Monge の手引書

Monge の手引書 @tatyam_prime 1

注意事項証明はあんまりやりません。証明を読みたい人は [Monge まとめ①] Monge 性とは？ – HackMD Knuth-Yao
speedup – 週刊 spaghetti_source とかを読んでみてください 2

凸包の双対問題ってありますよね？凸包の双対問題本の直線が与えられる各での最小値を求めたい。 N
l , … , l 1 N x L(x) = min{l (x), … , l (x)} 1 N 3

凸包の双対問題本の直線が与えられる各での最小値を求めたい。 N l
, … , l 1 N x L(x) = min{l (x), … , l (x)} 1 N 4

凸包の双対問題なんだから、凸包を解くアルゴリズムの双対で解ける。 Andrew's monotone chain の双対 1. 直線を傾きでソートする 5

Andrew's monotone chain の双対 1. 直線を傾きでソートする 2. の順に以下を行う i.
直線を追加する i = 1, … , N l i 6

直線を追加する ii. 「一つ前の直線が不要であれば削除する」を繰り返す i = 1, … , N l i 10

ところで何が双対なの？ 2 回の変換で元に戻るならなんでも双対なので、あらゆるものが双対と呼ばれている 16

点を直線に、直線を点に変換する双対変換 https://www.jaist.ac.jp/~uehara/c ourse/2014/i481f/pdf/ppt-3.pdf p.37 17

下側凸包と各での最小値が対応している https://www.jaist.ac.jp/~uehara/c ourse/2014/i481f/pdf/ppt-3.pdf p.38 x 18

だから双対なんですね〜 Andrew's monotone chain 1. 点を座標でソートする 2. の順に以下を行う i.
点を追加する ii. 「一つ前の点が不要であれば削除する」を繰り返すの双対 (CHT) 1. 直線を傾きでソートする 2. の順に以下を行う i. 直線を追加する ii. 「一つ前の直線が不要であれば削除する」を繰り返す → 本質的に同じアルゴリズム x i = 1, … , N p i i = 1, … , N l i 19

もし直線が曲線だったら？曲線群に対しても同じアルゴリズムで最小値を求めたい！ 21

もし直線が曲線だったら？つの曲線が複数回交差していると困る一度捨てた曲線が再び最小値を取るかもしれないので → 「つの曲線が交差する回数は回以下」を仮定してみる 2
2 1 22

もし直線が曲線だったら？「つの曲線が交差する回数は回以下」を仮定する → これだけで、さっきの直線に対するアルゴリズムが使えるようになる！一度最小値でなくなった曲線は捨てて良いので
2 1 23

Andrew's monotone chain の双対 1. 曲線を傾きでソートするどうやって？ 24

直線のとき直線を無限に左に伸ばせば傾きでソートできる 25

Andrew's monotone chain の双対 1. 曲線を無限に左に伸ばしたときの高さでソートする 2. の順に以下を行う
i. 直線を追加する ii. 「一つ前の直線が不要であれば削除する」を繰り返す (実演) i = 1, … , N l i 26

行列を作る曲線群をいくつかの座標で切って、その位置での値で行列を作ってみる x l 1 l
2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 x 1 7 11 20 24 50 38 118 27

行列を作る l 1 l 2 l 3
l 4 l 5 l 6 l 7 x 1 7 11 20 24 50 38 118 x 2 23 13 17 16 36 18 62 28

l 4 l 5 l 6 l 7 x 1 7 11 20 24 50 38 118 x 2 23 13 17 16 34 18 62 x 3 47 22 21 16 31 6 36 29

l 4 l 5 l 6 l 7 x 1 7 11 20 24 50 38 118 x 2 23 13 17 16 36 18 62 x 3 47 22 21 16 31 6 34 x 4 75 42 37 25 34 4 7 30

こうしてできた行列は、曲線群のときの制約を保存している行列の性質任意のつの列を取り出すと、上から何行かの大小関係が向きで、残りの行の大小関係が向きである。
2 < > l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 x 1 7 11 20 24 50 38 118 x 2 23 13 17 16 36 18 62 x 3 47 22 21 16 31 6 34 x 4 75 42 37 25 34 4 7 31

行列の性質任意のつの列を取り出すと、上から何行かの大小関係が向きで、残りの行の大小関係が向きである。向きの後向きになることはない
→ もしそうなったら、最初に曲線をソートしたことに矛盾 2 < > > < 32

行列の性質任意のつの列を取り出すと、上から何行かの大小関係が向きで、残りの行の大小関係が向きである。 →
このような行列を totally monotone 行列と言う 2 < > l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 x 1 7 11 20 24 50 38 118 x 2 23 13 17 16 36 18 62 x 3 47 22 21 16 31 6 34 x 4 75 42 37 25 34 4 7 33

totally monotone 行列の実数の行列であって、任意のつの列を取り出すと、上から何行かの大小関係が向きで、残りの行の大小関係が向きであるようなもの。 totally
monotone が出てきたら、つの曲線が高々度しか交わらないような曲線群を思い出すと良い。 N × M 2 < > 2 1 34

monotone 行列 totally monotone より弱いの実数の行列であって、各行の最小値を取る位置が、下の行に行くにつれて右になるようなもの。 N ×
M l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 x 1 7 11 20 24 50 38 118 x 2 23 13 17 16 36 18 62 x 3 47 22 21 16 31 6 34 x 4 75 42 37 25 34 4 7 35

totally monotone ならば monotone monotone でないと仮定すると… l 1 l
2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 x 1 7 11 20 24 50 38 118 x 2 47 22 21 16 31 6 34 x 3 23 13 17 16 36 18 62 x 4 75 42 37 25 34 4 7 36

totally monotone ならば monotone monotone でないと仮定すると… 本の曲線を取り出せば… 大小関係が逆になっているので totally monotone
でない。 2 l 2 l 6 x 1 11 38 x 2 22 6 x 3 13 18 x 4 42 4 37

ところで monotone っていう名前が被る線形代数における monotone matrix 線形代数とは分野が離れているので良いとして集合関数における monotone (単調)
日本語で「単調」と言ったらこちらを指すことにします ∀v ∈ R : M Av ≥ 0 ⟹ v ≥ 0 X ⊂ Y ⟹ f(X) ≤ f(Y ) 38

曲線群の最小値を求める問題は以下のように変換された。行最小値問題実数からなる行列が与えられる。の各行での最小値 (がどこにあるか) を求めよ。つまり、について以下を求めよ。
b[i] = A j=1,…,M arg min i,j 今日はこの問題を深掘りしてみましょう (注 : 行列は totally monotone とは限らない) N × M A A i = 1, … , N 39

workshop 今から適当な行列を表示するので、各行の最小値を求めてください。 40

workshop 各行での最小値 (がどこにあるか) を求めよ。 l 1 l 2
l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 x 1 25 62 47 78 36 66 50 79 x 2 49 70 64 73 46 64 93 16 x 3 27 48 75 67 49 74 33 66 x 4 23 48 88 59 42 67 65 31 x 5 87 43 80 34 44 48 35 45 x 6 93 37 85 27 66 56 90 97 41

workshop 各行での最小値 (がどこにあるか) を求めよ。答え : l 1 l
2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 x 1 25 62 47 78 36 66 50 79 x 2 49 70 64 73 46 64 93 16 x 3 27 48 75 67 49 74 33 66 x 4 23 48 88 59 42 67 65 31 x 5 87 43 80 34 44 48 35 45 x 6 93 37 85 27 66 56 90 97 25, 16, 27, 23, 34, 27 42

行最小値問題実数からなる行列が与えられる。の各行での最小値 (がどこにあるか) を求めよ。計算量は？全部調べるしかない。時間
N × M A A Θ(NM) 43

monotone の場合は？について以下を求めよ。 b[i] = A j=1,…,M arg
min i,j ただし、である。これならもう少し効率的に求められそう！ i = 1, … , N b[1] ≤ b[2] ≤ ⋯ ≤ b[N] 44

workshop 今から monotone 行列を表示するので、各行の最小値を求めてください。 45

workshop 各行での最小値 (がどこにあるか) を求めよ。ただし行列は monotone である。 l 1 l
2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 1 82 13 45 14 99 41 53 99 25 26 x 2 13 40 12 65 25 84 20 82 84 18 x 3 89 36 22 49 47 81 35 95 68 72 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 x 5 82 51 99 48 28 36 99 75 79 32 x 6 55 97 57 71 37 81 91 83 91 41 x 7 44 24 67 89 41 91 11 76 78 61 46

workshop 各行での最小値 (がどこにあるか) を求めよ。ただし行列は monotone である。答え : l
1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 1 82 13 45 14 99 41 53 99 25 26 x 2 13 40 12 65 25 84 20 82 84 18 x 3 89 36 22 49 47 81 35 95 68 72 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 x 5 82 51 99 48 28 36 99 75 79 32 x 6 55 97 57 71 37 81 91 83 91 41 x 7 44 24 67 89 41 91 11 76 78 61 13, 12, 22, 32, 28, 37, 11 47

workshop コツは掴めましたか？ monotone 行列の定義 b[1] ≤ b[2] ≤ ⋯ ≤
b[N] をうまく使いましょう。 48

これを効率的にした結果できるアルゴリズムがこちらです。 monotone minima monotone 行列の各行の最小値をで求めるアルゴリズム Θ(N + M log
N) 49

monotone minima 1. 中央の行の最小値を見つける l 1 l 2
l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 1 82 13 45 14 99 41 53 99 25 26 x 2 13 40 12 65 25 84 20 82 84 18 x 3 89 36 22 49 47 81 35 95 68 72 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 x 5 82 51 99 48 28 36 99 75 79 32 x 6 55 97 57 71 37 81 91 83 91 41 x 7 44 24 67 89 41 91 11 76 78 61 50

l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 51

l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 52

ここで monotone 性を使います monotone minima 1. 中央の行の最小値を見つける 2. 最小値にならない部
分を捨てる長方形領域つが残りました 2 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 1 82 13 45 14 99 41 53 99 25 26 x 2 13 40 12 65 25 84 20 82 84 18 x 3 89 36 22 49 47 81 35 95 68 72 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 x 5 82 51 99 48 28 36 99 75 79 32 x 6 55 97 57 71 37 81 91 83 91 41 x 7 44 24 67 89 41 91 11 76 78 61 54

monotone minima 1. 中央の行の最小値を見つける 2. 最小値にならない部分を捨てる 3. 残った 2 個の長方形について再帰的に解
く l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 x 1 82 13 45 14 99 x 2 13 40 12 65 25 x 3 89 36 22 49 47 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 5 28 36 99 75 79 32 x 6 37 81 91 83 91 41 x 7 41 91 11 76 78 61 55

monotone minima 1. 中央の行の最小値を見つける 2. 最小値にならない部分を捨てる 3. 残った 2 個の長方形について再帰的に解
く l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 x 1 82 13 45 14 99 x 2 13 40 12 65 25 x 3 89 36 22 49 47 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 5 28 36 99 75 79 32 x 6 37 81 91 83 91 41 x 7 41 91 11 76 78 61 56

monotone minima 1. 中央の行の最小値を見つける 2. 最小値にならない部分を捨てる 3. 残った 2 個の長方形について再帰的に解く
monotone 行列の行最小値がで求められる定数倍が軽く、系のアルゴリズム (SMAWK, LARSCH など) と区別するのがやや難しい Θ(N + M log N) Θ(N + M) 57

monotone minima monotone 行列の行最小値がで求められるところで行列の入力に掛かってしまうのでは？ Θ(N +
M log N) Θ(NM) 58

行列の入力に掛かってしまうのでは？ → 行番号と列番号を与えると値をで計算してくれる関数が与えられると思うと良い。例えば、
の計算に時間掛かる場合は、計算量にが掛かります。 Θ(NM) i j Θ(1) A(i, j) A(i, j) Θ(log N) Θ(log N) 59

monotone minima にはもうひとつの解釈がある… もうひとつの解釈 1. 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 2. 最小値にならない部分を捨てる 3. 残りの部分の最小値を求める
60

もうひとつの解釈 1. 偶数行のみを取り出して再帰的に解く l 1 l 2

l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 2 13 40 12 65 25 84 20 82 84 18 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 x 6 55 97 57 71 37 81 91 83 91 41 62

もうひとつの解釈 1. 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 2. 残りの部分の最小値を求める ( 回の比較を行う)
M − 1 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 63

もうひとつの解釈 1. 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 2. 残りの部分の最小値を求める ( 回の比較を行う)
M − 1 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 64

l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 2 13 40 12 65 25 84 20 82 84 18 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 x 6 55 97 57 71 37 81 91 83 91 41 65

もうひとつの解釈 1. 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 2. 最小値にならない部分を捨てる l 1
l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 2 13 40 12 65 25 84 20 82 84 18 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 x 6 55 97 57 71 37 81 91 83 91 41 66

もうひとつの解釈 1. 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 2. 最小値にならない部分を捨てる 3. 残りの部分の最小値を求める
( 回の比較を行う) M − 1 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 2 13 40 12 65 25 84 20 82 84 18 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 x 6 55 97 57 71 37 81 91 83 91 41 67

( 回の比較を行う) M − 1 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 2 13 40 12 65 25 84 20 82 84 18 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 x 6 55 97 57 71 37 81 91 83 91 41 68

もうひとつの解釈 1. 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 2. 最小値にならない部分を捨てる l 1
l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 1 82 13 45 14 99 41 53 99 25 26 x 2 13 40 12 65 25 84 20 82 84 18 x 3 89 36 22 49 47 81 35 95 68 72 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 x 5 82 51 99 48 28 36 99 75 79 32 x 6 55 97 57 71 37 81 91 83 91 41 x 7 44 24 67 89 41 91 11 76 78 61 70

( 回の比較を行う) やっていることとしてはこちらの解釈でも同じですね M − 1 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 x 1 82 13 45 14 99 41 53 99 25 26 x 2 13 40 12 65 25 84 20 82 84 18 x 3 89 36 22 49 47 81 35 95 68 72 x 4 50 68 73 68 32 59 35 64 99 76 x 5 82 51 99 48 28 36 99 75 79 32 x 6 55 97 57 71 37 81 91 83 91 41 x 7 44 24 67 89 41 91 11 76 78 61 71

totally monotone 行列の場合 totally monotone 行列の行最小値はより高速に求められないか？ Θ(N +
M log N) 72

SMAWK algorithm totally monotone 行列の行最小値はで求められる。 Geometric applications of a
matrix-searching algorithm, Algorithmica volume 2, pp. 195–208 (1987) 論文の著者 Peter Shor Shlomo Moran Alok Aggarwal Robert Wilber Maria M. Klawe Θ(N + M) 73

monotone minima に一工夫加えると SMAWK algorithm になる monotone minima 1. 偶数行のみを取り出して再帰的に解く
2. 最小値にならない部分を捨てる 3. 残りの部分の最小値を求める ( 回の比較を行う) M − 1 74

monotone minima に一工夫加えると SMAWK algorithm になる SMAWK algorithm 1. "Reduce"
step : 最小値にならない列を捨てる 2. "Recurse" step : 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 3. 最小値にならない部分を捨てる 4. "Interpolate" step : 残りの部分の最小値を求める ( 回の比較を行う) M − 1 75

"Reduce" step は何をしているかというと… SMAWK algorithm 1. "Reduce" step : 最小値になら
ない列を捨てる 2. "Recurse" step : 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 3. 最小値にならない部分を捨てる 4. "Interpolate" step : 残りの部分の最小値を求める: "Reduce" step 入力 : の totally monotone 行列出力 : 最小値を取り得ない列個計算量 : 計算量は？ Θ(N + M) N × M M − N Θ(M) 76

計算量は？行も列も再帰のたびに半分になっていくから、全体で時間 Θ(N + M) 77

"Reduce" step 入力 : の totally monotone 行列出力 :
最小値を取り得ない列個から始めて、以下を繰り返す。マスとマスを比較する。最小値が存在しないことが分かった列を捨てる。捨てた場合はを減らし、捨てなかった場合はを増やす。実際にやってみよう N × M M − N i = 1 (i, i) (i, i + 1) i i 78

totally monotone の復習任意のつの列を取り出すと、上から何行かの大小関係が向きで、残りの行の大小関係が向きである。
を見つけたら上に伝播するを見つけたら下に伝播する 2 < > < > 79

"Reduce" step とを比較する。要らなくなった列は捨てる。
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 2 22 38 27 49 64 61 54 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 5 25 35 10 28 43 40 33 l 6 32 42 17 27 42 39 32 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 9 44 54 29 37 38 27 20 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l 11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 を見つけたので上に伝播、が最小値でない以外は分からないので次の行に進む (i, i) (i, i + 1) < 22 80

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 2 22 38 27 49 64 61 54 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 5 25 35 10 28 43 40 33 l 6 32 42 17 27 42 39 32 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 9 44 54 29 37 38 27 20 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l 11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 を見つけたので下に伝播、の列はどれも最小値でないことが分かるので捨てることができる (！) (i, i) (i, i + 1) > l 2 81

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 5 25 35 10 28 43 40 33 l 6 32 42 17 27 42 39 32 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 9 44 54 29 37 38 27 20 l10 48 58 33 41 42 25 16 l 11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 捨てたので行目の比較をやり直し。なので上に伝播 (i, i) (i, i + 1) 1 < 82

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l4 20 30 9 31 46 43 35 l 5 25 35 10 28 43 40 33 l 6 32 42 17 27 42 39 32 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 9 44 54 29 37 38 27 20 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 なので上に伝播 (i, i) (i, i + 1) < 83

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l4 20 30 9 31 46 43 35 l 5 25 35 10 28 43 40 33 l 6 32 42 17 27 42 39 32 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 9 44 54 29 37 38 27 20 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 (i, i) (i, i + 1) 84

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l4 20 30 9 31 46 43 35 l 5 25 35 10 28 43 40 33 l 6 32 42 17 27 42 39 32 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 9 44 54 29 37 38 27 20 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 を見つけたので下に伝播、の列はどれも最小値でないことが分かるので捨てることができる (i, i) (i, i + 1) > l 5 85

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 6 32 42 17 27 42 39 32 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 9 44 54 29 37 38 27 20 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l 11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 (i, i) (i, i + 1) 86

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 6 32 42 17 27 42 39 32 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 9 44 54 29 37 38 27 20 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l 11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 (i, i) (i, i + 1) 87

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 9 44 54 29 37 38 27 20 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l 11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 (i, i) (i, i + 1) 88

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l 11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 (i, i) (i, i + 1) 92

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l 11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 (i, i) (i, i + 1) 93

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l 11 52 62 37 45 46 29 12 l 12 59 69 44 52 53 36 15 l 13 54 64 39 47 48 31 10 最後の行までやってきました。が上に伝播すると、なんとの列を捨てることができます。 (i, i) (i, i + 1) < l12 94

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l11 52 62 37 45 46 29 12 l 13 54 64 39 47 48 31 10 (i, i) (i, i + 1) 95

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l 13 54 64 39 47 48 31 10 (i, i) (i, i + 1) 96

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 l 1 10 34 23 45 60 57 50 l 3 19 29 16 38 53 50 43 l 4 20 30 9 31 46 43 35 l 7 32 42 17 25 34 31 24 l 8 43 53 28 36 37 34 27 l 10 48 58 33 41 42 25 16 l 13 54 64 39 47 48 31 10 列の数が行の数まで減った！ (i, i) (i, i + 1) 97

まとめ SMAWK algorithm totally monotone 行列の各行の最小値を求める。 1. "Reduce" step :
最小値にならない列を捨てる 2. "Recurse" step : 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 3. 最小値にならない部分を捨てる 4. "Interpolate" step : 残りの部分の最小値を求める行も列も再帰のたびに半分になっていくから、全体で時間 Θ(N + M) 98

そろそろ Monge のおはなしをしよう Monge 行列とは？ Gaspard Monge さんが発見した良い性質 Monge totally
monotone monotone 競プロの問題だと、TM だけど Monge でないことはあまりない競プロの問題だと、monotone だけど TM でないことはあまりないつまり、Monge totally monotone monotone (？？？) ⟹ ⟹ ⟺ ⟺ 99

Monge 行列 (定義) 実数からなる行列であって、以下の条件を満たすものおよびを満たすすべての整数の組について、が成り立つ。
ABC224 B - Mongeness N × M A 1 ≤ i < 1 i ≤ 2 N 1 ≤ j < 1 j ≤ 2 M (i , i , j , j ) 1 2 1 2 A + i ,j 1 1 A ≤ i ,j 2 2 A + i ,j 2 1 A i ,j 1 2 100

Monge 行列 (例) A = [ 5 3
8 5 ] なので A + 1,1 A ≤ 2,2 A + 1,2 A 2,1 101

Monge は最短路問題で捉えると分かりやすい Monge 単一始点最短路問題頂点の重み付き有向 DAG があります。頂点から頂点へ (
) 移動するコストはで、は Monge です。頂点から頂点へ移動する最小コストをそれぞれ求めてください。 → 時間のアルゴリズムが存在する N + 1 i j i < j A i,j A 0 1, 2, … , N Θ(N) 102

Monge のおきもち A + i ,j 1
1 A ≤ i ,j 2 2 A + i ,j 2 1 A i ,j 1 2 これなに？ 103

さっきの曲線群で捉えた場合は… Monge のおきもち (1) A + i ,j
1 1 A ≤ i ,j 2 2 A + i ,j 2 1 A i ,j 1 2 A − i ,j 1 1 A ≤ i ,j 1 2 A − i ,j 2 1 A i ,j 2 2 曲線から曲線を引いた差分が単調増加 l j 1 l j 2 104

Monge のおきもち (2) A − i ,j
1 2 A ≥ i ,j 1 1 A − i ,j 2 2 A i ,j 2 1 は任意だから、 A − 1,j 2 A ≥ 1,j 1 A − 2,j 2 A ≥ 2,j 1 A − 3,j 2 A ≥ 3,j 1 ⋯ ≥ A − N,j 2 A N,j 1 と同値 i , i 1 2 105

Monge のおきもち (2) A − 1,j 2 A
≥ 1,j 1 A − 2,j 2 A ≥ 2,j 1 A − 3,j 2 A ≥ 3,j 1 ⋯ ≥ A − N,j 2 A N,j 1 Monge 最短路問題の気持ちになりましょう。「頂点から頂点へ ( ) 移動するコストが」とすると、「区間の左端を固定して、区間の右端をと動かしたときのコストの増分は、が小さいほど (元々の区間の長さが長いほど) 大きい」と解釈できる。 i j i < j A i,j i j → 1 j 2 A − i,j 2 A i,j 1 i j − 1 i 106

Monge 行列の例 (1) 区間の長さの乗 2 A = i,j
(j − i)2 A = 0 1 4 9 1 0 1 4 4 1 0 1 9 4 1 0 107

Monge 行列の例 (1) 区間の長さの乗区間の右端をと動かすときのコストの増分 : (j
+ 1 − i) − 2 (j − i) = 2 2(j − i) + 1 が小さくなるほど (元々の区間の長さが長いほど) 大きいので、Monge である。 2 A = i,j (j − i)2 A = 0 1 4 9 1 0 1 4 4 1 0 1 9 4 1 0 j → j + 1 i j − i 108

Monge 行列の例 (2) 区間和例 : A = i,j
X ∑ i≤k<j k X = (4, 1, 3) A = 0 4 0 5 1 0 8 4 3 0 109

Monge 行列の例 (2) 区間和例 : 区間の右端をと動かすときのコストの増分 :
X − i≤k<j+1 ∑ k X = i≤k<j ∑ k X j が小さくなっても変化しないので、Monge である。 A = i,j X ∑ i≤k<j k X = (4, 1, 3) A = 0 4 0 5 1 0 8 4 3 0 j → j + 1 i 110

上三角行列になっていますが…？ A = 0 4
0 5 1 0 8 4 3 0 のように、左下の一部分が無効値であったとしても Monge 性には問題ないことが示せる。 111

上三角行列になっていますが…？左下の一部分が無効値であったとしても Monge 性には問題ないことが示せる。また、 A =
0 4 5 8 0 1 4 −1 0 3 0 のように、右上の一部分が無効値であったとしても Monge 性には問題ないことが示せる。 112

左下の一部分が無効値であったとしても Monge 性には問題ないことが示せる。右上の一部分が無効値であったとしても Monge 性には問題ないことが示せる。左上 /
右下の一部分が無効値の場合は問題があるので注意 113

Monge 行列の例 (3) A = i,j −ij A =
−1 −2 −3 −4 −2 −4 −6 −8 −3 −6 −9 −12 −4 −8 −12 −16 114

Monge 行列の例 (3) 区間の右端をと動かすときのコストの増分: −i(j + 1) +
ij = −i が小さくなるほど (元々の区間の長さが長いほど) 大きいので、Monge である。 A = i,j −ij A = −1 −2 −3 −4 −2 −4 −6 −8 −3 −6 −9 −12 −4 −8 −12 −16 j → j + 1 i j − i 115

Monge 行列の例 (4) 区間例 : min A =
i,j min X i≤k≤j k X = (4, 2, 3, 1) A = 4 2 2 2 2 3 1 1 1 1 116

Monge 行列の例 (4) 区間例 : 区間の右端をと動かすときのコストの増分 :
X − ( i≤k≤j+1 min k ) X ( i≤k≤j min k ) により最小値が更新される場合のみ考えれば良い。 X − j+1 X ( i≤k≤j min k ) が小さくなるほど (元々の区間の長さが長いほど) 大きいので、Monge である。 min A = i,j min X i≤k≤j k X = (4, 2, 3, 1) A = 4 2 2 2 2 3 1 1 1 1 j → j + 1 X j+1 i j − i 117

Monge 行列の作り方 (1) 下に凸な関数に対して、で定義される行列下に凸とはから任意に点取って間を線分で結ぶと、
は線分より下に来る f(x) A = i,j f(j − i) A f(x) 2 f(x) ⟺ f (x) ≥ ′′ 0 118

Monge 行列の作り方 (1) 下に凸な関数に対して、で定義される行列は Monge 例 f(x)
A = i,j f(j − i) A A = i,j 42 A = i,j j − i A = i,j (j − i) − 2 1 A = i,j ∣j − i∣ − 3 ∣j − i∣ 119

Monge 行列の作り方 (2) Monge 行列に対して、で定義される行列は Monge Monge
行列と実数に対して、で定義される行列は Monge 線型結合について閉じている (負数倍は不等号が逆向きになるので、できない) B, C A = B + C A B k ≥ 0 A = k × B A 120

Monge 行列の作り方 (3) で定義される行列は Monge で定義される行列は Monge 例
: 行全体に何かを足す / 列全体に何かを足すをしても Monge 性には影響ない A = i,j X i A A = i,j X j A A = 4 4 4 4 0 0 0 0 7 7 7 7 3 3 3 3 121

Monge 行列の作り方 (4) 単調増加な数列と単調減少な数列に対して、で定義される行列例 X
Y A = i,j X × i Y j A A = i,j i × (−j) A = i,j (j − i) = 2 j + 2 i + 2 2 × i × (−j) 122

Monge 行列の例 (2) 再び区間和例 : 累積和をすると行全体に何かを足す /
列全体に何かを足すをしても Monge 性には影響ないので、これは Monge A = i,j X ∑ i≤k<j k X = (4, 1, 3) A = 0 4 0 5 1 0 8 4 3 0 A = i,j S − j S i 123

Monge 行列の例 (5) 区間和の乗正整数列に対して例 : 2
X A = i,j X (∑ i≤k<j k ) 2 X = (4, 1, 3) A = 0 16 0 25 1 0 49 16 9 0 124

Monge 行列の例 (5) 区間和の乗正整数列に対して例 : 累積和をすると、
A = i,j (S − j S ) = i 2 S + i 2 S − j 2 2S S i j が Monge かを見れば良くて、は単調増加なので良い。 2 X A = i,j X (∑ i≤k<j k ) 2 X = (4, 1, 3) A = 0 16 0 25 1 0 49 16 9 0 −S S i j S 125

Monge 行列の例 (6) ( 〜行目の〜列目に含まれる丸の個数) A
= i,j i j i j A = 1 1 0 7 2 1 14 9 3 0 126

Monge 行列の例 (6) ( 〜行目の〜列目に含まれる丸の個数) を増やした時に増える領域を考える
と、が小さいほど (元々の区間の長さが長いほど) 大きいので、Monge である。 A = i,j i j i j j i j − i 127

Monge が分かってきたところで、問題を解いていこう。スペースエクスプローラー高橋君数列に対して、行列をと定義する。の各行の最小値を求めよ。 a
N × N A A = i,j a + j (i − j)2 A N ≤ 2 × 105 128

スペースエクスプローラー高橋君数列に対して、行列をと定義する。の各行の最小値を求めよ。解答は列に足しているだけなので無視して良いは
の凸関数なので Monge monotone minima で時間 SMAWK algorithm で時間 a N × N A A = i,j a + j (i − j)2 A N ≤ 2 × 105 +a j (i − j)2 j − i Θ(N log N) Θ(N) 129

演習 monotone minima や SMAWK algorithm を実装して、スペースエクスプローラー高橋君を解いてみましょう 130

今度はこの問題について深掘りしてみましょう… Monge 単一始点最短路問題頂点の重み付き有向 DAG があります。頂点から頂点へ (
) 移動するコストはで、は Monge です。頂点から頂点へ移動する最小コストをそれぞれ求めてください。 N + 1 i j i < j A i,j A 0 1, 2, … , N 131

Monge の制約がない場合は、DP で解きますね Monge 単一始点最短路問題普通に集める DP をする dp[0] =
0 dp[i] = dp[j] + A 0≤j<i min { j,i } 132

Monge 単一始点最短路問題普通に集める DP をするこのままだと列最小値問題になってしまうので、転置します。頂点から頂点へ (
) 移動するコストは計算量は dp[0] = 0 dp[i] = dp[j] + A 0≤j<i min { i,j } j i j < i A i,j Θ(N ) 2 133

普通に集める DP をする A =
6 9 13 17 3 7 11 3 7 3 134

6 9 13 17 3 7 11 3 7 3 135

6 9 13 17 3 7 11 3 7 3 136

6 9 13 17 3 7 11 3 7 3 137

6 9 13 17 3 7 11 3 7 3 138

Monge 単一始点最短路問題とは、辺のコストがのように Monge 行列で与えられたとき、右のような DP をする問題である。集める
DP で A = 6 9 13 17 3 7 11 3 7 3 Θ(N ) 2 139

さて、遷移行列は Monge なのでした行最小値問題に変換する遷移行列 A =
6 9 13 17 3 7 11 3 7 3 は Monge 140

行最小値問題に変換する遷移行列は Monge つの列に何かを足しても Monge 性には影響がないから、列目にを足し
てみよう A 1 i dp[i] A = dp[0] + 6 dp[0] + 9 dp[0] + 13 dp[0] + 17 dp[1] + 3 dp[1] + 7 dp[1] + 11 dp[2] + 3 dp[2] + 7 dp[3] + 3 141

行最小値問題に変換する A = 6
9 13 17 9 12 17 12 16 15 Monge 行最小値問題になったので、 SMAWK algorithm でで解ける！ Θ(N) 142

行最小値問題に変換する A = 6
9 13 17 9 12 17 12 16 15 Monge 行最小値問題になったので、SMAWK algorithm でで解ける！を求めるまで列目の値は分からない Θ(N) dp[i] i 143

を求めるまで列目の値は分からない A = 6
9 13 17 3 + dp[1] 7 + dp[1] 11 + dp[1] 3 + dp[2] 7 + dp[2] 3 + dp[3] dp[i] i 144

を求めるまで列目の値は分からない A = 6
9 13 17 9 13 17 3 + dp[2] 7 + dp[2] 3 + dp[3] dp[i] i 145

を求めるまで列目の値は分からない A =
6 9 13 17 9 13 17 12 16 3 + dp[3] dp[i] i 146

6 9 13 17 9 13 17 12 16 15 dp[i] i 147

6 9 13 17 9 13 17 12 16 15 dp[i] i 148

これを一般化すると… オンライン Monge 行最小値問題の Monge 下三角行列が段階的に与えられる。行目の最小値を求めると、列目が与えられる。
(オンライン) それぞれの行の最小値 (がどこにあるか) を求めよ。 N × N A i i 149

これを解くには、こんなアルゴリズムがあります。オンライン・オフライン変換オンライン問題を分割統治してオフライン問題に帰着する典型テク 150

オンライン・オフライン変換列目のみが使用できる状態行目の行最小値を求めたい 0 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7 151

まず、上半分を解きます。オンライン・オフライン変換 1. 上半分を再帰的に解く列目のみが使用できる状態行目の行最小値を求めたいこれは、最初の問題と全く同じです。大きさが小さくなっているので、後の自分に任せます。 0 1,
2, 3 152

上行の最小値を求めたので、列使えるようになりました。オンライン・オフライン変換 1. 上半分を再帰的に解く 2. 左半分が使えるようになった 3
3 153

オンライン・オフライン変換 1. 上半分を再帰的に解く 2. 左半分が使えるようになった 3. この部分なら SMAWK algorithm が適
用できる！ 154

オンライン・オフライン変換 1. 上半分を再帰的に解く 2. 左半分が使えるようになった 3. 利用可能な正方形領域に対して SMAWK algorithm を適用
左半分での最小値は分かっているので、右半分の最小値を求めればすぐに行全体の最小値がわかる！ 155

オンライン・オフライン変換 1. 上半分を再帰的に解く 2. 左半分が使えるようになった 3. 利用可能な正方形領域に対して SMAWK algorithm を適用
左半分での最小値は分かっているので、右半分での行最小値を求めればすぐに行全体の最小値がわかる！列目のみが使用できる状態行目の行最小値を求めたいこれは、最初の問題と全く同じ 4 5, 6, 7 156

オンライン・オフライン変換 1. 上半分を再帰的に解く 2. 左半分が使えるようになった 3. 利用可能な正方形領域に対して SMAWK algorithm
を適用 4. 右半分を再帰的に解く半分の大きさを回解くので、計算量は 2 Θ(N log N) 157

にしかならないと思いきや…？ LARSCH algorithm オンライン Monge 行最小値問題は時間で解ける！ On-line dynamic programming
with applications to the prediction of RNA secondary structure. Journal of Algorithms, 12(3), pp. 490-515 (1991) 論文の著者 Lawrence L. Larmore Baruch Schieber (論文の著者は人いません) Θ(N log N) Θ(N) 6 158

LARSCH algorithm アイデア : SMAWK algorithm を並列化し、利用可能なところから順番に処理していく一旦オンラインであることを忘れてみよう →
SMAWK algorithm で解ける 159

SMAWK algorithm (復習) 行を半分にして解き、残りの行の最小値を補完する 160

並列 SMAWK algorithm 行を半分にして解き、残りの行の最小値を補完するのを並列にやってみよう 164

並列 SMAWK algorithm 行目の最小値が分かれば、行目の探索すべき範囲も分かる 2 1 165

並列 SMAWK algorithm 全部求められた 168

オンラインであることを思い出してみよう！行目の最小値が分かれば、行目の探索すべき範囲も分かる 6 5 169

オンラインであることを思い出してみよう！ 1. 行目の最小値を求めたい 2. 行目の探索すべき範囲を決めるには、行目と行目の最小値が必要 3. 行目の最小値を求めるには、
列目〜列目が利用可能でなければならない 4. 列目を利用可能にするには、行目の最小値が必要 5 5 4 6 6 0 5 5 5 170

LARSCH algorithm 賢いアイデア : 各偶数行の右端を、つ上の行に合わせるように削る右 (削った状態の行最小値問題) が解ければ左も解ける。確認してみよう… 1
171

LARSCH algorithm 削った状態で行目の最小値がわかったら、行目の最小値がわかる 1 1 172

LARSCH algorithm 削った状態で行目の最小値がわかったら、( 回の比較で) 行目の最小値がわかる 2 1 2
173

LARSCH algorithm 削った状態で行目の最小値がわかったら、行目の最小値がわかる 3 3 174

LARSCH algorithm 削った状態で行目の最小値がわかったら、( 回の比較で) 行目の最小値がわかる 4 1 4
175

LARSCH algorithm 右 (削った状態の行最小値問題) が解ければ左も解けるね。 176

これで何がうれしいかと言うと… さっきの並列 SMAWK algorithm では… 1. 行目の最小値を求めたい 2. 行目の探索すべき範囲を決めるには、行目と
行目の最小値が必要 3. 行目の最小値を求めるには、列目〜列目が利用可能でなければならない 4. 列目を利用可能にするには、行目の最小値が必要 5 5 4 6 6 0 5 5 5 177

偶数行の右端を削ると…？ 1. 行目の最小値を求めたい 2. 行目の探索すべき範囲を決めるには、行目と行目の最小値が必要 3. 行目の最小値を求めるには、列目
〜列目が利用可能でなければならない → 行目の最小値を先に求められる！ 5 5 4 6 6 0 4 6 178

SMAWK algorithm 1. "Reduce" step : 最小値にならない列を捨てる 2. "Recurse" step
: 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 3. 最小値にならない部分を捨てる 4. "Interpolate" step : 残りの部分の最小値を求める ( 回の比較を行う) M − 1 179

LARSCH algorithm 1. "Reduce" step : 最小値にならない列を捨てる 2. 各偶数行の右端を、つ上の行に合わせるように削る
3. "Recurse" step : 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 4. 最小値にならない部分を捨てる 5. "Interpolate" step : 残りの部分の最小値を求める (削った部分についても最小になっていないか確認する) 1 180

LARSCH algorithm 1. "Reduce" step : 最小値にならない列を捨てる 2. 各偶数行の右端を、つ上の行に合わせるように削る
3. "Recurse" step : 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 4. 最小値にならない部分を捨てる 5. "Interpolate" step : 残りの部分の最小値を求める (削った部分についても最小になっていないか確認する) これら全てを並列にして、計算できるところから計算すれば完成！ (投げやり) 1 181

"Reduce" step を並列化するどうやって？ 182

LARSCH algorithm の適用範囲を拡大するきれいな下三角行列だけではなく、階段行列を全部にする (実際、行を半分にしたらこうなるので) 183

階段行列の行最小値を求める列追加して… 1 184

階段行列の行最小値を求める列追加して、行最小値を出力 1 185

"Reduce" step を並列化する「列を追加してから、行最小値を出力」を繰り返すものと見ると、"Reduce" step も並列化できることがよくわかる実際にやってみよう 192

行送られてきた 1 193

"Reduce"？ 194

行目への要素の追加はこれ以上ないので、列目の採用が確定 1 1 195

列目を送って… 1 196

列目を送って、行目の最小値を得る 1 1 197

行目の最小値を返したら、列送られてきた 1 2 198

"Reduce" step を進める向きなので上に伝播 < 199

"Reduce" step を進める 204

"Reduce" step を進める最後の行なので向きでも削除が発生 < 212

列目の採用が確定 4 213

"Reduce" step を並列化するには… 1. 列が送られてくる 2. "Reduce" step を進める 3.
一番上の行にはこれ以上要素が追加されないから、一番上の行についての "Reduce" step の結果が確定する 4. 採用されることが確定した列を送って行最小値を得る 216

実際には "Recurse" step も "Interpolate" step も並列に行う必要があるやってみよう 217

復習 : LARSCH algorithm 1. "Reduce" step : 最小値にならない列を捨てる 2.
各偶数行の右端を、つ上の行に合わせるように削る 3. "Recurse" step : 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 4. 最小値にならない部分を捨てる 5. "Interpolate" step : 残りの部分の最小値を求める (削った部分についても最小になっていないか確認する) 1 218

行送られてきた 1 219

角を削って偶数行目のみ送るので、ここで列目を送って… 1 221

角を削って偶数行目のみ送るので、ここで列目を送って、行最小値を得る。 1 222

これで行目の探索範囲が絞れるので、行目の最小値を求める 1 1 223

これまでの最小値と比較して… 227

これまでの最小値と比較して、行目の最小値を出力 2 228

ここで列目の偶数行を送って… 2, 3 234

ここで列目の偶数行を送って、行最小値を得る 2, 3 235

行目の探索範囲が絞れたので… 3 236

行目の探索範囲が絞れたので、行目の最小値を求める 3 3 237

これまでの最小値と比較して… 241

これまでの最小値と比較して、行目の最小値を出力 4 242

というわけで、LARSCH algorithm ができた LARSCH algorithm 1. "Reduce" step : 最小値にならない列を捨てる
2. 各偶数行の右端を、つ上の行に合わせるように削る 3. "Recurse" step : 偶数行のみを取り出して再帰的に解く 4. 最小値にならない部分を捨てる 5. "Interpolate" step : 残りの部分の最小値を求める (削った部分についても最小になっていないか確認する) これら全てを並列にして、計算できるところから計算すると、できる noshi91 先生の実装 1 243

Monge 単一始点最短路問題頂点の重み付き有向 DAG があります。頂点から頂点へ ( ) 移動
するコストはで、は Monge です。頂点から頂点へ移動する最小コストをそれぞれ求めてください。 → LARSCH algorithm でで解ける。 N i j i < j A i,j A 1 2, 3, … , N Θ(N) 244

Monge の合成 Monge 行列に対し、 C i,j
K i,j = A + B k min { i,k k,j} = A + B k arg min { i,k k,j } を計算せよ。最短路で捉えたときのおきもち : 頂点から頂点へ個の辺を通って移動する。と移動するとき、回目の移動のコストがで、回目の移動のコストがである。 A, B i j 2 i → k → j 1 A i,k 2 B k,j 245

Monge の合成 (例) A =
, B = 17 44 61 49 53 49 40 30 19 37 26 62 25 7 19 39 14 14 このとき、 C = , K = (実演) 246

Monge の合成 (例) A =
, B = 17 44 61 49 53 49 40 30 19 37 26 62 25 7 19 39 14 14 このとき、 C = , K = 54 79 75 42 49 38 54 44 33 1 2 2 1 3 3 3 3 3 247

Monge の合成をつ選び固定すると… Monge 行列に対し、を計算せよ。 → これは
Monge 行最小値問題なので、SMAWK algorithm を回で時間 j 1 A, B C = i A + B k min { i,k k } N Θ(N ) 2 248

Monge の合成 → これは Monge 行最小値問題なので、SMAWK algorithm を回で時間
もっと簡単になるよ！ N Θ(N ) 2 249

Monge の合成には、こんな良い性質があります Monge の合成 Monge 行列に対し、で定義される行列は Monge
最小値を取る位置をとしたとき、である A, B C = i,j A + B k min { i,k k,j } C K = i,j A + B k arg min { i,k k,j } K ≤ i,j K , K ≤ i,j+1 i,j K i+1,j 250

Monge の合成最小値を取る位置をとしたとき、であるどういうこと？ K = i,j
A + B k arg min { i,k k,j } K ≤ i,j K , K ≤ i,j+1 i,j K i+1,j 251

Monge の合成区間の右端 or 左端が右にずれる ( の右 or 下に行く) ほど、最小値を取る位
置も右にずれる (値が上昇する) K = 1 2 2 1 3 3 3 3 3 区間をずらすとそれにともなって最小値を取る位置もずれる！ K 252

Monge の合成に注目 K =
? ここの最小値を調べる : K ≤ i,j K ≤ i,j+1 K i+1,j+1 Θ(N) 253

? 2 ? ここの最小値を調べるの範囲しか調べなくて良いので、 K ≤ i,j K ≤ i,j+1 K i+1,j+1 1 ≤ K ≤ 2,1 2 ≤ K ≤ 3,2 3 Θ(N) 254

? 2 2 ? 3 ? ここの最小値を調べるの範囲しか調べなくて良いので、 K ≤ i,j K ≤ i,j+1 K i+1,j+1 1 ≤ K ≤ 1,1 2 ≤ K ≤ 2,2 3 ≤ K ≤ 3,3 3 Θ(N) 255

1 2 2 ? 3 3 ? 3 ここの最小値を調べる : の範囲しか調べなくて良いので、 K ≤ i,j K ≤ i,j+1 K i+1,j+1 Θ(N) 1 ≤ K ≤ 1,2 3 ≤ K ≤ 2,2 3 Θ(N) 256

1 2 2 1 3 3 ? 3 3 ここの最小値を調べる : の範囲しか調べなくて良いので、 K ≤ i,j K ≤ i,j+1 K i+1,j+1 Θ(N) 1 ≤ K ≤ 1,3 3 Θ(N) 257

1 2 2 1 3 3 3 3 3 斜めに埋めていくと、を回やるので K ≤ i,j K ≤ i,j+1 K i+1,j+1 Θ(N) Θ(N) Θ(N ) 2 258

スライド切れ 259

問題を解きたい場合 Monge 性が関係する問題リスト – noshi91 のメモ 260

Monge 応用編 261

noshi 式簡易版 LARSCH algorithm LARSCH algorithm から "Reduce" step を抜いたもの
時間かかるが、定数倍が良く、実装も軽い Θ(N log N) 262

monotone minima / noshi 式簡易版 LARSCH algorithm のスライドアクセス Mo's
algorithm みたいに区間の端をだけ動かす操作が高速にできる場合 ±1 263

Monge 辺最短路問題 (全ての ) 頂点の重み付き有向 DAG があります。頂点から頂点へ (
) 移動するコストはで、は Monge です。 (頂点から頂点へ個の辺を通って移動するときの最小コスト) を計算してください。時間斜めに埋めるテクが使える k k N i j i < j A i,j A dp[k][i] = 1 i k Θ(N ) 2 264

Monge 全点間最短路問題時間斜めに埋めるテクが使える Θ(N ) 2 265

Monge 区間 DP (Knuth-Yao speedup) の形の DP ただし、は単調 Monge
時間斜めに埋めるテクが使える dp[i][j] = {dp[i][k] + k min dp[k][j]} + A i,j A Θ(N ) 2 266

最適二分探索木 Monge 区間 DP で時間になるが、さらにすごい考察をすることで meldable-heap を用いて時間
になる Θ(N ) 2 Θ(N log N) 267

Monge 辺最短路問題 Monge グラフ上の -辺最短路長を計算するアルゴリズム – Kyopro Encyclopedia of
Algorithms Alien DP とか呼ばれているやつ IOI Aliens や JOI 春 2023 Chorus など多数の出題例 (ちょうど辺使うときの最小コスト) が下に凸なので、ラグランジュ緩和ができるラグランジュ緩和すると Monge 最短路問題なので LARSCH algorithm で時間辺の数が個になるようにラグランジュ緩和のを二分探索 k s − t d f(x) = x Θ(N) k λ 268

Monge 重み付き二部マッチング貪欲が最適解になるらしい 269

anti-Monge の場合の単一始点最短路 anti-Monge : Monge の不等号が逆向き行列を左右反転すれば不等号が Monge の向きになるが、「左上の一部領域が無効値」は
Monge ではないオンライン・オフライン変換により無効値でない領域を取り出せば Monge → オンライン・オフライン変換 + SMAWK で実は expected になるらしい Θ(N log N) Θ(N) 270

min-plus convolution の応用先 : 重量が小さい品物が何種類かあり、それぞれいくらでも詰められる場合のナップサック Axiotis-Tzamos Knapsack – noshi91/Library
271

燃やす埋める問題を 3 種類以上の選択肢に対応させる最小カット問題の k 値への一般化 - noshi91 のメモ 272

Monge の手引書

Monge の手引書

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