たばねるはなし

fibrationについて

Transcript

1. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ͨ͹ͶΔ͸ͳ͠ @R O R I J O February 9, 2019
2. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Contents fibration simplicial set fibration quasi category quasi category Cartesian fibration
3. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ fibration simplicial set fibration quasi category quasi category Cartesian fibration
4. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Definition of simplicial sets Definition. S ͕ simplicial set Ͱ͋Δͱ͸, ඇෛ੔਺ n ʹରͯ͠ू߹ Sn ͕, ඇෛ ੔਺ k Λ k + 1 ݸͷݩΛ࣋ͭશॱংू߹ͱΈͳͨ͠ͱ͖ f : m → n ʹରͯ͠ S(f ): Sn → Sm ͕༩͑ΒΕ͍ͯͯ, S(id) = id, S(f ) ◦ S(g) = S(g ◦ f ) Λຬͨ͢ͱ͖Λݴ͏.
5. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Definition of simplicial sets Definition. S ͕ simplicial set Ͱ͋Δͱ͸, ඇෛ੔਺ n ʹରͯ͠ू߹ Sn ͕, ඇෛ ੔਺ k Λ k + 1 ݸͷݩΛ࣋ͭશॱংू߹ͱΈͳͨ͠ͱ͖ f : m → n ʹରͯ͠ S(f ): Sn → Sm ͕༩͑ΒΕ͍ͯͯ, S(id) = id, S(f ) ◦ S(g) = S(g ◦ f ) Λຬͨ͢ͱ͖Λݴ͏. Example. |∆n| = {(x0, . . . , xn) | ∑ n k=0 xk = 1} ͱ͢Δ. Ґ૬ۭؒ X ʹରͯ͠, Sing(X)n Λ࿈ଓࣸ૾ |∆n| → X શମͷͳ͢ू߹ͱ͢Δͱ͜Ε͸ simplicial set Λͳ͢.
6. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ morphism Definition. simplicial set S, T ʹ͍ͭͯ, morphism f : S → T ͱ͸, ֤ n ʹͭ ͍ͯࣸ૾ fn : Sn → Tn ͕༩͑ΒΕ͍ͯͯ, ͞Βʹ g : m → n ʹ͍ͭ ͯ T(g) ◦ fn = fm ◦ S(g) ͕੒Γཱͭͱ͖Λݴ͏. Sn Sm Tn Tm
7. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ morphism Definition. simplicial set S, T ʹ͍ͭͯ, morphism f : S → T ͱ͸, ֤ n ʹͭ ͍ͯࣸ૾ fn : Sn → Tn ͕༩͑ΒΕ͍ͯͯ, ͞Βʹ g : m → n ʹ͍ͭ ͯ T(g) ◦ fn = fm ◦ S(g) ͕੒Γཱͭͱ͖Λݴ͏. Sn Sm Tn Tm Remark. Ґ૬ۭؒͷؒͷࣹ f : X → Y ʹ͍ͭͯ, simplicial set ͷؒͷࣹ Sing(f ): Sing(X) → Sing(Y ) ͕ఆٛ͞ΕΔ.
8. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ some special simplicial sets Definition. ༗ݶશॱংू߹ J ʹ͍ͭͯ, ∆J m Λ m ͔Β J ΁ͷॱংΛอͭࣸ૾શ ମͷू߹ͱ͢Δ͜ͱͰ simplicial set ∆J ͕ఆٛͰ͖Δ. J = n ͷͱ ͖, ͜ΕΛ n-simplex ͱݺͿ. ·ͨ, ∂∆n Λ, ∂∆n m = ∪ 0≤k≤n ∆n−{k} m ͱͳΔΑ͏ʹఆٛ͢Δ. ·ͨ, 0 ≤ i ≤ n ʹ ର͠, (Λn i )m = ∪ 0≤k≤n,k̸=i ∆n−{k} m
9. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ fibration simplicial set fibration quasi category quasi category Cartesian fibration
10. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Kan complex Definition. ೚ҙͷඇෛ੔਺ n ͱ 0 ≤ i ≤ n ͳΔ i ͱ࣍ͷܗͷ͢΂ͯͷਤࣜʹର ͯ͠, ఺ઢͷࣹ͕ଘࡏͯ͠ਤࣜΛՄ׵ʹ͢Δͱ͖, X ͸ Kan complex Ͱ͋Δͱݴ͏. Λn i ∆n X
11. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Kan complex Definition. ೚ҙͷඇෛ੔਺ n ͱ 0 ≤ i ≤ n ͳΔ i ͱ࣍ͷܗͷ͢΂ͯͷਤࣜʹର ͯ͠, ఺ઢͷࣹ͕ଘࡏͯ͠ਤࣜΛՄ׵ʹ͢Δͱ͖, X ͸ Kan complex Ͱ͋Δͱݴ͏. Λn i ∆n X Remark. Ґ૬ۭؒ X ʹରͯ͠, Sing(X) ͸ Kan complex Ͱ͋Δ.
12. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ homotopy Definition. ࣹ f , g : X → Y ʹ͍ͭͯ, f ͔Β g ΁ͷ homotopy ͱ͸, ࣍ͷਤࣜ ΛՄ׵ʹ͢Δࣹ X × ∆1 → Y ͷ͜ͱͰ͋Δ. X × {0} X × {1} X × ∆1 Y
13. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ homotopy Definition. ࣹ f , g : X → Y ʹ͍ͭͯ, f ͔Β g ΁ͷ homotopy ͱ͸, ࣍ͷਤࣜ ΛՄ׵ʹ͢Δࣹ X × ∆1 → Y ͷ͜ͱͰ͋Δ. X × {0} X × {1} X × ∆1 Y Remark. Y ͕ Kan complex Ͱ͋Δͱ͖, homotopic ͸ಉ஋ؔ܎ʹͳΔ.
14. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ fibration Definition. ೚ҙͷඇෛ੔਺ n ͱ 0 < i < n ͳΔ i ͱ࣍ͷܗͷશͯͷਤࣜʹର͠ ͯ, ఺ઢͷࣹ͕ଘࡏͯ͠ਤࣜΛՄ׵ʹ͢Δͱ͖, ࣹ X → Y ͸ inner fibration ͱݴ͏. i = n ͷͱ͖΋͜Ε͕੒Γཱͭ࣌, ͜ΕΛ right fibration ͱݴ͏. Λn i ∆n X Y
15. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ fibration Definition. ೚ҙͷඇෛ੔਺ n ͱ 0 < i < n ͳΔ i ͱ࣍ͷܗͷશͯͷਤࣜʹର͠ ͯ, ఺ઢͷࣹ͕ଘࡏͯ͠ਤࣜΛՄ׵ʹ͢Δͱ͖, ࣹ X → Y ͸ inner fibration ͱݴ͏. i = n ͷͱ͖΋͜Ε͕੒Γཱͭ࣌, ͜ΕΛ right fibration ͱݴ͏. Λn i ∆n X Y Remark. simplicial set ʹ͍ͭͯɺ͔ͦ͜Β̍఺΁ͷࣹ͕ right fibration Ͱ͋ Δ͜ͱͱͦΕ͕ Kan complex Ͱ͋Δ͜ͱ͸ಉ஋.
16. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ fiber Definition. ࣹ f : X → Y ͱ Y ͷ௖఺ y ʹ͍ͭͯ, ࣍ͷਤࣜΛՄ׵ʹ͢Δ࠷େ ͷ X ͷ simplicial subset Λ y ্ͷ fiber ͱݺͼ, Xy ͱॻ͘. Xy {y} X Y
17. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ fiber Definition. ࣹ f : X → Y ͱ Y ͷ௖఺ y ʹ͍ͭͯ, ࣍ͷਤࣜΛՄ׵ʹ͢Δ࠷େ ͷ X ͷ simplicial subset Λ y ্ͷ fiber ͱݺͼ, Xy ͱॻ͘. Xy {y} X Y Remark. right fibration ʹରͯͦ͠ͷ೚ҙͷ fiber ͸ Kan complex Ͱ͋Δ.
18. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ some property of right fibrations Proposition. right fibration f : X → Y ͱ Y ͷ 1-୯ମ e ʹ͍ͭͯ, d1(e) = x, d0(e) = y ͱஔ͘. ͜ͷͱ͖, e ʹΑࣹͬͯ Xy → Xx ͕༠ಋ͞ΕΔ.
19. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ some property of right fibrations Proposition. right fibration f : X → Y ͱ Y ͷ 1-୯ମ e ʹ͍ͭͯ, d1(e) = x, d0(e) = y ͱஔ͘. ͜ͷͱ͖, e ʹΑࣹͬͯ Xy → Xx ͕༠ಋ͞ΕΔ. Remark. ͜ͷ໋୊͸, right fibration ͸ Kan complex ͷਤࣜΛ simplicial set ʹԊͬͯଋͶͨ΋ͷͰ͋Δͱ͍͏ࣄ࣮Λ͍ࣔࠦͯ͠Δ.
20. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ fibration simplicial set fibration quasi category quasi category Cartesian fibration
21. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ definition of quasi categories Definition. simplicial set S Ͱ͋ͬͯ೚ҙͷ n, ೚ҙͷ 0 < i < n ʹରͯ࣍͠ͷ ਤࣜΛߟ͑ͨ࣌, ఺ઢͷࣹ͕ଘࡏͯ͠ਤࣜΛՄ׵ʹ͢ΔΑ͏ͳ΋ͷ Λ quasi category ͱݺͿ. Λn i ∆n S Remark. ͭ·Γ, quasi category ͱ͸̍఺΁ͷࣹ͕ inner fibration Ͱ͋ΔΑ͏ ͳ simplicial set ͷ͜ͱͰ͋Δ.
22. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ example Example. 1. Kan complex ͸ quasi category Ͱ͋Δ. 2. simplicial set K ͔Β quasi category C ΁ͷࣹશମ͸ quasi category Λͳ͢. ͜ΕΛ CK ͱॻ͘. 3. Kan complex શମ͸ (େ͖ͳ)quasi category Λͳ͢. ͜ΕΛ S ͱॻ͘. 4. quasi category શମ͸ (େ͖ͳ)quasi category Λͳ͢. ͜ΕΛ Cat∞ ͱॻ͘.
23. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ slice Definition. simplicial set S, T ʹର͠, ɹ (S ⋆ T)n = Sn ∪ Tn ∪ n−1 ∪ k=0 Sk × Tn−k−1 ͱͳΔΑ͏ʹ join S ⋆ T Λఆٛ͢Δ.
24. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ slice Definition. simplicial set S, T ʹର͠, ɹ (S ⋆ T)n = Sn ∪ Tn ∪ n−1 ∪ k=0 Sk × Tn−k−1 ͱͳΔΑ͏ʹ join S ⋆ T Λఆٛ͢Δ. Definition. ࣹ p: K → S ʹର͠, X → S/p ͱ X ⋆ K → S Ͱ͋ͬͯ K ʹ੍ݶ͢ Δͱ p ͱҰக͢Δ΋ͷͱ͕ҰରҰରԠ͢ΔΑ͏ʹ S/p ΛఆΊΔ.
25. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ limit Definition. quasi category C ͷର৅ x ͕ऴର৅ (final) Ͱ͋Δͱ͸, ೚ҙͷ n ͱ ࣍ͷਤࣜʹରͯ͠఺ઢͷࣹ͕ଘࡏͯ͠ਤࣜΛՄ׵ʹ͢Δͱ͖Λݴ͏. ∂∆n ∆n C/x C
26. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ limit Definition. quasi category C ͷର৅ x ͕ऴର৅ (final) Ͱ͋Δͱ͸, ೚ҙͷ n ͱ ࣍ͷਤࣜʹରͯ͠఺ઢͷࣹ͕ଘࡏͯ͠ਤࣜΛՄ׵ʹ͢Δͱ͖Λݴ͏. ∂∆n ∆n C/x C Definition. simplicial set K ͱ quasi category C, p: K → C ʹରͯ͠, p ͷ limit ͱ͸ C/p ͷऴର৅ͷ͜ͱͰ͋Δ.
27. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ fibration simplicial set fibration quasi category quasi category Cartesian fibration
28. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Cartesian edge Definition. inner fibration f : X → S ʹ͍ͭͯ, X ͷ 1-୯ମ e ͕ Cartesian edge Ͱ͋Δͱ͸, ೚ҙͷ n ͱ࣍ͷਤࣜʹରͯ͠఺ઢͷࣹ͕ଘࡏͯ͠ਤࣜ ΛՄ׵ʹ͢Δͱ͖Λݴ͏. ∆{n−1,n} Λn n ∆n X S e
29. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Cartesian fibration Definition. inner fibration f : X → S ͕ Cartesian fibration Ͱ͋Δͱ͸, ೚ҙͷ S ͷ 1-୯ମ e′ : x′ → f (y) ʹର͠, ͋Δ Cartesian edge e : x → y ͕ ͋ͬͯ f (e) = e′ ͱͳΔͱ͖Λݴ͏.
30. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Cartesian fibration Definition. inner fibration f : X → S ͕ Cartesian fibration Ͱ͋Δͱ͸, ೚ҙͷ S ͷ 1-୯ମ e′ : x′ → f (y) ʹର͠, ͋Δ Cartesian edge e : x → y ͕ ͋ͬͯ f (e) = e′ ͱͳΔͱ͖Λݴ͏. Remark. Cartesian fibration ͷ fiber ͸ quasi category Ͱ͋Δ.
31. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ some property of Cartesian fibrations Proposition. Cartesian fibration f : X → Y ͱ Y ͷ 1-୯ମ e ʹ͍ͭͯ, d1(e) = x, d0(e) = y ͱ͢Δ. ͜ͷͱ͖, e ʹΑࣹͬͯ Xy → Xx ͕ ༠ಋ͞ΕΔ.
32. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ some property of Cartesian fibrations Proposition. Cartesian fibration f : X → Y ͱ Y ͷ 1-୯ମ e ʹ͍ͭͯ, d1(e) = x, d0(e) = y ͱ͢Δ. ͜ͷͱ͖, e ʹΑࣹͬͯ Xy → Xx ͕ ༠ಋ͞ΕΔ. Remark. ͜ͷ໋୊͸, Cartesian fibration ͸ quasi category ͷਤࣜΛ simplicial set ʹԊͬͯଋͶͨ΋ͷͰ͋Δͱ͍͏ࣄ࣮Λ͍ࣔࠦͯ͠Δ.
33. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ limit in quasi category of quasi categories p: Kop → Cat∞ ͸ quasi category ͷਤࣜͱࢥ͑Δ. Αͬͯ͜ΕΛଋ ͶΔ͜ͱͰ Cartesian fibration X → K ͕࡞ΕΔ. ͜͜Ͱ, K → X Ͱ͋ͬͯ K ͷ೚ҙͷ 1-simplex ͕ X ͷ Cartesian edge ʹҠΓ, X → K ͱ߹੒͢Δͱ id ʹͳΔΑ͏ͳ΋ͷશମͷͳ͢ quasi category Λߟ͑Δͱ, ͜Ε͸ p ͷ limit ʹͳ͍ͬͯΔ.
34. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ࢀߟจݙ Lurie, Jacob, Higher Topos Theory