たのしいけんろん！

Category, simplicial set, and…… ?

Transcript

1. 〔〣「⿶々えあえʂ @R O R I J O September 21, 2018 ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌
2. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Contents Part I: Category Theory Basic Definition Yoneda’s lemma Comma category Colimit Part II: Simplicial sets Simplicial sets Homotopy Part III: Quasi category Nerve of category Quasi category
3. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Part I: Category Theory Basic Definition Yoneda’s lemma Comma category Colimit Part II: Simplicial sets Simplicial sets Homotopy Part III: Quasi category Nerve of category Quasi category
4. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Categories Definition. class Ob(C), Mor(C) ⿿༩⿺〾ぁ〛⿶぀〝『぀ɻ〳〔ɺҎԼ〣৚݅ ⿿ຬ〔《ぁ〛⿶぀〝『぀ɻ 1. શ〛〣 f ∈ Mor(C) 〠ର「ɺdom(f ), cod(f ) ∈ Ob(C) ⿿༩⿺ 〾ぁ〛⿶぀ɻ (f ∈ Mor(C), dom(f ) = a, cod(f ) = b 〣࣌ɺ f : a → b 〝ॻ。ɻ) 2. શ〛〣 c ∈ Ob(C) 〠ର「ɺidc : c → c 3. શ〛〣 f : a → b, g : b → c 〠ର「ɺg ◦ f : a → c 4. f : a → b 〠ର「ɺf ◦ ida = idb ◦ f = f 5. f : a → b, g : b → c, h: c → d 〠ର「 h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f 〈〣〝　ɺC 〤 category 〜⿴぀ɺ〝ݴ⿸ɻ 〳〔ɺOb(C) 〣ݩぇ objectɺMor(C) 〣ݩぇ morphism 〝ݺ〫ɻ《 〾〠ɺobject a, b 〠ର「 Hom(a, b) = {f : a → b | f ∈ Mor(C)} 〝『぀ɻ
5. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Functors Definition. F ⿿ C ⿾〾 D 〭〣 functor 〜⿴぀〝〤ɺ 1. c ∈ C 〠ର「 Fc ∈ D ⿿༩⿺〾ぁ〛⿶぀ 2. f : a → b 〠ର「〛 Ff : Fa → Fb ⿿༩⿺〾ぁ〛⿶぀ 3. F(ida) = idFa 4. F(g ◦ f ) = Fg ◦ Ff ぇຬ〔『〝　ぇݴ⿸ɻ〳〔ɺ〈〣࣌ F : C → D 〝ॻ。ɻ 〳〔ɺcategory C 〠ର「 IdC : C → C ぇɺId(c) = c, Id(f ) = f 〝 〟぀〽⿸〠ఆ〶぀ɻ 《〾〠ɺF : C → D, G : D → E 〠ର「ɺG ◦ F : C → E ぇ G ◦ F(c) = G(Fc), G ◦ F(f ) = G(Ff ) 〝〟぀〽⿸〠ఆ〶぀ɻ
6. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Example of categories Example 1. Ob(Set) ぇશ〛〣ू߹〣〟『 class,morphism ぇࣸ૾〝『぀〝 Set 〤 category 〝〟぀ɻ 2. Ob(Cat) ぇɺOb(C) ⿿ू߹〠〟぀〽⿸〟 C શମ〣 class 〝「ɺ morphism ぇ functor 〝『぀〝 Cat 〤 category 〝〟぀ɻ 3. category C 〠ର「 category Cop ぇɺobject 〤 C 〝ಉ」ɺ morphism 〤 C 〣〷〣〣 dom 〝 cod ぇ൓స《【〔〷〣〝「〛 ఆٛ『぀ɻ 4. category C, D 〠ର「ɺcategory C × D ぇɺobject,morphism 〞〖〾〷 C 〣〷〣〝 D 〣〷〣〣らぎ〝〟぀〽⿸〠ఆٛ『぀ɻ 5. object ぇ 0, 1 〝「ɺmorphism ぇ identity 〝 !: 0 → 1 〣〴〝 「〔 category ぇ I 〝ॻ。〈〝〠『぀ɻ 6. ೚ҙ〣 morphism f : a → b 〠〙⿶〛ɺ⿴぀ g : b → a ⿿ଘࡏ「 f ◦ g = idb, g ◦ f = ida 〝〜　぀〽⿸〟 category ぇ groupoid 〝ݺ〫ɻ
7. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Natural transformations Definition. F, G : C → D 〠ର「ɺθ: F ⇒ G ぇɺfunctor θ: C × I → D 〜 ⿴〘〛࣍〣ਤࣜぇՄ׵〠『぀〷〣〣〈〝〝『぀ɻ C C C × I D 0 1 F G θ(idc, !) ぇ θc 〝ॻ。ɻ
8. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Natural transformation Proposition. F, G : C → D 〠ର「ɺD 〣 morphism {θc}c∈C 〜⿴〘〛ɺ〞え〟 C 〣 morphism f : c → d 〠ର「〛〷࣍〣ਤࣜ⿿Մ׵〠〟぀〽⿸〟 〷〣ぇ༩⿺぀〈〝〝ɺnatural transformation θ: F ⇒ G ぇ༩⿺぀〈 〝〤ಉ஋〜⿴぀ɻ Fc Fd Gc Gd Ff Gf θc θd ࠓޙ〤جຊత〠〈〖〾〣ಛ௃〚々ぇར༻『぀〈〝〠『぀ɻ
9. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Natural transformation Proof. 〳』ɺ{θc}c∈C ⿿〈〣৚݅ぇຬ〔『࣌ɺnatural transformation θ ぇ ࡞ぁ぀〈〝⿿ࣔ【぀ɻ࣮ࡍɺθ: C × I → D ぇ࣍〣〽⿸〠ఆٛ『ぁ 〥〽⿶ɻ 1. c ∈ C 〠ର「 θ(c, 0) = Fc, θ(c, 1) = Gc 2. f : c → d 〠ର「 θ(f , id0) = Ff , θ(f , id1) = Gf 3. θ(idc, !) = θc 〈〣〽⿸〠「〛ఆٛ「〔 θ 〠〙⿶〛ɺθc ⿿ݩ〣〷〣〝Ұக『぀〈〝 〤໌〾⿾〜⿴぀ɻ࣍〠ɺٯぇࣔ〒⿸ɻnatural transformation θ 〠ର 「ɺ೚ҙ〣 f : c → d 〠〙⿶〛 θd ◦ Ff = Gf ◦ θc ぇࣔ【〥ྑ⿶ɻ「⿾「〈ぁ〤ɺ θd ◦ Ff = θ(f , !) = Gf ◦ θc 〽〿い⿾぀ɻ
10. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Category of functors Definition. F, G, H : C → D, θ: F ⇒ G, η: G ⇒ H ぇ natural transformation 〝『぀ɻ〈〣〝　ɺη ◦ θ ぇɺ(η ◦ θ)c = ηc ◦ θc 〝「〛ఆٛ『぀ɻ 〈〣〝　ɺcategory DC ⿿ɺobject ぇ functor,morphism ぇ natural transformation 〝『぀〈〝〜ఆٛ〜　぀ 《〾〠ɺfunctor F′, G′, H′ : D → E 〝 natural transformation θ′ : F′ ⇒ G′, η′ : G′ ⇒ H′ ⿿⿴぀࣌ɺ F′θ ぇ (F′θ)c = F′(θc) 〠〽〘〛ఆ〳぀〷〣〝『぀ɻ〳〔ɺθ′ F ぇ (θ′ F )c = θ′ Fc 〠〽〘〛ఆ〳぀〷〣〝『぀ɻ
11. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Part I: Category Theory Basic Definition Yoneda’s lemma Comma category Colimit Part II: Simplicial sets Simplicial sets Homotopy Part III: Quasi category Nerve of category Quasi category
12. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Hom functor and Yoneda emedding Definition. Category C 〝〒〣 object c ∈ C 〠ର「ɺFunctor Hom(−, c): Cop → Set ぇɺ࣍〣〽⿸〠ఆٛ『぀ɻ 1. object d ∈ C 〠ର「ɺHom(d, c) ∈ Set ぇׂ〿౰〛぀ɻ 2. f : d → d′ 〠ର「ɺHom(f , c): Hom(d′, c) → Hom(d, c) ぇׂ 〿౰〛぀ɻ〔〕「 Hom(f , c) 〤 g : d′ → c ぇ g ◦ f 〠ׂ〿౰ 〛぀ɻ 〳〔ɺFunctor y : C → SetCop ぇɺc ∈ C 〠 y(c) = Hom(−, c) ぇɺ f : c → c′ 〠ର「 y(f ): Hom(−, c) ⇒ Hom(−, d) ぇׂ〿⿴〛぀〷 〣〝『぀ɻ 〔〕「ɺy(f ) 〤 y(f )d : Hom(d, c) → Hom(d, c′), Hom(d, c) ∋ g → f ◦ g ∈ Hom(d, c′) 〠〽〘〛ఆ〳぀〷〣〝『぀ɻ
13. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Yoneda’s lemma Theorem. P ∈ SetCop 〠ର「 Hom(y(c), P) ∼ = Pc ⿿〟〿〔〙ɻ Proof. Φ: Hom(y(c), P) → Pc : θ → θc(idc) 〝『぀ɻ〳〔ɺ Ψ: Pc → Hom(y(c), P) ぇ Ψ(x)d (f ) = Pf (x) 〝ఆ〶぀〝 (Ψ ◦ Φ(θ))d (f ) = (Ψ(θc(idc)))d (f ) = Pf (θc(idc)) = θd (f ) Φ ◦ Ψ(x) = (Ψ(x))c(idc) = x 〔〕「ɺ2 ߦ໨⿾〾 3 ߦ໨〜લ〠ࣔ「〔 natural transformation 〣 ಛ௃〚々〜ग़〛　〔Մ׵ਤࣜぇ༻⿶぀ɻ
14. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Part I: Category Theory Basic Definition Yoneda’s lemma Comma category Colimit Part II: Simplicial sets Simplicial sets Homotopy Part III: Quasi category Nerve of category Quasi category
15. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Comma category Definition. F : C → U, G : D → U ⿿⿴〘〔〝　ɺF ↓ G ぇ࣍〜ఆٛ『぀ɻ 1. object ぇɺc ∈ C, d ∈ D, f : Fc → Gd 〣ࡾ૊ ⟨c, d, f ⟩ 〝『぀ɻ 2. ⟨c, d, f ⟩, ⟨c′, d′, f ′⟩ ⿿⿴〘〔〝　〒〣ؒ〣 morphism ぇɺ g : c → c′, g′ : d → d′ 〜⿴〘〛࣍〣ਤࣜぇՄ׵〠『぀〷〣〝 『぀ɻ Fc Fc′ Gd Gd′ Fg Gg′ f f ′
16. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Universality of comma categories F : C → U, G : D → U 〠ର「ɺ pr0 : F ↓ G → C, pr1 : F ↓ G → D ぇࣗવ〟ํ๏〜ఆٛ『぀ɻ〈〣 〝　ɺnatural transformation η: F ◦ pr0 ⇒ G ◦ pr1 ぇɺ η⟨c,d,f ⟩ : Fc → Gd ⿿ f 〝〟぀〽⿸〠ఆٛ〜　぀ɻ〈〣〝　ɺ೚ҙ〣 category X 〝 functor K : X → C, K′ : X → Dɺnatural transformation θ: F ◦ K ⇒ G ◦ K′ 〠〙⿶〛ɺH : X → F ↓ G ⿿Ұ ҙ〠ଘࡏ「〛࣍〣ਤࣜ⿿੒〿ཱ〙ɻ X F ↓ G D C U H G F η
17. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Part I: Category Theory Basic Definition Yoneda’s lemma Comma category Colimit Part II: Simplicial sets Simplicial sets Homotopy Part III: Quasi category Nerve of category Quasi category
18. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Colimit 1 ぇ object ⿿ 1 〙〜 morphism ⿿ identity 〣〴〣 category 〝『぀ɻ 〈〣〝　ɺ೚ҙ〣 category C 〠ର「Ұҙ〠 functor!: C → 1 ⿿ଘࡏ 『぀ɻ〳〔ɺ೚ҙ〣 objectc ∈ C ぇɺfunctor1 → C 〝〴〟【぀ɻ Functor F : C → D 〠ର「 d ∈ D ⿿ F 〣 colimit 〜⿴぀〝〤ɺ η: F ⇒ d◦! ⿿༩⿺〾ぁ〛⿶〛ɺ೚ҙ〣 d′ ∈ D 〝 θ: F ⇒ d′◦! 〠ର 「〛 τ : d ⇒ d′ ⿿Ұҙ〠ଘࡏ「〛࣍〣ਤࣜ⿿੒ཱ『぀ࣄぇݴ⿸ɻ C 1 D C 1 D F d′ θ F d′ η τ =
19. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Set-valued functor is colimit of representable functors Proposition. Functor F : Cop → Set 〠〙⿶〛ɺ߹੒ y ↓ F → C → SetCop 〣 colimit 〝 F 〤Ұக『぀ɻ〔〕「ɺy ↓ F 〜〣 F 〤 F ぇ functor 1 → SetCop 〝〴〟「〔〷〣〜⿴぀ɻ
20. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Proof. I ࣍〣ਤࣜぇߟ⿺぀〝ɺcomma category 〣ීวੑ〽〿఺ઢ〜ਤࣔ「 〔 functor ⿿⿴぀ɻ y ↓ F y ↓ G 1 C SetCop G y η 〈〈〜ɺy ↓ F 〣 object ⟨c, α⟩ ぇߟ⿺〔࣌ɺα: y(c) ⇒ F 〤 Fc 〣 ݩ〝〴〟【぀ɻ〙〳〿ɺy ↓ F 〣 object 〤 category C 〣 object 〝 Fc 〣ݩ〣૊〜⿴぀ɻ
21. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Proof. II 『぀〝ɺ఺ઢ〜ਤࣔ《ぁ〔 functor 〤֤ c 〠ର「〒〣ݩぇ Gc 〣ݩ 〠Ҡ『ɻ〈ぁ〠〽〘〛ࣸ૾ τc : Fc → Gc ⿿ఆ〳〿ɺ《〾〠〈ぁ〤 natural transformationτ ぇఆ〶぀ɻ〈〣࣌ɺ࣍〣ਤࣜ⿿੒〿ཱ〖ɺ Ұҙੑ〷໌〾⿾〟〔〶ɺ「〔⿿〘〛 F 〤߹੒ y ↓ F → C → SetCop 〣 colimit 〜⿴぀ɻ y ↓ F C SetCop 1 y G τ □
22. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Part I: Category Theory Basic Definition Yoneda’s lemma Comma category Colimit Part II: Simplicial sets Simplicial sets Homotopy Part III: Quasi category Nerve of category Quasi category
23. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Definition of simplicial sets Definition. △ ぇɺobject ⿿શॱংू߹ [n] = {0, 1, . . . , n} 〜⿴〿ɺmorphism ⿿ॱংぇอ〙ࣸ૾〜⿴぀〽⿸〟〷〣〝『぀ɻ〈〣〝　ɺSet△op ぇ sSet 〝ݺ〨ɺ〒〣ର৅ぇ simplicial set 〝ݺ〫ɻsimplicial set S 〠 ର「ɺ「〥「〥 S(n) 〣〈〝ぇ Sn 〝දه『぀ɻSn 〣ݩ〣〈〝ぇ n-simplex 〝දه『぀ɻ〳〔ɺy([n]) 〣〈〝ぇ ∆n 〝ॻ。ɻ໌〾⿾ 〠ɺHom(∆n, S) ∼ = Sn 〜⿴぀ɻsimplicial setX, Y ⿿⿴〘〔〝　ɺ શ〛〣 n 〠〙⿶〛 Xn ⊆ Yn ⿿੒〿ཱ〙࣌ X 〤 Y 〣 subcomplex 〜 ⿴぀〝ݴ⿸ɻ
24. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ (co)face,(co)degeneracy △ 〣 morphism 〝「〛ɺಛ〠࣍〣〽⿸〟〷〣⿿⿴぀ɻ 1. di : [n − 1] → [n], i ∈ [n]ɺ〔〕「 j < i 〣〝　 j → j, j ≥ i 〣〝　 j → j + 1 2. si : [n + 1] → [n], i ∈ [n]ɺ〔〕「 j ≤ i 〣〝　 j → j, j > i 〣〝　 j → j − 1 〳〔ɺ△ 〣೚ҙ〣 morphism 〤〈ぁ〾〣߹੒〠〽〘〛࡞぀〈〝⿿〜 　぀ɻ 《〾〠ɺ೚ҙ〣 simplicial set S 〠〙⿶〛ɺ〈ぁ〠ରԠ『぀࣍〣 morphism ⿿⿴぀ɻ 1. di : Sn → Sn−1, i ∈ [n] 2. si : Sn → Sn+1, i ∈ [n]
25. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Attachment ∂∆n m = ∪ n i=0 di (∆n)m 〠〽〘〛 ∂∆n ぇఆٛ『぀ɻsknX ぇ X 〣 n-simplex ぇશ〛ؚ〵࠷খ〣 simplicial set 〝『぀ɻ NXn ぇ Xn 〣෦෼ू߹〜⿴〘〛ɺ⿴぀ Xn−1 〣ݩ x 〠〙⿶〛 si (x) 〝〤ॻ々〟⿶〷〣〝『぀ɻ 〈〣〝　ɺ࣍⿿੒〿ཱ〙ɻ 『〟い〖ɺ ⨿ ∆n i = ⨿ x∈NXn ∆n i 〠〽〘〛 ⨿ ∆ ぇɺ ⨿ ∂∆n i = ⨿ x∈NXn ∂∆n i 〠〽〘〛 ⨿ ∆ ぇఆٛ「〔〝　ɺ sknX 〣 subcomplex 〝「〛ɺ skn−1X ∪ ⨿ ∆ = skn, skn−1X ∩ ⨿ ∆ = ⨿ ∂∆ 〝〟぀ɻ
26. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Geometric realization | ∆n | ぇ {(x0, x1, . . . , xn) | 0 ≤ xi ≤ 1, ∑ xi = 1} 〝「〔〝　ɺ 〈ぁ〤 functor △ → Top ぇఆ〶぀ɻ〔〕「 Top 〤Ґ૬ۭؒ〣〟『 categoryɻ simplicial set X ⿿⿴〘〔࣌ɺX 〣 geometric realization ぇɺ y ↓ X → △ → Top 〣 colimit 〝『぀ɻ
27. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Part I: Category Theory Basic Definition Yoneda’s lemma Comma category Colimit Part II: Simplicial sets Simplicial sets Homotopy Part III: Quasi category Nerve of category Quasi category
28. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Kan complex (Λn j )m = ∪ i̸=j di (∆n)m 〠〽〘〛 Λn j ぇఆٛ『぀ɻf : X → Y ⿿ Kan fibration 〜⿴぀〝〤ɺ೚ҙ〣 n, j 〝࣍〣ਤࣜ〠ର「ɺ఺ઢ〣 morphism ⿿ଘࡏ「〛ਤࣜぇՄ׵〠『぀〝　ぇݴ⿸ɻ Λn j ∆n X Y f 〳〔ɺ೚ҙ〣 simplicial set X 〠〙⿶〛 morphism X → ∆0 〤Ұҙ 〠ఆ〳぀ɻ〈ぁ⿿ Kan fibration 〜⿴぀〝　ɺX ぇ Kan complex 〝 ݺ〫ɻ
29. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Homotopy simplicial set X, Y 〝 morphisms f , g : X → Y ⿿⿴぀〝　ɺ X, Y ⿿ homotopic 〜⿴぀〝〤ɺ࣍〣ਤࣜぇՄ׵〠『぀ h: X × ∆1 → Y ⿿ଘࡏ『぀〈〝ぇݴ⿸ɻ X X X × ∆1 Y d1 d0 f g h 〳〔ɺ〈〣〝　 h 〤 f ⿾〾 g 〭〣 Homotopy 〜⿴぀〝ݴ⿸ɻ
30. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Homotopy Proposition. X ⿿ Kan complex 〜⿴぀〝　ɺHom(∆0, X) 〠⿼⿶〛 homotopy 〤 ಉ஋ؔ܎〠〟぀ɻ Proof. x : ∆0 → X ぇऔ぀〈〝〝 X 〣 0-simplex x ぇऔ぀〈〝〤ಉ஋〜⿴ ぀ɻ〳〔ɺ〒〣ؒ〣 homotopy 〤 X 〣 1-simplex ぇऔ぀〈〝〝ಉ」 〜⿴぀ɻx ∈ X0 〠ର「ɺs0(x) ぇ〝ぁ〥൓ࣹ཯〣੒ཱ⿿い⿾぀ɻ x, y, z ∈ X0 〝ɺx ⿾〾 y 〭〣 homotopyh,x ⿾〾 z 〭〣 homotopyh′ ⿿⿴〘〔࣌ɺd1(ω0) = h, d2(ω0) = h′ 〝〟぀〽⿸〟 ω0 : Λ2 0 → X ぇऔ぀〝ɺX ⿿ Kan complex 〜⿴぀〈〝〽〿⿴぀ ω ⿿⿴〘〛 ω0 〣 ֦ு〝〟〘〛⿶぀ɻ〈〣〝　 d0(ω) ぇݟぁ〥 z ⿾〾 y 〭〣 homotopy ⿿ಘ〾ぁɺ〈〈⿾〾ରশ཯〝ਪҠ཯⿿い⿾぀ɻ
31. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Part I: Category Theory Basic Definition Yoneda’s lemma Comma category Colimit Part II: Simplicial sets Simplicial sets Homotopy Part III: Quasi category Nerve of category Quasi category
32. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Nerve of category Definition. △ 〣 object[n] 〤ɺobject ⿿ 0 ≤ i ≤ n 〟぀ i 〜⿴〿ɺmorphism 〤 i ≥ j 〣࣌〠〔〕Ұ〙ଘࡏ『぀〽⿸〟〷〣〝『ぁ〥 category 〝〴〟 『〈〝⿿〜　぀ɻcategory C 〠ର「ɺ〒〣 nerve N(C) ぇ࣍〣〽⿸ 〠ఆٛ『぀ɻ『〟い〖ɺN(C)n = Hom([n], C)
33. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Characterization Proposition. simplicial set S 〠〙⿶〛ɺ࣍〣ೋ〙〣৚݅〤ಉ஋〜⿴぀ɻ 1. ⿴぀ category C ⿿⿴〘〛 S = N(C) 2. ೚ҙ〣 n, 0 < j < n 〝࣍〣ਤࣜ〠ର「ɺ఺ઢ〣 morphism ⿿Ұ ҙ〠ଘࡏ「〛ਤࣜぇՄ׵〠『぀ɻ Λn j ∆n S
34. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Proof. 1 ⇒ 2 〤ɺ0 ≥ k < n 〠ର「 ∆{k,k+1} → Λn j → N(C) ぇߟ⿺぀〝ɺ n ݸ〣߹੒Մೳ〟 C 〣 morphism ⿿ಘ〾ぁ぀〔〶ɺ〒ぁ〠ରԠ『぀ N(C) 〣 n-simplex ぇऔぁ〥〽⿶ɻ 2 ⇒ 1 ぇࣔ『〠〤ɺS 〣 0-simplex ぇ objectɺ1-simplex ぇ morphism 〝「ɺS 〣 1-simplexf , g 〠〙⿶〛Ծఆ〽〿 d2(τ) = f , d0(τ) = g 〝〟぀ 2-simplex τ ⿿औぁ぀〔〶ɺd1(τ) ぇ f , g 〣߹੒〝『ぁ〥〽⿶ɻ
35. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Part I: Category Theory Basic Definition Yoneda’s lemma Comma category Colimit Part II: Simplicial sets Simplicial sets Homotopy Part III: Quasi category Nerve of category Quasi category
36. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Definition of quasi categories Definition. simplicial set S 〜⿴〘〛ɺ೚ҙ〣 n, 0 < j < n 〝࣍〣ਤࣜ〠〙⿶ 〛ɺ఺ઢ〣 morphism ⿿ଘࡏ「〛ਤࣜぇՄ׵〠〜　぀〽⿸〟〷〣ぇ quasi category 〝ݺ〫ɻ Λn j ∆n S
37. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Hom of quasi categories S ⿿ quasi category 〜⿴぀〝　ɺS 〣 0-simplex ぇ objectɺ 1-simplex ぇ morphism 〝〷ݺ〫ɻ HomR(x, y) ぇɺHomR(x, y)n ⿿ S 〣 (n + 1)-simplex 〜⿴〘〛 ࠷ॳ〣 n ݸ〣௖఺⿾〾〟぀ n-simplex ⿿ x 〠〙〫ぁ〛⿶〛ɺ࠷ޙ〣 ௖఺⿿ y 〠⿴぀〽⿸〟〷〣〣ू߹〝〟぀〷〣〝『぀ɻ 〈〣〝　ɺHomR(x, y) 〤 Kan complex 〝〟぀ɻ
38. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Homotopy categories S ぇ quasi category 〝『぀ɻ S 〣 morphism f , g : a → b ⿿ homotopic 〜⿴぀〝〤ɺ d0σ = s0b, d1σ = g, d2σ = f 〟぀ 2-simplex σ ⿿ଘࡏ『぀〈〝ぇ ݴ⿸ɻhomotopic 〤ಉ஋ؔ܎〝〟぀ɻ〈〣〝　ɺobject ぇ S 〣 objectɺHom(a, b) ぇ S 〠⿼々぀ a ⿾〾 b 〭〣 morphism 〣ू߹ぇ homotopic 〜ׂ〘〔〷〣〝『぀〝ɺ〈ぁ〤 category 〝〟぀ɻ 〈⿸「〛〜　぀ category ぇ S 〣 homotopy category 〝ݺ〫ɻ
39. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Kan complex is ∞-groupoid Theorem. S ぇ quasi category 〝『぀〝　ɺ࣍〣ೋ〙〤ಉ஋〜⿴぀ɻ 1. S 〣 homotopy category 〤 groupoid 〜⿴぀ɻ 2. S 〤 Kan complex 〜⿴぀ɻ
40. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ࢀߟจݙ [1] alg d. ұେ੔Ҭ.http://alg-d.com/math/kan extension/,(ࢀর 2018-9-20) [2] Jacob,Lurie.Higher topos theory.2012,949p.
41. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 〉ਗ਼ௌ⿴〿⿿〝⿸〉》⿶〳「〔ɻ