 0,636 j 0,863k    (N/C) c) ˆ ˆ ˆ 0,272i 0,724 j 0,525k   (N/C) d) ˆ ˆ ˆ 0,336i 0,532 j 0,428k   (N/C) e) ˆ ˆ ˆ 0,432i 0,648 j 0,965k    (N/C) II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P de coordenadas (2; 2; 2). a) 1,177 N/C b) 1,277 N/C c) 1,377 N/C d) 1,477 N/C e) 1,577 N/C 79. En la Fig53, un alambre muy delgado se dobla en la forma mostrada, y se le suministra u na densidad de carga lineal uniforme de =+500 pC/m. Los radios de las semiesferas son a=25 cm y b=50 cm. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro común 0. (k= 9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 19 N/C b) 12 N/C c) 14 N/C d) 16 N/C e) 18 N/C 80. En la Fig54, un alambre muy delgado se dobla en la forma mostrada, y se le suministra u na densidad de carga lineal uniforme de =+500 pC/m. La longitud de los lados que for man ángulo de 90º es l=25 cm. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro 0 . (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 21 N/C b) 22 N/C c) 23 N/C d) 24 N/C e) 25 N/C Fig53 Fig54 0  R r R d 0 P   0 a b  0 l l  231

Campo eléctrico 372 81. Se tienen dos espiras circulares muy
delgadas de radios 1 "R ", 2 "R ", concéntricas conté nidas en un mismo plano, de densidades de carga lineal uniformes 1 " "   y 2 " "   (con 2 =21 ). ¿Para qué razón R2 /R1 =? de los radios, el campo eléctrico en un punto P, situado a una distancia d=R2 , sobre el eje de simetría que pasa por el centro común y es perpendi cular al plano que contiene a las espiras, el campo eléctrico es nulo? (k=9109 Nm2/C2) a) 1,983 b) 2,000 c) 2,017 d) 2,034 e) 2,051 82. En la Fig55, el anillo muy delgado de radio a=20 cm, tiene una densidad de carga lineal uniforme de =80 pC/m. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, situado a la distancia r=25 cm del centro del anillo, en el plano que contiene a éste. a) 10,48 N/C b) 11,48 N/C c) 12,48 N/C d) 13,48 N/C e) 14,48 N/C 83. En la Fig56, las mitades de los anillos delgados idénticos de radios R=10 cm, tienen den sidades de carga lineal uniformes de =500 pC/m. Hallar la magnitud del campo eléctri co en el centro geométrico común 0. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 50,55 N/C b) 52,55 N/C c) 54,55 N/C d) 57,55 N/C e) 58,55 N/C 84. En la Fig57, los filamentos muy delgados de longitud l=20 cm, tienen densidades de car ga lineal uniformes de =800 pC/m, están separadas por un mismo ángulo y sus extre mos se encuentra a la distancia d=20 cm del centro común 0. Hallar la magnitud del cam po eléctrico en 0. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) Fig55 Fig56 85. En la Fig58, la canaleta metálica fina de radio R=30 cm y longitud l=80 cm tiene una densidad de carga superficial uniforme de =+510-10 C/m2. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto medio 0 de su eje de simetría. a) 10,4 N/C b) 12,4 N/C c) 14,4 N/C d) 16,4 N/C e) 18,4 N/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto A del eje de simetría. a) 10,45 N/C b) 12,45 N/C c) 14,45 N/C d) 16,45 N/C e) 18,45 N/C 86. En la Fig59, el electrón de carga q=-1,610-19 C y masa m=9,110-31 kg se lanza vertical mente hacia arriba con rapidez inicial v0 =4 m/s, en presencia del campo eléctrico de mag nitud E=50 pN/C. Hallar el tiempo que demora en regresar al punto de partida. (p=10-12) a 0 P r   R 0 + + - - 232

Robótica y Cibernética 373 a) 6,0 s b) 6,2 s
c) 6,4 s d) 6,6 s e) 6,8 s Fig57 Fig58 87. En la Fig60, el ascensor sube con aceleración constante de a=6 m/s2, la esferita tiene ma sa de m=40 g y carga de q=600 C, la magnitud del campo eléctrico uniforme es E= 800 N/C. Hallar el valor del ángulo " "  . (k=9109 Nm2/C2, g=10 m/s2, =10-6) a) 300 b) 370 c) 450 d) 530 e) 600 88. En la Fig61, en los vértices del triángulo equilátero de lado a=3 m, se ubican tres cargas positivas. Hallar el valor de "n", sabiendo que la magnitud del campo eléctrico resultante en el baricentro es E0 =600 N/C y q=+10-8 C. (k=9109 Nm2/C2) a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25 Fig59 Fig60 89. En la Fig62, a=30 cm, q=810-8 C,  =1500, hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P de la circunferencia. a) 29,1 kN/C b) 29,3 kN/C c) 29,5 kN/C d) 29,7 kN/C e) 29,9kN/C 90. En la Fig63, en los vértices del trapecio se ubican cargas iguales a q=1 nC. Hallar la mag nitud del campo eléctrico en el punto medio de la base mayor del trapecio. (a=1 m, k= 9109 Nm2/C2, n=10-9 C) E q v0 E  m, q a R  A l 0 0  l d + + + + - - - - 233

Campo eléctrico 374 a) 9 3 N/C b) 4 3
N/C c) 5 2 N/C d) 3 2 N/C e) 4 2 N/C Fig61 Fig62 91.En la Fig64, en los extremos del diámetro de longitud D=12 cm, que pertenece a la base de un cono de altura h=8 cm se ubican cargas eléctricas puntuales de Q=4 pC cada una. Hallar la magnitud del campo eléctrico resultante en el vértice del cono. (k=9109 Nm2/ C2, p=10-12) a) 5,36 N/C b) 5,56 N/C c) 5,16 N/C d) 5,96 N/C e) 5,76 N/C 92. En la Fig65, el plano es infinito y de densidad de carga superficial uniforme =210-7 C/m2, si la esferilla de masa m=16,956 g y carga q=210-5 C se halla en equilibrio. Hallar el ángulo " "  . a) 300 b) 370 c) 450 d) 530 e) 600 Fig63 Fig64 93. En la Fig66, los anillos muy finos idénticos de radios R=10 cm y densidades de cargas li neales uniformes =410-10 C/m, se hallan en planos perpendiculares entre si. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P situado a la distancia d=10 cm de los centros de los anillos. (k=9109 Nm2/ C2) a) 12N/C b) 24 N/C c) 36 N/C d) 48 N/C e) 72 N/C 94. Un electrón penetra en un condensador de placas planas paralelas paralelamente a sus pla cas y a una distancia de 4 cm de la placa positiva, ¿Qué tiempo demora el electrón en lle gar a una de las placas? La magnitud del campo eléctrico uniforme entre las placas es E=500 N/C, me = 910-28 g, e=-1,610-19 C. Desprecie la gravedad.  q q P D h  -q +q    P Y X a a +nq E0 +q +q  P a a a A B C D +q +q +q +q 600 600 R.SABRERA  234

Robótica y Cibernética 375 a) 20 ns b) 25 ns
c) 30 ns d) 35 ns e) 40 ns Fig65 Fig66 95. En la Fig67, se muestra una esfera metálica "A" de carga q=-810-4 C y una esfera "B" de caucho. Si las dos esferas tienen la misma masa m=50 g, hallar la aceleración min "a " para la cual las dos esferas están en contacto inminente. (E=500 N/C) a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2 d) 4 m/s2 e) 5 m/s2 96. En la Fig68, sobre el anillo fino de radio R=1 cm, está distribuida uniformemente una car ga q=-4 C, y en su centro se encuentra una carga puntual q=+4 C. Hallar la magnitud del vector de la intensidad del campo eléctrico en un punto del eje del anillo, distante x= 100 cm (x>>R y k=9109 Nm2/C2). a) 5,0 N/C b) 5,2 N/C c) 5,4 N/C d) 5,6 N/C e) 5,8 N/C Fig67 Fig68 97. En la Fig69, al electrón de carga e=-1,610-19 C, masa me =9,110-31 kg, estando a una dis tancia z=90 cm del plano con densidad superficial de carga uniforme =410-9 C/m2 se le suministra una velocidad inicial de v0 =107 m/s paralela al plano. Hallar la distancia que re corre paralelamente al plano antes de regresar al mismo. a) 1,13 m b) 2,13 m c) 3,13 m d) 4,13 m e) 5,13 m 98. En la Fig70, la placa metálica delgada infinitamente larga de ancho a=30 cm, tiene una   R R   0 0' d d P ER=?  + m,+q g P q -q x R + + + + + - - - - - -   A B amin PILA + - d E 235

Campo eléctrico 376 densidad de carga superficial uniforme =210-10 C/m2.
Hallar la magnitud del campo eléctrico en P distante b=40 cm de la placa. (k=9109 Nm2/C2) a) 4,61 N/C b) 4,63 N/C c) 4,65 N/C d) 4,67 N/C e) 4,69 N/C Fig69 Fig70 99. Demostrar que el campo eléctrico creado por un hilo cargado de longitud finita, en el ca so límite se transforma en el campo eléctrico de una carga puntual. 100.A lo largo del eje Z entre -1 m < z < +1 m se distribuye una densidad de carga lineal uni forme =810-10 C. Hallar el campo eléctrico E en el punto (1, 0, 0) en coordenadas carte sianas. (k=9109 Nm2/C2) a) ˆ 10,2 i N/C b) ˆ 10,4 i N/C c) ˆ 10,6 i N/C d) ˆ 10,8 i N/C e) ˆ 11,0 i N/C 101.En la Fig71, al cascarón esférico de radio R=10 cm y densidad superficial de carga = 210-9 C/m2 se le ha quitado un trozo circular de radio a=0,01 cm (a<<R). Hallar la mag nitud del campo eléctrico en el centro de la abertura. (k=9109 Nm2/C2) a) 36 N/C b) 24 N/C c) 12 N/C d) 72 N/C e) 18 N/C 102.Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro de un cubo de lado "a", cinco caras del cual están cargadas uniformemente con una densidad superficial " "  y la sexta cara descargada. a) o /2   b) o /5   c) o /4   d) o /3   e) o /6   Fig71 Fig72 R a   P    2a b + me,-e z v0 Y Z  P 2a  a a 2a 236

Robótica y Cibernética 377 103.En la Fig72, se tiene un
alambre fino de longitud 4a=40 cm, con densidad de carga li neal uniforme =410-10 C/m, dicho alambre se dobla en partes iguales formando un án gulo recto. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P. (k=909 Nm2/C2) a) 24 N/C b) 36 N/C c) 48 N/C d) 60 N/C e) 72 N/C 104.En la Fig73, hallar la componente perpendicular del campo eléctrico ( E ) en P, creado por la placa con densidad superficial de carga uniforme =810-9 C/m2, y limitado por un ángulo sólido =3/8.(k=9109 Nm2/C2) a) 27 N/C b) 21 N/C c) 29 N/C d) 25 N/C e) 23 N/C 105.En la Fig74, los planos ilimitados se cortan formando el ángulo , y dividen el espa cio en cuatro zonas. Hallar la magnitud del campo eléctrico en la zona "1", las densidades superficiales de las cargas en los planos son +20-9 C/m2 y =-210-9 C/m2   a) 12 N/C b) 18 N/C c) 24 N/C d) 30 N/C e) 36 N/C Fig73 Fig74 106.En la Fig75, hallar la magnitud del campo eléctrico en P, creado por el filamento fino de longitud l=8 cm y densidad de carga lineal uniforme =810-11 C/m, siendo la distancia de P al extremo mas cercano del filamento a=2 cm. (k=9109 Nm2/C2) a) 28,0 N/C b) 28,2 N/C c) 28,4 N/C d) 28,6 N/C e) 28,8N/C 107.En la Fig76, hallar la magnitud del campo eléctrico en P, creado por el dipolo eléctrico sabiendo que: q=810-8 C, d= 0,2 mm, r=20 cm, =370 y k=9109 Nm2/C2. a) 30,72 N/C b) 30,74 N/C c) 30,76 N/C d) 30,78 N/C e) 30,8N/C 108.Hallar la expresión correspondiente a la densidad de carga superficial " "  en una esfera, sabiendo que al interior de ella, el campo eléctrico es uniforme y de magnitud "E". a) 3o E cos  b) 3o E sen  c) 5o E cos  d) 5o E cos  e) 9o E sen  E EII E  P  1  + - 237

Campo eléctrico 378 Fig75 Fig76 109.En la Fig77, a la
lámina ilimitada de grosor h=20 cm y densidad volumétrica de carga u niforme =810-8 C/m3 se le ha quitado una cavidad esférica. Hallar la magnitud del cam po eléctrico en A. (k=9109 Nm2/ C2) a) 16 N/C b) 48 N/C c) 96 N/C d) 72 N/C e) 24 N/C 110.Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro de un tetraedro regular, tres caras del cual están cargadas con densidad superficial uniforme 1 =810-9 C/m2 y la cuarta con la densidad superficial uniforme 1 =410-9 C/m2 (k=9109 Nm2/C2) a) 36 N/C b) 72 N/C c) 48 N/C d) 12 N/C e) 24 N/C 111.En la Fig78, el anillo fino de radio R=10 cm, tiene cargas eléctricas Q y -Q distribuidas uniformemente en cada una de sus mitades. Hallar la magnitud del campo eléctrico en P. (Q=810-11 C, d= 3 R cm y k=9109 Nm2/C2) a) 72/ N/C b) 64/ N/C c) 36/ N/C d) 12/ N/C e) 24/ N/C Fig77 Fig78 112.En la Fig79, hallar la magnitud del campo eléctrico en el origen de coordenadas 0, crea do por el octante de esfera hueca de radio R=10 cm y densidad superficial de carga uni forme =810-10 C/m2. (k=9109 Nm2/C2) a) 9,0 N/C b) 9,2 N/C c) 9,4 N/C d) 9,6 N/C e) 9,8 N/C 113.La magnitud del campo eléctrico en el eje de un anillo cargado tiene el valor máximo a la distancia, L=Lmáx del centro del anillo. ¿Cuántas veces menor que la magnitud máxi -q +q  P r  d  P a  l A 0  B  h   +Q -Q P R 0 d 238

Robótica y Cibernética 379 ma del campo será la del
punto situado a la distancia L= 0,5 Lmáx ? a) 1,1 veces b) 1,3 veces c) 1,5 veces d) 1,7 veces e) 1,9 veces 114.Cuatro planos infinitos con densidad superficial de carga uniforme =20-10 C/m2 se in tersectan, formando y limitando un volumen en forma de tetraedro regular. Hallar la mag nitud del campo eléctrico fuera del tetraedro. (k=9109 Nm2/C2) a) 7,0 N/C b) 7,2 N/C c) 7,4 N/C d) 7,6 N/C e) 7,8 N/C 115.Un electrón de masa m=9,110-31 kg y carga eléctrica e=-1,610-19 C se encuentra a una distancia de 2 cm de un alambre muy largo y se acerca a el con aceleración de a=1,51013 m/s2. Hallar la densidad lineal de carga uniforme de este alambre. (k=9109 Nm2/C2) a) 94,0 pC/m b) 94,2 pC/m c) 94,4 pC/m d) 94,6 pC/m e) 94,8 pC/m 116.En la Fig80, dentro de la esfera cargada con densidad volumétrica constante =310-8 C/m3, hay una cavidad esférica. La distancia entre los centros de la esfera y la cavidad es a=10 cm. Hallar la magnitud del campo eléctrico al interior de la cavidad. a) 12 N/C b) 18 N/C c) 24 N/C d) 36 N/C e) 48 N/C 117.En la Fig81. los planos infinitos con densidad superficial de carga uniforme =210-10 C/m2 y =-210-10 C/m2 se cortan formando el ángulo =600, y dividiendo el espacio en cuatro zonas. Hallar la magnitud del campo eléctrico en la zona "2". a) 19,0 N/C b) 19,2 N/C c) 19,4 N/C d) 19,6 N/C e) 19,8 N/C Fig79 Fig80 118.Hallar la densidad volumétrica de carga eléctrica en una esfera, si el vector campo eléc trico o E en ella está dirigida a lo largo de su radio y no varia en módulo. a) 2o Eo / r b) o Eo / 2r c) 3o Eo / r d) o Eo / 3r e) 2o Eo / 3r 119.Se tiene un disco metálico fino de radio R=8 cm y densidad superficial de carga no uni forme dado por: =o [1-(R/r)], siendo o =210-9 C/m2 y "r" la distancia radial desde el centro del disco. Hallar la carga total del disco y la magnitud del campo eléctrico en un 0 0' a  Y Z X  R R 0 R 239

Campo eléctrico 380 punto situado sobre el eje de simetría
perpendicular al disco a una distancia d=6 cm de su centro. (k=9109 Nm2/C2) a) 12 N/C b) 24 N/C c) 36 N/C d) 48 N/C e) 72 N/C 120.En la Fig82, el alambre muy fino tiene una densidad lineal de carga uniforme =410-10 C/m. El radio de redondeo R=20 cm es mucho menor que la longitud del hilo, hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto "O". (k=9109 Nm2/C2) a) 25,40 N/C b) 25,42 N/C c) 25,44 N/C d) 25,46 N/C e) 25,48 N/C Fig81 Fig82 121.La longitud de un hilo metálico cargado es de 25 cm. ¿A qué distancia límite del hilo (en la perpendicular trazada desde el centro del hilo) el campo eléctrico se puede considerar como campo de un hilo infinito cargado? Para ello el error no debe ser mayor de un 5%. a) 4,10 cm b) 4,12 cm c) 4,14 cm d) 4,16 cm e) 4,18 cm 122.Se tiene un cilindro hueco muy largo de radio R=20 cm, y de paredes muy delgadas con densidad de carga superficial, dada por: =o cos , siendo o =510-10 C/m2 una constan te, y " "  el ángulo polar. Hallar la magnitud del campo eléctrico en puntos del eje de si metría del cilindro. (k=9109 Nm2/C2) a) 24,3 N/C b) 25,3 N/C c) 26,3 N/C d) 27,3 N/C e) 28,3 N/C 123.Un disco de radio R=10 cm, espesor d=1 mm, (d<<R) posee densidades de carga superfi cial =210-7 C/m2 en la cara superior, y =-210-7 C/m2 en la inferior, respectivamente. Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto ubicado sobre el eje de simetría que pasa por el centro del disco, a una distancia z=10 cm de su centro. a) 12 N/C b) 24 N/C c) 36 N/C d) 48 N/C e) 72 N/C 124.Se tiene un alambre recto y muy largo de densidad lineal de carga uniforme   210-10 C/m. Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto distante R=3 cm del alambre y situado en la normal que pasa por uno de sus extremos. a) 60 2 N/C b) 50 3 N/C c) 40 2 N/C d) 30 3 N/C e) 25 3 N/C   l R R   0 l 1  + - 2 240

Robótica y Cibernética 381 125.En la Fig83, hallar la magnitud
del campo eléctrico en 0, creado por el segmento esféri co de radio R=10 cm, r=8 cm y densidad superficial de carga uniforme igual a =210-9 C/m2. (k=9109 Nm2/C2) a) 36,0 N/C b) 36,2 N/C c) 36,4 N/C d) 36,6 N/C e) 36,8 N/C 126.En la Fig84, hallar la magnitud del campo eléctrico en el eje del tubo muy largo de sec ción en forma de triángulo equilátero regular, las densidades superficiales de las cargas en las tres caras laterales del tubo son: 1 =2 nC, 2 =4 nC y 3 =6 nC. a) 130,0 N/C b) 130,2 N/C c) 130,4 N/C d) 130,6 N/C e) 130,8 N/C Fig83 Fig84 127.En la Fig85, la lámina ilimitada de grosor h=10 cm y densidad volumétrica de carga u niforme =610-8 C/m3 tiene una cavidad esférica. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto B. (k=9109 Nm2/C2) a) 24 N/C b) 48 N/C c) 72 N/C d) 36 N/C e) 12 N/C 128.En la Fig86, dentro del cilindro cargado con densidad volumétrica uniforme  410-8 C/m3, hay una cavidad cilíndrica. La distancia entre los ejes del cilindro y de la cavidad es a=10 cm. Hallar la magnitud campo eléctrico dentro de la cavidad. a) 72 N/C b) 16 N/C c) 24 N/C d) 12 N/C e) 36 N/C Fig85 Fig86 129.En un aparato de Millikan se observa que una gota de aceite cargada cae a través de una E R   r 0  R   eje 3 2 1 a  R A 0  B  h   241

Campo eléctrico 382 distancia de 1 mm en 27,4 s,
en ausencia de campo eléctrico externo. La misma gota per manece estacionaria en un campo de 2,37104 N/C. ¿Cuántos electrones en exceso ha ad quirido la gota. La viscosidad del aire es de 1,810-5 Ns/m2. La densidad del aceite es de 800 kg/m3 y la densidad del aire es de 1,30 kg/m3? a) 1 e b) 2 e c) 3 e d) 4 e e) 5 e 130.En la Fig87, se tiene una tira infinita muy delgada de ancho "2a", con densidad superfi cial de carga uniforme "", al cual se le ha quitado un agujero de forma circular de radio "a". Hallar la magnitud del campo eléctrico, en un punto situado sobre el eje que pasa por el centro del agujero, a una distancia z=a. (k=9109 Nm2/C2) a) 4,60 N/C b) 4,62 N/C c) 4,64 N/C d) 4,66 N/C e) 4,68 N/C 131.Un hemisferio hueco de radio R=10 cm tiene una densidad superficial de carga no uni forme, dado por: ()=o cos  (siendo " "  el ángulo formado entre "r" y el eje Z que pa sa por el centro de su base y es perpendicular a ella). Hallar la magnitud del campo eléc trico en el punto de intersección del hemisferio con el eje Z. a) o o /   b) o o /2   c) o o /4   d) o o /6   e) o o /8   132.En la Fig88, al intersecarse las esferas de radios R=30 cm, densidades volumétricas de cargas uniformes =+210-9 C/m3, y cuyos centros distan a=20 cm uno del otro, forman dos "medias lunas". Hallar la magnitud del campo eléctrico en la región de intersección. a) 48 N/C b) 72 N/C c) 36 N/C d) 24 N/C e) 12 N/C 133.En la Fig89, el hilo metálico tiene una densidad de carga lineal uniforme =410-9 C/m, el radio de redondeo R=10 cm es mucho menor que la longitud del hilo. Hallar la magni tud del campo eléctrico en el punto "0". (k=9109 Nm2/C2) a) 0 N/C b) 1 N/C c) 2 N/C d) 3 N/C e) 4 N/C Fig87 Fig88 134.Se tiene un disco fino no conductor de radio R=20 cm, y densidad superficial de carga no uniforme, dado por: (r)= 210-9 C/m2 para 0  r  10 cm, y (r)  -210-9 C/m2 para 10  r  20 cm. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro del disco. a) 12 N/C b) 24 N/C c) 36 N/C d) 48 N/C e) 72 N/C eje   a    - + a 242

Robótica y Cibernética 383 135.En la Fig90, hallar la magnitud
del campo eléctrico en 0, creado por la distribución de carga superficial uniforme =810-10 C/m2 distribuida en la placa muy delgada que tiene la forma de un sector de circulo, siendo R=20 cm, r=10 cm y =600. (k=9109 Nm2/C2) a) 4,91 N/C b) 4,93 N/C c) 4,95 N/C d) 4,97 N/C e) 4,99 N/C Fig89 Fig90 136.En la Fig91, el lado del cuadrado es a=1 m y las cargas son iguales a q=10-9 C. Hallar la magnitud del campo eléctrico en P, para x= 2 /4 m. (k=9109 Nm2/C2) a) 51,12 N/C b) 51,14 N/C c) 51,16 N/C d) 51,18 N/C e) 51,20 N/C 137.Dos barras delgadas de longitudes iguales a 2a=20 cm, y densidades lineales de carga u niformes =210-10 C/m y =-210-10 C/m, respectivamente, se unen por sus extremos for mando un ángulo de = 600. Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto equi distante a=10 cm de ambas barras. (k=9109 Nm2/ C2) a) 56,70 N/C b) 56,72 N/C c) 56,74 N/C d) 56,76 N/C e) 56,78 N/C 138.En la Fig92, las mitades del disco hueco muy delgado de radios interno a=10 cm y exter no b=20 cm, tienen densidades de carga superficial uniformes =210-9 C/m2. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro del anillo. (Usar: log10 (x)) a) 21,61 N/C b) 21,63 N/C c) 21,65 N/C d) 21,67 N/C e) 21,69 N/C Fig91 Fig92 139.En la Fig93, el cilindro compacto de radio de la base R=10 cm, longitud l=40 cm, tiene 0  R  r R R R     P  q q q q a x Z X Y 0 a b - + 243

Campo eléctrico 384 una densidad de carga volumétrica uniforme =810-10
C/m3. Hallar la magnitud del cam po eléctrico en un punto del eje del cilindro, ubicado a una distancia z=10 cm de su base. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,41 N/C b) 1,43 N/C c) 1,45 N/C d) 1,47 N/C e) 1,49 N/C 140.En la Fig94, las mitades del disco circular de radio a=20 cm, y espesor despreciable, po seen densidades superficiales de carga uniforme =410-9 C/m2. Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto del eje del disco, situado a una distancia z=a=20 cm de su centro. (k=9109 Nm2/C2) a) 46,1 N/C b) 46,3 N/C c) 46,5 N/C d) 46,7 N/C e) 46,9 N/C Fig93 Fig94 141.Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro de curvatura de un hemisferio hueco de radio R=10 cm, y densidad de carga superficial uniforme  = 410-9 C/m2. a) 12 N/C  b) 24 N/C  c) 36 N/C  d) 48 N/C  e) 72 N/C  142.En la Fig95, la cubierta metálica semiesférica de radio R=16 cm es hueca, cerrada y está conectada a tierra. Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q=810-8 C situada a la distancia d=4 cm de O. (k=9109 Nm2/C2 , m=10-3) a) 7,80 mN b) 7,82 mN c) 7,84 mN d) 7,86 mN e) 7,88 mN 143.En la Fig96, la esferita de masa m=40 g y carga eléctrica q=+200C gira uniformemen te al interior del condensador con velocidad de v= 5 m/s, =300 y l= 3/2 m Hallar la magnitud del campo eléctrico E . (k=9109 Nm2/C2, k=103) a) 1 kN/C b) 2 kN/C c) 3 kN/C d) 4 kN/C e) 5 kN/C 144.Un protón y una partícula "", moviéndose a la misma velocidad, se introducen en un condensador plano paralelamente a las láminas. ¿Cuántas veces será mayor la desviación del protón debido al campo eléctrico del condensador, que la de la partícula ""? a) 1 vez b) 2 veces c) 3 veces d) 4 veces e) 8 veces z l R R    P  Z X Y 0 a - + 244

Robótica y Cibernética 385 Fig95 Fig96 145.Se lanza un electrón
en un campo eléctrico uniforme de magnitud E=5 000 N/C, dirigido verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es v0 =107 m/s formando un ángulo de 300 por encima de la horizontal. Hallar la altura máxima que alcanza a partir de su posición inicial. (g=10 m/s2, e=-1,610-19 C, me = 9,110-31 kg) a) 1,40 cm b) 1,42 cm c) 1,44 cm d) 1,46 cm e) 1,48 cm 146.En la Fig97, el hemisferio compacto de radio R=20 cm, que tiene una densidad de carga volumétrica uniforme =810-10 C/m3, presenta una cavidad esférica de diámetro D=20 cm. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto A. (k=9.109 N.m2/C2) a) 1,76 N/C b) 2,76 N/C c) 3,76 N/C d) 4,76 N/C e) 5,76 N/C 147.En la Fig98, el radio de la espira circular de carga homogénea Q=410-12 C disminuye con una rapidez de u=0,5 mm/s. ¿Con qué rapidez aumenta (A) o disminuye (D) la magni tud del campo eléctrico en el punto P situado a una distancia d=1 cm, en el instante en que el radio de la espira es R=2 cm? (k=9109 Nm2/C2) a) A, 1,53 N C.s b) D, 1,53 N C.s c) A, 1,93 N C.s d) D, 1,93 N C.s e) A, 2,25 N C.s Fig97 Fig98 148.En la Fig99, el cono regular compacto de radio de la base circular "R", altura H=50 cm tiene una carga eléctrica Q=210-10 C, distribuida uniformemente en su volumen. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el vértice A del cono. (R= 3 H, k=9109 Nm2/C2) a) 7,0 N/C b) 7,2 N/C c) 7,4 N/C d) 7,6 N/C e) 7,8 N/C d Q P 0 R A R D  0 0  q   d R R E l   r 245

Campo eléctrico 386 149.En la Fig100, el conductor hueco en
forma de pirámide de base circular de radio R=50 cm y altura "R", tiene una densidad de carga superficial uniforme de =610-11 C/m2. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P. (k=9109 Nm2/C2) a) 2,0 N/C b) 2,2 N/C c) 2,4 N/C d) 2,6 N/C e) 2,8 N/C Fig99 Fig100 150.En la Fig101, las mitades del cascarón esférico metálico de radio R=40 cm, tienen densi dades de carga uniformes de =810-11 C/m2 cada uno. Hallar la magnitud del campo e léctrico en el punto P. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,07 N/C b) 1,27 N/C c) 1,47 N/C d) 1,67 N/C e) 1,87 N/C 151.En la Fig102, las mitades de la espira circular metálica delgada de radio R=20 cm están contenidas en planos que forman 1200 entre si, y tienen densidades de carga lineal unifor mes de 1 =210-11 C/m y 2 =410-11 C/m, respectivamente. Hallar la magnitud del cam po eléctrico en el centro común 0. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,1 N/C b) 2,1 N/C c) 3,1 N/C d) 4,1 N/C e) 5,1 N/C Fig101 Fig102 152.En la Fig103, hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, creado por el fila mento de longitud infinita y densidad de carga lineal uniforme =210-11 C/m. La distan cia del punto P al filamento es d=4 cm. (k=9109 Nm2/C2) a) 1 N/C b) 3 N/C c) 5 N/C d) 7 N/C e) 9 N/C 0 H R Q A  R R P P R + - 0 R R 1200 1 2 246

Robótica y Cibernética 387 Fig103 Fig104 153.En la Fig104, hallar
la magnitud del campo eléctrico en el punto P, creado por el fila mento de longitud l=25 cm y densidad de carga lineal uniforme =210-10 C/m. La distan cia del punto P al filamento es d=12 cm. (k=9109 Nm2/C2, =370, =530) I) ¿En qué razón están las magnitudes de las componentes del campo eléctrico (Ey /Ex ) en las direcciones de los ejes Y e X? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P. a) 21,0 N/C b) 21,2 N/C c) 21,4 N/C d) 21,6 N/C e) 21,8 N/C III) Hallar el ángulo que forma el campo eléctrico con respecto a la horizontal. a) o ' " 81 52 12 b) o ' " 83 52 12 c) o ' " 85 52 12 d) o ' " 87 52 12 e) o ' " 89 52 12 154.En la Fig.105, el filamento de longitud l=16 cm y densidad de carga lineal uniforme de =410-10 C/m crea en el punto P un campo eléctrico, cuya razón de sus componentes es Ey /Ex =2. Hallar la distancia "d" del punto P al filamento. (k=9109 Nm2/C2) a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 18 cm Fig105 Fig106 155.En la Fig106, hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, creado por el fila mento de longitud 2l=100 cm, cuyas mitades tienen densidades de carga lineal uniformes =410-9 C/m. La distancia del punto P al filamento es d=50 cm. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,2 N/C b) 2,2 N/C c) 3,2 N/C d) 4,2 N/C e) 5,2 N/C d    P  d    P  l d  P  X Y l d P  - + l l 247

Campo eléctrico 388 156.En la Fig107, el filamento delgado de
longitud " " tiene una densidad de carga lineal no uniforme, dado por: =Ax, siendo A=410-10 C/m2 una constante. La distancia del pun to P al extremo derecho del filamento es "d". (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, para l=d. a) 1,0 N/C b) 1,5 N/C c) 2,0 N/C d) 2,5 N/C e) 3,0 N/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, para d>>l. a) kA /d b) kA /2d c) kA /4d d) 2 2 kA /d e) 2 2 kA /2d 157.En la Fig108, las mitades del filamento delgado de longitud 2l=100 cm tienen densida des de carga uniformes =410-9 C/m. La distancia del punto P al extremo derecho del filamento es d=50 cm. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P. a) 20 N/C b) 22 N/C c) 24 N/C d) 26 N/C e) 28 N/C Fig107 Fig108 158.En la Fig108, las mitades izquierda y derecha del filamento delgado de longitud "2 " tienen densidades de cargas uniformes 1 " "  y 2 " "  . ¿Para qué relación 1 /2 =? entre las densidades de cargas, la magnitud del campo eléctrico en el punto P situado a una distan cia d=4l es nulo? (k=9109 Nm2/C2) a) -1/2 b) -2/3 c) -3/2 d) -3/4 e) -4/3 159.En la Fig109, el anillo muy delgado de radio R=10 cm, tiene una densidad de carga li neal uniforme =410-10 C/m. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, situa do a una distancia d=10 cm del centro del anillo. (k=9109 Nm2/C2) a) 60 N/C b) 65 N/C c) 70 N/C d) 75 N/C e) 80 N/C Fig109 Fig110 P d 0 X =Ax  l - d P + l l  R d P  R d P 248

Robótica y Cibernética 389 160.En la Fig110, el disco muy
delgado de radio R=10 cm, tiene una densidad de carga su perficial uniforme =410-10 C/m2. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, situado a una distancia d=10 cm del centro del anillo. (k=9109 Nm2/C2) a) 3,63 N/C b) 4,63 N/C c) 5,63 N/C d) 6,63 N/C e) 7,63 N/C 161.En la Fig111, hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, creado por la placa muy delgada infinita de densidad de carga superficial uniforme =410-10 C/m2. La dis tancia del punto P al plano es d=10 cm. (k=9109 Nm2/C2) a) 20,6 N/C b) 22,6 N/C c) 24,6 N/C d) 26,6 N/C e) 28,6 N/C 162.En la Fig112, el punto P está situado a una distancia d=10 cm de la superficie de la esfe ra hueca de radio R=10 cm y densidad de carga superficial uniforme =410-10 C/m2. Ha llar la magnitud del campo eléctrico en el punto P. (k=9109 Nm2/C2) a) 11,1 N/C b) 11,3 N/C c) 11,5 N/C d) 11,7 N/C e) 11,9 N/C Fig111 Fig112 163.Se tiene una esfera compacta de radio R=10 cm y densidad de carga volumétrica unifor me =410-9 C/m3. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico a una distancia d=5 cm del centro de la esfera. a) 4,54 N/C b) 5,54 N/C c) 6,54 N/C d) 7,54 N/C e) 8,54 N/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico a una distancia d=15 cm del centro de la esfera cargada. a) 3,7 N/C b) 4,7 N/C c) 5,7 N/C d) 6,7 N/C e) 7,7 N/C III)Hallar la magnitud del campo eléctrico en puntos de la superficie de la esfera. a) 12,1 N/C b) 13,1 N/C c) 14,1 N/C d) 15,1 N/C e) 16,1 N/C IV) Representar la gráfica de la magnitud del campo eléctrico "E"en función de la distancia radial "r". 164.Las mitades de una esfera compacta de radio R=20 cm poseen densidades de carga volu P      d P d R 0  249

Campo eléctrico 390 métrica uniformes =810-10 C/m3. Hallar la magnitud
del campo eléctrico en el centro de la esfera compacta. (k=9109 Nm2/C2) a) 5 N/C b) 6 N/C c) 7 N/C d) 8 N/C e) 9 N/C 165.En la Fig113, el hemisferio compacto de radio R=20 cm, posee una densidad de carga volumétrica uniforme =810-10 C/m3. ¿En qué porcentaje varia la magnitud del campo e léctrico en el punto B, respecto del campo en el punto A? (k=9109 Nm2/C2) a) 6,0 % b) 6,2 % c) 6,4 % d) 6,6 % e) 6,8 % 166.En la Fig114, el anillo muy delgado de radio R=50 cm tiene una densidad de carga li neal uniforme de =810-11 C/m. Estimar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, creado por este anillo cargado, para un ángulo de abertura de 2o =210-8. (Usar: log(x) k=9109 Nm2/C2) a) 5 N/C b) 10 N/C c) 15 N/C d) 20 N/C e) 25 N/C Fig113 Fig114 167.En la Fig101, las mitades del cascarón esférico metálico muy delgado de radio R=40 cm, tienen densidades de carga uniformes de =810-11 C/m2 cada uno. Hallar la mag nitud del campo eléctrico en el centro 0 del cascarón. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,52 N/C b) 2,52 N/C c) 3,52 N/C d) 4,52 N/C e) 5,52 N/C 168.En la Fig115, la mitad del anillo circular muy delgado de radio R=50 cm, tiene una den sidad de carga lineal uniforme =410-9 C/m. El punto P está a una distancia d= 3 R del centro 0 de la mitad del anillo. (k=9109 Nm2/C2) I) En el punto P, hallar la razón Ez /Ex =? de las magnitudes de las componentes del campo eléctrico, en las direcciones de los ejes Z y X, respectivamente. a) 2,12 b) 2,32 c) 2,52 d) 2,72 e) 2,92 II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, creado por la mitad de anillo. a) 50,17 N/C b) 52,17 N/C c) 54,17 N/C d) 56,17 N/C e) 59,17 N/C P 0 R 0  B R R  A 250

Robótica y Cibernética 391 III)En el punto P, hallar la
dirección del campo eléctrico, respecto del eje Z. a) o ' 20 10 55" b) o ' 22 10 55" c) o ' 24 10 55" d) o ' 26 10 55" e) o ' 28 10 55" IV)Hallar la magnitud del campo eléctrico, en el origen 0. a) 140 N/C b) 142 N/C c) 144 N/C d) 146 N/C e) 148 N/C 169.En la Fig116, la mitad del disco circular muy delgado de radio R=50 cm, tiene una den sidad de carga lineal uniforme =810-9 C/m2. El punto P está a una distancia d= 3 R del centro 0 de la mitad del disco. (k=9109 Nm2/C2) I) En el punto P, hallar la razón (Ez /Ex =?) de las magnitudes de las componentes del campo eléctrico, en las direcciones de los ejes Z e X, respectivamente. a) 1,27 b) 2,27 c) 3,27 d) 4,27 e) 5,27 II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, creado por la mitad de disco. a) 31,1 N/C b) 33,1 N/C c) 35,1 N/C d) 37,1 N/C e) 39,1 N/C Fig115 Fig116 170.Un avión vuela a través de un nubarrón a una altura de 2 000 m. Si hay una concentra ción de carga de +40 C a una altura de 3 000 m dentro de la nube y de -40 C a una altura de 1000 m, ¿Cuál es el campo eléctrico E en la aeronave? a) 720 kN/C () b) 720 kN/C () c) 740 kN/C () d) 740 kN/C () e) 760 kN/C() 171.En la Fig117, se muestran tres cargas q1 =2 C, q2 =7 C, q3 =-4 C ubicados en los vérti ces del triángulo equilátero de lados a=0,5 m. (k=9109 Nm2/C2, =10-6, m=10-3) I) Hallar el campo eléctrico en la posición de la carga 1 "q " debido a las cargas 2 "q " y 3 "q ". a) (16ˆ i -214ˆ j) kN/C b) (18ˆ i -218ˆ j) kN/C c) (12ˆ i -212ˆ j) kN/C d) (10ˆ i -216ˆ j) kN/C e) (16ˆ i -210ˆ j) kN/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en la posición de la carga 1 "q ".  d 0 R R Y Z X P   d 0 R R Y Z X P  251

Campo eléctrico 392 a) 218,1 kN/C b) 218,3 kN/C c)
218,5 kN/C d) 218,7 kN/C e) 218,9 kN/C III) Hallar la dirección del campo eléctrico en la posición de la carga 1 "q ". a) 272,7º b) 273,7º c) 274,7º d) 275,7º e) 276,7º IV) A partir de lo obtenido en I) determinar la fuerza sobre la carga puntual 1 "q ". a) (32ˆ i -430ˆ j) mN b) (30ˆ i -432ˆ j) mN c) (36ˆ i -436ˆ j) mN d) (34ˆ i -434ˆ j) mN e) (38ˆ i -438ˆ j) mN 172.En la Fig118, tres cargas puntuales q1 =5 nC, q2 =6 nC, q3 =-3 nC están situadas en los e jes x e y, siendo a=0,3 m, b=0,1 m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el campo eléctrico en el origen de coordenadas 0. a) (-0,6ˆ i -2,7ˆ j) kN/C b) (-0,2ˆ i -2,9ˆ j) kN/C c) (-0,4ˆ i -2,1ˆ j) kN/C d) (-0,5ˆ i -2,1ˆ j) kN/C e) (-0,8ˆ i -2,3ˆ j) kN/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el origen de coordenadas 0. a) 2,16 kN/C b) 2,36 kN/C c) 2,56 kN/C d) 2,76 kN/C e) 2,96 kN/C III) Hallar la dirección del campo eléctrico en el origen de coordenadas 0. a) 251,5º b) 253,5º c) 255,5º d) 257,5º e) 259,5º IV) Hallar la fuerza eléctrica sobre la carga 1 "q ". a) (-3ˆ i -13,5ˆ j) N b) (-4ˆ i -12,5ˆ j) N c) (-2ˆ i -14,5ˆ j) N d) (-5ˆ i -11,5ˆ j) N e) (-6ˆ i -15,5ˆ j) N Fig117 Fig118 173.En los vértices de un triángulo equilátero de lados a=2 3 cm, se encuentran cargas puntuales de q=4 pC. +q2 +q1 -q3 a a 60o y x a a b +q1 +q2 -q3 y x 252

Robótica y Cibernética 393 I) Determinar un punto que no
se encuentra en el infinito, donde el campo eléctrico genera do por las tres cargas sea nulo. II) Hallar el campo eléctrico E en el punto encontrado, debido a las dos cargas de la base. a) 90 N/C () b) 90 N/C () c) 50 N/C () d) 50 N/C () e) 20 N/C () 174.Dos cargas puntuales de q=+2 C se ubican sobre el eje-x en las posiciones x=1 m. I) Hallar el campo eléctrico E en el punto x=0, y=0,5 m, generado por las dos cargas. a) -13 kN/C (ˆ j) b) 13 kN/C (ˆ j) c) -15 kN/C (ˆ j) d) 15 kN/C (ˆ j) e) 18 kN/C (ˆ j) II) Hallar la fuerza F sobre una carga puntual qo =-3 C, situado en x=0, y=0,5 m. a) -35 mN (ˆ j) b) 35 mN (ˆ j) c) -39 mN (ˆ j) d) 39 mN (ˆ j) e) -37 mN (ˆ j) 175.Una partícula puntual de carga "q" se localiza en el plano-xy en el punto O(xo ; yo ). De mostrar que las componentes x e y del campo eléctrico en el punto P(x; y), debidas a esta carga "q" son: Ex =kq (x-xo )/[(x-xo )2 + (y-yo )2]3/2; Ey =kq (y-yo )/[(x-xo )2 + (y-yo )2]3/2. 176.Se tienen "n" (par) cargas puntuales positivas iguales, cada una de magnitud "Q / n", si tuadas simétricamente alrededor de una circunferencia de radio "R". I) Demostrar que el campo eléctrico E en un punto P, situado en la línea que pasa por el centro de la circunferencia y es perpendicular a ella, a una distancia "z" del centro, es el de un anillo de carga "Q" y radio "R". II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en P, para: Q=4 nC, R=10 cm y z=4 cm. a) 10,5 N/C b) 11,5 N/C c) 12,5 N/C d) 13,5 N/C e) 14,5 N/C 177.Se tiene un número infinito de cargas puntuales idénticas, cada una de carga "q" coloca das a lo largo del eje-x a distancias a, 2a, 3a, 4a,…del origen. ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen debido a esta distribución? a) 140 N/C (-ˆ i ) b) 142 N/C (-ˆ i ) c) 144 N/C (-ˆ i ) d) 146 N/C (-ˆ i ) e) 148 N/C(-ˆ i ) 178.En la Fig119, las cargas puntuales de q=4nC se encuentran en el arco de cuarto de cir cunferencia de radio R=20 cm. Hallar la magnitud del campo eléctrico E , en el punto me dio P. (k= 9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 2,67 N/C b) 2,87 N/C c) 3,07 N/C d) 3,27 N/C e) 3,47 N/C 179.En la Fig120, la bola de corcho cargada de masa m=1 g, está suspendida de la cuerda li gera en presencia del campo eléctrico uniforme: E =(3ˆ i +5ˆ j)105 N/C, la bola está en equi librio, formando la cuerda =37º con la vertical. (k=9109 Nm2/C2, g=9,8 m/s2, n=10-9) I) Hallar el valor de la carga eléctrica "q"de la bola. a) 8,9 nC b) 9,9 nC c) 10,9 nC d) 11,9 nC e) 12,9 nC 253

Campo eléctrico 394 II) Hallar la magnitud de la tensión
en la cuerda. a) 5,05 mN b) 5,25 mN c) 5,45 mN d) 5,65 mN e) 5,85 mN Fig119 Fig120 180.Una línea de carga continua se encuentra a lo largo del eje-x, extendiéndose desde x=+xo hasta el infinito positivo. La línea tiene una densidad de carga lineal uniforme o " "  . Ha llar la magnitud y dirección del campo eléctrico en el origen de coordenadas. a) ko /2xo (ˆ i ) b) ko /2xo (-ˆ i ) c) ko /xo (ˆ i ) d) ko /xo (-ˆ i ) e) ko /4xo (ˆ i ) 181.Una línea de carga empieza en x=+xo y se extiende hasta el infinito positivo. Si la densi dad de carga lineal es =o xo /x, hallar el campo eléctrico E en el origen de coordenadas. a) ko /2xo (ˆ i ) b) ko /2xo (-ˆ i ) c) ko /xo (ˆ i ) d) ko /xo (-ˆ i ) e) ko /4xo (ˆ i ) 182.Demostrar que la intensidad de campo eléctrico máxima Emáx a lo largo del eje de un ani llo de radio "R", carga "Q" distribuida uniformemente ocurre en x=a/ 2 y tiene el valor de Q/(6 3o R2). 183.Se tiene un disco delgado de radio "R", carga "Q" distribuida uniformemente en su su perficie. Demostrar que el campo eléctrico a lo largo del eje de simetría del disco, para grandes distancias "x" de su centro, es el de una carga puntual Q=R2. 184.Un pedazo de poliestireno de masa "m" tiene una carga neta de " q"  y flota sobre el centro de una lámina de plástico horizontal y muy grande, que tiene una densidad de car ga uniforme en su superficie. ¿Cuál es la carga por unidad de área de la lámina de plásti co? a) 2o mg/q b) 4o mg/q c) mg/2o q d) mg/4o q e) mg/2o q2 185.Un electrón y un protón se ponen en movimiento del reposo bajo la acción de un campo eléctrico de intensidad E=520 N/C. Hallar la razón de sus rapideces ve /vP =?, 48 ns des pués de iniciado el movimiento. (me =9,109.10-31 kg, mP =1,672.10-27 kg, n=10-9) a) 1816 b) 1828 c) 1836 d) 1846 e) 1856 y 0 x q q  P R R q  x y E g 254

Robótica y Cibernética 395 186.Un protón se lanza en la
dirección del eje-x positiva en presencia de un campo eléctrico de intensidad E =6105 N/C (ˆ i ). El protón se desplaza una distancia de d=7 cm antes de detenerse. (e=1,60210-19 C, m=1,67210-27 kg, T=1012, M=106, n=10-9) I) Hallar la la magnitud de la aceleración del protón. a) 51,5 Tm/s2 b) 53,5 Tm/s2 c) 55,5 Tm/s2 d) 57,5 Tm/s2 e) 59,5 Tm/s2 II) Hallar la rapidez inicial que tenía el protón. a) 2,04 Mm/s b) 2,24 Mm/s c) 2,44 Mm/s d) 2,64 Mm/s e) 2,84 Mm/s III) Hallar el tiempo que tarda en detenerse el protón. a) 41,4 ns b) 43,4 ns c) 45,4 ns d) 47,4 ns e) 49,4 ns 187.Cada uno de los electrones en un haz de partículas tiene una energía cinética de EC = 1,610-17 J. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico que detendrá estos electrones en una distancia de d=10 cm? (e=-1,610-19 C, m=9,110-31 kg) a) 100 N/C b) 500 N/C c) 1000 N/C d) 800 N/C e) 1500 N/C 188.Una cuenta de masa m=1 g cargada positivamente cae desde el reposo en el vació desde una altura de h=5 m a través de un campo eléctrico vertical uniforme con una magnitud de E=104 N/C. La cuenta golpea al suelo a una rapidez de v=21 m/s. I) Determinar la dirección del campo eléctrico. a)  b)  c)  d)  e) II) Determinar el valor de la carga eléctrica de la cuenta. a) 3,03 C b) 3,23 C c) 3,43 C d) 3,63 C e) 3,83 C 189.En la Fig121, se lanzan protones con rapidez de vo =9,55103 m/s en presencia de un cam po eléctrico uniforme de E =720 N/C ( ˆ j  ). Los protones inciden sobre un blanco situado a la distancia horizontal de d=1,27 mm del punto de lanzamiento. (e=1,610-19 C, m= 1,67210-27 kg) I) Hallar los dos ángulos de lanzamiento " "  , para el cual, se logra el impacto. a) 34,8º; 55,2º b) 35,8º; 54,2º c) 36,8º; 53,2º d) 37,8º; 52,2º e) 38,8º; 51,2º II) Hallar la razón entre los tiempos de mayor a menor vuelo. a) 1,14 b) 1,34 c) 1,54 d) 1,74 e) 1,94 190.En la Fig122, cuatro cargas puntuales idénticas de q=+10 C se ubican en los vértices del rectángulo de lados a=60 cm, b=15 cm. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el campo eléctrico resultante E (en kN/C) en el origen de coordenadas. a) -470,6ˆ i -4050,6ˆ j b) -472,6ˆ i -4052,6ˆ j c) -474,6ˆ i -4054,6ˆ j d) -476,6ˆ i -4056,6ˆ j e) -478,6ˆ i -4058,6ˆ j 255

Campo eléctrico 396 II) Hallar la dirección del campo eléctrico
resultante E en el origen de coordenadas. a) 261,3º b) 263,3º c) 265,3º d) 267,3o e) 269,3o Fig121 Fig122 191.El átomo de hidrógeno tiene radio R=5,310-11 m. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctri co (en 1022 N/C) que produce el núcleo en este radio? (k=9109 Nm2/C2, e=1,60210-19C) a) 5,13 b) 5,33 c) 5,53 d) 5,73 e) 5,93 192.En la Fig123, se muestra la distribución de las cargas nucleares (cargas positivas) en una molécula de KBr. Hallar la magnitud del campo eléctrico (en 1010 N/C) en el centro de masa de la molécula, sabiendo que dBr =9,310-11 m, dK =1,8910-10 m. (k=9109 Nm2/C2, e=1,60210-19 C) a) 506,76 b) 516,76 c) 526,76 d) 536,76 e) 546,76 193.En la Fig124, si se coloca una carga de q=1,010-10 C en el eje-x a 0,15 m del origen del sistema de coordenadas. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el vector campo eléctrico E en el punto P, creado por la carga "q". a) (-23,15ˆ i +15,43ˆ j) N/C b) (-23,35ˆ i +15,63ˆ j) N/C c) (-23,95ˆ i +15,23ˆ j) N/C d) (-23,75ˆ i +15,03ˆ j) N/C e) (-23,55ˆ i +15,83ˆ j) N/C II) Hallar la dirección del vector campo eléctrico E , en el punto P. a) 140,32º b) 142,32º c) 144,32º d) 146,32º e) 148,32º Fig123 Fig124 E d  vo P Flujo de protones a b +q +q +q +q y x K Br +19e +35e c.m.  dBr dK x y +q 0  0,15m x y 0,10m P 256

Robótica y Cibernética 397 194.En la Fig125, la distancia entre
el núcleo de oxígeno y cada uno de los núcleos de hidró geno en una molécula de H2 O es d=9,5810-11 m; el ángulo entre los átomos es =105º. Hallar el vector del campo eléctrico (en TN/C) producido por las cargas nucleares (cargas positivas) en el punto P, a una distancia de D=1,2.10-10 m a la derecha del núcleo de oxí geno (k= 9109 Nm2/C2, T=1012, e=1,60210-19) a) 1,48 () b) 1,48 () c) 1,78 () d) 1,78 () e) 2,08 () Fig125 Fig126 195.En la Fig126, se muestra la distribución de cargas en una nube de tormenta. Hay una car ga de Q1 =40 C a una altura de h1 =10 km, Q2 =-40 C a h2 =5 km y de Q3 =10 C a h3 =2 km. Considerando que estas cargas son puntuales. El punto P se encuentra a una altura de h=8 km, y a una distancia d=3 km de la línea que une las cargas. (k=9109 Nm2/C2, kilo k= 103) I) Hallar el vector campo eléctrico E en el punto P. a) (9,91ˆ i -27,81ˆ j) kN/C b) (9,71ˆ i -27,01ˆ j) kN/C c) (9,51ˆ i -27,21ˆ j) kN/C d) (9,31ˆ i -27,61ˆ j) kN/C e) (9,11ˆ i -27,41ˆ j) kN/C II) Hallar la dirección del vector campo eléctrico E en el punto P. a) 281,61º b) 283,61º c) 285,61º d) 287,61º e) 289,61º 196.En la Fig127, en la malla de red cristalina de sal común, hay ocho iones, Cl- y Na+, en los vértices de un cubo de lados igual a l=2,8210-10 m. (k=9109 Nm2/C2, e=1,60210-19 C) I) Hallar el ángulo que forma el campo eléctrico en el vértice P, con el eje-x. a) 121,38º b) 123,38º c) 125,38º d) 127,38º e) 129,38º II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el vértice P del cubo. a) 11,2 GN/C b) 13,2 GN/C c) 15,2 GN/C d) 17,2 GN/C e) 19,2 GN/C III) Hallar el vector fuerza eléctrica sobre el ión de Na+, situado en el vértice P. H H P  D d d O Q2 h1 h2 h3 Q3 Q1 h d P y x 257

Campo eléctrico 398 a) -1,01 nN (ˆ ˆ ˆ i
j k   ) b) 1,01 nN (ˆ ˆ ˆ i j k   ) c) -1,41 nN (ˆ ˆ ˆ i j k   ) d) 1,41 nN (ˆ ˆ ˆ i j k   ) e) -1,81 nN (ˆ ˆ ˆ i j k   ) 197.En la Fig128, en siete de los vértices del cubo de lados a=4 cm se encuentran cargas pun tuales idénticas Q=+6 pC. Hallar el vector campo eléctrico resultante E , en el vértice va ció P. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 60,1(ˆ ˆ ˆ i j k   ) N/C b) 62,1(ˆ ˆ ˆ i j k   ) N/C c) 64,1(ˆ ˆ ˆ i j k   ) N/C d) 66,1(ˆ ˆ ˆ i j k   ) N/C e) 68,1(ˆ ˆ ˆ i j k   ) N/C Fig127 Fig128 198.En la Fig129, se tiene tres cargas puntuales –Q, 2Q y –Q, situados sobre el eje-x. Hallar el campo eléctrico E a una distancia "x", para x>>d. (Este arreglo de tres cargas se lla ma cuadrupolo eléctrico) a) 3kQd/x3 (-ˆ i ) b) 3kQd/x3 (ˆ i ) c) 6kQd2/x4 (-ˆ i ) d) 6kQd2/x4 (-ˆ i ) e) 4kQd/x3 (ˆ i ) 199.En la Fig130, se ubica una carga puntual positiva o "q " en el punto P de coordenadas r=2 mm,  =60o, contenido en el plano del dipolo eléctrico de carga Q=4 nC, distancia de separación entre las cargas d=4 m. ¿En qué dirección se moverá la carga o "q "? (k=9109 Nm2/C2, =10-6, n=10-9) a) 98º b) 101º c) 104º d) 107º e) 110º Fig129 Fig130 l Cl- Cl- Cl- Cl- Na+ Na+ Na+ Na+ P a Q Q Q Q Q Q Q P z y x y d d -Q 2Q -Q x P  x +Q -Q d/2 d/2  r P 258

Robótica y Cibernética 399 200.En el espacio entre dos placas
planas paralelas de forma cuadrada de lados a=0,30 cm el campo eléctrico es uniforme y de magnitud E=2105 N/C. ¿Qué densidad de carga superfi cial de signos opuestos, se debe suministrar a las placas? Asúmase que la distancia entre las placas es mucho menor que las dimensiones de las placas. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 11,9 pC b) 12,9 pC c) 13,9 pC d) 14,9 pC e) 15,9 pC 201.Una varilla recta y larga tiene una densidad de carga lineal uniforme de =210-14 C/m. ¿En qué porcentaje cambia la magnitud del campo, cuando este se calcula a las distancias de r1 =0,50 m y r2 =1,0 m. (k=9109 Nm2/C2) a) 40 % b) 45 % c) 50 % d) 55 % e) 60 % 202.Se tienen dos varillas rectas muy largas de densidades de carga lineal uniformes de =1 pC/m, cada una. La primera varilla está en el eje-x+ y la otra en el eje-y+. Hallar el vector campo eléctrico E en el punto P(0,5 ; 0,2) m. (k=9.109 N.m2/C2) a) (-17ˆ i +45ˆ j) mN/C b) (17ˆ i -45ˆ j) mN/C c) (-15ˆ i +47ˆ j) mN/C d) (15ˆ i -47ˆ j) mN/C e) (13ˆ i -49ˆ j) mN/C 203.Se tienen dos varillas rectas muy largas de densidades de carga lineal uniformes de =1 pC/m, cada una. La primera varilla está en el eje-x y la otra en el eje-y. Hallar el vector campo eléctrico E en el punto P(0,5 ; 0,2) m. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 90,9 mN/C b) 92,9 mN/C c) 94,9 mN/C d) 96,9 mN/C e) 98,9 mN/C 204.En la Fig131 el dipolo eléctrico de cargas Q=4 nC, distancia d=6 m, se encuentra en el campo eléctrico uniforme de magnitud E=200 N/C. (o= 30º, k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Hallar el torque inicial que actúa sobre el dipolo eléctrico. a) 2,0 pNm ( ˆ k ) b) -2,0 pNm ( ˆ k ) c) 2,4 pNm ( ˆ k ) d) -2,4 pNm ( ˆ k ) e) 2,8 pNm ( ˆ k ) II) Hallar el trabajo realizado por el campo para alinear el dipolo eléctrico. a) 8,16 pJ b) 8,36 pJ c) 8,56 pJ d) 8,76 pJ e) 8,96 pJ 205.En la Fig132 se tiene un cuadrupolo de cargas –Q, 2Q, -Q (Q=8 nC), y distancia d=4 m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar las expresiones de las componentes radial r "E ", tangencial "E "  , y magnitud del campo eléctrico en el punto P de coordenadas (r; ) II) Hallar la componente radial r "E " del campo eléctrico en P, para: r=2 mm, =30º. a) 255 N/C b) 260 N/C c) 265 N/C d) 270 N/C e) 275 N/C III) Hallar la componente tangencial "E "  del campo eléctrico en P, para: r=2 mm, =30º. 259

185,06 N/C d) 187,06 N/C e) 189,06 N/C IV) Hallar la magnitud del campo eléctrico del cuadrupolo en P, para r= 2 mm, =37º a) 371,82 N/C b) 373,82 N/C c) 375,82 N/C d) 377,82 N/C e) 379,82 N/C V) Hallar la dirección del campo eléctrico en P, para r=2 mm, =30º. a) 60,71º b) 62,71º c) 64,71º d) 66,71º e) 68,71º Fig131 Fig132 206.Dos barras delgadas de longitud l=60 cm, cada una con densidad de carga lineal unifor me de =0,6 pC/m, forman una cruz. Hallar el campo eléctrico en un punto P, situado a la distancia de d=30 cm de cada barra, en el plano de la cruz. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 3,09 N/C b) 3,29 N/C c) 3,49 N/C d) 3,69 N/C e) 3,89 N/C 207.En la Fig133 sobre tres hojas de papel, paralelas y grandes, hay carga eléctrica uniforme mente distribuida. Las densidades de carga superficial uniformes son: 1 =2 C/m2, 2 =2 C/m2 y 3 =-2 C/m2, respectivamente. La distancia entre una hoja y la siguiente es d=1 cm. ¿En qué región el campo eléctrico es de mayor intensidad, y cuál es su magnitud? (k= 9109 Nm2/C2) a) A ; 113 kN/C b) B ; 339 kN/C c) C ; 226 kN/C d) D ; 339 kN/C e) D ;226 kN/C Fig133 Fig134 d -Q +Q E o  r P -Q -Q +2Q d x A B C D l R 260

Robótica y Cibernética 401 208.En la Fig134, el cilindro compacto
no conductor de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga volumétrica uniforme de =410-10 C/m3. Hallar la magnitud de la fuerza por u nidad de longitud que divide el cilindro en dos mitades. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 4,0 nN/m b) 4,2 nN/m c) 4,4 nN/m d) 4,6 nN/m e) 4,8 nN/m 209.Dos hilos infinitos de seda, con densidad de carga lineal uniforme " "  , están a lo largo de los ejes x y y, respectivamente. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la expresión del campo eléctrico E en un punto de coordenadas P(x; y; z); asuma que x>0, y>0 y z>0. II) Evaluar la expresión del campo eléctrico E en el punto de coordenadas x=1 m, y=2 m, z=3 m, =2 nC/m. a) 3,60 i +5,54 j +19,11k b) 3,40 i +5,14 j +19,31k c) 3,00 i +5,34 j +19,71k d) 3,80 i +5,74 j +19,91k e) 3,20 i +5,94 j +19,51k III) Hallar la magnitud del campo eléctrico E en el punto de coordenadas x=1 m, y=2 m, z=3 m, =2 nC/m. a) 24,22 N/C b) 22,22 N/C c) 26,22 N/C d) 28,22 N/C e) 20,22 N/C IV) Hallar el ángulo entre el campo eléctrico E y el eje-y. a) o 71 5'54" b) o 72 5'54" c) o 73 5'54" d) o 74 5'54" e) o 75 5'54" 210.Se tiene una barra metálica larga recta de radio de sección R=5 cm y una carga por uni dad de longitud de =30 nC/m. Hallar el valor de la expresión: R= (E3 -E10 )/(E3 -E100 ), don de E3 , E10 y E100 son las magnitudes del campo eléctrico a las distancias de 3 cm, 10 cm y 100 cm del eje de la barra, estas distancias se miden perpendiculares a la barra. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 211.En la Fig135, el campo eléctrico en el interior de un trozo de metal de hierro, expuesto a la gravedad terrestre se debe a la distribución de la carga superficial. Suponiendo que hay una placa de acero horizontal, ¿Cuáles deben ser las densidades de carga superficial en las superficies superior e inferior? (k=9109 Nm2/C2, mp =1,6710-27 kg, e=1,610-19 C a= 10-18, g=9,81 m/s2, z=26, A=56) a) 1,95 aC/m2 b) 2,95 aC/m2 c) 3,95 aC/m2 d) 4,95 aC/m2 e) 5,95 aC/m2 212.En la Fig136, la hoja de papel muy grande y plana, de densidad de carga superficial uni forme =8 nC/m2, presenta un agujero de radio R=10 cm. Hallar el campo eléctrico en el punto P, que se encuentra a la distancia de d=5 cm del centro del agujero. (k=9109 Nm2/C2). a) 200,3 N/C b) 202,3 N/C c) 204,3 N/C d) 206,3 N/C e) 208,3 N/C 261

Campo eléctrico 402 Fig135 Fig136 213.En la Fig137, el cuadrado
de plexiglás, de lados a=10 cm, tiene una densidad de carga li neal uniforme de =50 pC/m. Dos de sus lados son positivos y dos negativos. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro del cuadrado. (k=9109 Nm2/C2) a) 30 N/C b) 32 N/C c) 34 N/C d) 36 N/C e) 38 N/C 214.En la Fig138, las varillas delgadas, semiinfinitas, están en el mismo plano, y forman un ángulo de 45º, están unidas por otra varilla delgada doblada formando un arco de circulo de radio R=10 cm, con centro en P. Todas las varillas tienen densidad de carga lineal uni forme de =80 pC/m. hallar el campo eléctrico en el punto P. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,14 N/C b) 1,34 N/C c) 1,54 N/C d) 1,74 N/C e) 1,94 N/C Fig137 Fig138 215.En la nube electrostática del átomo de hidrógeno la densidad media de la carga equivale a = (-e/a3)exp(-2r/a), siendo "a" el radio de Bhor y "r" la distancia hasta el protón con carga "e". Hallar la magnitud del campo eléctrico en el átomo de hidrógeno, para r= a/2. a) 1,68e/a2 b) 3,68e/a2 c) 5,68e/a2 d) 7,68e/a2 e) 9,68e/a2 216.Un cuadrado de papel de lados a=10 cm, tiene una carga Q=8 pC distribuida uniforme mente en su superficie. El cuadrado está en el plano x-y, su centro está en el origen, y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Hallar la magnitud del campo eléctrico en un E y x P  d a a  R P 262

Robótica y Cibernética 403 punto fuera del cuadrado, situado sobre
el eje y a una distancia de d=6 cm del origen. (k= 9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 519 N/C b) 539 N/C c) 559 N/C d) 579 N/C e) 599 N/C 217.Dos cargas puntuales, cada una de q=+4 C se encuentran sobre el eje-x, la primera en el origen y la segunda en x=8 m. (k=9109 Nm2/C2, k=103) I) Hallar el campo eléctrico E en el punto x=-2 m. a) -9,16 i kN/C b) 9,16 i kN/C c) -9,36 i kN/C d) 9,36 i kN/C e) 9,56 i kN/C II) Hallar el campo eléctrico E en el punto x=+2 m. a) -8 i kN/C b) 8 i kN/C c) -4 i kN/C d) 4 i kN/C e) -2 i kN/C III) Hallar el campo eléctrico E en el punto x=+6 m. a) -8 i kN/C b) 8 i kN/C c) -4 i kN/C d) 4 i kN/C e) -2 i kN/C IV) ¿A qué distancia del origen 0 el campo eléctrico es nulo? a) 2 m b) 3 m c) 4 m d) 5 m e) 6 m 218.La tierra tiene un campo eléctrico cerca de su superficie cuya magnitud es aproximada mente E=150 N/C, y está dirigido hacia abajo. (k=9109 Nm2/C2, e=-160210-19 C, me =9,110-31 kg, g=9,81 m/s2, =10-6) I) Comparar la fuerza eléctrica ascendente ejercida sobre un electrón con la fuerza gravita toria dirigida hacia abajo. II) ¿Qué carga debe suministrarse a una moneda de 3 g para que el campo eléctrico equilibre su peso cerca de la superficie de la tierra? a) 190 C b) 192 C c) 194 C d) 196 C e) 198 C 219.Una carga puntual de q1 =+5 C está ubicada en x=-3 cm y una segunda carga puntual q2 =-8 C está localizada en x=+4 cm. ¿Dónde debe ubicarse una tercera carga q3 =+6 C para que el campo eléctrico en x=0 sea cero? (k=9109 Nm2/C2) a) 2,18 cm b) 2,38 cm c) 2,58 cm d) 2,78 cm e) 2,98 cm 220.Una carga puntual q1 =-5 C esta localizada en x=+4 m, y=-2 m. Una segunda carga q2 = +12 C está localizada en x=+1 m, y=+2 m. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,60210-19 C, f=10-15) I) Hallar el campo eléctrico E en el punto x=-1 m, y=y=0. a) (-8,1 i -10,1 j ) kN/C b) (-8,3 i -10,5 j ) kN/C c) (-8,9 i -10,3 j ) kN/C d) (-8,7 i -10,9 j ) kN/C e) (-8,5 i -10,7 j ) kN/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico E , en el punto x=-1 m, y=0. 263

12,5 N/C d) 12,7 N/C e) 12,9 N/C III) Hallar la dirección del campo eléctrico E , en el punto x=-1 m, y=0. a) 231º b) 233º c) 235º d) 237º e) 239º IV) Hallar la fuerza eléctrica F sobre un electrón situado en x=-1 m, y=0. a) (1,30 i +1,62 j ) fN b) (1,10 i +1,82 j ) fN c) (1,50 i +1,02 j ) fN d) (1,70 i +1,42 j ) fN e) (1,90 i +1,22 j ) fN V) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre el electrón situado en x=-1 m, y=0. a) 2,08 fN b) 2,28 fN c) 2,48 jN d) 2,68 fN e) 2,98 fN VI) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre electrón, situado en x=-1, y=0. a) 51,3º b) 53,3º c) 55,3º d) 57,3º e) 59,3º 221.Una carga puntual q1 =5 C está localizada en x=+1 m, y=+3 m y otra q2 =-4 C está loca lizada en x=+2 m, y=-2 m. (k=9.109 N.m2/C2, e=+1,60210-19 C) I) Hallar el campo eléctrico E en el punto x=-3 m, y=1 m. a) (-1,10 i -1,55 j ) kN/C b) (-1,70 i -1,15 j ) kN/C c) (-1,30 i -1,35 j ) kN/C d) (-1,50 i -1,75 j ) kN/C e) (-1,70 i -1,95 j ) kN/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico E , en el punto x=-3 m, y=1 m. a) 1,1 kN/C b) 1,3 kN/C c) 1,5 kN/C c) 1,7 kN/C e) 1,9 kN/C III) Hallar la dirección del campo eléctrico E , en el punto x=-3 m, y=1 m. a) 230,6º b) 232,6º c) 234,6º c) 236,6º e) 238,6º IV) Hallar la fuerza eléctrica F (en 10-16 N) sobre un protón situado en x=-3 m, y=1 m. a) -1,76 i -2,48 j b) -1,16 i -2,08 j c) -1,56 i -2,68 j d) -1,36 i -2,28 j e) -1,96 i -2,88 j V) Hallar la magnitud de la fuerza eléctrica sobre el electrón situado en x=-3 m, y=1 m. a) 0,36 fN b) 0,46 fN c) 0,56 fN c) 0,66 fN e) 0,76 fN VI) Hallar la dirección de la fuerza eléctrica sobre electrón, situado en x=-3, y=1 m. a) 230,6º b) 232,6º c) 234,6º c) 236,6º e) 238,6º 264

Robótica y Cibernética 405 222.Una barra de carga "q" se
acerca a una lata de gaseosa descargada de masa m=18 g, que se encuentra en reposo, con su eje paralelo al suelo. Cuando la distancia de la barra a la la ta es d=10 cm, esta adquiere una aceleración de a=1 m/s2. Hallar la carga "q" de la barra. (k=9.109 N.m2/C2, n=10-9) a) 131 nC b) 141 nC c) 151 nC d) 161 nC e) 171 nC 223.En la Fig139, las cargas puntuales 1 "q " positiva y 2 "q " negativa ( 1 2 q q  ) se encuen tran sobre el eje-x, separados por una distancia "d". I) ¿Qué ángulo forma con el eje-x la línea de fuerza que ingresa a la carga puntual negativa 2 "q ", y que sale de la carga 1 "q " ( 1 2 q 2 q  ) formando con el eje x un ángulo de 1 =40º? a) o 51 51'12" b) o 53 51'12" c) o 55 51'12" d) o 57 51'12" e) o 59 51'12" II) ¿Qué ángulo forma con el eje-x la primera línea de fuerza que sale de la carga puntual 1 "q " y se aleja al infinito, para 1 2 q 4 q  ? a) 300 b) 370 c) 450 d) 530 e) 600 Fig139 Fig140 224.En la Fig140, hallar la magnitud del campo eléctrico en el eje de simetría del tubo muy lar go cuya sección transversal es un cuadrado de lados a=10 cm, y cada par de caras opues tas tienen densidades de carga superficiales uniformes de " "  y "2 "  . (k=9.109 N.m2/C2,  +810-11 C/m2) a) 3,0 N/C b) 3,2 N/C c) 3,4 N/C d) 3,6 N/C e) 3,8 N/C 225.La carga neta de un objeto se obtiene como resultado de añadir o quitar una fracción muy pequeña de electrones contenidos en el mismo. Una cantidad de carga añadida o sustraída mayor que la mencionada fracción podría suponer la destrucción del objeto. (k=9109 Nm2/C2, Cu =8,93 g/cm3, M=63,54 g/mol, NA =6,021023 átomos/mol, z=29, e=1,60210- 19 C, G=109, =10-6) I) Estimar la fuerza que actúa sobre una barra de cobre de dimensiones a=0,5 cm, b=0,5 cm, c=4 cm si el exceso de electrones es del 0,0001 % con respecto al número de protones. Consideres que la mitad de los electrones adicionales se coloca en cada uno de los extre +q1 -q2 x d 0 2 2   eje a a 265

Campo eléctrico 406 mos opuestos de la barra de cobre.
a) 30,6 GN b) 32,6 GN c) 34,6 GN d) 36,6 GN e) 38,6 GN II) Calcular el valor máximo de electrones añadidos si consideramos que el cobre puede so portar un esfuerzo máximo de max =2,3108 N/m2. a) 30 C b) 32 C c) 34 C d) 36 C e) 38 C 226.Una esfera conductora aislada de radio R=5 cm está situada en el aire. ¿Cuál es la fuerza total que tiende a separar las mitades de la esfera, cuando la carga eléctrica de la esfera es la máxima posible? (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 213 mN b) 313 mN c) 413 mN d) 513 mN e) 613 mN 227.Un electrón con una velocidad inicial de o v =2106 i (m/s) ingresa por el origen de coor denadas a un campo eléctrico uniforme E =400 j (N/C).(k=9109 Nm2/C2, e=-160210-19 C, m=9,1110-31 kg, T=1012, n=10-9) I) Hallar la aceleración a (en Tm/s2) que adquiere el electrón, debido al campo electrón. a) 71,2 j b) -71,2 j c) 73,2 j d) -73,2 j e) 75,2 j II) ¿Qué tiempo tardará el electrón en recorrer la distancia de d=10 cm, en la dirección del eje-x? a) 30 ns b) 35 ns c) 40 ns d) 45 ns e) 50 ns III) Hallar la desviación que experimenta el electrón, luego de recorrer la distancia de d=10 cm en la dirección del eje-x. a) 8,0 cm b) 8,3 cm c) 8,6 cm d) 8,9 cm e) 9,2 cm IV) Hallar la dirección en la que se mueve el electrón, dentro del campo eléctrico. a) 310º b) 312º c) 314º d) 316º e) 318º 228.Una partícula de masa m=2 g, carga "q", se libera del reposo en x=0, en presencia de un campo eléctrico uniforme E =300 i (N/C). La energía cinética de la partícula en x=0,5 m es EC =0,12. Hallar la carga "q" de la partícula. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 800 C b) 820 C c) 840 C d) 860 C e) 880 C 229.Un electrón inicia su movimiento en el origen con una velocidad de vo =3106 m/s, for mando un ángulo de 37º con el eje-x, en presencia de un campo eléctrico uniforme dado por: y E E j  . ¿Para que valor de y "E " el electrón cruza el eje-x en x=1,5 cm? (k= 9109 Nm2/C2, e=-1,60210-19 C, m=9,110-31 kg) a) 3,0 kN7C b) 3,2 kN/C c) 3,4 kN/C d) 3,6 kN/C e) 3,8 kN/C 266

Robótica y Cibernética 407 230.En la Fig141, el disco metálico
muy delgado de radio "a" y densidad de carga superfi cial uniforme " "   esta rodeado por un anillo muy delgado de radios interno "a" y exter no "b" cuyas mitades tienen densidades de carga superficiales uniformes " "   . El disco está aislado del anillo. (k=9109 Nm2/C2, b=2a,  810-10 C/m2) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro 0 del disco. a) 41,45 N/C b) 43,45 N/C c) 45,45 N/C d) 47,45 N/C e) 49,45 N/C II) ¿Qué dirección tiene el campo eléctrico, respecto del plano que contiene al disco? a) o ' " 60 11 34 b) o ' " 62 11 34 c) o ' " 64 11 34 d) o ' " 66 11 34 e) o ' " 68 11 34 Fig141 Fig142 231.En la Fig142, el cuerpo conductor en forma de un paraboloide de revolución de ecua ción: 2 2 cz x y   , tiene una densidad de carga superficial  +810-11 C/m2. I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en 0, para c=H. a) 2,05 N/C b) 2,35 N/C c) 2,65 N/C d) 2,95 N/C e) 3,25 N/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en 0, para H<<c. a) o H / c   b) o H / 2 c   c) o H / 4 c   d) o c / H   e) o c / 2 H   232.Un dipolo de momento p=0,5 e nm se coloca en el interior de un campo eléctrico unifor me de magnitud E=4104 N/C. (e=1,60210-19 C) I) Hallar la magnitud del torque sobre el dipolo, cuando este forma un ángulo de =0o con el campo eléctrico. a) 0 b) 1,610-24 mC c) 3,210-24 mC d) 4,810-24 mC e) 6,410-24 mC II) Hallar la magnitud del torque sobre el dipolo, cuando este forma un ángulo de =90o con el campo eléctrico. a) 0 b) 1,610-24 mC c) 3,210-24 mC d) 4,810-24 mC e) 6,410-24 mC III) Hallar la magnitud del torque sobre el dipolo, cuando este forma un ángulo de =30o con el campo eléctrico. a) 0 b) 1,610-24 mC c) 3,210-24 mC d) 4,810-24 mC e) 6,410-24 mC b a - + 0 y x z 0  H 267

Campo eléctrico 408 IV) Hallar la energía potencial del dipolo
en el campo eléctrico, cuando este forma un ángulo de =37º, con el campo eléctrico. a) 2,3610-24 J b) -2,3610-24 J c) 2,5610-24 J d) -2,5610-24 J e) 2,7610-24 J 233.El campo eléctrico de un dipolo orientado a lo largo del eje-x decrece en la forma 1/x3 y en la forma 1/y3 en la dirección del eje-y. Demostrar mediante el análisis dimensional que en cualquier dirección, el campo lejos del dipolo disminuye en la forma 1/r3. 234.Las descargas eléctricas (chispas) se producen en el aire cuando un campo eléctrico acele ra los iones libres hasta velocidades suficientemente altas como para ionizar las molécu las de un gas mediante su impacto con ellas. I) Asumiendo que cada ión, en promedio, se desplaza en el gas una distancia llamado reco rrido libre medio antes de chocar con una molécula y que este ion necesita, aproximada mente, 1 eV de energía para poder ionizarla, estimar la intensidad de campo necesaria pa ra producir la rotura dieléctrica del aire, a una presión y temperatura de 105 N/m2 y 300 K respectivamente. Considerando que el área de la sección transversal de una molécula de nitrógeno es de =0,1 nm2. (k=9109 Nm2/C2, e=1,610-19 C, K=1,3810-23 J/K, M=106) a) 1,61 MN/C b) 2,01 MN/C c) 2,41 MN/C d) 2,81 MN/C e) 3,21 MN/C II) ¿Cómo deberá depender el potencial de rotura dieléctrica con la temperatura?¿Y con la presión? 235.Una molécula de agua tiene su átomo de oxígeno en el origen, un núcleo de hidrógeno en x=0,077 nm, y=0,058 nm y el otro núcleo de hidrógeno en x=-0,077 nm, y y=0,058 nm. Si los electrones del hidrógeno se transfieren completamente al átomo de oxigeno de mo do que éste adquiere una carga de " 2e"  , ¿Cuál será el momento dipolar de la molécula de agua? (n=10-9) a) 1,8610-29 mC j b) -1,8610-29 mC j c) 1,8610-29 mC i d) -1,8610-29 mC i e) 3,8610-29 mC i 236.Un dipolo eléctrico se componen de dos cargas " q"  y " q"  separadas por una distan cia muy pequeña "2a". Su centro está en el eje x= en x=x1 y apunta a lo largo del mismo hacia los valores positivos de las x. El dipolo está en el interior de un campo eléctrico no uniforme que tiene también la dirección x, dado por E Cx i  , siendo "C" una constante. I) Hallar la fuerza ejercida sobre la carga positiva y la ejercida sobre la carga negativa y de mostrar que la fuerza neta sobre el dipolo es Cp i . II) Demostrar que, en general, si un dipolo de momento p está sobre el eje x en un campo e léctrico que tiene la dirección x, la fuerza neta sobre el dipolo viene dada aproximada mente por (dEx /dx)p i 237.En la Fig143, la carga puntual positiva " Q"  está en el origen y un dipolo de momento p está a una distancia "r" (r>>l), teniendo una dirección radial respecto al origen. I) Demostrar que la fuerza ejercida por el campo eléctrico de la carga puntual sobre el dipo 268

Robótica y Cibernética 409 lo es atractiva y tiene un
valor aproximado de 2kQp/r3. II) Considerar ahora que el dipolo está en el origen y que una carga puntual "Q" está a una distancia "r" sobre la línea del dipolo. A partir del resultado de I) y la tercera ley de New ton, demostrar que el valor del campo eléctrico E del dipolo a lo largo de la línea del di polo y a una distancia "r" del mismo es aproximadamente 2kp/r3. 238.En la Fig144, las mitades del tubo metálico cilíndrico muy delgado de radio R=30 cm y longitud l=80 cm, tienen densidades de carga superficiales uniformes    510-10 C/m2. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto medio de su eje de simetría. a) 28,8 N/C b) 24,8 N/C c) 26,8 N/C d) 22,8 N/C e) 30,8 N/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto (A) del eje de simetría. a) 14,9 N/C b) 15,9 N/C c) 16,9 N/C d) 17,9 N/C e) 18,9 N/C Fig143 Fig144 239.Se tiene una moneda de cobre de masa m=3 g. El cobre existe aproximadamente un elec trón libre por cada átomo. (k=9109 Nm2/C2, e=1,60210-19 C, NA =6,021023 mol-1, M= 63,5 g/mol) I) ¿Qué porcentaje de la carga libre debería extraerse de la moneda para que ésta adquiera una carga de Q=15 C? a) 1,2910-7 % b) 3,2910-7 % c) 5,2910-7 % d) 7,2910-7 % e) 9,2910-7 % II) ¿Cuál sería la fuerza de repulsión entre dos monedas que tengan esta carga, y estén sepa radas por una distancia de d=25 cm? a) 30,4 N b) 32,4 N c) 34,4 N d) 36,4 N e) 38,4 N 240.En la Fig145, el electrón parte del reposo con una velocidad inicial de vo =5106 m/s for mando un ángulo de =45º con la horizontal. La magnitud del campo eléctrico uniforme es E=3,5103 N/C. ¿El electrón colisiona en la placa superior (S) o inferior (I), y a qué distancia del punto de ingreso en el capacitor? (e=-1,610-19 C, m=9,1110-31 kg) a) S, 4,07 cm b) I, 4,07 cm c) S, 4,47 cm d) I, 4,47 cm e) S, 4,87 cm R + - A 0 y x -q +q r l r 269

Campo eléctrico 410 241.En la Fig146, con un alambre fino
se forma un cuadrante de circulo de radio a=50 cm y dos segmentos rectilíneos, y se le suministra una densidad de carga lineal uniforme de = +510-10 C/m. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto 0. (k=9109 Nm2/C2) a) 21,5 N/C b) 23,5 N/C c) 25,5 N/C d) 27,5 N/C e) 29,5 N/C Fig145 Fig146 242.Una carga puntual "Q" está localizada en x=0 y otra carga "4Q" sen encuentra en x=12 cm. La fuerza ejercida sobre una carga de q=-2 C es cero si está se encuentra en x=4 cm y es de 126,4 N en la dirección positiva de x si se sitúa en x=8 cm. Hallar la carga "Q". (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 1 C b) 3 C c) 5 C d) 7 C e) 9 C 243.Una bola de carga conocida "q" y masa desconocida "m", inicialmente en reposo, cae li bremente desde una altura "h" en un campo eléctrico uniforme "E" dirigido vertical mente hacia abajo. La bola choca contra el suelo a una velocidad v=2 gh . Hallar la ma sa "m" en función de "E", "q" y "g". 244.Una distribución de carga crea en el espacio un campo eléctrico, cuyas componentes en el sistema de coordenadas esféricas son: Er = (o /2o )(r-2R/3) cos , E = (o /4o )(4R/3-r) sen, E =0, para rR y Er = (o /6o )R4cos /r3, E = (o /12o )R4 sen/r3, E =0, para rR. (k=9109 Nm2/C2, R=40 cm, o =810-10 C/m3, p=10-12) I) Hallar la densidad de carga volumétrica en un punto cuyas coordenadas son: r=20 cm ,   530 y   600. a) o  b) o 0,2 c) o 0,4 d) o 0,6 e) o 0,8 II) Hallar la carga contenida en un volumen, cuyo dominio es: 0rR, 0/2, y 02. a) 33,6 pC b) 43,6 pC c) 53,6 pC d) 63,6 pC e) 73,6 pC III) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas: r=20 cm,   530 y   600. a) 4,3 N/C b) 5,3 N/C c) 6,3 N/C d) 7,3 N/C e) 8,3 N/C -e vo E d l  a a 0   270

Robótica y Cibernética 411 245.En la Fig147, la barra rígida
de longitud l=1 m, puede girar alrededor del pivote coloca do en su centro. Se coloca una carga q1 =510-7 C en el extremo de la barra a una distancia d=10 cm sobre la vertical y por debajo, se coloca otra carga 2 "q " igual en valor pero de signo opuesto. (a=50 cm, b=25 cm, g=9,81 m/s2, k=9109 Nm2/C2, m=10-3, n=10-9) I) Hallar la magnitud de la fuerza neta entre las dos cargas. a) 200 mN b) 225 mN c) 250 mN d) 275 mN e) 300 mN II) Hallar el momento de la fuerza con respecto al centro de la barra. a) 0,113 Nm b) 0,213 Nm c) 0,313 Nm d) 0,413 Nm e) 0,513 Nm III) Como contrapeso de la fuerza de atracción entre las dos cargas se cuelga un bloque a 25 cm del pivote en el lado de las cargas, obteniéndose el equilibrio en la balanza, ¿Qué ma sa deberá tener el bloque? a) 42,1 g b) 43,1 g c) 44,1 g d) 45,1 g e) 46,1 g IV) Si se coloca el bloque a 25 cm pero en el mismo brazo de la balanza que la carga, mante niéndose los mismos valores de 1 "q " y "d" ¿Qué nuevo valor deberá tener 2 "q "para man tener la balanza en equilibrio? a) 103 nC b) 303 nC c) 503 nC d) 703 nC e) 903 nC 246.En la Fig.148, la dos cargas q=3 C están localizadas en x=0, y=2 m y en x=0, y=-2 m. Las otras dos cargas "Q" están ubicadas en x=4 m, y=2 m y en x=x=4 m, y=-2 m. El cam po eléctrico en x=0, y=0 es E =4.103 N/C i . Hallar la carga desconocida "Q". (k=9109 Nm2/C2, =10-6). a) -2,97 C b) +2,97 C c) -4,97 C d) +4,97 C e) -6,97 C Fig147 Fig148 247.Una esfera compacta no conductora de radio R=20 cm tiene una densidad de carga volu métrica uniforme de =410-10 C/m3. Hallar la magnitud de la fuerza que tiende a dividir la esfera en dos mitades. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) m d q1 a b q2 x 0 y q q Q Q 271

Campo eléctrico 412 a) 1,58 pN b) 3,58 pN c)
5,58 pN d) 7,58 pN e) 9,58 pN 248.Una carga de q1 =-3 C está localizada en el origen; una segunda carga q2 =+4 C está localizada en x=0,2 m, y=0; y una tercera carga "Q" está situada en x=0,32 m, y=0. La fuerza que actúa sobre la carga 2 "q " es de F=240 N, en dirección del eje-x positiva. (k= 9109 Nm2/C2) I) Hallar la carga eléctrica "Q". a) -95,1 C b) +95,1 C c) -97,1 C d) +97,1 C e) -99,1 C II) Para está configuración de cargas, ¿A qué distancia mayor se encuentra el punto en el eje- x, en la que el campo eléctrico es nulo? a) 10,9 cm b) 12,9 cm c) 14,9 cm d) 16,9 cm e) 18,9 cm 249.En la Fig149, tres cargas, +q, +2q, +4q, están conectadas entre si mediante cuerdas. De terminar la razón de las tensiones T1 /T2 =?, en las cuerdas (1) y (2). a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 2/3 e) 3/4 250.En la Fig150, las placas metálicas paralelas muy largas y delgadas, tienen densidades de cargas superficiales uniformes de  +810-10 C/m2 cada una. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, para z=2a a) 5,26 N/C b) 6,26 N/C c) 7,26 N/C d) 8,26 N/C e) 9,26 N/C II) Si las placas tienen densidades de cargas superficiales uniformes de signos opuestos = 810-10 C/m2, hallar la magnitud del campo eléctrico en P, para z=2a. a) 3,77 N/C b) 4,77 N/C c) 5,77 N/C d) 6,77 N/C e) 7,77 N/C III) En qué porcentaje ha cambiado la magnitud del campo eléctrico en el punto P, al cambiar el signo de una de las placas? a) 20,89 % b) 22,89 % c) 24,89 % d) 26,89 % e) 28,89 % Fig149 Fig150 d d +2q +q +4q (1) (2) P z 0 a a a a + +  272

Robótica y Cibernética 413 251.En la Fig151, la pequeña cuenta
de masa "m", portadora de una carga negativa " q"  , está restringida a moverse a lo largo de la barra delgada y sin rozamiento. A una distancia " " de esta barra hay una carga positiva "Q". Demostrar que si la cuenta se desplaza a u na distancia "x", en donde x<<l, y se suelta, experimentará un movimiento armónico simple. Obtener una expresión para el período de este movimiento en función de los pará metros " ", "Q", "q" y "m". 252.En la Fig152, cada una de las mitades del cilindro metálico hueco de radio "R" y longi tud l=2 3R tiene densidades de carga superficiales uniformes de " "   . Hallar la magni tud del campo eléctrico en el centro 0 del cilindro. (k=9.109 N.m2/C2) a) /o b) /2o c) /4o d) /3o e) 3/4o Fig151 Fig152 253.Un péndulo simple de longitud l=1 m y masa m=5 g se sitúa en un campo eléctrico uni forme E dirigido verticalmente. La lenteja del péndulo pose una carga de q=-8 C. El pe riodo del péndulo es T=1,2 s. Hallar la magnitud y sentido de E . (g=9,81 m/s2, k=103) a) 11 kN/C () b) 11 kN/C () c) 13 kN/C () d) 13 kN/C () e) 15 kN/C () 254.Un electrón de carga " e"  , masa "m" y un positrón de carga " e"  , masa "m" giran alre dedor de su centro común de masas bajo la influencia de su fuerza atractiva de Coulomb. Determinar la velocidad "v" de cada partícula en función de "e", "m", "k", y su distan cia de separación "r". 255.En la Fig153, se muestra una palanqueta formada por dos masas idénticas "m" y cargas " q"  sujetas a los extremos de una barra delgada de masa despreciable de longitud "a" con un pivote en su centro. El sistema esta localizado en un campo eléctrico uniforme E . I) Demostrar que para pequeños valores de " "  entre la dirección del dipolo y el campo eléc trico, el sistema realiza pequeñas oscilaciones armónicas. II) Hallar la expresión para el periodo de estas pequeñas oscilaciones armónicas. 256.En la Fig154, las mitades del alambre fino de longitud l=1 m doblado en ángulo recto, tienen densidades de carga lineal uniformes de =5.10-10 C/m. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto 0. (k=9109 Nm2/C2) a) 3,27 N/C b) 4,27 N/C c) 5,27 N/C d) 6,27 N/C e) 7,27 N/C R 0 - + l l x m -q +Q 273

Campo eléctrico 414 Fig153 Fig154 257.La separación de equilibrio entre
los núcleos de la molécula iónica KBr es 0,282 nm. Las masas de los dos iones, K+ y Br- son muy aproximadamente iguales, 1,410-25 kg, y cada u no de los dos iones transporta una carga de valor absoluto "e". Hallar la frecuencia de os cilación de una molécula de KBr en un campo eléctrico uniforme de E=1000 N/C. a) 413 MHz b) 423 MHz c) 433 MHz d) 443 MHz e) 453 MHz 258.Para la palanqueta del prob.(104), sea m=0,02 kg, a=0,3 m y E =(600 N/C) i . Inicialmen te la palanqueta está en reposo y forma un ángulo de =60º con el eje-x. Se deja entonces en libertad y cuando está momentáneamente alineada con el campo eléctrico, su energía cinética es Ec =510-3 J. Hallar el valor de la carga "q". a) 51,6 C b) 52,6 C c) 53,6 C d) 54,6 C e) 55,6 C 259.En la Fig155, la pequeña esferilla de masa "m", carga "q" está restringida a moverse verticalmente dentro del cilindro estrecho y sin fricción. En el fondo del cilindro hay otra esferita de carga "Q" de igual signo que "q". I) Demostrar que la esferita de masa "m" estará en equilibrio a una altura yo = (kqQ/mg)1/2. II) Demostrar que si la esferita de masa "m"se desplaza ligeramente de su posición de equi librio y se libera, esta realiza oscilaciones armónicas simples con una frecuencia angular, dado por: a) (g/yo )1/2 b) (2g/yo )1/2 c) (3g/yo )1/2 d) (2g/3yo )1/2 e) (3g/2yo )1/2 260.En la Fig156, el cilindro metálico hueco de radio R=12 3 cm tiene una densidad de car ga superficial uniforme =+810-10 C/m2. (k=9109 Nm2/C2) I) ¿Para qué valor de su longitud " ", la magnitud del campo eléctrico en el centro de sus ba ses es E=/4o ? a) 30 cm b) 32 cm c) 34 cm d) 36 cm e) 38 cm II) Construir la gráfica de la magnitud del campo eléctrico "E" en función de la distancia "z", medida a partir del centro del cilindro, elegida como origen. a a 0 - +  -q +q E   P 274

Robótica y Cibernética 415 Fig155 Fig156 261.Dos moléculas polares neutras
se atraen entre sí. Supongamos que cada una de ellas po see un momento dipolar p y que estos dipolos están alineados a lo largo del eje-x y sepa rados una distancia "x". Hallar la fuerza que ejerce el dipolo derecho sobre el izquierdo en función de "p" y "x" . a) -4kp2/x3 i b) 4kp2/x3 i c) -6kp2/x4 i d) 6kp2/x4 i e) -2kp2/x3 i 262.Dos cargas positivas iguales "Q" se encuentran sobre el eje-x en x=l/2 y x=-l/2. I) Obtener una expresión para el campo eléctrico E en función de y sobre el eje-y. II) Un anillo de masa "m" y carga "q", se mueve sobre una barra delgada y sin rozamiento a lo largo del eje-y. Hallar la fuerza que actúa sobre la carga "q" en función de y; determi nar el signo de "q" para que esta fuerza apunte siempre hacia y=0. III) Demostrar que para valores pequeños de y el anillo ejecuta un movimiento armónico sim ple. IV) Si Q=5 C, q =2 C, l=24 cm y m=0,03 kg. Hallar la frecuencia de las oscilaciones pa ra pequeñas amplitudes. (k=9109 Nm2/C2) a) 9,18 Hz b) 9,38 Hz c) 9,58 Hz d) 9,78 Hz e) 9,98 Hz 263.Una distribución de carga crea en el espacio un campo eléctrico, cuyas componentes en el sistema de coordenadas cilíndricas son: Er = (o /3o )(2r-R)cos , E = (o /3o )(4R/3- r)sen  Ez =0, para rR y Er = (o /6o )(R-R3/r2) cos , E = (o /12o )R4(R-r)sen , Ez =0, para rR. (k=9109 Nm2/C2, R=40 cm, o =810-10 C/m3) I) Hallar la densidad de carga volumétrica en un punto cuyas coordenadas son: r=20 cm,   530 y z=10 cm. a) o  b) o 0,2 c) o 0,4 d) o 0,6 e) o 0,8 II) Hallar la carga contenida en un volumen, cuyo dominio es: 0rR, 0/2, y 0z20 cm. (p=10-12) a) 11,8 pC b) 12,8 pC c) 14,8 pC d) 16,8 pC e) 18,8 pC P R 0  l q yo Q fijo g 275

Campo eléctrico 416 III) Hallar la magnitud del campo eléctrico
en el punto de coordenadas: r=50 cm,   370 y z=10 cm. a) 5 N/C b) 6 N/C c) 7 N/C d) 8 N/C e) 9 N/C 264.Demostrar que en electrostática la integral b a E d  , calculada entre dos puntos arbitra rios del espacio "a" y "b", no depende de la configuración del contorno de integración. 265.En una región del espacio existe un campo eléctrico, dado por: br 3 E er (1 br)e / r    , donde "e" y "b" son constantes positivas y "r" la distancia hasta el origen de coordena das. I) Hallar la densidad de carga volumétrica " "  que genera este campo eléctrico. II) Hallar la carga eléctrica total en el espacio. 266.Una microesfera de poliestireno de radio R=5,510-7 m y carga "q" se ubica en un campo eléctrico uniforme E =-6104 j N/C . La viscosidad del aire es =1,810-5 N.s/m2, la den sidad del poliestireno =1,05103 kg/m3. La velocidad límite de ascenso de la microesfera es v=1,1610-4 m/s. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el valor de la carga "q" de la microesfera. a) 1,610-19 C b) 3,210-19 C c) 4,810-19 C d) 6,410-19 C e) 8,010-19 C II) Hallar el exceso de electrones en la microesfera. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 III) Si cambiamos la dirección del campo eléctrico, manteniendo su módulo, ¿Cuál será la ve locidad límite? a) 1,9310-4 m/s b) 3,9310-4 m/s c) 5,9310-4 m/s d) 7,9310-4 m/s e) 9,9310-4m/s 267.En la Fig157, el anillo de radio "R" tiene una densidad de carga lineal no uniforme, da do por: =o sen , siendo o " "  una constante, y " "  el ángulo medido respecto del eje-x. I) Hallar la expresión del campo eléctrico en el centro del anillo en función de "R", o " "  . a) o k j R    b) o k j R   c) o k i R    d) o k i R   e) o k j 2R   II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro del anillo, para R=20 cm, o =8 pC/m, y k=9109 Nm2/C2. a) 1,13 N/C b) 2,13 N/C c) 3,13 N/C d) 4,13 N/C e) 5,13 n/C 268.En la Fig158, el vector de posición del punto medio del dipolo eléctrico de momento di polar p es r '. I) En el sistema CGS, hallar el campo eléctrico del dipolo en el punto P de vector de posi ción r . 276

Robótica y Cibernética 417 II) En el sistema CGS, hallar
la energía de interacción del dipolo eléctrico, con un campo eléctrico externo E . III) En el sistema CGS, hallar la energía de interacción entre dos dipolos eléctricos de mo mentos dipolares 1 p , 2 p , y vectores de posición de 1 r , 2 r . Fig157 Fig158 269.Un filamento muy delgado de densidad de carga lineal uniforme " "  esta situada sobre el eje-x desde x=0 a x=a. I) Demostrar que las componentes del campo eléctrico en un punto P del eje-y, situado a la distancia "y" del origen son: 2 2 x E k (1/ y 1/ y a ) i      , 2 2 y E k a / y y a j    . II) Hallar la razón Ey /Ex =? de las magnitudes de las componentes del campo eléctrico en las direcciones de los ejes y e x, para y=a=20 cm, =810-11 C/m, k=9109 Nm2/C2. a) 2,12 b) 2,22 c) 2,32 d) 2,42 e) 2,52 III) Hallar la magnitud del campo eléctrico en y=a=20 cm, =810-11 C/m, k=9109 Nm2/C2. a) 2,15 N/C b) 2,35 N/C c) 2,55 N/C d) 2,75 N/C e) 2,95 N/C 270.Una esfera no conductora de radio "R" posee una densidad de carga volumétrica de " "  . La magnitud del campo eléctrico en r=2R es 100 N/C. Hallar el módulo del campo eléctri co en r=0,5 R. a) 50 N/C b) 75 N/C c) 100 N/C d) 150 N/C e) 200 N/C 271.Una esfera sólida no conductora de radio "R" posee una densidad de carga volumétrica proporcional a la distancia desde el centro: =Ar para rR, siendo A una constante; =0 para r>R. I) Hallar la carga eléctrica total contenida en la esfera de radio "R". a) AR2 b) AR3 c) AR4 d) 2AR2 e) 2AR3 II) Hallar la magnitud del campo eléctrico al interior de la esfera (rR). a) Ar2/o b) Ar2/2o c) Ar2/3o d) Ar2/4o e) A/2o r2 y 0 x R   Y X Z 0 ' r  r  p  P -q +q 277

Campo eléctrico 418 III) Hallar la magnitud del campo eléctrico
al exterior de la esfera (rR) a) AR2/2o r2 b) AR4/2o r2 c) AR2/4o r2 d) AR4/4o r2 e) AR3/o r2 IV) Representar el campo eléctrico al interior y exterior de la esfera sólida, en función de r. 272.Una esfera sólida no conductora de radio "R" posee una densidad de carga volumétrica proporcional a la distancia desde el centro: =B/r2 para rR, siendo B una constante; =0 para r>R. I) Hallar la carga eléctrica total contenida en la esfera de radio "R". a) B2 b) 2BR c) 3BAR d) 4BR e) BR2 II) Hallar la magnitud del campo eléctrico al interior de la esfera (rR). a) B/o r b) Br/o c) B/2o r d) 2Br/o e) B/4o r III) Hallar la magnitud del campo eléctrico al exterior de la esfera (rR). a) BR/o r2 b) Br2/o R c) BR/2o r2 d) Br2/2o R e) BR/4o r2 IV) Representar el campo eléctrico al interior y exterior de la esfera sólida, en función de r. 273.Demostrar que el campo eléctrico debido a una corteza cilíndrica uniformemente cargada e infinitamente larga de radio "R" y que posee una densidad de carga superficial " "  , vie ne dado por: Er =0 para r<R, Er = R/o r=/2o r para r>R. 274.Una corteza cilíndrica de longitud l=200 m y radio R=6 cm tiene una densidad de carga superficial uniforme de =9 nC/m2. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, k=103) I) Hallar la carga eléctrica total de la corteza cilíndrica. a) 649 nC b) 659 nC c) 669 nC d) 679 nC e) 689 nC II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en r=2 cm. a) 0 N/C b) 1 N/C c) 2 N/C d) 3 N/C e) 4 N/C III) Hallar la magnitud del campo eléctrico en r=5,9 cm. a) 0 N/C b) 1 N/C c) 2 N/C d) 3 N/C e) 4 N/C IV) Hallar la magnitud del campo eléctrico en r=6,1 cm. a) 0 N/C b) 1 kN/C c) 2 kN/C d) 3 kN/C e) 4 kN/C V) Hallar la magnitud del campo eléctrico en r=10 cm. a) 601 N/C b) 611 N/C c) 621 N/C d) 631 N/C e) 641 N/C 275.Un cilindro no conductor infinitamente largo de radio "R" tiene una densidad de carga 278

Robótica y Cibernética 419 volumétrica uniforme (r)=o . Demostrar que
la magnitud del campo eléctrico, viene da da por: Er =o R2/2o r=(/2o )(1/r), para r>R, Er =o r/2o = (/2o )(r/R2), donde =o R2. 276.Un cilindro no conductor de radio R=6 cm, de longitud l=200 m tiene una densidad de carga volumétrica uniforme de =300 nC/m3. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la carga total contenida en el cilindro compacto. a) 639 nC b) 649 nC c) 659 nC d) 669 nC e) 679 nC II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto situado a la distancia de r=2 cm, del eje de simetría del cilindro. a) 319 N/C b) 329 N/C c) 349 N/C d) 359 N/C e) 369 N/C III) Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto situado a la distancia de r=10 cm, del eje de simetría del cilindro. a) 611 N/C b) 621 N/C c) 631 N/C d) 641 N/C e) 651 N/C 277.Se tiene dos cascarones cilíndricos concéntricos muy largos. El cascarón interior de radio 1 "R "tiene una densidad de carga superficial uniforme 1 " "  , en tanto, el exterior de radio 2 "R " una densidad de carga superficial uniforme 2 " "  . I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en las regiones r<R1 , R1 <r<R2 , r>R2 . II) ¿Para que razón de las densidades 2 /1 =? Y el signo relativo de ambas el campo eléctri co es nulo en r>R2 . ¿En este caso, hallar el campo eléctrico en R1 <r<R2 ?. III) Representar las líneas de fuerza del campo eléctrico para la región R1 <r<R2 , con 1 (+). 278.Un cilindro no conductor de radio R=20 cm, longitud infinita, tiene una densidad de car ga volumétrica: (r)=a.r, donde la distancia radial "r" se mide desde el eje del cilindro, y a=510-7 C/m2 una constante. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la carga por unidad de longitud del cilindro. a) 5,4 nC/m b) 6,4 nC/m c) 7,4 nC/m d) 8,4 nC/m e) 9,4 nC/m II) Hallar la magnitud del campo eléctrico generado por el cilindro a la distancia de r=15 cm a) 159 N/C b) 169 N/C c) 179 N7C d) 189 N/C e) 199 N/C III) Hallar la magnitud del campo eléctrico generado por el cilindro a la distancia de r=25 cm a) 603 N/C b) 613 N/C c) 623 N/C d) 633 N/C e) 643 N/C IV) Trazar la grafica de la magnitud del campo eléctrico "E" en función de la distancia radial 279.Un cascarón cilíndrico no conductor, grueso e infinitamente largo, de radios interno a=10 cm y externo b=20 cm, posee una densidad de carga volumétrica uniforme de =8 nC/m3. I) Hallar la carga por unidad de longitud contenida en el cascarón cilíndrico. 279

Campo eléctrico 420 a) 714 pC/m b) 734 pC/m c)
754 pC/m d) 774 pC/m e) 794 pC/m II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto situado a la distancia r=5 cm del eje del cascarón. a) 0 N/C b) 1 N/C c) 2 N/C d) 3 N/C e) 5 N/C III) Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto situado a la distancia r=15 cm del eje del cascarón. a) 37,09 N/C b) 37,39 N/C c) 37,59 N/C d) 37,79 N/C e) 37,99 N/C IV) Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto situado a la distancia r=25 cm del eje del cascarón. a) 54,09 N/C b) 54,29 N/C c) 54,49 N/C d) 54,69 N/C e) 54,89 N/C V) Trazar la gráfica de la magnitud del campo eléctrico en función de la distancia radial "r". 280.En la sección transversal de una porción de un cable concéntrico infinitamente largo. El conductor interno posee una carga de =6 nC/m; en tanto el conductor externo que lo ro dea está descargado. I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto situado a la distancia r=1,0 cm del eje común. a) 0 N/C b) 1 N/C c) 2 N/C d) 3 N/C e) 4 N/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto situado a la distancia r=3,0 cm del eje común. a) 5,0 kN/C b) 5,1 kN/C c) 5,2 kN/C d) 5,3 kN/C e) 5,4 kN/C III) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto situado a la distancia r=5,0 cm del eje común. a) 0 N/C b) 1 N/C c) 2 N/C d) 3 N/C e) 4 N/C IV) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto situado a la distancia r=7,0 cm del eje común. a) 1,14 kN/C b) 1,24 kN/C c) 1,34 kN/C d) 1,44 kN/C e) 1,54 kN/C V) Trazar la gráfica de la magnitud del campo eléctrico en función de la distancia radial "r". 281.Un cascarón esférico conductor de carga neta cero tiene un radio interior a=10 cm y un radio externo b=20 cm. Se coloca una carga puntual q=4 nC en el centro del cascarón esfé rico. Hallar: (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) La magnitud del campo eléctrico a una distancia r=5 cm del centro del cascarón. a) 10,0 N/C b) 10,2 N/C c) 10,4 N/C d) 10,6 N/C e) 10,8 N/C 280

Robótica y Cibernética 421 II) La magnitud del campo eléctrico
a una distancia r=15 cm del centro del cascarón. a) 0 N/C b) 1 N/C c) 2 N/C d) 3 N/C e) 4 N/C III) La magnitud del campo eléctrico a una distancia r=25 cm del centro del cascarón. a) 0,38 N/C b) 0,48 N/C c) 0,58 N/C d) 0,68 N/C e) 0,78 N/C IV) Hallar la densidad de carga en la superficie interna r=a. a) -31,03 pC/m2 b) -31,23 pC/m2 c) -31,43 pC/m2 d) -31,63 pC/m2 e)-31,83 pC/m2 V) Hallar la densidad de carga en la superficie externa r=b. a) 7,16 pC/m2 b) 7,36 pC/m2 c) 7,56 pC/m2 d) 7,76 pC/m2 e) 7,96 pC/m2 VI) Trazar la gráfica de la magnitud del campo eléctrico en función de la distancia "r". 282.Un cilindro interno no conductor de radio r=1,5 cm, tiene densidad de carga volumétrica, dada por: (r)=C/r, con C=200 nC/m2. El cilindro externo metálico tiene radios interno b=4,5 cm y externo c=6,5 cm. Hallar: (k=9109 Nm2/C2, k=103) I) La carga por unidad de longitud que posee el cilindro interno. a) 15,85 nC/m b) 16,85 nC/m c) 17,85 nC/m d) 18,85 nC/m e) 19,85 nC/m II) El valor del campo eléctrico en el punto situado a la distancia r=1,0 cm del eje común a) 22,02 kN/C b) 22,12 kN/C c) 22,22 kN/C d) 22,32 kN/C e) 22,42 kN/C III) El valor del campo eléctrico en el punto situado a la distancia r=3,0 cm del eje común. a) 11,11 kN/C b) 11,21 kN/C c) 11,31 kN/C d) 11,41 kN/C e) 11,51 kN/C IV) El valor del campo eléctrico en el punto situado a la distancia r=5,0 cm del eje común. a) 0 kN/C b) 1 kN/C c) 2 kN/C d) 3 kN/C e) 4 kN/C V) El valor del campo eléctrico en el punto situado a la distancia r=7,0 cm del eje común. a) 4,55 kN/C b) 4,65 kN/C c) 4,75 kN/C d) 4,85 kN/C e) 4,95 kN/C 283.Una carga de Q=6 nC se coloca uniformemente en una lámina cuadrada de material no conductor de lados l=20 cm, situado en el plano yz. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, k=103) I) Hallar la densidad de carga superficial " "  . a) 130 nC/m2 b) 140 nC/m2 c) 150 nC/m2 d) 160 nC/m2 e) 170 nC/m2 II) Hallar la magnitud del campo eléctrico a la derecha y a la izquierda de la lámina. a) 8,08 kN/C b) 8,28 kN/C c) 8,48 kN/C d) 8,68 kN/C e) 8,88 kN/C III) Se coloca la misma carga en un bloque cuadrado conductor de lados l=20 cm y espesor 281

Campo eléctrico 422 s=1 mm.¿Cuál es la densidad de carga
superficial " "  . a) 60 nC/m2 b) 65 nC/m2 c) 70 nC/m2 d) 75 nC/m2 e) 80 nC/m2 IV) Hallar la magnitud del campo eléctrico justo a la derecha y a la izquierda de cada cara del bloque. a) 8,08 kN/C b) 8,28 kN/C c) 8,48 kN/C d) 8,68 kN/C e) 8,88 kN/C 284.El campo eléctrico justo por encima de la superficie de la Tierra, medido experimental mente, es de E=150 N/C, dirigido hacia abajo. ¿Qué carga total sobre la Tierra está impli cada en esta medida?. (k=9109 Nm2/C2, RT =6,37106 m, k=103) a) 636 kC b) 646 kC c) 656 kC d) 666 kC e) 676 kC 285.Una moneda de radio R=1 cm está en el interior de un campo eléctrico externo de magni tud E=1,6 kN/C cuya dirección es perpendicular a sus caras. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar las densidades de carga en cada cara de la moneda, suponiendo que son planas. a) 12,15 nC/m2 b) 13,15 nC/m2 c) 14,15 nC/m2 d) 15,15 nC/m2 e) 16,15 nC/m2 II) Hallar la carga total de una cara de la moneda. a) 2,45 pC b) 3,45 pC c) 4,45 pC d) 5,45 pC e) 6,45 pC 286.Si la magnitud de un campo eléctrico en la atmósfera es E=3106 N/C, el aire se ioniza y comienza a conducir la electricidad. Este fenómeno se denomina ruptura dieléctrica. Una carga de Q=18 C se sitúa en una esfera conductora.¿Cual es el radio mínimo que debe te ner la esfera, tal que, pueda soportar esta carga sin producirse la ruptura dieléctrica? (k= 9109 Nm2/C2) a) 21,2 cm b) 22,2 cm c) 23,2 cm d) 24,2 cm e) 25,2 cm 287.Sobre el plano yz se tiene una densidad de carga superficial no uniforme. En el origen 0, la densidad de carga superficial es =3,10 C/m2. En el espacio existen otras distribucio nes de carga. Justo a la derecha del origen, la componente x del campo eléctrico es Ex = 4,65105 N/C. Hallar el valor de Ex , justo a la izquierda del origen 0. (k=9109 Nm2/C2) a) 105 kN/C b) 110 kN/C c) 115 kN/C d) 120 kN/C e) 125 kN/C 288.Un filamento muy largo de densidad lineal uniforme =-1,5 C/m es paralela al eje y en x=-2 m. Una carga puntual de q=1,3 C está localizada en x=1 m, y=2 m. Hallar la magni tud del campo eléctrico (en kN/C) en el punto x=2m, y=1,5m. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) (1,55 i - 4,19 j ) kN/C b) (1,45 i - 4,39 j ) kN/C c) (1,25 i - 4,29 j ) kN/C d) (1,35 i - 4,49 j ) kN/C e) (1,15 i - 4,59 j ) kN/C 289.A una capa esférica muy delgada de radio R=10 cm de carga total Q=8 nC distribuida uni 282

Robótica y Cibernética 423 formemente, se le extrae de su
superficie un pequeño trozo circular. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el vector campo eléctrico en el centro del agujero que deja el tapón extraído. a) 6,8 ˆ r (N/C) b) -6,8 ˆ r (N/C) c) 7,2 ˆ r (N/C) d) -7,2 ˆ r (N/C) e) 7,6 ˆ r (N/C) II) Hallar la fuerza eléctrica sobre el tapón cuando se vuelve a colocar en el hueco. a) 1,44 ˆ r pN b) 2,44 ˆ r pN c) 3,44 ˆ r pN d) 4,44 ˆ r pN e) 5,44 ˆ r pN III) Hallar la presión eléctrica existente en toda la esfera. a) 209 pPa b) 229 pPa c) 249 pPa d) 269 pPa e) 289 pPa 290.En un día claro y soleado, un campo eléctrico vertical de aproximadamente E=130 N/C está dirigido hacia abajo sobre un suelo plano.¿Cuál es la densidad de carga superficial " "  sobre el suelo en estas condiciones? (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) -1,05 nC/m2 b) +1,05 nC/m2 c) -1,15 nC/m2 d) +1,15 nC/m2 e) -1,25 nC/m2 291.Una burbuja de jabón de radio R1 =10 cm tiene una carga Q=3 nC uniformemente distri buida. Debido a la repulsión electrostática, la burbuja se expande hasta explotar cuando su radio llega a R2 =20 cm. Hallar el trabajo realizado por la fuerza electrostática al expan dir la burbuja de jabón. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 203 nJ b) 213 nJ c) 223 nJ d) 233 nJ e) 243 nJ 292.Un cascarón cilíndrico muy largo, coaxial con el eje-y tiene un radio de r=15 cm, y una densidad de carga superficial uniforme de =6 nC/m2. Un cascarón esférico de radio R=25 cm con centro sobre el eje-x en x=50 cm y con densidad superficial y uniforme de carga =-12 nC/m2. Hallar el vector campo eléctrico en el punto P de coordenadas x=20 cm, y=10 cm. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) (1313,85 i - 268,30 j ) N/C b) (1373,85 i - 264,30 j ) N/C c) (1333,85 i - 262,30 j ) N/C d) (1355,85 i - 260,30 j ) N/C e) (1395,85 i - 266,30 j ) N/C 293.Se tiene un filamento rectilíneo de longitud l=10 cm, con carga eléctrica total de Q=4 nC situado en el eje-x+, con su extremo izquierdo en el origen 0. La densidad de carga del fi lamento es =Ax+B donde A y B son constantes. La magnitud del campo eléctrico en un punto sobre el eje-x, situado a la distancia a=10 cm del extremo derecho del filamento es E=450 N/C. Hallar la densidad de carga lineal del filamento a la distancia d=2,5 cm del origen. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 100,5 nC/m b) 102,5 nC/m c) 104,5 nC/m d) 106,5 nC/m e) 108,5 nC/m 294.Un filamento rectilíneo muy largo de densidad de carga uniforme =8 nC/m se encuentra en el eje de simetría de un cilindro hueco muy largo de radio R=20 cm y densidad de car 283

Campo eléctrico 424 ga uniforme " "  . El
campo eléctrico a la distancia de r=25 cm del eje del cilindro es nula. Hallar el valor de la densidad de carga del cilindro. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,10 nC/m2 b) 0,15 nC/m2 c) 0,20 nC/m2 d) 0,25 nC/m2 e) 0,30 nC/m2 295.Una anillo de radio R=10 cm que se encuentra en el plano horizontal xy tiene una carga Q=8 nC distribuida uniformemente en toda su longitud. Una partícula de masa "m" tiene una carga "q" está localizada en el eje del anillo. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) ¿Cuál es el valor mínimo de q /m para que la partícula se encuentre en equilibrio? a) 1,5410-3 b) 2,5410-3 c) 3,5410-3 d) 4,5410-3 e) 5,5410-3 II) Si, q /m es el doble del valor calculado en I), ¿A qué distancia del centro del anillo se en cuentra la partícula al alcanzar el equilibrio? a) 17,5 cm b) 18,5 cm c) 19,5 cm d) 20,5 cm e) 21,5 cm 296.En la Fig159, el anillo delgado que presenta una abertura de ángulo 2=60º , tiene un ra dio de R=20 cm, y una densidad de carga lineal uniforme de =4 nC/m. Hallar el campo e léctrico en el centro 0 del anillo. (k=910-9 Nm2/C2, n=10-9) a) -180 i b) 180 i c) -140 i d) 140 i e) -100 i 297.En la Fig160, una barra de plástico, no conductora, larga y delgada, se dobla formando un bucle de ra dio R=20 cm. Entre los extremos de la barra queda un hueco de longitud " " (l<<R). Una carga Q=4 nC se distribuye por igual sobre la barra. (k=9109 Nm2/C2) I) Indicar la dirección del campo en el centro 0 del bucle. a) i b) j c) i  d) j  e) k II) Hallar la magnitud del campo eléctrico generado en el centro del bucle. a) 70,6 N/C b) 71,6 N/C c) 72,6 N/C d) 73,6 N/C e) 74,6 N/C Fig159 Fig160 R y x   0 l R 0 y x 284

Robótica y Cibernética 425 298.Una esfera sólida de radio a=0,6
m con centro sobre el eje-x en x=4 m, tiene una densi dad de carga volumétrica uniforme =5 nC/m3. Un cascarón esférico concéntrico con la esfera sólida tiene un radio b=1,2 m y una densidad de carga superficial uniforme =-1,5 nC/m2. Hallar el vector campo eléctrico en el punto P de coordenadas x=2 m, y=3 m. (k =9109 Nm2/C2, n=10-9, ˆ r vector unitario radial) a) -12,63 ˆ r N/C b) 12,63 ˆ r N/C c) -15,63 ˆ r N/C d) 15,63 ˆ r N/C e) -18,63 ˆ r N/C 299.La mecánica cuántica considera que el electrón del átomo de hidrógeno no es puntual, si no que se le asigna una distribución de carga extendida en todo el espacio cuya expresión es (r)=o .e-2r/a, donde "r" es la distancia medida desde el núcleo, y "a" es el llamado ra dio de Bhor (a=0,0529 nm). (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar o " "  considerando que el átomo tiene carga total cero. II) Hallar el campo eléctrico generado a una distancia "r" del centro del núcleo. 300.Un filamento delgado y muy largo de densidad de carga lineal uniforme =6 nC/m está localizada a lo largo del eje-z. Una partícula de masa m=4 g que posee una carga q=-8 nC, se encuentra en una órbita circular de radio R=10 cm en el plano xy alrededor de la carga lineal. Hallar el periodo del movimiento circular que describe la partícula. a) 1,15 s b) 1,25 s c) 1,35 s d) 1,45 s e) 1,55 s 301.Se tienen tres cargas puntuales q1 =4 pC, q2 =-6 pC, q3 =8 pC, situados en los puntos P1 (-1; -1;-1), P2 (1; 2; 3), P3 (-1; 2; 5). (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Hallar el vector campo eléctrico en el punto P(2; 2; 2). a) (-156,57 i +7,73 j +172,03 k ) N/C b) (-150,57 i +7,13 j +178,03 k ) N/C c) (-158,57 i +7,53 j +170,03 k ) N/C d) (-152,57 i +7,33 j +174,03 k ) N/C e) (-154,57 i +7,23 j +176,03 k ) N/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P(2; 2; 2). a) 230,74 N/C b) 232,74 N/C c) 234,74 N/C d) 236,74 N/C e) 238,74 N/C 302.Una distribución de carga no uniforme que presenta simetría esférica, tiene una densidad de carga, dada por: (r)=o (1-4r/3R) para rR, y (r)=0, para rR, donde o " "  es una constante positiva. (k=9109 N.m2/C2, o =8 nC/m3, R=20 cm) I) Hallar la carga total contenida en la distribución de carga. a) 0 C b) 1 C c) 2 C d) 3 C e) 4 C II) Hallar el campo eléctrico en la región rR, y evaluar en r=22 cm. a) 0 N/C b) 2,2 N/C c) 4,2 N/C d) 6,2 N/C e) 8,2 N/C III) Hallar el campo eléctrico en la región rR, y evaluar para r=8 cm 285

14,48 N/C d) 14,68 N/C e) 14,88 N/C IV) Hallar el valor de "r" para el cual el valor del campo eléctrico es máximo. a) 8 cm b) 9 cm c) 10 cm d) 11 cm e) 12 cm V) Hallar el valor del campo eléctrico máximo max "E ". a) 15,1 N/C b) 15,4 N/C c) 15,7 N/C d) 16,0 N/C e) 16,3 N/C VI) Representar la gráfica de la magnitud del campo eléctrico en función de la distancia radial 303.En el modelo atómico de Thompson, dos electrones, cada uno de carga " e"  , están conte nidos en una esfera de radio "R", y carga " 2e"  . En el equilibrio cada electrón está a u na distancia "d" del centro del átomo. Hallar la distancia "d" en función de las otras pro piedades del átomo. a) R/2 b) R/3 c) R/4 d) 2R/3 e) 3R/4 304.La normal a una delgada hoja de papel de área A=0,250 m2 forma un ángulo de =60º con un campo eléctrico uniforme de magnitud de E=14 N/C. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el flujo eléctrico a través de la hoja. a) 1,0 Nm2/C b) 1,2 Nm2/C c) 1,4 Nm2/C d) 1,6 Nm2/C e) 1,8 Nm2/C II) La respuesta al inciso I) depende de la forma de la hoja. III) ¿Para qué ángulo " "  entre la normal a la hoja y el campo eléctrico E , la magnitud del flujo a través de la hoja es máxima y mínima? a) 0o; 90º b) 90º; 0o c) 0o; 180º d) 180º; 0o e) 90º; 45º 305.Una lámina plana de forma rectangular de lados a=0,4 m y b=0,6 m, esta en un campo e léctrico uniforme de magnitud E=75 N/C dirigido un ángulo de =20º con respecto al pla no de la lámina. Hallar la magnitud del flujo a través de la lámina. (k=9109 Nm2/C2) a) 6,16 Nm2/C b) 6,36 Nm2/C c) 6,56 Nm2/C d) 6,76 Nm2/C e) 6,96 Nm2/C 306.Se mide un campo eléctrico de E=1,25106 N/C a una distancia de d=0,15 m de una carga puntual. (k=9109 Nm2/C2, k=103, =10-6) I) Hallar el flujo eléctrico a través de una esfera a esa distancia de la carga. a) 313 kNm2/C b) 323 kNm2/C c) 343 kNm2/C d) 353 kNm2/C e)363 kNm2/C II) Hallar la magnitud de la carga eléctrica. a) 3,12 C b) 3,32 C c) 3,52 C d) 3,72 C e) 3,92 C 307.En la Fig161, un cubo de lados l=0,3 m se ubica con una esquina en el origen, en presen cia de un campo eléctrico no uniforme, dado por: E = (-5 N/Cm).x i +(3 N/Cm) zk . (k= 286

Robótica y Cibernética 427 9109 Nm2/C2) I) Hallar el valor
del mayor a menor flujo que pasa a través de las caras del cubo. a) 1,07 b) 1,27 c) 1,47 d) 1,67 e) 1,87 II) En cuántas caras del cubo, el flujo eléctrico es nulo. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 III) Hallar el flujo total (en Nm2/C) a través de las seis caras del cubo. a) 0,054 b) -0,054 c) 0,014 d) -0,014 e) 0,034 IV) Hallar la carga eléctrica total al interior del cubo. a) -2,7810-13 C b) 2,7810-13 C c) -4,7810-13 C d) -4,7810-13 C e) -8,7810-13 C 308.Una superficie hemisférica de radio r=20 cm está en una región de campo eléctrico uni forme de magnitud E=150 N/C tiene su eje alineado en forma paralela con la dirección del campo. Hallar el valor del flujo de campo eléctrico (en Nm2/C) a través de la superfi cie. (k=9109 Nm2/C2) a) 18,05 b) 18,25 c) 18,45 d) 18,65 e) 18,85 309.En la Fig160, el cubo de lados l=10 cm se encuentra en un campo eléctrico uniforme de magnitud E=4 kN/C, paralela al plano xy con un ángulo de =36,9º medido a partir del e je +x hacia el eje +y. I) Hallar el flujo de campo eléctrico a través de cada una de las seis caras del cubo. II) Hallar el flujo eléctrico total a través de todas las caras del cubo. 310.Se tiene un cilindro imaginario de radio r=25 cm y longitud l=40 cm, en cuyo eje se encu entra un filamento delgado muy largo de densidad de carga lineal uniforme de =6 C/m. I) Hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) a través del cilindro, debido al campo creado por el filamento. a) 2,11105 b) 2,31105 c) 2,51105 d) 2,71105 e) 2,91105 II) Hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) cuando el radio aumenta a R=0,5 m. a) 2,11105 b) 2,31105 c) 2,51105 d) 2,71105 e) 2,9105 III) Hallar el flujo (en Nm2/C) a través del cilindro, cuando su longitud aumenta a l=80 cm. a) 4,22105 b) 4,62105 c) 5,02105 d) 5,42.105 e) 5,82105 311.En la Fig161, las cargas eléctricas de las tres esferas pequeñas son, q1 =4,0 nC, q2 =-7,8 nC y q3 =2,4 nC. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el flujo eléctrico neto a través de las superficies S1 , S2 , S3 , S4 y S5 . II) Los flujos eléctricos obtenidos en I), dependen de la forma en que esta distribuida la car 287

Campo eléctrico 428 ga en cada esfera pequeña. Fig160 Fig161
312.Se rocía una capa muy delgada y uniforme de pintura con carga sobre la superficie de u na esfera de plástico de diámetro D=12cm, y carga eléctrica Q=-15 C.(k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el campo eléctrico (en N/C) cercano al interior de la capa de pintura. a) 0 b) 1,75107 c) 3,75107 d) 5,75107 e) 7,75107 II) Hallar el campo eléctrico (en N/C) cercano al exterior de la capa de pintura. a) 1,75107 b) 3,75107 c) 5,75107 d) 7,75107 e) 9,75107 III) Hallar el campo eléctrico (en N/C) a 5 cm afuera de la capa de pintura. a) 1,11107 b) 3,11107 c) 5,11107 d) 7,11107 e) 9,11107 313.Una carga puntual q1 =4 nC se localiza sobre el eje-x en x=2 m y una segunda carga pun tual q2 =-6 nC está en ele eje-y en y=1 m. (k= 9109 Nm2/C2) I) Hallar el flujo eléctrico total (en Nm2/C) debido a estas dos cargas a través de una super ficie esférica con centro en el origen y de radio R=1,5 m. a) 678 b) -678 c) 658 d) -658 e) 638 II) Hallar el flujo eléctrico total (en Nm2/C) debido a estas dos cargas a través de una superficie esférica con centro en el origen y de radio R=2,5 m. a) 246 N.m2/C b) -246 c) 226 N.m2/C d) -226 N.m2/C e) 266N.m2/C 314.En cierta región del espacio, el campo eléctrico E es uniforme, I) A partir de la ley de Gauss, demuestre que esa región debe ser eléctricamente neutra, es decir la densidad de carga volumétrica " "  debe ser igual a cero, II) Lo contrario, ¿es verdadero?. Es decir, en una región del espacio donde no hay carga, ¿E debe ser uniforme?. 315.Una carga puntual de q=9,6 C está en el centro de un cubo de lados de longitud l=0,5 m (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el flujo eléctrico (en 103 Nm2/C) a través de una cara del cubo. z x y 0 l l l q1 q2 q3 S1 S2 S3 S4 S5 288

Robótica y Cibernética 429 a) 57,0103 b) 57,2103 c) 57,4103
d) 57,6103 e) 57,8103 II) ¿Cómo cambiaría su respuesta del inciso I) si los lados midieran l=0,25 m? 316.Una esfera hueca conductora de radio exterior b=25 cm e interior a=20 cm tiene una den sidad de carga superficial de =+6,37 C/m2. Se introduce una carga de q=-0,5 C en la cavidad interna de la esfera. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) I) Hallar la nueva densidad de carga superficial cerca de la superficie externa de la esfera. a) 5,13 C/m2 b) 5,33 C/m2 c) 5,53 C/m2 d) 5,73 C/m2 e) 5,93 C/m2 II) Hallar la intensidad del campo eléctrico justo fuera de la esfera. a) 640 kN/C b) 642 kN/C c) 644 kN/C d) 646 kN/C e) 648 kN/C III) Hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) a través de una superficie esférica apenas al interior de la superficie interna de la esfera. a) 56,1103 b) 56,3103 c) 56,5103 d) 56,7103 e) 56,9103 317.Una carga puntual de q=-2 C se localiza en el centro de una cavidad esférica de radio R=6,5 cm dentro de un sólido aislante con carga. La densidad de carga volumétrico en el sólido es =7,3510-4 C/m3. Hallar la magnitud del campo eléctrico dentro del sólido a u na distancia de r=9,5 cm del centro de la cavidad. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 201 kN/C b) 202 kN/C c) 203 kN/C d) 204 kN/C e) 205 kN/C 318.La magnitud del campo eléctrico a una distancia de d=0,145 m de la superficie de una es fera sólida aislante de radio R=0,355 m, es E=1750 N/C. (k=9109 Nm2/C2, k=103) I) Suponiendo que la carga de la esfera se distribuye con uniformidad, ¿Cuál es la densidad de carga en su interior? a) 1,610-7 C/m3 b) 2,610-7 C/m3 c) 3,610-7 C/m3 d) 4,610-7 C/m3 e) 5,610-7 C/m3 II) Hallar la magnitud del campo eléctrico dentro de la esfera a una distancia de r=0,2 m del centro. a) 1,56 kN/C b) 1,66 kN/C c) 1,76 kN/C d) 1,86 kN/C e) 1,96 kN/C 319.En la Fig162, el conductor con una cavidad interna, tiene una carga neta de qc =+5 nC. La carga dentro de la cavidad, aislada del conductor, es de q=-6 nC. (n=10-9) I) ¿Qué cantidad de carga hay en la superficie interior de la cavidad?. a) -5 nC b) +5 nC c) -6 nC d) +6 nC e) -1 nC II) ¿Qué cantidad de carga hay en la superficie interior de la cavidad?. a) -1 nC b) +1 nC c) -5 nC d) +5 nC e) -6 nC 320.En la Fig163, aplicando la ley de Gauss a las superficies gaussianas S1 , S2 , S3 , S4 , hallar 289

Campo eléctrico 430 el campo eléctrico entre las placas y
fuera de ellas. Fig162 Fig163 321.Una lámina aislante y cuadrada de lados de longitud l=80 cm se encuentra en posición ho rizontal. La lámina tiene una carga de q=7,50 nC distribuida de manera uniforme sobre su superficie. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el campo eléctrico en un punto localizado a d=0,10 nm sobre el centro de la lámina a) 660,7 N/C b) 662,7 N/C c) 664,7 N/C d) 666,7 N/C e) 668,7 N/C II) Estimar el campo eléctrico en un punto situado a D=100 m sobre el centro de la lámina. a) 6,1510-3 N/C b) 6,3510-3 N/C c) 6,5510-3 N/C d) 6,7510-3 N/C e) 6,95.10-3 N/C III) ¿Serían diferentes las respuestas si la lámina fuera un conductor?¿Por que?. 322.Un conductor cilíndrico de longitud infinita tiene un radio R=20 cm y una densidad de carga superficial de =8 nC/m2. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la carga por unidad de longitud para el cilindro. a) 8 nC/m2 b) 9 nC/m2 c) 10 nC/m2 d) 11 nC/m2 e) 12 nC/m2 II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto situado a la distancia r=22 cm del eje del cilindro. a) 820,5 N/C b) 822,5 N/C c) 824,5 N/C d) 826,5 N/C e) 828,5 N/C III) Exprese el resultado obtenido en II) en términos de " "  y demuestre que el campo eléc trico del cilindro es el mismo que si toda la carga estuviera sobre el eje. 323.En la Fig164, dos láminas de plástico no conductoras, muy grandes, cada una de espesor s=10 cm, tienen densidades de carga superficiales uniformes 1 =-6 C/m2, 2 =+5 C/m2, 3 =+2 C/m2, 4 =+4 C/m2, y están separadas por una distancia de d=12 cm. (k=9109 Nm2/C2, =10-6, k=103) I) Hallar el campo eléctrico en el punto A, situado a 5 cm de la cara izquierda de la lámina izquierda. a) -281 i kN/C b) 281 i kN/C c) -283 i kN/C d) 283 i kN/C e) -285 i kN/C S1 S2 S3 S4 1 2 +q qc +q 290

Robótica y Cibernética 431 II) Hallar el campo eléctrico en
el punto B, situado a 1,25 cm de la superficie interior de la lá mina derecha. a) -392 i kN/C b) 392 i kN/C c) -394 i kN/C d) 394 i kN/C e)- 396 i kN/C III) Hallar el campo eléctrico en el punto C, situado a la mitad de la lámina derecha. a) -165 i kN/C b) 165 i kN/C c) -167 i kN/C d) 167 i kN/C e) -169 i kN/C Fig164 Fig165 324.En la Fig165, la carga puntual negativa " q"  se encuentra dentro de la cavidad del sóli do metálico hueco. El exterior del sólido tiene contacto con la tierra por medio del alam bre conductor. I) Existe alguna carga excedente inducida sobre la superficie interior de la pieza de metal. Si así fuera determinar su sigo y magnitud. II) Existe algún exceso de carga sobre el exterior del elemento de metal.¿Expliqué por qué? III) Existe campo eléctrico en la cavidad. ¿Explique por qué? IV) Existe campo eléctrico al interior del metal.¿Expliqué por qué? V) Alguien situado fuera del sólido mediría un campo eléctrico debido a la carga " q"  .¿Es razonable decir que el conductor a tierra tiene aislada la región de los efectos de la carga " q"  ? En principio, ¿podría hacerse lo mismo para la gravedad?¿Por qué? 325.Un campo eléctrico vertical de magnitud E=20 kN/C existe sobre la Tierra un día en el que amenaza una tormenta. Un auto de sección rectangular de lados de longitudes a=6 m y b=3 m se desplaza a lo largo de un camino inclinado  =10º hacia abajo. Hallar el flujo eléctrico (en kNm2/C) a través de la base inferior del auto. a) 351,5 b) 352,5 c) 353,5 d) 354,5 e) 355,5 326.En la Fig166, la caja triangular cerrada descansa en presencia de un campo eléctrico ho rizontal de magnitud E=78 kN/C, paralela a la base de la caja. Se sabe que a=10 cm, b=30 cm, y =60º. I) Hallar el flujo eléctrico (en kN.m2/C) a través de la superficie vertical izquierda. a) -2,34 b) +2,34 c) -2,64 d) +2,64 e) -2,84 1 s 2 d s 3 4 A B C    -q tierra 291

Campo eléctrico 432 II) Hallar el flujo eléctrico (en kN.m2/C)
a través de la superficie inclinada. a) -2,34 b) +2,34 c) -2,64 d) +2,64 e) -2,84 III) Hallar el flujo eléctrico (en kNm2/C) a través de toda la superficie de la caja. a) 0 b) 2,34 c) 4,68 d) -2,34 e) -4,68 327.En la Fig167, el cono de radio de la base R=20 cm y altura h=16 cm está sobre una me sa horizontal. Un campo horizontal uniforme de magnitud E=150 N/C, pasa a través del cono, perpendicular a la cara vertical izquierda. Hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) que ingresa al cono. a) -2,4 b) +2,4 c) -4,8 d) +4,8 e) -6,4 Fig166 Fig167 328.En la Fig168, dos bolillas idénticas de masas m=4 g y cargas "q", se ponen en el tazón esférico de radio R=20 cm con paredes no conductoras y sin fricción. Las bolillas se mue ven hasta alcanzar la posición de equilibrio, en la que la distancia de separación es "R". (k=9109 Nm2/C2, g=9,81 m/s2, =10-6) I) Hallar la carga eléctrica de cada bolilla. a) 0,35 C b) 0,45 C c) 0,55 C d) 0,65 C e) 0,75 C 329.En la Fig169, hallar el valor del flujo eléctrico (en Nm2/C) total a través de la superficie del paraboloide, debido al campo eléctrico constante de magnitud Eo =200 N/C en la direc ción mostrada. Sabiendo que el radio de la base circular es r=20 cm. a) 25,1 b) 25,3 c) 25,5 d) 25,7 e) 25,9 Fig168 Fig169 h R E 0 a b  E 0 R R R m m d r E 292

Robótica y Cibernética 433 330.Una pirámide de base cuadrada de
lados de longitud l=6 m, y altura h=4 descansa sobre una mesa horizontal, en presencia de un campo eléctrico uniforme de magnitud E=200 N/C, dirigido verticalmente hacia abajo. Hallar el flujo eléctrico (en kNm2/C) a través de la superficie lateral de la pirámide. a) -7,0 b) +7,0 c) -7,2 d) +7,2 e) -7,4 331.La magnitud del campo eléctrico en cualquier punto de la superficie de un cascarón esfé rico delgado de radio R=0,75 m es E=890 N/C, y está dirigida hacia el centro de la esfera. I) Hallar la carga neta de la superficie de la esfera. a) -55,6 nC b) +55,6 nC c) -51,6 nC d) +51,6 nC e) -53,6 nC II) ¿Qué puede concluir acerca de la naturaleza y distribución de la carga dentro del cascarón esférico? 332.I) Una carga puntual "q" se localiza a una distancia "d" de un plano infinito. Hallar el valor del flujo eléctrico través del plano debido a la carga puntual. a) q/o b) q/2o c) q/3o d) q/4o e) q/8o II) Una carga puntual "q" se localiza a muy corta distancia del centro de un cuadrado muy grande, sobre la línea perpendicular al cuadrado que pasa por su centro. Hallar el flujo e léctrico aproximado a través del cuadrado debido a la carga puntual. a) q/o b) q/2o c) q/3o d) q/4o e) q/8o III) Explique por qué las respuestas a los incisos I) y II) son idénticas. 333.Una carga puntual de q=12 C se coloca en el centro de un cascarón esférico de radio R= 22 cm. I) Hallar el flujo eléctrico total (en MNm2/C) a través de la superficie del cascarón. a) 1,16 b) 1,26 c) 1,36 d) 1,46 e) 1,56 II) Hallar el flujo eléctrico (en kNm2/C) a través de cualquier superficie hemisférica del cas carón. a) 648 b) 658 c) 668 d) 678 e) 688 III) Los resultados para el flujo eléctrico, dependen del radio del cascarón. 334.Una carga puntual de q=0,0462 C está dentro de una pirámide. Hallar el flujo eléctrico total (en kNm2/C) a través de la superficie de la pirámide. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 5,03 b) 5,23 c) 5,43 d) 5,63 e) 5,83 335.En la Fig170, el filamento delgado muy largo de densidad de carga lineal uniforme " "  se encuentra a la distancia "d" del punto 0. Hallar el flujo eléctrico total a través de la su 293

Campo eléctrico 434 perficie de la esfera de radio "R"
centrada en 0 resultante de esta línea de carga. (Sugeren cia: Analice todos los casos posibles que se presentan) 336.En la Fig171, la carga puntual Q=8 nC se ubica a la distancia de =1 m por encima del centro de la cara plana del hemisferio de radio R=20 cm. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el flujo eléctrico (en N.m2/C) a través de la superficie curva. a) -450,4 b) 450,4 c) -452,4 d) 452,4 e) -454,4 II) Hallar el flujo eléctrico a través de la cara plana. a) -450,4 b) 450,4 c) -452,4 d) 452,4 e) -454,4 Fig170 Fig171 337.En la Fig172, la carga puntual Q=5 C está en el centro del cubo de lados l=10 cm, y o ras seis cargas puntuales idénticas iguales a q=-1 C, están ubicadas simétricamente alre dedor de "Q". Hallar el flujo eléctrico (en kN.m2/C) a través de una cara del cubo. (k= 9109 Nm2/C2) a) 18,0 b) 18,2 c) 18,4 d) 18,6 e) 18,8 338.En la Fig173, la carga puntual q=4 nC se encuentra en la prolongación de la diagonal ag del cub de lados l=10 cm, muy cerca del vértice a. Hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) a través de cada cara del cubo que contiene como vértice común a. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) -18,4 b) 18,4 c) -18,8 d) 18,8 e) -19,2 Fig172 Fig173 0 d  R R Q  d f q h e b g c a l Q l l 294

Robótica y Cibernética 435 339.En la Fig174, la distancia del
filamento muy largo de densidad de carga lineal uniforme =6 nC/m, al eje del cilindro circular recto de radio R=20 cm, longitud l=40 cm es d=4 cm. Hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) a través de la superficie del cilindro. (k=9109 Nm2/C2) a) 270,4 b) 271,4 c) 272,4 d) 273,4 e) 274,4 340.En la Fig175, el campo eléctrico que sale perpendicularmente de la superficie de la coro na circular de radios interno a=10 cm, externo b=20 cm, depende de la distancia radial "r", según: E=Eo (r/rm )2, siendo Eo =500 N/C una constante y m "r " el radio medio de la co rona. Hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) que pasa por la superficie de la corona. a) 50,4 b) 51,4 c) 52,4 d) 53,4 e) 54,4 Fig174 Fig175 341.Una carga puntual de q=170 C se encuentra en el centro de un cubo de lados l=80 cm. (k=9109 Nm2/C2, M=106) I) Hallar el flujo eléctrico (en MNm2/C) a través de cada cara del cubo. a) 1,2 b) 2,2 c) 3,2 d) 4,2 e) 5,2 II) Hallar el flujo eléctrico (en MNm2/C) a través de toda la superficie del cubo. a) 16,2 b) 17,2 c) 18,2 d) 19,2 e) 20,2 342.El flujo eléctrico total que pasa por una superficie cerrada en la forma de un cilindro es E =86 kNm2/C. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la carga neta al interior del cilindro. a) 740 nC b) 750 nC c) 760 nC d) 770 nC e) 780 nC II) A partir de la información proporcionada, ¿Cuál es su comentario acerca de la carga al in terior del cilindro? 343.Hallar la magnitud del campo eléctrico (en 1021 N/C) en la superficie de un núcleo de plomo-208, el cual contiene 82 protones y 126 neutrones. Suponga que el núcleo de plo mo tiene un volumen 208 veces el de un protón, y considere un protón como una esfera R d 0 0'  l E a b r 0 295

Campo eléctrico 436 de radio 1,210-15 m. (k=9109 Nm2/C2, e=1,610-19
C) a) 1,33 b) 2,33 c) 3,33 d) 4,33 e) 5,33 344.Un cascarón cilíndrico de radio R=7 cm y longitud l=240 cm tiene su carga distribuida u niformemente sobre su superficie curva. La magnitud del campo eléctrico en un punto si tuado a la distancia r=19 cm de su eje es de E=36 kN/C. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la carga neta sobre la superficie del cascarón cilíndrico. a) 902 nC b) 912 nC c) 922 nC d) 932 nC e) 942 nC II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto situado a la distancia de r=4 cm, medi do desde el eje. 345.En la fisión nuclear un núcleo de uranio-238, el cual contiene 92 protones, se divide en dos pequeñas esferas, cada una de las cuales tiene 46 protones y un radio de 5,9010-15 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica repulsiva que aparta a las dos esferas? (k= 9109 Nm2/C2, e=1,610-19 C) a) 2,0 kN b) 2,5 kN c) 3,0 kN d) 3,5 kN e) 4,0 kN 346.El campo eléctrico sobre la superficie de un conductor de forma irregular varía desde 56 kN/C hasta 28 kN/C. Hallar la densidad de carga superficial local en el punto sobre la su perficie donde: (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) El radio de curvatura de la superficie es el más grande. a) 240 nC/m2 b) 242 nC/m2 c) 244 nC/m2 d) 246 nC/m2 e) 248 nC/m2 II) El el radio de curvatura de la superficie es el más pequeño. a) 491 nC/m2 b) 493 nC/m2 c) 495 nC/m2 d) 497 nC/m2 e) 499 nC/m2 347.Un cascarón aislante cilíndrico muy largo, de radios interior a=10 cm y exterior b=20 cm tiene una densidad de carga volumétrica uniforme de =8 nC/m3. Un filamento delgado muy largo de densidad de carga lineal uniforme =4 nC/m se sitúa a lo largo del eje del cascarón. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico a una distancia r=5 cm del filamento. a) 1440 N/C b) 1444 N/C c) 1448 N/C d) 1452 N/C e) 1456 N/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico a una distancia r=15 cm del filamento. a) 514 N/C b) 518 N/C c) 522 N/C d) 526 N/C e) 530 N/C III) Hallar la magnitud del campo eléctrico a una distancia r=25 cm del filamento. a) 338 N/C b) 342 N/C c) 346 N/C d) 350 N/C e) 354 N/C 348.Un cilindro aislante muy largo de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga volumétri ca que depende de la distancia radial "r", según: =o (a-r/b) donde o =6 nC/m3, a=22, 296

Robótica y Cibernética 437 b=10 cm, son constantes. (k=9109 Nm2/C2)
I) Hallar la magnitud del campo eléctrico a la distancia r=10 cm del eje del cilindro. a) 740 N/C b) 742 N/C c) 744 N/C d) 746 N/C e) 748 N/C II) Hallar la magnitud del campo eléctrico a la distancia r=30 cm del eje del cilindro. a) 991 N/C b) 993 N/C c) 995 N/C d) 997 N/C e) 999 N/C 349.En la Fig176, la carga puntual "Q" se localiza en el eje del disco de radio "r" a la distan cia "b" del plano del disco. Demostrar que si un cuarto del flujo eléctrico de la carga "Q" pasa por el disco, entonces r= 3 b. Fig176 Fig177 350.En la Fig177, la superficie cerrada de dimensiones a=b=40 cm y c=60 cm, se encuentra en una región donde existe un campo eléctrico, dado por: E = (3,0+2,0x2) i N/C, donde "x" se mide en metros. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Hallar el flujo eléctrico neto (en Nm2/C) que sale de la superficie cerrada. a) 0,209 b) 0,229 c) 0,249 d) 0,269 e) 0,289 II) Hallar la carga neta encerrada por la superficie. a) 2,18 pC b) 2,38 pC c) 2,58 pC d) 2,78 pC e) 2,98 pC 351.En la Fig178, en el centro del segmento esférico de radio R=20 cm, limitado por el ángu lo =37º se encuentra una carga puntual fija Q=+4 nC. Hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) que pasa por la superficie del segmento de esfera. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 270 b) 272 c) 274 d) 276 e) 278 352.En la Fig179, en el centro del segmento esférico de radio R=20 cm, limitado por los án gulos =37º, y =53º, se encuentra la carga puntual q=Q=+4 nC. Hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) que pasa por el segmento de esfera. (k=9109 Nm2/C2) a) 81 b) 83 c) 85 d) 87 e) 89 b r Q b c a a E y z x 0 297

Campo eléctrico 438 Fig178 Fig179 353.En la Fig180, la carga
puntual q=+4 nC está a la distancia d=10 cm de la superficie cua drada de lados a=20 cm, y está por encima del centro 0 del cuadrado. Hallar el flujo eléc trico (en Nm2/C) a través de la superficie del cuadrado. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 71,4 b) 73,4 c) 75,4 d) 77,4 e) 79,4 Fig180 Fig181 354.En la Fig181, la red para cazar mariposas está en un campo eléctrico uniforme de magni tud E=500 N/C. El aro circular de radio R=20 cm está alineado perpendicularmente al campo. Hallar el flujo eléctrico (en N.m2/C) a través de la red, respecto de la normal ex terna a la red. (k=9.109 N.m2/C2) a) -60,8 b) 60,8 c) -62,8 d) 62,8 e) -64,8 355.En la Fig182, a la distancia d=20 cm por debajo del centro de la corona circular se en cuentra una carga puntual Q=+8 nC. Sabiendo que los ángulo que limitan la corona son =37o, =53o, hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) a través de la superficie de la corona. (k=9109 N.m2/C2, n=10-9) a) 81 b) 83 c) 85 d) 87 e) 89 356.En la Fig.183, en el vértice del cono regular cerrado de altura h=20 cm, y ángulo de vérti ce =60º, se encuentra la carga puntual q=8 nC. Hallar el flujo eléctrico (en Nm2/C) a tra vés de la superficie del cono. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 60,6 b) 62,6 c) 64,6 d) 66,6 e) 68,6 R  Q   Q R a a 0 q a/2 E R 298

Robótica y Cibernética 439 Fig182 Fig183 357.En la Fig184, en
cierta región R del espacio existe un campo eléctrico, cuya expresión vectorial en coordenadas cartesianas es: E =(2x2+y2) i +(x.y-y2) j . I) Hallar la circulación C E del campo eléctrico, a lo largo del contorno triangular, en la direc ción mostrada. a) -4/3 b) 4/3 c) -8/3 d) 8/3 e) -16/3 II) Hallar el flujo de xE  sobre la superficie triangular. a) -4/3 b) 4/3 c) -8/3 d) 8/3 e) -16/3 III) ¿Puede expresarse E como el gradiente de un escalar? Explique. Fig184 Fig185 358.En la Fig185, en cierta región R del espacio existe un campo eléctrico, cuya expresión vectorial en coordenadas polares planas es: E =(5r sen )ˆ r +(r2cos ) ˆ  . I) Hallar la circulación C E del campo eléctrico, a lo largo del contorno de cuarto de corona, en la dirección mostrada. a) 1/2 b) -1/2 c) 1/4 d) -1/4 e) 2/3 II) Hallar el rotacional xE  del campo eléctrico.   Q d  H Q y x 0 2 2 x D A B C y 0 299

Campo eléctrico 440 a) (3r-5)cos ˆ k b) (3r+5)cos ˆ
k c) (3r-5)sen ˆ k d) (3r+5)sen ˆ k e) (3r+5)tg ˆ k III) Hallar el flujo de xE  sobre la superficie del cuarto de corona, y compare el resultado con el obtenido en el inciso I). a) 1/2 b) -1/2 c) 1/4 d) -1/4 e) 2/3 359.Demostrar que el campo E =3 sen(/2) ˆ  , satisface el teorema de Stokes, sobre la superfi cie de una semiesfera de radio R=4 u, y su borde circular. 360.Dada un campo vectorial: E =(x+3y-c1 z) i +(c2 x+5z) j +(2x-c3 y+c4 z)k . I) Determinar c1 , c2 y c3 , sabiendo que E es irrotacional. II) Determinar c4 , sabiendo que E es solenoidal. 361.Una carga puntual Q=+100 nC está en el punto A(-1; 2; 3) en el espacio libre. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la ubicación de todos los puntos P(x; y; z) en los que Ex =500 V/m. II) Hallar y1 si P(-2; y1 ; 3) se encuentra en dicho lugar. 362.Una carga de prueba positiva se utiliza para obtener el campo que produce una carga pun tual positiva "Q" en el punto P(a; b; c). Si la carga de prueba se coloca en el origen, la fuerza sobre ella tiene la dirección 0,5 i -0,5 3 j, y cuando la carga de prueba se desplaza al punto B(1; 0; 0), la fuerza está en la dirección 0,6 i -0,8 j . Hallar el valor de la expre sión E=(b+c)/a. a) 1,53 b) 1,63 c) 1,73 d) 1,83 e) 1,93 363.Una carga o "Q " que está en el origen genera un campo de magnitud Ez =1 kV/m en el punto P(-2; 1;-1). (k=9109 Nm2/C2, k=103, =10-6) I) Hallar la carga eléctrica o "Q ". a) -1,33 C b) 1,33 C c) -1,53 C d) 1,53 C e) -1,73 C II) Hallar el campo eléctrico E en el punto M(1; 6; 5), en coordenadas cartesianas, coordena das cilíndricas, y coordenadas esféricas. 364.En una determinada región R del espacio hay electrones moviéndose aleatoriamente. En cualquier intervalo de tiempo 1 s, la probabilidad de encontrar un electrón en una sub región de volumen V=10-15 m3 es 0,27. ¿Qué densidad volumétrica de carga debe asignár sele a esa subregión para dicho intervalo? a) -41,3 C/m3 b) -43,3 C/m3 c) -45,3 C/m3 d) -47,3 C/m3 e) -49,3 C/m3 365.Una densidad volumétrica de carga uniforme de =0,2 C/m3 está en una concha esféri ca que se extiende desde r=3 cm hasta r=5 cm. Si =0 en cualquier otra parte, determinar: 300

Robótica y Cibernética 441 I) La carga total presente en
la concha esférica. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 52,1 pC b) 62,1 pC c) 72,1 pC d) 82,1 pC e) 92,1 pC II) El valor de 1 "r " si la mitad de la carga total está en la región 3 cm < r < r1 . a) 4,13 cm b) 4,23 cm c) 4,33 cm d) 4,43 cm e) 4,53 cm 366.En cierta región R del espacio existe un campo eléctrico, cuya expresión en coordenadas esféricas es: E =(A/r2)ˆ r I) Hallar la expresión del campo eléctrico en coordenadas rectangulares. II) Halar la expresión del campo eléctrico en coordenadas cilíndricas. 367.En un sistema de coordenadas cilíndricas la densidad de carga varía en función del radio de según: V =o /(2+a2)2 C/m3.¿A qué distancia del eje-z se encuentra la mitad de la car ga total? (k=9109 Nm2/C2) a) a/2 b) a/4 c) 2a/3 d) 2a e) a 368.Un volumen esférico de radio R=2 m tiene una densidad de carga volumétrica de = 1015 C/m3. (k=9109 Nm2/C2, =10-6, m=10-3, M=106) I) ¿Cuál es la carga total encerrada en el volumen esférico? a) 31,5 mC b) 32,5 mC c) 33,5 mC d) 34,5 mC e) 35,5 mC II) Suponer que una región de gran tamaño contiene una de estas pequeñas esferas en cada es quina de un enrejado cúbico de lados l=3mm y que no existe carga entre las esferas.¿Cuál es la densidad de carga volumétrica en dicha región? a) 1,04 MC/m3 b) 1,24 MC/m3 c) 1,44 MC/m3 d) 1,64 MC/m3 e) 1,84 MC/m3 369.Una carga puntual de Q=20 nC se encuentra en el punto A(4;-1; 3) m y un filamento muy delgado y largo de densidad de carga lineal uniforme de =-25 nC/m se extiende a lo lar go de la intersección de los planos x=-4 y z=6. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el campo eléctrico E (en V/m) en el punto B(3;-1; 0) m. a) -42,75 i +14,69k b) -42,15 i +14,09k c) -42,95 i +14,29k d) -42,35 i +14,49k e) -42,55 i +14,89k II) Hallar en el punto B, el ángulo que forma el campo eléctrico E con el eje-z. a) 71,03º b) 71,23º c) 71,43º d) 71,63º e) 71,83º III) Hallar la cantidad de flujo eléctrico que abandona la superficie de una esfera de radio R= 5 m y con centro en el origen de coordenadas. a) 0 b) 10 Nm2/C c) 20 Nm2/C d) 30 Nm2/C e) 40 Nm2/C 370.En cierta región R del espacio, la expresión de la densidad de flujo eléctrico en el vació, 301

Campo eléctrico 442 viene dado por: 2 2 D 4xy
i 2(x z ) j 4yzk     N/C. Determinar la carga total encerrada en el paralelepípedo rectangular definido por: 0<x<2 m, 0<y<3 m, 0<z<5 m. a) 90 C b) 180 C c) 240 C d) 300 C e) 360 C 371.En cierta región R del espacio, la expresión de la densidad de flujo eléctrico en el vació, viene dado por: 2 2 2 D 2x yi 3x y j   N/C. I) Determinar la carga total encerrada por el cubo, definido por: 1,0 m < x, y, z < 1,2 m. a) 0,1028 C b) 0,1228 C c) 0,1428 C d) 0,1628 C e) 0,1828 C II) Evaluar la divergencia de D dada por ( D  ) en el centro del cubo. a) 12,03 C/m3 b) 12,23 C/m3 c) 12,43 C/m3 d) 12,63 C/m3 e) 12,83 C/m3 III) Estimar la carga total encerrada dentro del cubo, a partir del teorema de Gauss en su for ma diferencial. a) 0,1026 C b) 0,1226 C c) 0,1426 C d) 0,1626 C e) 0,1826 C 372.Una densidad de carga volumétrica no uniforme en coordenadas esféricas, viene dado por: v =(o sen(r))/r2, donde o " "  es una constante. Determinar las superficies en las que D =0. 373.La superficie cilíndrica =8 cm contiene una densidad de carga superficial S =5e-20IzI nC/m2. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la cantidad de carga eléctrica presente. a) 0,10 nC b) 0,15 nC c) 0,20 nC d) 0,25 nC e) 0,30 nC II) Hallar la cantidad de flujo eléctrico (en Nm2/C) que abandona la superficie =8 cm, 1 cm < z < 5 cm, 30º<<90º. a) 1,07 b) 1,17 c) 1,27 d) 1,37 e) 1,47 374.Una densidad de carga volumétrica se encuentra en el espacio libre como v =2e-1000r nC/m3 para 0<r<1 mm y v =0 en cualquier otra parte. (a=10-18, p=10-12) I) Determinar la carga eléctrica total encerrada por la superficie esférica r=1 mm. a) 2 aC b) 3 aC c) 4 aC d) 5 aC e) 6 aC II) Aplicando la ley de Gauss, hallar Dr sobre la superficie r=1 mm. a) 0,12 pC/m2 b) 0,12 pC/m2 c) 0,12 pC/m2 d) 0,12 pC/m2 e) 0,12 pC/m2 375.Una superficie esférica de radio R=3 mm y centro en P(4; 1; 5) está en el espacio libre, en presencia de una densidad de flujo eléctrico, dado por: D x i  (C/m2). Calcular el flu 302

Robótica y Cibernética 443 jo eléctrico total que abandona la
superficie de la esfera. (k=9109 Nm2/C2) a) 111 nC b) 113 nC c) 115 nC d) 117 nC e) 117 nC 376.Aplicando la ley de Gauss en su forma integral demostrar que un campo de distancia in versa en coordenadas esféricas, D =A/rˆ r , donde "A" es una constante, requiere que cada circulo esférico de 1 mm de ancho contenga 4A coulombs de carga. ¿Esto indica una dis tribución de carga continua? Si es así, encontrar la variación de la densidad de carga con la distancia radial "r". a) Ar b) Ar2 c) A/r d) A/r2 e) A/2r 377.Sea, v =0 para <1 mm, v =2 sen(2000) nC/m3 para 1 mm<<1,5 mm y v =0 para >1,5 mm en coordenadas cilíndricas. Determinar D en cualquier lugar. 378.Se tiene un cono definido por: r2 m y 0/4, que presenta una densidad de carga vo lumétrica, dado por: v =10r2cos2.10-3 C/m3, siendo "r" la distancia radial, y " "  el ángu lo polar. Hallar la carga eléctrica contenida en el cono. (m=10-3) a) 83,65 mC b) 84,65 mC c) 85,65 mC d) 86,65 mC e) 87,65 mC 379.Un campo eléctrico está dado por: E =25(x i +y j )/(x2+y2) (N/C). (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar en el punto P(3; 4;-2) m, un vector unitario en la dirección del campo E . a) 0,2 i +0,4 j b) 0,6 i +0,8 j c) 0,4 i +0,6 j d) 0,8 i +0,2 j e) 0,3 i +0,4 j II) Hallar el ángulo entre el campo eléctricoE y el eje-x en el punto P(3; 4;-2). a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º III) Hallar en el plano y=7, el valor de la siguiente integral doble: 4 2 0 0 E jdzdx   . a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 380.Dado el vector campo E =4zy2cos(2x) i +2zysen(2x) j +y2sen(2x)k para la región IxI, IyI y IzI es menor que 2, hallar: I) Las superficies en las que Ey =0, II) La región R en las que Ey =Ez , III) La región R en las que E =0. 381.Expresar el vector campo eléctrico uniforme E =5 i (N/C) en, I) Coordenadas cilíndri cas. II) Coordenadas esféricas. 382.Expresar el vector campo eléctrico E =8sen  ˆ  (N/C) en, I) Coordenadas rectangulares, II) Coordenadas cilíndricas. 383.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión vectorial, viene dado por: E =2xz2 i +2z(x2+1)k (N/C) 303

Campo eléctrico 444 I) Determinar la ecuación de la línea
que pasa por el punto P(1; 3;-1) m. a) x2=z2+2ln(z) b) x2=z2-2ln(z) c) z2=x2+2ln(x) d) z2=x2-2ln(x) e) z2=x2-4ln(x) II) El punto Q(2; z) m pertenece a una línea de campo, hallar el valor de "z". a) 2,12 m b) 2,32 m c) 2,52 m d) 2,72 m e) 2,92 m 384.En cierta región R del espacio existe un campo eléctrico, dado por: E 20e-5y(cos(5x) i - sen(5x) j ). en el punto P(/6; 0,1; 2), hallar: I) El módulo de E . II) Un vector unitario en la dirección de E , III) La ecuación de la línea de campo que pasa por el punto P. 385.En cierta región R del espacio libre, existen las siguientes distribuciones de carga: En el punto P(2; 0; 6) una carga puntual Q=12 nC, en x=-2, y=3 una densidad de carga lineal =3 nC/m; y en x=2 una densidad de carga superficial uniforme =0,2 nC/m2. Hallar el módulo del campo E en el origen de coordenadas. (k=9.109 N.m2/C2, n=10-9) a) -3,1 i -12,0 j -2,7k (N/C) b) -3,9 i -12,4 j -2,5k (N/C) c) -3,3 i -12,2 j -2,1k (N/C) d) -3,7 i -12,6 j -2,3k (N/C) e) -3,5 i -12,8 j -2,9k (N/C) 386.Hallar la carga eléctrica total contenida en el volumen cilíndrico definido por: r2 m y 0z3 m, sabiendo que la densidad de carga volumétrica es =20 rz (mC/m3, m=10-3) a) 1,01 C b) 1,31 C c) 1,51 C d) 1,71 C e) 1,91 C 387.La densidad de flujo eléctrico al interior de una esfera dieléctrica de radio a=10 cm, cen trada en el origen de coordenadas, está dada por: o ˆ D rr   (C/m2), donde o =8 nC/m3. Ha llar la carga eléctrica total al interior de la esfera. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 0,1 nC b) 0,2 nC c) 0,3 nC d) 0,4 nC e) 0,5 nC 388.En una región R del espacio existe un campo eléctrico, dado por:E =(4x-2y) i - (2x+4y) j (N/C). Hallar la ecuación de las línea de campo que pasa a través del punto P(2; 3;-4) m. a) y2=x2-4xy+19 b) y2=x2+4xy+19 c) y2=x2+4xy-19 d) y2=x2-4xy-19 e) y2=x2-xy+19 389.En una región R del espacio libre, definida por: yx2, 0<x<1 m, existe una densidad de carga superficial, dada por: =(x2+xy) C/m2. Hallar la carga total en la superficie. a) 0,203 C b) 0,223 C c) 0,243 C d) 0,263 C e) 0,283 C 390.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x2 i +y2 j (V/m). Hallar la circulación del campo E , a lo largo de la curva C: y=x2 de (0; 0) a (1; 1) m. (k=9109 Nm2/C2) 304

Robótica y Cibernética 445 a) 0,47 V b) 0,57 V
c) 0,67 V d) 0,77 V e) 0,87 V 391.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =2xy i +(x2- z2) j -3xz2 k (N/C). Hallar el trabajo que hace el campo al trasladarse una carga unitaria q=1 C de A(0; 0; 0) a B(2; 1; 3) m a lo largo de: I) El segmento (0; 0; 0)(0; 1; 0) (2; 1; 0) (2; 1; 3). a) +50 J b) -50 J c) +70 J d) -70 J e) +90 J II) La línea recta (0; 0; 0) a (2; 1; 3). a) -36,5 J b) +36,5 J c) -39,5 J d) +39,5 J e) -42,5 J 392.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = (x-y) i +(x2+ zy) j +5yzk (N/C). Hallar el trabajo realizado por el campo, al trasladarse una carga unita ria q=1 C a lo largo de la trayectorias rectas (1;0;0)  (0;0;0)  (0;0;1)  (0;2;0). a) 1,0 J b) 1,5 J c) 2,0 J d) 2,5 J e) 3,0 J 393.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x2y i -y j (N/C). (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la circulación C E a lo largo de los segmentos rectos (0;0)  (0;1)  (2;0) (0;0) a) 5/6 b) 7/6 c) 3/4 d) 4/5 e) 2/5 II) Hallar: S ( xE) dS   , siendo "S" el área encerrada por la curva C, del inciso I) a) 2/5 b) 4/5 c) 7/6 d) 5/6 e) 3/4 III) ¿Se cumple el teorema de Stokes? 394. En una región R del espacio libre, existe una densidad de flujo, dado por: D =2z2 ˆ  + cos2k . En la región definida por: 05 m, -1 m<z<1 m, 0<<2. I) Calcular el flujo = S D dS  de la densidad D . a) 170 C b) 172 C c) 174 C d) 176 C e) 178 C II) Calcular la carga total, Q= V DdV   . a) 170 C b) 172 C c) 174 C d) 176 C e) 178 C 395.Una lámina finita, definida por: 0x1 m, 0y1 m, en el plano z= 0 tiene una densidad de carga superficial: =xy(x2+y2+25)3/2 nC/m2. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la carga total contenida en la lámina. a) 33,15 nC b) 33,35 nC c) 33,55 nC d) 33,75 nC e) 33,95 nC 305

Campo eléctrico 446 II) Hallar el campo eléctrico E (en
N/C) en el punto (0; 0; 5) m. a) -15 i -15 j +11,25k b) -15 i +15 j +11,25k c) -15 i -15 j -11,25k d) +15 i -15 j +11,25k e) +15 i +15 j -11,25k III) Hallar la magnitud de la fuerza que ejerce el campo sobre una carga unitaria negativa, ubi cada en el punto (0; 0; 5) m. a) 11,25 N b) 11,35 N c) 11,45 N d) 11,55 N e) 11,65 N 396.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coordena das cilíndricas es: E =cos /r2 ˆ r +z cos  ˆ  +z ˆ k (N/C). Hallar el flujo del rotacional del campo a través del hemisferio, definido por: r=4 m, z0. 397.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coorde nadas rectangulares es: E = (x2+y2+z2)1/2[(x-y) i +(x+y) j ]/(x2+y2)1/2. Calcular las siguien tes integrales: I) C E = L E d  , donde L es el borde circular del volumen en forma de cono para helados de arista a=2 m, y ángulo de vértice =60º. a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 II) = 1 S ( xE) dS   , donde S1 es la superficie superior del cono compacto. a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 III) = 2 S ( xE) dS   , donde S2 es la superficie lateral del cono compacto. a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e)  Fig186 Fig187 398.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =sen ˆ  +2 ˆ  I) Hallar la circulación del campo C E a lo largo del contorno de la Fig186. y x 0 2 2 1 0 y x 2 1 2 2 1 306

c) 10,57 V d) 10,77 V e) 10,97 V II) Hallar la circulación del campo C E a lo largo del contorno de la Fig187. a) 4 V b) 5 V c) 6 V d) 7 V e) 8 V 399.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coordena das cilíndricas es: E =2sen ˆ  +zcos ˆ  +z ˆ k . Hallar el flujo de campo total (en N.m2/C) hacia fuera a través del cilindro hueco definido por: 2 m    3 m, 0  z  5 m. a) 191 b) 193 c) 195 d) 197 e) 199 400.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coordena das rectangulares es: E =(16xy-z)ˆ i +8x2 ˆ j-x ˆ k (N/C) I) Indicar si el campo E es irrotacional (o conservativo). II) Hallar el flujo neto (en Nm2/C) del campo E sobre el cubo dado por: 0 < x, y, z < 1 m. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 III) Hallar la circulación de E alrededor del borde del cuadrado: z=0, 0<x, y<1 m, (Tómese el sentido de circulación en el sentido de la manecillas del reloj) a) 0 J/C b) 1 J/C c) 2 J/C d) 3 J/C e) 4 J/C 401.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coordena das rectangulares es: E  (xy-z3) i +(3x2-z) j +(3xz2-y)k (N/C). I) Determinar la expresión K=  +  + , sabiendo que el campo E es irrotacional. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 II) Hallar la divergencia de E , y evaluar en el punto de coordenadas (2;-1; 0) m. a) -1 N/mC b) +1 N/mC c) -2 N/mC d) +2 N/mC e) -3 N/mC 402.En una región R del espacio libre, existe una densidad de flujo eléctrico D . Determinar la densidad de carga volumétrica v " "  en la región, cuando la densidad de flujo es: I) D =8xy i +4x2 j (C/m2), y evaluar en el punto P(1; 1; 1) m. a) 5 C/m3 b) 6 C/m3 c) 7 C/m3 d) 8 C/m3 e) 9 C/m3 II) D = sen ˆ  + 2 cos ˆ  + 2z2 ˆ k (C/m2), y evaluar en el punto P(2; /6; 2). a) 5 C/m3 b) 6 C/m3 c) 7 C/m3 d) 8 C/m3 e) 9 C/m3 III) D =2cos/r3 ˆ r + sen/r3 ˆ  (C/m2), y evaluar en el punto P(1; /3; /6). a) 0 C/m3 b) 1 C/m3 c) 2 C/m3 d) 3 C/m3 e) 4 C/m3 307

Campo eléctrico 448 403.Se tiene un placa rectangular muy delgada
situado en el plano x-y con su centro en el origen 0, y de lados 2a=20 cm, 2b=40 cm. La placa tiene una densidad de carga superfi cial u niforme de =8 nC/m2. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, p=10-12) I) Hallar la carga neta de la placa cargada. a) 610 pC b) 620 pC c) 630 pC d) 640 pC e) 650 pC II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P(0; 0; 20) cm, situado en el eje z. a) 90,66 N/C b) 92,66 N/C c) 94,66 N/C d) 96,66 N/C e) 98,66 N/C 404.Una carga puntual de Q=100 pC se localiza en (4; 1;-3) m, mientras que un filamento muy largo de densidad de carga lineal uniforme =2 nC/m se encuentra en el eje-x. Si el plano z=3 m, presenta una densidad de carga superficial uniforme de =5 nC/m2. Hallar la magnitud del campo eléctrico E en el punto (1; 1; 1) m. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 261,32 N/C b) 263,32 N/C c) 265,32 N/C d) 267,32 N/C e) 269,32 N/C 405.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = i +z2 j +2yzk (V/m). Hallar el trabajo realizado al desplazar una carga de q=5 C desde el punto P(1; 2;-4) m hasta el punto R(3;-5; 6) m. a) 1010 J b) 1020 J c) 1030 J d) 1040 J e) 1050 J 406.En una región R del espacio libre, la densidad de flujo, viene dado por: D = 2y2 i +4xy j -k mC/m2. En la región definida por: 1 m<x<2 m, 1 m<y<2 m, -1 m<z<4 m. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3, M=106) I) Hallar la carga eléctrica almacenada. a) 6,5 C b) 6,0 C c) 6,5 C d) 7,0 C e) 7,5 C II) Hallar la energía eléctrica almacenada. a) 31,93 MJ b) 33,93 MJ c) 35,93 MJ d) 37,93 MJ e) 39,93 MJ 407.Enuncie la ley de Gauss. Deduzca la ley de Coulomb de la de Gauss, lo que equivale a a firmar que ésta es una formulación alterna de la de Coulomb, la que a su vez está implíci ta en la ecuación de Maxwell v D    . 408.Una placa de ecuación x+2y=5 tiene una densidad de carga superficial uniforme de =6 nC/m2. Hallar el vector campo eléctrico E en el punto (-1; 0; 1). (k=9109 Nm2/C2) a) -151,7 i -303,5 j V/m b) -153,7 i -303,1 j V/m c) -159,7 i -303,3 j V/m d) -155,7 i -303,7 j V/m e) -157,7 i -303,9 j V/m 308

Robótica y Cibernética 449 409.En cierta región R del espacio
libre, el campo eléctrico, viene dado por: E =2(z+1)cos ˆ  - (z+1) sen ˆ  + 2cos ˆ k C/m2. I) Hallar la densidad de carga volumétrica " "  y evaluar en el punto (1 m; /3; 2 m). a) 3,0 C/m3 b) 3,5 C/m3 c) 4,0 C/m3 d) 4,5 C/m3 e) 5,0 C/m3 II) Hallar la carga total encerrada por el volumen: 0 <  <2 m, 0 <  < /2, 0 < z < 4 m. a) 70 C b) 72 C c) 74 C d) 76 C e) 78 C III) Probar la ley de Gauss, hallando el flujo neto a través de la superficie del volumen descri to en el inciso II). 410.En coordenadas cilindricas, la densidad de carga, viene dado por: v =12 nC/m3, para 1m<<2 m, y =0 para 0<<1 m, >2 m. Hallar la densidad de flujoD en cualquier pun to del espacio, y evaluar en =1,4 m.(n=10-9) a) 4,18n ˆ  b) 4,38n ˆ  c) 4,58n ˆ  d) 4,78n ˆ  e) 4,98n ˆ  411.En coordenadas esféricas, la densidad de carga, viene dado por: =10/r2 mC/m3, 2m<r <4m, =0, r>0. I) Hallar la razón de los flujos netos que pasan a través de la superficies r=6 m y r=4 m. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 II) Hallar la magnitud de la densidad de flujo D en la superficie esférica de radio r=4 m. a) 20 mC b) 40 mC c) 80 mC d) 120 mC e) 160 mC III) Hallar la magnitud de la densidad de flujo D en la superficie esférica de radio r=6 m. a) 20 mC b) 40 mC c) 80 mC d) 120 mC e) 160 mC 412.En cierta región R del espacio libre, el campo eléctrico, viene dado por: E =(z+1) sen ˆ  +(z+1) cos ˆ  + sen ˆ k V/m. Hallar el trabajo realizado en el desplazamiento de una carga puntual de q=4 nC de A(1; 0; 0) a B(4; 0; 0) y de B(4; 0; 0) a C(4; 30º; 0). a) -4 J b) +4 J c) -6 J d) +6 J e) -8 J 309

POTENCIAL ELÉCTRICO CAP-4 • Circulación del campo eléctrico • Energía
potencial eléctrica • Potencial eléctrico • Cálculo de potenciales eléctricos • Partículas elementales 310

Robotica y Cibernética 535 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Una carga puntual
Q1 =+2,40 C se mantiene estacionaria en el origen. Una segunda car ga puntual Q2 =-4,30 C se mueve del punto A(0,15; 0) m, al punto B(0,25; 0,25) m. Ha llar el trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre Q2 ? (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) +0,356 J b) -0,356 J c) +0,376 J d) -0,376 J e) +0,412 J 02. Una carga puntual 1 "Q " se mantiene estacionaria en el origen. Se coloca una segunda car ga 2 "Q " en el punto A, y la energía potencial eléctrica del par de cargas es UA = +5,410-8 J. Cuando la segunda carga se mueve al punto B, la fuerza eléctrica sobre la carga realiza un trabajo de W=-1,910-8 J. Hallar la energía la energía potencial eléctrica del par de car gas, cuando la segunda carga se encuentra en B. a) -6,910-8 J b) +6,910-8 J c) -7,310-8 J d) +7,310-8 J e) -8,410-8 J 03. Hallar el trabajo que se necesita para ensamblar un núcleo atómico que contiene tres pro tones, si se modela como un triángulo equilátero de lado a=210-15 m con un protón en ca da vértice. Asuma que los protones inicialmente se encuentran en el infinito. (k=9109 Nm2/ C2, e=+1,610-19 C, p=10-12) a) 0,146 pJ b) 0,246 pJ c) 0,346 pJ d) 0,446 pJ e) 0,546 pJ 04. I) ¿Qué trabajo se necesita hacer para acercar dos protones lentamente desde una distan cia de separación de D=210-10 m hasta d=310-15 m. (k=9109 Nm2/C2, f=10-15) a) 70,8 fJ b) 72,8 fJ c) 74,8 fJ d) 76,8 fJ e) 78,8 fJ II) Si los dos protones se liberan desde el reposo en la distancia más cercana dada en I), ¿Con qué rapidez (en 106 m/s) se moverán cuando alcancen su separación original? a) 1,59 b) 3,59 c) 5,59 d) 7,59 e) 9,59 05. Hallar la energía potencial eléctrica de interacción de una distribución de cuatro cargas puntuales idénticas q=+2 C  , situadas en los vértices y baricentro de un triángulo equilá tero de lados l=3 3 cm. (k = 9109 Nm2/C2) a) 5,60 J b) 5,62 J c) 5,64 J d) 5,66 J e) 5,68 J 06. Una esfera pequeña de carga Q2 =-7,8 C y masa m=1,5 g, estando a la distancia de d=0,8 m de una esfera fija de carga Q1 =-2,8 C, se acerca a ella con una rapidez de v=22 m/s. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) I) Hallar la rapidez de la esfera de carga 2 "Q ", cuando la distancia de separación entre e llas es de D=0,4 m. 311

Potencial eléctrico 536 a) 10,5 m/s b) 11,5 m/s c)
12,5 m/s d) 13,5 m/s e) 14,5 m/s II) Hallar la distancia de mínimo acercamiento entre las esferas. a) 0,323 m b) 0,343 m c) 0,363 m d) 0, 383 m e) 0,403 m 07. ¿Qué tan lejos de una carga puntual Q1 =-7,2 C debe situarse una carga puntual Q2 =+2,3 C para que la energía potencial eléctrica del par de cargas sea U=-0,4 J?. a) 31,26 cm b) 33,26 cm c) 35,26 cm d) 37,26 cm e) 39,26 cm 08. Una carga puntual Q=+4,6 C se mantiene fija en el origen de coordenadas. Una segunda carga q=+1,2 C de masa m=2,810-4 kg se ubica en el eje X, en x=0,25 m. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) I) Hallar la energía potencial eléctrica del par de cargas. a) 0,119 J b) 0,139 J c) 0,159 J d) 0,179 J e) 0,199 J II) Hallar la rapidez de la carga "q", luego de liberarse, cuando se encuentra a la distancia de 0,5 m del origen. a) 26,12 m/s b) 26,32 m/s c) 26,52 m/s d) 26,72 m/s e) 26,92 m/s 09. Se colocan tres cargas puntuales idénticas de Q=+1,2 C en los vértices de un triángulo e quilátero de lados a=0,5 m. Hallar la energía potencial eléctrica del sistema de cargas. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3, =10-6) a) 77,16 mJ b) 77,36 mJ c) 77,56 mJ d) 77,76 mJ e) 77,96 mJ 10. Una carga puntual Q1 =+4 nC esta situada en el origen 0, y una segunda carga Q2 =-3 nC esta en el eje X en x=+20 cm. Una tercera carga puntual Q3 =+2 nC se ubica en el eje X entre Q1 y Q2 . (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la energía potencial eléctrica del sistema, cuando la carga Q3 se ubica en x=10 cm. a) +360 nJ b) -360 nJ c) +120 nJ d) -120 nJ e) +480 nJ II) ¿A qué distancia del origen debe situarse Q3 , para que la energía potencial eléctrica del sis tema se a nula? a) 7,02 cm b) 7,22 cm c) 7,42 cm d) 7,62 cm e) 7,82 cm 11. Cuatro electrones "e" se ubican en los vértices de un cuadrado de lados a=10 nm, con una partícula alfa situado en el centro. Hallar el trabajo que se debe hacer para ubicar a la par tícula alfa en el punto medio de uno de los lados del cuadrado. (k=9109 Nm2/C2, e=- 1,610-19 C, 1 eV=1,610-19 J) a) +0,552 eV b) -0,552 eV c) +0,852 eV d) -0,852 eV e) +0,152 eV 12. Tres cargas puntuales que inicialmente están infinitamente alejadas entre si, se colocan en 312

Robotica y Cibernética 537 los vértices de un triángulo equilátero
de lados "d". Dos cargas puntuales son idénticas e iguales a "q". ¿Cual es la tercera carga, si la energía potencial eléctrica del sistema es nu lo? a) +q b) –q c) –q/2 d) +q/2 e) +3q/2 13. Dos protones son lanzados al encuentro con una rapidez de v=1000 km/s, medida con res pecto a Tierra. Hallar la fuerza eléctrica máxima que ejercerá cada protón sobre el otro. (k=9109 Nm2/C2, e=+1,610-19, m=1,6710-27 kg, m=10-3) a) 2,826 mN b) 3,026 mN c) 3,226 mN d) 3,426 mN e) 3,626 mN 14. Dos esferas huecas idénticas cargadas se atraen con una fuerza "F", cuando la distancia de separación de sus centros es "d". Las esferas se ponen en contacto y se separan, hasta una distancia entre sus centros igual a "d / 2". Hallar la menor razón entre las cargas ini ciales de las esferas. a) 0,41 b) 0,51 c) 0,61 d) 0,71 e) 0,81 15. Dos cargas puntuales Q1 =+2 C y Q2 =+5 C se ubican en el eje X, en x1 =0 cm y x2 =10 cm, respectivamente. Hallar la diferencia de potencial entre los puntos A y B situados en xA =5 cm y xB =20 cm. (k=9109 Nm2/C2, k=103) a) 700 kV b) 720 kV c) 740 kV d) 760 kV e) 780 kV 16. Hallar el número de electrones que debe perder una esfera conductora de radio R=20 cm para que su potencial eléctrico sea de V=36 voltios. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,610-19 C, G = 109) a) 1 G b) 2 G c) 3 G d) 4 G e) 5 G 17. Dos cargas eléctricas puntuales Q1 =+200 nC y Q2 =-130 nC están situados a 60 cm. ¿Qué trabajo realiza el campo eléctrico al trasladarse la carga 2 "Q ", hasta una distancia de 100 cm de 1 "Q "? (k=9109 Nm2/C2) a) +152 J b) -152 J c) +156 J d) -156 J e) +160 J 18. En dos vértices contiguos de un cuadrado de lados a=1 m, se ubican cargas eléctricas de Q=+0,6672 nC, y en los otros vértices cargas de q=1,668 nC. Hallar el potencial eléctrico en el centro del cuadrado. (k=9109 Nm2/C2) a) 51,4 V b) 53,4 V c) 55,4 V d) 57,4 V e) 59,4 V 19. Se tienen dos cargas puntuales Q1 =+40 nC y Q2 =-30 nC, separados por una distancia de a=10 cm. Se tiene un punto B situado a la distancia de 8 cm de 1 "Q " y 6 cm de 2 "Q ", y o tro punto situado en el punto medio del segmento que une 1 "Q " y 2 "Q ". Hallar la diferen cia de potencial entre los puntos A y B. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) +1200 V b) -1200 V c) +1800 V d) -1800 V e) +2400 V 313

Potencial eléctrico 538 20. Dos cargas puntuales Q1 =+1,3 nC
y Q2 =-2,0 nC, están separadas por una distancia de d=3 cm. Si se les separa hasta una distancia de D=8 cm. Hallar el cambio que experimenta la energía potencial eléctrica. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 0,418 J b) 0,438 J c) 0,458 J d) 0,478 J e) 0,498 J 21. Para trasladar una carga eléctrica puntual desde un punto que esta a 220 V y la tierra se e fectúo un trabajo de 11 millones de joules. Hallar el valor de la carga que se traslado. a) 10 kC b) 20 kC c) 30 kC d) 40 kC e) 50 kC 22. Hallar la aceleración (en Tm/s2) que adquiere un electrón de carga e=-1,610-19 C y masa m=9,110-31 kg que se desplaza entre dos placas de un condensador, separadas por una dis tancia de d=1 cm, y ubicada en el vació. La diferencia de potencial entre las placas es de V=1 voltio. (T=1012) a) 17,6 b) 27,6 c) 37,6 d) 47,6 e) 57,6 23. ¿Qué potencial puede adquirir una esfera metálica aislada de radio R=1 m situado en el aire, donde la intensidad de campo eléctrico es de Eo =30 kV/cm. (M=106) a) 1 MV b) 2 MV c) 3 MV d) 4 MV e) 5 MV 24. Dos cargas puntuales Q1 = +2,5 C y Q2 =+1,5 C se encuentran en el punto A(4; 3) cm y el origen de coordenadas, respectivamente. Hallar el trabajo que se debe hacer para trasla dar a la carga 2 "Q " desde el origen hasta el punto B(1; 3) cm, pasando por el punto C(6; 5) cm. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,15 J b) 0,20 J c) 0,30 J d) 0,35 J e) 0,45 J 25. Se tienen dos cargas puntuales 1 "Q " y 2 "Q " (Q1 =10Q2 ), separados por una distancia de d=90 cm. ¿A qué distancia de la carga 1 "Q " , en un punto situado en el segmento que une 1 "Q " y 2 "Q ", el potencial de ambas cargas es la misma? a) 80,8 cm b) 81,8 cm c) 82,8 cm d) 83,8 cm e) 84,8 cm 26. La esferita de un péndulo de longitud l=103 cm, tiene una masa de m=1,5 g y carga q= 24,4 nC. El periodo de oscilación del péndulo, en un campo eléctrico vertical hacia arriba es T1 =1,8 s, y de un campo vertical hacia abajo T2 =2,3 s. Hallar la magnitud del campo eléctrico. (g=10 m/s2, k=103) a) 110 kV b) 120 kV c) 130 kV d) 140 kV e) 150 kV 27. Se colocan cargas puntuales idénticas q=+5 C en los vértices opuestos de un cuadrado de lados a=0,2 m. Una carga puntual qo =-2 C se sitúa en uno de los vértices vacíos. Ha llar el trabajo que hace la fuerza eléctrica cuando la carga o "q " se traslada al otro vértice vació. a) 0 J b) 1 J c) 2 J d) 3 J e) 4 J 314

Robotica y Cibernética 539 28. Una partícula de carga q=-5
C y masa m=210-4 kg se desplaza desde el punto A, de po tencial VA =+200 V, al punto B de potencial VB =+800 V. La fuerza eléctrica es la única que actúa sobre la partícula, cuya rapidez en A es vA =5 m/s. Hallar la rapidez de la partícu la en el punto B. a) 7,02 m/s b) 7,22 m/s c) 7,42 m/s d) 7,62 m/s e) 7,82 m/s 29. Una partícula de carga q=+4,2 nC que se libera desde el reposo en presencia de un campo eléctrico uniforme ˆ E E i   , se mueve hacia la izquierda. Después que se ha desplazado una distancia de d= 6 cm, su energía cinética es T=+1,5 J. I) ¿Qué trabajo realizo la fuerza eléctrica del campo? a) +1,0 J b) +1,5 J c) +2,0 J d) -1,0 J e) -1,5 J II) ¿Cuál es el potencial eléctrico del punto de inicio del movimiento, con respecto al punto final? a) +351 V b) -351 V c) +357 d) -357 V e) 364 V III) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico E ? a) 5,1 kV/m b) 5,3 kV/m c) 5,5 kV/m d) 5,7 kV/m e) 5,9 kV/m 30. Una carga de q=28 nC se ubica en un campo eléctrico uniforme qué está dirigido vertical mente hacia arriba y de magnitud E=40 kV/m. I) ¿Qué trabajo hace la fuerza eléctrica cuando la carga "q" se mueve una distancia de d=0,45 m hacia la derecha? a) 0 J b) 1 J c) 2 J d) 3 J e) 4 J II) ¿Qué trabajo hace la fuerza eléctrica cuando la carga "q" se mueve una distancia de d=0,67 m hacia arriba? a) 710 J b) 720 J c) 730 J d) 740 J e) 750 J 31. Dos cargas puntuales fijas Q1 =+3 nC, Q2 =+2 nC están separadas por una distancia de d= 50 cm. Se libera un electrón de carga e=-1,610-19, masa m=9,110-31 kg, en el punto me dio entre 1 "Q " y 2 "Q ", moviéndose a lo largo de la línea que los une. ¿Cuál es la rapidez (en 106 m/s) del electrón cuando está a 10 cm de la carga Q1 ? a) 6,09 b) 6,29 c) 6,49 d) 6,69 e) 6,89 32. se tiene una carga puntual q=+25 pC. ¿A qué distancia de la carga puntual el potencial eléctrico es de V=90 voltios. Asumir que el potencial en el infinito es nulo. (k=9109 Nm2/C2) a) 10 cm b) 15 cm c) 20 cm d) 25 cm e) 30 cm 33. A cierta distancia de una carga puntual, el potencial y la magnitud del campo eléctrico, creado por esta carga son V=4,98 voltios y E=12 V/m, respectivamente. Considerar el po 315

Potencial eléctrico 540 tencial cero en el infinito. (k=9109 Nm2/C2,
n=10-9) I) Hallar la distancia del punto a la carga puntual. a) 2,0 m b) 2,2 m c) 2,4 m d) 2,6 m e) 2,8 m II) Hallar el valor de la carga puntual. a) 1,13 nC b) 1,33 nC c) 1,53 nC d) 1,73 nC e) 1,93 nC 34. Un campo eléctrico uniforme tiene una magnitud "E" y esta dirigido en la dirección del e je X negativo. La diferencia de potencial entre el punto B en x=0,9 m y el punto A en x=0,6 m es de V=+240 voltios. I) ¿Qué punto esta a mayor potencial el A o el B? II) Hallar la magnitud del campo eléctrico uniforme. a) 600 V/m b) 650 V/m c) 700 V/m d) 750 V/m e) 800 V/m III) Una carga puntual q=-2 nC se desplaza de B hacia A, hallar el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga puntual. a) -2,4 J b) +2,4 J c) -4,8 J d) +4,8 J e) -6,4 J 35. I) Un electrón de carga e=-1,610-19 C y masa m=9,110-31 kg se acelera de vo =3106 m/s a v=8106 m/s. ¿A través de qué diferencia de potencial debe pasar el electrón para que esto suceda? a) +150,4 V b) -150,4 V c) +156,4 V d) -156,4 V e) +162,4 V II) ¿A través de qué diferencia de potencial debe pasar el electrón si ha de disminuir su velo cidad desde vo =8106 m/s hasta v=0 m/s. a) -182 V b) +182 V c) -186 V d) +186 e) -190 V 36. Una carga eléctrica total de Q=3,5 nC está distribuida uniformemente sobre la superficie de una esfera de metal de radio R=24 cm. Si el potencial es cero en el infinito. I) Hallar el potencial a la distancia d=48 cm del centro de la esfera. a) 61,625 V b) 63,625 V c) 65,625 V d) 67,625 V e) 69,625 V II) Hallar el potencial a la distancia d=24 cm del centro de la esfera. a) 131,25 V b) 132,25 V c) 133,25 V d) 134,25 V e) 135,25 V III) Hallar el potencial a la distancia d= 12 cm del centro de la esfera. a) 131,25 V b) 132,25 V c) 133,25 V d) 134,25 V e) 135,25 V 37. Un protón de carga e=1,610-19 C, masa m=9,110-31 kg se localiza a la distancia de d=18 cm de un filamento rectilíneo muy largo de densidad de carga lineal uniforme =+5 pC/m y se mueve directamente hacia el filamento con una rapidez de v=1,5 km/s. (k=9109 Nm2/C2) 316

Robotica y Cibernética 541 I) Hallar la energía cinética inicial
(en 10-21 J) del protón. a) 1,08 b) 1,28 c) 1,48 d) 1,68 e) 1,88 II) ¿A qué distancia del filamento cargado llega el protón? a) 13,8 cm b) 14,8 cm c) 15,8 cm d) 16,8 cm e) 17,8 cm 38. ¿Qué trabajo debe realizar una fuente de energía para mover un número de Avogadro de e lectrones desde una posición inicial de potencial eléctrico Vo =9 voltios hasta una posición final de potencial eléctrico V=-5 voltios. (M=106) a) 1,15 MJ b) 1,25 MJ c) 1,35 MJ d) 1,45 MJ e) 1,55 MJ 39. Un ión acelerado mediante una diferencia de potencial eléctrica de V=115 voltios, expe rimenta un aumento de su energía cinética de EC =7,3710-17 J. Hallar la carga eléctrica del ión. (a=10-18) a) 0,44 aC b) 0,54 aC c) 0,64 aC d) 0,74 aC e) 0,84 aC 40. Hallar la razón de las rapideces ve /vp =? de un electrón (ve ) y protón (vp ), cuando son ace lerados desde el reposo a través de una diferencia de potencial de V=120 voltios. (e= 1,60210-19 C, me =9,1110-31 kg, mp =1,67210-27 kg) a) 40,7 b) 42,7 c) 44,7 d) 46,7 e) 48,7 41. ¿A través de qué diferencia de potencial se necesitará acelerar un electrón desde el reposo para que alcance una rapidez de v=4,2105 m/s? (me =9,1110-31 kg, e=-1,610-19 C) a) -0,302 V b) +0,302 V c) -0,502 V d) +0,502 V e) –0,702 V 42. ¿A través de qué diferencia de potencial se necesitará acelerar un electrón desde el reposo para que alcance el 40 % de la rapidez de la luz c=3108 m/s? (me =9,1110-31 kg, e=- 1,610-19 C, k=103) a) -42,7 kV b) +42,7 kV c) -44,7 kV d) +44,7 kV e) +46,7 kV 43. Un campo eléctrico uniforme de magnitud E=250 V/m está dirigido en la dirección del e je-x+. Una carga de q=+12 C se desplaza desde el origen hacia el punto (x; y)= (20; 50 ) cm. (e=-1,610-19 C, me =9,1110-31 kg, =10-6, =10-6) I) Hallar el cambio de la energía potencial que experimenta la carga. a) +500 J b) -500 J c) +600 J d) -600 J e) +700 J II) Hallar la diferencia de potencial a la que estuvo sometido la carga. a) -40 V b) +40 V c) -50 V d) +50 V e) -60 V 44. La diferencia de potencial entre las placas aceleradoras de una TV es de V=25 kV. La distancia de separación entre las placas es de d=1,5 cm. Hallar la magnitud del campo e léctrico uniforme en esta región. (k=103, M=106) 317

Potencial eléctrico 542 a) 1,47 MN/C b) 1,57 MN/C c)
1,67 MN/C d) 1,77 MN/C e) 1,87 MN/C 45. Suponga que un electrón es liberado desde el reposo en un campo eléctrico uniforme de magnitud E=5,9 kV/m. (e = 1,610-19 C, me =9,1110-31 kg) I) ¿A través de qué diferencia de potencial habrá pasado después de recorrer 1 cm? a) 55 V b) 56 V c) 57 V d) 58 V e) 59 V II) ¿Qué tan rápido estará moviéndose el electrón después de haber recorrido 1 cm? a) 4,15106 m s b) 4,35106 m s c) 4,55106 m s d) 4,75106 m s e) 4,95106 m s 46. Un electrón de carga e=-1,610-19 C, masa me =9,1110-31 kg que inicia su movimiento en el origen 0 con una rapidez de vo =3,7106 m/s, se reduce su rapidez a v=1,4105 m/s en el punto P situado en x=2 cm. Hallar la diferencia de potencial entre el origen 0 y el punto P. ¿Qué punto está a mayor potencial? a) -34,9 V b) +34,9 V c) -36,9 V d) +36,9 V e) -38,9 V 47. En la Fig01, el campo eléctrico uniforme de magnitud E=325 V/m está dirigido en la di rección del eje-y negativo. Hallar la diferencia de potencial VC -VA entre los puntos C(0,4; 0,5) m y A(-0,2;-0,3) m. I) Utilizando las trayectorias rectilíneas ABC. a) +240 V b) -240 V c) +260 V d) -260 V e) +280 V II) Utilizando la trayectoria rectilínea AC. a) +240 V b) -240 V c) +260 V d) -260 V e) +280 V Fig01 Fig02 48. En la Fig02, el bloque de masa m=4 kg y carga Q=50 C conectado al resorte de constan te elástica k=100 N/m, está sobre el piso sin fricción en presencia de un campo eléctrico u niforme de magnitud E=500 kV/m. El bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte está sin estirar en x=0. (=10-6) y A B C E x m,Q k x 0 E 318

Robotica y Cibernética 543 I) Hallar la longitud de deformación
máxima que experimenta el resorte. a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm II) Hallar la posición correspondiente al equilibrio del bloque. a) 10 cm b) 15 cm c) 20 cm d) 25 cm e) 30 cm III) Demostrar que el movimiento del bloque es armónico simple y hallar su periodo. a) 1,16 s b) 1,26 s c) 1,36 s d) 1,46 s e) 1,56 s IV) Hallar la longitud de deformación máxima que experimenta el resorte, si el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el piso es =0,2. a) 30,3 cm b) 31,3 cm c) 32,3 cm d) 33,3 cm e) 34,3 cm 49. La aceleración debido a la gravedad del planeta Tehar es igual que la de la Tierra, pero en Tehar existe un campo eléctrico intenso uniforme dirigido verticalmente hacia su superfi cie. Una bola de masa m=2 kg y carga q=5 C se lanza hacia arriba a una rapidez de vo = 20,1 m/s golpeando el suelo después de transcurrido un tiempo de t=4,1 s. Hallar la dife rencia de potencial entre el punto más alto de la trayectoria y el punto de lanzamiento. (g=9,8 m/s2, =10-6, k=103) a) 40,2 kV b) 41,2 kV c) 42,2 kV d) 43,2 kV e) 44,2 kV 50. En la Fig03, la barra aislante de densidad de carga lineal uniforme =40 C/m y densi dad de masa lineal =0,1 kg/m se suelta desde el reposo en un campo eléctrico uniforme de magnitud E=100 V/m, dirigida perpendicularmente a la barra. I) Hallar la rapidez de la barra después de haber recorrido la distancia d=2 m. a) 0,1 m/s b) 0,2 m/s c) 0,3 m/s d) 0,4 m/s e) 0,5 m/s II) ¿Cómo cambia la rapidez de la barra en el inciso I), si el campo forma 30º con el campo? a) 0,1 m/s b) 0,2 m/s c) 0,3 m/s d) 0,4 m/s e) 0,5 m/s Fig03 Fig04 51. En la Fig04, la partícula de carga q=+2 C y masa m=0,01 kg está conectada a una cuer da de longitud l=1,5 m, la cual está amarrada al punto pivote P. La partícula, la cuerda y el ,  E l E B P q m 319

Potencial eléctrico 544 punto de pivote se encuentran sobre una
mesa horizontal. La partícula se suelta desde el reposo cuando la cuerda forma un ángulo =60º con el campo eléctrico uniforme de mag nitud E=300 V/m. Hallar la rapidez de la partícula cuando la cuerda es paralela al campo eléctrico. a) 0,1 m/s b) 0,2 m/s c) 0,3 m/s d) 0,4 m/s e) 0,5 m/s 52. I) Hallar el potencial eléctrico a una distancia de r=1 cm de un protón de carga eléctrica q=+1,60210-19 C. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 140 nV b) 142 nV c) 144 nV d) 146 nV e) 148 nV II) Hallar la diferencia de potencial entre dos puntos que están a las distancias r1 =1 cm y r2 =2 cm de un protón. a) 71,1 nV b) 71,3 nV c) 71,5 nV d) 71,7 nV e) 71,9 nV 53. En las Fig.05, las cargas Q1 =Q2 =2 C, Q3 =1,2810-18 C se encuentran sobre ele eje-x, en las posiciones x1 =-0,8 m, x2 =+0,8 m, x3 =0. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud de la fuerza neta que ejercen las cargas Q1 , Q2 sobre la carga Q3 . a) 0 N b) 1 N c) 2 N d) 3 N e) 4 N II) Hallar el campo eléctrico resultante E en el origen debidas a ls cargas Q1 , Q2 . a) 0 N/C b) 1 N/C c) 2 N/C d) 3 N/C e) 4 N/C III) Hallar el potencial eléctrico resultante en el origen, debidas a las cargas Q1 , Q2 . a) 41 kV b) 43 kV c) 45 kV d) 47 kV e) 49 kV 54. El modelo del átomo de hidrógeno establece que el electrón puede existir sólo en ciertas órbitas permitidas alrededor del protón. El radio de cada órbita de Bhor es r=0,0529n2 (nm) donde n=1,2,3,…Hallar la energía potencial eléctrica de un átomo de hidrógeno cuando: (1 eV=1,60210-19 J, e=-1,60210-19 C, me =9,1110-31 kg) I) El electrón está en la primera órbita permitida, n=1. a) -26,9 eV b) +26,9 eV c) -27,2 eV d) +27,2 eV e) -27,5 eV II) El electrón está en la segunda órbita permitida, n=2. a) -6,5 eV b) +6,5 eV c) -6,8 eV d) +6,8 eV e) -7,1 eV III) El electrón ha escapado del átomo (r). a) 0 eV b) 1 eV c) 2 eV d) 3 eV e) 4 eV 55. En la Fig.06, las cargas puntuales " q"  , " 2q"  se encuentran sobre el eje-x, en las posi ciones x1 =0, x2 =2 m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la posición del punto, en la que el campo eléctrico se anula. 320

Robotica y Cibernética 545 a) -4,43 m b) -4,53 m
c) -4,63 m d) -4,73 m e) -4,83 m II) Hallar la posición del punto situado entre las cargas, en la que el potencial eléctrico se anu la. a) 66,1 cm b) 66,3 cm c) 66,5 cm d) 66,7 cm e) 66,9 cm Fig05 Fig06 56. Dos cargas puntuales, Q1 =+5 nC y Q2 =-3 nC, están separadas por una distancia de d=35 cm. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la energía potencial eléctrica del par. a) +386 nJ b) -386 nJ c) +356 nJ d) -356 nJ e) -326 nJ II) ¿Cuál es la importancia del signo algebraico de su respuesta? III) Hallar el potencial eléctrico en el punto medio del segmento que une las cargas. a) 101 V b) 103 V c) 105 V d) 107 V e) 109 V 57. En la Fig07, las tres cargas puntuales idénticas q=+7 C, están en los vértices del triángu lo isósceles. Hallar el potencial eléctrico en el punto medio de la base del triángulo. (k= 9109 Nm2/C2, =10-6, M=106) a) 11 MV b) -11 MV c) 13 MV d) -13 MV e) 15 MV Fig07 Fig08 58. En la Fig08, las cargas eléctricas puntuales q, -2q, 3q y 2q se encuentran sobre los vérti ces del rectángulo de lados a=20 cm, b=40 cm. Hallar la energía que se ha utilizado para ubicar estas cargas en los vértices. (k=9109 Nm2/C2, q=6 C) Q1 Q2 Q3 0 y x +q -2q 0 y x a b +q +2q +3q -2q 2cm q -q -q P  4cm 321

Potencial eléctrico 546 a) -3,56 J b) -3,66 J c)
-3,76 J d) -3,86 J e) -3,96 J 59. Demostrar que la cantidad de trabajo necesario para agrupar cuatro cargas puntuales idénticas de magnitud "Q" en los vértices de un cuadrado de lados "a" es W=5,41kQ2/a. 60. Dos cargas puntuales cada una de magnitud Q=2 C, están ubicadas en el eje-x. Una está en x=1 m, y la otra está en x=-1 m. (k=103, m=10-3, =10-6) I) Hallar el potencial eléctrico sobre el eje en el punto y=0,5 m. a) 32,0 kV b) 32,2 kV c) 32,4 kV d) 32,6 kV e) 32,8 kV II) Hallar la energía potencial eléctrica de una tercera carga q=-3 C situada sobre el eje-y en y=0,5 m. a) -96,1 mJ b) -96,3 mJ c) -96,5 mJ d) -96,7 mJ e) -96,9 mJ 61. Cinco cargas puntuales negativas iguales a q=-8 nC, están colocadas simétricamente alre dedor de un círculo de radio R=10 cm. Hallar el potencial eléctrico en el centro del circu lo. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, k=103) a) +3,0 kV b) -3,0 kV c) +3,6 kV d) -3,6 kV e) +4,0 kV 62. Dos esferas aislantes de radios R1 =0,3 cm y R2 =0,5 cm, masas m1 =0,1 kg, m2 =0,7 kg y cargas eléctricas q1 =-2 C y q2 =3 C se liberan del reposo, cuando la distancia entre sus centros es de d=1 m. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) I) Hallar la razón de las rapideces (v1 /v2 =?) con la que impactan las esferas. a) 6,17 b) 6,37 c) 6,57 d) 6,77 e) 6,97 II) Si las esferas fuesen conductoras, ¿la rapidez de las esferas antes del impacto sería mayor o menor que la calculada en el inciso I). 63. Un pequeño objeto esférico tiene una carga de Q=8 nC. ¿A qué distancia desde el centro del objeto el potencial es de 100 V, 50 V, 25 V?¿El espaciamiento de las equipotenciales es proporcional al cambio en el potencial? (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) 64. En el experimento de Rutherford, las partículas alfa (carga +2e, masa=6,6410-27 kg) muy alejadas del núcleo de oro (carga +79e), se dispara con una rapidez de vo =2107 m/s, dirigi das hacia el centro del núcleo. Hallar la distancia de máximo acercamiento de las partícu las alfa al núcleo de oro, antes de regresar. Asumir que el núcleo de oro permaneces esta cionario. (k=9109 Nm2/C2, e=1,60210-19 C, f=10-15) a) 21,4 fm b) 23,4 fm c) 25,4 fm d) 27,4 fm e) 29,4 fm 65. Un electrón de carga e=-1,610-19 C, masa m=9,1110-31 kg parte desde el reposo a la dis tancia d=3 cm del centro de una esfera aislante cargada de manera uniforme de radio R=2 cm y carga eléctrica Q=1 nC distribuida uniformemente. ¿Con qué rapidez (en m/s) llega el electrón a la superficie de la esfera? (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) 322

Robotica y Cibernética 547 a) 3,26106 b) 4,26106 c) 5,26106
d) 6,26106 e) 7,26106 66. Cuatro partículas idénticas de cargas q=4 nC y masa m=2 g cada una, se liberan desde el reposo en los vértices de un cuadrado de lados l=20 cm. Hallar la rapidez con la que se mueven cada una de las cargas, cuando su distancia desde el centro del cuadrado se dupli ca. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, =10-6) a) 20 m/s b) 22 m/s c) 24 m/s d) 26 m/s e) 28 m/s 67. ¿Qué trabajo se debe hacer para colocar ocho cargas puntuales idénticas de q=5 nC en los vértices de un cubo de lados a=20 cm? (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, =10-6) a) 25,05 J b) 25,25 J c) 25,45 J d) 25,65 J e) 25,85 J 68.El potencial eléctrico en una región entre x=0 y x=6 m viene dado por; V(x)=a+bx, donde a=10 V, y b=-7 V/m, son constantes. I) Hallar el potencial eléctrico en x=0,3 m y x=6 m. II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en x=0,3 y x=6 m. 69. Sobre cierta región R del espacio, el potencial eléctrico, viene dado por: V=5x-3x2y+ 2yz2. I) Hallar las expresiones de las componentes del campo eléctrico en las direcciones de los e jes x, y, z II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P(1; 0;-2). 70. El potencial eléctrico al interior de un conductor esférico de radio "R" está dado por: V=kQ/R y en el exterior el potencial está dado por: V=kQ/r. Utilizando el concepto de gra diente de potencial, obtenga el campo eléctrico en el interior y exterior de la esfera. 71. En la Fig09, la barra situada sobre el eje-x, tiene una longitud l=20 cm, y una carga Q=4 pC distribuida uniformemente en su longitud, y está situada sobre el eje-x. El punto P se encuentra a la distancia y=10 cm del origen. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto P. a) 251 mV b) 253 mV c) 255 mV d) 257 mV e) 259 mV II) Hallar en el punto P, la componente del campo eléctrico en la dirección del eje-y. a) 1,31 N/C b) 1,41 N/C c) 1,51 N/C d) 1,61 N/C e) 1,71 N/C 72. En la Fig10,el anillo de radio R=20 cm tiene una carga Q=8 nC, distribuida uniformemen te sobre su longitud. Hallar la diferencia de potencial eléctrico entre el centro 0 del anillo y el punto P situado a la distancia d=40 cm del centro. (k=9109 Nm2/C2) a) 191 V b) 193 V c) 195 V d) 197 V e) 199 V 73. Cuando una esfera conductora descargada de radio "a" se coloca en el origen de un siste ma de coordenadas xyz que está en un campo eléctrico inicialmente uniforme o E E k  , el 323

Potencial eléctrico 548 potencial eléctrico resultante es: V(x; y; z)=Vo
-Eo z+Eo a3z/(x2+y2+z2)3/2, para los puntos ex ternos a la esfera, siendo o "V " el potencial eléctrico (constante) en el conductor. I) Hallar las componentes Ex , Ey , Ez , de E en las direcciones de los ejes x, y y z. II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P(12; 12; 14) cm. a) 48,0 N/C b) 48,4 N/C c) 48,8 N/C d) 49,2 N/C e) 49,6 N/C Fig09 Fig10 74. En la Fig11, la barra de longitud l=20 cm, que se encuentra a lo largo del eje-x con su ex tremo izquierdo en el origen, tiene una densidad de carga lineal =x, siendo =5 nC/m. Hallar el potencial eléctrico en el punto A, situado a la distancia d=10 cm del origen 0. (k =9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 7,0 V b) 7,2 V c) 7,4 V d) 7,6 V e) 7,8 V 75. En la Fig12, el cuerpo hueco cerrado en forma de octante de esfera de radio R=20 cm, tie ne una densidad de carga superficial uniforme de =8 nC/m2. Hallar el potencial eléctrico en el origen 0. (Usar: ln(x), k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 56,15 V b) 56,35 V c) 56,55 V d) 56,75 V e) 56,95 V Fig11 Fig12 76. En la Fig11, la barra de longitud l=20 cm, que se encuentra a lo largo del eje-x con su ex tremo izquierdo en el origen, tiene una densidad de carga lineal =x, siendo =5 nC/m. Hallar el potencial eléctrico en el punto A, situado a la distancia d=10 cm del origen 0. (Usar: ln(x), k =9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 7,13 V b) 7,33 V c) 7,53 V d) 7,73 V e) 7,93 V y x l P  y 0 Q P d 0 R Q x l A  y 0 a  B b x z y  R R R 0 324

Robotica y Cibernética 549 77. En la Fig13, el anillo
muy delgado de radios interno a=10 cm, externo b=20 cm, tiene u na densidad de carga superficial =5 nC/m2. Hallar el potencial eléctrico en el punto P, si tuado sobre el eje del anillo a la distancia d=5 cm. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 26,08 V b) 26,28 V c) 26,48 V d) 26,68 V e) 26,88 V 78. En la Fig14, el alambre de longitud finita, que tiene una densidad de carga lineal unifor me =50 pC/m, se dobla en la forma indicada. Hallar el potencial eléctrico en el punto 0. (k=9109 Nm2/C2) a) 2,0 V b) 2,2 V c) 2,4 V d) 2,6 V e) 2,8 V Fig.13 Fig.14 79. Se tiene un generador de Van de Graaff con un domo de diámetro D=30 cm que opera en aire seco. (k=9109 Nm2/C2, k=103, =10-6) I) Hallar el potencial máximo del domo. a) 410 kV b) 420 kV c) 430 kV d) 440 kV e) 450 kV II) Hallar la carga máxima del domo. a) 7,1 C b) 7,3 C c) 7,5 C d) 7,7 C e) 7,9 C 80. El domo esférico de un generador Van de Graaff puede elevarse a un potencial máximo de Vmax =600 kV; entonces carga adicional se fuga en forma de chispas, al presentarse fa llas del aire seco circundante. (k=9109 Nm2/C2, k=103, =10-6) I) Hallar el radio del domo. a) 10 cm b) 15 cm c) 20 cm d) 25 cm e) 30 cm II) Hallar la carga eléctrica sobre el domo. a) 13,1 C b) 13,3 C c) 13,5 C d) 13,7 C e) 13,9 C 81. En un día seco de invierno Ud., arrastra sus zapatos con suelo de cuero sobre una alfom bra y recibe una descarga cuando extiende la punta de su dedo hacia una manija metálica. En un cuarto oscuro Ud., ve una chispa quizá de 5 mm de largo. (k=9109 Nm2/C2) d b a P 0   2R 2R R 0 325

Potencial eléctrico 550 I) Estimar la magnitud de su potencial
eléctrico. a) 15 kV b) 35 kV c) 55 kV d) 75 kV e) 95 kV II) Estimar la carga eléctrica sobre su cuerpo antes de que Ud., toque la manija. a) 10-3 C b) 10-4 C c) 10-5 C d) 10-6 e) 10-7 C 82. Dos conductores esféricos cargados de radios R1 =4 cm, y R2 =6 cm, se conectan mediante un alambre conductor largo, y una carga de Q=20 C se pone en la combinación. (k= 9109 Nm2/C2, M=106) I) Hallar la mayor magnitud del campo eléctrico cerca de la superficie de una de las esferas. a) 30 MV/m b) 35 MV/m c) 40 MV/m d) 45 MV/m e) 50 MV/m II) Hallar el potencial eléctrico de la esfera de radio R2 =6 cm. a) 1,0 MV b) 1,2 MV c) 1,4 MV d) 1,6 MV e) 1,8 MV 83. En la Fig15, los cascarones esféricos concéntricos de radio a=40 cm, b=50 cm están co nectados mediante un alambre delgado. Si una carga eléctrica total Q=10 C se pone en el sistema. Hallar la carga que queda en las esferas interna y externa. (k=9109 Nm2/C2) a) 10 C; 0 C b) 0 C; 10 C c) 5 C; 5 C d) 4 C; 6 C e) 6 C; 4 C 84.En la Fig16, el cascaron cilíndrico de radio R=10 cm, longitud l=20 cm, tiene una carga Q=80 pC distribuida uniformemente sobre su superficie. Hallar el potencial eléctrico en el punto P, situado a la distancia d=2 cm, de su base derecha. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 4,19 V b) 4,39 V c) 4,59 V d) 4,79 V e) 4,99 V Fig15 Fig16 85. En un calentador de haz de electrones, los electrones en reposo cerca de un filamento de tungsteno se aceleran hacia un blanco metálico, mediante un gran potencial electrostática. Si los electrones chocan con el blanco que van a calentar a una rapidez de 1,8107 m/s. Ha llar la diferencia de potencial entre el blanco y el filamento. (e=-1,610-19 C, m=9,110-31 kg) a) 900 V b) 910 V c) 920 V d) 930 V e) 940 V l d P  R Q1 Q2 R2 R1 alambre 326

Robotica y Cibernética 551 86. Un electrón en una región
de campo eléctrico Eo =600 V/m tiene una velocidad inicial de magnitud vo =410 km/s, en la dirección del campo eléctrico o E .¿A que distancia llega el e lectrón? (k=9109 Nm2/C2, e=-1,610-19 C, m=9,110-31 kg) a) 0,46 mm b) 0,56 mm c) 0,66 mm d) 0,76 mm e) 0,86 mm 87. Demostrar que el potencial eléctrico creado por un filamento rectilíneo muy largo con den sidad de carga lineal uniforme de " "  , a una distancia "d" de el, es: V=2k ln(C/d), sien do "C" la distancia, en la cual, el potencial se define nulo, y "k" la constante de propor cionalidad eléctrica. 88. Demostrar que el potencial eléctrico creado por un filamento rectilíneo de longitud " " densidad de carga lineal uniforme de " "  , a una distancia "d" sobre el punto medio del fi lamento es: V=2k ln[ 2 2 d ( / 2) / d ( / 2d)   ], siendo "k" la constante de proporcio nalidad eléctrica. 89. Demostrar que el potencial eléctrico creado por un anillo muy delgado de radio "R", den sidad de carga lineal uniforme " "  , en un punto situado sobre su eje de simetría perpendi cular al plano del anillo, a una distancia "d" de su centro es: V=2kR/ 2 2 d R  , siendo "k" la constante de proporcionalidad eléctrica. 90. Demostrar que el potencial eléctrico de un disco muy delgado de radio "R", densidad de carga superficial uniforme " "  , en un punto situado sobre su eje de simetría perpendicu lar al plano del disco, a una distancia "d" de su centro es: V=2k[ 2 2 d R  -d], siendo "k" la constante de proporcionalidad eléctrica. 91. Demostrar que el potencial eléctrico de un plano infinito delgado con densidad de carga superficial uniforme " "  a una distancia "d" es: V=-2kd, siendo "k" la constante de proporcionalidad eléctrica. 92. Demostrar que el potencial eléctrico creado por un cilindro hueco de paredes muy delga das de radio "R", y densidad de carga lineal uniforme " "  es: V=2k ln(c/d), para dR, y V=2k ln(c/R), para d<R, siendo "c" una constante donde el potencial es nulo. 93. Demostrar que el potencial eléctrico, creado por una esfera hueca de paredes delgadas de radio "R", y densidad de carga superficial uniforme " "  es: V=4kR, para rR, y V= 4kR2/r, para rR, siendo "k" la constante de proporcionalidad eléctrica. 94. Demostrar que el potencial eléctrico, creado por una esfera compacta de radio "R", y den sidad de carga volumétrica uniforme " "  está dado por: V=2k(3R2-r2)/3, para rR, y V= 4kR3/3r, para rR, siendo "k" la constante de proporcionalidad eléctrica. 95. Un alambre muy largo tiene una densidad lineal de carga uniforme " "  . Se utiliza un vol tímetro para medir la diferencia de potencial y se encuentra que cuando un sensor del ins trumento se coloca a 2,0 cm del alambre, y el otro sensor se sitúa a 1 cm más lejos del a lambre, el aparato lee 575 V. (n=10-9) 327

Potencial eléctrico 552 I) Hallar el valor de la densidad
de carga lineal " "  . a) 90,9 nC/m b) 92,9 nC/m c) 94,9 nC/m d) 96,9 nC/m e) 98,9 nC/m II) Hallar la diferencia de potencial, cuando se coloca un sensor a 3,5 cm del alambre y el o tro a 1,0 cm más lejos. a) 421,3 V b) 423,3 V c) 425,3 V d) 427,3 V e) 429,3 V 96. Un cilindro aislante muy largo de radio R=2,5 cm tiene una densidad de carga lineal uni forme de =15 nC/m. Si se coloca un sensor del voltímetro en la superficie, ¿A qué distan cia de la superficie debe situarse el otro sensor para que la lectura sea de 175 V? a) 4,18 cm b) 4,38 cm c) 4,58 cm d) 4,78 cm e) 4,98 cm 97. Una coraza cilíndrica aislante muy larga de radio R=6 cm tiene una densidad de carga li neal uniforme de =8,5 nC/m distribuida de manera uniforme en su superficie exterior. I) ¿Cuál sería la lectura del voltímetro si se conectara entre la superficie del cilindro y un punto a 4 cm por arriba de la superficie? (k=103) a) 70,2 kV b) 72,2 kV c) 74,2 kV d) 76,2 kV e) 78,2 kV II) ¿Cuál sería la lectura del voltímetro si se conectara entre la superficie del cilindro y un punto a 1 cm del eje del cilindro? 98. Un anillo fijo de diámetro D=8 cm tiene una carga total Q=+5 C distribuida uniforme mente sobre el. I) ¿Qué trabajo se requiere para ubicar una esfera muy pequeña de carga q=+3 C y masa m=1,5 g en el centro del anillo, trayéndola desde muy lejos? a) 3,175 J b) 3,375 J c) 3,575 J d) 3,775 J e) 3,975 J II) ¿Es necesario seguir una trayectoria definida a lo largo del eje del anillo?¿Por qué? III)Si la esferita se desplaza ligeramente del centro del anillo, ¿Cuál, sería la velocidad máxi ma que alcanzaría? a) 61 m/s b) 63 m/s c) 65 m/s d) 67 m/s e) 69 m/s 99. Dos paredes conductoras paralelas y grandes, de cargas opuestas de igual magnitud, están separadas por una distancia de d=2,2 cm, y tienen una densidad de carga superficial uni forme de =47 nC/m2. (k=9109 Nm2/C2, k=103) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico E en la región entre las paredes. a) 5,1 kN/C b) 5,3 kN/C c) 5,5 kN/C d) 5,7 kN/C e) 5,9 kN/C II) Hallar la diferencia de potencial entre las paredes a) 113,6 V b) 114,6 V c) 115,6 V d) 116,6 V e) 117,6 V 100.Una esfera pequeña de masa m=1,5 g y carga q=8,9 C está suspendida de una cuerda en 328

Robotica y Cibernética 553 tre dos placas verticales paralelas separadas
por una distancia de d=5 cm. Las placas son aislantes y tienen densidades de carga superficiales uniformes de " "   . Hallar la diferen cia de potencial entre las placas, si la cuerda forma un ángulo de =30º, respecto de la ver tical. (g=10 m/s2, =10-6) a) 48,05 V b) 48,25 V c) 48,45 V d) 48,65 V e) 48,85 V 101.En los vértices de un tetraedro regular de lados a=20 cm, se ubican cuatro cargas puntua les idénticas q=+80 pC. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la energía potencial eléctrica de cualquiera de las cargas. a) 10,0 J b) 10,2 J c) 10,4 J d) 10,6 J e) 10,8 J II) Hallar la energía potencial eléctrica del sistema de cargas. a) 21,0 J b) 21,2 J c) 21,4 J d) 21,6 J e) 21,8 J III) Hallar la energía potencial eléctrica del sistema, cuando se reemplaza una de las cargas " q"  por otra carga puntual " q"  . a) 0 J b) 1 J c) 2 J d) 3 J e) 4 J 102.La magnitud del campo eléctrico en la superficie de una esfera sólida de cobre cargada de radio R=0,2 m es de E=3 800 N/C, dirigido hacia el centro de la esfera. Hallar el poten cial en el centro de la esfera, si muy lejos de la esfera el potencial es nulo. a) 700 N/C b) 720 N/C c) 740 N/C d) 760 N/C e) 780 N/C 103.En cierta región del espacio, el potencial eléctrico es V(x; y; z)=Axy-Bx2+Cy, siendo A, B y C constantes positivas. I) Hallar las componentes del campo eléctrico, en las direcciones de los ejes X, Y y Z. II) ¿En qué puntos el campo eléctrico es nulo? 104.El potencial eléctrico debido a una carga puntual "Q" situado en el origen se puede ex presar como: V=Q/4o r=Q/4o (x2+y2+z2)1/2. I) Hallar las componentes del campo eléctrico Ex , Ey , Ez . II) Demostrar que que los resultados del inciso I) concuerdan con la expresión del campo eléctrico de una carga puntual "Q". 105.Se tiene un cilindro compacto cargado muy largo de radio R=20 cm, y densidad de carga lineal =5 nC/m. Asumiendo que el potencial en la superficie del cilindro es nulo. I) Hallar las expresiones del potencial eléctrico dentro y fuera del cilindro, en función de la distancia radial "r" y de la densidad de carga lineal " "  . II) Hallar el potencial eléctrico a la distancia de r=22 cm, del eje del cilindro. a) -8,38 V b) +8,38 V c) -8,58 V d) +8,58 V e) -8,78 V III) Hallar el potencial eléctrico a la distancia de r=10 cm del eje del cilindro. a) -33,55 V b) +33,55 V c) -33,75 V d) +33,75 V e) -33,95 V 329

Potencial eléctrico 554 106.Una lámina infinita cargada, tiene una densidad
superficial de carga de =+100 nC/m2 Hallar la distancia de separación entre dos superficies equipotenciales, entre las cuales hay una diferencia de potencial de V=5 voltios. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,80 mm b) 0,84 mm c) 0,88 mm d) 0,92 mm e) 0,96 mm 107.Una carga de q=400 pC se distribuye uniformemente en una esfera no conductora de ra dio R=20 cm. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial a una distancia de r=10 cm del centro del volumen esférico. a) 24,00 V b) 24,25 V c) 24,50 V d) 24,75 V e) 25,00 V II) Hallar el potencial eléctrico en el centro del volumen esférico. a) 26,0 V b) 26,5 V c) 27,0 V d) 27,5 V e) 28,0 V 108.Por simple fricción se puede producir una carga de q=10 nC. ¿A qué potencial elevaría esa carga una esfera conductora aislada de radio R=10 cm? (k=9109 Nm2/C2) a) 750 V b) 800 V c) 850 V d) 900 V e) 950 V 109.I) Se tiene una carga puntual de q=15 nC. ¿Cuál es el radio de una superficie equipoten cial que tenga un potencial de 30 voltios? a) 3,5 m b) 4,0 m c) 4,5 m d) 5,0 m e) 5,5 m II) Las superficies cuyos potenciales difieren en una cantidad constante. ¿Están equidis tantemente espaciadas en la dirección radial? 110.Un punto A se encuentra a una distancia de 2 m de una carga puntual de q=+1,0 C, otro punto B se encuentra a 1 m de distancia de la carga, al otro lado del segmento que pasa por el punto A y la carga. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la diferencia de potencial entre el punto A y B. a) +4500 V b) -4500 V c) +3000 V d) -3000 V e) +1500 V II) Los puntos A y B se encuentran a la distancia de 2 m y 1 m de "q", situados en segmen tos perpendiculares entre si. a) -4500 V b) +4500 V c) -3000 V d) +3000 V e) +1500 V 111.Calcular el momento de dipolo (en 10-29 m.C) de una molécula de agua en la hipótesis de que los electrones de la molécula circulan todos ellos simétricamente alrededor del átomo de oxígeno, que la distancia O-H es d=0,9610-8 cm y que el ángulo entre los dos enlaces O-H es de 104º. (e=-1,610-19 C) a) 1,09 b) 1,29 c) 1,49 d) 1,69 e) 1,89 112.En la Fig.17, para la configuración de cargas mostrada, probar que el potencial eléctrico para puntos colocados en el eje horizontal es: V= (kq/r)(1+2a/r), para r>>a., siendo "k" la 330

Robotica y Cibernética 555 constante de proporcionalidad eléctrica. 113.En un
relámpago, la diferencia de potencial entre los puntos en que ocurren las descargas es de alrededor de 109 voltios y la cantidad de carga transmitida es de cerca de 30 C. ¿Qué cantidad de hielo a 0 oC podría fundir esa descarga si toda la energía desprendida pudiera usarse con esa finalidad? (LF =335 kJ/kg) a) 81,5103 kg b) 83,5103 kg c) 85,5103 kg d) 87,5103 kg e) 89,5103 kg 114.I) Calcular el potencial eléctrico producido por el núcleo de un átomo de hidrógeno a la distancia media del electrón circundante (r=53 pm, e=1,610-19 C) a) 24,1 V b) 25,1 V c) 26,1 v d) 27,1 V e) 28,1 V II) Calcular la energía potencial eléctrica (en eV) del átomo cuando el electrón esta a esa distancia. a) 24,1 eV b) 25,1 eV c) 26,1 eV d) 27,1 eV e) 28,1 eV III) Calcular la energía cinética (en eV) del electrón, suponiendo que se mueve en una órbita circular de ese radio centrada en el núcleo. a) 12,0 eV b) 12,5 eV c) 13,0 eV d) 13,5 eV e) 14,0 eV 115.En la Fig18, el filamento delgado de longitud l=40 cm, densidad de carga lineal unifor me =+800 pC/m descansa paralelo a la lámina infinita de densidad de carga superficial uniforme de o =4 nC/m2. ¿Qué trabajo se debe hacer para girar el filamento, y ponerlo en posición vertical? (k=9109 Nm2/C2, a=10 cm) a) +12,47 J b) -12,47 J c) +14,47 J d) -14,47 J e) +16,47 J Fig17 Fig18 116.I) Una gota esférica de agua que tiene una carga de Q=300 nC tiene un potencial eléctri co de V=500 voltios en su superficie. Hallar el radio de la gota. (k=9109 Nm2/C2) a) 5,0 mm b) 5,2 mm c) 5,4 mm d) 5,6 mm e) 5,8 mm II) Si dos gotas iguales de la misma carga y radio se combinan para formar una sola gota esférica. Hallar el potencial eléctrico en la superficie de la gota resultante. a) 7,14 kV b) 7,34 kV c) 7,54 kV d) 7,74 kV e) 7,94 kV a q P r q q a l l a o  331

Potencial eléctrico 556 117.Si la Tierra tuviera una carga neta
equivalente a 1 electrón/m2 de área de su superficie. I) ¿Cuál sería el potencial eléctrico de la tierra? (m=10-3, e=-1,610-19 C) a) -111,2 mV b) -112,2 mV c) -113,2 mV d) -114,2 mV e) -115,2 mV II) ¿Cuál sería el campo eléctrico debido a la Tierra en un punto exterior a ella muy cercano a su superficie? (n=10-9) a) 12 nV/m b) 14 nV/m c) 16 nV/m d) 18 nV/m e) 20 nV/m 118.Un contador Geiger tiene un cilindro metálico de diámetro D=2 cm a lo largo de cuyo e je va un alambre de diámetro d=0,000127 m. Si se aplican 850 voltios entre el cilindro y el alambre. (k=9109 Nm2/C2, M=106, k=103) I) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico (en kV/m) en la superficie del cilindro? a) 10,8 b) 12,8 c) 14,8 d) 16,8 e) 18,8 II) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico (en MV/m) en la superficie del alambre? a) 2,05 b) 2,25 c) 2,45 d) 2,65 e) 2,85 119.Dos esferas metálicas de radios r=3 cm tienen cargas de Q1 =+10 nC, y Q2 =-30 nC, res pectivamente, distribuidas uniformemente sobre sus superficies. Los centros de las esfe ras están separadas por una distancia de d=2 m. (k=9109 Nm2/C2, k=103, n=10-9) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto medio del segmento que une los centros de las es feras. a) +120 V b) -120 V c) +180 V d) -180 V e) +220 V II) Hallar el potencial eléctrico en la primera esfera metálica. a) 2,565 kV b) 2,665 kV c) 2,765 kV d) 2,865 kV e) 2,965 kV III) Hallar el potencial eléctrico en la segunda esfera metálica. a) -8,555 kV b) -8,655 kV c) -8,755 kV d) -8,855 kV e) -8,955 kV 120.Dos esferitas metálicas de radios R1 =1 cm y R2 =2 cm, de cargas eléctricas Q1 =200 nC y Q2 =0 C, respectivamente, se conectan mediante un alambre delgado. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la raíz cuadrada del producto de las cargas que adquieren las esferitas, luego de la conexión, esto es: k= 1 2 Q' Q' . a) 90 nC b) 92 nC c) 94 nC d) 96 nC e) 98 nC II) Hallar la razón de la suma a la diferencia de las densidades de carga superficiales de las esferitas, luego de la conexión, esto es: R= (1 +2 )/(1 - 2 ). III) Hallar el potencial que adquiere la esferita "1", luego de la conexión. a) 20 kV b) 30 kV c) 40 kV d) 50 kV e) 60 kV 332

Robotica y Cibernética 557 IV) Hallar el potencial que adquiere
la esferita "2", luego de la conexión. a) 51,9 kV b) 53,9 kV c) 55,9 kV d) 57,9 kV e) 59,9 kV 121.I) Hallar el gradiente de potencial (expresada en 1017 V/m) a una distancia de d=10-12 m del centro del núcleo de oro (z=79). (k=9109 Nm2/C2) a) 1,13 b) 3,13 c) 5,13 d) 7,13 e) 9,13 II) Hallar el gradiente (expresada en 1021 V/m) en la superficie del núcleo de oro. a) 1,15 b) 2,15 c) 3,15 d) 4,15 e) 5,15 122.El electrodo conductor esférico de un generador Van de Graaff está cargado hasta un po tencial de V=2106 voltios. Hallar el radio mínimo que debe tener el cascarón esférico pa ra que no ocurra la ruptura eléctrica del aire. (k=9109 Nm2/C2) a) 60,7 cm b) 62,7 cm c) 64,7 cm d) 66,7 cm e) 68,7 cm 123.Se tiene un disco muy delgado de radio R=40 cm, que presenta una densidad de carga su perficial uniforme de =+5 pC/m2. Hallar el potencial eléctrico en un punto, situado en el borde del disco. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 70 mV b) 72 mV c) 74 mV d) 76 mV e) 78 mV 124.Dos alambres delgados muy largos paralelos de radios R=1 cm, con densidades de carga lineal uniformes de =80 pC/m2, están separados por una distancia de d=1 m. Hallar la diferencia de potencial entre los alambres cargado positivamente y negativamente. (k= 9109 Nm2/C2) a) 10,2 V b) 11,2 V c) 12,2 V d) 13,2 V e) 14,2 V 125.En la Fig19, el cascarón metálico esférico de radio a=10 cm, puesto a un potencial de Vo =100 voltios, está rodeado por otro cascarón esférico metálico de radio b=20 cm, conec tado a tierra y concéntrico con el primero. Hallar la densidad de carga superficial (expre sada en nC/m2) del cascarón más pequeño. (k= 9109 Nm2/C2) a) 13,68 b) 14,68 c) 15,68 d) 16,68 e) 17,68 126.En la Fig20, el sector de anillo muy delgado de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga lineal uniforme de =+500 pC/m. Hallar el trabajo que se debe hacer para trasladar una carga puntual o "q " desde P hasta el centro 0. (k= 9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 6,08qo b) 6,28qo c) 6,48qo d) 6,68qo e) 6,88qo 127.¿Cuántos anillos de radios R, R/2, R/3,…, cada una de ellas con densidades de carga li neal uniforme de =+500 pC/m, se necesitan ubicar concéntricamente en un mismo pla no, para que el potencial eléctrico en el centro común sea de 127,23 voltios? (k=9109 Nm2/C2, R=20 cm, p=10-12) 333

Potencial eléctrico 558 a) 30 b) 35 c) 40 d)
45 e) 50 Fig19 Fig20 128.Un protón de carga e=+1,610-19 C, masa m=1,6710-27 kg se lanza desde el infinito con una velocidad inicial de o "v " dirigida hacia el centro de una esfera hueca de radio R=20 cm y carga Q=+800 pC, distribuida uniformemente. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Hallar la velocidad mínima con la que debe lanzarse el protón, para que colisione con la esfera. a) 43 km/s b) 53 km/s c) 63 km/s d) 73 km/s e) 83 km/s II) Si la velocidad inicial es la mitad de la obtenida en I), ¿A qué distancia de la superficie de la esfera llega el protón? a) 20 cm b) 40 cm c) 60 cm d) 80 cm e) 100 cm 129.Una esfera hueca de paredes muy delgadas de radio R=20 cm, y densidad de carga super ficial uniforme de =510-10 C/m2, presenta un pequeño agujero circular de radio r=5 mm. Hallar el trabajo que se debe hacer para trasladar una carga puntual o "q ", desde el centro del agujero hasta el centro de la esfera. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,19610-4qo b) 1,39610-4qo c) 1,59610-4qo d) 1,79610-4qo e) 1,99610-4qo 130.En la Fig21, el cascarón esférico homogéneo de radios interno r=20 cm y externo R=40 cm, tiene una densidad de carga volumétrica uniforme de =8 nCm3. Hallar la difeencia de potencial entre los puntos A y B. (k=9109 Nm2/C2) a) 10 V b) 12 V c) 14 V d) 16 V e) 18 V 131.Sobre dos esferas de radios iguales a R=20 cm, la primera hueca y la segunda compacta, se distribuyen uniformemente cargas iguales de Q=8 nC en cada una de ellas. ¿En que ra ón están las energías eléctricas de las esferas hueca y compacta? (k=9109 Nm2/C2) a) 2/3 b) 3/2 c) 5/6 d) 6/5 e) 3/4 132.En la Fig22, la espira rectangular de alambre muy delgado de lados a=10 cm, b=20 cm, y densidad de carga superficial uniforme de =800 pC/m, se encuentra en un plano per V0 a b P R  0 R 334

Robotica y Cibernética 559 pendicular a la placa infinita horizontal
de densidad de carga superficial uniforme de =4 nC/m2. Hallar la energía de interacción eléctrica entre la espira y la placa. (k= 9109 Nm2 /C2, d=10 cm) a) -12,3 J b) +12,3 J c) -14,3 J d) +14,3 J e) -16,3 J Fig21 Fig22 133.En la Fig23, el bloque de masa m=50 g y carga q=-50 C se abandona en la posición "A" dentro de un campo eléctrico uniforme de magnitud E=6 kV/m. Si no existe fricción, hallar la rapidez del bloque cuando pasa por "B", además R=2 m y g=10 m/s2. a) 2 m/s b) 4 m/s c) 6 m/s d) 8 m/s e) 10 m/s 134.En la Fig24, hallar el potencial en el punto P, que se halla a la distancia de r=10 cm del centro de la esfera cargada de R=1 cm de radio. Resolver el problema cuando se conoce: I) La densidad superficial de carga que es igual a 10-11 C/cm2. (o = 8,8510-12 C2/Nm2) II) El potencial de la esfera, que es de 300 V. a) 11,1 V, 20 V b) 11,3 V, 30 V c) 11,5 V, 25 V d) 11,7 V, 20 V e) 11,9 V, 35V Fig23 Fig24 135.En la Fig25, ¿Qué trabajo se realiza al trasladar la carga puntual qo =20 nC desde el in finito hasta el punto situado a la distancia de d=1 cm de la superficie de una esfera de ra dio igual a R=1 cm con una densidad superficial de carga = 1 nC/cm2 ? (p=10-12 ) a) 1,11 pJ b) 1,13 pJ c) 1,15 pJ d) 1,17 pJ e) 1,19 pJ r R A B   0  d o  b a   R r P R R  E B A 335

Potencial eléctrico 560 136.Dos gotas esféricas de mercurio de radios
R1 =3 cm y R2 = 3 37 cm tienen cargas eléctri cas de q1 =+40/3 nC y q2 =+20 nC. Hallar el potencial eléctrico de la gota esférica resultan te que se obtiene al unir las dos gotas. a) 7,1 kV b) 7,3 kV c) 7,5 kV d) 7,7 kV e) 7,9 kV 137.Hallar el trabajo necesario para suministrarle carga eléctrica uniforme a una esfera de ra dio R=10 cm, y esta adquiera una densidad de carga volumétrica uniforme igual a o =20 nC/m3. ( k=9109 Nm2/C2 y p=10-12) a) 379 pJ b) 254 pJ c) 165 pJ d) 423 pJ e) 521 pJ 138.Tres cargas puntuales iguales a Q=+1 C cada una, se ubican en los vértices de un triángu lo equilátero de lados a=10 cm. Hallar la energía potencial eléctrica de cada una de las car gas. (T=1012 ) a) 0,10 TJ b) 0,12 TJ c) 0,14 TJ d) 0,16 TJ e) 0,18 TJ 139.En la Fig26, la distancia entre las láminas paralelas planas es d=2 cm y su diferencia de potencial de V=120 V. ¿Qué rapidez (en 106 m/s) adquiere un electrón bajo la acción del campo al recorrer, según una línea de fuerza, la distancia de 3 mm? (e=-1,610-19 C , me = 9,110-31 kg) a) 2,50 b) 2,52 c) 2,54 d) 2,56 e) 2,58 Fig5 Fig26 140.Un conductor cilíndrico muy largo de radio "RA " está rodeado por un cilindro coaxial hueco de radio "RB ". Los cilindros poseen densidades de carga lineal uniformes iguales a "", y "" respectivamente. Hallar aproximadamente la diferencia de potencial entre los cilindros A y B, sabiendo que: RB =2RA , y =4.10-10 C/m. (Sugerencia: usar ln(x)). a) 1 V b) 2 V c) 3 V d) 4 V e) 5 V 141.Dentro de un campo eléctrico uniforme de magnitud E=5105 N/C dirigido horizontal mente hacia la derecha, gira con velocidad angular constante =6 rad/s en un plano verti cal describiendo una trayectoria circular, una esferita de masa m=0,5 kg y carga eléctrica q=6,63 C, unida a un hilo de longitud l=0,5. Hallar la tensión máxima en el hilo de seda. (g=10 m/s2)   R r A qo   -Q +Q d V E me, e 336

Robotica y Cibernética 561 a) 10 N b) 15 N
c) 20 N d) 25 N e) 30 N 142.Un filamento de longitud a=10 cm se halla sobre el eje de simetría de un anillo de radio R=10 cm, ambos tienen densidades de carga lineal uniformes de =2C/m. Hallar la ener gía potencial de interacción eléctrica del filamento cuyo extremo se ubica en el centro del anillo. (Sugerencia: Utilizar la función log(x)) a) 8,60 mJ b) 8,62 mJ c) 8,64 mJ d) 8,66 mJ e) 8,68 mJ 143.En cada vértice de un hexágono regular de lado a=30 cm contenida en un plano horizon tal existe una carga Q=-3,5 C. Hallar el trabajo para trasladar verticalmente una carga de q=2,4 C. desde el centro del polígono hasta un punto d=40 cm por encima del plano. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,2 J b) 0,4 J c) 0,6 J d) 0,8 J e) 1,0 J 144.En la Fig27, desde que altura o "H " debe soltarse el carrito de masa "m" y carga eléctri ca " q"  , en presencia del campo eléctrico "E" uniforme, para que pueda dar una vuelta completa sobre el rizo liso y no conductor de radio R=20 cm. (g=10 m/s2) a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm 145.En la Fig28, se muestra tres cuerpos esféricos de radios a=10 cm, b=15 cm, y c=30 cm, con cargas QA =4C, QB =10C y QC =6C. El cascarón de radio "c" y la esfera de radio "b" son concéntricos y aislados. Hallar la carga final del cascarón "c", luego de haberse puesto en contacto con la esfera de radio "a". a) 1C b) 2C c) 4C d) 6C e) 8C Fig27 Fig28 146.Se libera una partícula de carga q=-2 C y masa m=28,2710-9 kg estando a una dis tancia d=24 cm de un plano horizontal muy grande con densidad de carga superficial uni forme =-30 nC/m2. Hallar el tiempo que demora la partícula en llegar al plano. a) 1 ms b) 2 ms c) 3 ms d) 4 ms e) 5 ms H0 A m, q R E C A B c b a 337

Potencial eléctrico 562 147.En la Fig29, se disponen en forma
alternada un infinito número de cargas positivas y ne gativas q=2 C sobre una línea recta. La separación entre las cargas adyacentes es la mis ma e igual a d=0,3 mm. Hallar la energía potencial de la carga eléctrica ubicada en P. (k=9109 Nm2/C2) a) -122 J b) -144 J c) -166 J d) -188 J e) -199 J 148.En la Fig30, la mitad de anillo tiene un radio R=30 cm y una densidad de carga lineal uniforme de =200 pC/m. Hallar la densidad de energía eléctrica (en nJ/m3) en el punto medio 0 del diámetro. (k= 9109 Nm2/C2 , n=10-9 ) a) 1/ b) 2/ c) 3/ d) 4/ e) 5/ Fig29 Fig30 149.En la Fig31, la placa triangular muy delgada tiene una densidad de carga superficial uni forme de =400 pC/m2 y a=50 cm. Hallar el potencial eléctrico en el vértice "B" . (Suge rencia: Usar ln(x)) a) 3,11 V b) 3,13 V c) 3,15 V d) 3,17 V e) 3,19 V 150.En la Fig32, los anillos idénticos de alambre muy delgados de radios R=15 cm, tienen cargas eléctricas de q 50   pC, y se encuentran en plano paralelos, separados por una dis tancia de d= 3 R. Hallar la diferencia de potencial entre sus centros.(k=9109 Nm2/C2) a) 1 V b) 2 V c) 3 V d) 4 V e) 5 V Fig31 Fig32 151.¿Qué trabajo contra las fuerzas eléctricas se necesita realizar para disminuir a la mitad el radio de una esfera cargada, cuyo radio inicial es R=9 cm y su carga Q= +200 nC? (k= 9109 Nm2/C2 y m=10-3) P d   R 0  B a a  a R R d q -q 338

Robotica y Cibernética 563 a) 1 mJ b) 2 mJ
c) 3 mJ d) 4 mJ e) 5 mJ 152.Un electrón, al recorrer la distancia entre las láminas de un condensador plano, adquiere la rapidez de 108 cm/s. La distancia entre las láminas es de 5,3 mm. Hallar la diferencia de potencial entre las láminas del condensador. (e= -,610-19 C, me =9,110-31 kg) a) 2,0 V b) 2,2 V c) 2,4 V d) 2,6 V e) 2,8 V 153.En la Fig33, se tiene dos esferas huecas conductoras concéntricas de radios RA =20 cm, RB =40 cm, con cargas QA =900 pC QB =800 pC, respectivamente. Hallar el potencial en el punto P, situado a una distancia de r=30 cm del centro. (k=9109 Nm2/C2) a) 45 V b) 20 V c) 35 V d) 40 V e) 25 V 154.En la Fig34, la esfera compacta de radio R=10 cm posee una densidad de carga volumé trica uniforme de =8 nC/m3Hallar el potencial en el punto P, ubicado a una distancia d=5 cm del centro de la esfera. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,32 V b) 2,32 V c) 3,32 V d) 4,32 V e) 5,32 V Fig33 Fig34 155.¿Qué trabajo mínimo contra las fuerzas del campo eléctrico se necesita realizar para reu nir una gota de mercurio de radio R=3 cm y carga Q=+4. C a partir de N=64 gotas con cargas iguales? (k=9109 Nm2/C2) a) 1,55 J b) 2,25 J c) 3,75 J d) 4,15 J e) 5,45 J 156.El potencial eléctrico de una concha esférica conductora de radio R=10 cm centrado en el origen, viene dado por: V(r)=Vo para, rR y V(r)=Vo (R/r) para r>R. Hallar la energía al macenada por el campo eléctrico. (V0 =300 V k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 0,1 J b) 0,2 J c) 0,3 J d) 0,4 J e) 0,5 J 157.Se tiene un alambre muy delgado de longitud infinita con densidad de carga lineal unifor me de =800 pC/m. Hallar la diferencia de potencial entre los puntos A y B situados a las distancia de a=20 cm y b=10 cm del alambre. (Usar: k=9109 Nm2/C2 , ln(x)) a) 9,98 V b) -9,98 V c) 4,99 V c) -4,99 V e) 2,49 V  B A RB RA QB QA r P R  P d  339

Potencial eléctrico 564 158.En la Fig35, hallar la diferencia de
potencial aceleradora V'  para que los electrones si gan la trayectoria indicada. Los radios de las armaduras del condensador cilíndrico lleno de dieléctrico de coeficiente k=3 son R1 =2 cm y R2 =20 cm. Asúmase que el campo en el espacio entre las armaduras coincide con el campo del condensador cilíndrico. La diferen cia de potencial entre las armaduras es V=200 voltios. (Utilizar la función ln(x) ) a) 43,41V b) 43,43 V c) 43,45 V d) 43,47 V e) 43,49 V 159.En la Fig36, con un alambre de densidad lineal de carga uniforme de =800 pC/m se forma un cuadrado de lado l=20 cm. Hallar el potencial eléctrico en el punto P, situado a una distancia z=10 cm del centro del cuadrado.(Utilizar la función ln(x)) a) 31,9 V b) 33,9 V c) 35,9 V d) 37,9 V e) 39,9 V Fig35 Fig36 160.En la Fig37, el hemisferio compacto de radio R=20 cm tiene una densidad volumétrica de carga uniforme de =80 nC/m3. Hallar el potencial eléctrico en el punto P, situado en el eje a una distancia d=40 cm del centro de la base del hemisferio. a) 35,0 V b) 35,2 V c) 35,4 V d) 35,6 V e) 35,8 V Fig37 Fig38 161.En la Fig38, hallar el trabajo necesario para trasladar la carga qo =80 nC, desde A hasta B en el campo eléctrico del dipolo, de cargas eléctricas q=4 C separadas una distancia d=1 mm, siguiendo la trayectoria del arco de circunferencia de radio R=1 cm. a) 28,0 mJ b) 28,2 mJ c) 28,4 mJ d) 28,6 mJ e) 28,8 mJ P z  0 l l P  0 d R   V´ R2 R1 e r V   A B -q +q d qo R  340

Robotica y Cibernética 565 162.En la Fig.39, se tiene dos
esferas huecas concéntricas descargadas de radios c=10 cm y a=30 cm, unidas mediante un alambre muy fino, que pasa a través de un agujero de una tercera esfera concéntrica con las esferas anteriores de radio b=20 cm y carga Q=+8 C distribuida uniformemente sobre su superficie. Hallar la carga inducida en la esfera hueca de radio "c". a) -2 C b) 2 C c) -4 C d) 4 C e) 8 C 163.Se tienen tres cascarones esféricos de radios de a=4 cm, b=6 cm, c=8 cm, y cargas eléc tricas QA =400 pC, QB =600 pC, QC =800 pC, respectivamente. Hallar el potencial eléctrico del cascarón de radio "b". (k=9109 Nm2/C2) a) 230 V b) 235 V c) 240 V d) 245 V e) 250 V 164.En un condensador plano horizontal, cuya distancia entre láminas es d=1 cm, hay una go tita cargada de masa m=510-11 gramos. Cuando no hay campo eléctrico, la gotita cae a cierta velocidad constante debido a la resistencia del aire. Si a las láminas del condensa dor se aplica una diferencia de potencial de V=600 voltios, la gotita cae dos veces más despacio. Hallar la carga de la gotita. (g=10 m/s2, a=10-18 ) a) 4,11 aC b) 4,13 aC c) 4,15 aC d) 4,17 aC e) 4,19 aC 165.Dos cargas puntuales iguales a q=200 pC, se ubican en el eje Y en los puntos y=8 cm. Hallar el potencial eléctrico en el punto x=6 cm sobre el eje X. a) 12 V b) 18 V c) 24 V d) 30 V e) 36 V 166.Se tiene una esfera conductora de radio R=20 cm y carga eléctrica Q=4.C distribuida u niformemente sobre su superficie. Hallar la densidad de energía eléctrica (en J/m3) a una distancia igual a r=30 cm del centro de la esfera. a) 0,701 b) 0,703 c) 0,705 d) 0,707 e) 0,709 167.Un protón producido en un acelerador de Van de Graff de 1 MeV incide sobre una lámi na de oro (Z=79). Hallar la distancia de máxima aproximación para un choque con pará metro de impacto b=10-15 m. (k=9109 Nm2/C2 , 1 MeV=1,610-13 J, f = 10-15 ) a) 111,8 fm b) 113,8 fm c) 115,8 fm d) 117,8 fm e) 119,8 fm 168.Una carga puntual q=400 pC se encuentra a la distancia d=40 cm del centro de una esfe ra conductora descargada de radio R=20 cm. Hallar el potencial de dicha esfera. a) 12 V b) 9 V c) 6 V d) 3 V e) 1 V 169.En un condensador plano horizontal de distancia entre láminas d=1 cm, hay una gota de aceite cargada. Cuando no hay campo eléctrico, la gota cae con rapidez constante de v1 = 0,011 cm/s. Si las láminas se ponen a una diferencia de potencial de V=150 V, la gota cae a la rapidez v2 =0,043 cm/s. Hallar la carga de la gota. El coeficiente de viscosidad del ai 341

Potencial eléctrico 566 re es =1,8210-2 Ns/m2 la densidad del
aceite es mayor que la del gas en la que cae la go ta en una cantidad de =900 kg/m3. (k=9109 Nm2/C2, g=9,8 m/s2, p=10-12) a) -0,23 pC b) -0,43 pC c) -0,63 pC d) -0,83 pC e) -1,03pC 170.En la Fig.40, el electrón, después de haber sido acelerado por una diferencia de potencial de 565 V ingresa a un campo eléctrico uniforme de 3 500 V/m formando un ángulo de 600 con la dirección del campo. Hallar la magnitud de su velocidad (en 106 m/s) luego de trans currido un tiempo de 510-8 s. ( me =9,110-31 kg, e =-1,610-19 C) a) 39,1 b) 39,3 c) 39,5 d) 39,7 e) 39,9 Fig39 Fig40 171.En la Fig41, la carga puntual q=6 C se halla a la distancia d=10 cm de la esfera con ductora de radio R=10 cm el cual está unida a tierra mediante un alambre fino y largo. Ha llar la carga inducida en la esfera. (k=9109 Nm2/C2 , =10-6) a) 3 C b) -3 C c) 6 C d) -6 C e) 2 C 172.Hallar la energía eléctrica interna de un protón suponiendo que su carga e=1,610-19 C está distribuida uniformemente sobre una esfera de radio R=10-14 m. (f=10-15) a) 13,80 fJ b) 13,82 fJ c) 13,84 fJ d) 13,86 fJ e) 13,88 fJ 173.Se tiene dos esferas huecas conductoras concéntricas de radios RA =10 cm, RB =20 cm, con cargas QA =200 pC y QB =400 pC, respectivamente. Hallar la diferencia de potencial entre las esferas huecas. A y B. (k=9109 Nm2/C2) a) 1 V b) 3 V c) 5 V d) 7 V e) 9 V 174.En la Fig.42, el electrón moviéndose a la rapidez de v1 =106 m/s, incide sobre la superfi cie de separación S con un ángulo =450 , pasando del semiespacio con potencial V1 =50 voltios al semiespacio con potencial V2 =100 V. Hallar el valor del ángulo " "  . a) 80,540 b) 81,540 c) 82,540 d) 83,540 e) 84,540  B A a c Q C b 600 E v0 me,-e +Q -Q 342

Robotica y Cibernética 567 Fig41 Fig42 175.En la Fig43, entre
dos cargas fijas se introduce en el punto "A" una carga " q"  . Esta carga recorre la distancia AB en un tiempo "t", ¿En qué tiempo recorrerá esta misma dis tancia una carga " 3q"  , si se introduce en el punto "A"? Las masas de las cargas son las mismas. a) 0,50 s b) 0,52 s c) 0,54 s d) 0,56 s e) 0,58 s 176.Una placa no conductora muy delgada en forma de anillo de radios r=2a y R=6a tiene densidad superficial de carga uniforme " "  . Un electrón inicia su movimiento en el infi nito, sobre el eje de simetría, pasando a través de su centro con velocidad de 2106 m/s. Hallar la rapidez "v" (en m/s) del electrón a una distancia de 30 5 cm del centro de la placa. a) 1,41106 b) 1,43106 c) 1,45106 d) 1,47106 e) 1,49106 177.Se tiene una esfera metálica de radio a=40 cm y carga eléctrica Q=2 C distribuida uni formemente en su superficie. Hallar el radio "R" de otra esfera, de la misma carga eléctri ca, tal que la mitad de la energía eléctrica éste contenido dentro de la misma. a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 18 cm 178.Un electrón ingresa con una velocidad de vx =107 m/s, paralelamente a las placas horizon tales de un condensador de longitud l=5 cm. La magnitud del campo eléctrico del conden sador, es E=100 V/cm. Hallar la magnitud de la velocidad (en m/s) del electrón al salir del condensador. (e=-1,610-19 C, m= 9,110-31 kg) a) 1,31107 b) 1,33107 c) 1,35107 d) 1,37107 e) 1,39107 179.En la Fig44, el hemisferio sólido de radio R=2 cm tiene una densidad volumétrica de car ga uniforme de =3 nC/m3. Se libera del reposo un partícula de masa m=9,110-31 kg y car ga q0 =-2R3/3 en un punto sobre el eje, a una gran distancia "d". Hallar la rapidez (en m/s) con la que llega la partícula a la superficie curva del hemisferio. a) 5,70107 b) 5,72107 c) 5,74107 d) 5,76107 e) 5,78107 180.En un tubo de rayos X se acelera un electrón inicialmente en reposo al pasar desde el cá R q d V1 V2  m, e  S 343

Potencial eléctrico 568 to do al ánodo a través de
una diferencia de potencial de 180,000 voltios. Hallar la masa del electrón (en kg) cuando llega al ánodo. (m0 =9,110-31 kg, c=3108 m/s, e=-1,610-19 C) a) 1,2110-30 b) 1,2310-30 c) 1,2510-30 d) 1,2710-30 e) 1,2910-30 Fig43 Fig44 181.El potencial eléctrico en todo el espacio, viene dado por: V(x, y, z)=300 / (x2 + y2 + z2)1/2 (voltios). Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto (1; 1; 1). a) 50 N/C b) 120 N/C c) 150 N/C d) 300 N/C e) 100 N/C 182.En la Fig.45, hallar el trabajo que debe realizar el campo eléctrico sobre el dipolo de mo mento dipolar p=310-8 mC, para alinearlo en la dirección del campo eléctrico de magni tud E=500 V/m, si inicialmente forman entre sí un ángulo de 0 =370. a) 1 J b) 2 J c) 3 J d) 4 J e) 5 J 183.Un protón (=1) de masa m=1,6710-27 kg y carga e=1,610-19 C producido en un acelera dor de Van de Graf de 1 MeV incide sobre una lámina de oro (Z=79), con un parámetro de impacto de b=10-15 m. Hallar el ángulo de dispersión " "  del protón. a) 1770 59’ b) 880 59’ c) 540 35’ d) 1220 28’ e) 1350 36’ 184.En la Fig.46, se tienen dos esferas huecas concéntricas de radios a=10 cm y b=30 cm, cu yas superficies se encuentran a los potenciales Va =100 V y Vb = 60 V. Hallar el potencial eléctrico en un punto ubicado a una distancia r=20 cm del centro común. a) 60 V b) 70 V c) 50 V d) 80 V e) 90 V Fig45 Fig46 +Q -Q A B d +q a b R  m, qo v=0 d  +Q -Q p E 0 =370 0   r a b Va Vb 344

Robotica y Cibernética 569 185.Se tiene dos cilindros conductores huecos
concéntricos de radios a=10 cm, b=30 cm, cu yas superficies se encuentran a potenciales eléctricos Va =50 V, Vb =100 V. Hallar el po tencial eléctrico a una distancia r=20 cm del eje común. (Usar: ln(x)) a) 81,1 V b) 81,3 V c) 81,5 V d) 81,7 V e) 81,9 V 186.Se tiene un cuadrado de lado 1 cm, en cuyos vértices se encuentran cargas iguales a q= 40 nC. Hallar la energía potencial eléctrica de este sistema de cargas. (m=10-3 ) a) 7,0 mJ b) 7,2 mJ c) 7,4 mJ d) 7,6 mJ e) 7,8 mJ 187.¿A qué distancia mínima pueden acercarse dos electrones de masas m=9,110-31 kg y car ga eléctrica e=-1,610-19 C, si se mueven al encuentro uno de otro a la velocidad relativa de magnitud igual a 108 cm/s? (n=10-9, k=9109 Nm2/C2) a) 1,011 nm b) 1,013 nm c) 1,015 nm d) 1,017 nm e) 1,019 nm 188.Se tiene una esfera compacta de radio R=10 cm y densidad volumétrica de carga unifor me =600 nC/m3. Hallar el potencial eléctrico en puntos internos, situados a una disrancia de r=R/2, del centro de la esfera. (k=9109 Nm2/C2) a) 91 V  b) 93 V  c) 95 V  d) 97 V  e) 99 V  189.En la Fig47, a la esfera de plastico hueca muy delgada de radio R=30 cm, con densidad superficial de carga uniforme =200 pC/m2, se le ha quitado un segmento de esfera. Ha llar el potencial eléctrico en el centro 0 de la esfera para =600. (k=9109 Nm2/C2) a) 5,01 V b) 5,03 V c) 5,05 V d) 5,07 V e) 5,09 V 190.Hallar el momento dipolar de una bola conductora de radio R=30 cm, ubicada en un cam po eléctrico uniforme de magnitud E=1000 N/C. (n = 10-9) a) 1 nmC b) 2 nmC c) 3 nmC d) 4 nmC e) 5 nmC Fig47 Fig48 191.Un cilindro hueco de radio R=20 cm y longitud l=4R= 80 cm, tiene una densidad de car ga superficial uniforme de200 pC/m2. Hallar la diferencia de potencial entre los puntos  R  0  V1 V2 1 2 0 345

Potencial eléctrico 570 A y B, ubicados en el centro
del cilindro y en el centro de la base, respectivamente. (Usar: log10 (x)) a) 3,25 V b) -3,25 V c) 1,43 V d) -1,43 V e) 4,45 V 192.Se tiene una densidad volumétrica de carga no uniforme, dada en todo el espacio por: (x)   x2, siendo =3 nC/m5, la magnitud del campo eléctrico en x = 0, es nulo. Hallar la diferencia de potencial entre los puntos "b" y "a", ubicados sobre el eje X, en las posi ciones: x=1 m y x= 0 m. ( k=9109 Nm2/C2) a) -3 V b) 3 V c) -9 V d) 9 V e) 6 V 193.En la Fig48, los vértices de los conos coaxiales que están a potenciales V2 =50 voltios en 2 =600, V1 =100 voltios en 1 =300, están aislados entre si. Hallar el potencial eléctrico pa ra =450. (Usar: ln(x)) a) 61,352 V b) 67,354 V c) 69,356 V d) 63,358 V e) 65,360 V 194.En la Fig49, el plano de longitud infinita, ancho 2a=20 cm, tiene una densidad superfi cial de carga uniforme de =2 nC/m2. Hallar el potencial eléctrico en el punto P, distante d=5 cm del plano. El potencial eléctrico para d=a es V=10 voltios. (Usar la función ln(x)) a) 13,36 V b) 14,36 V c) 15,36 V d) 16,36 V e) 17,36 V 195.Un positrón y un protón se mueven hacia el encuentro. Cuando la distancia entre ellas es d1 =6 m, sus rapideces son iguales a ve =vp =104 m/s y. ¿A qué distancia mínima 2 "d " se a proximarán dichas partículas? me =9,110-31 kg, mp =1,610-27 kg, e=1,610-19C a) 1,10 m b) 1,12 m c) 1,14 m d) 1,16 m e) 1,18 m 196.En la Fig50, del cuentagotas "1" a la esfera metálica hueca aislada "2" de radio R=40 cm caen gotas de agua con carga q=400 nC, radio r=8 mm y densidad =103 kg/m3. Ha llar la altura mínima desde las que deben caer las gotas para que la esfera se llene comple tamente. (k=9109 Nm2/C2, g=10 m/s2) a) 61,43 cm b) 63,43 cm c) 65,43 cm d) 67,43 cm e) 69,43 cm Fig49 Fig50  P    d 2a h g 1 2 m, q R 346

Robotica y Cibernética 571 197.En la Fig51, la esfera conductora
sólida, cuyo radio es a=10 cm, esta rodeada por una ca pa conductora esférica concéntrica de radio interno b=20 cm, la cual esta conectada a tie rra. La esfera interna se pone a un potencial V0 = 90 voltios, hallar su carga total. (n=10-9) a) 1 nC b) 2 nC c) 3 nC d) 4 nC e) 5 nC 198.Dos esferas metálicas, concéntricas y finas, de radios R1 =20 cm y R2 =40 cm, tienen car gas eléctricas Q1 = 2 C y Q2 = 4 C, respectivamente. Hallar la energía eléctrica del siste ma. (k=9109 Nm2/C2 ) a) 0,41 J b) 0,43 J c) 0,45 J d) 0,47 J e) 0,49 J 199.En la Fig52, un trozo de dieléctrico de constante k=3 se introduce parcialmente en un condensador de placas paralelas, siendo a=2cm, b=4 cm, d=5 mm, V0 =100 voltios. Hallar la energía eléctrica del sistema para x=1 cm. (n=10-9) a) 4,70 nJ b) 4,72 nJ c) 4,74 nJ d) 4,76 nJ e) 4,78 nJ Fig51 Fig52 200.Una esferita pequeña de carga eléctrica q=-40 nC, masa m=4 g se libera en el eje de un anillo muy fino de radio R=6 m, carga eléctrica Q=6 C, a una distancia d= 3 R de su centro. Hallar la rapidez con la que pasa la esferita por el centro del anillo. a) 1105 m/s b) 2105 m/s c) 3105 m/s d) 4105 m/s e) 5105 m/s 201.Una esfera metálica aislada de 10 cm de diámetro tiene un potencial de 8 000 V. Hallar la densidad de energía eléctrica (en 10-3 J/m2) en la superficie de la esfera. ( o   8,8510-12 C2/N2 m2) a) 5,60 b) 5,62 c) 5,64 d) 5,66 e) 5,68 202.Se tiene un hemisferio hueco no conductor de radio R=10 cm, y densidad de carga super ficial uniforme de o =4 nC/m2. Hallar el potencial eléctrico en un punto fuera del hemisfe rio situado sobre su eje de simetría a una distancia d=R perpendicular a su base. (Usar: función log10 (x)) a) 13,05 V b) 13,15 V c) 13,25 V d) 13,35 V e) 13,45 V b a q=? 0  k x  S=a.b a b d V0 347

Potencial eléctrico 572 203.En la Fig53, se muestra tres cascarones
esféricos de radios a=10 cm, b=20 cm, c=30 cm, inicialmente las cargas de los cascarones A, B y C son: Qa = 0 Qb =40 C y Qc =30 C. Los cascarones A y B se conectan mediante un alambre aislado que pasa a través de un aguje ro en el cascarón C, la distancia de separación entre las esferas A y B es muy grande. Ha llar la carga final en el cascarón A al cerrarse el interruptor "S". a) 10C b) 15C c) 20C d) 25C e) 30C 204.En la Fig54, el electrón de carga eléctrica e=-1,610-19 C y masa m=9,110-31 kg, se libe ra en la posición P, situada a una distancia a=2 cm del centro de la espira cuadrada de la do 2a=4 cm y densidad de carga lineal   80 nC/m. ¿Con qué rapidez (en 106 m/s) pasa el electrón por el centro 0 de la espira? (k=9109 Nm2/C2, utilizar la función ln(x)) a) 1,2 b) 2,1 c) 4,1 d) 6,1 e) 8,1 Fig53 Fig54 205.En la Fig55, un positrón de carga eléctrica q=1,610-19 C se libera en el vértice del cono hueco de base circular de radio "R", altura H=50 cm (R=H) y densidad de carga superfi cial uniforme =800 pC/m2. ¿Con qué rapidez (en 106 m/s) pasa el positrón por el centro B de la base del cono? (k=9109 Nm2/C2, usar la función ln(x)) a) 1,86 b) 2,86 c) 3,86 d) 4,86 e) 5,86 206.Hallar la densidad de energía del campo eléctrico en el centro de un cubo de lado "a", cinco caras del cual están cargadas uniformemente con una densidad superficial " "  y la sexta cara descargada. a) 2 o /40   b) 2 o /48   c) 2 o /56   d) 2 o /64   e) 2 o /72   207.En la Fig56, las caras del tubo metálico muy largo de sección triangular equilátera de la dos a=10 cm, tienen densidades de carga superficial uniformes 1 =40 nC/m2, 2 =80 nC/m2 y 3 =120 nC/m2. Hallar la densidad de energía eléctrica (en J/m3) en puntos del eje del tubo. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 208.Probar que el campo eléctrico ˆ ˆ E (x/2 2y)i 2y j(V/m)    es conservativo, y hallar el 2a 2a a m, e  P 0     1 2 q0 S a c b A C B 348

Robotica y Cibernética 573 trabajo del campo eléctrico al trasladarse
la carga o q 20 C    desde el punto (0, 0, 0) m hasta el punto (4, 2, 0) m. (k=9109 Nm2/C2). a) 200 J b) -200 J c) 400 J d) -400 J e) 600 J Fig55 Fig56 209.En coordenadas cilíndricas la expresión de un campo eléctrico es: ˆ E (k/r)r  . Hallar el trabajo realizado por el campo eléctrico al trasladarse la carga qo =400 pC desde la distan cia "r" hasta "2r". (k=9109 Nm2/C2, usar la función ln(x)) a) 1,0 J b) 1,5 J c) 2,0 J d) 2,5 J e) 3,0 J 210.En la Fig57, el alambre muy delgado de longitud l=20 cm tiene una densidad de carga li neal uniforme de =400 pC/m. La distancia de los puntos A y B a los extremo del alam bre es d=20 cm. ¿Qué porcentaje representa el potencial eléctrico en B, respecto del poten cial en el punto A? (k=9109 Nm2/C2, usar ln(x)) a) 70,6 % b) 72,6 % c) 74,6 % d) 76,6 % e) 78,6 % 211.Se tiene un anillo muy delgado de radio R=10 cm y densidad de carga lineal uniforme de =800 pC/m. ¿En qué porcentaje cambia la densidad de energía eléctrica en un punto del eje de simetría del anillo situado a una distancia de d=10 cm de su centro, si el radio del anillo aumenta en el 1 %, al dilatarse el anillo? a) 1,19 % b) 1,29 % c) 1,39 % d) 1,49 % e) 1,59 % 212.Se tiene un anillo muy delgado de radio R=10 cm y densidad de carga lineal uniforme de =80 nC/m. Hallar la densidad de energía eléctrica máxima, en el eje de simetría del ani llo que pasa por su centro, y es perpendicular al plano que lo contiene.(m=10-3) a) 1,04 mJ b) 1,34 mJ c) 1,64 mJ d) 1,94 mJ e) 2,24 mJ 213.Se tiene un disco metálico fino de radio R=10 cm y densidad superficial de carga no uni forme dado por: =o (1-(r/R)), siendo o =800 pC/m2 y "r" la distancia radial desde el centro del disco. Hallar el potencial eléctrico en un punto situado sobre el eje de si metría perpendicular al disco a una distancia d=10 cm de su centro. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,68 V b) 2,68 V c) 4,68 V d) 6,68 V e) 8,68 V B q H R    eje 3 2 1 349

Potencial eléctrico 574 214.Se tiene una esfera hueca de radio
R=20 cm, cuyas mitades aisladas entre si, tienen den sidades de carga superficiales uniformes de =80 nC/m2. Hallar la energía contenida en la esferita concéntrica de radio r=4 m  . (k=9109 Nm2/C2) a) 1,410-20 J b) 2,410-20 J c) 4,410-20 J d) 6,410-20 J e) 8,410-20 J 215.En la Fig58, al interior de la esfera cargada de radio R=40 cm y densidad de carga volu métrica uniforme de =30 nC/m3, hay una cavidad esférica. La distancia entre los centros de la esfera 0 y la cavidad 0´ es a=30 cm. Hallar la energía eléctrica contenida en la cavidad. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 11,2 nJ b) 13,2 nJ c) 15,2 nJ d) 17,2 nJ e) 19,2 nJ Fig57 Fig58 216.En la Fig59, el filamento muy delgado de longitud l=1,20 m y densidad de carga lineal uniforme   6.10-9 C/m, pasa por un agujero muy pequeño del cascarón esférico de radio R=40 cm y densidad de carga superficial uniforme =80 nC/m2. El filamento está aislado del cascarón. Hallar la energía eléctrica del cascarón. (k=9109 Nm2/C2) a) 290,7 J  b) 292,7 J  c) 294,7 J  d) 296,7 J  e) 298,7 J  Fig59 Fig60 217.En la Fig60, la placa muy delgada en forma de un triángulo isósceles de catetos 2a=40 cm, tiene una densidad de carga superficial uniforme de =800 pC/m2. Hallar la diferen cia de potencial entre los puntos A y B (B punto medio de la hipotenusa).(k=9109 Nm2/C2, usar: ln(x)). 0 0' a  A B d 0 d   l R  0  R 2a 2a B A   350

Robotica y Cibernética 575 a) 1,05 V b) 2,05 V
c) 3,05 V d) 4,05 V e) 5,05 V 218.En la Fig.61, el filamento de longitud l=80 cm y densidad de carga lineal uniforme de =6 nC/m es tangente a la esfera hueca de radio R=40 cm y densidad de carga superficial uniforme =800 pC/m2. La esfera está aislada del filamento. ¿Qué porcentaje representa la energía eléctrica de interacción, respecto de la energía eléctrica propia de la esfera? (k=9109 Nm2/C2, usar: ln(x)). a) 1,3 % b) 3,3 % c) 5,3 % d) 7,3 % e) 9,3 % 219.Se tiene un filamento rectilíneo delgado muy largo de densidad de carga lineal uniforme =80 nC/m. Hallar la energía eléctrica por unidad de longitud (en J/m) contenida en un ci ¿lindro de radios interno a=10 cm y externo b=40 cm, y que tiene como eje de simetría el filamento. (k=9109 Nm2/C2, usar la función ln(x)) a) 19,8 b) 39,8 c) 59,8 d) 79,8 e) 99,8 220.En los vértices de un triángulo equilátero de lados a=20 cm se encuentran tres cargas e léctricas puntuales iguales a Q1 =60 C  , Q2 =80 C  y Q3 =-50 C  . Si las tres cargas se u nen entre si, y luego se ubican nuevamente en los vértices del triángulo. Hallar el au mento (A) o disminución (D) que experimenta la energía eléctrica del sistema. a) D, 220,5 J b) A, 220,5 J c) D, 222,5 J d) A, 222,5 J e) D, 224,5 J 221.En la Fig62, el disco muy delgado de radio R=20 y densidad de carga superficial unifor me de =8 nC/m2 está aislado del filamento rectilíneo de longitud l=20 cm y densidad de carga lineal uniforme =400 pC/m. Hallar la energía de interacción eléctrica entre el fila mento y el disco. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, p=10-12, usar: ln(x)). a) 1,69 nJ b) 2,69 nJ c) 4,69 nJ d) 6,69 nJ e) 8,69 nJ Fig61 Fig62 222.Se tiene una placa cuadrada muy delgada de lados l=80 cm, y densidad de carga super ficial uniforme de =80 pC/m2. Hallar el potencial eléctrico en el centro de la placa. (k= 9109 Nm2/C2) a) 1,03 V b) 2,03 V c) 3,03 V d) 4,03 V e) 5,03 V |  R 0   R  0 l 351

Potencial eléctrico 576 223.En la Fig63, con un alambre muy
delgado de longitud l=40 cm se forma la letra "L" se le suministra una densidad de carga lineal uniforme de =800 pC/m. Hallar la diferencia de potencial eléctrica entre los puntos A y B. (k=9109 Nm2/C2) a) 10,7 V b) 11,7 V c) 12,7 V d) 13,7 V e) 14,7 V Fig63 Fig64 224.En la Fig64, la placa cuadrada muy delgada de densidad de carga superficial uniforme de =800 pC/m2, presenta un agujero circular de radio R=20 cm. Hallar el potencial eléc trico en el centro 0 de la placa cuadrada ahuecada. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,1 V b) 1,4 V c) 1,7 V d) 2,0 V e) 2,3 V 225.En la Fig65, hallar el potencial eléctrico en 0, creado por la placa muy delgada en forma de sector de circulo de radio R=40 cm, y densidad de carga superficial uniforme de = 800 pC/m2. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,33 V b) 0,63 V c) 0,93 V d) 1,23 V e) 1,53 V Fig65 Fig66 226.En la Fig66, la placa cuadrada muy delgada de lado a=40 cm y densidad de carga super ficial uniforme =800 pC/m2, presenta cuatro agujeros de forma triangular. Hallar el po tencial eléctrico en el centro 0 de la placa. (k=9109 Nm2/C2) a) 4,1 V b) 5,1 V c) 6,1 V d) 7,1 V e) 8,1 V 227.Con un alambre delgado se forma un tetraedro regular de aristas a=40 cm, y se le sumi    A B 10cm 10cm 10cm 10cm R 0  a a 0    R R 0  352

Robotica y Cibernética 577 nistra una densidad de carga lineal
uniforme de =80 pC/m. Hallar el potencial eléctrico en el centro del tetraedro. (k=9109 Nm2/C2, usar: ln(x)). a) 5,1 V b) 6,1 V c) 7,1 V d) 8,1 V e) 9,1 V 228.En la Fig67, hallar el potencial eléctrico en 0, creado por la placa muy delgada de densi dad de carga superficial uniforme de =8 nC/m2, sabiendo que el lado del cuadrado es a=40 cm. (k=9109 Nm2/C2) a) 3,53 V b) 4,53 V c) 5,53 V d) 6,53 V e) 7,53 V 229.Se tiene una placa cuadrada muy delgada de lados a=40 cm y densidad de carga superfi cial uniforme igual a =800 pC/m2. Hallar la diferencia de potencial eléctrico entre el cen tro de la placa cuadrada y uno de sus vértices cualesquiera. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,1 V b) 3,1 V c) 5,1 V d) 7,1 V e) 9,1 V 230.En la Fig68, el anillo muy delgado de radio r=4 cm y densidad de carga lineal uniforme de =400 pC/m, se encuentra al interior de una esfera hueca de radio R=40 cm y densi dad de carga superficial uniforme de =8 nC/m2. Hallar la energía eléctrica de la esfera. (k=9109 Nm2/C2, =450, n=10-9) a) 2 907 nJ b) 2 917 nJ c) 2 927 nJ d) 2 937 nJ e) 2 947 nJ Fig67 Fig68 231.En la Fig69, con un alambre muy delgado de longitud l=30 cm se forma la letra "U", y se le suministra una densidad de carga lineal uniforme de =800 pC/m. Hallar la diferen cia de potencial eléctrico entre los puntos A y B. (k=9109 Nm2/C2) a) 6,4 V b) 7,4 V c) 8,4 V d) 9,4 V e) 10,4 V 232.¿Cuántas espiras circulares idénticas muy delgadas de radios R=10 cm y densidades de carga lineal uniformes de =20 pC/m deben unirse entre si aisladamente, para formar un cilindro de longitud l=40 cm, y que el potencial eléctrico en el centro de una de sus ba ses sea de V=71,1 voltios? (k=9109 Nm2/C2, usar: ln(x)). a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 140 a a 0   R   353

Potencial eléctrico 578 233.En la Fig70, la superficie cerrada de
densidad de carga superficial uniforme =800 p C/m2, está formada por los hemisferios huecos de radios R=40 cm y r=20 cm, y el disco hueco. Hallar el potencial eléctrico en el centro común 0. (k=9109Nm2/C2) a) 30,2 V b) 32,2 V c) 34,2 V d) 36,2 V e) 38,2 V Fig69 Fig70 234.En la Fig71, el alambre delgado en forma de semicircunferencia de radio R=40 cm, tie ne una densidad de carga lineal uniforme de =800 pC/m. Hallar la diferencia de poten cial eléctrica entre los puntos A y B. (k=9109 Nm2/C2) a) 5,93 V b) 6,93 V c) 7,93 V d) 8,93 V e) 9,93 V 235.En la Fig72, el alambre delgado en forma de un cuadrado de lados l=40 cm está aislada del alambre en forma de circunferencia. ¿En que razón están las densidades de cargas li neales uniformes (2 /1 =?), si el potencial eléctrico en el centro 0 es nulo? a) 1,12 b) 1,42 c) 1,72 d) 2,02 e) 2,32 Fig71 Fig72 236.En la Fig73, el alambre delgado de longitud l=40 cm en forma de semicircunferencia y circunferencia, tiene una densidad de carga lineal uniforme de =40 pC/m. Hallar el po tencial eléctrico en el punto 0, en una aproximación de O(5). (k=9109 Nm2/C2) a) 2,67 V b) 3,67 V c) 4,67 V d) 5,67 V e) 6,67 V 5cm 5cm  5cm 5cm A B R r 0   R R  A B  1 2 R 0 l l 354

Robotica y Cibernética 579 237.En la Fig74, ¿Cuántas espiras cuadradas
de alambre de densidades de carga lineal uni forme de =4 pC/m, deben colocarse en la forma mostrada, tal que, el potencial en el cen tro de masa (c.m) del sistema sea V=21,32 voltios? La longitud del lado de la espira cuadrada mas grande es l=40 cm. Las espiras están aisladas entre si. (k=9109 Nm2/C2) a) 80 b) 82 c) 84 d) 86 e) 88 Fig73 Fig74 238.En la Fig75, la placa circular muy delgada de radio R=40 cm y densidad de carga super ficial uniforme de =800 pC/m2, presenta un agujero en forma de un triangulo equilate ro. Hallar el potencial eléctrico en el centro 0 de la placa. (k=9109 Nm2/C2) a) 3,71 V b) 4,71 V c) 5,71 V d) 6,71 V e) 7,71 V 239.Se tienen un número muy grande de cascarones esféricos concéntricos de radios R, R/2, R/4,…., y densidades de cargas superficiales uniformes de =800 pC/m2. Hallar la ener gía eléctrica del cascarón esférico más grande. (k=9109 Nm2/C2, R=50 cm, n=10-9)) a) 90,7 nJ b) 92,7 nJ c) 94,7 nJ d) 96,7 nJ e) 98,7 nJ 240.En el espacio existe una distribución de carga volumétrica, cuya expresión en coordena das esféricas es: (r)=o (1-r/R) para r<R y (r)=0 para r>R, siendo o =800 pC/m3 y R=1 m constantes. Hallar la energía del campo eléctrico. (n=10-9) a) 4,09 nJ b) 4,39 nJ c) 4,69 nJ d) 4,99 nJ e) 5,29 nJ Fig75 Fig76 241.En la Fig76, la superficie lateral del conductor en forma de cono regular hueco de radio   0      l l 0  R   H R 0 V  355

Potencial eléctrico 580 R=10 cm, altura H=20 cm, tiene una
densidad de carga superficial uniforme =810-10 C/m2. Hallar el potencial eléctrico en el vértice V del cono. (k=9109 Nm2 /C2) a) 2,04 V b) 3,04 V c) 4,04 V d) 5,04 V e) 6,04 V 242.En la Fig77, las caras laterales del tetraedro regular de paredes delgadas de aristas a=50 cm, tienen densidades de carga superficial uniformes de =410-10 C/m2. Hallar el poten cial eléctrico en el vértice 0 del tetraedro. La base está descargada. (k=9109 Nm2/C2) a) 3,1 V b) 4,1 V c) 5,1 V d) 6,1 V e) 7,1 V 243.En la Fig.78, el cascarón hemisférico de paredes delgadas de radio R=40 cm, tiene una densidad de carga superficial uniforme de =810-10 C/m2. Hallar la diferencia de poten cial entre los puntos A y B. (k=9109 Nm2/C2) a) 3,5 V b) 4,5 V c) 5,5 V d) 6,5 V e) 7,5 V Fig77 Fig78 244.En la Fig78, el hemisferio compacto de radio R=40 cm, tiene una densidad de carga vo lumétrica uniforme de =810-10 C/m3. Hallar la diferencia de potencial eléctrica entre los puntos B y A. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,7 V b) 2,1 V c) 2,5 V d) 2,9 V e) 3,3 V Fig79 Fig80 245.En la Fig79, el segmento esférico hueco de paredes muy delgadas de radio R=40 cm, tie ne una densidad de carga superficial uniforme de =810-8 C/m2. ¿Para qué valor del án  0 a a a a a A B R   0 R 0 0 a a a   356

Robotica y Cibernética 581 gulo o " "  el
potencial eléctrico en 0 del segmento, es la mitad del potencial en 0 de la mi tad de un cascarón esférico de igual radio y densidad de carga superficial? a) 300 b) 370 c) 450 d) 530 e) 600 246.En la Fig80, con un alambre delgado de longitud l=1,20 m se forma un cubo, y se le su ministra una densidad de carga lineal uniforme de =810-11 C/m. Hallar el potencial eléc trico en el centro 0 del cubo. (k=9109 Nm2/C2) a) 11,08 V b) 11,38 V c) 11,68 V d) 11,98 V e) 12,28 V 247.En la Fig81, en cada uno de los vértices del cubo de lados a=20 cm se encuentran cargas puntuales iguales a Q=6C. Hallar la energía potencial eléctrica del sistema. (k=9109 Nm2/C2,   10-6 ) a) 30,9 J b) 32,9 J c) 34,9 J d) 36,9 J e) 38,9 J 248.En la Fig82, en los vértices del cuadrado de lados a=40 cm se encuentran cuatro esferi tas idénticas huecas de radios R=2 cm y cargas eléctricas Q=610-8 C, distribuidas unifor memente sobre sus superficies. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la energía eléctrica de una de las esferitas. a) 1,08 mJ b) 1,38 mJ c) 1,68 mJ d) 1,98 mJ e) 2,28 mJ II) Hallar la energía eléctrica del sistema de esferitas. a) 3,08 mJ b) 3,38 mJ c) 3,68 mJ d) 3,98 mJ e) 4,28 mJ III) ¿Qué porcentaje representa la energía eléctrica de la esferita, respecto de la energía eléc trica del sistema? a) 26,3 % b) 27,3 % c) 28,3 % d) 29,3 % e) 30 ,3 % Fig81 Fig82 249.En la Fig83, con un alambre delgado de longitud l=1,20 m se forma la estrella de seis puntas, y se le suministra una densidad de carga lineal uniforme de =810-11 C/m. Hallar el potencial eléctrico en el centro 0 de la estrella. (k=9109 Nm2/C2) a) 5,43 V b) 5,73 V c) 6,03 V d) 6,33 V e) 6,63 V Q Q Q Q Q Q Q a a a Q a a Q Q Q Q 357

Potencial eléctrico 582 250.En la Fig84. las caras del cubo
de lados a=20 cm con vértices comunes A y B tienen densidades de cargas superficiales uniformes de =810-9 C/m2. Hallar la densidad eléc trica (en J/m3) en el centro 0 del cubo. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,0 b) 1,2 c) 1,4 d) 1,6 e) 1,8 Fig83 Fig84 251.En la Fig85, la cuña dieléctrica de masa "M" y altura H=1 m descansa en el plano hori zontal liso. La superficie de la cuña, inclinada bajo el ángulo =300 respecto de la hori zontal, en su parte inferior se acopla suavemente con el plano. El bloque de masa m=200 g y carga eléctrica q=210-4 C (M=4m) llega hacia la cuña con una rapidez de v=8 m/s. en presencia del campo eléctrico uniforme E=104 N/C,y en ausencia de gravedad. I) Hallar la aceleración del cuerpo de masa m=200 g, respecto de la cuña. a) 5,08 m/s2 b) 5,28 m/s2 c) 5,48 m/s2 d) 5,68 m/s2 e) 5,88 m/s2 II) ¿A qué altura ascenderá el cuerpo de masa "m", después de desprenderse de la cuña? Des precie la fricción. a) 1,06 m b) 1,16 m c) 1,26 m d) 1,36 m e) 1,46 m 252.En la Fig86, en la cavidad esférica de radio R=25 cm se ubican las pesas de masas m= 200 g y cargas q=210-6 C unidas por la barra de peso despreciable. La fricción en la super ficie es muy pequeña, y el radio de la superficie esférica es mucho mayor que el de las pe sas. La región donde está ubicada la cavidad es ingrávida y existe un campo eléctrico uni forme de intensidad E=106 N/C. Hallar: I) La velocidad angular con la que gira la barra, en el instante en que está ha girado un ángu lo de =37º, a partir del inicio de su movimiento (=45º) a) 1 rad/s b) 2 rad/s c) 3 rad/s d) 4 rad/s e) 5 rad/s II) La razón (N1 /N2 ) de las reacciones de la superficie esférica sobre las pesas "1" y "2", en el instante que inician su movimiento. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 III) La fuerza interna en la barra, para el instante en que la barra ha girado un ángulo de =45º, a partir del inicio del movimiento.  0 a a a A  B   0 358

Robotica y Cibernética 583 a) 1 N b) 2 N
c) 3 N d) 4 N e) 5 N IV) Las fuerzas que ejercen las pesas (1) y (2) sobre la superficie esférica, en el instante que la barra ha girado un ángulo de =37º.. a) 3,7 N; 3,2 N b) 3,6 N; 3,0 N c) 3,8 N; 3,4 N d) 4,0 N; 3,0 N e) 4,8 N; 3,0 N V) El mayor ángulo de giro de la barra, para el cual, la reacción N1 en la pesa (1) es el do ble de la reacción N2 en la pesa (2). a) o 20 56' b) o 22 56' c) o 24 56' d) o 26 56' e) o 28 56' VI) El ángulo de giro de la barra, para el cual, las reacciones en las pesas (1) y (2), son igua les en módulo. a) 300 b) 370 c) 450 d) 530 e) 600 VI) Los módulos de las reacciones en las pesas (1) y (2), para el instante en que la barra es tá en posición horizontal. a) 2,0 N; 2,0 N b) 2,5 N; 2,5 N c) 2,9 N; 2,9 N d) 3,3 N; 3,3 N e) 3,7 N; 3,7 N Fig85 Fig86 253.En un átomo de hidrógeno en su estado de menor energía (también llamado estado funda mental) el electrón se mueve alrededor del protón en una órbita circular de radio igual a r=0,5310-10 m. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,610-19 C) I) Hallar la energía potencial de interacción eléctrica (en 10-18 J) entre el electrón y el nú cleo. a) 4,35 b) -4,35 c) 2,17 d) -2,17 e) 8,17 II) Hallar la energía cinética (en 10-18 J) con la que se mueve el electrón alrededor del nú cleo. a) 2,17 b) 4,17 c) 6,17 d) 8,17 e) 41,7 III) Hallar la energía total (en 10-18 J) con la que se mueve el electrón alrededor del núcleo. E 1 2 450 0 E m H v  M 359

Potencial eléctrico 584 a) 4,35 b) -4,35 c) 2,17 d)
-2,17 e) 8,17 IV) Hallar la frecuencia (en 1015 Hz)del movimiento de rotación del electrón alrededor del núcleo. a) 2,55 b) 4,55 c) 6,55 d) 8,55 e) 45,5 254.Utilizando el teorema de virial para una partícula, determinar la energía (en 10-18 J) de un electrón de carga " e"  que gira alrededor de un núcleo de carga "Ze" a una distancia "r" Aplicar al átomo de hidrógeno cuyo radio es aproximadamente r=0,5310-10 m. (k=9109 Nm2/C2) a) 4,35 b) -4,35 c) 2,17 d) -2,17 e) 8,17 255.En la Fig87, el vaso metálico cilíndrico de paredes delgadas de radio R=10 cm, altura H =40 cm, tiene una densidad de carga superficial uniforme de =810-10 C/m2. Hallar el po tencial eléctrico en el centro 0 de la base del vaso. (k=9109 Nm2/C2) a) 10 V b) 11 V c) 12 V d) 13 V e) 14 V 256.En la Fig88, las tres caras del cubo de vértice común en A, tienen densidades de carga superficiales uniformes de =810-11 C/m2, las otras tres caras están descargadas. Hallar el potencial eléctrico en A. (k=9109 Nm2/C2, a=40 cm) a) 1,12 V b) 1,32 V c) 1,52 V d) 1,82 V e) 2,02 V Fig87 Fig88 257.La parte de una esfera de radio R=50 cm que se ve desde el centro de curvatura siendo el ángulo sólido =2(1-coso ) está cargada uniformemente con una densidad superficial de =810-10 C/m2. En el eje de simetría, a una misma distancia del centro de curvatura y de la superficie cargada, está situada una carga puntual "e". Hallar la energía de interacción eléctrica de la carga "e" con la superficie cargada. (k=9109 Nm2/C2) a) 10,5e J b) 12,5e J c) 14,5e J d) 16,5e J e) 18,5e J 258.En la Fig89, el aro circular metálico muy delgado de radio R=40 cm, y sus ocho rayos delgados, tienen densidades de carga lineal uniforme de =810-11 C/m. Hallar el poten a a a A   0 B R  H 360

Robotica y Cibernética 585 cial eléctrico en el punto P,
situado a una distancia de d=40 cm del centro del aro circular. (k=9109 Nm2/C2) a) 10,0 V b) 10,2 V c) 10,4 V d) 10,6 V e) 10,8 V 259.En la Fig90, la placa metálica rectangular muy delgada de lados 2a=80 cm y 2b=60 cm, tiene una densidad de carga superficial uniforme de =810-10 C/m2. Hallar el potencial e léctrico en el centro de la placa rectangular. (k=9109 Nm2/C2) a) 13,5 V b) 14,5 V c) 15,5 V d) 16,5 V e) 17,5 V Fig89 Fig90 260.En la Fig91, el conductor hueco en forma de pirámide de base circular de radio R=50 cm y altura "R", tiene una densidad de carga superficial uniforme de =610-9 C/m2. Ha llar el potencial eléctrico en el vértice P. (k=9109 Nm2/C2) a) 10,2 V b) 10,4 V c) 10,6 V d) 10,8 V e) 11,0 V 261.En la Fig92, el cuerpo conductor en forma de un paraboloide de revolución de ecuación: 2 2 cz x y   , tiene una densidad de carga superficial =+810-10 C/m2, siendo c=H=10 cm una constante. Hallar el potencial eléctrico en el vértice 0 del paraboloide. a) 3,15 V b) 3,45 V c) 3,75 V d) 4,05 V e) 4,35 V Fig91 Fig92 262.Un sector esférico resultante de la intersección de la esfera de radio R=40 cm con una su perficie cónica, se rellena uniformemente con una carga de Q=810-10 C en todo su volu men. Hallar el trabajo que se debe hacer para trasladar una carga eléctrica puntual "e" del infinito al vértice del sector. (k=9109 Nm2/C2) P  R d  2a 2b  R R P  Y X Z 0  H 361

Potencial eléctrico 586 a) 21e J b) 23e J c)
25e J d) 27e J e) 29e J 263.La intersección de cuatro planos infinitos da como resultado un tetraedro regular de aris tas a=50 cm, los planos que forman las caras laterales del tetraedro, tienen densidades de carga superficiales uniformes de 1 =24 nC/m2 en tanto el plano horizontal de su base 2 = 6 nC/m2. Hallar la energía eléctrica contenida en el volumen del tetraedro. (k=9109 Nm2 /C2, n=10-9) a) 61,47 nJ b) 63,47 nJ c) 65,47 nJ d) 67,47 nJ e) 69,47 nJ 264.Demostrar que el potencial eléctrico en 0, creado por el alambre en forma de polígono re gular de "n" lados y densidad de carga lineal " "  , tiende al potencial eléctrico de la espi ra circular de radio "R" de densidad de carga lineal " "  , para n . Fig93 Fig94 265.En la Fig93, el alambre delgado en forma de polígono regular de n=12 lados, y la espira circular de radio R=40 cm, están aisladas y tienen densidades de carga lineal uniforme de =810-11 C/m. Hallar la diferencia de los potenciales en el centro 0, creados por el polígo no y la espira, respectivamente. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 70 mV b) 75 mV c) 80 mV d) 85 mV e) 90 mV 266.Se tiene un alambre muy delgado de longitud l=2,4 m en forma de polígono regular de n=12 lados, cuyos lados tienen densidades de carga lineal uniformes de , 2 , 3 ,…, 12 respectivamente. Hallar el potencial eléctrico en el centro del polígono regular carga do. (k=9109 Nm2/C2, =810-10 C/m) a) 291,2 V b) 293,2 V c) 295,2 V d) 297,2 V e) 299,2 V 267.En la nube electrónica de un átomo excitado de hidrógeno la densidad media de carga en coordenadas esféricas, viene dada por: =-er4e-2r/3asen2cos2/38a7, siendo "a" el radio de Bhor y "r" la distancia hasta el protón de carga "e". Hallar la energía de interacción e lectrostática entre el protón y la nube electrónica. (a=0,5310-10 m, k=9109 Nm2/C2, e= 1,610-19 C, 1 eV=1,610-19 J) a) -1,0 eV b) -1,5 eV c) -2,0 eV d) -2,5 eV e) -3,0 eV 268.Sobre el eje X, entre los puntos x1 =-l y x2 =l existe una densidad de carga lineal uniforme 0 R    H E m 362

Robotica y Cibernética 587 de =810-10 C/m. Hallar el potencial
eléctrico en el punto de coordenadas x=2l, y=z=l. (k=9109 Nm2/C2, l=20 cm). a) 3 V b) 4 V c) 5 V d) 6 V e) 7 V 269.En el eje de simetría de un cilindro hueco muy largo de radio R=50 cm y densidad de car ga superficial uniforme de =610-8 C/m2, se ubica un alambre delgado y muy largo de densidad de carga lineal uniforme de =810-9 C/m, cuyo potencial eléctrico a la distancia de d=1 m es nulo. Hallar la energía (en J/m) de interacción electrostática por unidad de longitud entre el cilindro y el alambre. (k=9109 Nm2/C2,   10-6 ) a) 14,8 b) 15,8 c) 16,8 d) 17,8 e) 18,8 270.Una burbuja de jabón de radio R=2 cm y espesor de sus paredes d=2 m está a un poten cial eléctrico de V=0,25 voltios. Hallar el potencial eléctrico de la gota esférica que resul ta de la explosión de la burbuja de jabón. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,73 V b) 2,73 V c) 3,73 V d) 4,73 V e) 5,73 V 271.La función de potencial electrostática entre dos placas paralelas muy grandes, viene da do por: V=Ax4/3+Bx+C, siendo A, B C constantes y "x" la distancia de un punto situado entre las placas a una de las placas. Hallar la densidad de carga volumétrica que genera es ta función potencial en el punto situado en x=8 m. (k=9109 Nm2/C2) a) o A/9  b) o A/9   c) o 2 A/3  d) o 2 A/3   e) o 3 A/4  272.En la Fig94, la bolita de masa m=200 g y carga eléctrica q=20 nC soltándose de una al tura de H=20 cm oscila entre los planos dieléctricos lisos inclinados =370, respecto de la horizontal. La magnitud del campo eléctrico es E=106 N/C, no hay gravedad. Hallar el pe ríodo de las oscilaciones que realiza la bolita. a) 2/3 s b) 1/2 s c) 3/4 s d) 3/2 s e) 4/3 s 273.En una demostración, un pequeño "gusano" de espuma de estireno, de masa m=0,20 g, está sobre un cascarón esférico de radio R=15 cm, parte de un generador Van de Graaff. El cascarón está a un potencial de 75 kV. Cuando el gusano adquiere una carga "Q" es re pelido por la esfera y se mueve verticalmente bajo la influencia de la gravedad y de la fuerza eléctrica. El gusano sube y llega al equilibrio a h=0,50 m arriba de la superficie de la esfera. Hallar la carga eléctrica "Q". (k=9109 Nm2/C2, k=103, n=10-9) a) 70,6 nC b) 71,6 nC c) 72,6 nC d) 73,6 nC e) 74,6 nC 274.Un núcleo de plomo es una esfera de radio R=7,110-15 m y esta uniformemente cargada con Q=82e. (k=9109 Nm2/C2, e=1,610-19 C, M=106) I) Hallar el potencial eléctrico en la superficie nuclear. a) 13,6 MV b) 14,6 MV c) 15,6 MV d) 16,6 MV e) 17,6 MV II) Hallar el potencial eléctrico en el centro del núcleo. 363

Potencial eléctrico 588 a) 22,9 MV b) 23,9 MV c)
24,9 MV d) 25,9 MV e) 26,9 MV 275.El núcleo del platino es una esfera uniformemente cargada con 78e, y tiene un radio de R=710-15 m. (k=9109 Nm2/C2, e=1,610-19 C, M=106, p=10-12) I) ¿Cuál es la energía potencial eléctrica de un protón incidente, que llega a la superficie nuclear? a) 2,17 pJ b) 2,37 pJ c) 2,57 pJ d) 2,77 pJ e) 2,97 pJ II) ¿Cuál es la energía potencial eléctrica de un protón incidente que incide en el centro nu lear? a) 1,86 pJ b) 2,86 pJ c) 3,86 pJ d) 4,86 pJ e) 5,86 pJ 276.Una partícula alfa de carga q=2e y energía cinética de To =1,710-12 J llega directamente a un núcleo de platino de carga Q=78e, desde una distancia muy grande. Considerando que la partícula alfa es un punto material y que el núcleo es una distribución esférica de radio R=5,110-15 m, y esta fijo, hallar la distancia mínima a la que puede acercarse la partícula alfa. (k=9109 Nm2/C2, e=1,610-19 C, me=9,110-31 kg, f=10-15) a) 11 fm b) 21 fm c) 31 fm d) 41 fm e) 51 fm 277.Una particular alfa de carga q=2e desde una distancia muy grande se lanza en dirección de un núcleo de plutonio de radio R=7,510-15 m, y carga Q=94e distribuida uniformemen te en el núcleo, ¿Con qué energía cinética mínima debe lanzarse la partícula alfa, para que llegue a la superficie del núcleo con rapidez nula. (k=9109 Nm2/C2, e=1,610-19 C, M= 106, p=10-12) a) 3,8 pJ b) 4,8 pJ c) 5,8 pJ d) 6,8 pJ e) 7,8 pJ 278.Ocho cargas puntuales iguales a q=8 nC, se ubican en cada uno de los vértices de un cu bo regular de lados l=20 cm. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el potencial eléctrico en el centro del cubo. a) 3,13 V b) 3,23 V c) 3,33 V d) 3,43 V e) 3,53 V II) Hallar el potencial eléctrico en el centro de una de las caras del cubo. a) 3,12 V b) 3,22 V c) 3,32 V d) 3,42 V e) 3,52 V III) Hallar el potencial en el centro de una de sus aristas. a) 3,11 V b) 3,21 V c) 3,31 V d) 3,41 V e) 3,51 V 279.Sobre el eje-y se encuentra una carga puntual positiva Q en y=D; y otra carga puntual ne gativa -2Q se encuentra en el punto x=D, y=D. I) Hallar la expresión del potencial eléctrico en puntos situados sobre el eje-x. II) Evaluar el potencial eléctrico en el punto P(0: D), para Q=510-11 C, D=10 cm. a) -5,52 V b) 5,52 V c) -5,82 V d) 5,82 V e) -6,12 V 364

Robotica y Cibernética 589 280.Tres laminas cargadas grandes son paralelas
al plano x-z. Las laminas están en y=0, y=d, y=2d; y tienen densidades de carga superficiales uniformes de +, -2 y +, respectiva mente. Si el potencial de referencia es cero en y=0. Hallar el potencial en función. 281.Un núcleo de torio emite una partícula alfa en la reacción torio radio+alfa. Supóngase que la partícula alfa es puntual, y que el núcleo de radio residual es esférico de radio R=7,410-15 m. La carga de la partícula alfa es q=2e, su masa m=6,710-27 kg, y la del nú cleo de radio es Q=88e. (k=9109 Nm2/C2, e=1,610-19 C, p=-12) I) En el instante en que la partícula alfa sale de la superficie nuclear, ¿Cuál es su energía po tencial electrostática? a) 2,5 pJ b) 3,5 pJ c) 4,5 pJ d) 5,5 pJ e) 6,5 pJ II) Si la partícula alfa no tiene energía cinética inicial, ¿Cuál su rapidez cuando este lejos del núcleo? Supóngase que el núcleo de radio no se mueve. a) 2,1107 m/s b) 3,1107 m/s c) 4,1107 m/s d) 5,1107 m/s e) 6,1107 m/s 282.En la Fig95, en un átomo de helio, en cierto instante uno de los electrones está a 310-11 m del núcleo, y el otro a 2,010-11 m, a 90º del primero. Hallar el potencial eléctrico produ cido por los dos electrones y por el núcleo, en un punto P atrás del primer electrón y a 6,010-11 m del núcleo. (k=9109 Nm2/C2, e=1,610-19 C) a) -21 V b) -22 V c) -23 V d) -24 V e) -25 V Fig95 Fig96 283.En la Fig96, el dispositivo eléctrico esta formado por una esfera hueca de paredes muy delgada de radio R=10 cm, densidad de carga superficial uniforme =5 nC/m2, y una vari lla muy delgada de longitud l=10 cm, densidad de carga lineal uniforme =8 nC/m. Ha llar el potencial eléctrico en el centro 0 de la esfera. (k=9109 Nm2/C2, n= 10-9). a) 106,06 V b) 106,26 V c) 106,46 V d) 106,66 V e) 106,86 V 284.Una esfera compacta de plástico de radio a=10 cm, carga Q=8 nC distribuida uniforme mente en su volumen, está rodeada por un cascarón esférico concéntrico de radios interno b=20 cm, externo c=21 cm, carga Q=-8 nC uniformemente distribuida en su volumen. (k= 9109 Nm2/C2, n=10-9) -e -e 3.10-11m 6.10-11m 2.10-11m  P +2e R l   0 365

Potencial eléctrico 590 I) Hallar el potencial eléctrico en r=c.
a) 0 V b) 2,45 V c) 4,56 V d) 6,42 V e) 8,12 V II) Hallar el potencial eléctrico en r=b. a) 8,05 V b) 8,25 V c) 8,45 V d) 8,65 V e) 8,85 V III) Hallar el potencial eléctrico en r=a. a) 360,85 V b) 362,85 V c) 364,85 V d) 366,85 V e) 368,85 V IV) Hallar el potencial eléctrico en el centro de la esfera r=0. a) 720,85 V b) 722,85 V c) 724,85 V d) 726,85 V e) 728,85 V 285.En la Fig97, las cuatro varillas delgadas de longitud l=10 cm, tienen densidad de carga u niforme de =8 nC/m. Hallar el potencial eléctrico en el punto P, situado a la distancia d=10 cm del vértice del cuadrado. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 180,5 V b) 182,5 V c) 184,5 V d) 186,5 V e) 188,5 V 286.En la Fig98, dos varillas en forma de semicircunferencias de radio R1 =10 cm, R2 =20 cm y dos varillas rectas y cortas están unidas formando la configuración mostrada. Las vari llas tienen una densidad de carga lineal uniforme =8 pC/m. Hallar el potencial eléctrico en el centro 0 de la configuración. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12, n=10-9) a) 1,43 V b) 1,53 V c) 1,63 V d) 1,73 V e) 1,83 V Fig97 Fig98 287.Un tubo de plástico muy largo tiene radio interior a=1 cm, exterior b=2 cm y densidad de carga volumétrica uniforme de =5 nC/m. Hallar la diferencia de potencial eléctrico en tre las superficies cilíndricas r=b y r=a. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 24,2 V b) -24,2 V c) 24,4 V d) -24,4 V e) 24,8 V 288.Se tiene una esfera de plástico compacto de radio R=20 cm, carga Q=8 nC distribuido u niformemente en su volumen. ¿A qué distancia del centro de la esfera el potencial eléctri co es el 80 % del potencial eléctrico en el centro de la esfera? (k=9109 Nm2/C2) l l P d   0 R1 R2 366

Robotica y Cibernética 591 a) 15,09 cm b) 15,29 cm
c) 15,49 cm d) 15,69 cm e) 15,89 cm 289.Una distribución de cargas con simetría esférica de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga volumétrica de carga no uniforme dada por: =.r-5/2, siendo " "  una constante. Hallar el potencial eléctrico a la distancia r=10 cm, del centro de la distribución. (k=9109 Nm2/C2) a) 8,18 b) 8,38 c) 8,58 d) 8,78 e) 8,98 290.Tres varillas delgadas de vidrio de longitud l=20 cm, tienen cargas eléctricas Q1 =2 nC, Q2 =4 nC y Q3 =6 nC, distribuidas uniformemente en sus longitudes. Las varillas forman los lados de un triángulo equilátero. Hallar el potencial electrostático en el centro de ese triángulo? (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 1,22 V b) 1,32 V c) 1,42 V d) 1,52 V e) 1,62 V 291.Una carga puntual "Q" se encuentra en el eje z positivo en el punto z=b, otra carga pun tual –RQ/b (siendo "R" una longitud 0<R<b) está en el eje z, en el punto z=R2/b. Probar que la super ficie de la esfera de radio "R", que rodea el origen 0, es una superficie equi potencial. 292.Dos láminas planas paralelas, grandes, tienen densidades de carga superficial uniformes y opuestas, =5 nC/m2, y están separadas a una distancia d=6 cm. Hay una losa conduc tora grande, sin carga, de espesor d/3, paralela a las placas y centrada entre ellas. Tome co mo potencial de referencia en y=0, Vo =0, en la lámina negativa. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial electrostático a la distancia d=1 cm, de la lámina negativa. a) 11,1 V b) 11,3 V c) 11,5 V d) 11,7 V e) 11,9 V II) Hallar el potencial electrostático a la distancia d=3 cm, de la lámina negativa. a) 22,02 V b) 22,22 V c) 22,42 V d) 22,62 V e) 22,82 V III) Hallar el potencial electrostático a la distancia d=5 cm, de la lámina negativa. a) 33,13 V b) 33,33 V c) 33,53 V d) 33,73 V e) 33,93 V 293.Una carga puntual Q=-20 pC está en el centro de un cascarón esférico conductor, grueso de radios interior a=10 cm, exterior b=12 cm. El cascarón tiene una carga neta de Q=+60 pC. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Hallar el potencial eléctrico en r=13 cm. a) 2,17 V b) 2,37 V c) 2,57 V d) 2,77 V e) 2,97 V II) Hallar el potencial eléctrico en r=11 cm. a) 2,6 V b) 2,8 V c) 3,0 V d) 3,2 V e) 3,4 V III) Hallar el potencial eléctrico en r=9 cm 367

Potencial eléctrico 592 a) 2,6 V b) 2,8 V c)
3,0 V d) 3,2 V e) 3,4 V IV) Trazar la gráfica del potencial eléctrico "V" en función de la distancia radial "r". 294.En cierta región R del espacio, el potencial eléctrico en función de las coordenadas espa ciales, x, y viene dado por: V(x; y)=x2+2xy, donde "x", "y" está en metros, y "V" en vol tios. Hallar el vector campo eléctrico en el punto P(2; 2) m. (k=9109 Nm2/C2) a) -8 i -4 j V/m b) -8 i +4 j V/m c) +8 i -4 j V/m d) 8 i +4 j V/m e) -4 i +8 j V/m 295.Se tiene una varilla delgada de longitud " ", con densidad de carga lineal uniforme " "  . I) A partir del potencial eléctrico en un punto P, situado en la línea que pasa por la varilla, a una distancia "x" de su extremo; determinar el vector campo eléctrico en dicho punto. II) Evaluar el vector campo eléctrico, para x=l/2, utilizando la expresión obtenida en I). a) k/3l i b) 2k/3l i c) 3k/2l i d) 3k/4l i e) 4k/3l i 296.Integrando la expresión del campo eléctrico, demostrar que el potencial eléctrico al inte rior de una esfera compacta de radio "R", y densidad de carga volumétrica uniforme " "  , viene dado por: V=(3R2-r2)/6o , donde "r" es la distancia radial. 297.En cierta región R del espacio el potencial electrostático, viene dado por: V=x2y+3xyz+ zy2. Hallar el campo eléctrico en esa región, y evaluar este campo en el punto P(1; 1; 1)m. a) -5 i -6 j -4 k b) -5 i +6 j -4 k c) -5 i -6 j +4 k d) +5 i -6 j -4 k e) -5 i +6 j +4 k 298.El potencial eléctrico en cierta región R del espacio, viene dado por: V=Vo cos(2x/a) cos(2y/b).cos(2z/c) siendo Vo =1 voltio y "a", "b", "c" constantes. I) Hallar las componentes del campo eléctrico en las direcciones de los ejes x, y y z. II) Evaluar el campo eléctrico en x=a/8, y=b/8, z=c/8, con a=10 cm, b=20 cm, c=40 cm. a) 21,45 V/m b) 22,45 V/m c) 23,45 V/m d) 24,45 V/m e) 25,45 V/m 299.En la Fig.99, las varillas de longitudes iguales a l=10 cm, y cargas eléctricas Q=80 pC distribuidas uniformemente en sus longitudes, forman un ángulo recto. Hallar el potencial eléctrico en el punto P, situado a una distancia x=10 cm del extremo de la varilla horizon tal. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3, p=10-12) a) 250 mV b) 260 mV c) 270 mV d) 280 mV e) 190 mV 300.En la Fig100, cada uno de los octantes idénticos de la esfera hueca de paredes muy del gadas de radio R=10 cm, tienen densidades de carga superficiales uniformes iguales a: 1 nC/m2, 2 nC/m2 ,…,8 nC/m2, respectivamente. Hallar el potencial eléctrico en el centro 0 de la esfera hueca. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 50,09 V b) 50,29 V c) 50,49 V d) 50,69 V e) 50,89 V 368

Robotica y Cibernética 593 Fig99 Fig100 301.En la Fig101, se
muestra las posiciones que ocupan los electrones y el núcleo de un áto mo de helio, en cierto instante. Hallar la energía potencial eléctrica de este sistema de car gas. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,610-19 C, d=210-11 m, 1 eV=1,610-19 joules) a) +252 eV b) -252 V c) +272 V d) -272 V e) +292 V 302.En la Fig102, el dispositivo eléctrico esta constituido por filamentos muy delgados de densidad de carga lineal =50 pC/m. Hallar el potencial eléctrico en el centro 0. (k=9109 Nm2/C2, a=10 cm, b=20 cm, p=10-12, usar: ln(x)) a) 6,1 V b) 6,3 V c) 6,5 V d) 6,7 V e) 6,9 V Fig101 Fig102 303.Dos placas paralelas conductoras muy grandes de áreas A=0,20 m2 están separadas por u na distancia de d=0,50 mm. Las placas tienen cargas opuestas de magnitudes iguales, y el campo eléctrico entre ellas es de E=5105 V/m. Hallar la energía eléctrica del sistema. (k= 9109 Nm2/C2, =10-6) a) 95,5 J b) 96,5 J c) 97,5 J d) 98,5 J e) 99,5 J 304.Un par de placas conductoras paralelas cuadradas, de lados l=30 cm, están separadas por una distancia d=1,0 mm, Cuánto trabajo debe hacerse contra las fuerzas eléctricas para car P x +Q -Q l z x y 0 0 b a  d d -e -e +2e núcleo 369

Potencial eléctrico 594 gar las placas con cargas de Q=1,0
C. (k=9109 Nm2/C2, k=103, =10-6) a) 608 J b) 628 J c) 648 J d) 668 J e) 688 J 305.Una moneda está colgada de un hilo de seda, al interior de un envase cerrado metálico co locado en el suelo. Si la moneda tiene una carga de Q=2 C, y la diferencia de potencial entre el envase y la moneda es de V=3104 V. Hallar la energía potencial eléctrica de es te sistema de dos conductores. (k=9109 Nm2/C2, =10-6, m=10-3) a) 10 mJ b) 20 mJ c) 30 mJ d) 40 mJ e) 50 mJ 306.Cerca de la superficie del núcleo de átomo de plomo, el campo eléctrico es E=3,41021 V/m. Hallar la densidad de energía (en J/m3) de este campo eléctrico. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,11031 b) 3,11031 c) 5,11031 d) 7,11031 e) 9,11031 307.La magnitud del campo eléctrico atmosférico cerca de la superficie del suelo es aproxi madamente E=100 V/m. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, G=109) I) Hallar la densidad de energía de este campo eléctrico atmosférico. a) 40 nJ/m3 b) 42 nJ/m3 c) 44 nJ/m3 d) 46 nJ/m3 e) 48 nJ/m3 II) Asumiendo que el campo eléctrico es uniforme hasta 10 km por encima del suelo, hallar la energía potencial eléctrica total correspondiente. a) 205 GJ b) 225 GJ c) 245 GJ d) 265 GJ e) 285 GJ 308.En los vértices de un hexágono regular de lados a=10 cm, se ubican alternadamente car gas puntuales Q=+4 nC y Q=-4 nC. Hallar la energía potencial electrostática de este siste ma de seis cargas. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, =10-6) a) -4,6 J b) +4,6 J c) -6,6 J d) +6,6 J e) -8,6 J 309.En la Fig103, cuatro cargas positivas Q=+4 nC, y cuatro cargas negativas Q=-4 nC se encuentran en los vértices cubo regular de lados a=10 cm. Hallar la energía eléctrica de este sistema de cargas. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, =10-6) a) -8,0 J b) +8,0 J c) -8,4 J d) +8,4 J e) -8,8 J 310.En la Fig104, las tres partículas alfa " "  que forman el núcleo de 12C, se encuentran en los vértices del triángulo equilátero de lados a=310-15 m. Hallar la energía potencial eléc trica de este sistema de cargas. (k=9109 Nm2/C2, 1 eV=1,610-19 J) a) 5,15 MeV b) 5,35 MeV c) 5,55 MeV d) 5,75 MeV e) 5,95 MeV 311.En el modelo de Thomson para el átomo de helio. La separación de equilibrio entre los e lectrones es d=510-11 m. Hallar la energía eléctrica de esta configuración. Debe conside rarse, por un lado, la energía eléctrica entre cada electrón y la carga positiva +2e de la nu be, y por el otro, la energía eléctrica entre los dos electrones. No considerar la energía pro 370

Robotica y Cibernética 595 pia de la nube de radio
R=510-11 m. (k=9109 Nm2/C2, 1 eV=1,610-19 J) a) -121,6 eV b) -123,6 eV c) -125,6 eV d) -127,6 eV e) -129,6 eV Fig103 Fig104 312.Puede suministrarse una carga de Q=7,5 C a una esfera metálica de radio R=15 cm, sin que el radio que lo rodea experimente rompimiento eléctrico. Hallar la energía eléctrica de esta esfera. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 1,09 J b) 1,29 J c) 1,49 J d) 1,69 J e) 1,89 J 313.Una esfera de radio a=10 cm tiene una carga de Q=6 C uniformemente distribuida en su volumen. A la esfera le rodea un cascarón conductor delgado de radio b=20 cm, y car ga q=-6 C en su superficie interna, y no tiene carga en su superficie externa. Hallar la e léctrica de este sistema de cargas. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 1,0 J b) 1,5 J c) 2,0 J d) 2,5 J e) 3,0 J 314.Una carga puntual de q=4 nC se encuentra en el centro de un anillo de espesor desprecia ble de radios interno a=10 cm, externo b=20 cm, y densidad de carga superficial uniforme =80 pC/m2. Hallar la energía potencial eléctrica de interacción carga-anillo. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, p=10-12) a) 1,8 nJ b) 2,8 nJ c) 3,8 nJ d) 4,8 nJ e) 5,8 nJ 315.Supóngase que un electrón es una esfera conductora de radio "R", con carga "e" distri buida uniformemente en su superficie, y masa "m". ¿Para qué valor del radio "R" la ener gía eléctrica es igual a la energía de la masa en reposo 2 "mc ", del electrón. (k=9109 Nm2/C2, e=1,610-19 C, m=9,1110-31 kg, c=3108 m/s, f=10-15) a) 1,41 fm b) 2,41 fm c) 3,41 fm d) 4,41 fm e) 5,41 fm 316.Un disco muy delgado de radio R=10 cm se divide en n=50 sectores circulares idénticos, y a cada uno de ellos se suministra densidades de carga de 10 pC/m2,…,500 pC/m2, res pectivamente. Hallar el potencial eléctrico en el centro del disco. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,04 V b) 1,24 V c) 1,44 V d) 1,64 V e) 1,84 V a -Q +Q -Q +Q +Q +Q -Q -Q +2e +2e +2e a a 60o a 371

Potencial eléctrico 596 317.Una esfera de plástico de radio "R"
tiene una carga de "Q", distribuida uniformemente en su volumen. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, =10-6) I) Demostrar que la energía potencial eléctrica de esta esfera es: U=3kQ2/5R. II) Evaluar la energía potencial eléctrica para R=10 cm, y Q=8 nC. a) 1,46 J b) 2,46 J c) 3,46 J d) 4,46 J e) 5,46 J 318.Una esfera no conductora compacta de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga volu métrica no uniforme, dada por: =-8 nC/m3, para 0 r 10 cm, y =4 nC/m3, para 10 cm r 20 cm. Hallar la energía eléctrica de la esfera. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) +844 nJ b) -844 nJ c) +864 nJ d) -864 nJ e) +884 nJ 319.Los núcleos de 235Pu, 235Np, 235U y 235Pa tienen todos el mismo radio, aproximadamente 7,410-15 m, pero sus cargas eléctricas son: 94e, 93e, 92e y 91e, respectivamente. Hallar la energía eléctrica (en eV) de cada de estos núcleos, considerando que estas son esferas uni formemente cargadas. (k=9109 Nm2/C2, 1 eV=1,610-19 J, e=-1,610-19 C) 320.Una esfera maciza de cobre, de radio a=10 cm y de carga eléctrica Q=1,0 C, se coloca en el centro de un cascarón esférico delgado de cobre, de radio b=20 cm y carga eléctrica q=-1,0 C. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, =10-6, m=10-3) I) Demostrar que la densidad de energía del campo eléctrico, viene dado por: u=o E2/2. II) Hallar la energía eléctrica total. a) 20,5 mJ b) 21,5 mJ c) 22,5 mJ d) 23,5 mJ e) 24,5 mJ 321.Una carga puntual positiva "q" con masa "m" se libera a una distancia "d" de una carga puntual positiva "Q".¿Con qué rapidez se mueve la carga "q", cuando la distancia ha au mentado hasta tres veces el valor inicial.(k=9109 Nm2/C2, q=1,610-19, Q=95e, d=2 mm, m=9,110-31 kg, k=103) a) 1 km/s b) 2 km/s c) 3 km/s d) 4 km/s e) 5 km/s 322.Supóngase que el campo eléctrico tiene una componente en la dirección del eje-x, cuya expresión viene dado por: E(x, y)=6x2y, donde el campo eléctrico está expresado en vol tios por metro (V/m), y las distancias en metros (m). Hallar la diferencia de potencial en tre el origen 0 y el punto P de coordenada x=3 m, en el eje x. a) 0 V b) 1 V c) 2 V d) 3 V e) 4 V 323.Un alambre recto y largo de radio a=0,8 mm está rodeado por un cascarón conductor con céntrico de radio b=1,2 cm. El alambre tiene una carga de -5,510-8 coulomb por metro de longitud. Se libera un electrón en la superficie del alambre.¿Con qué rapidez llega el elec trón a la superficie del cascarón? (k=9109 Nm2/C2, e=-1,610-19 C, m=9,1110-31 kg) a) 1,1107 m/s b) 3,1107 m/s c) 5,1107 m/s d) 7,1107 m/s e) 9,1107 m/s 324.Un disco muy delgado de radio b=10 cm, y densidad de carga superficial uniforme =5 372

Robotica y Cibernética 597 nC/m2, presenta un agujero concéntrico de
radio a=5 cm. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el potencial eléctrico en un punto P situado en el eje de simetría del disco, a una dis tancia d=5 cm, de su centro. a) 11,02 V b) 11,22 V c) 11,42 V d) 11,62 V e) 11,82 V II) Hallar el potencial eléctrico en el centro del disco agujereado. a) 14,14 V b) 14,34 V c) 14,54 V d) 14,74 V e) 14,94 V III) ¿Qué porcentaje representa el potencial en el punto P, respecto del potencial en el centro? a) 82,18 % b) 82,38 % c) 82,58 % d) 82,78 % e) 82,98 % 325.Se tiene un disco muy delgado de radio R=20 cm, con densidad de carga superficial uni forme de =4 nC/m2. Hallar el trabajo que debe hacerse para trasladar lentamente una car ga puntual qo =2 nC desde el borde del disco hasta su centro. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 81,2 nJ b) 82,2 nJ c) 83,2 nJ d) 84,2 nJ e) 85,2 nJ 326.Dos varillas delgadas de longitud l=10 cm de cargas iguales a Q=4 nC, distribuidas uni formemente en sus longitudes, están alineadas, y sus extremos más cercanos están separa dos por una distancia d=5 cm. Hallar la energía potencial de interacción eléctrica entre las varillas. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 10,08 nJ b) 10,28 nJ c) 10,48 nJ d) 10,68 nJ e) 10,88 nJ 327.Un método para determinar los radios de los núcleos es mediante la diferencia conocida de la energía eléctrica entre dos núcleos del mismo tamaño pero diferente carga. Por ejem plo, los núcleos 15O y 15N tienen el mismo tamaño, pero sus cargas respectivas son 8e y 7e. Si esa diferencia de energía eléctrica es de 3,7106 eV,¿Cuál es el radio nuclear? (k= 9109 Nm2/C2, fm=10-15, 1 eV=1,610-19 J, e=1,610-19 C) a) 1,5 fm b) 3,5 fm c) 5,5 fm d) 7,5 fm e) 9,5 fm 328.Un cascarón esférico de radio interior a=10 cm y exterior b=20 cm, tiene una carga Q=5 nC uniformemente distribuida en su volumen.¿Cuál es la energía eléctrica de esta distribu ción de cargas? (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, =10-6) a) 0,154 J b) 0,254 J c) 0,454 J d) 0,654 J e) 0,854 J 329.En la Fig105, se muestra el borde de una hoja "inf inita" de densidad de carga superfi cial uniforme " "   . I) ¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico de la hoja a medida que una pequeña carga po sitiva de prueba o "q " es desplazada de una posición inicial en la hoja a una posición final situada a una distancia perpendicular "z" de ella? II) Utilice el resultado de I) para demostrar que el potencial eléctrico de una hoja infinita de carga puede escribirse como: V=Vo -(/2o )z, donde o "V " es el potencial en la superficie de la hoja. 373

Potencial eléctrico 598 III) ¿A qué distancia de la hoja
cargada, su potencial eléctrico se anula? Fig105 Fig06 330.En la Fig106, la carga puntual q1 =+6e está fija en el origen de un sistema coordenado rectangular, y la carga puntual q2 =-10e está fija en x=9,60 nm, y=0. Con V=0 en el infini to, el sitio de todos los puntos en el plano xy con V=0 es una circunferencia con centro en el eje-x. I) Determine la posición del centro de la circunferencia c "x ". II) Determine el radio "R" de la circunferencia. III) ¿Es también una circunferencia el equipotencial V=5 voltios? 331.Sobre un anillo no conductor circular y plano de radios interno "a", externo "b" se distri buye una cantidad total de carga positiva "Q", con una densidad de carga superficial, da do por: =k/r3, donde "r" es la distancia del centro del anillo a un punto cualquiera de él. Demostrar que (con V=0 en el infinito) el potencial en el centro está dado por: V=kQ (a+b)/2a.b. 332.Hallar la velocidad de escape de un electrón en la superficie de una esfera uniformemen te cargada, de radio R=1,22 cm, y con una carga total de Q=1,7610-15 C. Despreciar la fuerza gravitacional, por ser muy pequeña. (k=9109 Nm2/C2, me =9,1110-31 kg, k=103, e=-1,610-19 C) a) 21,3 km/s b) 22,3 km/s c) 23,3 km/s d) 24,3 km/s e) 25,3 km/s 333.¿A qué distancia en el eje de un disco cargado de radio R=0,866 m es la magnitud del campo eléctrico igual a la mitad del valor del campo en la superficie del disco en el cen tro? (k=9109 Nm2/C2, =8 nC/m2, n=10-9) a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm 334.Demostrar que las energías potenciales de interacción eléctrica de un disco muy delgado de radio "R", densidad de carga superficial uniforme " "  , y una carga puntual "q", situa do en el eje de simetría del disco (perpendicular al disco y pasa por su centro), son igua les. 335.En la Fig107, la varilla muy delgada de longitud l=20 cm, densidad de carga lineal no u niforme =x, con =2 nC/m2 una constante, se encuentra sobre el eje-x. z qo  V=0 y xc R q1 q2 x d 374

Robotica y Cibernética 599 I) Hallar el potencial eléctrico en
el punto P, situado sobre el eje-y a la distancia d=10 cm del origen de coordenadas. a) 2,02 V b) 2,22 V c) 2,42 V d) 2,62 V e) 2,82 V II) Hallar la componente y "E " del campo eléctrico en la dirección del eje-y, en el punto P. a) 9,15 V b) 9,35 V c) 9,55 V d) 9,75 V e) 9,95 V III) ¿A qué distancia de la varilla en el eje-y el potencial eléctrico es igual a la mitad del valor en el extremo izquierdo de ella? a) 12 cm b) 13 cm c) 14 cm d) 15 cm e) 16 cm IV) ¿Por qué, la componente x "E " del campo eléctrico en la dirección del eje-x, en el punto P no puede obtenerse mediante el resultado del inciso I). 336.En la Fig108, el valor de las cargas puntuales es, q=4 nC, y las distancias son: a=10 cm, d=5 cm. Hallar la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B. a) 220 V b) 225 V c) 230 V d) 235 V e) 240 V Fig107 Fig108 337.En el espacio entre los conductores interior y exterior de una larga estructura cilíndrica coaxial está lleno con una nube de electrones cuya densidad volumétrica de carga es v = A/r para a<r<b, donde a=10 cm, b=20 cm son los radios de los conductores interior y exte rior, respectivamente. El conductor interior se mantiene a un potencial Vo =40 voltios y el conductor exterior está puesto a tierra. Hallar la diferencia de potencial en la región a<r<b resolviendo la ecuación de Poisson. 338.Si el espacio entre los conductores interior y exterior de la estructura coaxial del proble ma anterior es el espacio libre. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la expresión del potencial "V(r)" en la región a<r<b, resolviendo la ecuación de Laplace, y evaluar en r=15 cm. a) 8,1 V b) 8,3 V c) 8,5 V d) 8,7 V e) 8,9 V II) Hallar las densidad de carga en la superficie del cilindro interno. y x l P  y 0 =x +q A a -q B a d 375

Potencial eléctrico 600 a) 2,15 nC/m2 b) 2,35 nC/m2 c)
2,55 nC/m2 d) 2,75 nC/m2 e) 2,95 nC/m2 III) Hallar la densidad de carga en la superficie del cilindro externo. a) 1,08 nC/m2 b) 1,28 nC/m2 c) 1,48 nC/m2 d) 1,68 nC/m2 e) 1,88 nC/m2 339.Se tiene un condensador de placas planas paralelas, separadas por una distancia d=50 mm. (k=9109 Nm2/C2, k=103) I) Hallar el voltaje de ruptura del condensador si el espacio entre las placas es aire. a) 110 kV b) 120 kV c) 130 kV d) 140 kV e) 150 kV II) Hallar el voltaje de ruptura del condensador si el espacio entre las placas es plexiglás de constante dieléctrica 3 y rigidez dieléctrica de 20 kV/mm. a) 10105 V b) 20105 V c) 30105 V d) 40105 V e) 50105 V III) Si se introduce una lámina de plexiglás de 10 mm de espesor, ¿Cuál es el voltaje máximo que puede aplicarse a las placas sin llegar a la ruptura? a) 1,1105 V b) 1,2105 V c) 1,3105 V d) 1,4105 V e) 1,5105 V 340.En la Fig109, al moverse desde A hasta B a lo largo de una línea de un campo eléctrico, éste realiza un trabajo de W=3,9410-19 J sobre un electrón de carga q=-1,610-19 C en el campo eléctrico mostrado. (S.E.= superficie equipotencial) I) Hallar la diferencia de potencial eléctrico VB - VA . a) -2,06 V b) +2,06 V c) -2,46 V d) +2,46 V e) -2,86 V II) Hallar la diferencia de potencial eléctrico VC - VA . a) -2,06 V b) +2,06 V c) -2,46 V d) +2,46 V e) -2,86 V III) Hallar la diferencia de potencial eléctrico VC - VB . a) 0 V b) 1 V c) 2 V d) 3 V e) 4 V 341.En la Fig110, en los vértices del rectángulos de lados a=5 m, b=15 cm se encuentra las cargas puntuales q1 =-5 C, q2 =+2 C. (k=9109 Nm2/C2, =10-6, k=103) I) Hallar la diferencia de potencial de los vértices A y B, VA -VB . a) 800 kV b) 810 kV c) 820 kV d) 830 kV e) 840 kV II) ¿Cuánto trabajo externo se requiere para mover a una tercera carga q3 =+3 C desde B has ta A a lo largo de una diagonal del rectángulo? a) 1,0 J b) 1,5 J c) 2,0 J d) 2,5 J e) 3,0 J III) En este proceso, ¿se convierte el trabajo externo en energía potencial electrostática o vice versa¿ Explique. 376

Robotica y Cibernética 601 Fig109 Fig110 342.En un relámpago típico
la diferencia de potencial entre los puntos de la descarga es de al rededor de V=1,0109 V y la cantidad de energía transferida es de unos Q=30 C. (G=109, LF =3,33105 J/kg, e=-1,610-19 C, m=9,110-31 kg) I) ¿Cuánta energía se libera? a) 10 GJ b) 20 GJ c) 30 GJ d) 40 GJ e) 50 GJ II) Si toda la energía liberada pudiera emplearse para acelerar un automóvil de masa=1 200 kg desde el reposo,¿Cuál sería su rapidez final?. a) 7,1 km/s b) 7,3 km/s c) 7,5 km/s d) 7,7 km/s e) 7,9 km/s III) Si pudiera emplearse para fundir hielo,¿Cuánto hielo fundiría a 0o C? a) 90,1103 kg b) 90,3103 kg c) 90,5103 kg d) 90,7103 kg e) 90,9103 kg 343.Una partícula de carga q=3,1 C se mantiene en una posición fija en un punto P y una se gunda partícula de masa m=1810-3 g, que tiene la misma carga "q", se mantiene inicial mente en reposo a una distancia r1 =0,90 mm de P. Luego, se suelta la segunda partícula y es repelida por la primera. Hallar su rapidez en el instante en que se encuentre a una dis tancia r2 =2,5 mm de P. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 2,0 km/s b) 2,2 km/s c) 2,4 km/s d) 2,6 km/s e) 2,8 km/s 344.Suponga que una carga " Q"  tiene una posición fija en P. Una segunda partícula de ma sa "m" y carga " q"  se mueve a la rapidez constante en una circunferencia de radio 1 "r " centrado en P. Encontrar una expresión para el trabajo "W" que un agente externo debe realizar sobre la segunda partícula a fin de aumentar el radio de la circunferencia de movi miento hasta 2 "r ". 345.Tres cargas de q=+122 mC cada una están colocadas en las esquinas de un triángulo equi látero de lados l=1,72 m. Si se abastece energía a razón de 831 W,¿Cuántos días se necesi tarían para mover a una de las cargas al punto medio de la arista que une a las otras dos cargas? (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 2,16 días b) 2,36 días c) 2,56 días d) 2,76 días e) 2,96 días B A C  E S.E . a b -q1 B +q2 A 377

Potencial eléctrico 602 346.Una lámina muy grande (infinita) tiene una
densidad de carga superficial uniforme de =0,12 C/m2.¿Cuál es la separación entre las superficies equipotenciales cuyos potencia les se diferencian en 48 voltios? (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 7,07 mm b) 7,27 mm c) 7,47 mm d) 7,67 mm e) 7,87 mm 347.Dos placas conductoras paralelas grandes están separadas por una distancia de d=12 cm y tienen cargas iguales pero opuestas sobre las superficies que están encaradas. Un elec trón situado a medio camino entre las dos placas experimenta una fuerza de F=3,910-15 N. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,610-19 C) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en la posición de electrón. a) 24,0 kN/C b) 24,2 kN/C c) 24,4 kN/C d) 24,6 kN/C e) 24,8 kN/C II) Hallar la diferencia de potencial entre las placas. a) 2 910 V b) 2 920 V c) 2 930 V d) 2 940 V e) 2 950 V 348.Cuando un vehiculo espacial se mueve a través del gas ionizado diluido de la ionosfera de la Tierra, su potencial cambia típicamente en -1,0 voltios antes de completar una revo lución. Si se supone que el vehiculo es una esfera de radio R=10 m. Hallar aproximada mente la cantidad de carga recoge. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) +1,1 nC b) -1,1 nC c) +5,1 nC d) -5,1 nC e) +9,1 nC 349.En el modelo de quark de las partículas fundamentales, el protón está compuesto de tres quarks "arriba", cada uno de ellos con una carga de +2e/3, y un quark "abajo" con una carga de –e/3. Supóngase que los tres quarks están equidistantes entre sí. Considere que la distancia es de 1,3210-15 m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la energía potencial de la interacción entre los dos quarks "arriba". a) 480 keV b) 482 keV c) 484 keV d) 486 keV e) 488 keV II) Hallar la energía potencial eléctrica total del sistema. a) 0 keV b) 1 keV c) 2 keV d) 3 keV e) 4 keV 350.En la Fig111, las cargas puntuales q1 =+25,5 nC, q2 =+17,2 nC y q3 =-19,2 nC están fijas en el espacio separadas por las distancia a=14,6 cm, y "x". ¿Para que valor de la distancia "x" la energía potencial eléctrica del sistema de tres cargas es nulo? (k=9109 Nm2/C2) a) 20,5 cm b) 21,5 cm c) 22,5 cm d) 23,5 cm e) 24,5 cm 351.En la Fig112, se muestra el núcleo idealizado 238U (Z=92) a punto de experimentar una fisión nuclear. Suponga que tienen el mismo tamaño y carga., que son esféricos y que ape nas se tocan. El radio del núcleo inicialmente esférico 238U es 8,0 fm. Suponga que el ma terial que sale de los núcleos presenta una densidad constante. (k=9109 Nm2/C2, f=10-15) I) Hallar la magnitud de la fuerza de repulsión que opera en cada fragmento. 378

Robotica y Cibernética 603 a) 1 kN b) 2 kN
c) 3 kN d) 4 kN e) 5 kN II) La energía potencial eléctrica mutua de los dos fragmentos. a) 210 MeV b) 220 MeV c) 230 MeV d) 240 MeV e) 250 MeV Fig111 Fig112 352.Dos superficies conductoras paralelas y planas separadas por una distancia d=1,0 cm tie nen una diferencia de potencial de V=10,3 kV. Se lanza un electrón de una placa hacia la otra.¿Cuál es la rapidez inicial del electrón si se detiene exactamente en la superficie de está última?. Desprecie los efectos relativistas. (k=9109 Nm2/C2, e=-1,6010-19 C, m= 9,110-31 kg, k=103) a) 20106 m/s b) 30106 m/s c) 40106 m/s d) 50106 m/s e) 60106 m/s 353.La diferencia de potencial eléctrica entre dos cargas puntuales durante una tormenta es de V=1,23109 V. Hallar la magnitud del cambio en la energía potencial eléctrica de un electrón que se desplaza entre ellos. (k=9109 Nm2/C2, G=109) a) 1,03 GeV b) 1,23 GeV c) 1,43 GeV d) 1,63 GeV e) 1,83 GeV 354.Se lanza un electrón de carga e=-1,610-19 C, masa m=9,1110-31 kg con una rapidez ini cial de vo =3,44105 m/s hacia un protón que esta en reposo a una gran distancia del lanza miento.¿A qué distancia del protón la rapidez del electrón será el doble de su rapidez ini cial? (k=9109 Nm2/C2, mp =1,6710-27 kg, e=+1,610-19 C, n=10-9) a) 1,02 nm b) 1,22 nm c) 1,42 nm d) 1,62 nm e) 1,82 nm 355.En el átomo de hidrógeno el electrón de carga e=-1,610-19 C, masa m=9,1110-31 kg gira alrededor del núcleo (fijo) en orbita circular de radio r=5,2910-15 m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico creado por el núcleo del átomo de hidrógeno, en la posición del electrón. a) 24,2 V b) 25,2 V c) 26,2 V d) 27,2 V e) 28,2 V II) Hallar la energía potencial eléctrica del átomo, cuando el electrón está en este radio. a) -25,2 eV b) +25,2 eV c) -27,2 eV d) +27,2 eV e) -29,2 eV III) Hallar la energía cinética del electrón, suponiendo que describe una órbita circular de este radio centrado en el núcleo. a x q2 q1 q3 r r 379

Potencial eléctrico 604 a) 10,6 eV b) 11,6 eV c)
12,6 eV d) 13,6 eV e) 14,6 eV IV) ¿Cuánta energía se necesita para ionizar el átomo de hidrógeno? a) 10,6 eV b) 11,6 eV c) 12,6 eV d) 13,6 eV e) 14,6 eV 356.La molécula de amoniaco NH3 tiene un momento permanente de dipolo eléctrico de p= 1,47 D, siendo "D" la unidad debye cuyo valor es D=3,3410-30 m.C. Hallar el potencial e léctrico generado por una molécula en un punto situado a la distancia d=52 nm a lo largo del eje del dipolo. Asuma que V=0 en el infinito. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, =10-6) a) 14,3 V b) 15,3 V c) 16,3 V d) 17,3 V e) 18,3 V 357.Un contador Geiger tiene un cilindro metálico hueco de diámetro D=2,10 cm a lo largo de cuyo eje se extiende un alambre de diámetro d=1,3410-4 cm. Si entre ellos se aplica u na diferencia de potencial de V=1 855 voltios. (k=9109 Nm2/C2, M=106, k=103) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en la superficie del alambre. a) 130 MeV b) 132 MeV c) 134 MeV d) 136 MeV e) 138 MeV II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en la superficie del cilindro metálico hueco. a) 8,13 keV b) 8,23 keV c) 8,33 keV d) 8,43 keV e) 8,53 keV 358.I) Si la Tierra tuviera una carga neta equivalente a un electrón/m2 del área superficial (su posición muy artificial). Hallar el potencial de la Tierra. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 105 mV b) 110 mV c) 115 mV d) 120 mV e) 125 mV II) Hallar la magnitud del campo eléctrico generado por la Tierra próximo a su superficie. a) 15,1 nV/m b) 16,1 nV/m c) 17,1 nV/m d) 18,1 nV/m e) 19,1 nV/m 359.Una carga eléctrica de q=15 nC puede ser generada mediante simple frotamiento.¿A qué potencial (en relación con V=0 en el infinito) elevará una esfera conductora aislada de ra dio R=16 cm. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 835 V b) 840 V c) 845 V d) 850 V e) 855 V 360.Dos bolas metálicas idénticas de radios R=10 cm, cargas eléctricas q=8 nC la primera y q=0 la segunda, y que están separadas entre si por la distancia de r=2m, se conectan entre si mediante un conductor de capacidad despreciable, durante cierto tiempo. Hallar el calor que se disipa a través del conductor que une las bolas. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, =10-6) a) 1,368 J b) 1,468 J c) 1,568 J d) 1,668 J e) 1,768 J 361.En cierta región R del espacio un campo eléctrico, viene dado por: Ex =2,0x3 kN/C. Ha llar la diferencia de potencial eléctrica entre los puntos situados en el eje-x en x=1 m y x= 2 m. (k=9109 Nm2/C2) 380

Robotica y Cibernética 605 a) -2,5 kV b) +2,5 kV
c) -5,5 kV d) +5,5 kV e) -7,5 kV 362.Un campo eléctrico uniforme se encuentra en la dirección del eje-y positivo. Los puntos "a" y "b" se encuentran sobre el eje-y, situados en y=2 m y y=6 m, respectivamente. I) ¿Es positiva o negativa la diferencia de potencial Vb -Va ? (k=9109 Nm2/C2, k=103) II) Si el valor de Vb -Va es 2104 V,¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico E ? a) 1, 0 kV/m b) 2 kV/m c) 3 kV/m d) 4 kV/m e) 5 kV/m 363.Un disco de radio R=10 cm posee una densidad de carga superficial o =+2 nC/m2 para ra cm, y una densidad de carga superficial o =-2 nC/m2, para a<r<R. La carga total exis tente en el disco es nulo. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el potencial eléctrico en un punto situado sobre el eje de simetría del disco, a una distancia x=5 cm de su centro. a) 1,09 V b) 1,29 V c) 1,49 V d) 1,69 V e) 1,89 V II) Determinar una expresión aproximada para el potencial eléctrico, en puntos del eje de si metría, situados a gran distancia del centro del disco (x>>R). 364.Un disco de radio R=10 cm posee una distribución de carga superficial dada por: = o (r/R), siendo o =4 nC/m2, y "r" la distancia radial, medida desde el centro del disco. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, p=10-12) I) Hallar la carga total del disco. a) 81,8 pC b) 82,8 pC c) 83,8 pC d) 84,8 pC e) 85,8 pC II) Hallar la densidad media de carga superficial del disco. a) 1,67 nC/m2 b) 2,67 nC/m2 c) 3,67 nC/m2 d) 4,67 nC/m2 e) 5,67 nC/m2 III) Hallar el potencial eléctrico en un punto situado sobre el eje de simetría del disco, a una distancia d=10 cm de su centro. a) 6,03 V b) 6,23 V c) 6,43 V d) 6,63 V e) 6,83 V 365.Dos cargas puntuales "q", " 3q"  se encuentran situadas en el eje-x, en x=0 la primera y x=1 m la segunda, respectivamente. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en cualquier punto, situado sobre el eje-x. II) Hallar la coordenada de los puntos, en los que el potencial eléctrico es nulo. III) Hallar el campo eléctrico en estos puntos. IV) Trazar la gráfica del potencial eléctrico "V"en función de la coordenada "x". 366.El potencial eléctrico de una esfera uniformemente cargada en su superficie es de 450 V, y de 150 V a una distancia radial de 20 cm de su superficie. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el radio de la esfera cargada. a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 18 cm II) Hallar la carga eléctrica de la esfera cargada. 381

Potencial eléctrico 606 a) 1 nC b) 2 nC c)
3 nC d) 4 nC e) 5 nC 367.La distancia entre los iones K+ y Cl- en el KCl es 2,8010-10 m. Hallar la energía necesa ria para separar los dos iones considerando que se trata de cargas puntuales que se encuen tran inicialmente en reposo. (k=9109 Nm2/C2) a) 5,14 eV b) 5,34 eV c) 5,54 eV d) 5,74 eV e) 5,94 eV 368.Una esfera de radio R=60 cm tiene en su centro en el origen. A lo largo del ecuador de esta esfera se sitúan cargas iguales de q=3 C a intervalos de 60º. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el origen de coordenadas. a) 250 kV b) 260 kV c) 270 kV d) 280 kV e) 290 kV II) Hallar el potencial eléctrico en el polo norte de la esfera. a) 190 kV b) 191 kV c) 192 kV d) 193 kV e) 194 kV 369.Dos protones de "radio" R=10-15 m, momentos iguales y de signo opuesto colisionan frontalmente. (k=9109 Nm2/C2) I) Estimar la mínima energía cinética (en MeV) de cada uno para que colisionen a pesar de la repulsión electrostática. Despreciar los efectos de la relatividad. a) 0,719 MeV b) 0,739 MeV c) 0,759 MeV d) 0,779 MeV e) 0,799 MeV II) La energía en reposo del protón es de 938 MeV. Si el valor de la energía cinética es mu cho menor que ésta, puede considerarse justificado el hacer cálculo no relativista. ¿Qué parte de la energía en reposo del protón es la energía cinética calculada en el inciso I)? a) 0,0167 % b) 0,0367 % c) 0,0567 % d) 0,0767 % e) 0,0967 % 370.En la Fig113, la carga puntual q=6 nC se encuentra entre las dos esferas concéntricas conductoras huecas, de radio a=10 cm, b=20 cm, puestas a tierra, a una distancia r=15 cm del centro 0. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la carga inducida en la esfera de radio "a". a) -2 nC b) +2 nC c) -4 nC d) +4 nC e) -6 nC II) Hallar la carga inducida en la esfera de radio "b". a) -2 nC b) +2 nC c) -4 nC d) +4 nC e) -6 nC 371.En la Fig114, hallar el trabajo que se debe hacer para trasladar la carga puntual qo =-4 nC desde el punto A de coordenadas rA =10 cm, A =60º, hasta el punto B de coordenadas rB = 20 cm, B =30º, en presencia del dipolo eléctrico de cargas Q=8 nC, d= 2 mm. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) +12,33 nJ b) -12,33 nJ c) +16,33 nJ d) -16,33 nJ e) +20,33 nJ 382

Robotica y Cibernética 607 Fig113 Fig114 372.Estimar la diferencia de
potencial necesaria para que salte la chispa en una bujía de auto móvil Standard. Debido a que el gas está altamente comprimido en el pistón, el campo e léctrico necesario para que salte la chispa es aproximadamente 2107 V/m. (k=9109 Nm2/C2) a) 10 kV b) 15 kV c) 20 kV d) 25 kV e) 30 kV 373.Una hoja infinita de carga tiene una densidad de carga superficial de =3,5 C/m2.¿A qué distancia están entre sí los planos equipotenciales cuya diferencia de potencial es V =100 voltios. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) a) 0,505 mm b) 0,525 mm c) 0,545 mm d) 0,565 mm e) 0,585 mm 374.Dos esferas conductoras se cargan, se sitúan muy separadas un de otra y se conectan me diante un cable largo delgado. El radio de la esfera menor es a=5 cm y el de la mayor b= 12 cm. El campo eléctrico en la superficie de la esfera es E=200 kV/m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la densidad de carga superficial uniforme en la esfera pequeña de radio "a". a) 4,04 C/m2 b) 4,24 C/m2 c) 4,44 C/m2 d) 4,64 C/m2 e) 4,84 C/m2 II) Hallar la densidad de carga superficial uniforme en la esfera pequeña de radio "b". a) 1,17 C/m2 b) 1,37 C/m2 c) 1,57 C/m2 d) 1,77 C/m2 e) 1,97 C/m2 375.Un generador de van de Graaff tiene una diferencia de potencial de V=1,25 MV entre la cinta y la esfera exterior. La carga se suministra a una velocidad de 200 C/s.¿Qué po tencia mínima se necesita para accionar la cinta móvil?(k=9109 Nm2/C2, M=106, =10-6) a) 210 W b) 220 W c) 230 W d) 240 W e) 250 W 376.Una esfera conductora se carga hasta un potencial de V=10 kV. Hallar el radio mínimo que debe tener la esfera, tal que, el campo eléctrico no exceda la resistencia dieléctrica del aire. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,30 cm b) 0,33 cm c) 0,36 cm d) 0,39 cm e) 0,42 cm b a r q 0 d rA +Q -Q rB A B qo 0 A B 383

Potencial eléctrico 608 377.Tres cascarones esféricos y concéntricos tienen radios
a=10 cm, b=15 cm, c=20 cm. Ini cialmente el cascarón interno esta descargado, la del medio tiene una carga Q=+6 nC, y la externa una carga Q=-6 nC. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar las expresiones para el potencial eléctrico en las superficies de los tres cascarones esféricos. Si los cascarones interno y externo se conectan mediante un alambre que está aislado al pasar a través del cascarón medio. II) Hallar la carga inducida en el cascarón de radio "a". a) -2 nC b) -3 nC c) -4 nC d) +2 nC e) +4 nC III) Hallar la carga inducida en el cascarón de radio "c" a) -2 nC b) -3 nC c) -4 nC d) +2 nC e) +4 nC IV) Hallar el potencial eléctrico en la superficie del cascarón de radio "b". a) -40 kV b) +40 kV c) -60 kV d) +60 kV e) -80 kV 378.Cuando una esfera conductora de radio R1 =15 cm, que está a un potencial de V1 =20 kV, se conecta con un alambre delgado y largo a una segunda esfera conductora situada muy lejos de él, su potencial disminuye a V2 =12 kV. Hallar el radio de la segunda esfera. (k= 9109 Nm2/C2) a) 7 cm b) 8 cm c) 9 cm d) 10 cm e) 11 cm 379.Un disco delgado uniformemente cargado genera, en un punto situado en su eje a la dis tancia d1 =0,6 m de su centro, un potencial eléctrico de V1 =80 voltios y un campo eléc trico de magnitud E1 =80 V/m; a una distancia d2 =1,5 m, el potencial eléctrico es V2 =40 voltios y la magnitud del campo eléctrico es E2 =23,5 V/m. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el radio del disco. a) 0,80 m b) 0,82 m c) 0,84 m d) 0,86 m e) 0,88 m II) Hallar la densidad de carga superficial del disco. a) 1,53 nC/m2 b) 2,53 nC/m2 c) 3,53 nC/m2 d) 4,53 nC/m2 e) 5,53 nC/m2 III) Hallar la carga total contenida en el disco. a) 5,1 nC b) 6,1 nC c) 7,1 nC d) 8,1 nC e) 9,1 nC 380.Los centros de dos esferas huecas de radios R1 =20 cm, R2 =10 cm, y cargas eléctricas Q1 =8 nC, Q2 =4 nC, están separados por la distancia d=40 cm Hallar el trabajo que debe ha cerse para trasladar lentamente una carga puntual qo =6 pC del centro de la primera esfera hacia el centro de la segunda, a través de pequeños orificios practicados en ellas. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, p=10-12) a) 0,34 nJ b) 0,44 nJ c) 0,54 nJ d) 0,64 nJ e) 0,74 nJ 384

Robotica y Cibernética 609 381.Los centros de dos esferas metálicas
de radio R=10 cm están separados d=50 cm sobre el eje-x. Las esferas son inicialmente neutras, pero una carga de Q=8 nC se transfiere de una esfera a la otra, creando una diferencia de potencial entre las esferas de V=100 V. Un protón se libera desde el reposo en la superficie de la esfera cargada positivamente y se mueve hacia la esfera cargada negativamente.¿A qué rapidez choca contra la esfera nega tiva?. (k=9109 Nm2/C2) a) 118 km/s b) 128 km/s c) 138 km/s d) 148 km/s e) 158 km/s 382.Se tienen dos cascarones esféricos y concéntricos de radios a=10 cm, b=20 cm. El casca rón externo tiene una carga Q=8 nC, y el interno está conectado a tierra. Esto significa que el cascarón interno posee un potencial cero y que hay líneas de campo eléctrico que a bandonan el cascarón externo y se dirigen al infinito, pero también existen otras que se di rigen desde el cascarón externo hacia el interno. Hallar la carga del cascarón interno. (k= 9109 Nm2/C2, n=10-9) a) -2 nC b) -3 nC c) -4 nC d) -5 nC e) -6 nC 383.I) Considerar una esfera uniformemente cargada de radio "R" y carga eléctrica "Q" com puesta de un fluido incompresible, tal como el agua. Si la esfera se separa en dos mitades de igual volumen y carga, y ambas llegan a estabilizarse adquiriendo forma esférica. (k= 9109 Nm2/C2) I) Hallar el radio de las nuevas esferas. a) 0,714R b) 0,734R c) 0,754R d) 0,774R e) 0,794R II) Utilizando la expresión conocida de la energía potencial electrostática, calcular la varia ción de la energía potencial electrostática del sistema después de la división de la primera esfera de fluido en las otras dos, asumiendo que están separadas una gran distancia. a) 0,310E b) 0,330E c) 0,350E d) 0,370E e) 0,390E 384.En la Fig115, el dispositivo mostrado se utiliza para separar las partículas de cuarzo y ro ca fosfatada en el mineral de fosfato, mediante la aplicación de un campo eléctrico unifor me de magnitud E=400 kV/m. Asumiendo que la velocidad inicial de las partículas es nu la, que la distancia entre las placas es d=60 cm, que la altura de descenso es h=80 cm, ha llar la razón de la carga a la masa (Q/m=?) de las partículas. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 5,18 nC/g b) 6,18 nC/g c) 7,18 nC/g d) 8,18 nC/g e) 9,18 nC/g 385.En la Fig116, las cargas puntuales Q y –Q se localizan en los puntos de coordenadas dadas por: (0; d/2; 0) y (0; -d/2;0). I) Demostrar que en el punto P(r; ; ), para r>>d, viene dado por: V=kQd sen  sen /r2. II) Hallar la expresión del campo eléctrico E . 386.En cierta región R del espacio el potencial eléctrico, viene dado por: V=x-y+xy+2z (V). I) Hallar el campo eléctrico E , en el punto P(1; 2; 3) m. 385

Potencial eléctrico 610 a) 3 i +2k V/m b) -3
i -2k V/m c) 2 i +3k V/m d) 2 i -3k V/m e) 4 i +3k V/m II) Hallar la energía electrostática almacenada en un cubo de lados l=2 m, centrado en el ori gen de coordenadas. a) 0,136 nJ b) 0,236 nJ c) 0,336 nJ d) 0,436 nJ e) 0,536 nJ Fig115 Fig116 387.I) Demostrar que cuando una partícula de masa "m" y carga "q" constantes es acelerada en un campo eléctrico a partir del estado de reposo, su velocidad final es proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia de potencial de su aceleración. II) Hallar la magnitud de la constante de proporcionalidad si la partícula es un electrón. (e=- 1,60310-19 C, m=9,1110-31 kg) a) 5,13105 b) 5,33105 c) 5,53105 d) 5,73105 e) 5,93105 III) ¿A qué voltaje debe ser acelerado un electrón, suponiendo que su masa se mantiene cons tante, para alcanzar una velocidad igual a la décima parte de la velocidad de la luz en el vació "c". (c=3108 m/s) a) 2,16 kV b) 2,36 kV c) 2,56 kV d) 2,76 kV e) 2,96 kV 388.Un dipolo eléctrico de momento dipolar p pk  (m.C) está situado en (x; z)= (0; 0). Si el potencial eléctrico del dipolo en el punto (0; 1) es de V=9 voltios, hallar el potencial eléc trico en el punto P de coordenadas (1; 1) nm. (k=9109 Nm2/C2) a) 3,18 V b) 3,38 V c) 3,58 V d) 3,78 V e) 3,98 V 389.El potencial eléctrico entre dos placas paralelas muy grandes es: V(x)=Ax4/3 +Bx+C, don de "A", "B", "C" son constantes, y "x" es la distancia desde una de las placas a cual quier punto situado entre ellas. I) Hallar la densidad de carga volumétrica en el punto x=2 m a) -018o A b) -028o A c) -038o A d) -048o A e) -058o A E d h cuarzo fosfato r z y x 0   P Q Q 386

Robotica y Cibernética 611 II) Hallar la expresión del vector
campo eléctrico E en el punto x=B3/A3. a) -7B/3ˆ i b) +7B/3ˆ i c) -4B/3ˆ i d) +4B/3ˆ i e) -5B/3ˆ i 390.En cierta región R del espacio la densidad de carga volumétrica es: =o (1-r2/a2), para r<a, y =0, para r>a. (k=9.109 N.m2/C2, o =8 nC/m3, a=20 cm, p=10-12, n=10-9) I) Hallar la carga eléctrica encerrada en la esfera de radio r=22 cm. a) 0,107 nC b) 0,207 nC c) 0,307 nC d) 0,407 nC e) 0,507 nC II) Hallar el campo eléctrico E para ra, y evaluar en r=22 cm. a) 19,14ˆ r N/C b) 19,34ˆ r N/C c) 19,54ˆ r N/C d) 19,74ˆ r N/C e) 19,94ˆ r N/C III) Hallar el campo el potencial eléctrico V para ra., y evaluar en r=22 cm. a) 4,18 V b) 4,28 V c) 4,38 V d) 4,48 V e) 4,58 V IV) Hallar la carga eléctrica encerrada en la esfera de radio r=18 cm. a) 100 pC b) 150 pC c) 200 pC d) 250 pC e) 300 pC V) Hallar el campo eléctrico E para ra, y evaluar en r=18 cm. a) 24,9ˆ r N/C b) 25,9ˆ r N/C c) 26,9ˆ r N/C d) 27,9ˆ r N/C e) 28,9ˆ r N/C VI) Hallar el campo el potencial eléctrico V para ra., y evaluar en r=18 cm. a) 27,7 V b) 28,7 V c) 29,7 V d) 30,7 V e) 31,7 V VII) Hallar el valor máximo del potencial eléctrico. a) 53,88 V b) 54,88 V c) 55,88 V d) 56,88 V e) 57,88 V VIII)Hallar el valor de "r", para el cual, la magnitud del campo eléctrico es máximo. a) 12,9 cm b) 13,9 cm c) 14,9 cm d) 15,9 cm e) 16,9 cm IX) Hallar la magnitud del campo eléctrico máximo. a) 29,17 N/C b) 29,37 N/C c) 29,57 N/C d) 29,77 N/C e) 29,97 N/C 391.Una carga puntual Q=4 nC se localiza en el origen de coordenadas. Hallar la energía eléc trica almacenada en la región r>a. (k=9109 Nm2/C2, a=10 cm, n=10-9, =10-6) a) 0,52 J b) 0,62 J c) 0,72 J d) 0,82 J e) 0,92 J 392.En una región hemisférica, definida por: r2 m, 0/2, 02 existe un campo eléc trico no uniforme, dado por: E =2rsen  cos ˆ r + rcos  cos  ˆ  - rsen  ˆ  (V/m). Hallar la energía eléctrica almacenada en esta región hemisférica. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 5/3k b) 7/4k c) 8/5k d) 9/4k e) 10/3k 387

Potencial eléctrico 612 393.En coordenadas cilíndricas el campo eléctrico E
en el punto P definido por =2 m, = 40º, z=3 m es: E =100 ˆ  -200 ˆ  +300 ˆ k (V/m). Hallar el trabajo elemental que se debe ha cer para mover una carga de qo =20 C una distancia de d=6 m. (=10-6, n=10-9) I) En la dirección del radio ˆ  . a) +10 nJ b) -10 nJ c) +12 nJ d) -12 nJ e) +14 nJ II) En la dirección tangencial ˆ  . a) 20 nJ b) 22 nJ c) 24 nJ d) 26 nJ e) 28 nJ III) En la dirección de la altura ˆ k . a) -32 nJ b) +32 nJ c) -34 nJ d) +34 nJ e) -36 nJ IV) En la dirección del campo eléctrico E . a) -44,9 nJ b) +44,9 nJ c) -46,9 nJ d) +46,9 nJ e) -48,9 nJ V) En la dirección del vector ˆ ˆ ˆ G 2i 3j 4k    . a) +41,8 nJ b) -41,8 nJ c) +43,8 nJ d) -43,8 nJ e) +45,8 nJ 394.Se ha visto que la energía necesaria para trasladar una carga de qo =4 C desde el origen (x; 0; 0) a lo largo del eje-x es directamente proporcional al cuadrado de la longitud de la trayectoria. Si, Ex =7 V/m en el punto (1; 0; 0). Hallar Ex =? Sobre el eje-x en función de la coordenada "x". a) 5x+2 b) 3x-4 c) 7x d) 7x+2 e) 5x 395.Hallar el trabajo realizado al llevar una carga de qo =2 C desde el punto A(2; 1;-1) hasta el punto B(8; 2;-1) en presencia del campo eléctrico E =yˆ i +xˆ j. I) A lo largo de la parábola de ecuación: x=2y2. a) -24 J b) +24 J c) -26 J d) +26 J e) -28 J II) A lo largo de la hipérbola de ecuación: 8/(7-3y). a) -24 J b) +24 J c) -26 J d) +26 J e) -28 J III) A lo largo de la línea recta de ecuación: x=6y-4. a) -24 J b) +24 J c) -26 J d) +26 J e) -28 J 396.Una densidad de carga superficial uniforme de =5 nC/m2 está presente en el plano z= 0, otra densidad de carga lineal uniforme de =8 nC/m está presente en el plano x=0, z=4, y una carga puntual de q=2 C en el punto P(2; 0; 0) m. Si el potencial eléctrico en el punto A(0; 0; 5) m es V=0, hallar el potencial en el punto B(1; 2; 3) m.(k=9109 Nm2/C2) 388

Robotica y Cibernética 613 a) 1,58 kV b) 1,68 kV
c) 1,78 kV d) 1,78 kV e) 1,98 kV 397.En cierta región R del espacio la expresión del campo eléctrico en coordenadas esféricas es: E =2r/(r2+a2)2 ˆ r . Hallar el potencial eléctrico en cualquier punto utilizando en el poten cial de referencia V=100 voltios en r=a, y evaluar para a=10 cm, y r=5 cm. a) 110 V b) 120 V c) 130 V d) 140 V e) 150 V 398.En cierta región R del espacio la expresión del campo eléctrico en coordenadas rectangu lares es: E = (y+1)ˆ i +(x-1)ˆ j+2 ˆ k , hallar la diferencia de potencial entre los puntos A(3; 2; -1) y B(-2;-3; 4). a) 8 V b) 9 V c) 10 V d) 11 V e) 12 V 399.Un dipolo eléctrico de momento dipolar p =10o ˆ k m.C, se ubica en el origen de coorde nadas. Hallar la ecuación de la superficie cónica en la que Ez =0, pero E 0  . a) =50,7º y =121,3º b) =54,7º y =125,3º c) =58,7º y =123,3º d) =52,7º y =127,3º e) =56,7º y =129,3º 400.En el plano XY, se sabe que el potencial eléctrico es: V(x ; 0) = 0, para x>0, V(x ; b) = 0, para x>0, V(0 ; y) = 0 para y>0, y V(a ; b/2) = V0 . I) Hallar la expresión del potencial eléctrico en cualquier punto x >0, y > 0. II) Evaluar el potencial eléctrico para: n=1, a=4, b=8, x=2, y=2, V0 =10 voltios a) 2,37 V b) 2,67 V c) 2,97 V d) 3,27 V e) 3,57 V 401.Una placa muy delgada anular, definida por: 1 cm<r<3 cm, z=0, tiene una densidad de carga superficial no uniforme dada por: =5r nC/m2. Hallar el potencial eléctrico "V" en el punto P(0; 0; 2) cm, si V=0 en el infinito. (k=9109 Nm2/C2, m=10-3) a) 81 mV b) 83 mV c) 85 mV d) 87 mV e) 89 mV 402.Se tiene un filamento delgado de densidad de carga lineal =Cx/(x2+a2) que se extiende a lo largo del eje-x, desde x=0 hasta x=, con a>0 una constante. Considerar que el poten cial en el infinito es nulo. (k=9109 Nm2/C2) a) kC/2a b) kC/3a c) kC/4a d) 2kC/2 e) 4kC/a 403.Dos planos de densidades de carga superficiales uniformes de 1 =6 nC/m2 y 2 =2 nC/m2 se sitúan en =2 cm y =6 cm, respectivamente, en el espacio libre. Suponiendo que V=0 en =4 cm, hallar el potencial eléctrico "V" en =7 cm. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) +9,678 V b) -9,678 V c) +6,768 V d) -6,768 V e) +4,768 V 404.El potencial en cualquier punto del espacio esta dado por la expresión: V=(a/2)cos(b) V/m, siendo "a" y "b" constantes. 389

Potencial eléctrico 614 I) ¿Dónde se encuentra la referencia de
potencial nulo? II) Hallar el campo eléctrico E en cualquier punto P(; ; z). 405.El potencial eléctrico en el espacio libre, viene dado por: V=2xy2z3+3ln(x2+2y2+3z2) vol tios, en el punto P(3; 2;-1): (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico. a) +12 V b) -12 V c) +15 V d) -15 V e) +18 V II) Hallar el campo eléctrico E . a) 7,1ˆ i +22,8ˆ j-71,1 ˆ k V/m b) 7,5ˆ i +22,0ˆ j-71,9 ˆ k V/m c) 7,9ˆ i +22,6ˆ j-71,3 ˆ k V/m d) 7,7ˆ i +22,4ˆ j-71,5 ˆ k V/m e) 7,3ˆ i +22,2ˆ j-71,7 ˆ k V/m III) Hallar la densidad de flujo eléctrico D . a) 62,8ˆ i +202ˆ j-629 ˆ k pC/m2 b) 61,8ˆ i +201ˆ j-625 ˆ k pC/m2 c) 63,8ˆ i +203ˆ j-627 ˆ k pC/m2 d) 64,8ˆ i +205ˆ j-626 ˆ k pC/m2 e) 65,8ˆ i +204ˆ j-628 ˆ k pC/m2 406.En coordenadas esférica, en cierta región R del espacio, la expresión del potencial eléctri co es: V=Vo (r/a) sen . Hallar la carga eléctrica total contenida dentro de la región ra, pa ra a=10 cm, Vo =50 voltios. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) -0,34 nC b) -0,44 nC c) -0,54 nC d) -0,64 nC e) -0,74 nC 407.Dos filamentos delgados muy largos de densidades de carga lineal =8 nC/m se ubican en el espacio libre en x=1 m, z=2 m el primero, y x=-1 m, y=2 m el segundo. Si el poten cial eléctrico en el origen es V=100 voltios, hallar el potencial eléctrico en el punto P(4; 1; 3) m. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) -64,7 V b) +64,7 V c) -66,7 V d) +66,7 V e) -68,7 V 408.En cierta región R del espacio el potencial eléctrico, viene dado por: V=800,6 voltios. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9, p=10-12) I) Hallar el campo eléctrico E , y evaluar en =20 cm. a) -91,4 ˆ  (N/C) b) -91,4 ˆ  (N/C) c) -92,4 ˆ  (N/C) d) -92,4 ˆ  (N/C) e) -93,4 ˆ  (N/C) II) Hallar la densidad de carga volumétrica, y evaluar en =50 cm. a) -652 pC/m3 b) -662 pC/m3 c) -672 pC/m3 d) -682 pC/m3 e) -692 pC/m3 III) Hallar la carga eléctrica total al interior de la superficie cerrada =0,6 m, 0<z<1 m. a) -1,16 nC b) -1,36 nC c) -1,56 nC d) -1,76 nC e) -1,96 nC 409.La ecuación de una superficie equipotencial en coordenadas rectangulares, viene dado 390

Robotica y Cibernética 615 por: x3+y2+z=1000, donde x>0, y>0, z>0,
el potencial de esta superficie es V=200 vol tios. Si la magnitud del campo eléctrico en el punto P(7, 25, 32) m perteneciente a la su perficie equipotencial es E=50 V/m. Hallar el campo eléctrico en este punto P. a) -47,34ˆ i -16,10ˆ j-0,32 ˆ k V/m b) -47,14ˆ i -16,30ˆ j-0,62 ˆ k V/m c) -47,94ˆ i -16,90ˆ j-0,22 ˆ k V/m d) -47,54ˆ i -16,70ˆ j-0,52 ˆ k V/m e) -47,74ˆ i -16,50ˆ j-0,42 ˆ k V/m 410.Se tiene una carga puntual "Q" localizada en el origen de coordenadas. I) Expresar el potencial eléctrico en coordenadas rectangulares, esféricas y cilíndricas. II) Expresar el campo eléctrico E en coordenadas rectangulares, esféricas y cilíndricas. III)Obtener las expresiones del campo eléctrico en coordenadas esféricas y cilíndricas, a par tir de la expresión del campo eléctrico en coordenadas rectangulares. 411.Al interior del cilindro, definido por: =2 m, 0<z<1 m, el potencial eléctrico, viene dado por: V=100+50+150 sen  voltios. En el punto P(1 m; 60º; 0,5 m). (p=10-12, n=10-9) I) Hallar el potencial eléctrico "V". a) 271,9 V b) 273,9 V c) 275,9 V d) 277,9 V e) 279,9 V II) Hallar el campo eléctrico E . a) -179,9 ˆ  -75,0 ˆ  V/m b) -173,9 ˆ  -79,0 ˆ  V/m c) -171,9 ˆ  -73,0 ˆ  V/m d) -177,9 ˆ  -77,0 ˆ  V/m e) -175,9 ˆ  -71,0 ˆ  V/m III) Hallar la densidad de flujo de campo eléctrico D a) -1,59 ˆ  -0,663 ˆ  b) -1,39 ˆ  -0,643 ˆ  c) -1,99 ˆ  -0,623 ˆ  d) -1,19 ˆ  -0,603 ˆ  e) -1,79 ˆ  -0,683 ˆ  IV) Hallar la densidad de carga volumétrica v " "  a) -402 pC/m3 b) -422 pC/m3 c) -442 pC/m3 d) -462 pC/m3 e) -482 pC/m3 V) Hallar la carga total "Q" que encierra el cilindro. a) -5,16 nC b) -5,36 nC c) -5,56 nC d) -5,76 nC e) -5,96 nC 412.Un dipolo de momento dipolar: p =3ˆ i -5ˆ j+10 ˆ k nC.m se ubica en el espacio libre en el punto Q(1; 2;-4) m. Hallar el potencial eléctrico en el punto P(2; 3; 4) m. a) 1,11 V b) 1,31 V c) 1,51 V d) 1,71 V e) 1,91 V 413.En cierta región R del espacio libre, el potencial eléctrico, viene dado por: V=20/xyz vol tios. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la energía eléctrica total almacenada en el cubo, definido por: 1 m<x, y, z< 2 m. 391

Potencial eléctrico 616 a) 307 pJ b) 327 pJ c)
347 pJ d) 367 pJ e) 387 pJ II) ¿Cuál es el valor que se obtendría suponiendo una densidad de energía uniforme, igual a la que hay en el centro del cubo? a) 207 pJ b) 227 pJ c) 247 pJ d) 267 pJ e) 287 pJ 414.I) Hallar la energía eléctrica almacenada en el campo dipolar, en la región r>a, siendo "a" la distancia entre las cargas del dipolo. a) kp2/2a3 b) kp2/3a3 c) kp2/4a3 d) 2kp2/3a3 e) 3kp2/4a3 II) ¿Por qué no es posible que "a" se aproxime a cero como límite? 415.En cierta región R del espacio libre, la expresión del campo eléctrico en coordenadas rec tangulares, viene dado por: E =-xˆ i +yˆ j, hallar el trabajo que se necesita hacer para trasla dar una carga unitaria positiva a través de un arco de circunferencia centrado en el origen 0, desde x=a hasta x=y=a/ 2 . a) –a2/2 b) -a2/3 c) –a2/4 d) +a2/2 e) +a2/4 416.En cierta región R del espacio libre, la expresión del campo eléctrico en coordenadas rec tangulares, viene dado por: E =3xy3 ˆ i +2zˆ j, hallar el trabajo necesario para trasladar una carga unitaria positiva, desde el punto inicial P(2; 1; 1) m hasta Q(4; 3; 1) m. I) A lo largo de la trayectoria rectilínea, definida por: y=x-1, z=1. a) -70 J b) +80 J c) -80 J d) +90 J e) -90 J II) A lo largo de la trayectoria parabólica, definida por: 6y=x2+2, z=1. a) +80 J b) -80 J c) +82 J d) -82 J e) +84 J 417.Una esfera de cobre de radio R=4 cm tiene una carga total distribuida uniformemente de Q=5 C, en el espacio libre. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Hallar la densidad de flujo D fuera de la esfera, para r=8 cm. a) 60,2 C/m2 b) 62,2 C/m2 c) 64,2 C/m2 d) 66,2 C/m2 e) 68,2 C/m2 II) Hallar la energía eléctrica almacenada en el campo electrostático, en todo el espacio. a) 2,01 J b) 2,21 J c) 2,41 J d) 2,61 J e) 2,81 J III) Hallar la energía eléctrica almacenada en la esfera. a) 3,45 pF b) 4,45 pF c) 5,45 pF d) 6,45 pF e) 7,45 pF 418.Si V1 es una solución de la ecuación de Laplace, demostrar que la derivada parcial de V1 con respecto a una ó más de las coordenadas rectangulares (es decir, V1 /x, 2V1 /x2, 3V1 /x3,…,etc) también es una solución. 392

Robotica y Cibernética 617 419.Demostrar que la mitad de los
armónicos de zona se generan al derivar r-1 sucesivamente con respecto a la coordenada rectangular z (z=r cos ). 420.Una esfera conductora de radio a=20 cm que tiene una carga total de Q=810-10 C se ubi ca en un campo eléctrico de magnitud E0 =100 N/C, inicialmente uniforme. Hallar el poten cial eléctrico en un punto de coordenadas r=25 cm, =370, exterior a la esfera. El origen está en el centro de la esfera y el ángulo " "  , se mide respecto del campo. a) 20,6 V b) 19,6 V c) 18,6 V d) 17,6 V e) 16,6 V 421.I) Hallar el potencial eléctrico generado por un cuadripolo axial: cargas puntuales q, - 2q, q están colocadas en el eje z a distancia l, 0, -l del origen. II) Hallar el potencial eléctrico para distancia pequeñas r<<l, y demostrar que este potencial es proporcional a uno de los armónicos de zona. 422.Un conductor cilíndrico largo de radio a=10 cm descargado que está al potencial V0 =5 voltios se ubica en un campo eléctrico de magnitud E0 =100 N/C, inicialmente uniforme. La dirección de o E es perpendicular al eje del cilindro. Hallar: (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) El potencial eléctrico en un punto de coordenadas r=12 cm, =53o exterior al cilindro. a) 2,0 V b) 2,2 V c) 2,4 V d) 2,6 V e) 2,8 V II) La densidad de carga superficial inducida en la superficie del cilindro. a) 1,1 nC/m2 b) 3,1 nC/m2 c) 5,1 nC/m2 d) 7,1 nC/m2 e) 9,1 nC/m2 423.En cierta región R del espacio libre, la expresión del campo de potencial en coordenadas rectangulares, viene dado por: V=2xy2z3 voltios. En el punto P(1; 2;-1) m, hallar: I) El potencial eléctrico V. a) +6 V b) -6 V c) +8 V d) -8 V e) +10 V II) El campo eléctrico E . a) 8ˆ i +8ˆ j-24 ˆ k V/m b) -8ˆ i +8ˆ j-24 ˆ k V/m c) 8ˆ i -8ˆ j-24 ˆ k V/m d) 8ˆ i +8ˆ j+24 ˆ k V/m e) 8ˆ i -8ˆ j+24 ˆ k V/m III) La densidad de carga volumétrica v . a) 50o C/m3 b) 52o C/m3 c) 54o C/m3 d) 56o C/m3 e) 58o C/m3 IV) La ecuación de la superficie equipotencial que pasa por el punto P. a) xy2z3=-2 b) xy2z3=-4 c) xy2z3=-8 d) xy3z2=-2 e) xy3z3=-4 V) La ecuación de la línea equipotencial que pasa por el punto P. a) y2-2x2=2; 3x2-z2=2 b) x2-2y2=2; 3x2+z2=2 c) -y2+2x2=2; 2x2-z2=3 d) x2-2y2=2; 3z2-x2=2 e) y2-2x2=-2; 3x2-z2=-2 393

Potencial eléctrico 618 VI) ¿El potencial dado, satisface la ecuación
de Laplace? 424.En cierta región R del espacio libre, existe un campo de potencial esféricamente simétri co, dado por: V=Vo e-r/a, siendo o "V ", y "a" constantes. I) Hallar la densidad de carga volumétrica v " "  en r=a. a) o Vo /a2e b) o Vo e/a2 c) o Vo /2a2e d) o Vo e/2a2 e) o Vo e/a3 II) Hallar el campo eléctrico E en r=a. a) Vo /e.a ˆ r V/m b) Vo e/a ˆ r V/m c) Vo /2e.a ˆ r V/m d) Vo e/2aˆ r V/m e) Vo a/eˆ r V/m III) Hallar la carga eléctrica total "Q". a) 0 b) o Vo a c) 2o Vo a d) 4o Vo a e) 8o Vo a 425.En cierta región R del espacio libre, existe un potencial eléctrico, cuya expresión viene dado por: V(x; y)=4e2x+f(x)-3y2. La densidad de carga volumétrica nulo v =0, además en el origen de coordenadas, Ex =0 y V=0. I) Hallar las expresiones de f(x) y V(x; y). II) Evaluar la función f(x) en x=0,5 m. a) -10,12 V b) +10,12 V c) -5,12 V d) +5,12 V e) -2,12 V III) Evaluar el potencial eléctrico V(x; y) en x=0,5 m, y=0,2 m. a) 0,43 V b) 0,53 V c) 0,63 V d) 0,73 V e) 0,83 V 426.En cierta región R del espacio libre, existe un campo de potencial, dado por: V(, )= (Vo /d)cos  . I) Demostrar que V(, ) satisface la ecuación de Laplace. II) Describir las superficies de potencial constante. III) Describir específicamente las superficies en las que; V=Vo y V=0. IV) Escribir la expresión del potencial en coordenadas cartesianas. 427.En cierta región R del espacio libre, existe un campo de potencial, dado por: V(, )= (A4+B-4) sen 4. I) Demostrar que este campo de potencial satisface la ecuación de Laplace. II) Escoger las constantes de integración "A" y "B", tal que, V=100 voltios y E=500 V/m en el punto P de coordenadas =1 m, =22,5º, z=2 m. 428.En una región del espacio existe una distribución de carga volumétrica, dado por: =o para rR, y 0   , para r>R. (o =810-9 C/m3, k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico integrando la ecuación de Poissón-Laplace. II) Verificar este resultado por integración directa del campo eléctrico. III) Hallar el potencial eléctrico a una distancia de r=5 cm del centro de la distribución esféri ca de radio R=10 cm 394

Robotica y Cibernética 619 a) 3,6 V b) 3,8 V
c) 4,1 V d) 4,4 V e) 4,7 V IV) Hallar el potencial eléctrico a una distancia de r=15 cm del centro de la distribución esféri ca de radio R=10 cm. a) 1,0 V b) 1,5 V c) 2,0 V d) 2,5 V e) 3,0 V 429.Un capacitor de placas paralelas tiene sus placas localizadas en z=0 y z=4 mm. La región entre las placas está llena con un material que tiene un volumen de carga de densidad uni forme o =8 nC/m3 y una permitividad  =3o . Ambas placas se encuentran conectadas a tierra. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el campo de potencial en puntos situados en z=3 mm. a) 0,252 mV b) 0,352 mV c) 0,452 mV d) 0,552 mV e) 0,652 mV II) Hallar la intensidad de campo eléctrico E en puntos situados en z=3 mm. a) 0,1 ˆ k V/m b) 0,2 ˆ k V/m c) 0,3 ˆ k V/m d) 0,4 ˆ k V/m e) 0,5 ˆ k V/m III) Hallar el campo de potencial en puntos situados en z=3 mm, si la placa situada en z=4 mm está al potencial Vo =4 mV. a) 0,452 mV b) 0,552 mV c) 0,652 mV d) 0,752 mV e) 0,852 mV IV) Hallar la intensidad de campo eléctrico E en puntos situados en z=3 mm, si la placa situa da en z=4 mm está al potencial Vo =4 mV. a) 0,1 ˆ k V/m b) 0,2 ˆ k V/m c) 0,3 ˆ k V/m d) 0,4 ˆ k V/m e) 0,5 ˆ k V/m 430.Se tiene una carga puntual Q=8 nC situada a una distancia d=15 cm del centro de una es fera conductora descargada de radio a=10 cm. Hallar: (k=9109 Nm2/C2, =10-6) I) La magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre la carga puntual "Q" y la esfera de radio "a". a) 30,2 N  b) 32,2 N  c) 34,2 N  d) 36,2 N  e) 38,2 N  II) La energía de interacción electrostática entre la carga puntual "Q" y la esfera. a) 1 J  b) 2 J  c) 3 J  d) 4 J  e) 5 J  431.En cierta región R del espacio libre, existe un campo de potencial, dado por: V(, )= (cos 2)/. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la densidad de carga volumétrica en el punto A(0,5 m; 60º; 1 m). a) -106 pC/m3 b) -206 pC/m3 c) -306 pC/m3 d) -406 pC/m3 e) -506 pC/m3 II) Hallar la densidad de carga superficial en la superficie de un conductor que pase por el punto B(2 m; 30º; 1 m). 395

Potencial eléctrico 620 a) 0,19 pC/m2 b) 0,29 pC/m2 c)
0,39 pC/m2 d) 0,49 pC/m2 e) 0,59 pC/m2 432.En cierta región R del espacio libre, una carga volumétrica uniforme tiene una densidad uniforme v =o C/m3 y llena la región r<a, en la que se supone que la permitividad es " "  . Un cascarón esférico conductor está ubicado en r=a y se encuentra a tierra. I) Hallar el potencial eléctrico en cualquier punto. II) Hallar la intensidad de campo eléctrico E , en cualquier lugar. 433.Considérese el capacitor de placas paralelas del prob.429, pero está vez el dieléctrico car gado existe solamente entre z=0 y z=b, donde b<d. La región b<z<d está al vació. Ambas placas está a tierra. I) Resolviendo las ecuaciones de Laplace y Poisson, hallar V(z) para 0<z<d. II) Hallar la intensidad de campo eléctrico para 0<z<d. No existe carga superficial en z=b, por lo que "V" y "D" son continuos ahí. 434.Los planos conductores 2x+3y=12 y 2x+3y=18 están a potenciales de 100 V y 0 V, res pectivamente. Sea, =o la permitividad del medio. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto P(5; 2; 6) m. a) 31,33 V b) 32,33 V c) 33,33 V d) 34,33 V e) 35,33 V II) Hallar la magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el punto P(5; 2; 6) m. a) 60,1 V/m b) 62,1 V/m c) 64,1 V/m d) 66,1 V/m e) 68,1 V/m 435.Probar que el problema de una esfera conductora descargada ubicada en un campo eléc trico o E , inicialmente uniforme, puede resolverse por medio de imágenes. (Sugerencia: un campo eléctrico uniforme en la vecindad del origen puede calcularse aproximadamente por el campo de dos cargas puntuales "Q" y " Q"  ubicadas en el eje z en z=-l y z = +l, respectivamente. El campo se vuelve casi más uniforme a medida que l. Es evidente que Q/2o d2=Eo . Hallar la expresión del potencial eléctrico. 436.La región entre dos esferas conductoras concéntricas de radios a=5 mm y b=20 mm, se encuentra llena de un dieléctrico perfecto. Si la esfera interior está a Va =100 V y la exte rior a Vb =0 V. (k=9109 Nm2/C2, =10-6) I) Hallar la ubicación de la superficie equipotencial de potencial V=20 voltios. a) 10,5 mm b) 11,25 mm c) 12,5 mm d) 13,5 mm e) 14,5 mm II) Hallar la magnitud de la intensidad de campo eléctrico máximo entre las esferas. a) 26,07 V/mm b) 26,27 V/mm c) 26,47 V/mm d) 26,67 V/mm e) 26,87 V/mm III) Hallar la permitividad relativa r " "  si la densidad de carga superficial en la esfera interior es de =1,0 C/m2. a) 4,03 b) 4,23 c) 4,43 d) 4,63 e) 4,83 396

Robotica y Cibernética 621 437.Una carga eléctrica puntual "q" se
ubica a una distancia "d" de un plano conductor, puesto a tierra, de extensión infinita. Hallar la carga eléctrica total inducida sobre el plano por integración directa de la densidad de carga superficial inducida. a) q/2 b) –q/2 c) q d) –q e) 2q/3 438.Un capacitor de placas paralelas consta de dos placas circulares de radio R=10 cm, estan do la placa inferior en el plano-xy, centrado en el origen, y la placa superior se ubica en d=4 cm, y su centro está en el eje-z. La placa superior está a un potencial de Vo =100 vol tios, la placa inferior está a tierra. La región entre las dos placas está rellena de material dieléctrico de permitividad: =o (1+/R) siendo " "  la distancia radial. I) Hallar el potencial eléctrico en z=2 cm, medida respecto de la placa inferior. a) 30 V b) 35 V c) 40 V d) 45 V e) 50 V II) Hallar la magnitud de la intensidad de campo eléctrico en z=2 cm. a) 10 kV/m b) 15 kV/m c) 20 kV/m d) 25 kV/m e) 30 kV/m III) Hallar la carga eléctrica "Q"de las placas del capacitor. a) 1,16 nC b) 3,16 nC c) 5,16 nC d) 7,16 nC e) 9,16 nC IV) Hallar la capacitancia del este capacitor. a) 10,6 pF b) 11,6 pF c) 12,6 pF d) 13,6 pF e) 14,6 pF 439.Probar que Im[(x + i y)]1/2 = A r1/2 sen(/2) satisface la ecuación de Laplace, pero que el campo eléctrico derivado de está función tiene una discontinuidad en =0. ("r" y " "  son las coordenadas cilíndricas) La función puede utilizarse para describir el potencial en el borde de un plano conductor cargado. El plano conductor coincide con el plano xz, pero sólo para valores positivos de x. Hallar la densidad de carga sobre el plano. Hacer un es quema ilustrando varias superficies equipotenciales y varias líneas de fuerza. 440.Una carga puntual de Q=810-11 C se coloca en el interior de un cascarón esférico conduc tor de radio interno a=10 cm, a una distancia d=2,5 cm de su centro. Probar que este pro blema puede resolverse con la técnica de imágenes, (El potencial del cascarón esférico no puede especificarse completamente en función de "Q" y su imagen, porque las cargas ex ternas fijas pueden también contribuir. Sin embargo, estas cargas externas sólo añadirán un término constante al potencial. (k=9109 Nm2/C2, k=103, n=10-9) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas r=5 cm y   900, siendo " "  el ángulo medido con respecto a la línea que une las cargas Q y su imagen. a) 10, 7 V b) 11,7 V c) 12,7 V d) 13,7 V e) 14,7 V II) Hallar la expresión de la densidad de carga inducida sobre la superficie interior del casca rón, y evaluar dicha densidad para =600. 397

Potencial eléctrico 622 a) 0,16 nC/m2 b) 0,26 nC/m2 c)
0,46 nC/m2 d) 0,66 nC/m2 e) 0,86 nC/m2 III) Hallar la carga total inducida sobre la superficie interior del cascarón a) por argumentos físicos, y b) por integración de " "  sobre la superficie. 441.Se tienen dos cilindros conductores coaxiales de radios a=0,5 cm y b=1,2 cm. La región entre los cilindros está llena de material dieléctrico perfecto y homogéneo. Si el cilindro interior está a Va =100 V y el exterior Vb =0 V. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar la ubicación de la superficie equipotencial de potencial V=20 voltios. a) 9,2 mm b) 9,5 mm c) 9,8 mm d) 10,1 mm e) 10,4 mm II) Hallar la magnitud de la intensidad de campo eléctrico máximo entre los cilindros. a) 22,0 kV/m b) 22,2, kV/m c) 22,4 kV/m d) 22,6 kV/m e) 22,8 kV/m III) Hallar la permitividad relativa r " "  si la carga por metro de longitud del cilindro interior es de =20 nC/m. a) 3,05 b) 3,15 c) 3,25 d) 3,35 e) 3,45 442.Un cilindro conductor largo que tiene una carga " "  por unidad de longitud se orienta pa ralelamente al plano conductor puesto a tierra de extensión infinita. El eje del cilindro está a una distancia xo =20 cm del plano, y el radio del cilindro es a=16 cm. I) Hallar el valor de la constante M (que determina el potencial del cilindro). a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5 II) ¿A qué distancia del plano puesto a tierra, se encuentra la carga imagen?. a) 10 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 13 cm e) 14 cm 443.La semiesfera definida por 0<r<a, 0<</2 está constituida de material conductor homo géneo de conductividad =5,8107 m. El lado plano de la semiesfera descansa sobre un plano perfectamente conductor. Ahora, el material dentro de la región cónica 0<<, 0<r<a es retirado y sustituido con un material conductor perfecto. Se conserva una capa de aire entre r=0 y el plano.¿Cuál es la resistencia entre los dos conductores perfectos? Despreciar los efectos de los campos de borde. (a=20 cm, k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 4,53 n b) 5,53 n c) 6,53 n d) 7,53 n e) 8,53 n 444.En la Fig117, las placas conductoras, planas, paralelas muy grandes de áreas "A", sepa radas por una distancia "d" están a los potenciales V=Vo y V=0. Despreciando los efectos de los bordes, hallar la magnitud de la fuerza con la que es atraída la placa A por la placa B. (k=9109 Nm2/C2, V0 =100 voltios, A=104 cm2, d=1 cm, =10-6) a) 402 N  b) 422 N  c) 442 N  d) 462 N  e) 482 N  445.En la Fig118, en el instante inicial t0 =0 la partícula de masa "M" y carga eléctrica "q" 398

Robotica y Cibernética 623 inicia su movimiento con velocidad transversal
o "v " y velocidad radial "0", desde el pun to de coordenadas r=a,    , moviéndose en el plano que contiene al eje del dipolo. I) Demostrar que en cualquier instante posterior t>0, la ecuación de la trayectoria de la partí cula es: r2=a2+c.t, siendo "c" una constante. II) Determinar la condición para que la partícula describa una trayectoria circular. III) Hallar el momento del dipolo para: M=9,110-31 kg, q=-1,610-19C =600, v0 =4105 m/s a=2 cm, k=9109 Nm2/C2, f=10-15, para el caso de trayectoria circular. a) 10 fmC b) 20 fmC c) 30 fmC d) 40 fmC e) 50 fmC Fig117 Fig118 446.Dos conos conductores coaxiales tienen sus vértices en el origen y en el eje-z como sus e jes. El cono A tiene al punto A(1; 0; 2) sobre su superficie, en tanto que el cono B tiene al punto B(0; 3; 2) sobre su superficie. Sea VA =100 voltios y VB =20 voltios. I) Hallar los ángulos A, B de cada uno de los vértices de los conos. a) A =56,31º; B =26,57º b) A =26,57º; B =56,31º c) A =52, 31º; B =24,57º d) A =24,57o; B =52,31º e) A =20,34º; B =58,62º II) Hallar el potencial eléctrico en el punto P(1; 1; 1) m. a) 22,7 V b) 23,0 V c) 23,3 V d) 23,6 V e) 23,9 V 447.Si X es una función de x y X"+(x-1)X-2X=0, suponer una solución en la forma de una serie de potencias infinita y determinar los valores numéricos de 2 "a " hasta 8 "a " si ao =1 y a1 =-1. 448.En cierta región R del espacio libre, la expresión de un campo de potencial, viene dado por: V=100 ln tg(/2)+50 voltios. I) Hallar el valor máximo de la componente E de la intensidad del campo eléctrico, sobre la superficie =40º para 0<r<0,8 m, 60º<<90º. a) 1,36 kV/m b) 1,46 kV/m c) 1,56 kV/m d) 1,66 kV/m e) 1,76 kV/m II) Describir la superficie de potencial V=80 voltios. a) Superficie cono, =101º b) Superficie cono, =103º c) Superficie cono, =105º d) Superficie cono, =107º e) Superficie cono, =109º V0 0 0 x d A B r v0 M, q -Q Q  0 399

Potencial eléctrico 624 449.En la Fig119, el plano conductor muy
delgado puesto a tierra presente una protuberan cia semiesférica conductora de radio a=10 cm. La carga eléctrica puntual q=810-11 C está situada en el eje de simetría de la protuberancia a una distancia d=15 cm de su centro. (k= 9109 Nm2/C2, p=10-12) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas r=20 cm,   600. a) 2,35 V b) 3,35 V c) 4,35 V d) 5,35 V e) 6,35 V II) Hallar la carga eléctrica total inducida sobre la protuberancia semiesférica. a) -40 pC b) 40 pC c) -80 pC d) 80 pC e) 12 pC 450.En la Fig120, el sistema de 81 cargas eléctricas puntuales iguales a Q=810-9 C, separa das por una distancia de a=1 mm, están en un mismo plano. Hallar la energía de interac ción electrostática entre la carga positiva situada en A, y sus 56 vecinos más próximos. (k=9109 Nm2/C2) a) -1,3 mJ b) -1,6 mJ c) -1,9 mJ d) -2,2 mJ e) -2,5 mJ Fig119 Fig120 451.En la Fig121, la esfera conductora A de radio R=20 cm que está inicialmente aislada tie ne un potencial Vo =10 voltios. A continuación se le acerca otra esfera idéntica B a la dis tancia d=20 m, y se conecta a tierra. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12, n=10-9) I) Hallar la carga eléctrica final de las esferas A y B. a) 0,1 nC; -1 pC b) 0,1 nC; 1 pC c) 0,2 nC; -2 pC d) 0,2 nC; 2 pC e) 0,2 nC; -4 pC II) Hallar el potencial eléctrico final de las esferas A y B. a) 8,55 V; 0,45 V b) 8,66 V; 0,34 V c) 8,77 V; 0,23 V d) 8,88 V; 0,12 V e) 8,99 V; 0,01 V 452.En la Fig122, las esferas idénticas de radio R=10 cm se encuentran alineadas, separadas por las distancias d1 =40 m, d2 =80 m. Inicialmente las esferas A y C estan descargadas y la a a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + A r  d P 0      q r 400

Robótica y Cibernética 625 esfera B tiene carga QB =25
nC. Se unen con un hilo conductor las esferas A y B. A conti nuación se elimina la unión, uniendo con un hilo conductor las esferas B y C. I) Hallar la carga final de la esfera A, en función de los datos. a) 10,5 nC b) 11,5 nC c) 12,5 nC d) 13,5 nC e) 14,5 nC II) Hallar la carga final de la esferas B, en función de los datos. a) 3,249 nC b) 4,249 nC c) 5,249 nC d) 6,249 nC e) 7,249 nC III) Hallar la carga final de la esferas C, en función de los datos. a) 3,251 nC b) 4,251 nC c) 5,251 nC d) 6,251 nC e) 7,251 nC IV) Hallar el potencial eléctrico final de las esferas B y C. a) 525,92 V b) 535,92 V c) 545,92 V d) 555,92 V e) 565,92 V V) Hallar la variación porcentual de la esfera B, cuando d1 experimenta una variación ele mental. a) 155,8 mV b) 165,8 mV c) 175,8 mV d) 185,8 mV e) 195,8 mV Fig121 Fig122 453.Dos conductores cilindricos muy largos de longitud H=30 cm, y radios "R1 ", "R2 " (R1 = 4R2 ), se ponen en contacto entre sí, siendo la densidad de carga superficial total "T " C/m2. Suponiendo que el potencial de un conductor cilindrico muy largo H>>R cargado con densidad superficial de =45 C/m2, viene dada por: V(R/o ) ln(H/R). I) Hallar la densidad de carga superficial (en C/m2) del cilindro de radio R1 . a) 10,58 b) 11,58 c) 12,58 d) 13,58 e) 14,58 II) Hallar la densidad de carga superficial (en C/m2) del cilindro de radio R2 . a) 30,42 b) 31,42 c) 32,42 d) 33,42 e) 34,42 454.En la Fig123, el plano que contiene al anillo de radio R=10 cm, carga q=+10 nC distri buida uniformemente, es paralelo al plano conductor infinito conectado a tierra, y es tan separados por una distancia D=5 cm. Hallar la diferencia de potencial entre el centro del anillo y el plano conductor. (k=9109 Nm2/C2) A Vo d B R R V=0 A d1 B R R V=0 C R d2 401

265,6 V d) 267,6 V e) 269,6 V 455.En la Fig124, la esfera A de radio R=1 cm se carga a un potencial Vo =30 kV y se aisla. Después de estar aislada se le aproxima a la esfera B idéntica puesta a tierra. La distancia entre los centros de las esferas es D=10 cm. I) Hallar la carga eléctrica final de la esfera A. a) 31,3 nC b) 32,3 nC c) 33,3 nC d) 34,3 nC e) 35,3 nC II) Hallar la carga eléctrica final de la esfera B. a) -3,13 nC b) +3,13 nC c) -3,33 nC d) +3,33 nC e) -3,53 nC III) Hallar el potencial eléctrico final de la esfera A. a) 25,67 kV b) 26,67 kV c) 27,67 kV d) 28,67 kV e) 29,67 kV IV) Hallar el potencial eléctrico final de la esfera B. a) 0 kV b) 21,53 kV c) 22,53 kV d) 23,53 kV e) 24,53 kV Fig123 Fig124 456.En la Fig125, la esfera A de radio R=1 cm se carga a un potencial Vo =30 kV y se aisla. Después de estar aislada se le aproxima a la esfera B idéntica puesta a tierra. La distancia entre los centros de las esferas es D=10 cm. I) Hallar la carga final de la esfera A. a) 3,17 pC b) 3,37 pC c) 3,57 pC d) 3,77 pC e) 3,97 pC II) Hallar la carga final de la esfera B. a) 0,317 pC b) 0,337 pC c) 0,357 pC d) 0,377 pC e) 0,397 pC III) Hallar el potencial eléctrico final de la esfera A. a) 3,06 V b) 3,36 V c) 3,56 V d) 3,76 V e) 3,96 V d B A R R +q D V=0 0 01 R 402

Robótica y Cibernética 627 IV) Hallar el potencial eléctrico final
de la esfera B. a) 0,0 mV b) 31,33 mV c) 32,33 mV d) 33,33 mV e) 34,33 mV 457.En la Fig125, la esfera A de radio R=1 cm se carga a un potencial Vo =30 kV y se aisla. Luego, se rodea la esfera A de otra esfera conductora hueca C, de radios interno R1 =2 cm y externo R2 =3 cm, inicialmente neutra y aislada. Hallar la diferencia de potencial entre los puntos p y q, situados a las distancia rp =1,5 cm y rq =3,5 cm del centro común, respecti vamente. (k=9109 Nm2/C2) a) +6,23 kV b) -6,23 kV c) +6,43 kV d) -6,43 kV e) +6,63 kV Fig125 Fig126 458.En la Fig126, la esfera A de radio R=1 cm se carga a un potencial Vo =30 kV y se aisla. Luego, se acerca la esfera B puesta a tierra a una distancia d=10 cm, y finalmente se rodea la esfera A con otra esfera conductora hueca C, de radios interno R1 =2 cm y externo R2 =3 cm, inicialmente neutra y aislada. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico final de la esfera A. a) 24,1 kV b) 24,3 kV c) 24,5 kV d) 24,7 kV e) 24,9 kV II) Hallar el potencial eléctrico final de la esfera C. a) 9,1 kV b) 9,3 kV c) 9,5 kV d) 9,7 kV e) 9,9 kV 459.En la Fig127, la esfera conductora maciza sólida A aislada, de radio R1 =5 cm, y carga eléctrica inicial Q=1 C, es rodeada por un cascarón esférico B de radios interno R2 =10 cm, externo R3 =11 cm. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico de la esfera B. a) 80,8 kV b) 81,8 kV c) 82,8 kV d) 83,8 kV e) 84,8 kV II) Hallar el potencial eléctrico de la esfera A. a) 170,8 kV b) 171,8 kV c) 172,8 kV d) 173,8 kV e) 174,8 kV III) Hallar el potencial de la esfera A, después de haber conectado la esfera B a tierra. Vo R2 A C R1 R Vo R2 A C R1 R d R B 403

Potencial eléctrico 628 a) 90 kV b) 91 kV c)
92 kV d) 93 kV e) 94 kV IV Hallar la carga de la esfera A, después de aislar la esfera B, y conectar la esfera A a tierra. a) 0,28 C b) 0,48 C c) 0,68 C d) 0,88 C e) 0,08 C V) Hallar el potencial eléctrico de la esfera B, después de aislar la esfera B, y conectar la esfe ra A a tierra. a) -40,5 kV b) -41,5 kV c) -42,5 kV d) -43,5 kV e) -44,5 kV VI) Hallar la densidad de carga superficial (en C/m2) en las superficie de la esferas A. a) 12,2 b) 13,2 c) 14,2 d) 15,2 e) 16,2 VII) Hallar la densidad de carga superficial (en C/m2) en la superficie interna de la esfera B a) -3,19 b) -3,39 c) -3,59 d) -3,79 e) -3,99 VIII) Hallar la densidad de carga superficial (en C/m2) en la superficie externa de la esfera B a) -3,04 b) -3,24 c) -3,44 d) -3,64 e) -3,84 IX) Hallar el valor del campo eléctrico E (en kV) en puntos de la superficie de la esfera A. a) 829 b) 839 c) 849 d) 859 e) 869 X) Hallar la presión eléctrica (en N/m2) en puntos de la superficie de la esfera A. a) 11,1 b) 12,1 c) 13,1 d) 14,1 e) 15,1 460. I) En la Fig128, demostrar que el potencial del campo de un dipolo, cuyo momento e léctrico es p , viene dada por: V=p r /4o r3, donde " r " es el radio vector. II) Hallar a partir del potencial, la expresión para la intensidad del campo eléctrico del dipolo en función de "r" y "". Fig127 Fig128 Q R1 B R2 R3 A r P -Q 0 p +Q  404

Robótica y Cibernética 629 461.En la Fig128, en el origen
de un sistema de coordenadas se encuentra un dipolo pun tual, cuyo momento eléctrico es p y que esta orientado en el sentido del eje z positivo. I) Hallar las proyecciones del vector de la intensidad de campo eléctrico Ez y E (en el plano perpendicular al eje z en el punto S.) II) ¿En qué puntos E p  , e indicar el cuerpo geométrico al que pertenece la superficie? a) 51o 44' 8,2" b) 52o 44' 8,2" c) 53o 44' 8,2" d) 54o 44' 8,2" e) 55o 44' 8,2" 462. En un campo eléctrico homogéneo exterior, cuya intensidad es igual a o E , se encuentra un dipolo eléctrico puntual que tiene un momento p siendo o p E . En este caso una de las superficies equipotenciales que abarca el dipolo es una esfera. Hallar el radio de esta esfera, para Eo =4 kN/C, k=9109 Nm2/C2. a) 131p1/3 b) 133p1/3 c) 135p1/3 d) 137p1/3 e) 139p1/3 463. En la Fig129, dos hilos finos y paralelos separados por la distancia "l" se cargan unifor memente hasta la densidad lineal de carga + y -. I) Hallar el potencial eléctrico a la distancia r>>l, bajo un ángulo "" al vector . II) Hallar el campo eléctrico a la distancia r>>l, bajo un ángulo "" al vector 464.En la Fig130, dos anillos coaxiales finos de alambre de radios "R" cada uno se encuen tran a la pequeña distancia "l" uno de otro (l<<R) y tienen cargas +q y -q. I) Hallar el potencial eléctrico en el eje del sistema como función de la coordenadas x. II) Hallar la proyección Ex del vector de la intensidad de campo eléctrico en el eje del siste ma como función de la coordenada x. III) Representar en un mismo dibujo los gráficos aproximados de las dependencias obtenidas. Analizar estas funciones para IxI>>R. Fig129 Fig130 465.En la Fig131, dos planos ilimitados separados por una distancia "l" se cargan uniforme mente hasta la densidad superficial de carga + y -. Los planos tienen orificios coaxiales de radio "R", siendo l<<R. Eligiendo el eje de la coordenada x con origen de referencia O como lo muestra la Figura. I) Hallar el potencial eléctrico en función de x. II) Hallar la proyección del vector de intensidad de campo eléctrico Ex en el eje del sistema R 0 x -q +q r 0 A B  P + - l 405

Potencial eléctrico 630 en función de la coordenadas x. 466.En
la Fig132, se tiene un comndensador plano de placas paralelas circulares delgadas de radio "R" situadas a una distancia "l" (l<<R) una de otra y cargadas uniformemente hasta la densidad superficial de la carga + y -. I) Hallar el potencial eléctrico en el eje del sistema en función de la distancia "x" hasta las placas, si x>>l. II) Hallar la intensidad de campo en el eje del sistema en función de la distancia "x" hasta las placas, si x>>l. III) Analizar las expresiones obtenidas para x>>R. Fig131 Fig132 467.A la distancia "r" de un filamento largo delgado, cargado uniformemente con la densi dad lineal de carga "", se encuentra un dipolo, cuyo momento eléctrico es p . Hallar la fuerza F que actúa sobre el dipolo: I) Si el vector p se orientra a lo largo del filamento. II) Si el vector p se orienta a lo largo del radio vector r . III) Si el vector p se orienta perpendicularmente al filamento y al radio vector r . 468.Hallar el potencial V(x, y) del campo electrostático E =a(yˆ i +xˆ j), donde "a" es una constante, ˆ i , ˆ j son los vectores unitarios de los ejes x e y. 469.Hallar el potencial V(x, y) del campo electrostático E =2axyˆ i +a(x2-y2)ˆ j, donde "a" es una constante, ˆ i , ˆ j son vectores unitarios de los ejes x e y. 470.¿Cuál es el potencial V(x, y, z) del campo electrostático E =ayˆ i +(ax+bz)ˆ j+by ˆ k , donde "a", "b" son constantes, ˆ i , ˆ j, ˆ k son vectores unitarios de los ejes x, y, z? 471.El potencial de un campo en cierta región del espacio depende de la coordenada "x" según la ley: V=-ax3+b, donde "a" y "b" son ciertas constantes. Hallar la distribución de la carga volumétrica (x) en esta región. a) 3ao x b) 4ao x c) 5ao x d) 6ao x e) 7ao x x - l 0 R + x l - R R + 406

Robótica y Cibernética 631 472. Entre dos grandes láminas paralelas
distantes "d" hay una densidad de carga volumétri ca uniforme. La diferencia de potencial entre las láminas es V. I) ¿Con qué valor de la densidad volumétrica de la carga "" la intensidad del campo exis tente cerca de una de las láminas será igual a cero? II) ¿Cuál será en este caso la intensidad del campo en inmediaciones de la otra lámina? 473.El potencial del campo dentro de una bola cargada depende única y exclusivamente de la distancia hasta su centro, según la ley: V=ar2+b, donde "a" y "b" son constantes. Hallar la distribución de la carga volumétrica (r) al interior de la bola. a) -3ao b) -4ao c) -5ao d) -6ao e) -7ao 474.En la Fig133, a la esfera conductora A de centro 0 y radio R1 conectada a tierra. Se la ro dea con otra esfera conductora hueca concéntrica B de radios interios R2 y exterior R3 , que se encuentra aislada con una carga +Q. (R1 =10 cm, R2 =20 cm, R3 =22 cm, Q=4 nC, k =9109 Nm2/C2) I) Hallar la expresión para la carga en la superficie interna de la esfera hueca B, correspon diente al estado de equilibrio. II) Evaluar la expresión para la carga eléctrica obtenida en el inciso I). a) 1,1 nC b) 1,3 nC c) 1,5 nC d) 1,7 nC e) 1,9 nC III) Hallar la expresión para la carga en la superficie interna de la esfera hueca B, correspon diente al estado de equilibrio. IV) Evaluar la expresión para la carga eléctrica obtenida en el inciso III). a) 2,1 nC b) 2,3 nC c) 2,5 nC d) 2,7 nC e) 2,9 nC V) Hallar el potencial eléctrico en la superficie de la esfera sólida A, correspondiente al esta do de equilibrio a) -171 V b) -173 V c) -175 V d) -177 V e) -179 V VI) Hallar el potencial eléctrico en la superficie externa de la esfera hueca B, en el estado de equilibrio. a) 81,9 V b) 82,9 V c) 83,9 V d) 84,9 V e) 85,9 V 475.En la Fig134, un conductor macizo esférico de radio R1 =20 cm se conecta al polo negati vo de una fuente de tensión de potencial V1 =180 V y una vez cargado se aisla. I) Hallar la carga eléctrica sobre el conductor macizo. a) -2 nC b) -3 nC c) -4 nC d) -5 nC e) -6 nC II) Hallar la energía electrostática del conductor macizo. a) 0,30 J b) 0,32 J c) 0,34 J d) 0,36 J e) 0,38 J 407

Potencial eléctrico 632 Fig133 Fig134 476.En la Fig134, el conductor
macizo esférico de radio R1 se conecta al polo negativo de u na fuente de tensión de potencial V1 , y una vez cargados se aisla. A continuación el con ductor A se ubica al interior de una esfera hueca B de radios interno R2 , y externo R3 , que previamente , estuvo conectada al polo negativo de una fuente de tensión de potencial V2 . I) Hallar la carga sobre la superficie de la esfera conductora sólida A. a) -0,24 nC b) -0,34 nC c) -0,44 nC d) -0,54 nC e) -0,64 nC II) Hallar la carga sobre la superficie externa de la esfera conductora hueca B. a) -1,10 nC b) -1,30 nC c) -1,50 nC d) -1,70 nC e) -1,90 nC III) Hallar el potencial eléctrico final de la esfera A. a) -90,43 V b) -92,43 V c) -94,43 V d) -96,43 V e) -98,43 V IV) Hallar el potencial eléctrico final de la esfera B. a) -81 V b) -83 V c) -85 V d) -87 V e) -89 V V) Hallar la energía electrostática del sistema de esferas conductoras. a) 80,96 nJ b) 82,96 nJ c) 84,96 nJ d) 86,96 nJ e) 88,96 nJ 477.En la Fig135, la esfera metálica maciza A, de radio a=10 cm, densidad de carga superfi cial a =4 nC/m2, se encuentra al interior de la esfera hueca conductora B concéntrica de radios interior b=14 y exterior c=16 cm. La esfera hueca está conectada a tierra a través de la batería Vo =12 voltios. I) Hallar la densidad de carga superficial (en nC/m2) interior de la esfera B. a) -2,04 b) -2,24 c) -2,44 d) -2,64 e) -2,84 II) Hallar la densidad de carga superficial (en nC/m2) externa de la esfera B. a) 0,36 b) 0,46 c) 0,56 d) 0,66 e) 0,76 III) Hallar la magnitud del campo electrostático (en N/C), para r=17 cm. +Q R1 B R2 R3 A V1 R1 0 408

d) 66,44 e) 68,44 nC III) Hallar la magnitud del campo electrostático (en N/C), para r=15 cm. a) 0 b) 50 c) 52 d) 54 e) 56 IV) Hallar la magnitud del campo electrostático (en N/C), para r=12 cm. a) 310,16 b) 312,16 c) 314,16 d) 316,16 e) 318,16 V) Hallar la magnitud del campo electrostático (en N/C), para r=8 cm. a) 0 b) 320 c) 322 d) 324 e) 326 VI) Hallar el potencial electrostático (en voltios), para r=17 cm. a) 10,29 b) 11,29 c) 12,29 d) 13,29 e) 14,29 VII)Hallar el potencial electrostático (en voltios), para r=15 cm. a) 10,00 b) 11,00 c) 12,00 d) 13,00 e) 14,00 VIII) Hallar el potencial electrostático (en voltios), para r=12 cm. a) 15,39 b) 16,39 c) 17,39 d) 18,39 e) 19,39 IX) Hallar el potencial electrostático (en voltios), para r=8 cm. a) 20,93 b) 21,93 c) 22,93 d) 23,93 e) 24,93 478.En la Fig136, tres esferas maciza metálicas idénticas de radio R=10 cm, con sus cen tros alineados (R<<d). La esfera "1" tiene una carga q=4 nC, la esfera "2" está conectada a tierra, y la esfera "3" tiene una carga q=4 nC. (d1 =d2 =10 m) I) Hallar la carga de la esfera "2". a) -50 pC b) -60 pC c) -70 pC d) -80 pC e) -90 pC II) Hallar el potencial electrico de la esfera "1" a) 361,73 V b) 363,73 V c) 365,73 V d) 367,73 V e) 369,73 V III) Hallar el potencial eléctrico de la esfera "3". a) 361,73 V b) 363,73 V c) 365,73 V d) 367,73 V e) 369,73 V Después, se anula la conexión a tierra de la esfera "2" y se conectan las tres esferas con un alambre delgado. IV) Hallar la carga eléctrica de la esfera "1". a) 1,74 nC b) 2,04 nC c) 2,34 nC d) 2,64 nC e) 2,94 nC 409

Potencial eléctrico 634 V) Hallar la carga eléctrica de la
esfera "2". a) 1,38 nC b) 1,68 nC c) 1,98 nC d) 2,28 nC e) 2,58 nC VI) Hallar el potencial eléctrico de las esferas idénticas a) 235,5 V b) 237,5 V c) 239,5 V d) 241,5 V e) 243,5 V Fig135 Fig136 479.En la Fig137, el filamento conductor rectilíneo muy largo cargado con una densidad de carga lineal +, es paralelo al plano conductor conectado a tierra, y estan separados por u na distancia "d". (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la densidad de carga superficial inducida i en el plano. II) Evaluar el inciso I), para =8 nC/m, r=4 cm, y =60o, expresando i (en nC/m2) a) -31,83 b) -32,83 c) -33,83 d) -34,83 e) -35,83 II) Hallar la carga inducida por unidad de longitud en el plano. a) -/2 b) +/2 c) -/4 d) +/4 e) - III) Hallar la magnitud de la fuerza por unidad de longitud (en N/m) entre el filamento y el plano para: =8 nC/m, d=5 cm. a) 10,52 b) 11,52 c) 12,52 d) 13,52 e) 14,52 480.En la Fig138, las tres esferas macizas "1", "2", "3" idénticas de radio "r" estan separa das entre si por la distancia "a" (r<<a). Cada una de las tres esferas está aislada y con car ga eléctrica +Q. Sucesivamente, y en el orden 1, 2, 3 se une cada esfera a tierra y luego se aisla de nuevo. (Q=8 nC, r=5 mm, a=20 cm, k=9109 Nm2/C2, n=10-9, p=10-12) I) Hallar la carga eléctrica final de la esfera "1". a) -0,1 nC b) -0,2 nC c) -0,3 nC d) -0,4 nC e) -0,5 nC II) Hallar la carga eléctrica final de la esfera "2". a) -0,19 nC b) -0,29 nC c) -0,39 nC d) -0,49 nC e) -0,59 nC a B b c A a Vo 1 d1 2 R R 3 R d2 q q 410

Robótica y Cibernética 635 III) Hallar la carga eléctrica final
de la esfera "3". a) 10,75 pC b) 12,75 pC c) 14,75 pC d) 16,75 pC e) 18,75 pC IV) Se unen ahora las esferas "2" y "3", mediante un hilo conductor muy fino, cuyo efecto e lectrostático es despreciable. Hallar el potencial eléctrico de la esfera "1". a) -141,58 V b) -143,58 V c) -145,58 V d) -147,58 V e) -149,58 V V) Después de unen las tres esferas mediante un hilo conductor muy fino. Hallar el potencial eléctrico en el centro del triángulo equilátero. a) -40,84 V b) -42,84 V c) -44,84 V d) -46,84 V e) -48,84 V Fig137 Fig138 481.En la Fig139, los alambres idénticos en forma de semicircunferencias de radio "R", densidades de carga lineal +, y -, están situados en planos paralelos, separados por una distancia "h" (h<<R), y el eje z es perpendicular a ambos planos. (=4 nC/m, h=2 mm, z=1 cm, R=20 cm, k=9109 Nm2/C2). I) Hallar la expresión del campo eléctrico en el punto P del eje z, en función de , R, z, h. II) Evaluar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, obtenido en I). a) 4,02 N/C b) 4,42 N/C c) 4,82 N/C d) 5,22 N/C e) 5,62 N/C III) Hallar la expresión del potencial eléctrico en el punto P del eje z, en función de , R, z, h. IV) Evaluar el potencial eléctrico en el punto P, obtenido en III). a) 1,13V b) 1,33 V c) 1,53 V d) 1,73 V e) 1,93 V 482.En la Fig140, los filamento conductores idénticos muy delgados de longitudes "l", den sidades de carga + y -, paralelos entre si, se encuentran contenidos en el plano x-z. Los filamentos estan separados por la distancia "c". (=40 pC/m, h=4 cm, c=10 cm, k=9109 Nm2/C2, l>>1.) I) Hallar la expresión del campo eléctrico en el punto P(0, 0, h), situado en el eje-z, creados por ambos fila mentos cargados. Q a a a Q Q (1) (2) (3) z + y 0 x 411

Potencial eléctrico 636 II) Evaluar la magnitud del campo eléctrico
en el punto P, obtenida en I). a) 21,21 N/C b) 22,21 N/C c) 23,21 N/C d) 24,21 N/C e) 25,21 N/C III) Hallar la expresión del campo eléctrico en el punto P(0, 0, h), asumiendo que los filamen tos se asocia a un dipolo eléctrico. IV) Evaluar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, obtenida en II). a) 31,82 N/C b) 32,82 N/C c) 33,82 N/C d) 34,82 N/C e) 35,82 N/C V) Comprobar que los resultados obtenidos en I y II), son equivalentes, y hallar el error por centual cometido al suponer una aproximación de dipolo en el punto P. a) 50 % b) 52 % c) 54 % d) 56 % e) 58 % Fig139 Fig140 483.Se tiene una esfera conductora de radio R=100 mm, y carga eléctrica Q=+100 nC distri buida uniformemente en la esfera. I) Hallar la cantidad de carga Q' que debe añadirse a la esfera, para que la presión electrostá tica aumente en 100 %. a) 41,4 nC b) 42,4 nC c) 43,4 nC d) 44,4 nC e) 45,4 nC II) Hallar la razón de los potenciales eléctricos de la esfera, después y antes de añadir la car ga eléctrica Q'. a) 3 b) 2 c) 2 3 d) 2 2 e) 5 484.En la Fig141, la hoja eléctrica de potencia U está formada por dos láminas delgadas pa ralelas de densidades de carga superficiales +, -, y separadas por la distancia "d". Ha llar el potencial eléctrico en el punto P, creado por la hoja eléctrica. (k=9109 Nm2/C2) a) kU b) 2kU c) 3kU d) 2kU/3 e) 3kU/2 485.En la Fig142, se tiene un segmento rectlineo de longitud "2c" y densidad de carga lineal uniforme "", situado sobre el eje x. z x + - 0 R y P  h z z 0 P y c x  + - l 412

Robótica y Cibernética 637 I) Hallar el potencial eléctrico en
un punto P cualquiera. II) Hallar la ecuación de las superficies equipotenciales. III) Hallar el campo eléctrico en un punto P cualquiera. IV) Hallar la razón de las magnitudes del campo eléctrico en la circunferencia ecuatorial del e lipsoide de semiejes "a", "b" y el vértice del elipsoide. [Sugerencia: Una vez obtenido el potencial, expresar la posición del punto mediante las distancia r1 y r2 a los extremos del segmento, y hacer el cambio u=(r1 +r2 )/2, v=(r1 -r2 )/2. Fig141 Fig142 486.En la Fig143, la corona circular metálica de radios interno R1 =10 cm, externo R2 =14 cm y espesor despreciable, tiene una densidad de carga superficial de =8 nC/m2. I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P, situado a la distancia z=4 cm. a) 41,7 N/C b) 42,7 N/C c) 43,7 N/C d) 44,7 N/C e) 45,7 N/C II) Hallar el potencial eléctrico en el punto P, situado a la distancia z=4 cm. a) 14,1 V b) 15,1 V c) 16,1 V d) 17,1 V e) 18,1 V III) Hallar la posición de un punto situado en el eje z, en el cual, la magnitud del campo eléc trico es máximo. a) 8,1 cm b) 8,3 cm c) 8,5 cm d) 8,7 cm e) 8,9 cm IV) Hallar la magnitud del campo eléctrico, en un punto situado sobre el eje z. a) 54,2 N/C b) 55,2 N/C c) 56,2 N/C d) 57,2 N/C e) 58,2 N/C 487.En la Fig144, el aro circular metálico de radio R=10 cm, muy delgado, tiene una densi dad de carga lineal, dada por: =o sen(/2), o =80 pC/m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro 0 de aro. a) 9,0ˆ i N/C b) 9,2ˆ i N/C c) 9,4ˆ i N/C d) 9,6ˆ i N/C e) 9,8ˆ i N/C II) Hallar el potencial eléctrico en el centro 0 del aro. a) 2,08 V b) 2,28 V c) 2,48 V d) 2,68 V e) 2,88 V 488.En la Fig145, en el centro de la esfera metálica hueca aislada y descargada, de radio me d P - +  y c P x -c r 0 413

Potencial eléctrico 638 dio "Ro ", y espesor "e", se
ubica una carga puntual "Q" . Hallar el potencial eléctrico en la región en la que se encuentra la carga. Fig143 Fig144 489.En la Fig146, los filamentos delgados paralelos muy largos, tienen densidades de carga uniformes =-=8 nC/m, respectivamente; y estan separados por la distancia 2a=8 cm. Hallar el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas x=y=6 cm, z=0.. a) -85,1 V b) -86,1 V c) -87,1 V d) -88,1 V e) -89,1 V 490.En la Fig147, se tiene una distribución de cargas puntuales en el plano xy: "Q" en (a, 0), "-2Q" en (0, 0), y "Q" en (-a, 0). Esta distribución de cargas se llama cuadrupolo. I) Hallar el campo eléctrico en un punto P(r, ) del plano, con r>>a. II) Hallar el potencial eléctrico en un punto P(r, ) del plano, con r>>a. Fig145 Fig146 491.En la Fig148, cuatro filamento delgados conductoras muy largos, de densidades de car gas lineales uniformes (en C/m), tienen sus trazas en el plano xy en lo puntos: + en (1, 1) m, - en -1, 1) m, + en (-1, -1) m y - en (1, -1) m. Hallar el potencial eléctrico en el pun to P(r, ) para r>>2. a) 9,15 V b) 9,35 V c) 9,55 V d) 9,75 V e) 9,95 V z  R1 R2 0 x R 0   e Ro Q y 2a 0 x P z + - r 414

Robótica y Cibernética 639 Fig147 Fig148 492.En la Fig149, entre
dos placas metálicas, paralelas e indefinidas, separadas por una dis tancia "d", existe una distribución uniforme de carga de densidad "". Ambas placas se encuentran a potencial cero.(k=9109 Nm2/C2, d=20 cm, =8 nC/m3) I) Hallar el potencial eléctrico a una distancia x=12 cm de la placa inferior. a) 4,14 V b) 4,34 V c) 4,54 V d) 4,74 V e) 4,94 V II) ¿A qué distancia de la placa inferior, se produce el valor máximo del campo eléctrico? a) 8 cm b) 9 cm c) 10 cm d) 11 cm e) 12 cm III) Hallar el valor máximo del potencial eléctrico, y el punto en el que se produce. a) 4,12 V b) 4,32 V c) 4,52 V d) 4,72 V e) 4,92 V 493.En la Fig150, dos esferas metálicas de radios R y 2R se ponen a potencial cero, y en el espacio comprendido entre ambas se introduce una distribución de carga, cuya densidad, viene dada por: (r)=o (1+R2/r2) C/m3, siendo "r" la distancia desde el centro común. Ha llar el valor de la carga contenida en la esfera interior. (R=12 cm, o=8 nC/m3, p=10-12) a) -181 pC b) -183 pC c) -185 pC d) -187 pC e) -189 pC Fig149 Fig150 x 0 y P(x,y) -a Q Q -2Q +a r  x r (1,1) 0  y (-1,1) (-1,-1) (1,-1) P(r,)  R 0 2R  V=0 x V=0 d 415

Potencial eléctrico 640 494.En la Fig151, se tiene un dipolo
de momento dipolar m , ubicado en el espacio libre. I) Hallar la expresión del campo eléctrico en un punto P. II) Hallar la expresión del potencial eléctrico en un punto P. 495.I) En la Fig152, hallar el potencial eléctrico en el punto P, creado por la combinación de los dipolos eléctricos mostrados. Las cargas y el punto P están en el plano x-y. (Q=4 pC, l=4 mm, d=5 mm, r=8 mm, =18o, k=9109 Nm2/C2) a) -1,04 V b) -1,24 V c) -1,44 V d) -1,64 V e) -1,84 V II) Si se aumenta en 50 % el valor de cada carga, y en 50 % la distancia r al punto P, hallar el cambio porcentual que experimenta el potencial eléctrico en el punto P. a) 51,6 % b) 53,6 % c) 55,6 % d) 57,6 % e) 59,6 % Fig151 Fig152 496.En la Fig153, los casquetes semiesfericos de radio R=20 cm, y densidades de carga su perficiales de =8 nC/m2, se comportan como dispolo eléctrico para puntos lejanos. Ha llar el momento dipolar (en 10-9 mC) de este dipolo. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) 0,20ˆ i b) 0,30ˆ i c) 0,40ˆ i d) 0,50ˆ i e) 0,60ˆ i Fig153 Fig154 P +Q 0 r +Q -Q -Q y x d l  r P   +Q eje d -Q m x 0 - +  z R2 P  a 0 + - R1 z 416

Robótica y Cibernética 641 497.En la Fig154, las coronas circulares
muy delgadas paralelas de radios interno R1 =14 cm, externo R2 =12 cm, tienen densidades de carga superficiales de =4 nC/m2, y estan sepa radas por la distancia a=1mm. Hallar el potencial eléctrico en el punto P, situado a la dis tancia z=1 m. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) a) -0,17 mV b) -0,37 mV c) -0,57 mV d) -0,77 mV e) -0,97 mV 498.En la Fig155, se tiene una hoja eléctrica de potencia "U" en forma de casquete semi esférico de radio "R". (0, U=80 pC/m, R=20 cm, k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el centro 0 del casquete. a) 4,12 V b) 4,32 V c) 4,52 V d) 4,72 V e) 4,92 V II) Hallar el campo eléctrico en el centro 0 del casquete. a) 20,62 N/C b) 21,62 N/C c) 22,62 N/C d) 23,62 N/C e) 24,62 N/C 499.En la Fig156, la hoja eléctrica de potencia U=400 pC/m, tiene la forma de tronco de co no sin bases, de radios "R1 ", "R2 " (R2 =2R1 ) y altura d=10 cm. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el vértice 0 del cono, que contiene al tronco de cono. a) 0 b) 10,4 V c) 12,4 V d) 14,4 V e) 16,4 V II) Hallar el campo eléctrico (en N/C) en el vértice 0 del cono. a) -41,7ˆ i b) -42,7ˆ i c) -43,7ˆ i d) -44,7ˆ i e) -45,7ˆ i Fig155 Fig156 500.En la Fig157, la hoja eléctrica en forma de cilindro sin bases de longitud l=10 cm, y ra dio R=5 cm, tiene una potencia de U=10-10 C/m. Hallar el valor máximo del campo eléctri co en el eje del cilindro. (k=9109 Nm2/C2) a) 90,7 N/C b) 92,7 N/C c) 94,7 N/C d) 96,7 N/C e) 98,7 N/C 501.En la Fig158, la hoja de potencia "U" está formada por dos cilindros de radios "R1 ", "R2 " concentricos (eje común), de longitudes muy grandes (infinitas). (U=400 pC/m, R1 U d x R2 0   U R 417

Potencial eléctrico 642 R1 =20 cm, R2 =15 cm, k=9109
Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto 0, ubicado en el eje x. a) 41,2 V b) 42,2 V c) 43,2 V d) 44,2 V e) 45,2 V II) Hallar el campo eléctrico en el punto 0, ubicado en el eje x. a) 35,7ˆ i N/C b) 36,7ˆ i N/C c) 37,7ˆ i N/C d) 38,7ˆ i N/C e) 39,7ˆ i N/C Fig157 Fig158 502.En la Fig159, la hoja eléctrica en forma de hiperboloide de revolución de una sóla hoja tiene una potencia "U". Hallar el potencial eléctrico en los puntos del eje OZ en función de z. La ecuación de la superficie es: 2x2+2y2-z2=10. a) 3U/2o b) 3 U/4o c) 6 U/2o d) 6 U/3o e) 8 U/2o 503.En la Fig160, la hoja eléctrica de forma de cinta plana rectangular, tiene ancho "2b" y potencia "U". La hoja se encuentra en el plano YZ, el eje Z pasa por el medio de la cinta, y la cara positiva esta en el eje x positiva. I) Hallar las líneas equipotenciales en el plano XY. II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto del eje x. Fig159 Fig160 504.Demostrar que la energía eléctrica de un dipolo introducido en una región R del x U l/2 0 l/2 R  x R1 R2  0 z y x 0 U z 0 2b x y U 418

Robótica y Cibernética 643 espacio, en la que existe un
campo eléctrico o E , viene dada por: W=- o m E , donde m es el mo mento dipolar. 505.En la Fig161,en el condensador cilindrico formado por dos cilindros concentricos de ra dios "R1 ", "R2 " (R1 <R2 ), puesta a potencial "Vo ", se desplaza el conductor interior en la di rección del eje, quedando una longitud "l" al interior del condensador. Hallar la magnitud de la fuerza que tiende a mover el cilindro interno. (k=9109 Nm2/C2, R1 =6 cm, R2 =8 cm, Vo =12 V) a) 11,9 nN b) 13,9 nN c) 15,9 nN d) 17,9 nN e) 19,9 nN 506.En la Fig162, la carga puntual Q=80 pC, se encuentra a la distancia a=20 cm de ambos semiplanos conductores infinitos perpendiculares conectados a tierra. Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto P, que dista b=10 cm de ambos semiplanos. (k=9109 Nm2/C2, p=10-12). a) 35,44 N/C b) 36,44 N/C c) 37,44 N/C d) 38,44 N/C e) 39,44 N/C Fig161 Fig162 507.En la Fig163, la distancia de separación entre las placas metálicas, paralelas, muy gran des conectadas a tierra es "2a". En un punto equidistante de las placas se coloca una carga puntual "Q". Hallar la magnitud del campo eléctrico máximo en puntos situados en la su perficie de la placa, con un error menor que el 2 %. a) 3,17 kN/C b) 3,27 kN/C c) 3,37 kN/C d) 3,47 kN/C e) 3,57 kN/C 508.En la Fig164, se tiene una esfera metálica hueca de radio "R" puesta a potencial "Vo" frente a un placa conductora a potencial cero, siendo "D/2" la distancia entre el centro de la esfera y la placa. Estudiar la sucesión de imágenes necesarias para resolver el proble ma. 509.En la Fig165, la placa delgada muy grande separa dos regiones, la primera región (I) con dieléctrico "", y la segunda región (II) con dieléctrico "o ". Se coloca una carga puntual "Q" en la región (II) a una distancia "a" de la placa. I) Hallar la distribución de potencial eléctrico en todo el espacio. a Q a l R1 eje R2 419

Potencial eléctrico 644 II) Hallar la densidad de carga de
polarización en la superficie de la placa. III) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la carga puntual real "Q". Fig163 Fig164 510.En la Fig166, la carga puntual Qo =8 nC se encuentra a la distancia D=8 cm del centro de la esfera metálica hueca aislada de radio R=4 cm. ¿Qué carga debe tener la esfera para que una mitad de superficie este cargada positivamente, y el resto negativamente? a) -1,05 pC b) -1,25 pC c) -1,45 pC d) -1,65 pC e) -1,85 pC Fig165 Fig166 511.En la Fig167, a la esfera de radio R=8 cm de potencial Vo =12 V, se le acerca una carga puntual "Q", y se observa que a la distancia D=10 cm del centro de la esfera, la fuerza que experimenta esta carga es nula. Hallar el valor de "Q". a) 15,28 pC b) 16,28 pC c) 17,28 pC d) 18,28 pC e) 19,28 pC 512.En la Fig168, se tiene dos cargas puntuales "Q" separadas por una distancia "2d". Se ubi ca entre estas cargas una esfera metálica a potencial cero, con su centro equidistante de las cargas. ¿Para que valor del radio "R" de la esfera, la fuerza sobre las cargas es nula? (d=40 cm, k=9109 Nm2/C2). a) 1 cm b) 2cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm 513.En la Fig169, el filamento delgado muy largo de densidad de carga lineal =8 nC/m, es paralelo al eje del cilindro conductor de radio R=5 cm. La distancia del filamento al eje 2a Q D/2 V=0 Vo R D Qo 0 Circunferencia neutra R (II) Q  (I) a o 420

Robótica y Cibernética 645 del cilindro es d=8 cm. (k=9109
Nm2/C2). I) Hallar el potencial eléctrico en un punto P de coordenadas r=7 cm, =60o, medidos respec to del eje del cilindro. a) -31,33 V b) -32,33 V c) -33,33 V d) -34,33 V e) -35,33 V II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto P de coordenadas r=7 cm, =60o, me didos respecto del eje del cilindro. a) 1,16 kN/C b) 1,36 kN/C c) 1,56 kN/C d) 1,76 kN/C e) 1,96 kN/C III) Hallar la densidad de carga superficial (en nC/m2) en un punto de la superficie del cilin dro para r=5 cm, =60o. a) -20,8 b) -22,8 c) -24,8 d) -26,8 e) -28,8 Fig167 Fig168 514.En la Fig170, en el interior de un cilindro metálico hueco de radio R, hay dos filamentos muy largos con densidades de carga lineal , paralelas al eje del cilindro y simetricamen te desplazadas respecto a este. Hallar la distancia entre los filamentos, para que la fuerza de atracción entre ellas sea nula. (k=9109 Nm2/C2). a) 0,19R b) 0,29R c) 0,39R d) 0,49R e) 0,59R Fig169 Fig170 Q V=0 d Q 0 d D Q R Vo 0 eje R d  eje R  - 421

Potencial eléctrico 646 515.En la Fig170, repetir el problema anterior
imponiendo la condición de que el valor abso luto de la carga inducida en la cara interna del tubo tenga un valor máximo numéricamen te igual a "". a) 7,09 cm b) 7,29 cm c) 7,49 cm d) 7,69 cm e) 7,89 cm 516.En la Fig171, la carga puntual "Q" se encuentra cerca de la esfera conductora descarga da de radio "R". ¿A qué distancia "D" del centro de la esfera, se debe encontrar la carga "Q", para que la línea neutra se reduzca a un punto? a) 3/2R b) 4/3R c) R d) 2R e) 5/3R 517.En la Fig172, un rayo electrónico cilindrico de radio "a" pasa junto a un plano conduc tor paralelo a su eje, y que esta situado éste. Hallar el campo eléctrico que tiende a disper sar el rayo en los bordes más cercano y más lejano del conductor, respectivamente. Fig171 Fig172 518.En la Fig173, una carga puntual de Q=40 pC se coloca a una distancia d=4 cm del plano conductor. Hallar la densidad de carga inducida (en nC/m2) en el plano conductor a la dis tancia y=3 cm de la línea que pasa por la carga y corta al plano perpendicularmente. a) -1,03 b) -2,03 c) -3,03 d) -4,03 e) -5,03 519.En la Fig174, un filamento metálico muy delgado con densidad de carga lineal =80 pC/m se coloca a la distancia d=4 cm del plano conductor. Hallar la densidad de carga inducida (en nC/m2) en el plano conductor a la distancia y=3 cm de la línea que pasa por el filamento y corta al plano perpendicularmente. a) -20,4 b) -22,4 c) -24,4 d) -26,4 e) -28,4 520.En la Fig175, una espira circular de radio R=10 cm, de conductor muy delgado se carga con Q=80 pC, distribuidos uniformemte. Se coloca una esfera de radio R=10 cm, aislada y descargada, tangente al plano de la espira en el centro de ésta. Hallar el potencial que ad quiere la esfera. a) 4,5 V b) 4,7 V c) 4,9 V d) 5,1 V e) 5,3 V Q R Vo 0 D eje a d plano + rayo 422

Robótica y Cibernética 647 Fig173 Fig174 521.En la Fig176, una
superficie plana en forma de corona circular de radios R1 =8 cm y R2 =10 cm, tiene una densidad de cara superficial de =8 nC/m2. Una esfera metálica de ra dio R=6 cm, previamente aislada y descargada, se coloca con su centro coincidente con el de la corona. Hallar el potencial eléctrico de la esfera. (k=9109 Nm2/C2). a) 9,05 V b) 9,25 V c) 9,45 V d) 9,65 V e) 9,85 V Fig175 Fig176 522.En la Fig177, una esfera conductora de radio "R", se introduce en un campo eléctrico u niforme o E(r) E  . Hallar el potencial eléctrico en la vecindad de la esfera, para los si guientes casos: I) La esfera está conectada a potencial cero. II) La esfera está conectada a potencial "Vo ". III) La esfera tiene carga total "Q". 523.En la Fig178, hallar el potencial eléctrico en el centro del cubo, cuyas caras están todas a potencial cero, excepto una que está al potencial eléctrico "Vo". a) Vo /2 b) Vo /3 c) Vo /4 d) 2Vo /3 e) Vo /6 d plano P y Q d plano P y  R R 0 Q R R1 0  R2 423

Potencial eléctrico 648 Fig177 Fig178 524.En la Fig179, la superficie
esférica esta a potencial cero, excepto en la región definida por 0/3, 0/2, el potencial es "Vo ". Hallar el potencial eléctrico en el centro 0 de la esfera. a) Vo /6 b) Vo /4 c) Vo /3 d) 2Vo /3 e) Vo /12 525.En la Fig180, la superficie del segmento esférico esta a potencial Vo , el resto de la super ficie de la esfera a potencial cero. Hallar el potencial en el centro C de la esfera. a) 6Vo b) 2Vo c) Vo /2 d) 3/4Vo e) 12Vo Fig179 Fig180 526.En la Fig181, la esfera de radio a=8 cm, que presenta un orificio esférico de radio b=4 cm, tiene una densidad de carga volumétrico de =8 nC/m3. Hallar el potencial eléctrico a la distancia r=9 cm del centro comun 0. (k=9109 Nm2/C2). a) 1,1 V b) 1,3 V c) 1,5 V d) 1,7 V e) 1,9 V 527.En la Fig182, se tiene una placa muy delgada metálica de lados a=20 cm, b=16 cm. Los potenciales en los bordes de la placa son: x=0, V=0, x=a, V=0, y=0 V=0, y=b, V=Vo =12 voltios. Considerando los tres primeros términos de la suma. z r P(r,) R 0  Eo  Vo 0 h C a R Vo z C P y x   R 424

Robótica y Cibernética 649 I) Hallar el potencial eléctrico en
el punto P de coordenadas x=10 cm, y=8 cm. a) 3,106 V b) 3,306 V c) 3,506 V d) 3,706 V e) 3,906 V II) Hallar el porcentaje que representa el segundo término, respecto del primer término. a) 2,11 % b) 2,31 % c) 2,51 % d) 2,71 % e) 2,91 % III) Hallar el porcentaje que representa el tercer término, respecto del primer término. a) 0,013 % b) 0,023 % c) 0,033 % d) 0,043 % e) 0,053 % Fig181 Fig182 528.En la Fig183, hallar la función de potencial eléctrico en el interior de un cilindro conduc tor ilimitado, cuya traza (rectangular) en el plano, está dada por: y=0, V=0, y=b V=0, x=-a, V=Vo , x=+a, V=Vo . Hallar el potencial eléctrico sumando los tres primeros térmi nos, para: a=40 cm, b=10 cm, x=20 cm, y=5 cm, Vo =12 V. a) 25,53 V b) 26,53 V c) 27,53 V d) 28,53 V e) 29,53 V 529.En la Fig184, en un plano se tiene un contorno formado por un cuadrante de corona cir cular de radios "R1 ", "R2 " (R1 <R2 ). Los arcos están a Vo , y los segmentos rectilineos a cero voltios. Hallar la función de potencial eléctrico para los puntos internos. Fig183 Fig184 0 b a - + P r x 0 y V=Vo V=0 V=0 V=0 a b x V=0 -a 0 y +a V=0 V=Vo V=Vo b V=0 0 R1 R2 V=0 V=Vo V=Vo 425

Potencial eléctrico 650 530.En la Fig185, se tiene una región
sin cargas limitada por los semiplanos y=0, y=b, que se extienden desde x=0, hasta x, y la porción de plano x=0 comprendida entre y=0 e y=b. Hallar la función de potencial eléctrico al interior de la región. 531.En la Fig186, hallar la función de potencial eléctrico en el interior de un cilindro conduc tor muy largo limitado por los planos: x=a a V=Vo , y=0 a V=V1 e y=b a V=0. Fig185 Fig186 532.Considerese una región bidimensional rectangular, con las condiciones de frontera sigui entes: en x=0, V=0, en x=a, V=Fy. Imponer condiciones adecuadas al potencial en los o tros dos bordes del rectángulo, y obtener la función de potencial al interior. 533.En la Fig187, se muestra una placa conductora muy delgada de lados "a", "b", cuyo borde izquierdo satisface las condición de frontera: V/x=0; y los bordes superior, infe rior y derecho están a los potenciales V=0. I) Hallar la expresión del potencial eléctrico para puntos: 0 x a   , 0 y b   . II) Hallar el potencial eléctrico para: a=5 cm, b=10 cm, x=2 cm, y=2 cm, V0 =20 voltios y n=3. a) 7,07 V b) 7,37 V c) 7,67 V d) 7,97 V e) 8,27 V III) ¿Qué porcentaje representa el segundo termino, respecto del primer termino? a) 4,8 % b) 5,8 % c) 6,8 % d) 7,8 % e) 8,8 % 534.En la Fig187, se muestra una placa conductora muy delgada de lados "a", "b" cuyos bordes izquierdo y derecho están a los potenciales V=0 y V=V0 ; y los bordes inferior y su perior están a los potenciales V=0. I) Hallar la expresión del potencial eléctrico para puntos de la placa. II) Evaluar la expresión del potencial eléctrico para: a=4 cm, b=8 cm, V0 =10 V, x=2 cm, y=4 cm, sumando los cinco primero términos (n=5). a) 3,0 V b) 3,5 V c) 4,0 V d) 4,5 V e) 5,0 V 535.Se tiene una placa conductora muy delgada de lados "2a", "b" situado en el plano XY, sus bordes izquierdo y derecho están en x a   y ambos están al potencial V=V0 , y los V=0 0  y x V=0  V=Vo b V=0 -a V=Vo V=Vo y +a V=V1 x b 426

Robótica y Cibernética 651 bordes inferior y superior están en
y=0 y y=b y ambos están al potencial nulo V=0. I) Hallar la expresión del potencial eléctrico para puntos de la placa. II) Evaluar la expresión del potencial eléctrico para: a=4 cm, b=8 cm, V0 =10 V, x=2 cm, y=4 cm, sumando los cuatro primeros términos (n=4). a) 6,04 V b) 6,34 V c) 6,64 V d) 6,94 V e) 7,24 V Fig187 Fig184 536.En la Fig188, en el centro de la esfera conductora de radio a=4 cm, conectada a tierra, se encuentra un dipolo eléctrico de momento dipolar m=4,2910-12 m.C. I) Hallar la densidad de carga superficial inducida en la superficie interna de la esfera, para   600. a) -6 nC/m2 b) -7 nC/m2 c) -8 nC/m2 d) -9 nC/m2 e) -10 nC/m2 II) Hallar el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas r=2 cm.   450. a) 30,1 V b) 32,1 V c) 34,1 V d) 36,1 V e) 38,1 V 537.En la Fig189, las mitades del cilindro hueco de paredes delgadas de radio R=10 cm, y muy largo, están a los potenciales de Va =8 V y Vb =4 V. El eje Z coincide con el eje del ci lindro hueco. I) Hallar las expresiones de los potenciales al interior y exterior del cilindro. II) Evaluar el potencial, para el punto M de coordenadas r=5 cm y =300, y n=4. a) 6,05 V b) 6,35 V c) 6,55 V d) 6,75 V e) 6,95 V III) Evaluar el potencial, para el punto N de coordenadas r=15 cm y =300. a) 6,52 V b) 6,82 V c) 7,12 V d) 7,42 V e) 7,72 V IV) Hallar la diferencia de potencial entre los puntos N y M. a) 0,21 V b) 0,25 V c) 0,25 V d) 0,33 V e) 0,37 V V) Hallar el potencial en el eje del cilindro (0 origen del sistema de coordenadas polar). a) 4,0 V b) 4,5 V c) 5,0 V d) 5,5 V e) 6,0 V b a 0 Y X a r P m   427

Potencial eléctrico 652 538.En la Fig190, la esfera conductora sólida,
cuyo es a=6 cm, está rodeada por una cubierta conductora esférica concéntrica de radio interno b=9 cm, la cual está conectada a tierra. Si la esfera interna se pone al potencial de V0 =100 voltios, hallar su carga eléctrica total. (k= 9109 Nm2/C2, n=10-9 ) a) 1 nC b) 2 nC c) 3 nC d) 4 nC e) 5 nC Fig189 Fig190 539.Demostrar que la solución de la ecuación de Laplace 2V 0   para el potencial, en coor denadas esféricas, para el caso que el problema presenta simetría axial y en ausencia de cargas libres, viene dada por: V(r, )= n (n 1) n n n n 0 [A r B r ]P (cos )        , siendo Pn (cos) los polinomios de Legendre de orden "n". 540.Demostrar que los polinomios de Legendre satisfacen la condición de ortogonalidad, dada por: 1 ´ ´ 1 2 P (x)P (x)dx 2 1      . 541.En la Fig191, la superficie hemisférica del conductor hueco de radio R=10 cm está al po tencial de V0 =10 voltios, en tanto su base está al potencial V=0. I) Hallar el potencial para puntos interiores al hemisferio ( r R  ). II) Hallar el potencial en un punto de coordenadas: r=5 cm,   600, sumando los tres prime ros términos de la serie (k=0, 1, 2) a) 3,63 V b) 3,93 V c) 4,23 V d) 4,53 V e) 4,83 V III) ¿Qué porcentaje representa el tercer termino, respecto del primer termino? a) 0,17 % b) 0,37 % c) 0,57 % d) 0,77 % e) 0,97 % 542.En la Fig192, el plano conductor infinito tiene una protuberancia de radio R=10 cm. El po tencial de la protuberancia es V0 =10 V, en tanto, la del plano es V=0. I) Hallar la expresión del potencial en puntos del semiespacio superior al plano saliente, asu miendo que no existen cargas libres en dicho semiespacio. II) Evaluar el potencial para un punto de coordenadas: r=15 cm, y =600, sumando los tres primeros términos en la serie. a) 6,34 V b) 6,94 V c) 7,24 V d) 7,54 V e) 7,84 V 0 b a 0 M N    R Va Vb r 428

Robótica y Cibernética 653 III) ¿Qué porcentaje representa el tercer
termino de la suma, respecto del primero? a) 0,61 % b) 0,71 % c) 0,81 % d) 0,91 % e) 1,01 % Fig191 Fig192 543.En la teoría de los armónicos esféricos, para los polinomios de Legendre demostrar que se cumple: 1 2k 1 2k 1 0 P (x)dx ( 1)(2k)!/ 2 k!(k 1)!       . (k=1, 2, 3,…) 544.En la teoría de los armónicos esféricos, para los polinomios de Legendre. I) Demostrar que se cumple: k 2k 2 2k P (0) ( 1) (2k)!/ 2 (k!)   (k=1, 2, 3,…) II) Hallar el polinomio de Legendre de orden "6" y evaluar para o 60   . a) 0,12 b) 0,32 c) 0,52 d) 0,72 e) 0,92 545.Probar que los polinomios de Legendre satisfacen las siguientes relaciones de recurren cia I) n n 1 n 1 (2n 1)xP (x) nP (x) (n 1)P (x)       , II) ´ ´ n n n 1 (n 1)P (x) xP (x) P (x)     . 546.En la Fig190, el centro de la esfera interna de radio "a" del sistema se desplaza una dis tancia muy pequeña   2 mm. Hallar la magnitud de la fuerza resultante sobre esta esfe ra, considerando una aproximación hasta el primer orden en . (k=9109 Nm2/C2, a=6cm, b=9 cm V0 =100 V) a) 0,14 N  b) 0,34 N  c) 0,54 N  d) 0,74 N  e) 0,94 N  547.Demostrar que las funciones esféricas satisfacen la condición de ortogonalidad, la cual, viene dada por: n m S Y ( , )Y ( , )d . 0        548.Se tiene un cilindro muy delgado de radio "R", cuya superficie está a un potencial que viene dado por: o o V / 2 para 0 / 2, 0 para / 2 , V( ) V / 2 para 3 / 2, 0 para 3 / 2 2 .                              V0 V=0 P  R 0 r Z P  R 0 V0 V=0 r     Z 429

Potencial eléctrico 654 I) Hallar la expresión del potencial para
puntos al interior del cilindro ( R   ) II) Evaluar el potencial en el punto P de coordenadas =6 cm, =600, R=12 cm y V0 =20 vol tios. a) 3,6 V b) 4,6 V c) 5,6 V d) 7,6 V e) 8,6 V 549.En la Fig187, se muestra una placa conductora muy delgada de lados, "a", "b" cuyos bordes izquierdo y derecho están a los potenciales V=0 y los bordes inferior y superior es tán a los potenciales V=-V0 y V=V0 , respectivamente. Hallar la expresión del potencial e léctrico para puntos de la placa. 550.En el plano XY (x0) se encuentra un plano de longitud infinita, limitada por tres planos x=0, y=0, y=b. El plano situado en x 0  está puesto a un potencial homogéneo V=V0 , en tanto, que los otros dos planos se mantienen a un potencial nulo V=0. I) Hallar el potencial eléctrico "V" del campo eléctrico en la región x 0  . II) Evaluar el potencial eléctrico para: b=10 cm, x=y=5 cm, V0 =10 V, sumando los cuatro primeros términos. a) 6,03 V b) 6,33 V c) 6,63 V d) 6,93 V e) 7,23 V III) ¿Qué porcentaje representa el cuarto termino de la suma, respecto del primero? a) 0,51 % b) 0,71 % c) 0,91 % d) 1,11 % e) 1,31 % 551.En cierta región del espacio, el potencial eléctrico "V" de un campo eléctrico en coorde nadas cilíndricas, viene dado por: V a(3R 2r)rcos   para r R  , y 3 V aR cos / r   para r R  , siendo "a" y "R" constantes. I) Hallar la densidad de carga volumétrica " "  que ha producido este campo eléctrico. II) Evaluar la densidad de carga volumétrica " "  para: r R  , y   370. a) 2a / 3 b) 3a / 4 c) 6a / 5 d) 4a / 5 e) 3a / 2 552.Se tiene una región rectangular cilíndrica infinita, cuyas caras limitadas por los planos x a   , y b  , están al potencial V=0, y la cara limitada por el plano y 0  está al poten cial o V(x,0,z) V  para x 0  y o V(x,0,z) V   para x 0  . I) Hallar el potencial eléctrico al interior de la caja, en cuyo interior no existen cargas. II) Evaluar el potencial eléctrico para: a=b=8 cm, x=y=2 cm, V0 =10 V, sumando los tres pri meros términos. a) 4,08 V b) 4,38 V c) 4,68 V d) 4,98 V e) 5,28 V III) Hallar el porcentaje que representa el tercer término en la suma, respecto del primero a) 0,46 % b) 0,66 % c) 0,86 % d) 1,06 % e) 1,26 % 553.Hallar el potencial "V" de un campo eléctrico en el interior de una caja de longitud infi nita y cuyas caras laterales están a los siguientes potenciales: las caras limitadas por los 430

Robótica y Cibernética 655 planos x=0 y y=b están al
potencial homogéneo V=V0 , las otras dos caras limitadas por los plano x=a y y=0 están al potencial nulo V=0. Al interior de la caja no existen cargas eléctricas. 554.Hallar la solución de la ecuación de Poisson para la función de Green, con las condicio nes de contorno de Neumann y Dirichlet. 555.En la Fig193, el cascarón esférico de radios interno a=4 cm y externo b=8 cm, tiene una densidad de carga volumétrica, dada por: =/r2, siendo   810-11 C/m una constante. I) Hallar el potencial eléctrico en las tres regiones, resolviendo la ecuación de Laplace y Poi sson. II) Evaluar el potencial eléctrico a una distancia r=2 cm del centro 0 del cascarón. a) 5,07 V b) 5,37 V c) 5,67 V d) 5,97 V e) 6,27 V III) Evaluar el potencial eléctrico a una distancia r=6 cm del centro 0 del cascarón. a) 5,02 V b) 5,32 V c) 5,62 V d) 5,92 V e) 6,22 V IV) Evaluar el potencial eléctrico a una distancia r=10 cm del centro 0 del cascarón. a) 3,02 V b) 3,32 V c) 3,62 V d) 3,92 V e) 4,22 V V) Representar la gráfica del potencial en función de la distancia radial. VI) Hallar la carga total que contiene el cascarón esférico (p=10-12) a) 40,2 pC b) 42,2 pC c) 44,2 pC d) 46,2 pC e) 48,2 pC 556.En la Fig194, la carga negativa del dipolo de momento "m" se ubica a la distancia "d" del centro de la esfera de radio "R" conectada a tierra. El eje del dipolo apunta directa mente ha cia fuera de la esfera. Hallar la carga eléctrica inducida en la esfera. a) 3 md / R b) 2 3 ma / R c) 2 3 ma / R d) 2 md / R e) 2 mR / d Fig193 Fig194 557.En la Fig195, la superficie del cilindro de longitud infinita de paredes muy delgadas, es tá dividido en cuatro partes iguales, dos de ellas están al potencial V=Vo y las otras dos al potencial nulo V=0. (1) (3) (2) a b 0  -q m R 0 q d 431

Potencial eléctrico 656 I) Hallar las expresiones del potencial eléctrico
al interior y exterior del cilindro. II) Evaluar la expresión del potencial en el punto A de coordenadas cilíndricas: r=R/2, =00, V0 =10 voltios, sumando los tres primeros términos. a) 2,89 V b) 3,19 V c) 3,49 V d) 3,79 V e) 4,09 V III) Evaluar la expresión del potencial en el punto B de coordenadas cilíndricas: r=3R/2,  = 00, V0 =10voltios, sumando los tres primeros términos. a) 3,84 V b) 4,14 V c) 4,44 V d) 4,74 V e) 5,04 V IV) Hallar la diferencia de potencial eléctrico, entre los puntos B y A. a) 1,25 V b) 1,55 V c) 1,85 V d) 2,15 V e) 2,45 V Fig195 Fig196 558.En cierta región del espacio, una distribución de carga espacial crea un potencial eléctri co, cuya expresión en coordenadas esféricas es: 2 2 V (e / 2R)(3 2R / r r / R )    , para r R  , y V 2e / r  para r R  , siendo "e" y "R" constantes. I) Hallar la densidad de carga volumétrica, que crea el potencial eléctrico. II) Hallar la carga eléctrica total en todo el espacio. 559.I) Mostrar que el potencial eléctrico en la región z>0 que asume el valor (x, y, z)=f(x), sobre al plano z=0 es expresable en la forma o (x,z) f(x')( G(x,z x',z') / dz')dx'      siendo G(x,z x',z') el potencial del plano conductor muy grande (z=0) y una carga lineal infinita uniforme de carga unitaria por unidad de longitud que es paralela al eje-y y que pasa a través del punto (x, z), II) Aplicar el resultado anterior para hallar el potencial en la región z 0  que asume el valor (x,y,0) 0   , para x<-1, (x,y,0)  o V  para 1 x 1    , y (x,y,0) 0   para x>1 sobre el plano z=0, III) Evaluar la expresión del po tencial en el punto de coordenadas x=z=0,5 cm y V0 =10 voltios. a) 4,48 V b) 5,48 V c) 6,48 V d) 7,48 V e) 8,48 V 560.En la Fig196, la esfera de radio "R" tiene una densidad de carga superficial, dada por: =o cos, siendo " "  el ángulo polar en el sistema de coordenadas esféricas, con el ori R R A B r r  0 V=V0 V=-V0 V=0 V=0 X R R P r  0 Z 0 cos 432

Robótica y Cibernética 657 gen 0 en el centro de
la esfera. (k=9109 Nm2/C2, R=10 cm, o =810-9 C/m2) I) Hallar el potencial eléctrico al interior y exterior de la esfera. II) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas, r=5 cm, =600. a) 3,54 V b) 4,54 V c) 5,54 V d) 6,54 V e) 7,54 V III) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas, r=10 cm, =600. a) 11,1 V b) 12,1 V c) 13,1 V d) 14,1 V e) 15,1 V IV) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas, r=15 cm, =600. a) 2,7 V b) 3,7 V c) 4,7 V d) 5,7 V e) 6,7 V V) Representar la gráfica del potencial eléctrico en función de la distancia radial, para =600, fijo. VI) Hallar la carga total contenida en la superficie de la esfera. a) 0 nC b) 2 nC c) 4 nC d) 6 nC e) 8 nC 561.En la Fig197, resolver la ecuación de Poisson para la función de Green en una región rectangular R sabiendo que G(r r ') se anula en el superficie que encierra dicha región, (primera condición de contorno de Dirichlet). 562.En la Fig198, el cilindro de longitud infinita y radio R=10 cm tiene una densidad de car ga volumétrica =o cos, siendo o =810-9 C/m3 y " "  el ángulo polar. El eje Z está a lo largo del eje de simetría del cilindro. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la expresión del potencial eléctrico al interior y exterior del cilindro. II) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas, r=5 cm, =370. a) 1,0 V b) 1,2 V c) 1,4 V d) 1,6 V e) 1,8 V III) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas, r=10 cm, =370. a) 1,2 V b) 1,4 V c) 1,6 V d) 1,8 V e) 2,0 V IV) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas, r=15 cm, =370. a) 0,2 V b) 0,4 V c) 0,6 V d) 0,8 V e) 1,0 V V) Hallar las componentes radial ( r E ) y tangencial (E ) del campo eléctrico, al interior y ex terior del cilindro. VI) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas r=5 cm, =370. a) 17,78 N/C b) 18,78 N/C c) 19,78 N/C d) 20,78 N/C e) 21,78 N/C VII) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas r=10 cm, =370. a) 12,08 N/C b) 13,08 N/C c) 14,08 N/C d) 15,08 N/C e) 16,08 N/C 433

Potencial eléctrico 658 VIII) Hallar la magnitud del campo eléctrico
en el punto de coordenadas r=15 cm, =370 . a) 4,68 N/C b) 5,68 N/C c) 6,68 N/C d) 7,68 N/C e) 8,68 N/C Fig197 Fig198 563.Demostrar que una función continua f(r) puede expresarse en el intervalo (0, a) como u na suma infinita de funciones de Bessel de orden cero, m o m m 1 f(r) b J (p r / a)     , donde los coeficientes de la suma, vienen dados por: a 2 2 m 1 m o m 0 b (2 / a J (p ) rf(r)J (p r / a)dr.   564.Demostrar que las funciones de Bessel de orden n-ésimo, en el intervalo (0, a) satisfacen la condición de ortogonalidad a n n 0 J (kr)J (k'r)dr 0   , con (k k'  ). 565.Demostrar que las funciones de Bessel de orden entero "n" satisfacen las siguientes re laciones de recurrencia: n n 1 n 1 2nJ (x) xJ (x) xJ (x)     y ' n n 1 n 1 2xJ (x) xJ (x) J (x)     . 566.En la Fig199, las bases izquierda y derecha del cilindro de radio "a" y longitud " " es tán a los potenciales de V1 =0 y V2 =0, en tanto, su superficie lateral está al potencial V3 = V0 . Hallar la expresión del potencial eléctrico. 567.En la Fig199, las bases izquierda y derecha del cilindro de radio "a" y longitud " " es tán a los potenciales de V1 =0 y V2 =V0 , en tanto, su superficie lateral está al potencial V3 = 0. Hallar la expresión del potencial eléctrico. Fig199 Fig200 a b c Y P 0 r X Z  R  0 z  a l V1 V2 V3 a b c y x z 434

Robótica y Cibernética 659 568.Mostrar que la ecuación de Laplace
bidimensional 2V 0   , es separable en el sistema de coordenadas bipolares cilíndricas , , definidas por las ecuaciones: x ash / (ch cos )      , y asen / (ch cos )      569.Una placa grande muy delgada de densidad de carga superficial o sen( x y)       se en cuentra sobre el plano XY. Hallar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas x=y= z=4 m. (k=9109 Nm2/C2, =0,08 m-1, =0,06 m-1, o =810-11 C/m2). a) 31,8 V b) 33,8 V c) 35,8 V d) 37,8 V e) 39,8 V 570.En la Fig200, resolver la ecuación de Poisson para la función de Green en la región rec tangular R sabiendo que G(r r ') / n   se anula en cinco de sus caras (x=0, x=a, y=0, y=b y z=c) y adopta un valor constante en la sexta cara, z=0 (segunda condición de contorno de Neumann). 571.En la Fig201, las mitades de la superficie de la esfera de radio a=10 cm, están a los po tenciales eléctricos constantes de Va =10 V y Vb =5 V. No hay cargas libres al interior ni exterior de la esfera. I) Hallar el potencial en el punto A de coordenadas r=12 cm, =60o, sumando los tres pri meros términos de la serie. a) 8,07 V b) 8,27 V c) 8,47 V d) 8,67 V e) 8,87 V II) Hallar el potencial eléctrico en el punto B de coordenadas r=20 cm, =0o, sumando los tres primeros términos de la serie. a) 4,18 V b) 4,38 V c) 4,58 V d) 4,78 V e) 4,98 V III) Hallar el potencial eléctrico en el punto C de coordenadas r=20, =180o, sumando los tres primeros términos. a) 2,08 V b) 2,28 V c) 2,48 V d) 2,68 V e) 2,88 V IV) Hallar la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos B y C. a) 1,3 V b) 1,6 V c) 1,9 V d) 2,2 V e) 2,5 V 572.En la Fig202, en el exterior de la esfera descargada de radio R=4 cm se ubica una carga puntual "Q" a una distancia d=8 cm del centro de la esfera. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar la densidad superficial de carga en el punto A, para r=6 cm. a) -15,34 Q b) -16,34 Q c) -17,34 Q d) -18,34 Q e) -19,34 Q II) Hallar la densidad superficial de carga en el punto B. a) 11,12 Q b) 11,32 Q c) 11,52 Q d) 11,72 Q e) 11,92 Q III) Hallar la densidad superficial de carga en el punto C. 435

Potencial eléctrico 660 a) -114,34 Q b) -124,34 Q c)
-134,34 Q d) -144,34 Q e) -154,34 Q IV) ¿Para que valor de "r" la densidad de carga superficial de la esfera es nula? a) 7,07 cm b) 7,27 cm c) 7,47 cm d) 7,67 cm e) 7,87 cm Fig201 Fig202 573.En la Fig203, la esfera compacta de radio R=10 cm tiene una densidad de carga volumé trica =o cos, siendo o =810-9 C/m3 y " "  el ángulo polar. El eje Z está a lo largo del e je de simetría de la esfera. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas: r=8 cm, o 60   . a) 0,40 V b) 0,42 V c) 0,44 V d) 0,46 V e) 0,48 V II) Hallar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas: r=12 cm, o 60   . a) 0,20 V b) 0,22 V c) 0,24 V d) 0,26 V e) 0,28 V III) ¿A qué distancia del centro de la esfera la componente radial del campo eléctrico es nulo? a) 6,47 cm b) 6,57 cm c) 6,67 cm d) 6,77 cm e) 6,87 cm IV) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas: r=8 cm, o 60   . a) 10,08 N/C b) 10,28 N/C c) 10,48 N/C d) 10,68 N/C e) 10,88 N/C V) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas: r=12 cm, =600. a) 5,17 N/C b) 5,37 N/C c) 5,57 N/C d) 5,77 N/C e) 5,97 N/C VI) Hallar la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos situados en z=+R y z=-R. a) 1,11 N/C b) 1,31 N/C c) 1,51 N/C d) 1,71 N/C e) 1,91 N/C 574.En la Fig204, el hemisferio compacto de radio R=8 cm, tiene una densidad de carga vo lumétrica uniforme de =8 nC/m3. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto A, situado sobre el eje Z en z=10 cm. d R r 0 A Q B C P 0 a  r Va Vb 436

c) 0,88 V d) 0,98 V e) 1,08 V II) Hallar el potencial eléctrico en el punto B, situado sobre el eje Z en z=6 cm. a) 1,39 V b) 1,49 V c) 1,59 V d) 1,69 V e) 1,79 V III) Hallar el potencial eléctrico en el punto C, situado sobre el eje Z, en z=-2 cm. a) 0,82 V b) 0,92 V c) 1,02 V d) 1,12 V e) 1,22 V IV) Hallar la diferencia de potencial entre los puntos C y A. (m=10-3) a) 10 mV b) 20 mV c) 30 mV d) 40 mV e) 50 mV Fig203 Fig204 575.En la Fig205, la esfera conductora aislada de radio R=10 cm , se ubica en un campo eléctrico uniforme de magnitud E0 =20 N/C. Desarrollando la fórmula de Coulomb, obte ner la expresión del potencial eléctrico. (k=9109 Nm2/C2, n=10-9) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas: r=12 cm y =60o. a) -3,21 V b) -4,21 V c) -5,21 V d) -6,21 V e) -7,21 V II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas: r=12 cm y =600 a) 20,77 N/C b) 22,77 N/C c) 24,77 N/C d) 26,77 N/C e) 28,77 N/C III) ¿Para qué valor del ángulo " "  , se cumple que: r E 2E  , si r=2R? a) o 51 44'37" b) o 53 44'37" c) o 55 44'37" d) o 57 44'37" e) o 59 44'37" IV) Hallar la densidad de carga superficial en un punto de la superficie, para =60o. a) 0,17 nC/m2 b) 0,27 nC/m2 c) 0,37 nC/m2 d) 0,47 nC/m2 e) 0,57 nC/m2 576.En la Fig206, la mitad superior de la esfera compacta de radio R=10 cm, tiene una densi dad de carga volumétrica uniforme igual a =8 nC/m3. Aplicando el desarrollo de la fun Z P r R 0 =0cos  A Z 0 R C B     437

Potencial eléctrico 662 ción 1/ r r '  en
funciones esféricas, hallar la expresión del potencial eléctrico al inte rior de la esfera, y evaluar está expresión en el punto P de coordenadas: r=8 cm, =600, sumando los tres primeros términos de la serie. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,68 V b) 1,88 V c) 2,08 V d) 2,28 V e) 2,48 V Fig205 Fig206 577.Una semiesfera compacta de radio R=10 cm, tiene una densidad de carga volumétrica, dada por: r o (r) e    , siendo o =8 nC/m3,   0,5 m-1, y "r" la distancia desde el centro de curvatura de la semiesfera. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el centro de curvatura de la semiesfera. a) 2,1 V b) 2,3 V c) 2,5 V d) 2,7 V e) 2,9 V II) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro de curvatura de la semiesfera. a) 21,2 N/c b) 23,2 N/C c) 25,2 N/C d) 27,2 N/C e) 29,3 N/C III) ¿En qué porcentaje varia la magnitud del campo eléctrico en el centro de curvatura de la semiesfera, si su radio aumenta en el 10 %? a) 10,08 % b) 10,28 % c) 10,48 % d) 10,68 % e) 10,88 % 578.En la Fig207, el disco muy delgado de radio R=10 cm, tiene una carga de Q=80 pC dis tribuida uniformemente sobre su superficie. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas: r=12 cm, =60o, sumando los tres primeros términos de la serie. a) 4,83 V b) 5,13 V c) 5,43 V d) 5,73 V e) 6,03 V II) Hallar la magnitud de la componente radial r "E " del campo eléctrico, en el punto de coor denadas: r=12 cm, =60o, sumando los tres primeros términos de la serie. a) 52,15 N/C b) 52,35 N/C c) 52,55 N/C d) 52,75 N/C e) 52,95 N/C III) Hallar la magnitud de la componente tangencial ( E ) del campo eléctrico, en el punto de coordenadas: r=12 cm, =60o, sumando los tres primeros términos de la serie. E0 0 R Z 0 R Z r P   438

Robótica y Cibernética 663 a) 14,18 N/C b) 14,38 N/C
c) 14,58 N/C d) 14,78 N/C e) 14,98 N/C IV) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas: r=12 cm, =600 su mando los tres primeros términos de la serie. a) 54,04 N/C b) 54,24 N/C c) 54,44 N/C d) 54,64 N/C e) 54,84 N/C V) Demostrar que el potencial eléctrico obtenido de forma analítica para puntos situados en el eje del disco, a una distancia r>>R, coincide con el potencial obtenido en I). VI) Hallar la expresión del potencial eléctrico para rR, y evaluar en r=8 cm, R=10 cm, Q=80 pC, y =90o, sumando los tres primeros términos de la serie. a) 8,15 V b) 8,35 V c) 8,55 V d) 8,75 V e) 8,95 V VII) Hallar el potencial eléctrico en un punto situado en el borde del disco, sumando los cua tro primeros términos de la serie. a) 6,18 V b) 6,38 V c) 6,58 V d) 6,78 V e) 6,98 V VIII) Hallar la diferencia de potencial eléctrico entre el centro del disco y su borde. a) 7,02 V b) 7,22 V c) 7,42 V d) 7,62 V e) 7,82 V Fig207 Fig208 579.En la Fig208, el disco muy delgado de radio R=12 cm, que presenta un agujero circular de radio a=4 cm, tiene una carga de Q=80 pC distribuida uniformemente sobre su superfi cie. La distancia entre los centros 0 y 0' es d=6 cm. Sumando los cuatro primeros términos de la expresión del potencial eléctrico, hallar: (k=9109 Nm2/C2) I) El potencial eléctrico en el centro 0' del agujero circular. a) 4,79 V b) 5,09 V c) 5,39 V d) 5,69 V e) 5,99 V II) El potencial eléctrico en el punto A, situado en el borde del agujero. a) 9,75 V b) 10,05 V c) 10,35 V d) 10,65 V e) 10,95 V III) El potencial eléctrico en el punto B, situado en el borde del agujero. R 0 Q Z  P r R a 0- 0 A B 439

9,85 V d) 10,15 V e) 10,45 V IV) La diferencia de potencial eléctrico entre los puntos B y A. a) 0,1 V b) 0,2 V c) 0,3 V d) 0,4 V e) 0,5 V 580.En la Fig209, al interior de la semiesfera compacta de radio R=10 cm y densidad de car ga volumétrica uniforme =8 nC/m3, existe una región esférica de radio a=2 cm y den sidad de carga volumétrica uniforme de '=16 nC/m3. La distancia entre los centros 0 y 0' es d=4 cm. Hallar el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas: r=8 cm,   600, su mando los tres primeros términos de la serie. (k=9109 Nm2/C2) a) 1,4 V b) 1,8 V c) 2,2 V d) 2,6 V e) 3,0 V 581.En la Fig210, las mitades de la esfera compacta de radio R=10 cm, tienen densidades de carga volumétricas uniformes de =8 nC. Hallar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas r=12 cm, =60o, sumando los tres primeros términos de la serie. (k=9109 Nm2/C2) a) 0,134 V b) 0,234 V c) 0,334 V d) 0,434 V e) 0,534 V Fig209 Fig210 582.En coordenadas esféricas, la densidad de carga volumétrica en el espacio, viene dado por: =o (r/a)nPn (cos) para ra y =o (r/a)n+1Pn (cos) para ra, siendo a=10 cm o =8 nC/m3 constantes y n P (cos )  el polinomio de Legendre de orden "n". I) Hallar las expresiones del potencial eléctrico al interior y exterior de la esfera. II) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas r=5 cm,  600 y n=5. a) 1,17 mV b) 1,47 mV c) 1,77 mV d) 2,07 mV e) 2,37 mV III) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas r=12 cm,  600 y n=5. a) 10,7 mV b) 11,0 mV c) 11,3 mV d) 11,6 mV e) 11,9 mV 583.En la Fig211, las mitades de los bordes interno y externo de la corona de radios interno 1 "R " y externo 2 "R ", están puestos a los potenciales de V1 , V2 , V3 , V4 , respectivamente. Hallar el potencial eléctrico en el punto P, al interior de la corona. P 0 R 0' a    P 0 R -  r + - 440

Robótica y Cibernética 665 584.En la Fig212, el hemisferio compacto
de radio R=20 cm, tiene una distribución de carga volumétrica no uniforme, dada por: 1 =-8 nC/m3 para 0r10 cm, y 2 =8 nC/m3 para 10 cmr20 cm. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas: r=22 cm,   600, sumando los tres primeros términos de la serie. a) 4,45 V b) 4,75 V c) 5,05 V d) 5,35 V e) 5,65 V II) ¿Para qué valor de 1 " "  el potencial eléctrico en el punto P obtenido sumando los tres pri meros términos de la serie, es nulo? a) 20 nC/m3 b) 25 nC/m3 c) 30 nC/m3 d) 35 nC/m3 e) 40 nC/m3 Fig211 Fig212 585.En la Fig213, las mitades de la superficie esférica de radio R=10 cm, tienen densidades de cargas superficiales de =800 pC/m2, respectivamente. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas: r=8 cm, =600, sumando los tres primeros términos de la serie que expresa el potencial. a) 1,8 V b) 2,1 V c) 2,4 V d) 2,7 V e) 3,0 V II) Hallar el potencial eléctrico en el punto Q de coordenadas: r=12 cm, =600, sumando los tres primeros términos de la serie que expresa el potencial. a) 1,23 V b) 1,53 V c) 1,83 V d) 2,13 V e) 2,43 V III) Hallar la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos P y Q. a) 0,17 V b) 0,27 V c) 0,37 V d) 0,47 V e) 0,57 V 586.En la Fig214, los bordes interno y externo de la corona circular de radios interno r1 =10 cm y externo r2 =20 cm están a los potenciales, 1 V 15cos  y 2 V 30sen   , respectiva mente. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial en el punto A, situado a una distancia de r=15 cm del centro 0. a) 4,93 V b) 5,23 V c) 5,53 V d) 5,83 V e) 6,13 V P  0 R1 V1 V2 R2 V3 V4 r 0  P R r 441

Potencial eléctrico 666 II) Hallar el potencial en el punto
B, situado a una distancia de r=15 cm del centro 0. a) 15,47 V b) 15,77 V c) 16,07 V d) 16,37 V e) 16,67 V III) Hallar la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos B y A. a) 9,64 V b) 9,94 V c) 10,24 V d) 10,54 V e) 10,84 V Fig213 Fig214 587.En la Fig215, el anillo muy delgado de radio R=10 cm, tiene una densidad de carga li neal uniforme de =80 pC/m. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto A de coordenadas: r=8 cm,   600, sumando los cuatro primeros términos de la serie, solución del potencial eléctrico. a) 2,44 V b) 2,74 V c) 3,04 V d) 3,34 V e) 3,64 V II) Hallar el potencial eléctrico en el punto B de coordenadas: r=12 cm, =600, sumando los cuatro primeros términos de la serie, solución del potencial eléctrico. a) 2,89 V b) 3,19 V c) 3,49 V d) 3,79 V e) 4,09 V III) Hallar la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos B y A. (m=10-3) a) 110 mV b) 120 mV c) 130 mV d) 140 mV e) 150 mV IV) Hallar el potencial eléctrico en un punto del plano que contiene al anillo, situado a una dis tancia de r=11 cm del centro 0, sumando los cuatro primeros términos de la serie, solu ción del potencial eléctrico. a) 3,59 V b) 3,89 V c) 4,19 V d) 4,49 V e) 4,79 V 588.En la Fig216, el segmento esférico de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga super ficial uniforme de =800 pC/m2. Hallar el trabajo que se debe hacer para trasladar una car ga puntual o "q " desde el punto 0 hasta el punto A. (o =370, k=9109 Nm2/C2) a) 1,52q0 J b) 1,82q0 J c) 2,12q0 J d) 2,42q0 J e) 2,72q0 J P 0 R -  r + P  0 r1 V1 V2 r2 r   A B 442

Robótica y Cibernética 667 Fig215 Fig216 589.En la Fig217, el
hemisferio hueco muy delgado de radio R=20 cm, tiene una densidad de carga superficial uniforme de =800 pC/m2. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el trabajo que se debe hacer para trasladar una carga puntual o "q " desde el punto 0 hasta el punto A, sabiendo que o =530. a) 2,01q0 J b) 2,31q0 J c) 2,51q0 J d) 2,71q0 J e) 2,91q0 J II) Construir una tabla, evaluando el potencial eléctrico en puntos del eje del hemisferio pa ra: o =00, 100, 200,300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, y representar la gráfica del potencial (V) en función del ángulo (.). Fig217 Fig218 590.Utilizando las funciones esféricas m Y ( , )   , demostrar que el potencial eléctrico creado por una esfera de radio "R" y densidad de carga superficial uniforme " "  en un punto P situado a una distancia "r" (r>R) del centro de la esfera es: V=4R2/r. 591.Utilizando las propiedades de la función " "  , hallar la densidad de carga volumétrica en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, cuando en el espacio existen las siguien tes distribuciones de cargas: I) Una superficie esférica de radio "R", de densidad de carga superficial uniforme " "  , II) Un anillo fino de radio "R", de densidad de carga li neal uniforme " "  . 592.En la Fig209, ¿En qué porcentaje disminuye el potencial eléctrico en el punto P de coor denadas r=11 cm, =60o, al quitársele la base al hemisferio hueco cerrado de radio igual a P  r R Z 0   0 R 0 A   0 A R 0   P 0 r R2 R1 + -  - + 443

Potencial eléctrico 668 R=10 cm, y densidad de carga superficial
uniforme de =800 pC/m2?. Evaluar el poten cial sumando los tres primeros términos de la serie. (k=9109 Nm2/C2) a) 21,35 % b) 23,35 % c) 25,35 % d) 27,35 % e) 29,35 % 593.En la Fig218, las mitades de las superficies de las esferas huecas concéntricas muy del gadas de radios R1 =10 cm y R2 =20 cm, tienen densidades de cargas superficiales unifor mes de =800 pC/m2. Hallar el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas r=15 cm, =600, sumando los cuatro primeros términos de la serie, que expresa el potencial. (k=9109 Nm2/C2) a) 2,41 V b) 2,71 V c) 3,01 V d) 3,31 V e) 3,61 V 594.En la Fig219, ¿En qué porcentaje disminuye el potencial eléctrico en el punto P de coor denadas r=10 cm, =600, al quitarse la mitad inferior a la esfera compacta de radio R=20 cm y densidad de carga volumétrica uniforme de =800 pC/m3? (Sugerencia: Sumar los cuatro primeros términos de la serie que expresa al potencial) a) 41,4 % b) 43,4 % c) 45,4 % d) 47,5 % e) 49,3 % 595.En coordenadas cilíndricas, la densidad de carga volumétrica en el espacio, viene dado por: =o (r/a)ncos n para ra y =o (a/r)ncos n para r, siendo a=20 cm o =8 nC/m3 constantes . (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar las expresiones del potencial eléctrico al interior y exterior de la región cilindrica. II) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas r=18 cm,  300 y n=2. a) 2,07 V b) 2,37 V c) 2,67 V d) 2,97 V e) 3,27 V III) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas r=22 cm,  300 y n=2. a) 2,08 V b) 2,38 V c) 2,68 V d) 2,98 V e) 3,28 V Fig219 Fig220 596.En la Fig220, en los vértices del rombo se sitúan cuatro cargas puntuales, situadas a las distancias "a" del origen 0. I) Hallar el momento cuadrupolar del sistema de cargas, con respecto al eje Z+. Z +q X (1) (3) (4) (2) -q +q -q a a a a 0 P 0 R   r 444

Robótica y Cibernética 669 a) 2 2qa b) 2 3qa
c) 2 4qa d) 2 5qa e) 2 6qa II) Hallar el módulo del momento dipolar del sistema de cuatro cargas puntuales. a) 0 b) 2qa c) 4qa d) 6qa e) 8qa III) Hallar el potencial eléctrico en un punto P situado en el eje Z+, a una distancia z>>a del origen 0, con una aproximación hasta (a/z)2. a) 33 3 o D 2 z  b) 33 3 o D 2 z   c) 33 3 o D 4 z  d) 33 3 o D 4 z   e) 33 3 o D 8 z  597.En la Fig221, sobre el eje Z se ubican tres cargas puntuales +q, -2q, +q, en las posicio nes z=l, z=0, y z=-l. Hallar el tensor cuadripolar, expresada en forma matricial. 598.El potencial en la superficie de un cilindro de longitud infinita y radio a=20 cm, viene dada por: VS =Vo cos n, siendo V0 =10 voltios, " "  el ángulo polar y "n"un número ente ro. El eje eje del cilindro coincide con el eje Z. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar las expresiones del potencial al interior y exterior del cilindro. II) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas: r=18 cm, =120 y n=5. a) 1,75 V b) 2,05 V c) 2,35 V d) 2,65 V e) 2,95 V III) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas: r=22 cm, =120 y n=5. a) 2,8 V b) 3,1 V c) 3,4 V d) 3,7 V e) 4,0 V IV) ¿A qué distancia del eje Z para rR el potencial eléctrico es V0 /16, si n=3, =200 a) 9 cm b) 10 cm c) 11 cm d) 12 cm e) 13 cm V) Hallar la densidad de carga superficial en la superficie del cilindro para: n=5, a=20 cm, =120, p=10-12. a) 402 pC/m2 b) 422 pC/m2 c) 442 pC/m2 d) 462 pC/m2 e) 482 pC/m2 599.En la Fig222, las mitades de la superficie de la esfera de radio a=10 cm, tienen densida des de carga superficiales de =80 pC/m2, en tanto el anillo delgado concéntrico que lo rodea tiene radios externo b=20 cm e interno a=10 cm, y una densidad de carga superfi cial uniforme de =80 pC/m2. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas: r=12 cm, =600, sumando los cuatro primeros términos de la serie que expresa el potencial. a) 4,86 V b) 5,16 V c) 5,46 V d) 5,76 V e) 6,06 V II) ¿Qué porcentaje representa el potencial eléctrico de la esfera, respecto del anillo? a) 40,5 % b) 41,5 % c) 42,5 % d) 43,5 % e) 44.5 % 445

Potencial eléctrico 670 600.Demostrar que el tensor del momento cuadripolar
de un sistema de cargas no depende de la elección del origen del sistema coordenadas si la carga total y el momento dipolar del sistema son nulos. 601.En la nube electrónica de un átomo de hidrógeno excitado la densidad media de carga se expresa en coordenadas esféricas por la función: 4 2r/3a 4 8 7 er e sen / 4 .3 a       , siendo "a" el radio de Bhor y "r" la distancia hasta el protón con carga "e". I) Hallar el tensor de momento cuadripolar Q . II) Hallar el momento dipolar p . Fig221 Fig222 602.En la Fig223, las mitades de la superficie cilíndrica esférica de radio R=20 cm y longi tud infinita, tienen densidades de cargas superficiales de a =2410-10 C/m2, b =810-10 C/m2, respectivamente. El eje Z coincide con el eje de simetría de la superficie cilíndrica. (k=9109 Nm2/C2) I) Hallar las expresiones del potencial eléctrico al interior y exterior del cilindro. II) Hallar el potencial eléctrico en el punto A de coordenadas: r=18 cm, =100, sumando los cinco primeros términos de la serie que expresa el potencial. a) 3,04 V b) 3,34 V c) 3,64 V d) 3,94 V e) 4,24 V III) Hallar el potencial eléctrico en el punto B de coordenadas: r=22 cm, =100, sumando los cinco primeros términos de la serie que expresa el potencial. a) 0,24 V b) 0,54 V c) 0,84 V d) 1,14 V e) 1,44 V IV) Hallar la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B. a) 2,5 V b) 2,8 V c) 3,1 V d) 3,4 V e) 3,9 V 603.Demostrar que el potencial eléctrico a grandes distancias (r>>l) de una distribución de carga de densidad (r)  , puede expresarse en forma de una serie convergente, en la for ma: V = Q/r + 3 5 p r / r D x x / 2r ...      , siendo "Q" la carga total, "p" el momento di polar y "D "  el tensor de momento cuadrupolar. 604.En la Fig224, el anillo muy delgado de radio "R" tiene una densidad de carga lineal no uniforme, dada por: =o (cos+sen2), siendo o " "  una constante y r>>R. I) Hallar la carga total (Q ). Z z=0 z=-l z=+l -2q +q +q P r  a 0 + + - 446

Robótica y Cibernética 671 a) 0 b) o R /
2   c) o R   d) o 2 R   e) o 4 R   II) Hallar el momento dipolar (p ). a) o ˆ R i   b) o ˆ R j   c) 2 o ˆ R i   d) 2 o ˆ R j   e) o ˆ 2 Ri   III) Hallar D12 + D21 +D33 , siendo D12 , D21 , D33 las componente de tensor de momento cuadripo lar (D ). a) 3 o R  b) 3 o 2 R  c) 3 o 3 R  d) 2 o R  e) 2 o 2 R  Fig223 Fig224 IV) Hallar la expresión del tensor de momento cuadripolar. 605.Un disco muy delgado de radio "R" tiene una densidad de carga superficial dado por: =o (r/R)sen2, siendo o " "  una constante y " "  el ángulo que se mide con respecto al eje X, el disco se encuentra en el plano XY con el origen 0 en el centro del disco. I) Hallar la carga total (Q ). a) o R2/2 b) o R2/3 c) o R2/4 d) 2o R2/3 e) 3o R2/2 II) Hallar el momento dipolar (p ). a) 0 b) 3 o 1 ˆ R i 2  c) 3 o 1 ˆ R j 2  d) 3 o 1 ˆ R i 3  e) 3 o 1 ˆ R j 3  III) Hallar D11 + D22 +D33 , siendo D11 , D22 , D33 las componente del tensor de momento cuadri polar (D ). a) 4 o R / 2  b) 4 o R / 2   c) 4 o R / 5  d) 4 o R / 5   e) 4 o R / 8  IV) Hallar la expresión del tensor de momento cuadripolar. 606.En la Fig225, la superficie cilíndrica de radio a=10 cm y longitud infinita tiene una den sidad de carga superficial =o cos, siendo o =8 nC/m2 y " "  el ángulo polar. Dicha 0 z a - +  P P  r R Z 0  x y 447

Potencial eléctrico 672 superficie se ubica en el campo eléctrico
externo, transversal y uniforme de magnitud o "E ", tal que, el potencial de la esfera es nula I) Hallar las expresiones del potencial y campo eléctrico al interior y exterior de la superfi cie cilíndrica. II) Evaluar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas: r=12 cm,   600. a) -7,7 V b) -8,0 V c) -8,3 V d) -8,6 V e) -8,9 V III) Evaluar la magnitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas: r=12 cm, =600 a) 401,5 N/C b) 403,5 N/C c) 405,5 N/C d) 407,5 N/C e) 409,5 N/C IV) Hallar la magnitud del campo eléctrico externo o E . a) 450,4 N/C b) 452,4 N/C c) 454,4 N/C d) 456,4 N/C e) 458,4 N/C 607.Se tiene un filamento de longitud infinita y densidad de carga lineal uniforme " "  , situa do sobre el eje Z. Hallar la expresión de la densidad de carga volumétrica "" en coordena das cartesianas, cilíndricas y esféricas. 608.Demostrar o interpretar el significado de las siguientes relaciones: I) x ( x ) 0   , II) (x a)   , III) ( a x )  =(1/ a ) (x)  , a 0  , IV) 2 2 (x a ) (1/ 2a)[(x a) (x a)]        , (a 0)  Fig225 Fig226 609.Una elipse de semiejes "a" y "b" y densidad de carga lineal uniforme "". se encuentra en el plano XY. El centro de la elipse coincide con el origen de coordenadas y el semieje mayor "a" está sobre el eje X. Hallar la expresión de la densidad de carga volumétrica "" en coordenadas cartesianas. 610.En la Fig226, la superficie elíptica de revolución de semiejes "a" y "b" tiene una densi dad de carga superficial uniforme "". Hallar la expresión de la densidad de carga volumé trica "" en coordenadas cartesianas rectangulares. 611.En la Fig227, el plano XY es dividido por la circunferencia de radio R=20 cm en dos re Z Y X 0 b -b -a a -a a  0 z a  P Eo V=0 448

Robótica y Cibernética 673 giones, al interior de la circunferencia
(r<R) el potencial es constante e igual a V0 =10 voltios, y al exterior (r>R) el potencial es nulo. I) Hallar las expresiones del potencial eléctrico al interior y exterior del hemisferio de radio "R". II) Evaluar el potencial en el punto A de coordenadas: r=18 cm, =600, sumando los cuatro primeros términos de la serie que expresa el potencial. a) 3,74 V b) 4,04 V c) 4,34 V d) 4,64 V e) 4,94 V III) Evaluar el potencial en el punto B de coordenadas: r=22 cm, =600, sumando los cuatro primeros términos de la serie que expresa el potencial. a) 2,43 V b) 2,73 V c) 3,03 V d) 3,33 V e) 3,63 V IV) Hallar la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B. a) 0,41 V b) 0,71 V c) 1,01 V d) 1,31 V e) 1,61 V Fig227 Fig228 612.En la Fig228, la base de la superficie hemisférica de radio "R", que tiene una carga "Q" distribuida uniformemente sobre su superficie, esta en el plano XY y es tangente a los e jes X e Y. Los sistemas de ejes XYZ y X'Y'Z' son paralelos entre sí. I) Hallar el momento dipolar de la superficie cargada, respecto del sistema X'Y'Z'. II) Hallar el tensor de momento cuadripolar, respecto del sistema de ejes X'Y'Z'. III) Hallar el tensor de momento cuadripolar, respecto del sistema de ejes XYZ. 613.En la Fig229, la cuarta parte de anillo circular de radio "R", que tiene una carga "Q" dis tribuida uniformemente en su longitud, esta en el plano XY. Hallar la expresión del mo mento cuadripolar de está cuarta parte de anillo cargado. 614.Se tienen tres cuerpos diferentes cargados, cuyas densidades de carga volumétricas, vie nen dados por I) 2 2 2 2 2Q a b (x 2ax 2by y ) (z)         , siendo "a", "Q" constantes. II) 2 2 2 2 Q (x / a y / b 1) (z) / ab        , siendo "a", "b" y "Q" constantes positivas. III) 2 2 2 2 2 2 Q (x / a y / b z / c 1) / 2 abc        , siendo "a", "b", "c" y "Q" constantes po sitivas. 0  P R r z x y V=0 V=Vo | 0' z' x' y' x y z 0 Q 449

Potencial eléctrico 674 Determinar la forma de los cuerpos, y
su densidad de carga lineal " "  o superficial " "  . Fig229 Fig230 615.En la Fig230, el alambre muy delgado en forma de semicircunferencia de radio "R", y carga "Q" distribuida uniformemente en su longitud, se encuentra en el plano XY. Hallar el valor de 11 21 22 33 k D D / D D  , siendo D11 , D12 , D22 y D33 elementos del tensor de mo mento cuadripolar del alambre cargado. a) 4,0 b) 4,2 c) 4,4 d) 4,6 e) 4,8 616.En la Fig231, en los vértices del cuadrado de lados "a", se ubican alternadamente car gas puntuales " e"  y " e"  . I) Hallar la matriz del tensor de momento cuadripolar en el sistema de ejes XYZ. II) Hallar la matriz del tensor de momento cuadripolar en el sistema de ejes X'Y'Z'. III) Utilizando la matriz de rotación a , probar que se cumple:D' a a D      siendo D' y D los tensores de momentos cuadripolares. 617.Una distribución de carga lineal circular uniforme de radio R=10 cm y carga total Q=80 pC es expresable como una distribución de carga superficial ( , ) Q ( / 2) / 2 R          distribuida sobre la superficie de una esfera de radio "R" centrada en el origen 0 de coor denadas. I) Hallar la expresión del potencial eléctrico al interior y exterior de la esfera. II) Evaluar el potencial eléctrico en el punto A de coordenadas: r=9 cm, =600, sumando los cuatro primeros términos de la serie que expresa el potencial. a) 4,74 V b) 5,04 V c) 5,34 V d) 5,64 V e) 5,94 V 618.Para los siguientes casos, hallar la densidad de carga volumétrica "", y utilizando esta densidad obtener el momento dipolar p  , correspondiente. I) Una varilla muy delgada de longitud " ", y densidad de carga lineal uniforme " "  , que se encuentra en el plano X+Y+ con un extermo en el origen 0, y formando un ángulo o  con el eje X+. II) Una superficie cónica de radio de la base " R " , densidad de carga superficial uniforme " "  , con vértice en el origen 0, y cuya generatriz " "forma un ángulo o " "  con el eje Z+, el cual, coincide con el eje de simetría de la superficie cónica. x x 0 R R Q  R R y 0 x R Q 450

Robótica y Cibernética 675 Fig231 Fig232 619.En la Fig226, el
elipsoide de revolución de semiejes "a", "b" tiene una carga "Q" distri buida uniformemente en su volumen. El semieje menor "b" está sobre el eje Z. I) Hallar la matriz del tensor cuadripolar Q , respecto del sistema de ejes XYZ. II) Hallar la matriz del tensor cuadripolar Q , respecto del sistema de ejes XYZ, luego de girarse el elipsoide alrededor del eje Y un ángulo " "  . 620.Se tiene un elipsoide de semiejes "a", "b", "c" y carga "Q" distribuida uniformemente en su volumen. El semieje "c" esta sobre el eje Z y el semieje mayor "a" forma con el eje X un ángulo " "  . El centro del elipsoide está en el origen de coordenadas. Hallar la matriz del tensor de momento cuadripolar, respecto del sistema de ejes XYZ. 621.En la Fig232, las mitades de los cilindros huecos concéntricos de radios R1 =8 cm, R2 = 10 cm y longitudes infinitas, tienen densidades de cargas superficiales uniformes iguales a =8 nC/m2. El eje Z coincide con el eje de simetría común de los cilindros. Hallar el po tencial eléctrico en el punto P de coordenadas r=9 cm, =600, tomando el potencial de re ferencia nulo (V0 =0), y sumando los cuatro primeros términos de la serie. a) 2,03 V b) 2,43 V c) 2,83 V d) 3,23 V e) 3,63 V 622. I) Obtenga la distribución de carga equivalente de una distribución dipolar, dada por la expresión: 2 o ˆ ˆ P P [rsen r rsen cos ]      distribuida al interior de una esfera de radio "R". II) Obtenga el momento del monopolar, el momento bipolar, y los elementos del tensor mo mento cuadrupolar de la distribución de carga superficial 2 o sen     distribuida sobre la superficie de una esfera de radio "R". 623.I) Hallar el potencial que la distribución de carga superficial o n P (cos )     distribui da sobre la superficie de una esfera de radio "R", donde o " "  es una constante, produce en puntos r<R y r>R. II) Compare su respuesta para el potencial producido por la distribución de carga superficial P1 (cos ) co el potencial producido por una distribución dipolar uniforme al interior de la esfera, donde el eje-z se escoge a lo largo de la dirección de la distribución dipolar. Y X X' Y' -e -e +e +e a a r  R1 R2 - + + - P - 451

Potencial eléctrico 676 624. Hallar el potencial de un cilindro
eliptico dieléctrico con el eje del cilindro paralelo al e je-z en el campo eléctrico externo uniforme x y ˆ ˆ E E i E j   . Mostrar que el campo eléctri co al interior del cilindro de permitividad eléctrica " "  es un campo eléctrico uniforme. 625. Obtener la solución de la ecuación de Laplace 2 0    en cada una de las dos regiones r<R (región 1) y r>R (región 2), sabiendo que  se anula en el infinito y satisface las con diciones siguientes: 2 -1 =-1 para 0  < /2, y 2 -1 =+1 para /2 <   , y en la su perficie esferica r=R, se cumple: 1 1 2 2 ( / r) ( / r)          . (Sugerencia: Utilizar la rela ción de recurrencia, (2l+1) Pl (x)=d/dx[pl +1 (x)-Pl -1 (x)] para l 0). ============================================================================================= 452

Robótica y Cibernética APENDICE A 1. TRIGONOMETRIA Basandose en la
Figura. mostrada, pode mos definir las siguientes relaciones: y sen r   , x cos r   , y tg x   x ctg y   , r sec x   , r csc y   a) Identidades trigonométricas sen tg cos     , 2 2 sen cos 1     2 2 sec 1 tg     , 2 2 csc 1 ctg     Suma y diferencia de dos ángulos sen( ) sen cos cos sen          cos( ) cos cos cos cos         tg tg tg( ) 1 tg tg          ctg ctg 1 ctg( ) ctg ctg          Relaciones entre funciones de 2 y . sen2 2sen cos     2 2 cos2 cos sen      2 2tg tg2 1 tg      , 2 ctg 1 ctg2 2ctg      Relaciones entre funciones de /2 y . 2 1 1 sen (1 cos ) 2 2     2 1 1 cos (1 cos ) 2 2     Relaciones entre funciones de 3 y . 3 sen3 3sen 4sen      3 cos3 4cos 3cos      Suma y diferencia de funciones 1 1 sen sen 2sen ( )cos ( ) 2 2          1 1 cos cos 2cos ( )cos ( ) 2 2           1 1 cos cos 2sen ( )sen ( ) 2 2            Producto de dos funciones 1 sen sen [cos( ) cos( )] 2           1 cos cos [cos( ) cos( )] 2           Y X r x y  0 453

Apéndice 1 sen cos [sen( ) sen( )] 2 
         Identidades fundamentales i i e e sen 2i       , i i e e cos 2       i e cos isen       Relaciones de funciones recíprocas 1 1 2 1 2 a sen a cos 1 a tg 1 a        2 1 1 2 1 1 a cos a sen 1 a tg a        1 1 1 2 2 a 1 tg a sen cos 1 a 1 a        Funciones hiperbólicas x x e e senh x 2    , x x e e cosh x 2    x x x x e e tgh x e e      , x x x x e e ctgh x e e      Recíproca de funciones hiperbólicas 1 2 senh x n(x 1 x )     1 2 cosh x n(x x 1)     1 1 1 x tgh x n( ) 2 1 x     1 1 x 1 ctgh x n( ) 2 x 1     b) Teorema del seno Los lados de un triángulo son proporcio nales a los senos de los ángulos opuestos, esto es: a b c sen sen sen      c) Teorema del coseno En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de éstos por el coseno del ángulo com prendido entre ellos, esto es: 2 2 2 a b c 2bccos    2 2 2 b a c 2accos    2 2 2 c a b 2abcos    d) Teorema de la tangente En cualquier triángulo, la diferencia de dos lados cualesquiera es a su suma co mo la tangente de la mitad de la diferen cia de los ángulos opuestos es a la tangen te de la mitad de su suma, esto es: a b tg[( )/2] a b tg[( )/2]          e) Relaciones en los triángulo rectán- gulos En el triángulo rectángulo ABC, se cum plen las siguientes relaciones:    c a b C A B B A C c b a h n m 454

Robótica y Cibernética  2 b a m  
2 c a n   2 h mn   h b c / a   2 2 2 a b c    2 2 b m n c  Relaciones entre funciones 4 y . 2 sen4 4sen cos 8sen cos        4 2 cos4 8cos 8cos      3 2 4 4tg 4tg tg4 1 6tg tg          2. CALCULO a) Desarrollo de series de potencias 1) Desarrollo binomial n n n 1 n 2 2 n 3 3 n n(n 1) n(n 1)(n 2 (x y) x nx y x y x y ... y 2! 3!             , n Z  2) Desarrollo de Taylor  2 3 n ' (n) (x a) (x a) (x a) f(x) f(a) (x a)f (a) f "(a) f "'(a) ... n f( (a) ... 2! 3! n!             2 3 ' h h f(x h) f(x) hf (x) f "(x) f "'(x) ... 2! 3!        2 3 ' x x f(x h) f(h) xf (h) f "(h) f '"(h) ... 2! 3!         Si, f(x) es una función con derivadas de todos los órdenes en el intervalo a x b   , en tonces existe un valor de "x" con a x b   , tal que se cumple: 2 n 1 n (n 1) (n) (b a) (b a) (b a) f(b) f(a) (b a)f '(a) f "(a) ... f (a) f (a) 2! (n 1)! n!              2 3 n 1 n (n 1) h h h h f(a h) f(a) hf '(a) f "(a) f '"(a) ... f (a) f(a h) 2! 3! (n 1)! n!              para, b a h   , 0 1    2 n 1 (n 1) n (x a) (x a) f(x) f(a) (x a)f '(a) f "(a) ... f (a) R 2! (n 1)!             de donde, (n) n n f (a (x a)) R (x a) n!      , 0 1    455

Apéndice 3) Serie de Mclaurin 2 3 n 1 n
1 n x x x f(x) f(0) xf '(0) f "(0) f '"(0) ... x R 2! 3! (n 1)!           de donde, n n f (a (x a)) R n!     , 0 1    4) Exponenciales 1 1 1 1 1 e 1 ... 1! 2! 3! 4! 5!         2 3 4 5 x x x x x x e x ... 1! 2! 3! 4! 5!         2 3 4 x e e e e (xlog a) (lxog a) (xlog a) a 1 xlog a ... 2! 3! 4!        2 3 4 x a (x a) (x a) (x a) e e [1 (x a) ... ] 2! 3! 4!            5) Logarítmicas 2 3 e x 1 1 x 1 1 x 1 log x ( ) ( ) ... x 2 x 3 x         ( 1 x 2  ) 2 3 4 e 1 1 1 log x (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) ... 2 3 4           (2 x   ) 3 5 e x 1 1 x 1 1 x 1 log x 2[ ( ) ( ) ... ] x 1 3 x 1 5 x 1            ( x 0  ) 2 3 4 5 e 1 1 1 1 log (1 x) x x x x x ... 2 3 4 5         ( 1 x 0    ) e e 3 5 1 1 1 log (n 1) log (n 1) 2[ ... ] n 3n 5n         3 5 e3 e x 1 x 1 x log (a x) log a 2[ ( ) ( ) ... ] 2a x 3 2a x 5 2a x           (a 0  , -a< x < ) 3 5 2n 1 e 1 x x x x log 2[x ... ...] 1 x 3 5 2n 1           ( 1 x 1    ) 2 3 e e 2 3 x a (x a) (x a) log x log a ... a 2a 3a          (0 x 2a   ) 456

Robótica y Cibernética 6) Trigonométricas 3 5 7 x x
x senx x ... 2! 5! 7!       ( x R   ) 2 4 6 x x x cosx 1 ... 2! 4! 6!       ( x R   ) 3 5 7 9 2n 2n 2n 1 n x 2x 17x 62x 2 (2 1)B tgx x ... x ... 3 15 315 2835 (2n)!           ( 2 2 x /4   y Bn los números de Bernoulli) 2 5 7 2n 2n 1 n 1 x x 2x x 2 B ctgx ... x ... x 3 45 945 4725 (2n)!          ( 2 2 x   y Bn los números de Bernoulli) 2 4 6 8 2n n x 5 61 277 secx 1 x x x ... E x ... 2 24 720 8064         ( 2 2 x /4   y En los números de Euler) 2n 1 3 5 7 2n 1 n 1 x 7 31 127 2(2 1) cscx x x x ... B x ... x 6 360 15120 604800 (2n)!            ( 2 2 x   y Bn los números de Bernoulli) 3 1 5 7 x 1.3 1.3.5 sen x x x x .... 2.3 2.4.5 2.4.6.7        ( 2 1 x 1, sen x 2 2        ) 3 1 5 7 x 1.3 1.3.5 cos x (x x x ... ) 2 2.3 2.4.5 2.4.6.7          ( 2 1 x 1, 0 cos x      ) 3 5 7 1 x x x tg x x ... 3 5 7        ( 2 x 1  ) 1 2 5 7 1 1 1 1 tg x ... 2 x 3x 5x 7x          (x > 1) 1 2 2 7 1 1 1 1 tg x ... 2 x 3x 5x 7x           (x < -1) 3 5 7 1 x x x ctg x x ... 2 3 5 7          ( 2 x 1  ) 2 4 6 8 e x x x 17x log cosx ... 2 12 45 2520        ( 2 2 x /4   ) 457

Apéndice 3 4 6 e x 7x 62x log tgx
loglex ... 3 90 2835       ( 2 2 x /4   ) 2 4 5 6 7 sen x x 3x 8x 3x 56x e 1 x ... 2! 4! 5! 6! 7!          3 4 6 cosx x 4x 31x e e(1 ... ) 2! 4! 6!       2 3 4 5 tg x x 3x 9x 37x e 1 x ... 2! 3! 4! 5!         ( 2 2 x /4   ) 7) Hiperbólicas e hiperbólicas recíprocas 3 5 7 2n 1 x x x x senhx x ... 3! 5! 7! (2n 1)!         ( x  ) 2 4 6 2n x x x x coshx 1 ... 2! 4! 6! (2n)!       ( x  ) n 1 2n 2n 3 5 7 9 2n 1 n 1 2 17 62 ( 1) 2 (2 1) tghx x x x x x ... B x .. 3 15 315 2835 (2n)!             3 5 7 n 1 2n 2n 1 n 1 x x 2x x ( 1) 2 ctghx ... B x ... x 3 45 945 4725 (2n)!            (0 x    ) n 2 4 6 8 2n n 1 5 61 1835 ( 1) sechx 1 x x x x ... E x 2! 4! 6 8! 2n!          ( x /2   ) 3 5 n 2n 1 2n 1 n 1 x 7x 31x 2( 1) (2 1) cschx ... B x ... x 6 360 15120 (2n)!            (0 x    ) 1 3 5 7 n 2n 1 1 1.3 1.3.5 1.3.5(2n 1) senh x x x x x ... ( 1) x 2.3 2.4.5 2.4.6.7 2.4.6...2n(2n 1)             1 2 4 6 1 1.3 1.3.5 cosh x [ n(2x) ] 2.2x 2.4.4x 2.4.6.6x       (x > 1) 3 5 7 2n 1 1 x x x x tgh x x ... ... 3 5 7 2n 1            ( x 1  ) 458

Robótica y Cibernética b) Diferenciales y derivadas 1) Diferenciales dax
adx  d(u v) du dv    duv udv vdu   2 u vdu udv d v v   n n 1 dx nx dx   y y 1 y e dx yx dx x log xdy    x x de e dx  a x a x de ae dx  x x e da a log adx  1 e dlog x x dx   1 a a dlog x x log edx   x x e dx x (1 log x)dx   2) Derivadas dsenx cosxdx  dcosx senxdx   2 dtgx sec dx  2 dctgx csc xdx   dsecx tgxsecxdx  dcscx ctgxcscxdx   dversx senxdx  1 2 dsen x 1 x dx    1 2 dcos x 1 x dx    1 2 dtg x 1 x dx    1 2 dctg x 1 x dx     1 1 2 dsec x x x 1dx     1 1 2 dcsc x x x a dx      1 2 dvers x 2x x dx    dsenhx coshxdx  dcoshx senhxdx  2 dtghx sech xdx  2 dctghx csch xdx   dsechx sechxtghxdx   dcschx cschxctghxdx   1 2 dsenh x x 1dx    1 2 dcosh x x 1dx    1 2 dtgh x 1 x dx    1 2 dctgh x x 1dx     1 2 dsech x x 1 x dx     1 2 dcsch x x x 1dx     c) Integrales 1) Integrales indefinidas adx a x   af(x)dx a f(x)dx    (y) (y)dx dy y'      , siendo y' dy/dx  (u v)dx udx vdx       udv uv vdu     dv du u dx uv v dx dx dx     459

Apéndice n 1 n x x dx , (n 1)
n 1       f '(x)dx logf(x) f(x)   , [df(x) f '(x)dx]  dx logx o log( x) x    f[(x)dx f(x), [df(x) f[(x)dx] 2 f(x)    x x e dx e   a x a x 1 e dx e a   a x a x b b dx alogb   logxdx xlogx x    x x a logadx a   1 1 2 2 dx 1 x 1 x tg ( ) o ctg ( ) a a a a x a       1 2 2 dx 1 x 1 a x tg ( ) o log a a 2a a x a x       1 2 2 dx 1 x ctg ( ) a a x a      1 1 2 2 dx x x sen ( ) o cos ( ) a a a x       2 2 2 2 dx log(x x a ) x a      1 2 2 dx 1 a cos ( ) a x x x a     2 2 2 dx 1 a a x log( ) a x x a x       1 1/ 2 dx 2 a bx tg ( ) a x' a bx a        n 1 n (a bx) (a bx) dx (n 1)b       , ( n 1  ) dx 1 log(a bx) a bx b     2 dx 1 b(a bx) (a bx)      3 2 dx 1 (a bx) 2b(a bx)      2 xdx 1 [a bx alog(a bx)] a bx b       2 2 xdx 1 a [log(a bx) ] a bx (a bx) b       3 2 2 xdx 1 1 a [ ] a bx (a bx) b 2(a bx)        dx 1 a bx log x(a bx) a x      2 2 dx 1 1 a bx log a(a bx) a x(a bx) a       2 2 dx 1 b a bx log a x x x (a bx) a       1 2 2 dx 1 x tg c c c x     460

Robótica y Cibernética 2 2 dx 1 c x log
2c c x c x      2 2 dx 1 x c log 2c x c x c      dx 1 c dx log( ) (a bx)(c dx) ad bc a bx        3 2 a bx dx (a bx) 3b     3 2 2(2a 3bx) (a bx) x a bx dx 15b       a bx dx dx 2 a bx a x x a bx        dx 2 a bx b a bx     2 xdx 2(2a bx) a bx a bx 3b       dx 1 a bx a log( ) x a bx a a bx a        2 2 2 2 dx log(x x a ) x a      2 2 2 2 xdx x a x a     2 2 3 2 2 3 1 x (x a ) dx (x a ) 3     2 2 3 2 2 2 dx x (x a ) a x a      2 2 3 2 2 xdx 1 (x a ) x a      2 2 3 2 2 5 1 x (x a ) dx (x a ) 5     2 2 2 2 2 2 dx x a a x x x a     2 2 2 2 dx 1 a a x log( ) a x a x       2 2 2 2 xdx a x a x      2 2 2 2 3 1 x a x dx (a x ) 3      2 2 3 2 2 2 dx x (a x ) a a x     2 2 3 2 2 xdx 1 (a x ) a x     2 2 3 2 2 5 1 x (a x ) dx (a x ) 5      2 2 2 2 1 2 2 x dx x a x a x sen 2 2 a a x        2 2 2 2 2 2 dx a x a x x a x      2 2 2 2 1 2 a x a x x dx sen x a x        2 1 2 2 3 2 2 x dx x x sen a (a x ) a x       461

Apéndice 1 2 dx a x cos ( ) a
2ax x      1/ 2 1 2 1 x ( ) dx sen x 1 x 1 x        1 2 2 dx 1 cx b sen c a 2bx cx b ac       senxdx cosx    cosxdx senx   tgxdx logcosx    ctgxdx logsenx   x secxdx logtg( ) 4 2     1 cscxdx logtg x 2   2 1 1 sen xdx cosxsenx x 2 2     3 2 1 sen xdx cosx(sen x 2) 3     2 1 1 cos xdx senxcosx x 2 2    x x sen dx acos a a    x x cos dx asen a a   1 sen(a bx)dx cos(a bx) b      1 cos(a bx)dx sen(a bx) b     dx x logtg sen x 2   dx x logtg( ) cosx 4 2     2 dx tgx cos x   dx x tg( ) 1 sen x 4 2     dx x tg 1 cosx 2    dx x ctg 1 cosx 2     2 2 x xsen2x cos2x xsen xdx 4 4 8     3 2 2 2 x x 1 xcos2x x sen xdx ( ) 6 4 8 4      4 3x sen2x sen4x sen xdx 8 4 32     2 2 x xsen2x cos2x xcos xdx 4 4 8     4 3x sen2x sen4x cos xdx 8 4 32     3 2 1 tg xdx tg x logcosx 2    4 3 1 tg xdx tg x tgx x 3     3 2 1 ctg xdx ctg c logsenx 2     4 3 1 ctg xdx ctg x ctgx x 3      2 1 senxcosxdx sen x 2   462

Robótica y Cibernética 2 2 1 1 sen xcos xdx
( sen4x x) 8 4     m 1 m cos x senxcos xdx m 1      m 1 m sen x sen xcosxdx m 1     2 sen xdx secx cos x   2 sen xdx x senx logtg( ) cosx 4 2       2 cosxdx cscx sen x    dx logtgx sen xcosx   2 dx 1 x logtg cosx 2 senxcos x    2 dx 1 x logtg( ) sen x 4 2 sen xcosx       2 2 dx 2ctg2x sen xcos x    2 dx ctgx sen x    2 tg xdx tgx x    2 ctg xdx ctgx x     2 sec xdx tgx   2 csc xdx ctgx    xsenx senx xcosx    2 2 x senxdx 2xsenx (x 2)cosx     xcosxdx cosx xsenx    2 2 x cosxdx 2xcosx (x 2)senx     1 1 2 sen xdx xsen x 1 x       1 1 2 cos xdx xcos x 1 x       1 1 2 1 tg xdx xtg x log(1 x ) 2       1 1 2 1 ctg xdx xtg x log(1 x ) 2        1 1 2 sec xdx xsec x log(x x 1)        1 1 2 csc xdx xcsc x log(x x 1)        1 1 2 2 x x sen xsen a x a a       1 1 2 2 x x cos dx xcos a x a a       1 1 2 2 x x a tg dx xtg log(a x ) a a 2       1 2 2 x x a ctg dx xctg log(a x ) a a 2      logxdx xlogx x    2 2 x x xlogxdx logx 2 4    3 3 2 x x x logxdx logx 3 9    463

Apéndice p 1 p 1 p 2 x x x
log(ax)dx log(ax) p 1 (p 1)        2 2 (logx) dx x(lox) 2xlogx 2x     n n 1 (logx) 1 dx (logx) x n 1     dx log(logx) xlogx   n n 1 dx 1 x(logx) (n 1)(logx)      m m 1 2 logx 1 x logxdx x [ ] m 1 (m 1)       1 1 senlogxdx xsenlogx xcoslogx 2 2    1 1 coslogxdx xsenlogx xcoslogx 2 2    x x e dx e   x x e dx e      a x a x 1 e dx e a   a x a x 2 e xe dx (a x 1) a    x x x dx e log 1 e 1 e     1 mx mx mx dx 1 a tg (e ) b m ab ae be      a x a x 2 2 e (asenpx pcospx) e senpxdx a p     a x a x 2 2 e (acospx psenpx) e cospxdx a p     senhxdx coshx   coshxdx senhx   tghxdx logcoshx   ctghxdx logsenhx   1 x sechxdx 2tg (e )    x csch xdx logtgh( ) 2   xsenhxdx xcoshx senhx    xcoshxdx xsenhx coshx    2) Integrales definidas n 1 x 0 x e dx (n)       1 m 0 dx 1 m 1 x    , (m > 1) p 0 dx cscp (1 x)x       , (p < 1) p 0 dx ctgp (1 x)x        , (p < 1) p 1 0 x dx 1 x senp        , (0 < p <1) m 1 n 0 x dx nsen(m /n) 1 x        , (0 < m < n) 464

Robótica y Cibernética 0 dx (1 x) x  
   2 2 0 adx 2 a x      , si a 0  / 2 n 0 (n 1/2) sen xdx , 2 (n /2 1)         n > -1 / 2 n 0 (n 1/2) cos xdx , 2 (n /2 1)         n > -1 0 /2, si m 0 senmxdx 0, si m 0 x /2, si m;0              0 2 0, m 1 sen xcosmxdx /4, m 1 x /2, m 1               0 cosxdx x     0 tgxdx x 2     0 senkxsenmxdx 0, (k m, k, m Z)      0 coskxcosmxdx 0, (k m, k, m Z)      2 2 0 0 sen mxdx sen mxdx 2        2 2 0 sen xdx 2 x    m 2 m 0 /2e , (m 0) cosmxdx 1 x /2e , (m 0)               n 1 n ax n 1 (n 1)/a , (n 1) x e dx n!/a , (n Z )                 2 2 0 0 1 cos(x )dx sen(x )dx 2 2        0 0 sen xdx cosxdx 2 x x        / 2 1 2 0 dx cos a 1 acosx 1 a       , (a < 1) 2 2 0 dx 2 1 acosx 1 a       , (a2 < 1) a x 0 1 e dx a     2 2 a x 0 e dx 2a      (a > 0) 2 x 0 1 xe dx 2     2 2 x 0 x e dx 4      2 2n ax n 1 n 0 1.3.5...(2n 1) x e dx a 2 a        2 2 2 2a ( x a / x ) 0 e e dx 2        465

Apéndice nx 0 1 e x dx 2n n 
    n x 0 e dx n x      a x 2 2 0 a e cosmxdx a m      , (a > 0) a x 2 2 0 m e senmxdx a m      , (a > 0) 2 2 2 2 b / 4a a x 0 e e cosbxdx 2a       ,(a > 0) 1 n n 0 (logx) dx ( 1) n!    1 1/ 2 0 (log1/ x) dx 2    1 1/ 2 0 (log1/ x) dx     1 n 0 (log1/ x) dx n!   1 0 3 xlog(1 x)dx 4     1 0 1 xlog(1 x)dx 4    1 2 0 logx dx 1 x 12      1 2 0 logx dx 1 x 6      1 2 2 0 logx dx 8 1 x      1 2 0 1 x dx log( ) 1 x x 4      1 2 0 logxdx log2 2 1 x      1 n n n 1 0 (n 1) x log(1/ x) dx (m 1)       , (m+1>0) 1 p q 0 (x x )dx p 1 log( ), (p 1 0) logx q 1        1 1/ 2 0 dx [log(1/ x)]    x 2 x 0 e 1 log( )dx 4 e 1       2 0 xlogsen xdx log2 2      / 2 0 sen xlogsen xdx log2 1     / 2 / 2 0 0 logsen xdx logcosxdx log2 2         / 2 0 logtgxdx 0    2 2 0 a a b log(a bcosx)dx log( ), (a b) 2         466

Robótica y Cibernética d) Fórmulas para la suma de los
números naturales 1) Suma de los "n" primeros números natu rales. n n(n 1) S 2   2) Suma de los "n" primeros números pa res naturales. n S n(n 1)   3) Suma de los "n" primeros números im pares naturales. 2 n S n  4) Suma de los cuadrados de los "n" prime ros números naturales. n n(n 1)(2n 1) S 6    5) Suma de los cubos de los "n" primeros números naturales. 2 2 n n (n 1) S 4   e) Promedios 1) Media aritmética (Ma ) La media aritmética de "n" cantidades a1 , a2 ,…,an , viene dado por: 1 2 n a a a ... a M n     2) Media geométrica (Mg ) La media geométrica de "n" cantidades a1 , a2 ,…,an , viene dado por: 1/ n g 1 2 n M [a .a .....a ]  3) Media armónica (Mh ) La media armónica de "n" cantidades a1 , a2 ,…,an , viene dado por: h 1 2 n n M 1/a 1/a ... 1/a     f) Progresiones 1) Progresión aritmética Si "a" es el primer término de una pro gresión aritmética, "k" el último, "d" la diferencia común, "n" el número de tér minos y "S" la suma de términos, se cumple: k a (n 1)d    , n S (a k) 2   n S [2a (n 1)d] 2    2) Progresión geométrica Si "a" es el primer término de una pro gresión geométrica, "k" el último, "r" la razón común, "n" el número de térmi nos y "S" la suma de los "n" términos, en estas condiciones se cumple: n 1 k ar   , kr a S r 1    , n (r 1) S a (r 1)    Si, "n" es infinito y r2<1, entonces, la suma de los infinitos términos de la pro gresión es: a S 1 r   g) Ecuación cuadrática Las dos raíces de una ecuación cuadráti ca del tipo: 2 a x bx c 0    , vienen da dos por: 2 1/ 2 b [b 4ac] x 2a      Si: 2 b 4ac 0   , las raíces son reales y diferentes.  Si: 2 b 4ac 0   , las raíces son iguales y reales.  Si: 2 b 4ac 0   , las raíces son comple jas y diferentes. 467

Apéndice  También, se cumplen las siguientes rela ciones: 1
2 b x x a    y 1 2 c x x a  h) Logaritmo 1) Definición El logaritmo de un número "N", es el exponente "x" al que hay elevar otro nú mero denominado base "b", para obte ner dicho número, esto es: x b N   b x log N  Se lee "x" es el logaritmo del número "N" en la base "b". 2) Operaciones  b b b log MN log M log N    b b b M log log M log N N    p b b log M plog M   x b 1 log Nx log N x  3. GEOMETRIA a) Triángulos 1) Puntos notables de un triángulo  Baricentro Es el punto de intersección de las tres medianas, en el se encuentra el centro de gravedad del triángulo. 2 2 2 1/ 2 a 1 m [2b 2c a ] 2    2 2 2 1/ 2 b 1 m [2a 2c b ] 2    2 2 2 1/ 2 c 1 m [2a 2b c ] 2     Ortocentro Es el punto de intersección de las tres al turas 1/ 2 a 2 h [p(p a)(p b)(p c)] a     1/ 2 b 2 h [p(p a)(p b)(p c)] b     1/ 2 c 2 h [p(p a)(p b)(p c)] c      Incentro Es el punto de intersección de las tres bi sectrices, correspondientes a sus tres án gulos 1/ 2 2 B [bcp(p a)] b c     C B A c b a ma mb mc  C B A c b a ha hb hc  c b a B B B        C B A 468

Robótica y Cibernética Circunferencia Longitud circunferencia : R 2 C
  Radio circunferencia :  2 C R  Longitud de arco : o o 180 n R    Círculo Area total círculo : 4 D R A 2 2     Longitud de arco :  R S  Longitud de circunferencia : R 2 C   Longitud de cuerda : 2 2 2 R d   Distancia de cuerda : d R h   Angulo central en radianes :  Cubo Area : 2 2 r 24 a 6 A   Volumen : 3 3 r 8 a V   Diagonal : d 3 a  Lado del cubo : a Radio de la esfera inscrita : r Esfera Area total de una esfera : 2 2 D R 4 A     Area de zona : 1 Z h R 2 A   Area de luna :  2 L R 2 A  Volumen de una esfera : 3 R 3 4 V   Volumen sector esférico : 1 2 S h R 3 2 V   Volumen segmento esférico : ) h r 3 ( h 6 V 2 3 2 3 3 1 S    de una sola base Volumen segmento esférico : ) h r 3 r 3 ( h 6 V 2 2 2 2 2 3 2 2 S     de dos bases 0 R R  l 0 R R  h d  S a a a d h1 h2 h3 R r2 r3 469

Apéndice Tetraedro Area : 2 2 A 3 a 24
3 r   Volumen : 3 3 V 2 a / 2 8 3 r   Radio de la esfera inscrita : r Tronco de cono Radio de la base media : 2 R r rm   Area lateral : g ) R r ( AL    Area total : ) R r ( g ) R r ( A 2 2       Volumen : ) R R r r ( h 3 1 V 2 2     Generatriz del cono : g Cilindro Area lateral : h R 2 AL   Area total : 2 R h R 2 A     Volumen : h R V 2   Tonel Volumen : ) R 2 r ( h 3 1 V 2 2    Radio menor : r Radio mayor : R Altura : h Toroide Area : R r 4 A   Volumen : R r 4 V 2   Radio menor : r Radio mayor : R a a a a a a R r rm h g h R h r R R r 470

Robótica y Cibernética Paralelepípedo Volumen : V a bc 
Superficie total : A 2(a b bc ca)    Diagonal : 2 2 2 d a b c    Radio mayor : R Pirámide o cono Volumen : 1 V Sh 3  Area lateral : 1 A pa 2  Area de la base : S Altura : h Perímetro de la base : p Paralelogramo Area :  sen b a h a A   Angulo entre los lados :  Altura : h Polígono regular de n lados Area del polígono : o 2 1 180 A n a ctg 4 n  Area sector : 2 S 1 1 A R S R 2 2    Area segmento : 2 SEG 1 A R ( sen ) 2     Perímetro del polígono : p 2n R sen n   Area polígono circunscrito : 2 A n R tg n   d c b a h a R p h a b  a R  0 471

Apéndice Trapecio Area : (B b) h A 2 
 Area : h pm A  Area : h A (B b b') 6    H : altura Triángulo Area : 3 A 3 3r  3 a r  3 2 3 r  4. GEOMETRIA ANALITICA PLANA a) Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos P1 , P2 de coordenadas rectangulares (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), viene dado por: 2 / 1 2 1 2 2 1 2 ] ) y y ( ) x x [( d     La distancia entre dos puntos P1 , P2 de coordenadas polares (r1 ; 1  ), (r2 ; 2  ), viene dad por: 2 / 1 2 1 2 1 2 2 2 1 )] cos( r r 2 r r [ d       b) Formas que adoptan las ecuaciones de una recta 1) 0 C y B x A    (forma general ) 2) ) x x ( m y y 1 1    (forma punto pendiente ) 3) b x m y   (forma pendiente intersección ) 4) 1 b y a x   (forma intersecciones ) c) Pendiente de una recta La pendiente de la recta que pasa por los puntos P1 (x1 ; y1 ) y P2 (x2 ; y2 ), viene dado por: 1 2 1 2 x x y y m    b B pm h l3 a3 r  Y X  P1 0 P2 472

Robótica y Cibernética d) Coordenadas del punto medio Las coordenadas
del punto medio del segmento de recta P1 (x1 ; y1 ) y P2 (x2 ; y2 ), viene dado por: 2 x x x 2 1 m   y 2 y y y 2 1 m   e) Angulo entre dos rectas El ángulo entre dos rectas S1, S2 de pendientes m1 y m2 , viene dado por: 2 1 2 1 m m 1 m m tg    f) Area de un triángulo El área de un triángulo cuyas coordenadas rectangulares de sus vértices son: A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ), C(x3 ; y3 ), viene dado por: ) y x y x y x y x y x y x ( 2 1 A 3 1 1 3 2 3 3 2 1 2 2 1       Si las coordenadas polares de los vértices del triángulo son: ) ; r ( A 1 1  , ) ; r ( B 2 2  y ) ; r ( C 3 3  , entonces el área de di cho triángulo es: )] ( sen r r ) ( sen r r ) ( sen r r [ 2 1 A 3 1 3 1 2 3 3 2 1 2 2 1             CONICAS a) Circulo La ecuación de un circulo de centro en (h ; k) y radio " R " , viene dado por: 2 2 2 R ) k y ( ) h x (      Si el centro se ubica en el origen, la ecuación ante rior, queda así: 2 2 2 R y x   Y X P1 0 P2 Pm  Y X L1 0 L2  Y X  (h; k) B A C Area 473

Apéndice  La ecuación polar de un círculo con el
origen sobre la circunferencia y su centro en el punto C es: ) cos( C 2 r      Si el origen no está sobre la circunferencia, el radio es " a " y el centro está en el punto b, a, en este caso la ecuación es: ) cos( b r 2 b r a 2 2 2       b) Elipse La ecuación de una elipse con centro en (h; k) y se miejes mayor " a " y menor " b " es: 1 b ) k y ( a ) h x ( 2 2 2 2      Si el centro se encuentra en el origen de coordenadas 0, la ecuación se convierte en: 1 b y a x 2 2 2 2    La ecuación polar cuando el polo está en el centro de la elipse es:   2 2 2 2 2 2 2 cos b sen a b a r   c) Hipérbola La ecuación de una hipérbola de centro (h; k) y de ejes paralelos a los ejes de coordenadas X, Y y de eje transverso horizontal es: 1 b ) k y ( a ) h x ( 2 2 2 2     Si el centro está en el origen de coordenadas 0, la e cuación se reduce a: 1 b y a x 2 2 2 2   Y X  0 R Y X  0 b (h; k) a Y X  0 b a (h; k) X Y 0 474

Robótica y Cibernética siendo " a " el semieje transverso
y " b " el semieje conjugado (vertical). La ecuación polar que tiene el centro en el polo es:   2 2 2 2 2 2 2 cos b sen a b a r   d) Hipérbola equilátera Es aquella hipérbola que tiene por centro el origen y por asíntotas los ejes de coordenadas, su ecuación es: C y x  siendo " C " una constante. e) Parábola La ecuación de una parábola con vértice en V(h; k) y foco en F(h+p; k) es: ) h x ( p 4 ) k y ( 2    Si el vértice está en el origen, la ecuación anterior se reduce a: x p 4 y2  La ecuación polar cuando el foco está en el polo y " p " es el semilado recto es:  cos 1 p r   Si el vértice está en el polo y " p " tiene el mismo significado anterior, la ecuación es:   2 sen cos p 2 r  f) Relaciones entre las coordenadas polares y rectangulares  cos r x   sen r y  2 2 y x r   , ) x y ( tg 1    , 2 2 y x y sen    , 2 2 y x x cos    X Y Y X 0 V   F Y X V   F Y X  r x y 0 475

Apéndice g) Angulo sólido Angulo sólido es el espacio comprendido
al interior de una circunferencia cónica (vérti ce), como muestra la Figura., los ángulos sólidos se representan simbólicamente mediante " "  . El valor del ángulo sólido en todo el espacio es 4. En el S.I. (Sistema Internacional) los ángulos se miden en estereorradián, y para obtener su valor se traza una superficie esférica de radio arbitrario "R" con centro en el vértice O, (como se muestra en la Fig.); y se aplica la relación: 2 S R   siendo "S" el área del casquete esférico interceptado por el ángulo sólido.  Cuando el ángulo sólido es pequeño en lugar de "S" se debe considerar un diferencial de superficie de área "dS", de modo que la ecuación anterior, queda así: 2 dS d R    En algunos casos la superficie " " dS no es perpendicu lar a OP y ella forma un ángulo " "  con la normal a " " dS , como muestra la Figura, en éste caso el ángulo sólido, viene dado por: 2 dScos d R    5. COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES a) Transformación de coordenadas Sean x, y, z las coordenadas de un punto P en el sistema cartesiano (S), y x1 , x2 , x3 las coordenadas de dicho punto en un sistema de coordenadas ortogonales (0), si existe una transformación biunívoca entre los sistemas (S) y (0), entonces, la terna (x, y, z) podemos expresarlo en función de la terna (x1 , x2 , x3 ), así: 1 2 3 x x(x , x , x )  , 1 2 3 y y(x , x , x )  , 1 2 3 z z(x , x , x )  o viceversa, la terna (x1 , x2 , x3 ) en función de la terna (x, y, z), así: 1 1 x x (x, y,z)  , 2 2 x x (x, y,z),  3 3 x x (x, y,z)  R  0 S P d 0  dS 476

Robótica y Cibernética b) Coordenada curvilínea ortogonal En la Figura,
las superficies x1 =c1 , x2 =c2 , x3 =c3 siendo c1 , c2 , c3 constantes se llaman superficies coordenadas; la intersección de cada par de estas superficies definen las líneas coordenadas L 3 , L 2 , L 3 . Cuando estas líneas de coordenadas se cortan en ángulo recto se dice que el sistema de coordenadas (0) es ortogonal. c) Vectores unitarios Los vectores unitarios que se utilizan como vectores base para definir el sistema de coor denadas ortogonales (0), y que son tangentes a las líneas de coordenadas L 1 , L 2 , L 3 , vie nen dados por: i i i i i r / x r / x ˆ e h r / x         con (i=1, 2, 3) donde, ˆ ˆ ˆ r x i y j z k    o 1 2 3 r r(x , x , x )  es el vector de posición del punto P en los sistemas de coordenadas (S) y (0), respectivamente, y hi con (i=1, 2, 3) los coeficientes métricos o coeficientes de Lamé, cuyas expresiones, vienen dados por: 2 2 2 1/ 2 i i i i y x z h [( ) ( ) ( ) ] x x x          con (i=1, 2, 3) el sentido del vector unitario i ˆ e , con (i=1,2 ,3) es el de crecimiento de xi . Como i x  es un vector normal en el punto P a la superficie i i x c  , el vector unitario en esta dirección y sentido, viene dado por: * i i i x ˆ e x    con (i=1, 2, 3) En conclusión, en cada punto de un sistema de coordenadas curvilíneas se pueden definir dos sistemas de vectores unitarios i ˆ e tangentes a las líneas de coordenadas L i , con (i=1,2, 3) y * i ˆ e perpendiculares a las superficies de coordenadas xi =ci con (i=1, 2, 3). Ambos sis temas de vectores unitarios coincidirán solo en el caso en que el sistema de coordenadas sea ortogonal, y tendrán la misma función que la de los vectores unitarios cartesianos ˆ i , ˆ j, ˆ k , con la diferencia que los vectores unitarios ( i ˆ e o * i ˆ e ) pueden cambiar de dirección y sentido de un punto a otro. d) Elementos de línea, superficie y volumen Como, i i i ˆ r / x h e    (i=1, 2, 3), el diferencial del vector de posición r en el sistema de coordenadas ortogonal (0), viene dado por: X 0 Z Y u1=c1 u3=c3 u2=c2 P L1 L2 L3 477

Apéndice 1 2 3 1 2 3 r r r
dr dx dx dx x x x          1 1 1 2 2 2 3 3 3 ˆ ˆ ˆ dr h dx e h dx e h dx e    y el cuadrado del elemento de longitud es: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 ds dr dr h dx h dx h dx     En la Figura., como los vectores unitarios 1 ˆ e , 2 ˆ e , 3 ˆ e son mutuamente perpendiculares entre si; los elementos de superficie dA1 (formado por L 2 , L 3 ), dA2 (formado por L 1 , L 3 ), y dA3 (formado por L 1 , L 2 ), vienen dados: 1 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ dA (h dx e ) x (h dx e ) h h e x e dx dx h h dx dx    2 3 3 3 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ dA (h dx e ) x (h dx e ) h h e x e dx dx h h dx dx    3 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ dA (h dx e ) x (h dx e ) h h e x e dx dx h h dx dx    En la Figura, el elemento de volumen en el sistema de coordenadas ortogonal, viene dado por el triple producto escalar, esto es: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 ˆ ˆ ˆ dV (h dx e ) (h dx e )x(h dx e ) h h h dx dx dx   e) El gradiente, la divergencia, el rotacional y la laplaciana. Sean: un campo escalar y A un campo vectorial, entonces las expresiones de los opera dores gradiente, divergencia, rotacional y Laplaciana, en un sistema de coordenadas curvi línea ortogonal, vienen dados por: 3 i 1 2 3 i 1 i i 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ grad e e e e h x h x h x h x                       2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 divA A [ (h h A ) (h h A ) (h h A )] h h h x x x            1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ h e h e h e 1 rot A x A h h h x x x h A h A h A          L1 L3 L2 P h2dx2e2 h3dx3e3 h1dx1e1 478

Robótica y Cibernética 2 3 3 1 2 1 2
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 h h h h h h 1 [ ( ) ( ) ( )] h h h x h x x h x x h x                       1) Coordenadas rectangulares En este sistema de coordenadas: x1 =x, x2 =y, x3 =z, los coeficientes métricos son: h1 =1, h2 =1, h3 =1, y a su vez, los operadores diferenciales, vienen dados por: ˆ ˆ ˆ grad i j k x y z                 , y x z A A A divA A x y z            y y z x z x A A A A A A ˆ ˆ ˆ rot A x A ( ) i ( ) j ( ) k y z z x x y                     2 2 2 2 2 2 2 x y z                 2 2 2 2 ds dx dy dz    ; dV dxdydz  Las superficies coordenadas son: tres planos mutuamente perpendiculares. 2) Coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas: 1 x   , 2 x   , 3 x z  , están relacionados con las coorde nadas cartesianas por: x cos    , y sen    , z=z, los coeficientes métricos son: h1 =1, 2 h   , 3 h 1  , y las expresiones de los operadores diferenciales, son: 1 2 3 1 ˆ ˆ ˆ grad e e e z                    3 2 1 A 1 1 A divA A ( A ) z                 3 3 2 1 1 1 2 2 3 A A A A A 1 1 1 ˆ ˆ ˆ rot A x A ( )e ( )e ( ( A ) )e z z                             2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) z                         2 2 2 dF( ) d F( ) dF( ) 1 d 1 F( ) F( ) ( ) d d d d                   479

Apéndice 2 2 2 2 2 ds d d dz
      ; dV d d dz     Las superficies coordenadas son: cte.   , cilindros concéntricos; cte.   , planos; y z=cte. planos. 3) Coordenadas esféricas Las coordenadas esféricas: 1 x r  , 2 x   , 3 x   , están relacionados con las coordenadas cartesianas por: x rsen cos    , y r sen sen    , z rcos  , los coeficientes métri cos son: h1 =1, 2 h r  , 3 h 1  , y las expresiones de los operadores diferenciales son: 1 2 3 1 1 ˆ ˆ ˆ grad e e e r r r sen                    2 3 1 2 2 A 1 1 1 divA A (r A ) (sen A ) r rsen rsen r                 2 1 1 3 1 3 2 2 3 A A A 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ rot A [ (sen A ) ]e [ (r A )]e [ (rA ) ]e rsen r sen r r r                          2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (r ) (sen ) r r r r sen r sen                         2 2 2 2 2 d F(r) dF(r) 1 d 2 F(r) F(r) (r F(r)) r r dr dr dr       2 2 2 2 2 2 2 ds dr r d r sen d       2 dV r sen drd d     Las superficies coordenadas son: r cte.  , esferas concéntricos; cte.   , conos; y  =cte. planos. 480

Robótica y Cibernética APENDICE B 1. FACTORES DE CONVERSION Angulo
plano grado minuto segundo radían revolución 1 grado 1 60 3 600 1 74510-2 2,77810-3 1 minuto 1,66710-2 1 60 2,90910-4 4,63010-5 1 segundo 2,77810-4 1,66710-2 1 4,84810-6 7,71610-7 1 radían 57,30 3 438 2,063105 1 0,1592 1 revolución 360 2,16104 1,296106 6,283 1 Angulo sólido 1 esfera = 4 esterorradianes = 12,57 esterorradianes Longitud Angstrom metro pulgada pie yarda milla-T 1Angstrom 1 10-10 39,3610-10 3,2810-10 1,0910-10 6,210-14 1 metro 1010 1 39,37 3,28 1,09 0,62110-3 1 pulgada 2,54108 0,0254 1 0,083 0,0278 1,57810-5 1 pie 30,48108 0,3048 12 1 0,3333 1,89410-4 1 yarda 91,44108 0,9144 36 3 1 5,6810-4 1 milla-T 6,21106 6,2110-4 63360 5280 1760 1 1 milla-N 18521010 1852 72912 6076 2025,3 1,15 1 vara 5,2921010 5,0292 198 16,5 5,5 3,12510-3 1 legua 4,8281013 4828,032 190080 15840 5280 3 1 año luz 9,451025 9,451015 3721015 311015 10,331015 5,871012 1 parsec 30,841025 30,841015 12121015 1011015 33,671015 19,151012 1 braza 1,831010 1,8288 72 6 2 1,13510-3 1 estadio 201,161010 201,168 7920 660 220 0,125 481

Apéndice Area mm2 cm2 m2 km2 plg2 pie2 1 mm2
1 10-2 10-6 10-12 15,5 1,07610-5 1 cm2 102 1 10-4 10-10 0,155 1,07610-3 1 m2 106 104 1 10-6 1550 10,76 1 km2 1012 1010 106 1 15510-5 10,76106 1 plg2 645,2 6,452 6,45210-4 6,4510-10 1 6,910-3 1 pie2 9,29104 929 9,2910-2 9,2910-8 144 1 1 yarda2 0,836106 0,836104 0,8361 0,83610-6 1296 9 1 milla2 2,151012 2,591010 2,59106 2,59 4,01109 27,87106 1 hectárea 1010 108 104 10-2 1,55107 10,76104 1 acre 4046,8106 4046,8104 4046,86 4046,810-6 6,27106 43560 1 vara2 25,29106 25,29104 25,2928 25,2910-6 3,92104 272,15 1 legua2 23,311012 23,311010 23,31106 23,31 3,61011 25108 Volumen mm3 cm3 m3 km3 litro pie3 1 mm3 1 10-3 10-9 10-18 10-6 3,53110-8 1 cm3 103 1 10-6 10-15 10-3 3,53110-5 1 m3 109 106 1 10-9 103 35,31 1 km3 1018 1015 109 1 1012 35,31109 1 litro 106 103 10-3 10-12 1 3,53110-2 1 galón 3,785106 3,785103 3,78510-3 3,78510-12 3,785 133,6710-3 1 pie3 2,832107 2,832104 2,83210-2 2,83210-11 28,321 1 1 plg3 16,39103 16,39 1,63910-5 1,63910-14 1,63910-2 5,78710-4 1 cuarto 0,946106 0,946103 0,94610-3 0,94610-12 0,946 33,41710-3 1 pinta 0,473106 0,473103 0,47310-3 0,47310-12 0,473 16,70810-3 1 onza 2,365106 2,365103 2,36510-4 2,36510-13 0,2365 8,3510-3 1 barril 0,159109 0,159106 0,159 0,15910-9 0,159103 5,614 482

Robótica y Cibernética Tiempo año día hora minuto segundo 1
año 1 365,2 8,76610-3 5,259105 3,156107 1 día 2,73810-3 1 24 1 440 8,640104 1 hora 1,14110-4 4,16710-2 1 60 3 600 1 minuto 1,90110-6 6,94410-4 1,66710-2 1 60 1 segundo 3,16910-8 1,15710-5 2,77810-4 1,66710-2 1 Masa g kg lb onza tonelada 1 g 1 10-3 2,20510-3 35,2710-3 9,810-7 1 kg 103 1 2,205 35,27 9,810-4 1 lb 453,6 0,4536 1 16 4,4610-4 1 onza 28,35 2,83510-2 0,0625 1 2,7910-5 1 tonelada 1 016103 1 016 2 240 35 840 1 1 ton. métr 106 103 2 204,6 35 274 0,98 1 slug 14,59103 14,59 32,17 514,8 1,4310-2 1 arroba 11,34103 11,34 25 400 1,1110-2 1 quintal 45,36103 45,36 100 1 600 4,4510-2 1 utm 9,8103 9,8 21,60 345,6 9,610-3 1 uma 1,6610-24 1,6610-27 3,6610-27 5,85710-26 1,6310-30 1 cuarto 254,01103 254,01 560 8 960 0,249 1 dracma 1,772 1,7710-3 3,910-3 6,2510-2 1,73610-3 Velocidad mm/s cm/s m/s km/h pie/s milla/h 1 cm/s 10 1 0,01 3,610-2 3,28110-2 2,23710-2 1 m/s 1000 100 1 3,6 3,281 2,237 1 km/h 277,8 27,78 0,2778 1 0,9113 0,6214 1 pie/s 304,8 30,48 0,3048 1,097 1 0,6818 483

Apéndice 1 milla/h 447,0 44,70 0,4470 1,609 1,467 1 1
nudo 514,4 51,44 0,5144 1,852 1,688 1,151 Aceleración mm/s2 cm/s2 m/s2 km/h2 pie/s2 plg/s2 1 cm/s2 10 1 0,01 129,6 3,28110-2 1 m/s2 1000 100 1 3,6 3,281 39,37 1 km/h2 277,8 27,78 0,2778 1 0,9113 3,0410-3 pie/s2 304,8 30,48 0,3048 3,95103 1 12 plg/s2 25,4 2,54 25,410-3 329,18 83,310-3 1 Fuerza lbf pdl kgf N dyn ozf 1 pdl 3,10810-2 1 1,4110-2 0,1383 1,383104 0,497 1 lbf 1 32,17 0,4536 4,448 4,448105 16 1 kgf 2,205 70,93 1 9,80665 9,8105 35,26 1 N 0,2248 7,233 0,102 1 105 3,597 1 dyn 2,24810-6 72,3210-6 1,0210-6 10-5 1 3,59710-5 1 tf 2000 64340 907,2 8896,6 8896,6105 3,20104 1 tf m 2204,6 70921 1000 9806,6 9806,6105 3,53104 1 arroba 25 804,25 11,34 111,20 111,20105 4 1 quintal 100 3217 45,36 444,80 444,80105 1600 1 ozf 62,4910-3 2,011 28,3610-3 0,278014 0,278014105 1 Presión lbf/pie2 pdl/pie2 kgf/m2 Pa dyn/cm2 bar Torr 1 atm 2,116103 68,06103 1,033104 1,013105 1,013106 1,013 760 1 lbf/pie2 1 32,17 4,8825 47,881 478,81 4,1310-6 0,359 1 lbf/plg2 144 4632,48 703,08 6894,8 68948 5,9510-4 51,69 1 pdl/pie2 3110-3 1 0,152 1,49 14,9 0,1310-6 0,011 1 kgf/m2 0,2048 6,59 1 9,806 98,06 0,8510-6 0,073 1 Pa 2,08910-2 0,672 0,102 1 10 10-5 7,510-3 484

Robótica y Cibernética 1 bar 24,2104 7,79106 1,02104 105 106
1 8,69104 1 Torr 2,785 89,60 13,6 133,3 1333 0,1210-4 1 Energía lbfpie pdlpie kgfm joule ergio 1kWh 1 eV 1 Btu 778 2,502103 107,55 1055 1,0551010 2,9310-4 6,591021 1 lbfpie 1 32,17 0,13825 1,356 1,356107 0,3810-6 0,851019 1 pdlpie 3,1110-2 1 4,310-3 4,2110-2 4,214105 1,1710-8 2,6310-17 1 cal 3,087 99,308 0,427 4,186 4,186107 1,1710-6 2,621019 1 kgfm 7,233 232,5 1 9,806 9,806107 2,7210-6 6,121019 1 joule 0,7376 23,729 0,102 1 107 0,2810-6 6,201018 1 hph 1,98106 63,7106 0,27106 2,68106 2,681013 0,746 1,671025 1 kWh 2.65106 85,41106 0,37106 3,6106 3,61013 1 2,251025 1 eV 1,1810-19 3810-19 0,1610-19 1,610-19 1,610-12 4,410-26 1 Potencia lbfpie/s pdlpie/s kgfm/s vatio ergio/s hp cal/s 1 Btu/h 0,216 0,695 2,9910-2 0,293 0,293107 3,9310-4 710-2 1 lbfpie/s 1 32,17 0,138 1,356 1,356107 1,8210-3 0,324 1 pdlpie/s 3,10810-2 1 4,310-3 4,2110-2 4,21105 5,65.10-5 10-2 1 kgfm/s 7,2329 232,68 1 9,806 9,806107 0,013 2,343 1 vatio 0,7376 23,729 0,102 1 107 1,3410-3 0,239 1 hp 550 17693 76,07 746 746107 1 178,16 1 kW 737,6 2,373104 101,97 103 1010 1,341 239 1 Btu/s 778 25,028103 107,58 1055 1,0551010 1,414 252 Densidad de masa g/cm3 kg/m3 lb/pulg3 lb/pie3 utm/m3 1 g/cm3 1 103 36,210-3 62,5 102,06 1 kg/m3 10-3 1 0,3610-4 6,2510-2 0,102 1 lb/pulg3 27,68 2,768104 1 1 728 2,825103 485

Apéndice 1 lb/pie3 1610-3 16 5,7910-4 1 1,6345 1 utm/m3
9,79810-3 9,798 0,35410-3 0,612 1 Carga eléctrica abcoulomb Ah coulomb statcoulomb 1 abcoulomb 1 2,77810-3 10 2,9981010 1 ampere-hora 360 1 3600 1,0791013 1 coulomb 0,1 2,77810-4 1 2,998109 1 statcoulomb 3,33610-11 9,26610-14 3,33610-10 1 Corriente eléctrica abampere ampere statampere 1 abampere 1 10 2,9981010 1 ampere 0,1 1 2,998109 1 statampere 3,33610-11 3,33610-16 1 Fuerza electromotriz 1 abvoltio voltio statvoltio abvoltio 1 10-8 3,33610-11 1 voltio 106 1 3,33610-3 1 statvoltio 2,9981010 299,8 1 Resistencia eléctrica 1 abohmio ohmio statohmio abohmio 1 10-9 1,11310-21 1 ohmio 109 1 1,11310-12 1 statohmio 8,9871020 8,9871011 1 Capacitancia abfaradio faradio microfaradio statfaradio 1 abfaradio 1 109 1015 8,9871020 486

Robótica y Cibernética 1 faradio 10-9 1 106 8,9871011 1
microfaradio 10-15 10-6 1 8,987105 1 statfaradio 1,11310-21 1,11310-12 1,11310-6 1 2. VALORES DE ALGUNAS PROPIEDADES FISICAS PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS Líquido Densidad en kg/m3 Calor J/kg 0C específico cal/g 0C Coeficiente de tensión superficial (N/m) Benzol 880 1 720 0,41 0,03 Agua 1 000 4 190 1,0 0,073 Glicerina 1 200 2 430 0,58 0,064 Aceite de ricino 900 1 800 0,43 0,035 Kerosene 800 2 140 0,051 0,03 Mercurio 13 600 138 0,033 0,5 Alcohol 790 2510 0,6 0,02 PROPIEDADES DE ALGUNOS SOLIDOS Sólido Densidad en kg/m3 Temperatura de fusión 0C Calor J/kg 0C específico cal/g 0C Calor de fusión J/kg Coeficiente dilatación térmica Aluminio 2 600 659 896 0,214 3.22105 2,310-5 Hierro 7 900 1 530 500 0,119 2,72105 1,210-5 Latón 8 400 900 386 0,092 - 1,910-5 Hielo 900 0 2 100 0,5 3,35105 - Cobre 8 600 1 100 395 0,094 1,76105 1,610-5 Estaño 7 200 232 230 0,055 5,86104 2,710-5 Platino 21 400 1 770 117 0,028 1,13105 0,8910-5 487

Apéndice Corcho 200 - 2 050 0,49 - - Plomo
11 300 327 126 0,030 2,26104 2,910-5 Plata 10 500 960 234 0,056 8,80104 1,910-5 Acero 7 700 1 300 460 0,11 - 1,0610-5 Zinc 7 000 420 391 0,093 1,17105 2,910-5 PROPIEDADES ELASTICAS DE ALGUNOS SOLIDOS Sustancia Resistencia a la rotura en N/m2 Módulo de Young en N/m2 Aluminio 1,1108 6,91010 Hierro 2,94108 19,61010 Cobre 2,45108 11,81010 Plomo 0,2108 1,571010 Plata 2,9108 7,41010 Acero 7,85108 21,61010 PERMITIVIDAD RELATIVA (k) DE ALGUNOS DIELECTRICOS Cera 7,800 Madera 2,5-8 Agua 81 Alcohol, etílico (00 C) 28,4 Kerosene 2 Petróleo 2,1 Aceite 5 Agua (destilada, 00 C) 88,0 Parafina 2 Agua (destilada, 200 C) 80,0 Mica 6 Aire (1 atm) 1,00059 Vidrio 5-10 Aire (100 atm) 1,0548 Nilón 3,5 CO2 (1 atm) 1,000985 Caucho 2-3, 5 Porcelana 6 Azufre 4,0 Ebonita 2,6 488

Robótica y Cibernética CONDUCTIVIDAD TERMICA DE ALGUNOS SOLIDOS ( en
W/m oC) Aluminio 210 Fieltro 0,046 Hierro 58,7 Cuarzo fundido 1,37 Cobre 390 Arena seca 0,325 Corcho 0,050 Plata 460 Ebonita 0,174 RESISTIVIDAD DE ALGUNOS MATERIALES ( en m ) Aluminio 2,8310-8 Germanio (puro) 0,45 Cobre 1,6910-8 Germanio (5.10-6 % de As) 0,011 Oro 2,4410-8 Silicio (puro) 640,0 Hierro (00 C) 8,8510-8 Silicio (10-4 % de As) 0,003 Niquel 7,2410-8 Solución de NaCl 0,044 Plata (00 C) 1,4710-8 Ambar 5,01014 Mercurio 95,810-8 Vidrio 1020-1014 Tungsteno 5,5110-8 Ebonita 1012-1016 Constatan (Cu60) 44,010-8 Mica 1011-1015 Nicromo 10010-8 Madera 108-1011 CONDUCTIVIDAD ELECTRICA DE ALGUNOS MATERIALES ( en S/m ) Aluminio 3,54107 Germanio (puro) 2,22 Cobre 5,81107 Germanio (5.10-6 % As) 90,9 Oro 4,09107 Silicio (puro) 1,5610-3 Hierro (00 C) 1,53107 Silicio (10-4 % de As) 3,3310-2 Níquel 6,80107 Solución de NaCl 25 Plata (00 C) 6,14107 Ambar 2,010-15 Tungsteno 1,82107 Vidrio 10-20-10-14 Mercurio 1,82106 Ebonita 10-12-10-16 489

Apéndice Constatan (Cu60) 2,04106 Mica 10-11-10-15 Nicromo 1,00106 Madera 10-8-10-11
SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA (e ) DE ALGUNOS MATERIALES Mica 5 Hidrógeno 5,010-4 Porcelana 6 Helio 0,610-4 Vidrio 8 Nitrógeno 5,510-4 Baquelita 4,7 Oxígeno 5,010-4 Aceite 1,1 Argón 5,210-4 Trementina 1,2 Oxido de carbono 9,210-4 Benceno 1,84 Aire 5,410-4 Alcohol (etílico) 24 Vapor de agua 7,010-3 Agua 78 Aire (100 atm) 5,510-2 MOMENTOS DIPOLARES DE ALGUNAS MOLECULAS (mC) HCl 3,4310-30 HBr 2,6010-30 HI 1,2610-30 CO 0,4010-30 H2 O 6,2010-30 H2 S 5,3010-30 SO2 5,3010-30 NH3 5,0010-30 C2 H5 OH 1,2610-30 SUSCEPTIBILIDAD MAGNETICA (m ) DE ALGUNOS MATERIALES Hidrógeno (1 atm) -2,110-9 Oxígeno (1 atm) 2,110-6 Nitrógeno 91 atm) -5,010-9 Magnesio 1,210-5 Sodio 2,410-6 Aluminio 2,310-5 Cobre -1,010-5 Tungsteno 6,810-5 Bismuto -1,710-5 Titanio 7,110-5 Diamante -2,210-5 Platino 3,010-4 Mercurio -3,210-5 GdCl3 2,810-3 490

Robótica y Cibernética MOVILIDAD DE LOS IONES EN LOS ELECTROLITOS
(m2/Vs) NO- 3 6,410-8 H+ 3,2610-7 K+ 6,7010-8 Cl- 6,810-8 Ag+ 5,610-8 Código de colores para las resistencias Colores 1ª Cifra 2ª Cifra Multiplicador Tolerancia Negro 0 0 Marrón 1 1 x10 1% Rojo 2 2 x 102 2% Naranja 3 3 x 103 Amarillo 4 4 x 104 Verde 5 5 x 105 0.5% Azul 6 6 x 106 Violeta 7 7 x 107 Gris 8 8 x 108 Blanco 9 9 x 109 Oro x 10-1 5% Plata x 10-2 10% Sin color 20% PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL (S.I.) Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo 101 deca da 10-1 deci d 102 hecto h 10-2 centi c 103 kilo k 10-3 mili m 106 mega M 10-6 micro  109 giga G 10-9 nano n 1012 tera T 10-12 pico p 1015 peta P 10-15 femto f 1018 exa E 10-18 atto a 491

Apéndice 3. FORMULAS E IDENTIDADES DEL ANALISIS VECTORIAL 1) (
)           2) ( )           3) (f g) f g       4) x(f g) xf xg       5) ( f) f f         6) (f xg) g xf f xg      7) xf 0    8) x f xf xf         9) 2 x xf f f       10) x 0     11) f xgxh (f h)g (f g)h   12) ˆ ˆ / n n       13) ˆ ˆ B / n (n )B     14) 2       15) x r 0   16) r 3   17) r r / r   18) 3 (1/ r) r / r    19) 3 2 (r / r ) (1/ r) 0, si r 0      20) r r ' r r ' ' r r ' r r '         21) F( ) ( F / )         22) A( ) ( A / )         23) xA( ) x( A / )         24) (A )B( ) (A )( B / )         25) S V f ds f dV     26) C S f d xf ds     27) S V ds dV       28) S V ds xf xf dV     29) S V V f (g ds) f gdV (g )f dV        30) L S d ds x       31) x(f xg) f g g f (g )f (f )g          32) (f g) (f )g (g )f f x xg gx xf          33) (exf) (gxh) (e g)(f h) (e h)(f g)   34) (exf)x(gxh) [e (f xh)]g [e (f xg)]h   35) L S N M Mdx Ndy ( )dxdy x y          36) 2 V S [ ( ) ( )]dV ( ) ds              37) 2 2 V S [ ]dV ( ) ds                  492

Robótica y Cibernética 4. ECUACIONES DE MAXWELL EN EL VACIO
(S.I.) Para campos electromagnéticos independientes del tiempo Ley Forma integral Forma diferencial De Gauss para el campo e léctricoE o S E ds q /    o E /     De Gauss para el campo de inducción magnética B S B ds 0   B 0   De circulación para el cam po eléctrico E L E d 0   xE 0   De circulación para el cam po de inducción magné tica o L B d I    o xB J    Para campos electromagnéticos dependientes del tiempo Ley Forma integral Forma diferencial De Gauss para el campo eléctricoE o S E ds q /    o E /     De Gauss para el campo de inducción magnética B S B ds 0   B 0   De circulación para el campo eléctrico E L S d E d B ds dt     xE 0   De circulación para el campo de inducción mag nética o o o L S d B d I B ds dt        o xB J    493

Apéndice 5. RESUMEN DE FORMULAS DEL ELECTROMAGNETISMO (S.I.) Nombre Discreta
(s) Continua (s) Ley de Coulomb 1 2 12 3 12 q .q F k r r  1 2 2 1 1 12 2 3 12 V V F k dV r dV r      Fuerza sobre una carga F q E  en el campo eléctrico E Intensidad del campo eléctrico N k k 3 k 1 k / r r )q E k r r      3 V (r r´) E k dV r r´      Campo a una distancia "d"de un filamento de longitud infinita y densidad de carga lineal " "  Campo a una distancia "d" de un filamento de longitud finita " " y densidad de carga lineal " "  Campo a una distancia "d" del centro de una espira cuadrada de lados "2a" y densidad de carga lineal " "  Campo a una distancia "d" de un plano infinito de densidad de carga superficial uniforme" "   d P    o E 2 d    d  l/2   P o sen E 2 d     P d 2a 2a  0 2 2 2 2 1/ 2 o 8 ad E 4 (a d )(2a d )      o E 2     P      d 01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 494

Robótica y Cibernética Campo a una distancia "d"del centro de
un anillo de radio "R", y densidad de carga lineal uniforme " "  Campo a una distancia "d" del centro de un disco de radio "R", y densidad de carga superficial uniforme " "  Campo de planos infinitos paralelos delgados cargados con densidades de cargas superficiales   Campo de planos infinitos paralelos delgados cargados con densidades de cargas superficiales  Campo de un cascarón esférico de radio "R", y densidad de carga superficial uniforme " "  Campo de una esfera compacta de radio "R", y densidad de carga volumétrico uniforme " "  2 2 3/ 2 o Rd E 2 (d R )     d P  R  - A B C 2 2 o 0, para r R, E R / r para r R.           o / en B E 0, en A y C         A B C o / en A y C E 0, en B       R r P  R r P  o 3 2 o r / 3 , para r R, E R / 3 r para r R.             2 2 o d E [1 ] 2 d R      d P  R 08) 09) 10) 11) 12) 13) 495

Apéndice Campo de un segmento esférico de radio "R", y
densidad de carga superficial uniforme " "  Campo en el eje de simetría de un cascarón cilíndrico de longitud " ", y densidad de carga superficial uniforme " "  Campo en el eje de simetría de un cilindro compacto de longitud " ", y densidad de carga volumétrica uniforme " "  Componente perpendicular del campo de una superficie plana cargada, que limita un ángulo sólido " "  Ecuación para las líneas de fuerza de E y x E dx E dy  Tensor Maxwelliano de tensión eléctrica 2 1 1 T (E E E ) 4 2         o E 4      2 2 2 2 o 2 2 2 2 o R R ( ), z 2 R (z ) R z E R R ( ), z 2 R ( z) R z                       2 2 o r E ( )( ) 4 R     0 E R r   z P O eje l R   z P   O eje l R  E  P  2 2 2 2 o 2 2 2 2 o [ (z ) R z R ], z 2 E [2z ( z) R z R ], z 2                          14) 15) 16) 17) 18) 19) 496

Robótica y Cibernética Flujo de E a través de una
superficie S E S E dS    Densidad de líneas de campo eléctrico o D E   Número de líneas del campo eléctrico E N   Ley de Gauss en su forma integral E n o S E dS Q /      Ley de Gauss en su forma diferencial o E /     Momento dipolar de un dipolo eléctrico p qd  Potencial eléctrico de un dipolo eléctrico 2 o pcos V(r, ) 4 r     Componentes radial (Er ) y tangencial (E ) r 3 o 2pcos E 4 r    , 3 o psen E 4 r     del campo E de un dipolo eléctrico Campo eléctrico de un dipolo eléctrico 2 1/2 3 o p E [3cos 1] 4 r     Momento del momento dipolar de un dipolo M pxE  Trabajo para alinear un dipolo eléctrico W p E   Energía de interacción de un dipolo con E W p E   Energía de interacción entre dos dipolos 1 2 1 1 2 2 1 2 3 5 o 2 1 2 1 1 p p 3p (r r )p (r r ) W [ ] 4 r r r r        Momento del cuádrupolo 2 Q 2qd  Potencial eléctrico de un cuádruplo 2 2 3 o qd V (3cos 1) 4 r     Componentes del campo eléctrico de 2 r 4 o 3qd E (3cos 1) 4 r     , 4 o 3qd E (sen2 ) 4 r     Campo eléctrico de un cuadrupolo 4 2 1/ 2 4 o 3qd E (5cos 2cos 1) 4 r       Trabajo para desplazar una carga "q" W q E d   un cuadrupolo eléctrico 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 497

Apéndice Circulación del campo eléctrico E C E W /
q E d    Condición de campo eléctrico conservativo rotE 0  o C E E d 0    Definición de energía potencial eléctrica B A W U U U      Diferencia de energía potencial entre B y A B B A o A U U q E d    Energía potencial eléctrica en un punto P P P o U q E d    Energía potencial de interacción de Q1 y Q2 1 2 Q Q U k r  Energía potencial de una carga en un N i j i o ij j i q .q 1 U 4 . r     sistema de "N" cargas puntuales Energía potencial de un sistema de "N" N N i j S o ij i j j 1 q .q 1 U 8 r      cargas puntuales Definición de potencial eléctrico en un punto P P P P o U V E d q     Potencial eléctrico de una carga puntual "q" q V k r  Potencial eléctrico de un sistema de N k k k 1 q V k r    "N" cargas puntuales Potencial eléctrico de un cuerpo cargado D dq V k r   Diferencia de potencial eléctrico entre B y A B BA B A A V V V E dr      Ecuación de las líneas equipotenciales x y E dx E dy   Cargas después del contacto de dos esferas de ' 1 1 1 2 1 2 Q (R / R R )(Q Q )    radios R1 , R2 con cargas iniciales Q1 Q2 , ' 2 2 1 2 1 2 Q (R / R R )(Q Q )    Potencial eléctrico a una distancia "d" de un filamento de longitud infinita y densidad de carga lineal uniforme " "  o C V n( ) 2 d    38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) 50) 51) 52) 53)  d P    498

Robótica y Cibernética Potencial eléctrico a una distancia "d" de
un filamento de longitud " " y densidad de carga lineal uniforme " "  Potencial eléctrico a una distancia "z" del centro de una espira de lados " " y densidad de carga lineal uniforme " "  Potencial eléctrico a una distancia 'd"del centro de una espira circular de radio "R" y densidad de carga lineal uniforme " "  Potencial eléctrico a la distancia "d" de una superficie plana muy grande de densidad de carga superficial uniforme " "  Potencial eléctrico a una distancia "d" del centro de un disco de radio "R", y densidad de carga superficial uniforme " "  Potencial eléctrico de un cascarón cilíndrico muy largo de radio "R", y densidad de carga superficial uniforme " "  2 2 o ( / 2) d V n[ ] 2 d 2d      2 2 2 2 2 2 o z 2( / 2) 2 V n[ ] z ( / 2) 2 z ( / 2)        2 2 1/2 o R V 2 (d R )     o V d 2     2 2 o V [ d R d] 2      P R R l  l>>R  r 54) 55) 56) 57) 58) 59) d  l/2   P P z l l  0 d P  R  P      d d P  R 499

Apéndice P c V 2 k n( ), r R
r     y P c V 2 k n( ), r R r     Potencial eléctrico de un cilindro muy largo compacto de radio "R", y densidad de carga longitudinal uniforme " "  Potencial eléctrico de un cascarón esférico de radio "R", y densidad de carga superficial uniforme " "  Potencial eléctrico de una esfera compacta de radio "R", y densidad de carga volumétrico uniforme " "  Potencial eléctrico de un hemisferio compacto de radio "R", y densidad de carga volumétrica uniforme " "  Potencial eléctrico de un segmento esférico hueco de radio "R", y densidad de carga superficial uniforme " "  P 2 r 2k n( ), r R R V r k [1 ( ) ], r R R               r P  R o P 2 o R / , r R, V R / r, r R.             r P  R 2 2 o P 3 o (3R r ) / 6 , r R, V R / 3 r, r R.              0 R P d  2 2 3/2 3 2 3 P o V [2(d R ) 2d 3R d 2R ] 12         R 0 0 o o R V (1 cos ) 2      60) 61) 62) 63) 64) P R R l  l>>R  r 500

Robótica y Cibernética El gradiente del potencial eléctrico E gradV
V     Componentes cartesianas del campo E x V E x     ; y V E y     y z V E z     Componentes polares planas del campo E r V E r     ; 1 V E r      Componentes cilíndricas del campo E V E     ; 1 V E      y z V E z     Componentes esféricas del campo E r V E r     ; 1 V E r      y 1 V E r sen       Carga puntual "Q" frente a una placa a potencial nulo (V=0) Componente normal del campo eléctrico en la placa n 3 o o 2Qd ' E 4 r       Fuerza eléctrica entre la placa y la carga "Q" 2 2 o 1 Q F 16 d   Carga puntual "Q" frente a una esfera conductora a V=0 Carga imagen y distancia al centro esfera 2 i a a Q Q y b d d    Densidad de carga superficial inducida en la esfera 2 2 ' 2 2 1/ 2 Q(d a ) 4 a(d a 2dacos )         La ecuación de Laplace y Poisson 2V en coordenadas cartesianas rectangulares 2V en coordenadas polares planas Q d d Q a 0 2 o 0 Laplace V / Poisson         2 2 2 o 0 1 V 1 V (r ) / r r r r               2 2 2 2 2 2 o 0 V V V / x y z                65) 66) 67) 68) 69) 70) 71) 73) 72) 74) 75) 76) 501

Apéndice 2V en coordenadas cilíndricas 2V en coordenadas esféricas Energía
del campo eléctrico E en el vació 2 o 1 U E dV 2    Energía eléctrica de un conductor cargado S V 1 1 U V dS V dv 2 2       Densidad de energía eléctrica en el vació 2 o U 1 u E V 2    Intensidad de corriente eléctrica dQ I en vA dt   Velocidad media o arrastre de los electrones e eE v m    Señal eléctrica alterna senoidal o A(t) A sen( t )     Valor pico a pico de la señal alterna senoidal 2Ao Valor medio de la señal alterna senoidal T m 0 1 A A(t)dt T   Valor eficaz de la señal alterna senoidal T 2 1/2 ef 0 1 A [ A (t)dt] T   Factor de forma de la señal alterna senoidal ef m A F A  Definición de densidad de corriente eléctrica I J A  Vector densidad de corriente eléctrica J nqv  Intensidad de corriente por un conductor A A I J dS Jcos dS      Relación para un conductor de sección variable 1 2 2 1 J A J A  Densidad de corriente para un medio continuo J v   2 2 2 2 2 2 2 o 1 V 1 V (r ) (sen ) r r r r sen 0 1 V / r sen                       2 2 2 2 2 o 0 1 V 1 V V (r ) / r r r r z                  77) 78) 79) 80) 81) 82) 83) 84) 85) 86) 87) 88) 89) 90) 91) 92) 502

Robótica y Cibernética Resistencia eléctrica de un conductor R S
  Resistencia en función de la temperatura o o R R [1 (T T )]     Resistividad macroscópica de un material VA V I J    Resistividad microscópica de un material e 2 m v ne        Resistividad en función de la temperatura o o m o (T T )        Cambio en fracción de la resistividad o m o o (T T )          Coeficiente de resistividad de un material 1 d dT     Conductividad macroscópica de un material J ó J E E     Conductividad microscópica de un material 2 e 1 ne m v          Densidad electrónica de un material A N .z. n A   Energía cinética media del movimiento térmico s e 2 c 1 3 m.v k.T 2 2  Velocidad media de los s e en el gas electrónico N 1/2 i i 1 1 v [ v ] N     Velocidad cuadrática media de los s e N 2 1/2 c i i 1 1 v [ v ] N    Ley de Wiedemann-Franz 2 K k 3 ( ) T e   Conductancia eléctrica de un conductor 1 I G R V   Ley de Ohm para conductores ohmicos V R cte. I   Analogía entre electricidad e hidráulica AB V IR  y AB P QC  Potencia eléctrica consumida en una resistencia 2 2 V P VI I R R    93) 94) 95) 96) 97) 98) 99) 100) 101) 102) 103) 104) 105) 106) 107) 108) 109) 110) 503

Apéndice Potencia instantánea en corriente alterna (C.A) P(t) VIcos VIcos(2
t )       Potencia active (P) de una corriente alterna (C.A) 2 P IVcos IZIcos I R      Potencia fluctuante de una corriente alterna (C.A) P(t) VIcos(2 t )     Potencia reactiva (Q) de una corriente alterna (C.A) 2 L C Q IVsen I (X X )     Reactancias inductiva (XL ) y capacitiva (XC ) L C 1 X L, X C     Potencia aparente (S) de una corriente alterna (C.A) ˆ S P jQ   Factor de potencia (F) de una corriente alterna P F cos S    Primera ley de Faraday m kQ kIt   Segunda ley de Faraday x 1 A k Ck F z   , F=10-3 C-1 Ley unificada de Faraday 1 A m Q F z  Coeficiente de disociación en un electrolito n' n   , n' # de iones disociados Recombinación electrolítica o 2 1 C C.n    Cuantización de las cargas en un electrolito A z.F Q N   Densidad de corriente en un electrolito J =q+ no+ <v >+ q- no- <v > Velocidad media de los iones (+) y (-) v u E     , v u E     Carga eléctrica debido a los iones (+) A F q e.z z N      y o o q n q n      Ley de Ohm en un electrolito o A F J z n (u u )E N       Resistividad de un electrolito A o N F.z n (u u )        Energía cinética media mínima partículas ionizantes 2 i 1 m m.v (1 ).W 2 M   Corriente de saturación S o I eN  111) 112) 113) 114) 115) 116) 117) 118) 119) 120) 121) 122) 123) 124) 125) 126) 127) 128) 129) 130) 504

Robótica y Cibernética Ecuación de continuidad para J J 0
t       La ecuación de Laplace para J J 0   Densidad de carga del equilibrio electrostático t/ o (r) (r)e       Tiempo de relajación C t    Trabajo de las fuerzas de Coulomb 2 C 1 2 1 E d V V    Fuerza electromotriz 2 12 E 1 E d    Fuerza electromotriz de Thomson 2 1 dT       Diferencia de potencial entre dos puntos a, b 1 2 N N ab k k k 1 k 1 V IR ( )         Diferencia de potencial en los bornes de una pila ab 1 V ( ) 1 r / R    Resistencia de compensación 2 g x g S r R r R   Resistencia equivalente para conexión serie e 1 N R R ... R    Resistencia equivalente para conexión paralelo 1 1 1 e 1 N R R ... R       Corriente en un galvanómetro balístico o NBAq I   Corriente en un galvanómetro k I NAB   Resistencia desconocida en el puente Weatstone 2 g x g S r R r R   f.e.m desconocida en un potenciómetro 1 x S 1S R R    Primera ley de Kirchoff (Regla de nodos) k k ( )I 0    Segunda ley de Kirchoff (Regla de mallas) N M k k k k 1 k 1 ( )I R ( )        131) 132) 133) 134) 135) 136) 137) 138) 139) 140) 141) 142) 143) 144) 145) 146) 147) 148) 505

Apéndice Resistencia en paralelo (Shunt) con un amperímetro 0 0
S 0 I R R I I   Resistencia en serie con un voltímetro a 0 0 V R R I   Cantidad de calor disipado por efecto Joule 2 2 V Q 0,24 i R t 0,24 t R   Cálculo microscópico del efecto Joule V P J EdV   Movilidad de los electrones en un conductor v E   Fuerza electromotriz en una bobina de inducción d di(t) (t) L dt dt       Energía eléctrica almacenada en una bobina 2 M 1 W LI 2  Inductancia equivalente para conexión en serie e 1 N L L ... L    Inductancia equivalente para conexión en paralelo 1 1 1 e 1 N L L ... L       Impedancia equivalente para conexión en serie 1 N Z Z ... Z    Impedancia equivalente para conexión en paralelo 1 1 1 e 1 N Z Z ... Z       Voltaje total en un circuito eléctrico RL 2 2 1/2 L V I[R X ] IZ    Angulo de fase entre V y I en el circuito eléctrico RL 1 1 L X L tg ( ) tg ( ) R R       Voltaje total en un circuito eléctrico RC 2 2 1/2 C V I[R X ]   Angulo de fase entre V y I en el circuito eléctrico RC C 1 1 X 1/ C tg ( ) tg ( ) R R       Susceptibilidad eléctrica de un dieléctrico i o o (k 1) E           Constante dieléctrica o o k 1        Capacidad especifica de inducción o o k        Vector desplazamiento dieléctrico o D k E   149) 150) 151) 152) 153) 154) 155) 156) 157) 158) 159) 160) 161) 162) 163) 164) 165) 166) 167) 506

Robótica y Cibernética Teorema de gauss para dieléctricos S D
dS q   (carga libre) Ley de Snell en dieléctricos 1 1 2 2 tg k tg k    Vector de polarización en dieléctricos N e e, i i 1 1 P p V     Vector de polarización para dieléctrico neutro e o o o P n E E       Vector de polarización para dieléctrico polar e o e P n p    Fórmula de Debye-Langevin 2 o c o n p 3 kT    Densidad superficial de cargas de polarización p e ˆ P n   Densidad volumétrica de cargas de polarización p e div P    Relación entre D , E y P o e D E P    Carga inducida en una esfera conductora i k 1 q ( )q k   Trabajo de extracción de un electrón en un metal W e(V V')     Capacidad eléctrica q C V   Capacidad de un condensador plano paralelo o A C d   Capacidad de un condensador cilíndrico o 2 C n(b / a)   Capacidad de un condensador esférico o ab C 4 (b a)    Capacidad equivalente para conexión en serie 1 1 1 e 1 N C C ... C       Capacidad equivalente para conexión en paralelo e 1 N C C ... C    Carga instantánea en proceso de carga condensador t/RC ab q(t) V C (1 e )    Intensidad de corriente en un proceso de carga t/RC ab V I(t) e R   168) 169) 170) 171) 172) 173) 174) 175) 176) 177) 178) 179) 180) 181) 182) 183) 184) 185) 186) 507

Apéndice Constante de tiempo en un proceso de carga t
RC  Carga instantánea en un proceso de descarga t / RC q(t) Q.e  Energía eléctrica almacenada en un condensador 2 2 1 Q 1 1 W qV CV 2 C 2 2    Densidad de energía eléctrica en un condensador 2 2 o o ab E V w 2 2d     Fuerza eléctrica entre las placas de un condensador 2 2 2 o o o E A D A Q F 2 2 2 A       Coeficientes de potencial sistema de "N" cargas N i ij j j 1 V p Q    Energía de un sistema de "N" conductores N j j j 1 1 W Q V 2    Coeficientes de capacidad de "N" conductores N i ij j j 1 Q c V    Intensidad de corriente eléctrica de desplazamiento D D S S D I J dS ( ) dS t       La ley de Biot-Savart para calculo de B o 3 C I d x r B 4 r     La ley de Biot-Savart para calculo de modulo de B o 2 C I sen B d 4 r      Cálculo de B en un medio o sustancia magnética o m B B B   Campo de inducción magnética a una distancia "d" del extremo de un imán Campo de inducción magnética a una distancia "d" de un filamento rectilíneo muy largo que conduce una corriente "I" d q  P B=? IMAN N o 2 q B 4 d    I B  d    o I B 2 d    187) 188) 189) 190) 191) 192) 193) 194) 195) 196) 197) 198) 199) 200) 508

Robótica y Cibernética Campo de inducción magnética a una distancia
"d" de un filamento rectilíneo finito que conduce una corriente "I" Campo de inducción magnética en el centro de una espira rectangular de lados "a", "b" que conduce una corriente "I" Campo de inducción magnética a una distancia "d" del centro de una espira cuadrada de lados "2a" que conduce una corriente "I" Campo de inducción magnética a una distancia "d" del centro de un anillo de radio"R" que conduce una corriente "I" Campo de inducción magnética en el centro de un filamento en forma de arco circular de radio "R" que conduce una corriente "I" Campo de inducción magnética a una distancia "d" del centro de un anillo de radio "R", densidad de carga lineal " "  que gira con frecuencia " "  I  d    B o I B (sen sen ) 4 d       b a 0  I I I I B 2 2 1/2 o 8I(a b ) B 4 ab     2 o 2 2 2 2 1/2 2 Ia B (a d )(2a d )      R d 0   2 o 2 2 3/2 IR B 2 (d R )     R R B I o I B 4 R     I I R d 0 P P d I I 2a 2a 201) 202) 203) 204) 205) 206) 509

Apéndice Campo de inducción magnética en puntos del eje de
simetría de un solenoide de "N" vueltas, que conduce una corriente "I" Campo de inducción magnética de un toroide de radios interno 1 "R ", externo 2 "R " que conduce una corriente "I" Campo de inducción magnética de un cilindro compacto de radio "R", muy largo que conduce una corriente "I" Campo de inducción magnética en P de un anillo de radio "R", que conduce corriente "I", cuando d>>R Campo de inducción magnética en P de un disco de radio "R", densidad de carga superficial " "  , y que gira con frecuencia angular " "  3 o 2 2 3/2 R B 2 (d R )      1 2 P l R  o 2 1 IN B (cos cos ) 2      Rm I I 0 R1 R2 o 1 2 1 2 IN R r R B 2 r 0 r R o r R             R I o 2 o Ir , r R 2 R B I , r R. 2 r               I I 0 P R d 2 o 3 IR B 4d    P  R d 2 2 o 2 2 1/2 R 2d B [ 2d] 2 (R d )       207) 208) 209) 210) 211) 510

Robótica y Cibernética Campo de inducción magnética a una distancia
"d" del centro de un anillo de radio "R", densidad de carga lineal " "  , que gira alrededor de su diámetro con frecuencia angular " "  Campo de inducción magnética en puntos del eje de simetría de un cilindro hueco rotante de radio "R", y densidad de carga superficial " "  Campo de inducción magnética a una distancia "d" del centro de una espira hexagonal de lados "a" que conduce una corriente "I" Campo de inducción magnética en puntos del plano que contiene una banda de corriente "I" de ancho "w" a una distancia "d" Campo de inducción magnética a una distancia "d" de una banda de corriente "I" de ancho "w"   R  P d 3 o 3 R B , d R 4d       R   d P h   o 2 2 2 2 R d d h B ( ) 2 d R (d h) R         P a a a a a a d 2 o 2 2 2 2 3 3 Ia B (4d 3a ) d a      d P I w o I w B n(1 ) 2 w d      d P I 0 w 1 o I w B ( ) tg ( ) w 2d     212) 213) 214) 215) 216) 511

Apéndice Campo de inducción magnética en el punto P, de
N vueltas de corriente "I" que se encuentran sobre un tronco de cono Campo de inducción magnética en el punto P, creado por dos espiras circulares que conducen corrientes "I" (x<<2b) Campo de inducción magnética generado por una esfera hueca de radio "R", densidad de carga superficial " "  que gira alrededor de su diámetro Campo de inducción magnética a una distancia "d" del centro de un disco de radio "R", densidad de carga superficial " "  , que rota alrededor de su diámetro Campo de inducción magnética generado por una esfera sólida rotante de radio "R", densidad de carga volumétrica " "    a b I P 2 o IN b B sen cos n( ) 2(b a) a      2b x 0 P a a I I 2 2 2 2 o 2 2 3/2 2 2 I a 3 (4b a ) B [1 x ...] 2 (a b ) (a b )         R 0   P z 4 3 o o 2 R / 3z , para z R B 2 R / 3, para z R               R  P d 4 o 3 R 1 B , d R 16 d      5 3 o 2 o 2 R /15z , para z R B R / 3, para z 0              R 0   P z 217) 219) 218) 220) 221) 512

Robótica y Cibernética Campo de inducción magnética en el centro
de la base de un cilindro sólido rotante de "R", densidad de carga volumétrica " "  Campo de inducción magnética a una distancia "d" de la base mayor de un segmento esférico hueco de densidad de carga superficial " "  Campo de inducción magnética en el vértice P de un cono regular hueco rotante de altura "h", ángulo de vértice " "  y densidad de carga superficial " "  Campo de inducción magnética en el vértice P de un cono regular sólido rotante de altura "h", ángulo de vértice " "  y densidad de carga volumétrica " "  Campo de inducción magnética en el vértice P de una pirámide de base circular de radio "R" con densidad de carga superficial " "   P  h  R 2 2 o B h( R h h) 2       0 R   d P  2 o 1 B R[ sen (cos 2)] 3 2 2         P  R 2 o B Rsen 2     2 o 2 1 2cos B R ( ) 4 1 cos         R R P  o B (8 5 2) R 2     222) 224) 223) 225) 226)   P  R 513

Apéndice Campo de inducción magnética en el vértice P de
un paraboloide de ecuación cz=x2+y2, altura "H", densidad de carga superficial " "  Campos de inducción magnética, creados por dos bandas de de densidades de corriente "J", separados por una distancia "d" Campo de inducción magnética a una distancia "d" del centro de una superficie circular de radio "R", con densidad de corriente "J" Campo de inducción magnética a una distancia "d" del centro de una superficie cuadrada de lados "a", con densidad de corriente "J" Campo de inducción magnética de una esfera compacta de radio "R", densidad de carga volumétrica " "  , y se desplaza con velocidad "v" y x z 0  H  1 H c[1 ] 1 H / c     d J J (I) (II) (III) o o J, zona I B 0, zona II J zona III         P R 0 d J o 2 2 J d B (1 ) 2 d R     J P a a d 0  o J 1 B ( ) 2 1 4d / a    v 0 B  A  R  A 2 o 4 vrsen B (3)(4 )c     3 B 2 2 o 4 vR sen B (3)(4 )r c     227) 228) 229) 230) 231) 514

Robótica y Cibernética Relación de campos de una carga puntual
que 2 1 B v x E c  se desplaza con velocidad "v" Definición de intensidad magnética o B H   Fuerza magnética sobre una carga puntual F q v x B  Fuerza de Lorentz sobre una carga puntual F qE qvxB   Fuerza magnética sobre un conductor curvilíneo V F J xBdV   Fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo F I xB  Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos o 1 2 I I F 2 d    Torque magnético sobre un circuito de corriente M x B   Momento magnético de un circuito de corriente M I S  Periodo de las oscilaciones transversales de un imán 1/ 2 o 2 I T 2 ( ) mB      Periodo de las oscilaciones longitudinales de un imán 3 1/2 o o 2 2MR T 2 ( ) 3 NIm       Diferencia de potencial de equilibrio en el efecto Hall 1 2 IB V V V R d     Campo eléctrico transversal en el efecto Hall H E R B x J  La constante de Hall o A R n q  La conductividad eléctrica en el efecto Hall 2 e h    Campo de inducción en función del potencial vectorial B rotA  Potencial vectorial magnético de una densidad "J" 1 o 1 2 1 V 2 1 J(r ) A(r ) dV 4 r r      Potencial vectorial de un circuito distante o 2 2 2 2 mx r A(r ) 4 r    232) 235) 233) 234) 236) 237) 238) 239) 240) 241) 242) 243) 244) 245) 246) 248) 247) 249) 515

Apéndice Campo magnético de un circuito eléctrico distante o 2
2 2 3 5 2 2 m 3(m r )r B(r ) [ ] 4 r r      Componente radial Hr de un dipolo magnético r 3 2mcos H 4 r    Componente tangencial H de un dipolo magnético 3 msen H 4 r     Modulo de la intensidad magnética de un dipolo 2 1/ 2 3 1 m H (3cos 1) 4 r     Potencial escalar V y campo de inducción B o B V     Potencial escalar magnético de un circuito pequeño 2 3 2 m r V 4 r   Potencial escalar de un circuito de corriente grande I V(P) 4     Longitud de onda de De Broglie h h mv p    Cantidad de movimiento de De Broglie h p k 2  Vector número de onda ˆ k (2 / )n    Carga especifica en un espectrómetro de Dempster 2 2 q 2. V m B r   Periodo de una partícula en un cicrotrón 2 2 W T B e.c   Campo de inducción magnética en un cicrotrón 2 o 2 W B T e.c   Periodo de resonancia en un ciclotrón o 2 2 m 2 W T T B q B q      Condición de funcionamiento en un sicrotrón o e.T m cte. B 2   La ley de Ampere para circuitos magnéticos o B C B d I     Flujo magnético a través de una superficie "S" B S B dS    250) 251) 252) 253) 254) 255) 256) 257) 258) 259) 260) 261) 262) 263) 264) 265) 516

Robótica y Cibernética Ley de Gauss para campos magnéticos div
B 0  Ley de Ohm para circuitos magnéticos m m m R    Reluctancia de un circuito magnético con "S" constante i mi o R S   Reluctancia de un circuito magnético con "S" variable       0 o m S d R Reluctancia total para una conexión en serie n m mi i 1 R R    Reluctancia para una conexión en paralelo n 1 1 m mi i 1 R [ R ]      Primera ley de Kirchoff para circuitos magnéticos n mi i 1 0,     Segunda ley de Kirchoff para circuitos magnéticos k k mi mi mi i 1 i 1 R ( )         Trabajo de desplazamiento de un conductor m m m W I d i       Densidad de corriente de desplazamiento D D J t    Razón entre las densidades de corriente C J y D J C D J J    Continuidad de la componente normal de B 2 1 ˆ n (B B ) 0   Discontinuidad de componente tangencial de H 2 2 1 S ˆ n x(H H ) J   Continuidad del flujo de inducción magnética 2 1 V BdV (S ) (S )       Definición de fuerza electromotriz C W E d q     f.e.m inducida en una bobina rotante de "N" espiras NBS sen     Ley de Faraday B d dt     f.e.m en función del potencial vectorial magnético A d t       Voltaje de salida (V2 ) en un transformador 2 2 1 1 N V ( ) V N  266) 267) 268) 269) 270) 271) 272) 273) 274) 275) 276) 277) 278) 279) 280) 281) 282) 283) 284) 517

Apéndice Potencia entregada y consumida en un transformador 1 1
2 2 V I V I  Definición de flujo de autoinducción a S B dS    Autoindiccón para un contorno no ferromagnético a LI   Ley de Faraday para un contorno no ferromagnético a L d di L dt dt       Expresión para el coeficiente de autoinducción o 3 S d x r L dS 2 r      Coeficiente de autoinducción para un solenoide muy largo Coeficiente de autoinducción para un solenoide de coeficiente k=l/d Coeficiente de autoinducción para cilindros coaxiales de radios 1 "R ", 2 "R " y longitud " " Coeficiente de autoinducción de un un toroide de sección transversal rectangular de lados "a", 'b" Coeficiente de autoinducción para Una línea de transmisión 2 o L N S/    2 o 1 1 R L . n( ) 2 R     2 o L k N S/    2 2 o 1 1 R L N b n( ) 2 R     o 1 d L n( ) R     294) 293) 292) 291) 290) 289) 288) 287) 286) 285) S l N I S l N I R1 R2 l N R1 R2 b a I d R R l 518

Robótica y Cibernética Voltaje de salida (V2 ) en un
transformador 2 2 1 1 N V ( ) V N  Intensidad de corriente en un circuito eléctrico R-L R t/L R t/L o I(t) I e (1 e ) R       Tiempo de relajamiento en un circuito eléctrico R-L c L t R  Energía magnética en una bobina inductora 2 M 1 W LI 2  Densidad de energía en una bobina inductora 2 M o 1 w H 2    Inducción mutua para dos bobinas de corriente 21 2 d dt     Flujo magnético de inducción mutual para dos bobinas 21 21 1 11 11 2 M I , M I     Coeficiente de inducción mutual para un núcleo hierro 1 2 21 m N .N M R  Expresión de Neumann para calculo de 21 "M " 2 2 o 21 C C d ' d M 4 r r '       Coeficiente de autoinducción para conexión en serie e 1 2 k k L L L ... L      Coeficiente de autoinducción para conexión paralelo 1 1 1 1 e 1 2 k k L L L ... L          Fuerza electromotriz generada en un disco de Faraday 2 1 B R 2    Momento magnético orbital del electrón L L e m L g L 2m    Momento angular en el estado estacionario del electrón L ( 1)   Momento dipolar orbital del electrón L e m ( 1) 2m    Momento magnético orbital del átomo Z L L,k k 1 m m    Espín del electrón z h S 2 4     Momento magnético dipolar de espín S S e m S g S m    295) 296) 297) 298) 299) 300) 301) 302) 303) 304) 305) 306) 307) 308) 309) 310) 311) 312) 519

Apéndice Proyección del momento magnético dipolar en el eje-z S,Z
B e m 2m      Momento magnético dipolar de un electrón e S L m g S g L   Velocidad angular de presesión de la órbita del electrón o L e H 2m    Momento angular orbital inducido (teorema de Largor) 2 o e S m H 4 m       Torque magnético sobre un electrón moviéndose B e Bxm   Energía magnética de un electrón en un campo B e W m B  Vector de magnetización de un material N n k V 0 V 0 k 1 m 1 M Lim Lim m V V       Campo magnetizante en un material magnetizado o 1 H B M    Susceptibilidad magnética de un medio m M H   Permeabilidad magnética de un material o m (1 )      Permeabilidad magnética relativa del material m m o k 1       Susceptibilidad diamagnética de una sustancia 2 Z 2 o o m 1 k 1 n e r 6m       Susceptibilidad paramagnética de una sustancia 2 o o m n m H 3kT    Permeabilidad magnética de un cuerpo ferromagnético B (H) H     Período de las oscilaciones en un circuito CLC o 2 T 2 LC      Amplitud de la intensidad de corriente en un CLC o o o o Q I Q LC    Amplitud de la diferencia de potencial en un CLC o o Q V C  315) 316) 314) 313) 317) 318) 319) 320) 321) 322) 323) 324) 326) 325) 327) 328) 329) 520

Robótica y Cibernética Amplitud de la diferencia de potencial en
un CLC o o Q V C  Energía eléctrica máxima de E en un CLC 2 E o 1 W CV 2  Energía magnética máxima de B en un CLC 2 M o 1 W LI 2  Carga en oscilación sobreamortiguada de un CRLC 2 R(1 1 (4L/ R C)t / 2L o q(t) q e    Carga en oscilac. criticam. amortiguado de un CRLC R t / 2L q(t) e (A Bt)    Carga en oscilación infraamortiguado en CRLC Rt/2L o o 2 q e sen( t ) q(t) 1 R C / 4L       Coeficiente de amortiguamiento o atenuación R 2L   Frecuencia angular de la oscilación infraamortiguada 2 1/ 2 [(1/LC) (R /2L) ]   Fase inicial de la oscilación infraamortiguada 1 2 1/ 2 o tg [(4L/R C) 1]     Amplitud de las oscilaciones inframortiguadas R t / 2L o 2 q A e 1 R C/4L    Periodo de las oscilaciones infraamortiguadas 2 2 4 L T 4L / C R       Decremento logarítmico de una amortiguación A(t) n T A(t T)      Tiempo de relajación de las oscilaciones amortiguadas 1 N T     Relación entre " "  y " "  2 2 1/2 o o [1 ( ) ( ) ] 2         Factor de calidad del sistema oscilante 2 T 2 2 2 Q 1 e 1 e           Rapidez de cambio de la energía del sistema oscilante 2 dE R I dt   Pm en un oscilador armónico amortiguado forzado o o 1 P I cos 2     330) 331) 332) 333) 334) 335) 336) 337) 338) 339) 340) 341) 343) 344) 345) 342) 346) 521

Apéndice Valor eficaz de la corriente y f.e.m en un
OAAF o ef I I 2  ; o ef 2    Valor máximo de la corriente en un OAAF o o, max I R   Frecuencia de resonancia en un OAAF r o 1 LC       Relación entre E y B para ondas electromagnéticas E cB  Velocidad de propagación de las O.E en el vació 8 o o m c f 3 10 s    Velocidad de la luz en el vació 1/2 8 o o m c [ ] 3 10 s      Velocidad de propagación de una O.E.en un medio v f   Ecuación para la componente E de una O.E. 2 2 2 1 E E 0 t c      Ecuación para la componente H de una O.E. 2 2 2 1 H H 0 t c      Densidad de energía de una onda electromagnética 2 2 o o E w E H 2 2      Energía del campo electromagnético 2 o V W E dV    Vector de Poynting P ExH  Penetración de rayos gamma en una pared d 0 I(d) I e    Energía de un fotón hc E   Ley de Snell para la refracción i i R R n sen n sen    Indice de refracción o c n v     Angulo crítico en reflexión interna total 1 R C i n sen ( ) n    La fuente se aleja del receptor en reposo (E. Doppler) 0 1 f v f 1 (v / v)     La fuente se acerca al receptor en reposo (E. Doppler) 0 1 f f 1 (v / v)   El efecto Doppler electromagnético 2 1/ 2 0 [1 (v/c) ] f f 1 (v/c) cos     347) 348) 349) 350) 351) 352) 353) 354) 355) 356) 357) 358) 360) 359) 361) 362) 363) 364) 365) 366) 522

Robótica y Cibernética CONSTANTES FISICAS UNIVERSALES Magnitud Símbolo Valor 01.
Unidad masa atómica 1 u.m.a 1,6605655(86) 10-27 kg 02. Carga elemental e 1,6021892(46) 10-19 C 03. Carga especifica electrón e/me 1,7588047(49) 10-11 C/kg 04. Longitud onda Compton (n) C, n =h/(mn c) 1,3195909(22) 10-15 m 05. Longitud onda Compton (p) C, p =h/(mp c) 1,3214099(22) 10-15 m 06. Longitud onda Compton (e) C, e =h/(me c) 2,4263089(40) 10-12 m 07. Magnetón de Bhor B =eh/2m 9,274078(36) 10-24 J/T 08. Magnetón Nuclear n =eh/2mp 5,050824(20) 10-27 J/T 09. Momento magnético protón p 1,410617(55) 10-26 J/T 10. Momento magnético electrón e 9,284832(36) 10-24 J/T 11. Masa en reposo del neutrón mn 1,6749543(86) 10-27 kg 12. Masa en reposo del protón mp 1,6726485(86) 10-27 kg 13. Masa en reposo del electrón me 0,9109534(47) 10-30 kg 14. Volumen de 1 mol gas perfecto Vo =RTo /Po 0,02241383(70) m3/mol 15. Constante de Boltzman K=R/NA 1,380662(44) 10-23 J/K 16. Constante universal gases R 8,31441(26) J/molK 17. Constante de gravitación G 6,672(41) 10-11 Nm2/kg2 18. Constante de Planck 6,6266176(36) 10-34 J/Hz 19. Constante de radiación primera c1 =2hc2 3,741832(20) 10-16 Wm2 20. Constante de radiación segunda c2 =hc/k 0,01438786(45) mK 21. Constante de Stefan-Boltzman =2k4/60h3c2 5,6703(71) 10-8 W/m2 K4 22. Constante de estructura fina =o ce2/2h 0,0072973506(60) 23. Constante de Faraday F=NA e 9,648456(27) 104 C/mol 24. Constante eléctrica o =1/(o c2) 8,85418782(7) 10-12 F/m 25. Radio de Bhor ao =/(4R ) 0,52917706(44) 10-10 m 26. Radio clásico del electrón Ro =o e2/4me 2,8179380(70) 10-15 m 27. Velocidad de la luz en el vació c 299792458(1,2) m/s 28. Aceleración de caída libre g 9,80665 m/s2 29. Número de Avogadro NA 6,022045(31) 1023 mol-1 30. Energía en reposo neutrón mn c2 939,5731(27) MeV 31. Energía en reposo protón Mp c2 938,2796(27) MeV 32. Energía en reposo electrón Me c2 0,5110034(14) MeV 33. Constante magnética o 12,5663706144 H/m 34. Constante de Rydberg R = 2 o  me c3e4/8h3 1,097373177(83) 107m-1 35. Cuanto de flujo magnético o =h/2e 2,0678506(54) 10-15 Wb 523

Apéndice Respuestas FUERZA ELECTRICA 01 02 03 04 05 06
07 07 08 08 09 10 11 12 13 B D A A D E D B D B D A D E C 14 15 15 16 17 17 18 18 19 20 20 20 21 21 21 B B C B E B B E B D D D B B A 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 35 B B B B D B E A C E E D C D E 36 37 37 38 39 40 40 41 42 43 44 45 46 46 47 D B - B C B C E C C D D - C C 48 48 49 50 51 52 53 54 54 55 56 57 58 59 60 A B E B B A E D E D E B D A E 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 70 70 71 71 72 C C A C B C C B C - - - C C D 72 72 73 74 74 74 75 76 77 78 79 80 80 81 82 D E D A C D - D E B - - E A C 83 84 85 85 86 87 87 88 89 90 90 90 91 92 92 - A B D B - B B C D E C D - - 92 93 94 95 95 96 97 97 97 97 97 97 98 99 100 D D C E B A - - - - E A C A E 101 101 102 103 104 104 105 105 106 106 107 108 109 110 110 C E A D C B C A A C A C D D C 110 110 111 112 113 114 115 115 116 116 117 118 119 119 119 C D C B E C D B - D E - C B D 120 121 122 122 122 123 123 124 125 126 127 127 128 129 130 C C C B B B E D - E - - D B A 131 132 132 132 133 133 134 134 135 136 137 138 139 140 141 B A E C A A B B C B D D A A C 142 143 144 145 146 147 148 149 150 150 150 151 151 152 152 A A - A B B D B - E A A C B D 153 154 155 156 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 E E D B C E C C - B C B A A C 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 C D B D D B B B D C E B A C D 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 C B A A C B B B D E C D A E B 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 D D E D E C A E B E E B E B C 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 - - 524

Robótica y Cibernética C C D C C E D
A E B B A A - - 225 226 226 226 227 227 228 228 229 230 230 230 231 232 232 - B - - B E D C E C E A D C B 233 234 235 236 236 236 236 237 237 238 239 239 240 240 241 - D - D C C C B C B C B E B B 241 242 242 243 243 244 245 245 245 246 246 246 247 248 249 B D D B D - E B C D C D A E - 250 251 252 253 254 255 256 256 256 257 257 258 259 260 260 - C - A C E E A B C D A C A C 261 261 261 261 262 262 262 263 264 264 265 266 266 266 266 E E C E E C E - - A D E A E D 267 268 268 269 270 270 271 271 271 272 272 273 273 274 274 C B B E C B D D D E E E D E E 275 275 276 277 278 278 279 280 281 282 282 283 284 284 284 D D B C A B - E - C E D B D E 285 286 287 288 289 289 290 290 291 291 292 292 293 294 295 B D E - - B E E C E - A A D A 296 296 297 297 297 298 299 299 300 301 302 303 303 304 304 - A B C E C C B C A B D E D C 305 306 307 308 309 310 310 311 312 313 313 314 315 316 317 E D A C D E B E D D D D D B B 318 319 320 321 322 323 324 324 325 326 327 328 329 329 329 A D B C E B E C D E C D A E B 330 330 330 331 331 332 333 334 335 336 337 337 338 338 338 B C B C B D E E E B B E C B C 339 340 340 340 341 341 342 342 343 344 344 345 345 346 347 C C B E A C D C C D C E A B D 348 349 349 350 351 352 353 353 354 355 356 356 357 358 359 A D E D C D E C D E B D A C C 359 359 360 360 360 361 362 362 362 362 362 362 363 364 364 D D C E B E C E C A E C A E A 365 366 367 368 369 369 369 370 371 371 371 372 373 374 375 C C D C C D E C A D E C A C D 376 377 378 379 380 380 380 380 380 381 382 383 384 385 386 E A D D D D D A D B A E D D D 387 388 389 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 399 D E A C A E C E E C B E C D B 399 400 400 400 401 402 402 403 404 405 405 405 405 406 407 A D - - - C C B A B C D E D D 408 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 C D D C B C E B C C - - C C E 422 422 422 423 424 425 425 426 427 428 429 430 431 432 433 C C E C C E B E - D - - - - - 525

Apéndice 434 434 434 435 436 - - - -
- - - - - - E A C D B - - - - - - - - - - CAMPO ELECTRICO 01 01 01 02 02 03 03 04 04 05 05 06 06 07 07 C B B B B B A C - A A A C B A 07 08 08 08 09 09 10 10 10 11 11 12 13 14 15 D E C D C B B A C B C B - B - 15 16 16 16 16 17 18 19 20 21 22 23 23 23 24 - C D B D B D E E E - B B E - 24 25 25 26 27 28 29 30 31 32 32 32 33 34 34 - - - C C - - C E A E A C E E 34 35 36 37 37 38 39 40 41 41 41 42 43 43 44 C D C D A B - D B C D D B C B 45 46 46 47 48 49 49 49 49 50 51 51 52 52 53 B B E B C - C B D E C A - D D 54 55 56 56 56 57 58 59 59 59 60 61 62 63 64 D D C D E D C D C C B C E E A 65 65 66 67 68 68 69 69 70 70 71 72 72 72 73 A E D B C D D C C D D A D D B 74 74 75 76 77 78 78 79 80 81 82 83 84 85 85 A B B E A A C E A C E E C C B 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 D B C E A E D C C D C B C - A 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 A E E A E E A A C B C E B B E 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 D D A B D D E C A B D C A B E 13 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 D A A C E A E D D D C D B B B 146 147 148 149 150 151 152 153 153 153 154 155 156 156 157 A C B C E C E D B A B D D E C 158 159 160 161 162 163 163 163 163 164 165 166 167 168 168 C E D B B D D D - E B C D D B 168 168 169 169 170 171 171 171 171 172 172 172 172 173 174 A C D A B B D C C A D D A B B 174 175 176 176 177 178 179 179 180 181 182 183 184 185 186 C - - B E C C C D B - - A C D 186 186 187 188 188 189 189 190 190 191 192 193 193 194 195 E E C D C C B D B A A A D D A 195 196 196 196 197 198 199 200 201 202 203 204 204 205 205 526

Robótica y Cibernética E C C C C C B
E C A D C E - D 206 207 208 209 209 209 209 210 211 212 213 214 215 216 217 D B E - A E D D A B D A B C C 217 217 217 218 218 219 220 220 220 220 220 220 221 221 221 B A C - D A A E A A A A A E C 221 221 221 222 223 223 224 225 225 226 227 227 227 227 228 A C C B D E B C B B A E D E A 229 230 230 231 231 232 232 232 232 233 234 234 235 236 236 B E D C B A C B C - C - A - - 237 237 238 238 239 239 240 241 242 243 244 244 244 245 245 - - A C B B B C B - D C C B A 245 245 246 247 248 248 249 250 250 250 251 252 253 254 255 E C C D C D B E D D - B B - - 255 256 257 258 259 259 260 260 261 262 262 262 262 263 263 - C E E - B D - D - - - B D B 263 264 265 265 266 266 266 267 267 268 268 268 269 269 269 D - - - C B A A A - - - - D D 270 271 271 271 271 272 272 272 272 273 274 274 274 274 274 E C D D - D A A - - D A A B B 275 276 276 276 277 277 277 278 278 278 278 279 279 279 279 - E C A - - - D D D A C A D B 279 280 280 280 280 280 281 281 281 281 281 281 282 282 282 - A E A E - C A C E E - D D C 282 282 283 283 283 283 284 285 285 286 287 288 289 289 289 A D C C D C E C C C C A C A B 290 291 292 293 294 295 295 296 297 297 298 299 299 300 301 C A A B D C C B B B C - - C A 301 302 302 302 302 302 302 303 304 304 304 305 306 306 307 B A A C C A - A E - A A D A D 307 307 307 308 309 309 310 310 310 311 311 312 312 312 313 D B C E - - D D D - - A B A B 313 314 315 316 316 316 317 318 318 319 319 320 321 321 321 D - D D E C E B E E A - B D - 322 322 322 323 323 323 324 324 324 324 324 325 326 326 326 C B - C E E - - - - - D A B A 327 328 329 330 331 331 332 332 332 333 333 333 334 335 336 C C A C A - B B - C E - B - D 336 337 338 339 340 341 341 342 342 343 344 344 345 346 346 C E C B C C D C - B B - D E C 347 347 347 348 348 349 350 350 351 352 353 354 355 356 357 A B B D C - D B B E C C E A A 358 358 358 359 360 360 361 361 362 363 363 364 365 365 366 A A A - - - - - C E - B D B - 527

Apéndice 366 367 368 368 369 369 369 370 371
371 371 372 373 373 374 - E C B A A A E A E A - D A C 374 375 376 377 378 379 379 379 380 381 382 383 383 384 384 C B D - D B D D - - - C B - - 384 384 385 386 387 388 389 390 391 391 392 393 393 393 394 - - B C A C E C B C B B C - D 394 395 395 396 397 397 397 398 398 399 400 400 400 401 401 D A C - D D D C D E - D A B A 402 402 402 403 403 404 405 406 406 407 408 409 409 409 410 D D A D B C E E A - A D B - E 411 411 411 412 - - - - - - - - - - - B C E E - - - - - - - - - - - POTENCIAL ELECTRICO 01 02 03 04 04 05 06 06 07 08 08 09 10 10 11 B D C D E E C A D E D D B C D 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 C B C B E D E D E E A C E B E 27 28 29 29 29 30 30 31 32 33 33 34 34 34 35 A C B C E A E E D C B - E C C 35 36 36 36 37 37 37 38 39 40 41 42 43 43 44 A C A A E C - C C B C E D C C 45 45 46 47 47 48 48 48 48 49 50 50 51 52 52 E C E C C E D B E A D - C C E 53 53 53 54 54 54 55 55 56 56 56 57 58 59 60 A A C C C A E D B - B B E - B 60 61 62 62 63 64 65 66 67 68 68 69 69 70 71 C D E - - D E B D - - - - - E 71 72 73 73 74 75 76 77 78 79 79 80 80 81 81 D E - B B C E D C E C C B A C 82 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 A E B D C D - - - - - - - - C 95 96 97 97 98 98 98 99 99 100 101 101 101 102 103 E D E - B - D B D D E D A D - 103 104 104 105 105 105 106 107 107 108 109 109 110 110 111 - - - - C D C D C D C - B A E 112 113 114 114 114 115 116 116 117 117 118 118 119 119 119 - E D D D D C E E D D D D D E 120 120 120 120 121 121 122 123 124 125 126 127 128 128 129 C - E E A B D B D E D D E C B 130 131 132 133 134 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 B C E B - B B C A E B E B D C 528

151 152 153 154 155 156 157 158 E E B C B D C B E A A B E B B 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 D D E A C D E D B B A D B B E 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 A E A D B D B E C A B C E B E 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 E C D C C A B D B C B C D C C 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 B A E C D D E D B D B C E A C 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 D B C B C A C E E C C E E C D 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 E A B C D C C C E E D E B D A 248 248 249 250 251 251 252 252 252 252 252 252 252 253 253 C D E B E E D C B C C C E B A 253 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 D C C A C D E E C C D D - C D 267 268 269 270 271 272 273 274 274 275 275 276 277 278 278 E D E C B E C D C C C B C C B 278 279 279 280 281 281 282 283 284 284 284 284 285 286 287 B - C - D C C C A E E E E D B 288 289 290 291 292 292 292 293 293 293 294 295 295 296 297 C A C - B D E D C B A - E - A 298 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 307 308 309 310 - E C E A E E B C C C B C C D 311 312 313 314 315 316 317 317 318 318 319 320 320 321 322 E D E A A C - C D - - C D D 323 324 324 324 325 326 327 328 329 329 329 330 330 330 331 B D A A B C B E - - - - - - - 332 333 334 335 335 335 335 336 337 338 338 338 339 339 339 A E - B E D - E - B C B E A C 340 340 340 341 341 341 342 342 342 343 344 345 346 347 347 D D A E D - C A A D - A A C C 348 349 349 350 351 351 352 353 354 355 355 355 355 356 357 A C A A C D E B C D C D D C B 357 358 358 359 360 361 362 362 363 363 364 364 364 365 365 D C D D A E - E B - C B A - - 365 365 366 366 367 368 368 369 369 370 370 371 372 373 374 - - A E A C B A D A C C C A B 374 375 376 377 377 377 377 378 379 379 379 380 381 382 383 D E B - A C D D A C C C C C E 383 384 385 385 386 386 387 387 387 388 389 389 390 390 390 529

Apéndice D E - - B B - E C
A B A A E C 390 390 390 390 390 390 391 392 393 393 393 393 393 394 395 A D D E C E C E D C E A B C E 395 395 396 397 398 399 400 400 401 402 403 404 404 405 405 E E E C C B - B A C B - - D A 405 406 407 408 408 408 409 410 410 410 411 411 411 411 411 A B E A C E A - - - E A A C C 412 413 413 414 414 415 416 416 417 417 417 418 419 420 421 B E A B - A E D B E B - - B - 421 422 422 423 423 423 423 423 424 424 424 425 425 425 426 - E A D A B B - A A A - A C - 426 426 426 427 427 428 428 428 428 429 429 429 430 430 431 - - - - - - - C C C C B E B A 431 432 432 433 433 434 434 435 436 436 436 437 438 438 438 C - - - - C A - C D B D E D A 438 439 440 440 440 441 441 441 442 442 443 444 445 445 445 B - C E - D E B A C D C - - D 446 446 447 448 448 449 449 450 451 451 452 452 452 452 452 B C - C D A C C D E C D D E C 453 453 454 455 455 455 455 456 456 456 456 457 458 458 459 B D B C C E A B B A A D D D B 459 459 459 459 459 459 459 459 459 460 461 461 462 463 464 B A B C D D C D C - - D A - - 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 474 474 474 474 474 - - - - - - D - D - E - A A E 475 475 476 476 476 476 476 477 477 477 477 477 477 477 477 C D C C D C C A D D A C A B C 477 477 478 478 478 478 478 478 479 479 479 480 480 480 480 C E D A A D E D A E B D A C C 480 481 481 481 482 482 482 482 482 483 483 484 485 486 486 C - E A - A - A A A B A - C D 486 486 487 487 488 489 490 491 492 492 492 493 494 495 495 B E D E - D - B B C C B - B C 496 497 498 498 499 499 500 501 501 502 503 504 505 506 506 C C C C A B C E C D - - C D 506 506 507 508 509 510 511 512 513 513 513 514 515 516 517 B B B - - E C E A B B D D C - 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 527 527 528 529 530 B A D A - E E B C E E A D - - 531 532 533 533 533 534 534 535 535 536 536 537 537 537 537 - - - C C - D - B C C - D C E 537 538 539 540 541 541 541 542 542 542 543 544 545 546 547 E B - - - C A - B C - - - A - 530

551 552 552 552 553 554 555 555 - B - - D B - C - B C - - - E 555 555 555 555 556 557 557 557 557 558 559 559 560 560 560 C C - A E - C E B - - C - E E 560 560 560 561 562 562 562 562 562 562 563 564 565 566 567 E - A - - A A D E C - - - - - 568 569 570 571 571 571 571 572 572 572 572 573 573 573 573 - C - A C D C E C B B E D C E 573 573 574 574 574 574 575 575 575 575 576 577 577 577 578 D C D C C D B B E B C B B B E 578 578 578 578 578 578 578 579 579 579 579 580 581 582 582 A A A - C E C C C D B C D - A 582 583 584 584 585 585 585 586 586 586 587 587 587 587 588 C - C D B C B D E E D C E E E 589 589 590 591 592 593 594 595 595 595 596 596 596 597 598 C - - - B B C - C E E A E - - 598 598 598 598 599 599 600 601 602 602 602 602 603 604 604 E B B C E C - - - C A D - A C 604 604 605 605 605 605 606 606 606 606 607 608 609 610 611 C - D A C - - C A B - - - - - 611 611 611 612 613 614 615 616 617 617 618 619 620 621 622 B C C - - - E - - E - - - C - 623 624 625 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - NIKOLA TESLA <<La vida es y seguirá siendo una ecuación sin solución, pero contiene algunos factores conocidos>> 531

Apéndice Bibliografia 1) L. Landau – E. Lifshitz Física General,
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problemas propustos de teoria de campos electromagneticos

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