ゆる計算理論ラジオ / P vs NP for beginner

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1. ゆる計算理論ラジオ
   2023/03/17
   giftee TechBash
   @megane42
   

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2. クイズ
   P = NP?
   P ≠ NP?
   

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3. P = NP だと思った人は
   ひらめきや創造性を伴う、人間の聖域とも言えるクリエイティブな活動を全て機械で代
   替可能だと思ってるってことですよね？
   

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4. 自己紹介
   @megane42
   趣味: かっこいいワンタイムパスワード集め
   

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5. 背景
   どんな施策でも実施できる 柔軟なキャンペー
   ン設計システムを作りたかった
   少し考えた結果、オートマトンというやつに
   構造が似ている気がしてきた
   どんな施策でも実施できる ことを数学的に言
   えたりしないだろうか
   なんかチューリング完全的な？
   

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6. 参考図書
   計算理論とオートマトン言語理論 [第2版]
   丸岡 章 著
   

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7. 結論
   わからなかった
   考えていたシステムがチューリングマシ
   ン（詳細は割愛）に変換可能であること
   が言えれば、並大抵のキャンペーンは実
   施できそうだったが、その証明が困難だ
   った
   一方、その過程で面白い事柄を学べた
   P 対 NP 問題
   

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8. P 対 NP 問題
   P とか NP というのは 問題のクラス （種類）のこと
   P = NP なのか P ≠ NP なのかで一生揉めている
   今のところ P ≠ NP っぽいと思われているが、誰も証明できていない
   P ⊆
   NP であることはわかっている
   

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9. クラス P の定義
   答えを効率よく見つけられる問題
   ざっくりいうと「しらみつぶしに頑張る」より効率的な手段があるタイプの問題
   

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10. クラス P の例
    ソート
    クイックソートみたいな効率の良いアルゴリズムが存在する
    100 冊のマンガを 1 巻から順に並び替えたいときに、「全ての取りうる並び順を洗
    い出したあと、順番に並んでいるパターンが見つかるまでしらみつぶしにチェック
    する」みたいなことはしない
    

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11. クラス NP の定義
    答えの検証だけは効率よくできる問題
    効率的に解けるかどうかについては触れていないことに注意
    まず答えの検証が効率良くできたら、その問題はクラス NP
    更に答えの探索が効率良くできたら、その問題はクラス P
    

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12. クラス NP の例
    パズル（ハミルトン閉路問題）
    与えられたグラフの全点を 1 度ずつ通って最初の点
    に戻ってくるような経路は存在するか？
    答えが与えられたら、その答えの検証は簡単にでき
    るので、クラス NP
    今のところ効率よく解く方法は見つかっていない
    取りうる経路のパターンを全て列挙してチェッ
    クするしかない
    見つかってないだけで存在するかもしれない
    

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13. P 対 NP 問題 再掲
    P = NP ?
    P ≠ NP ?
    ハミルトン閉路問題のような NP 問題に対して、効率良い解き方が 存在するけど人類が
    まだ見つけてないだけなのか (P = NP なのか) どうかが一生わかっていない
    

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14. 身近な NP
    身の回りの問題は、実は NP であることが多い
    全てのバイトの希望を満たすシフト表の作成
    タンパク質の構造の最適化
    ロジスティクスの最適化
    P = NP が判明すれば、世の中が劇的に変わる（効率が良くなる）
    

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15. 帰着と NP 完全
    一般に、ある問題を変形して別の問題に置き換える（帰着させる）ことができる
    NP 完全 な問題とは、任意の NP 問題をそれに帰着できるような問題のこと
    NP 問題の母みたいなことです
    NP 完全問題のうち 1 つでも P であることが証明できると、たちどころに全ての NP
    が P であることが言える (すなわち P = NP)
    実は ハミルトン閉路問題は NP 完全
    他にも NP 完全問題がたくさん見つかっている
    が、そのいずれも効率的なアルゴリズムが一生見つかっていない・・・
    

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16. NP 問題と創造性 (1)
    数学の定理の証明
    ある定理の証明が与えられたときに、それを検証するのは簡単
    NP 問題の定義を満たすので、数学の定理の証明は NP 問題
    

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17. NP 問題と創造性 (2)
    良い俳句をつくる
    ある俳句が与えられたときに、それがグッと来るかどうか検証するのは簡単
    NP 問題の定義を満たすので、俳句の作成は NP 問題
    

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18. NP 問題と人間
    人間は全パターンを洗い出したりしないけど、正解を見
    つけることがある
    この世の定理全ての組み合わせを列挙したりせずに
    定理の証明を思いつく
    17 文字の 50 音全ての組み合わせを列挙したりせず
    に良い俳句を思いつく
    人間は ひらめき という神秘的な能力で答えを見つける
    ことができる
    もし P = NP だとすると、人間のひらめきに大した価値
    が無い気がしてきませんか？
    

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19. まとめ
    名前しか知らなかった「P 対 NP 問題」について、解像度が高まった
    効率の良い解き方が存在はするけど、人類が見つけられてないだけ？
    もし P = NP だった場合、世の中のいろいろな問題が一挙に効率化されてしまう
    特に NP 完全問題が狙い目
    もし P = NP だった場合、人間の持つ「ひらめき」という神秘的な能力の価値が低くなる
    気がする
    

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20. 寄り道: 「効率が良い」の定義
    効率が良い ＝ 入力のサイズ n に対して、n の多項式時間で解ける
    例: n 冊のマンガを並べ替えたいとき
    最低でも n^2 ステップで並べ替えができる方法 → 効率が良い
    最低でも 2^n ステップで並べ替えができる方法 → 効率が悪い
    しらみつぶしに全パターン網羅しようとすると、得てしてパターンは指数関数的に
    増えるので、効率が悪い（多分）
    

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21. 寄り道: NP 問題の別の定義
    非決定性チューリングマシン で効率良く解ける問題
    非決定性チューリングマシンとは、超ざっくりいうと、同じ入力が与えられたとき
    のふるまいが一意に決まってないような機械のこと
    入力: グラフ
    ふるまい: どの経路に着目するか
    各経路 1 つずつの検証は効率良く行える
    たまたま正解の経路に着目すれば答えが見つかる
    ありうる全パターンを同時に並列処理できるなら効率良く解ける、みたいなことを
    言っている
    NP は Non-deterministic Polynomial の略で、Not P ではないです
    

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22. 参考
    計算下界の解明 ー その意義とシナリオ (徳山 豪)
    https://researchmap.jp/read0065631/misc/31636571
    https://researchmap.jp/read0065631/misc/31636564
    第14回　P≠NP予想について考える（前編） (辻真吾)
    https://www.school.ctc-g.co.jp/python/columns/tsuji/tsuji14.html
    第15回　P≠NP予想について考える（後編） (辻真吾)
    https://www.school.ctc-g.co.jp/python/columns/tsuji/tsuji15.html
    

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