Naoya Umezaki
October 26, 2018
200

# 作図と対称性

MATHPOWER2017での講演。Gaussによる正多角形の作図について、Galois理論に基づいた解説。

October 26, 2018

## Transcript

6. ### ϑΣϧϚʔૉ਺ 3 = 2 + 1 5 = 4 +

1 = 2 × 2 + 1 17 = 16 + 1 = 4 × 4 + 1 257 = 256 + 1 = 16 × 16 + 1 65537 = 65536 + 1 = 256 × 256 + 1
7. ### ͪͳΈʹ 4294967297 = 65536 × 65536 + 1 = 641

× 6700417 18446744073709551617 = 4294967296 × 4294967296 + 1 = 274177 × 67280421310721 · · · 65537͸ʢࠓͷͱ͜Ζʣ࠷େͷϑΣϧϚʔૉ਺

20. ### ࡞ਤͰͰ͖Δ͜ͱ • ਨ௚ͳઢΛҾ͘ • ฏߦͳઢΛҾ͘ • ௕͞Λೋ౳෼͢Δ • ௕͞ͷ଍͠ࢉͱҾ͖ࢉΛ͢Δ •

௕͞ͷֻ͚ࢉͱׂΓࢉΛ͢Δ

√ 2

24. ### ax2 + bx + c = 0 ͷղ͸ x =

−b ± √ b2 − 4ac 2a a, b, c͕࡞ਤͰ͖͍ͯΕ͹ɺ͜Ε΋Ͱ͖Δ
25. ### ೋͭ߹Θͤͯೋ࣍ํఔࣜɻ A = (0, 1), B = (a, b)Λ௚ܘͷ྆୺ͱ͢Δԁͷࣜ x(x

− a) + (y − 1)(y − b) = 0 ͜Εͱy = 0ͷަ఺͸ɺೋ࣍ํఔࣜ x2 − ax + b = 0 ͷղ
26. ### x2 + x − 1 = 0ͷղ x = −1

± √ 5 2 O(0, 0) A(0, 1) B(−1, −1)
27. ### ࡞ਤͰͰ͖Δ͜ͱ • ਨ௚ͳઢΛҾ͘ • ฏߦͳઢΛҾ͘ • ௕͞Λೋ౳෼͢Δ • ௕͞ͷ଍͠ࢉͱҾ͖ࢉΛ͢Δ •

௕͞ͷֻ͚ࢉͱׂΓࢉΛ͢Δ • ೋ࣍ํఔࣜΛղ͘
28. ### 1 + √ 5, 1 + 1 + √ 5,

. . . ͷΑ͏ͳ௕͞ͷઢ෼΋࡞ਤͰ͖Δ

35. ### ૬ࣅͳͷͰ OA : OC = OC : CD ͕ͨͬͯ͠OC =

xͱͯ͠ 1 : x = x : 1 − x Ͱ͋Δɻ x2 + x − 1 = 0 ͷղΛ࡞ਤ͢Ε͹Α͍ɻ

= − 1 2

39. ### ࡾ֯ؔ਺ͷੑ࣭ cos(θ) = cos(360◦ − θ) cos(α + β) +

cos(α − β) = 2 cos α cos β
40. ### cos 72◦ + cos 144◦ = 2 cos 72◦ cos

144◦ 2 cos2 72◦ − 1 = cos 144◦ Ͱ͋Δ͔Β cos 72◦+2 cos2 72◦−1 = 2 cos 72◦(2 cos2 72◦−1)
41. ### 2 cos 72◦ = xͱͯ͠ 1 2 x + 2

4 x2 − 1 = x( 2 4 x2 − 1) 1 2 x3 − 1 2 x2 − 3 2 x + 1 = 0 x3 − x2 − 3x + 2 = 0 (x − 1)(x2 + x − 1) = 0 Ͱ͋Δɻ
42. ### x2 + x − 1 = 0 ͷղx = 2

cos 72◦, 2 cos 144◦ x = −1 ± √ 5 2 2 cos 72◦+2 cos 144◦ = −1 + √ 5 2 + −1 − √ 5 2 = −1
43. ### ղͱ܎਺ͷؔ܎ 2 cos 72◦ + 2 cos 144◦ = −1

cos 72◦ + cos 72◦ + cos 144◦ + cos 144◦ = −1 cos 72◦ + cos 144◦ + cos 216◦ + cos 288◦ = −1
44. ### ࡾ֯ؔ਺ͷੑ࣭ Ұൠʹ cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +·

· ·+cos(N−1) 360◦ N = −1 ҰൠʹN Λح਺ͱͯ͠ cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +· · ·+cos N − 1 2 360◦ N = − 1 2
45. ### ೋ࣍ํఔࣜͷղͱ܎਺ͷؔ܎ x = α, β Λղʹ΋ͭೋ࣍ํఔࣜ (x − α)(x −

β) = 0 x2 − (α + β)x + αβ = 0
46. ### x2 − ax + b = 0 ͷղ͕x = α,

β ͳΒ a = α + β, b = αβ

48. ### α = cos 1 · 360◦ 17 + cos 2

· 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 β = cos 3 · 360◦ 17 + cos 5 · 360◦ 17 + cos 6 · 360◦ 17 + cos 7 · 360◦ 17
49. ### α + β = cos 1 · 360◦ 17 +

cos 2 · 360◦ 17 + cos 3 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 + cos 5 · 360◦ 17 + cos 6 · 360◦ 17 + cos 7 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 = − 1 2
50. ### αβ = cos 1 · 360◦ 17 cos 3 ·

360◦ 17 + cos 1 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17 + cos 1 · 360◦ 17 cos 6 · 360◦ 17 + cos 1 · 360◦ 17 cos 7 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 3 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 6 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 7 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 3 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 6 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 7 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 cos 3 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17
51. ### ࡾ֯ؔ਺ͷੑ࣭ cos(θ) = cos(360◦ − θ) cos(α + β) +

cos(α − β) = 2 cos α cos β θ = 360◦ 17 ͱ͢Δɻ 17θ = 360◦
52. ### cos θ = cos 16θ cos 2θ = cos 15θ

cos 3θ = cos 14θ cos 4θ = cos 13θ cos 5θ = cos 12θ cos 6θ = cos 11θ cos 7θ = cos 10θ cos 8θ = cos 9θ
53. ### ab = cos (1θ) cos (3θ) + cos (1θ) cos

(5θ) + cos (1θ) cos (6θ) + cos (1θ) cos (7θ) + cos (2θ) cos (3θ) + cos (2θ) cos (5θ) + cos (2θ) cos (6θ) + cos (2θ) cos (7θ) + cos (4θ) cos (3θ) + cos (4θ) cos (5θ) + cos (4θ) cos (6θ) + cos (4θ) cos (7θ) + cos (8θ) cos (3θ) + cos (8θ) cos (5θ) + cos (8θ) cos (6θ) + cos (8θ) cos (7θ)
54. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (9θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (9θ) + cos (2θ) + cos (10θ) + cos (3θ) + cos (11θ) + cos (5θ) + cos (11θ) + cos (3θ) + cos (13θ) + cos (2θ) + cos (14θ) + cos (1θ) + cos (15θ)}
55. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (9θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (9θ) + cos (2θ) + cos (10θ) + cos (3θ) + cos (11θ) + cos (5θ) + cos (11θ) + cos (3θ) + cos (13θ) + cos (2θ) + cos (14θ) + cos (1θ) + cos (15θ)}
56. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
57. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
58. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
59. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
60. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
61. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
62. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
63. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
64. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
65. ### = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

(6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
66. ### = 1 2 (4 cos (1θ) + 4 cos (2θ)

+ 4 cos (3θ) + 4 cos (4θ) + 4 cos (5θ) + 4 cos (6θ) + 4 cos (7θ) + 4 cos (8θ)) = −1 α + β = − 1 2 αβ = −1
67. ### α, β ͸ x2 + 1 2 x − 1

= 0 ͷղͰ͋Δɻ ίϯύεͱఆنͰαͷ௕͞ͷઢ෼ͱβ ͷ௕͞ͷઢ ෼Λ࡞ਤͰ͖Δɻ
68. ### ࣍ʹ γ = cos 1 · 360◦ 17 + cos

4 · 360◦ 17 = cos (1θ) + cos (4θ) δ = cos 2 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 = cos (2θ) + cos (8θ) ʹ͍ͭͯγ + δ, γδΛܭࢉͯ͠ΈΔɻ
69. ### γ + δ = cos (1θ) + cos (4θ) +

cos (2θ) + cos (8θ) = α
70. ### γδ = (cos (1θ) + cos (4θ))(cos (2θ) + cos

(3θ)) = cos (1θ) cos (2θ) + cos (4θ) cos (2θ) + cos (1θ) cos (3θ) + cos (4θ) cos (3θ) = 1 2 (cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ) + cos (6θ) + cos (7θ) + cos (9θ) + cos (4θ) + cos (12θ)) = 1 2 (cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ) + cos (6θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (5θ))
71. ### γ + δ = α γδ = − 1 4

γ, δ͸ x2 − αx − 1 4 = 0 ͷղͰ͋Δɻ
72. ### ίϯύεͱఆنͰ γ = cos 1 · 360◦ 17 + cos

4 · 360◦ 17 δ = cos 2 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 ͷ௕͞ͷઢ෼Λ࡞ਤͰ͖Δɻ
73. ### cos 1 · 360◦ 17 cos 4 · 360◦ 17

= 1 2 (cos 3 · 360◦ 17 + cos 5 · 360◦ 17 )
74. ### ࣍ʹ ϵ = cos 3 · 360◦ 17 + cos

5 · 360◦ 17 = cos (3θ) + cos (5θ) ζ = cos 6 · 360◦ 17 + cos 7 · 360◦ 17 = cos (6θ) + cos (7θ) ʹ͍ͭͯϵ + ζ, ϵζ Λܭࢉͯ͠ΈΔɻ
75. ### ϵ + ζ = cos (3θ) + cos (5θ) +

cos (6θ) + cos (7θ) = β
76. ### ϵζ = (cos (3θ) + cos (5θ))(cos (6θ) + cos

(7θ)) = cos (3θ) cos (6θ) + cos (5θ) cos (6θ) + cos (3θ) cos (7θ) + cos (5θ) cos (7θ) = 1 2 (cos (9θ) + cos (3θ) + cos (11θ) + cos (1θ) + cos (10θ) + cos (4θ) + cos (12θ) + cos (2θ)) = 1 2 (cos (8θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (4θ) + cos (5θ) + cos (2θ))
77. ### ϵ + ζ = β ϵζ = − 1 4

ϵ, ζ ͸ x2 − βx − 1 4 = 0 ͷղͰ͋Δɻ
78. ### ·ͱΊΔͱ 1. x2 + 1 2 x − 1 =

0 ͷղx = α, β Λ࡞ਤ͢Δɻ 2. x2 − αx − 1 4 = 0 ͷղx = γ, δΛ࡞ਤ͢Δɻ
79. ### 3. x2 − βx − 1 4 = 0 ͷղx

= ϵ, ζ Λ࡞ਤ͢Δɻ 4. x2 − γx + 1 2 ϵ = 0 ͷղx = cos 360◦ 17 ͕࡞ਤͰ͖Δɻ

81. ### ࡾ֯ؔ਺ͷੑ࣭ Ұൠʹ cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +·

· ·+cos(N−1) 360◦ N = −1 ҰൠʹN Λح਺ͱͯ͠ cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +· · ·+cos N − 1 2 360◦ N = − 1 2
82. ### cos 1 · 360◦ 7 + cos 2 · 360◦

7 + cos 3 · 360◦ 7 = − 1 2
83. ### ഒ֯ͷެࣜ cos 2 · 360◦ 7 = 2 cos 1

· 360◦ 7 2 − 1 3ഒ֯ͷެࣜ cos 3 · 360◦ 7 = 4 cos 1 · 360◦ 7 3 − 3 cos 1 · 360◦ 7
84. ### cos 1 · 360◦ 7 + 2 cos 1 ·

360◦ 7 2 − 1 + 4 cos 1 · 360◦ 7 3 − 3 cos 1 · 360◦ 7 = − 1 2 ΛΈͨ͢ɻ
85. ### ͭ·Γɺcos 1 · 360◦ 7 ͸ࡾ࣍ํఔࣜ 4x3 + 2x2 −

2x − 1 2 = 0 ͷղʹͳΔɻ͜Ε͕࡞ਤͰ͖Δ͔ʁ
86. ### ΋͠ೋ࣍ํఔࣜͷղʹ΋ͳͬͨͱ͢Δɻଟ߲ࣜͷ ׂΓࢉΛ͢Δͱ 4x3+2x2−2x− 1 2 = (ax2+bx+c)(dx+e)+fx+g Ͱ͋Γɺ fx +

g = 0 ΋ຬͨ͞ͳ͚Ε͹͍͚ͳ͍ɻ

88. ### ෳૉ਺Ͱߟ͑Δɻ eiθ = cos θ + i sin θ ei360◦

= cos 360◦ + i sin 360◦ = 1 eiαeiβ = eiα+iβ (eiθ)n = eniθ
89. ### (ei 360◦ 3 )3 = (e3i 360◦ 3 ) =

1 x3 = 1 x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) = 0
90. ### x = ei 360◦ 3 , e2i 360◦ 3 ͸x2

+ x + 1 = 0ͷղͰ͋Δ
91. ### (ei 360◦ 5 )5 = (e5i 360◦ 5 ) =

1 x5 = 1 x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 x = ei 360◦ 5 , e2i 360◦ 5 , e3i 360◦ 5 , e4i 360◦ 5 ͸x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0ͷղͰ͋Δ
92. ### (ei 360◦ 7 )7 = (e7i 360◦ 7 ) =

1 x7 = 1 x7−1 = (x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1) = 0 x =ei 360◦ 7 , e2i 360◦ 7 , e3i 360◦ 7 e4i 360◦ 7 , e5i 360◦ 7 , e6i 360◦ 7 ͸x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0ͷղͰ͋Δ

95. ### ೋ࣍ํఔࣜͷ৔߹ −b + √ b2 − 4ac 2 , −b

− √ b2 − 4ac 2 ΛೖΕସ͑Δɻ
96. ### x4 + x3 + x2 + x + 1 =

0 ͷղͷೖΕସ͑͸ͲΕ͚ͩ͋Δ͔ʁ
97. ### ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 ͱͨ͠ͱ͢Δɻ͢Δͱ e2i 360◦

5 = ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 = e4i 360◦ 5
98. ### e3i 360◦ 5 = ei 360◦ 5 · ei 360◦

5 · ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 = e6i 360◦ 5 = ei 360◦ 5 e4i 360◦ 5 = ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 = e8i 360◦ 5 = e3i 360◦ 5 ͱ࢒Γͷղͷߦ͖ઌ΋ࣗಈతʹܾ·ͬͯ͠·͏ɻ
99. ### Ͱ͸ei 360◦ 5 ͷߦ͖ઌ͸Կछྨ͋Δ͔ʁ ಉ͡ํఔࣜͷղͰ͋Δ ei 360◦ 5 , e2i

360◦ 5 , e3i 360◦ 5 , e4i 360◦ 5 ͷ4छྨ ͭ·Γ x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 ͷղͷೖΕସ͑͸4छྨ͋Δɻ
100. ### ei 360◦ 5 + e4i 360◦ 5 ͸͜ͷ4छྨͷೖΕସ͑ͰͲͷΑ ͏ʹมԽ͢Δ͔ʁ e2i

360◦ 5 + e3i 360◦ 5 ͱೖΕସΘΔ͔ೖΕସΘΒͳ͍ ͔ͲͪΒ͔ɻ ೋ࣍ํఔࣜͷղʹͳΔʂ
101. ### x6 + x5 + x4 + x3 + x2 +

x + 1 = 0 ͷղͷೖΕସ͑͸ͲΕ͚ͩ͋Δ͔ʁ

103. ### ei 360◦ 7 + e6i 360◦ 7 ͸ e2i 360◦

7 + e5i 360◦ 7 , e3i 360◦ 7 + e4i 360◦ 7 ͷ͍ͣΕ͔ʹͳΔɻ ࡾ࣍ํఔࣜͷղʹͳΔʂ
104. ### p৐ͯ͠1ʹͳΔ਺ͷํఔࣜ p − 1छྨͷղͷೖΕସ͑ p − 1ͷ໿਺kʹରԠͯ͠͏·͘ղͷ૊Έ߹Θͤ Λ࡞Δ p −

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