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progressReport_k-hasegw_20230117

k-hasegw
January 17, 2023
360

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January 17, 2023
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Transcript

  1. 0
    ロボット均一配置問題
    直線グラフ上,任意の位置にロボットがいる
    最終的に等間隔にロボットを並べる
    最大空間と最小空間の差を1以下にする
    初期状態
    最終状態 2 2 2 3

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  2. 1
    提案アルゴリズム
    最終状態: 左右の距離が同じ,または
    差が1で左が奇数,右が偶数
    LCMサイクル
    1. 左右をLook
    2. 左右の差により移動先をCompute
    差が2以上:大きい方の間隔を1縮める
    差が1以下で左が偶数,右が奇数:左を奇数,右を偶数にする
    上記以外:動かない
    3. Computeに応じてMove

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  3. 2
    次に考えるべきこと
    機能追加の必然性の検証
    左右の識別機能なしでは均一配置できないことの証明
    提案アルゴリズムの証明
    任意の初期状態から最終状態へ行けるか
    任意のロボット数,グラフの長さに対応可能か

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  4. 3
    提案アルゴリズムの証明
    任意のロボット数,グラフの長さに対応可能か
    ロボット数 𝑟,グラフの長さ 𝑙 とした2変数の帰納法
    改めて示すべき命題を 𝑃(𝑟, 𝑙)とする
    命題 𝑃(𝑟, 𝑙)
    𝑟, 𝑙 ∈ ℕ, 𝑟 ≤ 𝑙 に対し,提案アルゴリズムは成立

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  5. 4
    証明方針
    i. 𝑃 1, 𝑙 , 𝑃(𝑟, 𝑟)を示す
    ii. 𝑃 𝑚, 𝑙 , 𝑃 𝑟, 𝑛 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑚 ≤ 𝑙, 𝑟 ≤ 𝑛
    を仮定し, 𝑃 𝑚 + 1, 𝑙 , 𝑃 𝑟, 𝑛 + 1 を示す
    iii. i,iiより𝑃(𝑟, 𝑙)は成立
    命題 𝑃(𝑟, 𝑙)
    𝑟, 𝑙 ∈ ℕ, 𝑟 ≤ 𝑙 に対し,提案アルゴリズムは成立

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  6. 5
    𝑃 1, 𝑙 の証明
    ロボットは左右の距離がわかるので
    • 左右の距離が等しい
    • 左右の距離差が1で左が奇数,右が偶数
    になった時に停止
    以上より, 𝑃 1, 𝑙 は成立

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  7. 6
    𝑃 𝑟, 𝑟 の証明
    今回扱うモデルでは1頂点に複数台のロボットは
    存在しない
    よって,初期状態で既に均一配置されている
    以上より, 𝑃 𝑟, 𝑟 は成立

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  8. 7
    𝑃 𝑚 + 1, 𝑙 の証明
    M台のロボットが既に均一配置されている状態に
    1台追加することを考える
    • k | k | k → k | x | k-x | k
    • k | k | k+1 → k | x | k-x | k
    • k | k | k+1 → k | k | x | k+1-x
    それぞれのケースの証明は考え中

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  9. 8
    𝑃 𝑟, 𝑛 + 1 の証明
    𝑃 𝑟, 𝑛 にて既に均一配置されている状態から
    グラフの長さを1伸ばすことを考える
    • 𝑃 𝑟, 𝑛 にて完全に均一配置されている場合
    • 𝑃 𝑟, 𝑛 にて差1を許して均一配置されている場合
    それぞれのケースについては考え中

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