progressReport_k-hasegw_20230117

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1. 0 ロボット均一配置問題 直線グラフ上，任意の位置にロボットがいる 最終的に等間隔にロボットを並べる 最大空間と最小空間の差を1以下にする 初期状態 最終状態 2 2 2 3
2. 1 提案アルゴリズム 最終状態： 左右の距離が同じ，または 差が1で左が奇数，右が偶数 LCMサイクル 1. 左右をLook 2. 左右の差により移動先をCompute 差が2以上：大きい方の間隔を1縮める 差が1以下で左が偶数，右が奇数：左を奇数，右を偶数にする 上記以外：動かない 3. Computeに応じてMove
3. 2 次に考えるべきこと 機能追加の必然性の検証 左右の識別機能なしでは均一配置できないことの証明 提案アルゴリズムの証明 任意の初期状態から最終状態へ行けるか 任意のロボット数，グラフの長さに対応可能か
4. 3 提案アルゴリズムの証明 任意のロボット数，グラフの長さに対応可能か ロボット数 𝑟，グラフの長さ 𝑙 とした2変数の帰納法 改めて示すべき命題を 𝑃(𝑟, 𝑙)とする 命題 𝑃(𝑟, 𝑙) 𝑟, 𝑙 ∈ ℕ, 𝑟 ≤ 𝑙 に対し，提案アルゴリズムは成立
5. 4 証明方針 i. 𝑃 1, 𝑙 , 𝑃(𝑟, 𝑟)を示す ii. 𝑃 𝑚, 𝑙 , 𝑃 𝑟, 𝑛 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑚 ≤ 𝑙, 𝑟 ≤ 𝑛 を仮定し， 𝑃 𝑚 + 1, 𝑙 , 𝑃 𝑟, 𝑛 + 1 を示す iii. i,iiより𝑃(𝑟, 𝑙)は成立 命題 𝑃(𝑟, 𝑙) 𝑟, 𝑙 ∈ ℕ, 𝑟 ≤ 𝑙 に対し，提案アルゴリズムは成立
6. 5 𝑃 1, 𝑙 の証明 ロボットは左右の距離がわかるので • 左右の距離が等しい • 左右の距離差が1で左が奇数，右が偶数 になった時に停止 以上より， 𝑃 1, 𝑙 は成立
7. 6 𝑃 𝑟, 𝑟 の証明 今回扱うモデルでは1頂点に複数台のロボットは 存在しない よって，初期状態で既に均一配置されている 以上より， 𝑃 𝑟, 𝑟 は成立
8. 7 𝑃 𝑚 + 1, 𝑙 の証明 M台のロボットが既に均一配置されている状態に 1台追加することを考える • k | k | k → k | x | k-x | k • k | k | k+1 → k | x | k-x | k • k | k | k+1 → k | k | x | k+1-x それぞれのケースの証明は考え中
9. 8 𝑃 𝑟, 𝑛 + 1 の証明 𝑃 𝑟, 𝑛 にて既に均一配置されている状態から グラフの長さを1伸ばすことを考える • 𝑃 𝑟, 𝑛 にて完全に均一配置されている場合 • 𝑃 𝑟, 𝑛 にて差1を許して均一配置されている場合 それぞれのケースについては考え中