Discrete report

Transcript

1. Актуальность задачи Алгоритмы поиска пути минимальной стоимости для продвижения заданного потока находят нетривиальное применение во многих областях. Роутинг пакетов в компьютерных сетях Логистика (контейнерные перевозки, погрузка грузовых судов, etc) Управление водными ресурсами Составление национальной энергетической политики 1
2. Формальная постановка задачи Граф - это набор (V , E) вершин V и ребер E, то есть соединений между парами вершин. В ориентированном графе у каждого ребра есть направление. Во взвешенном графе каждому ребру приписано некторое число, называемое весом. Путь в графе - это последовательность вершин, в которой каждая вершина соединена со следующей ребром. 2
3. Формальная постановка задачи Определим сеть как взвешенный ориентированный граф G = (V , E), где V - множество вершин, а E - ребер, и каждому ребру приписана неотрицательная пропускная способность и неотрицательная величина потока, не превышающая пропускную способность. В сети выделены две вершины - источник и сток, такие, что любая другая вершина лежит на пути из источника в сток. При этом сумма потоков в любую вершину, кроме источника и стока, равна сумме потоков из нее. 3
4. Формальная постановка задачи Определение задачи: минимизировать общую стоимость потока a(u, v) ⋅ f(u, v) Где f(u, v) - поток из u в v, а a(u, v) - вес ребра из u в v при заданном потоке d таком, что f(u, v) = d (u,v)∈E ∑ (u,v)∈E ∑ 4
5. Формальная постановка задачи Для поиска потока минимальной стоимости описано много алгоритмов Алгоритм Описание Out-of-kilter Поиск и сокращение дефектных ребер Симплекс-метод Симплекс-метод на сетях Сокращение циклов Поиск и сокращение отрицательных циклов в остаточной сети Модификации алгоритма Форда-Фалкерсона Поиск наименее затратного пути для потока 5
6. Формальная постановка задачи Мы остановились на алгоритме сокращения циклов, так как он легко реализуем и хорошо поддается функциональной декомпозиции. Остаточная сеть - граф G = (V , E ), где E - множество ребер, где каждому ребру (u, v) ∈ E соответствует два ребра: (u, v) с пропускной способностью, равной разности пропускной способности (u, v) и потока в нем и ребро (v, u) с пропускной способностью, равной величине потока в (u, v) f f f ′ ′ 6
7. Формальная постановка задачи С помощью алгоритма Эдмондса-Карпа проталкиваем необходимое количество потока Находим в остаточной сети отрицательные циклы Проталкиваем по ним поток в обратном направлении ??? PROFIT!!! 7
8. Формальная постановка задачи Алгоритм Эдмондса-Карпа: Пока в остаточной сети есть путь из истока в сток Найти путь из истока в сток в остаточной сети поиском в ширину Протолкнуть по нему максимально возможный поток 8
9. Пример кода: алгоритм Эдмондса- Карпа fun fill(desiredFlow: Double): Boolean { var remainingFlow = desiredFlow var path = this.bfs() while(path != null && remainingFlow >= 1e-100) { val pushableFlow = min(path.capacity, remainingFlow) path.pushFlow(pushableFlow) remainingFlow -= pushableFlow path = this.bfs() } return remainingFlow <= 1e-100 } 9
10. Формальная постановка задачи Если удалось протолкнуть требуемую величину потока, используем алгоритм Беллмана-Форда, чтобы найти в остаточной сети отрицательные циклы. Инициализируем массив расстояний до каждой вершины +∞ ∣V ∣ − 1 раз обходим все дуги Если сумма длины дуги и расстояния до начала дуги меньше, чем предыдущее значение в массиве, обновляем его в массиве ("релаксируем") Если на ∣V ∣ итерации удалось релаксировать какое-то расстояние, в графе есть отрицательный цикл. 10
11. Структуры данных и асимптотика Для представления графа в памяти используются списки смежности, так как связность сетей обычно мала Программа написана в объектно-ориентированной парадигме Основа программы - класс Graph , хранящий список вершин и рёбер для удобства итерации и поддерживающий некоторые дополнительные методы Ребра представлены классом Edge , в котором хранятся ссылки на начальную и конечную вершины и информация о пропускной способности, потоке и весе ребра Вершины представлены классом Node , в котором хранится список ссылок на входящие и исходящие ребра 11
12. Структуры данных и асимптотика Класс Graph реализует метод fill(flow: Double) , использующий алгоритм Эдмондса-Карпа для проталкивания потока. Алгоритм Эдмондса-Карпа работает за O(∣V ∣ ∣E∣) и для решения данной задачи выполняется один раз Класс Graph также реализует метод optimizeFlow() , использующий алгоритм Беллмана-Форда для поиска отрицательных циклов в остаточной сети. Асимптотика алгоритма Беллмана-Форда - O(∣V ∣∣E∣) Асимптотика количества циклов в сети с нецелыми значениями веса и пропускной способности плохо поддаётся оценке, однако точно принадлежит O(2 27∣E∣) 2 1 12
14. Литература Wikipedia StackOver ow Habrahabr Лекции Университета Северной Каролины 14
15. Спасибо за внимание 15