概率与随机

生活中充满了概率与随机，分享通过一些故事和例子介绍了秘书问题、蓄水池抽样算法、洗牌算法、猴子排序、遗传算法、卡方检测。

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1. 概率与随机 @Rick
2. 游戏中的赚钱奥秘
4. 2%到底意味着什么？
5. • 假设我只准备了 40 抽的钱，我有多⼤把握能抽到？ • 我想知道⾄少 80%的把握能抽到，我需要抽多少次？ • 对于x%的抽奖概率，80% 把握能抽到的次数是什么分布？ 1 − 1 − 𝑥 ! ≥ 0.8 𝑛 ≥ 𝑙𝑜𝑔"#$ 0.2 x n 1% 161 2% 80 0.8% 201
6. 柏拉图拾麦穗
7. ᆃࣼ൞ι౦b 柏拉图空手而归 ၹູࠧ൐ु֞ޓն֥đ ֌Ⴛሹஃభ૫Ⴕ۷ն֥b ູ൉હ൉હ္ીᅋĤ ᅋ۱ቋն֥ચ෠đ֌ᆺ ॖཟభሼđᆺିᅋ၂Ցb ൉હ൞ι౦Ĥ
8. ᆃࣼ൞߾ၽb 柏拉图砍了一颗普通的树 ႵਔഈՑ֥࢝࿞đु֞ ҵ҂؟֥ࣼीਔb ູ൉હᆃહ௴๙Ĥ ी॒ቋն֥ඎđܿ ᄵބഈՑ၂ဢb ൉હ൞߾ၽĤ
9. 秘书问题（Secretary Problem） • 从给定数量的 N 个候选⼈中雇⽤最好的秘书。 • 在⾯试结束后，必须⽴即做出录取或淘汰的决定。 • ⾯试结束前没有⼈被录取，那么就选择最后⼀名候选⼈。 P(选第 i 个且第 i 个是最好的) = " %
10. 秘书问题（Secretary Problem） 录取比淘汰里都好的一个 R N 对于总人数 N，首先淘汰 R 个，录取从 R + 1 开始比 1~R 里都好的那个人。
11. 秘书问题（Secretary Problem） 取 N = 3 • 若 R = 0，等同于直接录取第⼀个，P = " & • 若 R = 2，等同于直接录取第三个，P = " & • 若 R = 1 # 1 2 3 录取结果 1 差 中 优 失败 2 差 优 中 成功 3 中 差 优 成功 4 中 优 差 成功 5 优 差 中 失败 6 优 中 差 失败 P = - .
12. 𝑃 𝑅 = ∑!"#$% & 𝑃(选 𝑛𝑡ℎ 且 n𝑡ℎ 是最好的) = ∑!"#$% & 𝑃 𝑛𝑡ℎ 是最好的 𝑃(第 2 好的在前 𝑅 中) = ∑!"#$% & % & # !'% = # & ∑!"#$% & % !'% = R * ∫ # % % ( 𝑑𝑡 秘书问题（Secretary Problem） -xlog(𝑥)
13. 秘书问题（Secretary Problem）
14. 秘书问题（Secretary Problem） 当 R = " ' 𝑁 时，P(R*) 最大，趋近于 " ' ≈ 0.37 - 0 定律
15. 质检员张全蛋
16. 富⼟康 3 号流⽔线 • 需要抽取 k 台手机检查，在流水线停止前不知道总数 • 只遍历一遍流水线的情况下，如何决定抽取哪些？
17. 蓄⽔池抽样算法 k 大小蓄水池 • 当样本数小于 k 时，直接放入蓄水池 • 从 k+1 开始，第 m 个样本以 ( ) 的概率放入蓄水池，否则丢弃 放入蓄水池时，从蓄水池样本中随机挑取一个替换掉（各 " ( 概率） ) * % ) ) + 4 5 1 2 3
18. P(保留5th) = & * P(保留4th) = P(保留 4th AND 没有被 5th 替换) = P(保留 4th) * P(没有被 5th 替换) = & + * P(没有保留 5th OR 保留了 5th 但是没有替换 4th) = & + * (, * + & * ∗ , & ) = & * P(保留3rd) = P(保留 3rd AND 没有被 4th 替换 AND 没有被 5th替换) = 1 * (" + + & + ∗ , & ) ∗ (, * + & * ∗ , & ) = & + * + * = & * = 1 * P(没留 4th OR 留 4th 但没替 3rd) * P(没留 5th OR 留 5th 但没替 3rd) ) * % ) ) + 4 5 1 2 3 P(保留2nd) = P(保留1st) = P(保留3rd) = & *
19. P(保留ith | i > k) = P(保留 ith AND 没有被 i+1th ~ nth替换) = ( - * ∏).-/" ! )#" ) = ( - * ( - -/" * -/" -/, * … * !#" ! ) = ( - ∗ - ! = ( ! = ( - * ∏).-/" ! ()#( ) + ( ) ∗ (#" ( ) P(保留ith | i <= k) = P(没有被 i+1th ~ nth替换) = ∏).(/" ! )#" ) = ( (/" * (/" (/, * … * !#" ! = 𝑘 𝑛 = ∏).(/" ! ()#( ) + ( ) ∗ (#" ( ) , - % , i 1 .. k = ( - * (-/"#( -/" + ( -/" ∗ (#" ( ) * (-/,#( -/, + ( -/, ∗ (#" ( ) * … * (!#( ! + ( ! ∗ (#" ( )
20. 蓄⽔池抽样算法
21. 羊了个羊
23. 洗牌算法（Shuffle） 公平的洗牌算法怎么才算公平？ • ⻓度为 n 的数组，⼀共有 n! 种排列⽅式 • 等概率返回其中⼀种，是⼀种公平的洗牌算法 • O(n!) • 重复 k 次交换随机的两个元素 • k 取多少算公平？
24. Knuth 洗牌算法
25. 猴子排序
26. 在计算机科学中，Bogo 排序（bogo-sort）是个⾮常低效率的排序算法，通常⽤在教学或测试。其原理等同将 ⼀堆卡⽚抛起，落在桌上后检查卡⽚是否已整⻬排列好，若⾮就再抛⼀次。其名字源⾃ Quantum bogodynamics，⼜称 bozo sort、blort sort 或猴⼦排序（参⻅⽆限猴⼦定理）。
27. 扫地机器人罗比
28. 扫地机器⼈罗⽐ • 罗比只能看到上下左右和当前位置的情况。 • 每次清理执行 200 次动作，动作可以是：向上走， 向下走，向左走，向右走，随机一个方向走、 捡罐头、不动。 • 每一个动作执行完以后都会有一个评分： 如果捡罐头时格子有罐头，那么罐头被捡起，加 10 分; 如果捡罐头的时候格子中没有罐头，扣 1 分; 如果罗比撞到了墙，扣 5 分。 • 什么样的策略能获得更多的分？
29. 扫地机器⼈罗⽐ • 状态总数 一共有 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 种状态。 • 策略总数 7.*)
30. 扫地机器⼈罗⽐ 1524550212564440633551413624533512004514551231516041623242660040402560600520043164 0145620344333422514115645105023510625635424506314301134042262604435644440030055563 1325215155436144345164455440161256251412661563442063025020602255536510141514365 生成一种策略
31. 遗传算法 1. 初始化种群：随机生成 200 个个体 2. 计算适应度：对 200 个个体进行评分，评分的规则是让罗比打扫 1000 次世界，每次打扫世界都是随机生成的， 且每次打扫罗比移动 200 步，最后算出这 1000 次打扫的平均分。 3. 杂交：根据所有个体的得分，随机选取两个个体进行杂交，得分越高的个体越容易被选中。杂交会生成两个子 代，将子代放入新种群。重复这个过程，直到新种群的个数达到 200 个。 4. 突变：子代的一个或多个基因会有一定的概率发生突变，发生突变的基因会随机变为其他的动作，比如从 1 变 为 6。 5. 迭代：重复以上的过程，直到达到 1000 代。
32. 遗传算法 15245502125644406335514136245335120045145 40402560600520043164014562034433342251411 15245502125644406335014562034433342251411 40402560600520043164514136245335120045145 40402560600520043164514136345335120045145
33. 遗传算法
34. AB Test
35. 系统设计
36. 分组逻辑
37. Ken: Math.random() 是随机的吗？你怎么证明？
38. 卡⽅检验（Chi-Square Test） 🎲 1 2 3 4 5 6 实际值 12 18 16 13 20 21 期望值 16.6 16.6 16.6 16.6 16.6 16.6 V = 4.04
39. Thanks!