Etudes trajectoire des planètes

Projet de mathématiques du premier semestre de l'ENSIIE

Transcript

1. Projet mathématiques Trajectoire de planètes ! Tristan Guillevin Maxime Heckel Laurent Wieser Hugo Zilliox Mercredi, 5 juin 2013
2. • Description du projet • Réalisation • Modélisation • Critiques et limites • Conclusion 
 Sommaire
3. Description du projet
4. • -280 : premiers calculs par Aristarque • 127 : Ptolémée, la terre au centre • 1512 : Copernic, Révolution des sphères célestes • 1609 : Kepler, orbite de mars et Galilée et sa lunette • 1959 : première sonde spatiale Description du projet Un peu d’histoire
5. • Problème récurrent • Calcul de trajectoire de planètes • Méthode d’Euler • Utilisation de l’outil informatique Description du projet Le projet
6. Réalisation
7. • Ce que l'on connaît : • Masse des objets célestes à étudier • Vitesse des objets célestes à étudier
 
 Référentiel héliocentrique 
 PosSoleil = (0, 0, 0) Réalisation Initialisation
8. • G la constante gravitationnelle • Xi vecteur position tridimensionnel de la planète i • Utilisation du principe fondamental de la dynamique : Réalisation Mise en équation
9. • On se place à l'instant t = 0 • Nécessité de coupler notre équation différentielle du principe fondamental de la dynamique • i = indice de la planète Réalisation Méthode d’Euler
10. • Ui, n : vecteur Ui à l'étape n avec un pas h. • Approximation d'Euler ! ! Réalisation Méthode d’Euler
11. • Calcul de U1,1 , vecteur U de Jupiter à l'étape 1 de l'extrapolation : Réalisation Exemple
12. • D'où l'équation suivante : Réalisation Exemple
13. Modélisation
14. • Fonction PFD (Principe Fondamentale Dynamique) • Fonction newPos (par Euler) • Fonction newSpd (par Euler) • Fonction next (nouveau point) • Fonction dataMatrix (matrice vitesse position) • Fonction traceData (tracé des trajectoires) Modélisation Les fonctions Scilab
15. • Temps de l'étude : 4600 jours • ∆t = 1 jours • Trajectoire_planete(1,4600) : Modélisation Modèle 3D
16. • Pour 10 révolutions, trajectoire_planete(1,46000) : Modélisation Modèle 3D
17. Critiques et limites
18. • Exemple de Jupiter : • Un an sur Jupiter : 4330 jours • Notre modèle : environs 4600 itérations pour un pas de 1 soit 4600 jours pour une révolution complète • D'où une erreur de (4600-4330)/4330 = 6,2% Critiques et limites Précision du modèle
19. • Diminution du pas (0,8) • Calcul de 5700 itérations • D'où (5700 - 4330/0,8)/(4330/0,8) = 5,3% • Diminution du pas (0,5) • Calcul de 9100 itérations • D'où (9100 - 4330/0,5)/(4330/0,5) = 5,0% Critiques et limites Limites du modèle
20. Conclusion
21. • Méthode d'Euler : • Rapide • Résultats proches de la réalité • Augmentation de la précision par diminution du pas • Charge de calcul trop grande et stabilisation de l'erreur (env. 5,0 %) Conclusion
22. Questions