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1. S2S 新歓講義 トポロジーと組合せ論の繋がり 理学部4回生 磯部
2. 初めに 入退場自由！ 質問歓迎！
3. 本日のテーマ １ ２ ３ 位相空間とは？ なぜｎ次元空間？ 幾何学とは？
4. 本日のプログラム 導入 例1 主定理 例2 ボス 位相空間とは？ Borsuk-Ulamの定理 パンケーキの定理 盗まれたネックレス問題 クネーザー予想
5. 本日のプログラム 導入 例1 主定理 例2 ボス 位相空間とは？ Borsuk-Ulamの定理 パンケーキの定理 盗まれたネックレス問題 クネーザー予想
6. 位相空間とは？ A.点同士の“近さ”の概念が 備わっている集合のこと
7. 連続とは？ X,Y : 集合 f:X→Y 写像 X,Yに近さが備わっているとき、 “連続”という概念を定義できる 集合の場合 位相空間の場合 X,Y : 位相空間 f:X→Y 連続写像
8. 例:距離空間 (X,d)が距離空間であるとは次のことを言う. 任意の2点𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋に対し,実数𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)が定まっており,以下を満たす. ・∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ≥ 0 ・𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 ・∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ・∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋, 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 + 𝑑𝑑 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ≥ 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑧𝑧) 定義(距離空間)
9. 例:距離空間 (X,d)が距離空間であるとは次のことを言う. 任意の2点𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋に対し,実数𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)が定まっており,以下を満たす. ・∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ≥ 0 ・𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 ・∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋, 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ・∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋, 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 + 𝑑𝑑 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ≥ 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑧𝑧) 定義(距離空間) 今回扱う位相空間は距離空間だけ！
10. 例:距離空間 X 𝑥𝑥 𝑧𝑧 𝑦𝑦 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑧𝑧) 𝑑𝑑(𝑦𝑦, 𝑧𝑧) 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 + 𝑑𝑑 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ≥ 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑧𝑧)
11. 例:距離空間 X 𝑥𝑥 𝑧𝑧 𝑦𝑦 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑧𝑧) 𝑑𝑑(𝑦𝑦, 𝑧𝑧) 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 + 𝑑𝑑 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ≥ 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑧𝑧) 各2点に対して、 その間の”距離”が抽象的に 定まっている集合
12. n次元空間 ℝ𝑛𝑛 = 𝑥𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∈ ℝ} 2点𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦1 , ⋯ , 𝑦𝑦𝑛𝑛 ∈ ℝ𝑛𝑛 に対し距離𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)を次で定める n次元ユークリッド空間
13. n次元空間 ℝ𝑛𝑛 = 𝑥𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∈ ℝ} 2点𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦1 , ⋯ , 𝑦𝑦𝑛𝑛 ∈ ℝ𝑛𝑛 に対し距離𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)を次で定める 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥1 − 𝑦𝑦1 2 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑦𝑦𝑛𝑛 2 n次元ユークリッド空間 単なる集合ℝ𝑛𝑛は 距離空間(ℝ𝒏𝒏, 𝒅𝒅)に︕
14. n次元空間 ℝ𝑛𝑛 = 𝑥𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∈ ℝ} 2点𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦1 , ⋯ , 𝑦𝑦𝑛𝑛 ∈ ℝ𝑛𝑛 に対し距離𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)を次で定める 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥1 − 𝑦𝑦1 2 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑦𝑦𝑛𝑛 2 n次元ユークリッド空間 単なる集合ℝ𝑛𝑛は 距離空間(ℝ𝒏𝒏, 𝒅𝒅)に︕ n次元球面 𝑆𝑆𝑛𝑛 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ𝑛𝑛+1|𝑥𝑥1 2 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 2 = 1} ℝ𝒏𝒏+𝟏𝟏の距離𝒅𝒅を使って 𝑺𝑺𝒏𝒏も距離空間に！
15. 連続の定義 𝑋𝑋, 𝑑𝑑𝑋𝑋 , (𝑌𝑌, 𝑑𝑑𝑌𝑌 )を距離空間とし, 𝑓𝑓: 𝑋𝑋 → 𝑌𝑌をその間の写像とする. 𝑓𝑓が点𝑥𝑥0 ∈ 𝑋𝑋で連続であるとは, 次のことである. ・任意の𝜖𝜖 > 0に対し, ある𝛿𝛿 > 0が存在し,次が成り立つ. 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑥𝑥0 < 𝛿𝛿 ⇒ 𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 < 𝜖𝜖 定義(連続写像)
16. 連続の定義 𝑋𝑋, 𝑑𝑑𝑋𝑋 , (𝑌𝑌, 𝑑𝑑𝑌𝑌 )を距離空間とし, 𝑓𝑓: 𝑋𝑋 → 𝑌𝑌をその間の写像とする. 𝑓𝑓が点𝑥𝑥0 ∈ 𝑋𝑋で連続であるとは, 次のことである. ・任意の𝜖𝜖 > 0に対し, ある𝛿𝛿 > 0が存在し,次が成り立つ. 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝑥𝑥0 < 𝛿𝛿 ⇒ 𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 < 𝜖𝜖 定義(連続写像) 𝑿𝑿 𝒀𝒀 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) 𝒇𝒇
17. 本日のプログラム 導入 例1 主定理 例2 ボス 位相空間とは？ Borsuk-Ulamの定理 パンケーキの定理 盗まれたネックレス問題 クネーザー予想
18. Borsuk-Ulamの定理 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 ∈ ℝ𝑛𝑛+1 𝑥𝑥1 2 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 2 = 1} 𝑛𝑛を自然数とする.このとき,任意の連続写像𝑓𝑓: 𝑆𝑆𝑛𝑛 → ℝ𝑛𝑛に対し, ある球面上の点𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆𝑛𝑛が存在し、 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 が成立する. 定理(Borsuk-Ulam)
19. 具体例:n=2の場合 𝑆𝑆2 地球の表面 f: 𝑆𝑆2 → ℝ2 𝑓𝑓 地点 = (気温 , 湿度) Setting ある𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆2について, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) Borsuk-Ulamの定理
20. 具体例:n=2の場合 𝑆𝑆2 地球の表面 f: 𝑆𝑆2 → ℝ2 𝑓𝑓 地点 = (気温 , 湿度) Setting ある𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆2について, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) Borsuk-Ulamの定理 地球上のある地点において, 気温と湿度が対蹠点と一致している！ (-15.1°C , 23.6%) (-15.1°C , 23.6%)
21. 証明:n=1の場合 Proof 𝑓𝑓: 𝑆𝑆1 → ℝを連続写像とする. 𝑔𝑔: 𝑆𝑆1 → ℝを𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) と定める. ある1点𝑥𝑥0 ∈ 𝑆𝑆1から初めて,円に沿っ て-𝑥𝑥0 まで連続的に動くことを考える. 𝑥𝑥0 −𝑥𝑥0
22. 証明:n=1の場合 Proof 𝑓𝑓: 𝑆𝑆1 → ℝを連続写像とする. 𝑔𝑔: 𝑆𝑆1 → ℝを𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) と定める. ある1点𝑥𝑥0 ∈ 𝑆𝑆1から初めて,円に沿っ て-𝑥𝑥0 まで連続的に動くことを考える. 𝑔𝑔 −𝑥𝑥0 = −𝑔𝑔 𝑥𝑥0 に注意すると, 中間値の定理からある 𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆1で𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 0つまり𝑓𝑓 −𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) となる 𝑔𝑔(𝑥𝑥0 ) 𝒈𝒈 −𝒙𝒙𝟎𝟎 = −𝒈𝒈(𝒙𝒙𝟎𝟎 ) 𝒈𝒈 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎
23. 本日のプログラム 導入 例1 主定理 例2 ボス 位相空間とは？ Borsuk-Ulamの定理 パンケーキの定理 盗まれたネックレス問題 クネーザー予想
24. 適用例１:パンケーキの定理 平面上に2枚のパンケーキが置か れている. このとき,上手く一本の直 線を引くことで同時に等分出来る. パンケーキの定理
25. 適用例１:パンケーキの定理 平面上に2枚のパンケーキが置か れている. このとき,上手く一本の直 線を引くことで同時に等分出来る. パンケーキの定理
26. パンケーキの定理の証明 Proof 点P = a, b, 𝑐𝑐 ∈ 𝑆𝑆2に対し, 半平面𝐻𝐻 𝑃𝑃 を 𝐻𝐻 𝑃𝑃 = { 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅2|𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 ≥ 𝑐𝑐} で定める. 𝐀𝐀 𝑩𝑩 𝑯𝑯(𝑷𝑷)
27. パンケーキの定理の証明 Proof 点P = a, b, 𝑐𝑐 ∈ 𝑆𝑆2に対し, 半平面𝐻𝐻 𝑃𝑃 を 𝐻𝐻 𝑃𝑃 = { 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅2|𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 ≥ 𝑐𝑐} で定める. 𝑢𝑢 𝑃𝑃 = (𝐴𝐴 ∩ 𝐻𝐻(𝑃𝑃)の面積) 𝑣𝑣 𝑃𝑃 = (B ∩ 𝐻𝐻(𝑃𝑃)の面積) とし, 𝑓𝑓: 𝑆𝑆2 → 𝑅𝑅2を 𝑓𝑓 𝑃𝑃 = (𝑢𝑢 𝑃𝑃 , 𝑣𝑣 𝑃𝑃 ) と定める. 𝒇𝒇は連続になる.(要check) 𝐀𝐀 𝑩𝑩 𝑣𝑣(𝑃𝑃) 𝑢𝑢(𝑃𝑃)
28. パンケーキの定理の証明 Proof Borusk-Ulamの定理より、ある点𝑃𝑃 ∈ 𝑆𝑆2 が存在して、𝑓𝑓 𝑃𝑃 = 𝑓𝑓(−𝑃𝑃) つまり 𝑢𝑢 𝑃𝑃 = 𝑢𝑢 −𝑃𝑃 , 𝑣𝑣 𝑃𝑃 = 𝑣𝑣 −𝑃𝑃 が成立する. 𝑣𝑣(𝑃𝑃) 𝑢𝑢(𝑃𝑃) 𝑯𝑯(−𝑷𝑷)
29. パンケーキの定理の証明 Proof Borusk-Ulamの定理より、ある点𝑃𝑃 ∈ 𝑆𝑆2 が存在して、𝑓𝑓 𝑃𝑃 = 𝑓𝑓(−𝑃𝑃) つまり 𝑢𝑢 𝑃𝑃 = 𝑢𝑢 −𝑃𝑃 , 𝑣𝑣 𝑃𝑃 = 𝑣𝑣 −𝑃𝑃 が成立する. 半平面𝐻𝐻(𝑃𝑃)の定め方から, この𝑃𝑃 = (𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐)について ,直線𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑐𝑐が領域 A,Bを同時に等分することわかる. 𝑣𝑣(𝑃𝑃) 𝑢𝑢(𝑃𝑃) 𝑢𝑢(−𝑃𝑃) 𝑣𝑣(−𝑃𝑃)
30. 本日のプログラム 導入 例1 主定理 例2 ボス 位相空間とは？ Borsuk-Ulamの定理 パンケーキの定理 盗まれたネックレス問題 クネーザー予想
31. 適用例２:盗まれたネックレス問題 2人の盗賊が、ネックレスを盗んだ。ネックレスにはN種 類の宝石がちょうど偶数個ずつ含まれていた。ネックレスを 出来るだけ少ない回数切断することで均等に山分けしたい。 Setting
32. 適用例２:盗まれたネックレス問題 2人の盗賊が、ネックレスを盗んだ。ネックレスにはN種 類の宝石がちょうど偶数個ずつ含まれていた。ネックレスを 出来るだけ少ない回数切断することで均等に山分けしたい。 Setting
33. 適用例２:盗まれたネックレス問題 2人の盗賊が、ネックレスを盗んだ。ネックレスにはN種 類の宝石がちょうど偶数個ずつ含まれていた。ネックレスを 出来るだけ少ない回数切断することで均等に山分けしたい。 Setting N回以下の切断で必ず達成できるか？ 問い
34. 適用例２:盗まれたネックレス問題 例 N=4 :6 :2 :4 :8
35. 適用例２:盗まれたネックレス問題 例 N=4 :6 :2 :4 :8
36. 適用例２:盗まれたネックレス問題 例 N=4 :6 :2 :4 :8 :3 :2 :4 :1
37. N=2の場合の証明 Step1 Step3 Step2 問いの連続化 問いの言い換え トポロジーの利用 2種類の宝石が偶数個ずつ含まれたネックレスがある. このとき高々2回切断することで,それぞれの宝石を同数 ずつ含むように2人で分けることが出来る. 定理(盗まれたネックレス問題) 証明の流れ
38. Step1:問いの連続化 Sketch ・ネックレス全体を長さ1の線分とし, 各宝石をその中の色付きの区間とする. ・この線分に２つの切り込みを入れ,3 つの線分に分解し,赤と青の区間の長さ の合計が一致するように ２人に分ける問題を考えればよい ※途中で切れてても良い(理由は省略)
39. Step2:問いの言い換え Goal 1つの切断と分け方を球面上の点と同一視する ・切断によって得られる線分 の長さを順に𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 , 𝑡𝑡3 とする {切断} {(𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 , 𝑡𝑡3 )|𝑡𝑡1 + 𝑡𝑡2 + 𝑡𝑡3 = 1, 𝑡𝑡𝑖𝑖 ≥ 0}
40. Step2:問いの言い換え Goal 1つの切断と分け方を球面上の点と同一視する ・切断によって得られる線分 の長さを順に𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 , 𝑡𝑡3 とする {切断} {(𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 , 𝑡𝑡3 )|𝑡𝑡1 + 𝑡𝑡2 + 𝑡𝑡3 = 1, 𝑡𝑡𝑖𝑖 ≥ 0} ・𝑖𝑖番目の線分を Xさんに分配するとき𝜖𝜖𝑖𝑖 = 1, Yさんに分配するとき𝜖𝜖𝑖𝑖 = −1 {切断と分配} { 𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 , 𝑡𝑡3 , (𝜖𝜖1 , 𝜖𝜖2 , 𝜖𝜖3 )| 𝑡𝑡1 + 𝑡𝑡2 + 𝑡𝑡3 = 1, 𝑡𝑡𝑖𝑖 ≥ 0, 𝜖𝜖𝑖𝑖 = ±1} ※ ‘※厳密には一対一には対応してない(省略))
41. Step2:問いの言い換え Goal 1つの切断と分け方を球面上の点と同一視する ・切断によって得られる線分 の長さを順に𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 , 𝑡𝑡3 とする {切断} {(𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 , 𝑡𝑡3 )|𝑡𝑡1 + 𝑡𝑡2 + 𝑡𝑡3 = 1, 𝑡𝑡𝑖𝑖 ≥ 0} ・𝑖𝑖番目の線分を Xさんに分配するとき𝜖𝜖𝑖𝑖 = 1, Yさんに分配するとき𝜖𝜖𝑖𝑖 = −1 {切断と分配} { 𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 , 𝑡𝑡3 , (𝜖𝜖1 , 𝜖𝜖2 , 𝜖𝜖3 )| 𝑡𝑡1 + 𝑡𝑡2 + 𝑡𝑡3 = 1, 𝑡𝑡𝑖𝑖 ≥ 0, 𝜖𝜖𝑖𝑖 = ±1} 𝐾𝐾 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ ℝ3 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1} ※ ‘※厳密には一対一には対応してない(省略))
42. Step2:問いの言い換え Goal 1つの切断と分け方を球面上の点と同一視する 𝐾𝐾 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ ℝ3 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1} 空間K上の点と, 線分の切断と分け方が 一対一に対応する！
43. Step2:問いの言い換え Goal 1つの切断と分け方を球面上の点と同一視する 𝐾𝐾 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ ℝ3 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1} 空間K上の点と, 線分の切断と分け方が 一対一に対応する！ Kは𝑺𝑺𝟐𝟐と同相 →Borsuk-Ulamが適用できる
44. Step3:トポロジーの利用 Proof ・点𝑃𝑃 ∈ 𝐾𝐾に対し, Pが定める切断と分け方によって Xが受け取る赤の長さをR(P) 青の長さをB(P)と表す K P P= (1/2, -1/3 , 1/6) X Y
45. Step3:トポロジーの利用 Proof ・点𝑃𝑃 ∈ 𝐾𝐾に対し,Pが定める切断と分け方に よってXが受け取る赤の長さをR(P) 青の長さをB(P)と表す ・𝑓𝑓: 𝐾𝐾 → ℝ2を𝒇𝒇 𝑷𝑷 = (𝑹𝑹 𝑷𝑷 , 𝑩𝑩(𝑷𝑷))で定める ・𝑓𝑓は連続であり(要check), Borsuk-Ulamの定理から ある点𝑃𝑃 = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)について𝑓𝑓 𝑃𝑃 = 𝑓𝑓(−𝑃𝑃)が 成立する P P= (1/2, -1/3 , 1/6) X Y
46. Step3:トポロジーの利用 Proof ・R(P): Xが受け取る赤の長さ B(P): 青の長さ ・𝑓𝑓: 𝐾𝐾 → ℝ2 𝑓𝑓 𝑃𝑃 = (𝑅𝑅 𝑃𝑃 , 𝐵𝐵(𝑃𝑃)) ・∃𝑃𝑃 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝐾𝐾, 𝑓𝑓 𝑃𝑃 = 𝑓𝑓 −𝑃𝑃 ・𝑃𝑃と − 𝑃𝑃は “切断の仕方が同じで分け方がちょうど逆” R(P)=R(-P)→XとYの赤の長さが一致 B(P)=B(-P)→ 青の長さが一致 これで存在が言えた. P= (1/2, -1/3 , 1/6) -P= (-1/2, 1/3 , -1/6) X Y Y X
47. 本日のプログラム 導入 例1 主定理 例2 ボス 位相空間とは？ Borsuk-Ulamの定理 パンケーキの定理 盗まれたネックレス問題 クネーザー予想
48. ボス:クネーザー予想 任意の整数𝑘𝑘 > 0と𝑛𝑛 ≥ 2𝑘𝑘に対し,クネーザーグラフ𝐾𝐾𝐺𝐺𝑛𝑛,𝑘𝑘 の彩色数は𝑛𝑛 − 2𝑘𝑘 + 2である. 定理(クネーザー予想)
49. ボス:クネーザー予想 グラフとは？ 彩色数とは？ 任意の整数𝑘𝑘 > 0と𝑛𝑛 ≥ 2𝑘𝑘に対し,クネーザーグラフ𝐾𝐾𝐺𝐺𝑛𝑛,𝑘𝑘 の彩色数は𝑛𝑛 − 2𝑘𝑘 + 2である. 定理(クネーザー予想)
50. グラフとは グラフ𝐺𝐺 = (𝑉𝑉, 𝐸𝐸)とは,次の2つのデータのことである. ・頂点集合 𝑉𝑉 = {𝑣𝑣𝑖𝑖 } ・辺集合 𝐸𝐸 = {𝑒𝑒𝑖𝑖 = {𝑣𝑣𝑗𝑗 , 𝑣𝑣𝑘𝑘 }} ⋯ 辺𝑒𝑒𝑖𝑖 は頂点𝑣𝑣𝑗𝑗 と𝑣𝑣𝑘𝑘 を結ぶということ 定義(グラフ)
51. グラフとは 例 𝑣𝑣1 𝑣𝑣2 𝑣𝑣3 𝑣𝑣4 𝑣𝑣5 𝑒𝑒1 𝑒𝑒4 𝑒𝑒5 𝑒𝑒2 𝑒𝑒3 グラフG 頂点集合V 辺集合E {𝑣𝑣1 , 𝑣𝑣2 , 𝑣𝑣3 , 𝑣𝑣4 , 𝑣𝑣5 } = { 𝑣𝑣1 , 𝑣𝑣2 , 𝑣𝑣2 , 𝑣𝑣3 , 𝑣𝑣3 , 𝑣𝑣4 , 𝑣𝑣1 , 𝑣𝑣4 , 𝑣𝑣4 , 𝑣𝑣5 } {𝑒𝑒1 , 𝑒𝑒2 , 𝑒𝑒3 , 𝑒𝑒4 , 𝑒𝑒5 }
52. 彩色数とは グラフ𝐺𝐺の彩色とは,辺で隣接する頂点が同じ色にならないよ うに各頂点を塗り分けることである. 最大k色を使った彩色のことをk-彩色という. 𝐺𝐺のk-彩色が存在するような最小のkをグラフ𝐺𝐺の彩色数とい い,𝜒𝜒 𝐺𝐺 と書く. 定義(彩色)
53. 彩色数とは 例 3-彩色 2-彩色
54. 彩色数とは 例 3-彩色 2-彩色 Gの彩色数=2
55. 彩色数とは 例 3-彩色 2-彩色 Gの彩色数=2 一般のグラフの彩色数を 決定することはすごく難しい！
56. クネーザーグラフとは 整数𝑘𝑘 ≥ 0と𝑛𝑛 ≥ 2𝑘𝑘に対して、 𝐾𝐾𝐺𝐺𝑛𝑛,𝑘𝑘 とは次のようなグラフで ある。 ・頂点集合 V = [𝑛𝑛] 𝑘𝑘 ・辺集合 E = { 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 | 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ 𝑉𝑉, 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝜙𝜙} 定義(クネーザーグラフ) 𝑋𝑋 𝑘𝑘 ⋯ 集合Xの要素数kの部分集合全体 [n] ⋯ {1,2,⋯ , 𝑛𝑛} 記号
57. クネーザーグラフとは 例 𝐾𝐾𝐺𝐺6,1 𝐾𝐾𝐺𝐺5,2 {1,3} {2,4} {3,5} {1,4} {2,5} {4,5} {3,4} {2,3} {1,5} {1,2} {1} {6} {2} {3} {5} {4}
58. クネーザー予想の証明 任意の整数𝑘𝑘 > 0と𝑛𝑛 ≥ 2𝑘𝑘に対し,クネーザーグラフ𝐾𝐾𝐺𝐺𝑛𝑛,𝑘𝑘 の彩色数𝑑𝑑は𝑛𝑛 − 2𝑘𝑘 + 2である. 定理(クネーザー予想) 証明の流れ Step1 Step3 Step2 𝑑𝑑 ≤ 𝑛𝑛 − 2𝑘𝑘 + 2の証明 Borsuk-Ulamの定理の言い換え 𝑑𝑑 ≥ 𝑛𝑛 − 2𝑘𝑘 + 2の証明
59. Step1 : 𝒅𝒅 ≤ 𝒏𝒏 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐の証明 {1,3} {2,4} {3,5} {1,4} {2,5} {4,5} {3,4} {2,3} {1,5} {1,2} 𝑛𝑛 − 2𝑘𝑘 + 2 -彩色が存在することを言えばよい. Proof
60. Step1 : 𝒅𝒅 ≤ 𝒏𝒏 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐の証明 {1,3} {2,4} {3,5} {1,4} {2,5} {4,5} {3,4} {2,3} {1,5} {1,2} 𝑛𝑛 − 2𝑘𝑘 + 2 -彩色が存在することを言えばよい. 頂点Aに対して整数 min(𝑛𝑛 − 2𝑘𝑘 + 2, min 𝐴𝐴 ) を割り当てると、これは{1,2, ⋯ , 𝑛𝑛 − 2𝑘𝑘 + 2} による彩色になっている. (要check) 2 1 2 3 1 3 3 2 1 Proof 1
61. Step2 :Borsuk-Ulamの言い換え 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝐶𝐶1 ∪ 𝐶𝐶2 ∪ ⋯ ∪ 𝐶𝐶𝑛𝑛+1 (各𝐶𝐶𝑖𝑖 は”開”または"閉") のとき,あるP ∈ 𝑆𝑆𝑛𝑛と𝑖𝑖 ∈ {1,2, ⋯ , 𝑛𝑛 + 1}が存在 し,P, −𝑃𝑃 ∈ 𝐶𝐶𝑖𝑖 が成立する. 定理(Borsuk-Ulamの系)
62. Step2 :Borsuk-Ulamの言い換え 証明のスケッチ ・𝐶𝐶𝑖𝑖 が全て閉の場合に示す. ・𝐶𝐶1 , ⋯ , 𝐶𝐶𝑛𝑛 は対蹠点のペアを含まない とする. 𝑓𝑓: 𝑆𝑆𝑛𝑛 → 𝑅𝑅𝑛𝑛を次で定める. 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = (𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝐶𝐶1 , 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝐶𝐶2 , ⋯ , 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝐶𝐶𝑛𝑛 ) ここで𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝐴𝐴 は点と集合の距離を表し, 𝐴𝐴が閉のときは,𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝐴𝐴 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴が 成立することに注意 𝑨𝑨 𝒙𝒙 𝒅𝒅(𝒙𝒙, 𝑨𝑨)
63. Step2 :Borsuk-Ulamの言い換え 証明のスケッチ 𝑓𝑓: 𝑆𝑆𝑛𝑛 → 𝑅𝑅𝑛𝑛を次で定める. 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = (𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝐶𝐶1 , 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝐶𝐶2 , ⋯ , 𝑑𝑑 𝑥𝑥, 𝐶𝐶𝑛𝑛 ) ・𝑓𝑓は連続であり,Borsuk-Ulamの定理から ある𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆𝑛𝑛が存在し, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 ・この𝑥𝑥について 𝑥𝑥, −𝑥𝑥 ∈ 𝐶𝐶𝑛𝑛+1 が分かる.(略) ・一般の場合は, 全て閉の場合に成立したこと を利用し証明できる(略) 𝑨𝑨 𝒙𝒙 𝒅𝒅(𝒙𝒙, 𝑨𝑨)
64. Step3 :𝒅𝒅 ≥ 𝒏𝒏 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐の証明 Proof ・𝑑𝑑 = 𝑛𝑛 − 2𝑘𝑘 + 1と置く. ・𝐾𝐾𝐺𝐺𝑛𝑛,𝑘𝑘 の𝑑𝑑-彩色が存在したとして矛盾を導く. ・𝑑𝑑次元球面𝑆𝑆𝑑𝑑上に𝑛𝑛個点を取り, 原点を通るどんな𝑑𝑑次元超平面も𝑑𝑑 + 1個の 点を通ることはないようにする. 𝑋𝑋 ⊂ 𝑆𝑆𝑑𝑑をその𝑛𝑛個の点とする. ・𝑲𝑲𝑮𝑮𝒏𝒏,𝒌𝒌 の頂点集合を 𝑿𝑿 𝒌𝒌 と同一視する 例 𝒏𝒏, 𝒌𝒌 = (𝟓𝟓, 𝟐𝟐) 1 2 5 4 3
65. Step3 :𝒅𝒅 ≥ 𝒏𝒏 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐の証明 Proof ・𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆𝑑𝑑, 𝐻𝐻 𝑥𝑥 ≔ 𝑦𝑦 ∈ 𝑆𝑆𝑑𝑑 𝑥𝑥・𝑦𝑦 > 0} ・𝐴𝐴1 , ⋯ , 𝐴𝐴𝑑𝑑 ⊂ 𝑆𝑆𝑑𝑑を次で定める 𝐴𝐴𝑖𝑖 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆𝑑𝑑|𝑖𝑖で彩色された頂点𝐹𝐹 ⊂ 𝑋𝑋が存在し, 𝐹𝐹 ⊂ 𝐻𝐻(𝑥𝑥)} ・𝐴𝐴𝑑𝑑+1 = 𝑆𝑆𝑑𝑑 − (𝐴𝐴1 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝐴𝑑𝑑 ) ・Borsuk-Ulamの系から, ある𝑖𝑖 ∈ {1, ⋯ , 𝑑𝑑 + 1}と𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆𝑑𝑑が存在し, 𝒙𝒙, −𝒙𝒙 ∈ 𝑨𝑨𝒊𝒊 𝑯𝑯(𝒙𝒙) 𝒙𝒙
66. Step3 :𝒅𝒅 ≥ 𝒏𝒏 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐の証明 Proof ・𝐴𝐴𝑖𝑖 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆𝑑𝑑|𝑖𝑖で彩色された頂点𝐹𝐹 ⊂ 𝑋𝑋が存在し, 𝐹𝐹 ⊂ 𝐻𝐻(𝑥𝑥)} ・ ∃𝒊𝒊, ∃𝒙𝒙, 𝒔𝒔. 𝒕𝒕 𝒙𝒙, −𝒙𝒙 ∈ 𝑨𝑨𝒊𝒊 Case1 𝟏𝟏 ≤ 𝒊𝒊 ≤ 𝒅𝒅のとき 頂点𝐹𝐹 ⊂ 𝐻𝐻 𝑥𝑥 , 𝐹𝐹′ ⊂ 𝐻𝐻(−𝑥𝑥)であって, どちら も𝑖𝑖で彩色されているものがある. →𝐹𝐹 ∩ 𝐹𝐹′ = 𝜙𝜙なのでこれらの頂点は隣接して おり, 矛盾 𝑯𝑯(𝒙𝒙) 𝒙𝒙 −𝒙𝒙 𝑯𝑯(−𝒙𝒙) F F’
67. Step3 :𝒅𝒅 ≥ 𝒏𝒏 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐の証明 Proof ・𝐴𝐴𝑖𝑖 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆𝑑𝑑|𝑖𝑖で彩色された頂点𝐹𝐹 ⊂ 𝑋𝑋が存在し , 𝐹𝐹 ⊂ 𝐻𝐻(𝑥𝑥)} ・ ∃𝒊𝒊, ∃𝒙𝒙, −𝒙𝒙 ∈ 𝑨𝑨𝒊𝒊 ・𝐴𝐴𝑑𝑑+1 = 𝑆𝑆𝑑𝑑 − (𝐴𝐴1 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝐴𝑑𝑑 ) Case2 𝒊𝒊 = 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏のとき 任意の頂点Fは1~𝑑𝑑の何色かで彩色されているの で, 𝐻𝐻 𝑥𝑥 と𝐻𝐻 −𝑥𝑥 は高々𝑘𝑘 − 1個しか点を含まない 𝑯𝑯(𝒙𝒙) 𝒙𝒙 −𝒙𝒙 𝑯𝑯(−𝒙𝒙)
68. Step3 :𝒅𝒅 ≥ 𝒏𝒏 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐の証明 Proof ・𝐴𝐴𝑖𝑖 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆𝑑𝑑|𝑖𝑖で彩色された頂点𝐹𝐹 ⊂ 𝑋𝑋が存在し , 𝐹𝐹 ⊂ 𝐻𝐻(𝑥𝑥)} ・ ∃𝒊𝒊, ∃𝒙𝒙, −𝒙𝒙 ∈ 𝑨𝑨𝒊𝒊 ・𝐴𝐴𝑑𝑑+1 = 𝑆𝑆𝑑𝑑 − (𝐴𝐴1 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝐴𝑑𝑑 ) Case2 𝒊𝒊 = 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏のとき 任意の頂点Fは1~𝑑𝑑の何色かで彩色されているの で, 𝐻𝐻 𝑥𝑥 と𝐻𝐻 −𝑥𝑥 は高々𝑘𝑘 − 1個しか点を含まない →赤道𝒆𝒆 𝒙𝒙 に𝑛𝑛 − 2 𝑘𝑘 − 1 = 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏個以上の点が 含まれ,初めの点の取り方に矛盾 𝑯𝑯(𝒙𝒙) 𝒙𝒙 −𝒙𝒙 𝑯𝑯(−𝒙𝒙) 𝒆𝒆(𝒙𝒙) 𝑘𝑘 − 1個 𝑘𝑘 − 1個
69. 本の紹介
70. 本の紹介 代数トポロジー 多様体論