3θ = sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ = 2 sin θ cos2 θ + (2 cos2 θ − 1) sin θ = sin θ(4 cos2 θ − 1) sin 4θ = sin 3θ cos θ + cos 3θ sin θ = sin θ(4 cos2 θ − 1) cos θ + (4 cos3 θ − 3 cos θ) sin θ = sin θ(8 cos3 θ − 4 cos θ) 2
+ cos nθ sin θ sin(n − 1)θ = cos θ sin nθ − cos nθ sin θ sin(n + 1)θ + sin(n − 1)θ = 2 sin nθ cos θ ͜͜Ͱ sin(n + 1)θ = sin θ × Un(cos θ) Λࢥ͍ग़͢ɻ྆ลΛ sin θ Ͱ ׂͬͯ x = cos θ ͱ͢Δͱɺ Un+1(x) + Un−1(x) = 2xUn(x) ͕Γཱͭɻ 4
N + sin 2(n + m) 2π N + · · · + sin(N − 1)(n + m) 2π N = 0 ͕Γཱͭͱ͍͏͜ͱɻ ಉ͡Α͏ʹ n ̸= m ͷͱ͖ɺ π 0 sin(n + 1)θ sin θ sin(m + 1)θ sin θ sin θ sin θdθ = 0 0 −1 Un(x)Um(x) 1 − x2dx = 0 ͕Γཱͭɻ 15