tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 , donde los coeficientes numéricos , , … son números reales y los exponentes de las variables , − 1, − 2 … , 0 son números enteros no negativos. El término principal es 𝑥 e indica el grado de la función mientras que el término constante es 𝑥 . Ejemplo1: a) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 − 7 4𝑥 + 𝜋𝑥 − √2 𝑥 − es una función polinómica de grado 5 La gráfica de una función polinómica es una curva suave y continua. Una curva continua es aquella que no presenta huecos, saltos o brincos. La curva suave es aquella que no presenta esquinas o picos. En otras palabras se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. Características de las gráficas de las funciones polinómicas: 1) Tiene como máximo interceptos en el eje de 𝑥. 2) Tiene como máximo − 1 puntos de cambio. 3) Los extremos de su gráfica tienden a infinito. Estos quedan generalizados por el termino principal n n x a veamos las distintas posibilidades, a) Si 0 n a y par entonces ambos extremos tienden a positivo infinito. b) Si 0 n a y par entonces ambos extremos tienden a negativo infinito. c) Si 0 n a y impar entonces los extremos tienden distintos infinitos. El extremo de la gráfica de la izquierda a negativo infinito y el de la derecha a positivo infinito. d) Si 0 n a y impar entonces los extremos tienden distintos infinitos. El extremo de la gráfica de la izquierda a positivo infinito y el de la derecha a negativo infinito.
de x x x f 27 3 3 Solución: 𝑓(𝑥) = 3𝑥(𝑥 − ) 𝑓(𝑥) = 3𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) 𝑥 = 0 𝑥 + 3 = 0 𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 0 𝑥 = −3 𝑥 = 3 = 𝑓(0) = 3(0)(0 + 3)(0 − 3) = 𝑓(0) = 0 Intervalo Valor de prueba gráfica (𝑥, ) (− , −3] 𝑓(−4) = − 4 (-) abajo (−4, − 4) [−3, 0] 𝑓(−1) = 24 (+) arriba (−1,24) [0, 3] 𝑓(1) = −24 (-) abajo (1, −24) [3, ) 𝑓(4) = 4 (+) arriba (4, 4) 0 −3 3 0 −3 3 (− , −3] [−3, 0] [0, 3] [3, ) El primer paso es factorizar utilizando factor común y el producto notable diferencia de dos cuadrados. Luego se iguala a cero cada factor para obtener los ceros de la función. Las intersecciones se obtienen sustituyendo cero en una de las variables y buscando el valor de la otra. Los ceros son las intersecciones en el eje de 𝑥. Por lo tanto las intersecciones son (0,0), (−3,0) y (3,0). Pintar todas las intersecciones en los ejes y la forma de la gráfica en los extremos de acuerdo a la característica número 4. En el ejemplo la función tiene como término principal 3𝑥3, por lo tanto, el grado es impar y el coeficiente numérico es positivo y la gráfica tiene el extremo izquierdo abajo y el extremo derecha arriba. Se dibuja la recta numérica localizando las intersecciones en el eje de 𝑥 para establecer los intervalos que serán analizados. Luego se buscan los valores de prueba para cada intervalo. Por ejemplo el intervalo desde -3 hasta 0 incluidos ambos, se puede utilizar -2 o -1. Buscamos el valor de la función para valor de prueba y los colocamos en la tabla de la izquierda. Recuerde que al evaluar una función para algún valor particular de 𝑥, se sustituye el valor de 𝑥 en todas estas y después se efectúan las operaciones. Finalmente, se dibujan las intersecciones y los puntos de la tabla que están en los intervalos centrales en el sistema de coordenadas. Luego se dibuja la gráfica comenzando en el extremo izquierdo en la parte de abajo pasando por los puntos y terminando en la parte superior del extremo de la derecha. Nota: Las intersecciones en el eje de 𝑥 son los ceros de la función polinómica. 𝑦 𝑥 3 −3 −24 24
de una función polinómica de grado n Usaremos la teoría para lograr la factorización de la función en caso de que no se le puedan aplicar las factorizaciones convencionales. Teorema #1 Toda función polinómica de grado n factoriza en n factores lineales, n n c x c x c x a x f ... 2 1 , donde n c c c ,... , 2 1 son sus n ceros. Teorema #2 Teorema de los ceros racionales Si q p es un cero racional de la función polinómica 0 0 ... x a x a x f n n entonces p es un factor de 0 a y q es un factor de n a . Al aplicar este teorema a la función creamos el conjunto de posibles ceros racionales de x f . Ejemplo 3: Mencione el conjunto de posibles ceros de la función dada. 1) 8 4 5 3 2 3 4 x x x x x f , creamos 3 8 q p y buscamos todos los divisores de p y de q 3 , 1 8 , 4 , 2 , 1 y así el conjunto 3 8 , 3 4 , 3 2 , 3 1 , 8 , 4 , 2 , 1 , como c/u de los ceros puede ser considerado positivo o negativo por eso los valores de p y de q se escogen de principio en valor absoluto. 2) 6 3 5 2 2 3 5 x x x x x f , 2 6 q p , (no simplificamos porque podemos eliminar con ello posibles ceros)… 2 , 1 6 , 3 , 2 , 1 y así el conjunto de posibles ceros es 2 3 , 2 1 , 6 , 3 , 2 , 1 . Ahora necesitamos una herramienta que nos ayude a determinar cuales de todos estos posibles ceros son verdaderos ceros de la función. Tenemos dos opciones i) sustituir directamente en la función y ver si se obtiene cero como resultado de lo contrario no lo es. Esta opción presenta el inconveniente de la multiplicidad de dicho cero en la factorización de x f y la ii) es usar división sintética junto con dos nuevos teoremas que discutiremos a continuación para hallar cada uno de los ceros de x f y sus multiplicidades. Teorema #3 Teorema del factor Si al dividir x f entre c x obtenemos residuo cero entonces c es un cero de x f .
de 𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 + por 𝑥 − 1. Comienza con el siguiente esquema (pon cero para cualquier coeficiente faltante del polinomio dado) 2. Multiplica por y anota el producto debajo de , como lo, indica la flecha de abajo (las flechas de abajo sólo aclaran estas guías, no aparecen en divisiones sintéticas específicas). A continuación encuentra = − y colócalo debajo de la línea: 3. Multiplica por y anota el producto debajo de , como lo, indica la segunda flecha. Al continuar, halla la suma = − y lo colócalo debajo de la línea como se muestra arriba. 4. Continua este proceso según lo indican las flechas hasta obtener la suma final que representa el residuo cuyo valor es = + . Los números , y … son los coeficientes del cociente (𝑥): esto es (𝑥) = 𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 . Ejemplo 4: Halle cociente y residuo usando la división sintética para 3 . Solución: 𝑐 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 … 𝑎 𝑎 𝑎 𝑛 𝑐 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 … 𝑎 𝑎 𝑎 𝑛 𝑐𝑎 𝑛 𝑏 𝑐𝑏 𝑏 … 𝑐𝑏𝑛 𝑟 𝑏𝑛 𝑐𝑏𝑛 Cociente: 𝑥 − 𝑥 − 1 residuo −1 1 0 − 2 3 1 −1 −1 1 −1 1 4 Se dibuja la casita de división y se escriben los coeficientes de las variables de la función dentro de esta. Los términos que no están en la función tienen coeficiente igual a cero. Fuera de la casita de división se escribe el valor de 𝑐 = −1. El primer 1 lo bajamos, este valor se multiplica por 𝑐 = −1 obteniendo −1 y se coloca debajo del siguiente coeficiente que es 0. Luego se suma verticalmente obteniendo −1 y seguimos repitiendo el proceso hasta el final que será el residuo.
de x x x x f 4 3 3 4 , y dibuje su gráfica. Solución: 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥3 + 3𝑥 − 4) 𝑥 = 0 𝑥3 + 3𝑥 − 4 = 0 1𝑥3 + 3𝑥 − 4 = 0 = 𝑝 ⟼ {±1, ± 2, ± 4} 𝑥 + 4𝑥 + 4 = 0 (𝑥 + 2)(𝑥 + 2) = 0 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −2 = 𝑓(0) = (0) + 3(0)3 − 4(0) = 𝑓(0) = 0 0 −2 1 Se factoriza utilizando factor común. Después se iguala a cero cada factor. El factor cubico no se puede factorizar, por lo tanto, se utiliza el teorema de los ceros racionales para hallar los posibles ceros de este factor. En este factor se identifica la constante y el coeficiente principal. Luego se escribe la fracción 𝑝 𝑞 . Después se buscan todos los divisores de −4 en el numerador y de 1 en el denominador. Estos son los posibles ceros del factor cúbico. Posteriormente se utiliza división sintética para determinar cuáles son los verdaderos ceros. Se dibuja la casita de división y se escriben los coeficientes de las variables de la función dentro de esta. Los términos que no están en la función tienen coeficiente igual a cero. Fuera de la casita de división se escribe el cero a verificar. Como el residuo es cero, se utiliza el cociente de esta división para hallar los otros ceros. En esta ocasión el cociente es un polinomio cuadrático 𝑥 + 4𝑥 + 4. Luego se utiliza factorización o la fórmula cuadrática. Al factorizar se obtiene un factor repetido, se iguala uno de ellos a cero y se obtiene un cero repetido. Recuerde que uno de los ceros es el 0 del factor 𝑥 por lo tanto los ceros son: {−2, −2, 0} Las intersecciones se obtienen sustituyendo cero en una de las variables y buscando el valor de la otra. Los ceros son las intersecciones en el eje de 𝑥. Por lo tanto las intersecciones son (0,0) y (−2,0). Pintar todas las intersecciones en los ejes y la forma de la gráfica en los extremos de acuerdo a la característica número 4. En el ejemplo la función tiene como término principal 3𝑥3, por lo tanto, el grado es impar y el coeficiente numérico es positivo y la gráfica tiene el extremo izquierdo abajo y el extremo derecha arriba. −1 1 3 0 − 4 1 −1 2 − 2 −2 2 − 2 Prueba del -1 No es un cero 𝑓(𝑥) Prueba del 1 1 1 3 0 − 4 1 1 4 4 4 4 0 Es un cero 𝑓(𝑥)
(𝑥, ) (− , −2] 𝑓(−3) = 4 (+) arriba (−4, − 4) [−2, 0] 𝑓(−1) = 2 (+) arriba (−1,2) [0, 1] 𝑓 ( ) = − (-) abajo ( , − ) [1, ) 𝑓(2) = 32 (+) arriba (2,32) 𝑓(−1) = (−1) + 3(−1)3 − 4(−1) 𝑓(−1) = 1 + 3(−1) − 4(−1) 𝑓(−1) = 1 − 3 + 4 𝑓(−1) = 2 0 −2 1 (− , −2] [−2, 0] [0, 1] [1, ) Se dibuja la recta numérica localizando las intersecciones en el eje de 𝑥 para establecer los intervalos que serán analizados. Luego se buscan los valores de prueba para cada intervalo. Por ejemplo el intervalo desde −2 hasta 0 incluidos ambos, se puede utilizar −1. Buscamos el valor de la función para valor de prueba y los colocamos en la tabla de la izquierda. Recuerde que al evaluar una función para algún valor particular de 𝑥, se sustituye el valor de 𝑥 en todas estas y después se efectúan las operaciones. Por ejemplo, al evaluar 𝑓(−1) se obtiene 2. De igual manera, cuando se evalúa 𝑓(2) se obtiene 32. Finalmente, se dibujan las intersecciones y los puntos de la tabla que están en los intervalos centrales en el sistema de coordenadas. Luego se dibuja la gráfica comenzando en el extremo izquierdo en la parte superior pasando por los puntos y terminando en la parte superior del extremo de la derecha. Nota: Las intersecciones en el eje de 𝑥 son los ceros de la función polinómica. 𝑦 𝑥
función polinómica (P) o no - polinómica (NP) cada una de las siguientes funciones. De serlo indique su, grado, de no serlo explique porqué. 1. 𝑓(𝑥) = 11𝑥 − 𝑥 3 + 𝑥 + 2𝑥3 − P / NP 2. 𝑓(𝑥) = + 𝑥3 + P / NP 3. 𝑓(𝑥) = 4( )𝑥3 + 𝑥 − 7𝑥 + 2𝑥 − P / NP 4. (𝑥) = √𝑥 + 𝑥 − 7𝑥 + 2𝑥 − P / NP Identificación de las características de las funciones polinómicas en una gráfica Determine si la gráfica representa una función polinómica, de serlo, comente sobre el término principal y determine el grado mínimo que puede tener. Ejercicio #1: 𝑦 𝑥
utilizando división sintética para 3 Halle el conjunto de posibles ceros racionales de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 1 Halle los ceros complejos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥3 − 4𝑥 y escribe esta función en forma factorizada.
las siguientes funciones. 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 − 𝑥 + 3 a) Mencione el conjunto de posibles ceros. b) Halle sus ceros. c) Halle su factorización. d) Trace su gráfica. x y
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