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多次元尺度法MDS

Ringa_hyj
January 07, 2021

 多次元尺度法MDS

Ringa_hyj

January 07, 2021
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  1. 多次元尺度法
    MDS : multi dimensional scaling
    特性値ではなく、
    個体間の類似性を表現するようなデータに対して行う分析
    多次元の類似性を持つデータを低次元に落とすなどがMDS
    類似性といっても、必ず距離データでなくともいい場合(非計量多次元尺度 non metric MDS)
    距離データである場合 metric MDS (計量多次元尺度、古典的多次元尺度)

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  2. mtric MDS
    データ点ごとの差の二乗の平方根を考える
    =

    = 1 − 1
    2
    + ・・・
    変換後のベクトルから、以下のような式が成り立つyの存在する空間を探す


    =
    =
    =

    ここで、距離の公理を満たすことを前提とする
    δ=0
    δ>=0
    δij=δji
    ※公理を満たすデータは「メトリックである」と呼ばれる
    D=[δij]

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  3. 単に二乗を考えてみる

    2 =

    2
    =




    =
    2 +
    2
    − 2

    後項の内積部分を考えると、iとjの積の総和となる


    = 1
    1
    + 22 + ⋯ =

    2 +
    2
    − 2
    よって
    変形して

    = ½ (
    2 +
    2
    − ⅈ
    2 )
    これは個体間の距離を求めるということは、内積を求めることに等しいということを表現している
    内積から別座標yへの変換を考えるのが古典的手法であると先ほど説明した。

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  4. View Slide

  5. 個体ijの原点は、n個の重心であるとする
    新しい座標ベクトル y は

    2 =

    2
    =




    よって
    d^2 ij = -2aij
    = yi T yi + yj T yj – 2yi T yj
    =bii + bjj -2bij
    =aii + ajj – 2aij
    (距離の公理より)
    =-2aij

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  6. bij = aij – mean(ai+) - mean(a+j) + mean(a++)
    bij = (yi – y_bar)T(yj-y_bar)
    B = [bij]
    このとき、Bは固有値がすべて非負の半正定値行列であることがわかる
    B=ΓΛΓ ^T = (ΓΛ^1/2)(ΓΛ^1/2) = YY^T
    ΛはBの固有値を対角として持つ行列である Λ = diag(λ1…λp)
    Γは固有ベクトルを列変形したもの Γi = λi ^(-1/2) xi

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  7. より詳細な計算方法
    データDからA=[-1/2 dij^2]を計算
    bij = aij – mean(ai+)… から B=[bij]を求める
    Bのうち、正の固有値 λ だけを削減次元 k個求める(寄与率を計算する場合にはすべて求める)
    固有ベクトル Y = (y1~yk)を求める
    λi = yi T yi となるように固有ベクトルの「長さ」を調整する
    個体 pi の座標が yi1 ….yip へと変換される

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  8. 2 4 5
    2 3 6
    4 3 7
    5 6 7
    行平均
    mean(ai+)
    列平均
    mean(a+i)

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  9. 2次元に落とすならば固有値λから2つの固有値を選び出す。同時に固有ベクトルも2つ得られるはず。
    固有ベクトルは長さ1に正規化されて出力されるものなので、
    固有値の大きさに調整する
    yk T yk = λk より、 yi = y’i √λi を計算する
    二次元のデータをplotにつかう。
    つまり、
    調整した一つ目の固有ベクトルをx座標
    調整した二つ目の固有ベクトルをy座標
    とする

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  10. View Slide

  11. 心理学のような、非類似度データに対する分析
    stress(目的関数) を最小にするような個体の配置を求める
    =

    − መ

    2
    ෎෍ⅈ
    2
    1
    2
    ※Σはj※j※d_hat は dijと近くなるような座標値から定められる値
    ※分子は最小二乗法に等しい
    Sが0になればよい推定量で、大きい(0.2)以上だと失敗とされている

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  12. View Slide