test

test

Transcript

1. 第 1 回 一、筆試一 1. 老師要全班同學每人挑出一個班上讓人討厭的人，但不能選自己。假設每人被選中的機率相同， 若全班共有 5 位同學，試問：每個人都剛好得到一票「被討厭」的機率是多少？ 2. 令 H 為 ABC △ 的垂心， , , AH BH CH 分別交 , , BC CA AB 於 , , D E F ； , BE CF 的中點分別為 , M N ； MN 分別交 , AB AC 於 , I J 。 證明：(1) I 在 BDM △ 的外接圓 B O 上；J 在 CDN △ 的外接圓 C O 上。 (2) B O 與 C O 相切於點 D。 3. 設0 , , 4 π α β γ < < ，且 2 2 2 tan tan tan 3 α β γ + + = 。 證明： tan 2 tan 2 tan 2 9 α β γ + + ≥ 4. 某數學營開了 6 門課，該營隊的 20 名學生每人均已選修其中的 0 至 6 門課。試問：是否可以找 出 5 名學生和 2 門課，使得這 5 人同時都選修此 2 門課或同時都沒選修此 2 門課？為什麼？ 5. 若 n 為正整數，且4 2 1 n n + + 為質數，則 n 必為 3 的(冪)次方。 二、筆試二 6. 求最大的整數 n 使得 3 103 11 n n + + 也是整數。 7. ABC △ 在 A ∠ 的兩條三等分角線分別交 BC 於 , D E 。已知 : 2 :3 BD DE = ， : 1:3 AB AC = ，求 : DE EC = ？ 8. 設 , , , A B C D 為空間中相異四點，除 , B D 兩點間沒有線段相連外，其餘任兩點間均恰有一條線段 連接，且這些連接的線段長度均為 1。有一隻螞蟻，今從 A 點出發，沿著連接的線段爬行，當抵 達 C 點時就停止。假設螞蟻在每一點選擇接下來走哪一條路的機率均等，那麼螞蟻所走距離的 期望值是多少？ 9. 設 ( ) 2 2 2 2 x x f x − = + ，求 2014 1 1007 n n f =   =     ∑ ？ 10. 已知 , a b 為正數，且 2 a b ≥ ，求 3 4 2 1 5 b a a − + 的最小值？ 11. 設集合 , , A B C 滿足 { } 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 A B C ∪ ∪ = ， A B C ∩ ∩ = ∅ (∅ 為空集合)。若序對 ( ) , , A B C 的可能情形共有2 3 5 7 a b c d ⋅ ⋅ ⋅ 種，則數對( ) , , , a b c d 為何？
2. 答案 1. 11 256 2. (1) 略；(2) 略 3. 略 4. 否 5. 略 6. 1217 7. ( ) 2: 41 1 − 8. 5 2 9. 1 3 10. 3 11. ( ) 10,10,0,0
3. 第 2 回合 一、填充題 (每題 5 分) 1. 設 { } , , , A a b c d = 、 { } 1,2,3 B = ，求有多少函數 : f A B → 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 f a f b f c f d + + + = ？ 2. 實係數四次方程式 4 3 2 8 24 0 x x x ax b − + + + = 為兩實根兩虛根，兩實根和為 4，兩虛根積為 5，求 ( ) , a b = ？ 3. , A B 為相異四位數的正整數，log A 的尾數為log B 的 3 倍，若 A的最大值為m ，此時 B 的最大值 為 n ，求( ) , m n = ？ 4. 某老師一天可能有 3 到 5 堂數學課(一天有 8 堂)，然後不能有連 3 節課而且第 4、5 節不能同時 排課，求一天有多少種排數學課的方式？(不考慮不同班級) 5. 兩直線 1 : 2 106 L y x = − 、 2 : 3 107 L y x = − ，若平面坐標上點 ( ) 4,5 P 對 1 L 的對稱點為Q，Q對 2 L 的 對稱點為 R ，且 1 2 , L L 的交點為 K ，求 tan PKR ∠ = ？ 6. 設 , x y∈ℝ ， 2 2 25 y x − ≤ ≤ − ，若 2 x y + 的最大值為 M ，最小值為m ，求數對( ) , M m = ？ 7. 設 , , a b c∈ℝ，若 2 2 2 10 a b c + + = 且 2 4 d ≤ ，求 1 4 2 1 4 a b c d − 的最大值？ 8. 設 2 2 cos sin 7 7 i π π ω = + ，求 2 2 2 2 6 2 2 2 ω ω ω − + − + + − = ⋯ ？ 9. 設 4 4 4 4 1 2 3 2 1 1 1 1 n n n n n n a n n n n         − − − −         = − + − + − + + −                                         ⋯ ，求 lim n n a n →∞ = ？ 10. 設 ( ) 6, 4,1 A − − 為直線 6 4 1 : 2 3 6 x y z L + + − = = − 上一點，且 L 與平面 :19 4 8 8 E x y z − + = 交於點 B ，若 平面 E 上有一點C 使得 AB AC = ，則當 ABC △ 面積最大時，C 點坐標為何？ 二、計算題 (每題 10 分) 1. 已知 ( ) f x 為三次實係數多項式且 ( ) f x 在 1 x = 及 5 x = 時有極值，若 ( ) f x 在 ( ) ( ) 3, 3 f 的切線方程 式為 ( ) 4 12 3 y x f = − + ，求 ( ) 2 0 f x dx ′ = ∫ ？ 2. 數列 n a 的前 n 項和為 n S ，若 1 4 3 a = 且( ) 1 4 1 3 4 n n n n a S − − = ⋅ ⋅ ( n∈ℕ )，求： (1) n S = ？
4. (2) 設 3 n n n b a = ， n T 為 n b 的前 n 項和，求lim n n T →∞ = ？ 3. (1) 求 2 2 2 x y + = 與 1 y = 所圍成較小的弓形繞 x 軸旋轉的旋轉體體積？ (2) 求 2 2 2 x y + = 與 2 x y + = 所圍成較小的弓形繞 2 x y + = 旋轉的旋轉體體積？ 4. 設 ( ) ~ , X B n p ，求期望值 1 1 E X   =   +   ？ 5. 用 4 種顏色塗下圖九宮格，顏色可重複使用，相鄰不同色，每區只能塗一色，有幾種塗法？
5. 第 3 回合 一、填充題 (每題 8 分，共 64 分) 1. 將全體正整數自小到大一個接一個地順次寫成一排，求從左至右的第 2013 個數字？ 2. 若自橢圓中心到焦點、長軸頂點、以及到準線的距離之長可以組成一個直角三角形，求該橢圓的 離心率？ 3. 正四棱錐 P ABCD − 中， 5 PA = 、 6 AB = ， M 是 PAD △ 的重心，求四面體 MPBC 的體積？ 4. 求函數 4 sin 3 cos x y x − = − 的最大值？ 5. 若 a 為正數，[ ] a 表示 a 的整數部分，而{ } [ ] a a a = − ，若 [ ] { } , , a a a 形成等比數列，求a =？ 6. , , a b c 是不同的正整數，若集合{ } ( ) ( ) { } 2 2 2 , , , 1 , 2 a b b c c a n n n + + + = + + ，n∈ℕ，求 2 2 2 a b c + + 的 最小值？ 7. 求函數 ( ) 2013 1 k f x x k = = − ∑ 的最小值？ 8. 若sin sin sin α β γ + = 、cos cos cos α β γ + = − ，求 2 2 2 cos cos cos α β γ + + =？ 二、解答題 (共 54 分) 9. 如圖，過 ABC △ 的三個頂點 , , A B C 各作其外接圓的切線，分別與相應頂點的對邊所在直線相交， 證明：三個交點 , , D E F 共線。(14 分)
6. 10. 數列{ } n a 滿足： 1 1 a = 、 1 1 1 1 n n k k a a n + = = + ∑ ， (1) 寫出數列前 7 項的值。 (2) 對任意正整數n ，求 n a 的表達式？(20 分) 11. 盒中裝有紅色和藍色紙牌各 100 張，每色紙牌都含有標數為 2 99 1,3,3 , ,3 ⋯ 的牌各一張，兩色紙牌 的標數總和記為 S 。對於給定的正整數n ，若能從盒中取出若干張牌，使其標數之和恰為n ，便 稱為一種取牌n 方案，不同的n 方案種數記為 ( ) f n 。求 ( ) ( ) ( ) 1 2 f f f S + + + = ⋯ ？(20 分)
7. 第 4 回 1. 設 x 的方程式 2 2 2 0 x ax a − + − = 在區間 3 0, 2       內有根，求實數 a 的取值範圍？ 2. 設 , , a b c 滿足 3 3 3 0 a b c a b c + + = + + = ，n 為任意正整數，求 2 1 2 1 2 1 n n n a b c + + + + + 的值？ 3. 證明：若 n 為不小於 2 的正整數，t 為實數且sin 0 2 t ≠ ，則 2 1 1 1 sin 2 1 2cos sin 2 n k k p nt pt t − = =       + =           ∑ ∑ 。 4. 一個等腰梯形的腰長和底長分別為 2 和 3，求這個梯形面積的最大值？ 5. 求出所有實數 x，使得 2 2 4 1 7 6 5 x x x x + − − − 與 1 1 x x − + 同時為整數？ 6. 頂點為 A 的等腰三角形 ABC △ 中， B ∠ 的角平分線交 AC 於 D，已知 BC BD AD = + ，求 A ∠ =？ 7. 設 , , a b c 是實數，方程式 3 2 0 x ax bx c + + + = 有 3 個正根， 證明： 3 2 9 7 a c ab + ≤ ，並且等號成立當且僅當這 3 個正根相等。 答案 1. 1 ,4 2 2 2   − −     2. 0 3. 略 4. 7 7 4 5. 3 1 1 , , ,1 4 2 3 − − − 6. 100 A ∠ = 7. 略