ミケル点とべズーの定理

数理空間トポス新歓イベント
2022年6月18日

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1. ミケル点とべズーの定理
   梅崎直也@unaoya
   数理空間トポス新歓イベント
   2022 年 6 月 18 日
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2. ミケルの定理
   ABC の各辺 BC, CA, AB 上にそれぞれ点 P, Q, R をとる。こ
   のとき、 AQR, BPR, CPQ の外接円は一点で交わる。こ
   の点をミケル点という。
   A
   B
   C
   P
   Q
   R
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3. 代数曲線
   多項式 f(x, y) = 0 で定まる xy 平面内の図形を代数曲線と
   いう。
   • x + y = 0 は直線
   • x2 − y = 0 は放物線
   • x2 + y2 − 1 = 0 は円
   • (x + y)(x − y) = 0 は二直線の和
   • (x + y)(x2 + y2 − 1) = 0 は直線と円の和
   二つの代数曲線の交点の個数について考える。
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4. 二直線の交点
   異なる二つの直線の交点の個数は 0, 1 のいずれか。
   
   
   
   ax + by = c
   dx + ey = f
   の解は 1 個または 0 個。
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5. 直線と放物線の交点
   直線と放物線の交点の個数は 0, 1, 2 のいずれか。
   
   
   
   y = x2
   ax + by = c
   を解く。複素数で考えると、1 個または 2 個になる。
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6. 二円の交点
   異なる二つの円の交点の個数は 0, 1, 2 のいずれか。
   
   
   
   x2 + y2 = 1
   (x − a)2 + (y − b)2 = r2
   を解く。複素数で考えると、重複を数えて 2 個または 0 個。
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7. 複素数
   xy「平面」を座標が複素数の範囲で考える。複素数だと一変
   数の方程式が必ず解ける。
   • 直線と直線の交点は 1 または 0 個。
   • 放物線と直線の交点は重複度こみで 1 個または 2 個。
   • 円と直線の交点は重複度こみで必ず 2 個。
   • 円と円の交点は重複度こみで 0 個または 2 個。
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8. 遠近法
   平行な二直線は無限遠で交わる。放物線が円になる。
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9. 射影平面
   複素数の組 (x, y) でなく、複素数の比 [x : y : z] で点を表す。
   z = 0 の部分が xy 平面で、z = 0 の部分が無限遠。
   • y = x と y = x + 1 は y = x と y = x + z と考えると
   [1 : 1 : 0] を交点にもつ。
   • x = 1 と y = x2 は x = z と yz = x2 と考えて
   [1 : 1 : 1], [0 : 1 : 0] を交点にもつ
   • x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4 は x2 + y2 = z2, x2 + y2 = 4z2 と
   考えると [1 : i : 0], [1 : −i : 0] がそれぞれ二重。
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10. 交点の個数
    座標が複素数の射影平面の中の二曲線の交点数を考える。
    重複度を適切に定めると、交点の個数は
    • 直線と直線の交点は必ず 1 個。
    • 直線と放物線の交点は必ず 2 個。
    • 円と円の交点は必ず 4 個。
    直線は 1 次式、円は 2 次式で定義される。
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11. べズーの定理
    n 次曲線と m 次曲線は既約成分を共有しなければ交点を mn
    個もつ。
    n 次曲線と m 次曲線が mn + 1 点以上の共有点を持つなら
    ば、既約成分を共有する。
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12. 既約成分の共有
    L1
    , L2
    が直線で、2 点共有点を持つならば L1
    = L2
    である。
    L が直線で C が 2 次曲線であるとする。これらが 3 点共有点
    を持つならば C は直線の和であり、そのうち一つは L で
    ある。
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13. 交点の個数
    円と直線の和 C1
    ∪ L1
    と C2
    ∪ L2
    はいずれも既約でない 3 次
    曲線。
    L2
    L1
    C2
    C1
    直線同士が 1 個、円と直線の交点 2 個が 2 組、円同士が 4
    個。図に 7 点、残り 2 点は [1 : i : 0], [1 : −i : 0] である。
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14. 束
    C1
    ∪ L1
    , C2
    ∪ L2
    が F1
    = 0, F2
    = 0 で定義されているとする。
    λ1
    F1
    + λ2
    F2
    = 0 は、C1
    ∪ L1
    , C2
    ∪ L2
    の交点 9 個全てを通る曲
    線を表す。
    直線 L3
    上の点 S をとる。λ1
    F1
    (S) + λ2
    F2
    (S) = 0 を解き、
    λ1
    F1
    + λ2
    F2
    = 0 が S を通るようにする。この λ1
    , λ2
    で C を
    定める。
    S
    L2
    L1
    C2
    C1
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15. ミケルの定理の証明
    S
    L2
    L1
    C2
    C1
    3 次曲線 C は C1
    ∪ L1
    , C2
    ∪ L2
    の 9 交点と S を通る。L3
    は C と
    4 点共有するので、C は L3
    と既約成分を共有する。C は L3
    と
    二次曲線 C3
    の和であることがわかる。
    C3
    は残りの 6 点、図にある 4 点と 2 つの虚数点を通る。これ
    が CPQ の外接円である。
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16. ミケルの定理
    ABC の各辺（もしくはその延長）BC, CA, AB 上にそれぞれ
    点 P, Q, R をとる。このとき、 AQR, BPR, CPQ の外接円
    は一点で交わる。
    A
    B
    C
    P
    Q
    R
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17. 参考文献
    代数幾何の源流を求めて 向井 茂
    https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ kenkyubu/kokai-
    koza/H30-mukai.pdf
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18. 代数幾何ゼミ
    代数幾何の基本的な話を、可換環やホモロジー代数などの
    言葉遣いを身につけながら学ぶ。演習問題を用意して解い
    てもらう。具体例の計算をたくさんやってから、抽象的な
    議論を学ぶ。
    • べズーの定理
    • 曲線の種数
    • セール双対性
    • リーマンロッホの定理
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