HTTのススメ

Higher Topos Theoryの概略モドキ

Transcript

1. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ HTT ͷεεϝ @R O R I J O June 14, 2019
2. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ࣗݾ঺հ 1. HTT ΛಡΉ. 2. HA ʹखΛग़࢝͠Ί͍ͯΔ. 3. εΩʔϜʹڵຯ͕͋Δ. 4. ೚ҙͷू߹ʹ͍ͭͯͦΕΛؚΉ Grothendieck Ӊ஦͕ଘࡏ͢Δ ͜ͱΛԾఆ͍ͯ͠Δ.
3. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ໨࣍ simplicial set quasi category ∞-topos
4. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ simplicial set quasi category ∞-topos
5. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ simplicial set Definition. ۭͰͳ͍༗ݶશॱংू߹ͷݍͷࠎ֨Λ △ ͱ͓͘. n + 1 ݩ͔ΒͳΔ ༗ݶશॱংू߹ʹରԠ͢Δର৅Λ [n] ͱॻ͘. ͜ͷͱ͖, Set△op Λ sSet ͱॻ͖ɺͦͷର৅Λ simplicial set ͱݺͿ. simplicial set X ʹ͍ͭͯ, X([n]) ͷ͜ͱΛ Xn ͱॻ͘. y([n]) Λ n-simplex ͱݺͼ, ∆n ͱॻ͘.
6. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ಛผͳ simplicial set Definition. simplicial set Λn i Λ࣍ͷਤࣜͷ༨ۃݶͱͯ͠ఆٛ͢Δ. ⨿ 0≤k<k′≤n k,k′̸=i ∆n−2 ⇒ ⨿ 0≤k≤n k̸=i ∆n−1 ·ͨ, ∂∆n Λ࣍ͷਤࣜͷ༨ۃݶͱͯ͠ఆٛ͢Δ. ⨿ 0≤k<k′≤n ∆n−2 ⇒ ⨿ 0≤k≤n ∆n−1
7. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ simplicial set quasi category ∞-topos
8. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ quasi category Definition. simplicial set X ͕ quasi category Ͱ͋Δͱ͸, ೚ҙͷ n, 0 < i < n ͱ೚ҙͷ࣍ͷܗͷਤࣜʹ͍ͭͯ఺ઢͷࣹ͕ଘࡏͯ͠ਤࣜΛՄ׵ʹ͢ Δͱ͖Λݴ͏. i = 0, n ͷͱ͖΋͜Ε͕੒Γཱͭ࣌, Kan complex ͱݺͿ. Λn i ∆n X Remark. Kan complex ʹ͓͍ͯ͸ϗϞτϐʔ࿦͕ల։Ͱ͖Δ. ͜ͷϗϞτ ϐʔ࿦͸Ґ૬ۭؒͷϗϞτϐʔ࿦ͱϞσϧݍ࿦తʹ͸ಉ஋Ͱ͋Δ͜ ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ.
9. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ྫ Example. 1. Kan complex શମͷͳ͢ quasi category S 2. quasi category શମͷͳ͢ quasi category 3. Kan complex 4. ถాຒΊࠐΈ △ → Set△op ͷ inclusion △ → Cat ʹΑΔ Kan ֦ுʹΑͬͯ, ݍ͸ quasi category ͱࢥ͑Δ. 5. simplicial set K ͔Β quasi category C ΁ͷࣹͷͳ͢ quasi category Hom(K, C)
10. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ slice Definition. simplicial set X, Y ʹ͍ͭͯ, ͦͷ join X ⋆ Y Λ (X ⋆ Y )n = Xn ∪ Yn ∪ ∪ 0≤k≤n−1 Xk × Yn−k−1 ͱͳΔΑ͏ʹఆٛ͢Δ. Definition. simplicial set K, X, ࣹ f : K → X ʹ͍ͭͯ, Xf / Λ, ࣍ͷಉܕ͕ࣗ વʹ੒ΓཱͭΑ͏ʹఆٛ͢Δ. Hom(S, Xf / ) ∼ = Hom(K ⋆ S, X) ×Hom(K,X) {f } X/f ΋૒ରతʹఆٛ͢Δ.
11. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ limit Definition. quasi category X ʹ͍ͭͯ, ͦͷର৅ x ͕ X ͷ initial object Ͱ͋Δ ͱ͸, ͲΜͳ࣍ͷܗͷਤࣜʹ͍ͭͯ΋఺ઢͷࣹ͕ଘࡏͯ͠ਤࣜΛՄ ׵ʹ͢Δͱ͖Λݴ͏. Xx/ X ∂∆n ∆n Definition. simplicial set K, quasi category X, ࣹ f : K → X ʹ͍ͭͯ, ͋Δର ৅ x ͕ f ͷ colimit Ͱ͋Δͱ͸, x ͕ Xf / ͷ initial object Ͱ͋Δͱ ͖Λݴ͏. limit ΋૒ରతʹఆٛ͞ΕΔ.
12. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Hom Definition. quasi category C ͱͦͷର৅ x, y ʹ͍ͭͯ, HomR(x, y) Λ C/y ×C {x} ͱఆٛ͢Δ. Proposition. HomR(x, y) ͸ Kan complex Ͱ͋Δ. Definition. quasi category C ͱͦͷର৅ x ʹ͍ͭͯ, x ʹΑͬͯ corepresent ͞ Εͨؔख C → S Λ, C ͷର৅ y ʹରͯ͠ HomR(x, y) ΛׂΓ౰ͯ ΔΑ͏ʹఆٛ͢Δ.
13. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ filtered Definition. ਖ਼ଇج਺ κ ʹ͍ͭͯ, simplicial set K ͕ κ-small Ͱ͋Δͱ͸, શͯ ͷ n ʹ͍ͭͯ Kn ͷೱ౓͕ κ ະຬͰ͋Δͱ͖Λݴ͏. Definition. ਖ਼ଇج਺ κ ʹ͍ͭͯ, quasi category C ͕ κ-filtered Ͱ͋Δͱ͸, ೚ ҙͷ κ-small ͳ K ͱ K → C ʹ͍ͭͯ, ͦΕ͕ K ⋆ ∆0 → C ʹ֦ு Ͱ͖Δͱ͖Λݴ͏. Definition. quasi category C ͷର৅ x ͕ κ-compact ͱ͸, x ʹΑͬͯ corepresent ͞ΕΔؔख͕ κ-filtered colimit Λอͭͱ͖Λ͍͏.
14. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ presentable category Definition. quasi category C ͕ presentable category Ͱ͋Δͱ͸, ࣍ͷ৚݅Λຬ ͨ͢ͱ͖Λݴ͏. 1. ༨׬උͰ͋Δ. 2. Hom ͕খ͞ͳ Kan complex ͱ homotopy equivalent Ͱ͋Δ. 3. ਖ਼ଇج਺ κ ͱ κ-compact ͳ C ͷର৅͔ΒͳΔখ͞ͳू߹ S ͕ ͋Γ, C ͷ͢΂ͯͷର৅͸ S ͷݩͷ colimit ͱͯ͠ॻ͚Δ. Theorem. presentable category ͸׬උͰ͋Δ.
15. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ simplicial set quasi category ∞-topos
16. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ groupoid Definition. quasi category C ʹର͠, ࣹ N(△op) → C ͷ͜ͱΛ C ͷ simplicial object ͱݺͿ. Definition. C Λ quasi category ͱ͢Δ. simplicial object U : N(△op) → C ͕ groupoid Ͱ͋Δͱ͸, ೚ҙͷ S ∪ S′ = [n], S ∩ S′ = s ͳΔ S, S′ ʹ ͍ͭͯ, ࣍ͷਤ͕ࣜ pullback ʹͳ͍ͬͯΔͱ͖Λݴ͏. U([n]) U(S) U(S′) U({s})
17. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ effective groupoid Definition. ݍ △+ Λ, ༗ݶશॱংू߹ͷݍͷࠎ֨ͱ͢Δ. ۭͳશॱংू߹ʹର Ԡ͢Δର৅Λ [−1] ͱॻ͘. groupoid U : N(△op) → C ͕ effective Ͱ͋Δͱ͸, ͦΕ͕ U+ : N((△+)op) → C Ͱ͋ͬͯ U ͷ colimit Ͱ͋Γ, ͔ͭ࣍ͷਤࣜ ͕ pullback Ͱ͋ΔΑ͏ͳ΋ͷʹ֦ுͰ͖Δͱ͖Λݴ͏. U+([1]) U+([0]) U+([0]) U+([−1])
18. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ∞-topos Definition. presentable category C ͕ ∞-topos Ͱ͋Δͱ͸, ࣍ͷ৚݅Λຬͨ͢ ͱ͖Λݴ͏. 1. X ×Z colim Yλ ∼ = colim(X ×Z Yλ) 2. X ×X ⨿ Y Y = 0 3. groupoid ͕શͯ effective Example. SCop ͸ ∞-topos Ͱ͋Δ. ಛʹ S ͸ ∞-topos Ͱ͋Δ.
19. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ presentable category ͸ abelian group ͷྨࣅ෺ Proposition. presentable category ͷͳ͢ quasi category ʹ͓͍ͯ, ௚࿨ͱ௚ੵ͸ Ұக͢Δ. Definition. presentable category C ͱͦͷର৅ X, Kan complex K ʹ͍ͭͯ, K → C Λ X ΁ͷఆؔखͱ͢Δͱ͖, ͦͷ colimit Λ X ⊗ K ͱॻ͘.
20. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ S ͸ମͷྨࣅ෺ Proposition. ඇࣗ໌ͳ ∞-topos C ΁ͷ༨ۃݶͱ༗ݶۃݶΛอͭؔख F : S → C ʹ͍ͭͯ, F(x) ∼ = 0 ͱͳΔΑ͏ͳ x શମͷͳ͢ॆຬ෦෼ݍ I Λߟ͑ ͨ࣌, I = {0} Ͱ͋Δ. Definition. ∞-topos ͷ఺Λ, S ΁ͷ༨ۃݶͱ༗ݶۃݶΛอͭؔखͱͯ͠ఆٛ ͢Δ.
21. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ presentable category ͸ϕΫτϧۭؒͷྨࣅ෺ Definition. presentable category C, D ʹ͍ͭͯ, C ⊗ D Λ Cop ͔Β D ΁ͷۃ ݶΛอͭؔखશମͷͳ͢ quasi category ͱ͢Δ. Proposition. C, D Λ presentable category ͱ͢Δͱ͖, C ⊗ D ͸ presentable Ͱ ͋Δ. ·ͨ, E ΋ presentable category Ͱ͋Δͱ͖, FunL(C, FunL(D, E)) ∼ = FunL(C ⊗ D, E) Ͱ͋Δ. ͨͩ͠, FunL(X, Y ) ͸ X ͔Β Y ΁ͷ༨ۃݶΛอͭؔखશମͷͳ͢ quasi category ͷ͜ͱͱ͢Δ. Proposition. SCop ⊗ SDop ∼ = S(C×D)op
22. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ·ͱΊ 1. presentable category ͸ abelian group ΍ϕΫτϧۭؒͷΑ͏ʹ ৼΔ෣͏ʂ 2. ∞-topos ͸؀ͷΑ͏ʹৼΔ෣͏ʂ
23. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ࢀߟจݙ Lurie, Jacob, Higher Topos Theory Lurie, Jacob, Derived Algebraic Geometry II: Noncommutative Algebra