データマイニング - グラフ構造の諸指標

1. グラフの大きさ
2. 密度
3. 連結性
4. 次数の分布

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1. グラフ構造の諸指標 ⼭本 祐輔 名古屋市⽴⼤学 データサイエンス研究科 yusuke_yamamoto@acm.org 第10回 データマイニング （グラフ分析入門） ⼭本祐輔 クリエイティブコモンズライセンス (CC BY-NC-SA 4.0)
2. グラフを「把握したい」ケース グラフを把握したい ノード 単体 グラフの 部分構造 グラフ 全体
3. グラフを「把握したい」ケース グラフを把握したい ノード 単体 グラフの 部分構造 グラフ 全体 ノードの 重要度評価 コミュニティや 特徴的な経路の発⾒ 局所的特徴 ⼤局的特徴
4. グラフを「把握したい」ケース グラフを把握したい グラフ 全体 ノードの 重要度評価 コミュニティや 特徴的な経路の発⾒ 局所的特徴 ⼤局的特徴 はじめにグラフ全体の特徴を理解することは重要 ノード 単体 グラフの 部分構造
5. グラフの⼤きさを⽰す指標: ノード数 グラフに含まれるノードの数 1 0 2 3 4 5 | V | = 6 # NetworkXを使う場合 V = G.nodes() len(V) # 以下でもOK G.number_of_nodes()
6. グラフの⼤きさを⽰す指標: 直径 (diameter) グラフに属するノード間の距離の最大値 1 0 2 3 4 5 （最も離れているノード同⼠の距離） 1 0 4 2 3 5 d = 3 d = 1
7. グラフの⼤きさを⽰す指標: 直径 (diameter) d = ? グラフに属するノード間の距離の最大値 （最も離れているノード同⼠の距離） 1 0 4 2 3 5
8. グラフの⼤きさを⽰す指標: 直径 (diameter) d = 3 グラフに属するノード間の距離の最大値 （最も離れているノード同⼠の距離） 1 0 4 2 3 5 # NetworkXを使う場合 nx.diameter(G)
9. 余談: 離⼼数 (eccentricity) 注目ノードから他ノードへの距離の最大値 1 0 2 3 4 5 ノード0の離⼼数 = 3 1 0 2 3 4 5 ノード2の離⼼数 = 2 グラフの直径とは「グラフ中のノード離心数の最大値」
10. グラフの⼤きさを⽰す指標: 半径 (radius) グラフに属するノードの離心数の最小値 1 0 2 3 4 5 1 0 4 2 3 5 半径r = 2 r = 1 (直径d = 3) (直径d = 1)
11. グラフの⼤きさを⽰す指標: 半径 (radius) r = ? 1 0 4 2 3 5 グラフに属するノードの離心数の最小値
12. グラフの⼤きさを⽰す指標: 半径 (radius) r = 3 グラフに属するノードの離心数の最小値 1 0 4 2 3 5 # NetworkXを使う場合 nx.radius(G)
13. グラフの密度 (density) グラフ中のノード間に張ることのできる すべての辺に対する、実際の辺の数の割合 1 0 2 3 4 5 ノード集合をV、 エッジ集合をEとすると = | E | | V | C2 密度 密度 = ! "#$ nx.density(G) # NetworkXを使う場合
14. グラフの密度 (density) グラフ中のノード間に張ることのできる すべての辺に対する、実際の辺の数の割合 密度 = ! !"# = 0.4 1 0 4 2 3 5 1 0 4 2 3 5 密度 = 1
15. 完全グラフ（complete graph） グラフ中の全ノード間にエッジが張られている グラフを完全グラフと呼ぶ 1 0 4 2 3 5 密度 = 1
16. 連結性 グラフ中の任意のノード間に経路が存在する とき、そのグラフは「連結グラフ」という 1 0 4 2 3 5 連結グラフ 1 0 4 2 3 5 ⾮連結グラフ
17. 連結性 グラフ中の任意のノード間に経路が存在する とき、そのグラフは「連結グラフ」という 1 0 4 2 3 5 連結グラフ nx.is_connected(G) # NetworkXを使う場合 # 左のグラフにはTrueを返す
18. 強連結 有向グラフ中の任意のノード間に有向経路が 存在するとき、そのグラフは「強連結」である 1 0 4 2 3 5 強連結である 1 0 4 2 3 5 強連結でない
19. 強連結 有向グラフ中の任意のノード間に有向経路が 存在するとき、そのグラフは「強連結」である 1 0 4 2 3 5 強連結である nx.is_strongly_connected(G) # NetworkXを使う場合 # 左のグラフにはTrueを返す
20. 次数分布 次数 (degree) ノードに接続しているエッジの数 次数分布 § グラフに属するノードの次数の分布 § ⼤きさや密度が同じでも次数分布が異なることもある 1 0 2 3 4 ノード2の次数 = 3 ノード4の次数 = 1
21. 次数分布 次数 (degree) ノードに接続しているエッジの数 次数分布 § グラフに属するノードの次数の分布 § ⼤きさや密度が同じでも次数分布が異なることもある 1 0 2 3 4 G.degree[2] # NetworkXを使う場合 # ノード2の次数(=3)を返す
22. 同じノード数，密度を持つのに次数分布が異なるグラフの例
23. Hands-on タイム 以下のURLにアクセスして， 第10回のクイズを解いてみよう https://graphnote.hontolab.org/ 23
24. 回 実施日 トピック 9 06/13 グラフデータ 10 06/20 グラフ構造の諸指標 11 06/27 ノードの中心性 12 07/04 コミュニティ発見 13 07/11 ウェブグラフ 14 07/18 グラフ埋め込み 15 07/25 総合演習 – 社会ネットワーク分析 授業計画 24