Stochastic Complexities of Reduced Rank Regression in Bayesian Estimationの証明概略

https://pdfs.semanticscholar.org/4972/55bf11a6726ee220e6b1
1e3442936ce3d6c6.pdf
http://watanabewww.math.dis.titech.ac.jp/users/aoyagi/isitamiki.pdf
の証明のノートです

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1. Stochastic Complexities of Reduced Rank Regression in Bayesian Estimationの証明概略
2. 元論文 https://pdfs.semanticscholar.org/4972/55bf11a6726ee220e6b1 1e3442936ce3d6c6.pdf http://watanabe­ www.math.dis.titech.ac.jp/users/aoyagi/isitamiki.pdf 2
3. 示したいこと Reduced Rank Regression model p(y∣x, w) = exp( ∣∣y − BAx∣∣ {w = (A, B)} (AはHxM行列,BはNxH行列) の学習係数(Real Log Canonical Threshold)は λ = max{ ∣0 ≤ s ≤ min(M + r, H + r)} で与えられる √2πN 1 2 1 2 2 (N+M)r−r +s(N−r)+(M−r−s)(H−r−s) 2 3
4. 方針 真の分布にたいして KL distance Φ ≡ ∥BA − B A ∣∣ を考え サイズ C : r × r, C : (N − r) × r の行列に対して Φ = ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣B A ∣∣ と書けることを示し(Lemma 5) 行列の各要素sに再帰的にblow upすることで ℓ(s) = (N + M)r − r + s(N − r) + (M − r − s)(H − r − j) − 1 に対して λ = max{ ∣0 ≤ s ≤ min(M + r, H + r)} となることを示す。 0 0 2 1 2 ′ 1 2 2 2 3 2 4 4 2 2 2 ℓ(s)+1 4
5. Φ = ∣∣P (B A − )Q ∣∣ とA B を対角化 A = B = A : r × r, A : r × (M − r) A : (H − r) × r, A : (H − r) × (M − r) B : r × r, B : r × (H − r) B : (N − r) × r, B : (N − r) × (H − r) rank((B B ) ) = r なので C = B A + B A − E C = B A + B A 0 ′ ′ ( E 0 0 0 ) 0 2 0 0 ′ ( A1 A2 A3 A4 ) ′ ( B1 B2 B3 B4 ) 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 ( A1 A2 ) 1 1 1 3 2 2 2 1 4 2 5
6. C = B A + B A − E C = B A + B A とおいて B A − = = A = −A A1 A + A = Φ = ∣∣P Q ∣∣ と書ける。 1 1 1 3 2 2 2 1 4 2 ′ ′ ( E 0 0 0 ) ( C1 C2 (C + E − B A )A A + B A 1 3 2 1 −1 3 3 4 (C − B A )A A + B A 2 4 2 1 −1 3 4 4 ) ( C1 C2 C A A + A A + B A 1 1 −1 3 1 −1 3 3 4 ′ C A A + B A 2 1 −1 3 4 4 ′ ) 4 ′ 2 −1 3 4 ( C1 C2 C (A − B A ) + A 1 3 ′ 3 4 ′ 3 ′ C (A − B A ) + B A 2 3 ′ 3 4 ′ 4 4 ′ ) 0 ( C1 C2 C (A − B A ) + A 1 3 ′ 3 4 ′ 3 ′ C (A − B A ) + B A 2 3 ′ 3 4 ′ 4 4 ′ ) 0 2 6
7. (lennma2,3から) Φ ψdw の極は ∣∣ ∣∣ ψdw で決まる。 これをblow upしていく。 ∫ U(A ,B ) ′ ′ z ∫ U(A ,B ) ′ ′ ( C1 C2 A3 ′ B A 4 4 ′ ) 2z 7
8. まず A = B = のようにblow upしていく。 { a = u 11 11 a = u a (i, j) ≠ (1, 1) ij 11 ij ′ 4 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ a11 a21 aH−r,1 ... ... ⋮ ... a1,M−r a2,M−r aH−r,M−r ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 4 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ b11 b21 bN−r,1 ... ... ⋮ ... b1,H−r b2,H−r bN−r,H−r ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 8
9. 逐次的な特異点解消 Φ = u ...u (∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ +∣∣ b D + B A ∣∣ ) A = B = b = というかたちに持っていきたい → ′′ 11 2 ss 2 1 2 2 2 3 2 ∑ i=1 s i 2 ∑ i=1 s i i (s+1) (s+1) 2 s+1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛as+1,s+1 as+2,s+1 aH−r,s+1 ... ... ⋮ ... a1,M−r a2,M−r aH−r,M−r ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 4 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ b11 b21 bN−r,1 ... ... ⋮ ... b1,H−r b2,H−r bN−r,H−r ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ i ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ b1i b2i ⋮ bN−r,i ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 9
10. 2パターンのblow upが考えられる。 まず {C = C = C = A = 0} において (1) 1 2 3 4 ⎩ ⎨ ⎧ c = v, 11 c = vc (i.j) ≠ (1, 1), ij ij C = vC , C = vC , A = vA 2 2 3 3 4 4 10
11. すると Φ = v (1 + (c ) + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣B A ∣∣ ) となりヤコビアンはv となる。 この指数がλに効いてくる。 ′ 2 ∑′ ij (1) 2 2 2 3 2 4 4 2 ℓ(0) 11
12. 別のblow upとして (2) を考える。(一般にはa = u という形が含まれる) これによって ⎩ ⎨ ⎧ a = u , 11 11 a = u a (i.j) ≠ (1, 1), ij 11 ij C = vC , C = vC , A = vA 2 2 3 3 4 4 ij 11 12
13. a と列b に関わる項B A から出すと Φ = u (∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ +∣∣b + B a ∣∣ + ∣∣(b B ) ∣∣ と書ける 11 1 4 4 ′ 11 2 1 2 2 2 3 2 1 (2) 1 2 1 (2) ( a1 A(2) ) 2 13
14. b = B + B a と書き換えると Φ = u (∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ +∣∣b ∣∣ + ∣∣(b − a B b B ) ∣∣ = u (∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ +∣∣(b 0) + B (−a E) ∣∣ = u (∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ +∣∣b + B (−a + A )∣∣ A = −a + A とおき直すと 1 1 (2) 1 ′ 11 2 1 2 2 2 3 2 1 2 1 1 (2) 1 (2) ( a1 A(2) ) 2 11 2 1 2 2 2 3 2 1 2 1 ( a ¯1 A(2) ) (2) 1 ( a ¯1 A(2) ) 2 11 2 1 2 2 2 3 2 1 2 1a ¯ (2) 1a ¯1 (2) (2) 1a ¯1 (2) 14
15. Φ = u (∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ +∣∣b + B A ∣∣ とかけ、ヤコビアンはu となる。 B A の各列に対してこの処理を繰り返す。 ′ 11 2 1 2 2 2 3 2 1 2 1a ¯1 (2) (2) 2 11 ℓ 4 4 15
16. 再帰的処理 blow up(1)をΦ = ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣B A ∣∣ に対して行うと Φ = u ...u v (1 + (c ) + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ + ∣∣ b D + B A ∣∣ (D はB A のs+1行s+1列以降B A 以外の部分であり再帰 的に定義される。) c , c , c , b に対しては同じ式の形になり ヤコビアンはu ...u v (Φ dw = Φ u ...u v dw) ′ 1 2 2 2 3 2 4 4 2 ′′ 11 2 ss 2 2 ∑′ ij (1) 2 2 2 3 2 ∑ i=1 s i 2 ∑ i=1 s i i (s+1) (s+1) 2 i 4 4 (s+1) (s+1) ji (1) ji (2) ji (3) ji 11 ℓ(0) ss ℓ(s+1) ℓ(s) ′z ′ ′′z 11 ℓ(0) ss ℓ(s+1) ℓ(s) 16
17. blow up(2)をΦ に行うと Φ = u ...u u (∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ ∣∣b ∣∣ +∣∣ b D + (b B ) ∣∣ = u ...u u (∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ +∣∣ b D + (b + B a 0) + (b B ) ∣∣ = (a , ..., a ) a = (a , ..., a ) と変換される。 ′ ′′ 11 2 ss 2 s+1,s+1 2 1 2 2 2 3 2 ∑ i=1 s s 2 ∑ i=1 s i i s+1 (s+2) ( 1 as+1 a ¯s+1 A(s+2) ) 2 11 2 ss 2 s+1,s+1 2 1 2 2 2 3 2 ∑ i=1 s 1 2 ∑ i=1 s s i s+1 (s+2) s+1 s+1 (s+2) ( a ¯s+1 A(s+2) ) 2 a ¯s+1 s+1,s+2 s+1,M+r s+1 s+2,s+1 H−r,s+1 T 17
18. D = (Col1(D ) D ) とおくと Φ /u ...u u = ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ + ∣∣b ∣∣ +∣∣ b D + (b − B a − b Col(D ) B ) ∣∣ b をまとめて項を分割 = ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ +∣∣ b D + (b − b Col(D ) 0) +(−B a B ) ∣∣ b = b + B a + b Col(D ) とおき直す。 i i i ′ ′′ 11 2 ss 2 s+1,s+1 2 1 2 2 2 3 2 ∑ i=1 s s 2 s+1 2 ∑ i=1 s i i ′ s+1 (s+2) s+1 ∑s i i (s+2) ( a ¯s+1 A(s+2) ) 2 s+1 1 2 2 2 3 2 ∑ i=1 s+1 i 2 ∑ i=1 s i i ′ s+1 ∑s i i ( a ¯s+1 A(s+2) ) (s+2) s+1 (s+2) ( a ¯s+1 A(s+2) ) 2 s+1 s+1 s+2) s+1 ∑s i i 18
19. 計算とb_iでのくくり出し = ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ +∣∣ b (D − Col(D ) ) + b +B (−a E) ∣∣ (Eは単位行列) = ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ +∣∣ b (D − Col(D ) ) + b +B (−a + A )∣∣ 1 2 2 2 3 2 ∑ i=1 s+1 s 2 ∑ i=1 s i i ′ i a ¯s+1 s+1a ¯s+1 (s+2) s+1 ( a ¯s+1 A(s+2) ) 2 1 2 2 2 3 2 ∑ i=1 s+1 s 2 ∑ i=1 s i i ′ i a ¯s+1 s+1a ¯s+1 (s+2) s+1a ¯s+1 (s+2) 2 19
20. A = −a + A とおき直すと = ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ +∣∣ b (D − Col(D ) ) + b +B A ∣∣ D = D − Col(D ) , D = とおき直すと元の形 Φ = ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ +∣∣ b D + D + B A ∣∣ = ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣C ∣∣ + ∣∣b ∣∣ + ∣∣ b D + B A ∣∣ 戻るのでblow up(1),(2)を繰り返す。すると各変数の指数はℓ(s) なので最大の極の指数(Real Log Canonical Threshold)は λ = max{ ∣0 ≤ s ≤ min(M + r, H + r)} と書ける。 (s+2) s+1a ¯s+1 (s+2) 1 2 2 2 3 2 ∑ i=1 s+1 s 2 ∑ i=1 s i i ′ i a ¯s+1 s+1a ¯s+1 (s+2) (s+2) 2 i i ′ i a ¯s+1 s+1 a ¯s+1 1 2 2 2 3 2 ∑ i=1 s+1 s 2 ∑ i=1 s i i s+1a ¯s+1 (s+2) (s+2) 2 1 2 2 2 3 2 ∑ i=1 s+1 s 2 ∑ i=1 s+1 i i (s+2) (s+2) 2 2 (N+M)r−r +s(N−r)+(M−r−s)(H−r−s) 2 20
21. ただし ℓ(s) = (N + M)r − r + s(N − r) + (M − r − s)(H − r − j) − 1 C : r × r C : (N − r) × r C (A ) : r × (M − r) C + C + C = (M + N)r − r : 2 1 2 3 2 ′ 1 2 3 2 21
22. Lemma2(元論文の8 page) ζ(z) = ∣f(w)∣ g(w)dw の極−Λ(f, g)は ∣f ∣ ≤ ∣f ∣, ∣g ∣ ≤ ∣g ∣)の時Λ(f , g ) ≤ Λ(f , g ) ∫ W z 1 2 1 2 1 2 2 2 22
23. Lemma3(元論文の9 page) T (w), T (w), T (w)をそれぞれN × H , N × M , H × M 行列の関数とすると ∃α, β.st. α(∣∣T ∣∣ + ∣∣T ∣∣ ) ≤ ∣∣T ∣∣ + ∣∣T + T T∣∣ ≤ β(∣∣T ∣∣ + ∣∣T ∣∣ ) 1 2 3 ′ ′ ′ ′ ′ ′ 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 23