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作図と対称性

8554778f1060f77c8eec4e88a30369ac?s=47 Naoya Umezaki
October 26, 2018
110

 作図と対称性

MATHPOWER2017での講演。Gaussによる正多角形の作図について、Galois理論に基づいた解説。

8554778f1060f77c8eec4e88a30369ac?s=128

Naoya Umezaki

October 26, 2018
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Transcript

  1. 2017೥10݄9೔ ࡞ਤͱରশੑ ക࡚௚໵

  2. ࠓ͔Β221 = 13 × 17೥લ Gaussਖ਼17֯ܗͷ࡞ਤ๏Λൃݟ 2017೥10݄7೔ mathpower2017

  3. ਖ਼65537֯ܗͷ࡞ਤ

  4. 65537͸ʁ

  5. ૉ਺

  6. ϑΣϧϚʔૉ਺ 3 = 2 + 1 5 = 4 +

    1 = 2 × 2 + 1 17 = 16 + 1 = 4 × 4 + 1 257 = 256 + 1 = 16 × 16 + 1 65537 = 65536 + 1 = 256 × 256 + 1
  7. ͪͳΈʹ 4294967297 = 65536 × 65536 + 1 = 641

    × 6700417 18446744073709551617 = 4294967296 × 4294967296 + 1 = 274177 × 67280421310721 · · · 65537͸ʢࠓͷͱ͜Ζʣ࠷େͷϑΣϧϚʔૉ਺
  8. ͍ͭͰ΋ ࡞ਤͰ͖Δʁ

  9. ਖ਼3֯ܗͷ࡞ਤ

  10. None
  11. 120◦

  12. 120◦ 60◦

  13. 60◦ 60◦ 60◦ 1 1 2

  14. ίϯύεͱఆنΛ࢖͑͹ɺ௕͞Λೋ౳෼Ͱ͖Δɻ A B

  15. ௕͞1ͷઢ෼͔Β ௕͞ 1 2 ͷઢ෼Λ࡞Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͨʂ

  16. ࡞ਤͰͰ͖Δ͜ͱ • ਨ௚ͳઢΛҾ͘ • ฏߦͳઢΛҾ͘ • ௕͞Λೋ౳෼͢Δ

  17. ਖ਼3֯ܗͷ࡞ਤ

  18. None
  19. None
  20. None
  21. None
  22. ࡞ਤΛ͢Δ=৽͍͠௕͞Λ࡞Δ=৽͍͠਺Λ࡞Δ ௕͞1ͷઢ෼AB ͕༩͑ΒΕ͍ͯΔͱ͢Δɻ

  23. ࡞ਤͰͰ͖Δ͜ͱ • ਨ௚ͳઢΛҾ͘ • ฏߦͳઢΛҾ͘ • ௕͞Λೋ౳෼͢Δ • ௕͞ͷ଍͠ࢉͱҾ͖ࢉΛ͢Δ

  24. ௕͞ 4 3 ͷ࡞Γํ 3 4

  25. ࡞ਤͰͰ͖Δ͜ͱ • ਨ௚ͳઢΛҾ͘ • ฏߦͳઢΛҾ͘ • ௕͞Λೋ౳෼͢Δ • ௕͞ͷ଍͠ࢉͱҾ͖ࢉΛ͢Δ •

    ௕͞ͷֻ͚ࢉͱׂΓࢉΛ͢Δ
  26. None
  27. ࣮͸ √ 3΋࡞ਤ͍ͯͨ͠

  28. ϐλΰϥεͷఆཧ x2 + y2 = r2 √ 2ͷ࡞Γํ 1 1

    √ 2
  29. √ 5ͷ࡞Γํ 2 √ 5 3

  30. ax2 + bx + c = 0 ͷղ͸ x =

    −b ± √ b2 − 4ac 2a a, b, c͕࡞ਤͰ͖͍ͯΕ͹ɺ͜Ε΋Ͱ͖Δ
  31. ೋͭ߹Θͤͯೋ࣍ํఔࣜɻ A = (0, 1), B = (a, b)Λ௚ܘͷ྆୺ͱ͢Δԁͷࣜ x(x

    − a) + (y − 1)(y − b) = 0 ͜Εͱy = 0ͷަ఺͸ɺೋ࣍ํఔࣜ x2 − ax + b = 0 ͷղ
  32. x2 + x − 1 = 0ͷղ x = −1

    ± √ 5 2 O(0, 0) A(0, 1) B(−1, −1)
  33. ࡞ਤͰͰ͖Δ͜ͱ • ਨ௚ͳઢΛҾ͘ • ฏߦͳઢΛҾ͘ • ௕͞Λೋ౳෼͢Δ • ௕͞ͷ଍͠ࢉͱҾ͖ࢉΛ͢Δ •

    ௕͞ͷֻ͚ࢉͱׂΓࢉΛ͢Δ • ೋ࣍ํఔࣜΛղ͘
  34. 1 + √ 5, 1 + 1 + √ 5,

    . . . ͷΑ͏ͳ௕͞ͷઢ෼΋࡞ਤͰ͖Δ
  35. ਖ਼5֯ܗͷ࡞ਤ

  36. 72◦

  37. 72◦

  38. 72◦ 36◦ 72◦

  39. 36◦ 36◦ 36◦ 72◦

  40. O A B C D 36◦ 36◦ 36◦ 72◦

  41. ૬ࣅͳͷͰ OA : OC = OC : CD ͕ͨͬͯ͠OC =

    xͱͯ͠ 1 : x = x : 1 − x Ͱ͋Δɻ x2 + x − 1 = 0 ͷղΛ࡞ਤ͢Ε͹Α͍ɻ
  42. ࡾ֯ؔ਺Λ࢖ͬͯߟ͑Δɻ θ cos θ 1

  43. 120◦ 1 − 1 2 cos 120◦ = cos 240◦

    = − 1 2
  44. cos 120◦ + cos 240◦ = −1

  45. ࡾ֯ؔ਺ͷੑ࣭ cos(θ) = cos(360◦ − θ) cos(α + β) +

    cos(α − β) = 2 cos α cos β
  46. cos 72◦ + cos 144◦ = 2 cos 72◦ cos

    144◦ 2 cos2 72◦ − 1 = cos 144◦ Ͱ͋Δ͔Β cos 72◦+2 cos2 72◦−1 = 2 cos 72◦(2 cos2 72◦−1)
  47. 2 cos 72◦ = xͱͯ͠ 1 2 x + 2

    4 x2 − 1 = x( 2 4 x2 − 1) 1 2 x3 − 1 2 x2 − 3 2 x + 1 = 0 x3 − x2 − 3x + 2 = 0 (x − 1)(x2 + x − 1) = 0 Ͱ͋Δɻ
  48. x2 + x − 1 = 0 ͷղx = 2

    cos 72◦, 2 cos 144◦ x = −1 ± √ 5 2 2 cos 72◦+2 cos 144◦ = −1 + √ 5 2 + −1 − √ 5 2 = −1
  49. ղͱ܎਺ͷؔ܎ 2 cos 72◦ + 2 cos 144◦ = −1

    cos 72◦ + cos 72◦ + cos 144◦ + cos 144◦ = −1 cos 72◦ + cos 144◦ + cos 216◦ + cos 288◦ = −1
  50. ࡾ֯ؔ਺ͷੑ࣭ Ұൠʹ cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +·

    · ·+cos(N−1) 360◦ N = −1 ҰൠʹN Λح਺ͱͯ͠ cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +· · ·+cos N − 1 2 360◦ N = − 1 2
  51. ೋ࣍ํఔࣜͷղͱ܎਺ͷؔ܎ x = α, β Λղʹ΋ͭೋ࣍ํఔࣜ (x − α)(x −

    β) = 0 x2 − (α + β)x + αβ = 0
  52. x2 − ax + b = 0 ͷղ͕x = α,

    β ͳΒ a = α + β, b = αβ
  53. ਖ਼17֯ܗͷ࡞ਤ

  54. α = cos 1 · 360◦ 17 + cos 2

    · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 β = cos 3 · 360◦ 17 + cos 5 · 360◦ 17 + cos 6 · 360◦ 17 + cos 7 · 360◦ 17
  55. α + β = cos 1 · 360◦ 17 +

    cos 2 · 360◦ 17 + cos 3 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 + cos 5 · 360◦ 17 + cos 6 · 360◦ 17 + cos 7 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 = − 1 2
  56. αβ = cos 1 · 360◦ 17 cos 3 ·

    360◦ 17 + cos 1 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17 + cos 1 · 360◦ 17 cos 6 · 360◦ 17 + cos 1 · 360◦ 17 cos 7 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 3 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 6 · 360◦ 17 + cos 2 · 360◦ 17 cos 7 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 3 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 6 · 360◦ 17 + cos 4 · 360◦ 17 cos 7 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 cos 3 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 cos 5 · 360◦ 17
  57. None
  58. ࡾ֯ؔ਺ͷੑ࣭ cos(θ) = cos(360◦ − θ) cos(α + β) +

    cos(α − β) = 2 cos α cos β θ = 360◦ 17 ͱ͢Δɻ 17θ = 360◦
  59. cos θ = cos 16θ cos 2θ = cos 15θ

    cos 3θ = cos 14θ cos 4θ = cos 13θ cos 5θ = cos 12θ cos 6θ = cos 11θ cos 7θ = cos 10θ cos 8θ = cos 9θ
  60. ab = cos (1θ) cos (3θ) + cos (1θ) cos

    (5θ) + cos (1θ) cos (6θ) + cos (1θ) cos (7θ) + cos (2θ) cos (3θ) + cos (2θ) cos (5θ) + cos (2θ) cos (6θ) + cos (2θ) cos (7θ) + cos (4θ) cos (3θ) + cos (4θ) cos (5θ) + cos (4θ) cos (6θ) + cos (4θ) cos (7θ) + cos (8θ) cos (3θ) + cos (8θ) cos (5θ) + cos (8θ) cos (6θ) + cos (8θ) cos (7θ)
  61. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (9θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (9θ) + cos (2θ) + cos (10θ) + cos (3θ) + cos (11θ) + cos (5θ) + cos (11θ) + cos (3θ) + cos (13θ) + cos (2θ) + cos (14θ) + cos (1θ) + cos (15θ)}
  62. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (9θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (9θ) + cos (2θ) + cos (10θ) + cos (3θ) + cos (11θ) + cos (5θ) + cos (11θ) + cos (3θ) + cos (13θ) + cos (2θ) + cos (14θ) + cos (1θ) + cos (15θ)}
  63. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
  64. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
  65. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
  66. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
  67. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
  68. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
  69. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
  70. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
  71. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
  72. = 1 2 {cos (4θ) + cos (2θ) + cos

    (6θ) + cos (4θ) + cos (7θ) + cos (5θ) + cos (8θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (5θ) + cos (3θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (8θ) + cos (5θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (1θ) + cos (8θ) + cos (2θ) + cos (7θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (5θ) + cos (6θ) + cos (3θ) + cos (4θ) + cos (2θ) + cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ)}
  73. = 1 2 (4 cos (1θ) + 4 cos (2θ)

    + 4 cos (3θ) + 4 cos (4θ) + 4 cos (5θ) + 4 cos (6θ) + 4 cos (7θ) + 4 cos (8θ)) = −1 α + β = − 1 2 αβ = −1
  74. α, β ͸ x2 + 1 2 x − 1

    = 0 ͷղͰ͋Δɻ ίϯύεͱఆنͰαͷ௕͞ͷઢ෼ͱβ ͷ௕͞ͷઢ ෼Λ࡞ਤͰ͖Δɻ
  75. ࣍ʹ γ = cos 1 · 360◦ 17 + cos

    4 · 360◦ 17 = cos (1θ) + cos (4θ) δ = cos 2 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 = cos (2θ) + cos (8θ) ʹ͍ͭͯγ + δ, γδΛܭࢉͯ͠ΈΔɻ
  76. γ + δ = cos (1θ) + cos (4θ) +

    cos (2θ) + cos (8θ) = α
  77. γδ = (cos (1θ) + cos (4θ))(cos (2θ) + cos

    (3θ)) = cos (1θ) cos (2θ) + cos (4θ) cos (2θ) + cos (1θ) cos (3θ) + cos (4θ) cos (3θ) = 1 2 (cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ) + cos (6θ) + cos (7θ) + cos (9θ) + cos (4θ) + cos (12θ)) = 1 2 (cos (3θ) + cos (1θ) + cos (2θ) + cos (6θ) + cos (7θ) + cos (8θ) + cos (4θ) + cos (5θ))
  78. γ + δ = α γδ = − 1 4

    γ, δ͸ x2 − αx − 1 4 = 0 ͷղͰ͋Δɻ
  79. ίϯύεͱఆنͰ γ = cos 1 · 360◦ 17 + cos

    4 · 360◦ 17 δ = cos 2 · 360◦ 17 + cos 8 · 360◦ 17 ͷ௕͞ͷઢ෼Λ࡞ਤͰ͖Δɻ
  80. cos 1 · 360◦ 17 cos 4 · 360◦ 17

    = 1 2 (cos 3 · 360◦ 17 + cos 5 · 360◦ 17 )
  81. ࣍ʹ ϵ = cos 3 · 360◦ 17 + cos

    5 · 360◦ 17 = cos (3θ) + cos (5θ) ζ = cos 6 · 360◦ 17 + cos 7 · 360◦ 17 = cos (6θ) + cos (7θ) ʹ͍ͭͯϵ + ζ, ϵζ Λܭࢉͯ͠ΈΔɻ
  82. ϵ + ζ = cos (3θ) + cos (5θ) +

    cos (6θ) + cos (7θ) = β
  83. ϵζ = (cos (3θ) + cos (5θ))(cos (6θ) + cos

    (7θ)) = cos (3θ) cos (6θ) + cos (5θ) cos (6θ) + cos (3θ) cos (7θ) + cos (5θ) cos (7θ) = 1 2 (cos (9θ) + cos (3θ) + cos (11θ) + cos (1θ) + cos (10θ) + cos (4θ) + cos (12θ) + cos (2θ)) = 1 2 (cos (8θ) + cos (3θ) + cos (6θ) + cos (1θ) + cos (7θ) + cos (4θ) + cos (5θ) + cos (2θ))
  84. ϵ + ζ = β ϵζ = − 1 4

    ϵ, ζ ͸ x2 − βx − 1 4 = 0 ͷղͰ͋Δɻ
  85. ·ͱΊΔͱ 1. x2 + 1 2 x − 1 =

    0 ͷղx = α, β Λ࡞ਤ͢Δɻ 2. x2 − αx − 1 4 = 0 ͷղx = γ, δΛ࡞ਤ͢Δɻ
  86. 3. x2 − βx − 1 4 = 0 ͷղx

    = ϵ, ζ Λ࡞ਤ͢Δɻ 4. x2 − γx + 1 2 ϵ = 0 ͷղx = cos 360◦ 17 ͕࡞ਤͰ͖Δɻ
  87. ਖ਼7֯ܗͷ࡞ਤ

  88. ࡾ֯ؔ਺ͷੑ࣭ Ұൠʹ cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +·

    · ·+cos(N−1) 360◦ N = −1 ҰൠʹN Λح਺ͱͯ͠ cos 360◦ N +cos 2 360◦ N +· · ·+cos N − 1 2 360◦ N = − 1 2
  89. cos 1 · 360◦ 7 + cos 2 · 360◦

    7 + cos 3 · 360◦ 7 = − 1 2
  90. ഒ֯ͷެࣜ cos 2 · 360◦ 7 = 2 cos 1

    · 360◦ 7 2 − 1 3ഒ֯ͷެࣜ cos 3 · 360◦ 7 = 4 cos 1 · 360◦ 7 3 − 3 cos 1 · 360◦ 7
  91. cos 1 · 360◦ 7 + 2 cos 1 ·

    360◦ 7 2 − 1 + 4 cos 1 · 360◦ 7 3 − 3 cos 1 · 360◦ 7 = − 1 2 ΛΈͨ͢ɻ
  92. ͭ·Γɺcos 1 · 360◦ 7 ͸ࡾ࣍ํఔࣜ 4x3 + 2x2 −

    2x − 1 2 = 0 ͷղʹͳΔɻ͜Ε͕࡞ਤͰ͖Δ͔ʁ
  93. ΋͠ೋ࣍ํఔࣜͷղʹ΋ͳͬͨͱ͢Δɻଟ߲ࣜͷ ׂΓࢉΛ͢Δͱ 4x3+2x2−2x− 1 2 = (ax2+bx+c)(dx+e)+fx+g Ͱ͋Γɺ fx +

    g = 0 ΋ຬͨ͞ͳ͚Ε͹͍͚ͳ͍ɻ
  94. ࡞ਤͰ͖ͳ͍ʂ

  95. ෳૉ਺Ͱߟ͑Δɻ eiθ = cos θ + i sin θ ei360◦

    = cos 360◦ + i sin 360◦ = 1 eiαeiβ = eiα+iβ (eiθ)n = eniθ
  96. (ei 360◦ 3 )3 = (e3i 360◦ 3 ) =

    1 x3 = 1 x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) = 0
  97. x = ei 360◦ 3 , e2i 360◦ 3 ͸x2

    + x + 1 = 0ͷղͰ͋Δ
  98. (ei 360◦ 5 )5 = (e5i 360◦ 5 ) =

    1 x5 = 1 x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 x = ei 360◦ 5 , e2i 360◦ 5 , e3i 360◦ 5 , e4i 360◦ 5 ͸x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0ͷղͰ͋Δ
  99. (ei 360◦ 7 )7 = (e7i 360◦ 7 ) =

    1 x7 = 1 x7−1 = (x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1) = 0 x =ei 360◦ 7 , e2i 360◦ 7 , e3i 360◦ 7 e4i 360◦ 7 , e5i 360◦ 7 , e6i 360◦ 7 ͸x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0ͷղͰ͋Δ
  100. ಉ͡ํఔࣜͷղ͸ೖΕସ͑ͯ΋۠ผͰ͖ͳ͍ʂ

  101. ͲΕ͚ͩೖΕସ͕͑͋Δ͔ʁ ࢛ଇԋࢉ͸อͬͨ··ɺ਺ͷೖΕସ͑Λߟ͑Δɻ

  102. ೋ࣍ํఔࣜͷ৔߹ −b + √ b2 − 4ac 2 , −b

    − √ b2 − 4ac 2 ΛೖΕସ͑Δɻ
  103. x4 + x3 + x2 + x + 1 =

    0 ͷղͷೖΕସ͑͸ͲΕ͚ͩ͋Δ͔ʁ
  104. ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 ͱͨ͠ͱ͢Δɻ͢Δͱ e2i 360◦

    5 = ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 = e4i 360◦ 5
  105. e3i 360◦ 5 = ei 360◦ 5 · ei 360◦

    5 · ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 = e6i 360◦ 5 = ei 360◦ 5 e4i 360◦ 5 = ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 · ei 360◦ 5 → e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 · e2i 360◦ 5 = e8i 360◦ 5 = e3i 360◦ 5 ͱ࢒Γͷղͷߦ͖ઌ΋ࣗಈతʹܾ·ͬͯ͠·͏ɻ
  106. Ͱ͸ei 360◦ 5 ͷߦ͖ઌ͸Կछྨ͋Δ͔ʁ ಉ͡ํఔࣜͷղͰ͋Δ ei 360◦ 5 , e2i

    360◦ 5 , e3i 360◦ 5 , e4i 360◦ 5 ͷ4छྨ ͭ·Γ x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 ͷղͷೖΕସ͑͸4छྨ͋Δɻ
  107. ei 360◦ 5 + e4i 360◦ 5 ͸͜ͷ4छྨͷೖΕସ͑ͰͲͷΑ ͏ʹมԽ͢Δ͔ʁ e2i

    360◦ 5 + e3i 360◦ 5 ͱೖΕସΘΔ͔ೖΕସΘΒͳ͍ ͔ͲͪΒ͔ɻ ೋ࣍ํఔࣜͷղʹͳΔʂ
  108. x6 + x5 + x4 + x3 + x2 +

    x + 1 = 0 ͷղͷೖΕସ͑͸ͲΕ͚ͩ͋Δ͔ʁ
  109. ei 360◦ 7 Λe2i 360◦ 7 ͷߦ͖ઌΛܾΊΕ͹ࣗಈతʹܾ ·Δ શ෦Ͱ6௨Γ

  110. ei 360◦ 7 + e6i 360◦ 7 ͸ e2i 360◦

    7 + e5i 360◦ 7 , e3i 360◦ 7 + e4i 360◦ 7 ͷ͍ͣΕ͔ʹͳΔɻ ࡾ࣍ํఔࣜͷղʹͳΔʂ
  111. p৐ͯ͠1ʹͳΔ਺ͷํఔࣜ p − 1छྨͷղͷೖΕସ͑ p − 1ͷ໿਺kʹରԠͯ͠͏·͘ղͷ૊Έ߹Θͤ Λ࡞Δ p −

    1/kݸͷ૬ํ ح਺࣍ͷํఔ͕ࣜग़ͯ͘Δͱ࡞ਤͰ͖ͳ͍ɻ
  112. ͭ·Γp − 1͕2Ҏ֎ͰׂΕΔͱೋ࣍ํఔࣜҎ֎ ͷํఔࣜΛղ͔ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ʂ ਖ਼p֯ܗ͕࡞ਤͰ͖ΔͨΊʹ͸p − 1 = 2n ͱ͍͏

    ܗʹͳΔ͜ͱ͕ඞཁɻ
  113. Fermatૉ਺ʂ