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Cálculo Diferencial e Integral IV

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1. Cálculo Diferencial e Integral IV Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 01/06/2022 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
2. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
3. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Sejam γ(t) = (x(t), y(t)) (ou γ(t) = (x(t), y(t), z(t))) definida em I ⊂ R uma curva regular e ⃗ F um campo contínuo cujo domínio contém o traço desta curva. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
4. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Sejam γ(t) = (x(t), y(t)) (ou γ(t) = (x(t), y(t), z(t))) definida em I ⊂ R uma curva regular e ⃗ F um campo contínuo cujo domínio contém o traço desta curva. Efetuemos uma partição de I = [a, b] em n − 1 subintervalos de comprimentos ∆ti = ti+1 − ti , 1 ≤ i ≤ n, a qual induz uma partição do traço de γ em n − 1 sub-arcos de comprimentos ∆si, 1 ≤ i ≤ n. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
5. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Sejam γ(t) = (x(t), y(t)) (ou γ(t) = (x(t), y(t), z(t))) definida em I ⊂ R uma curva regular e ⃗ F um campo contínuo cujo domínio contém o traço desta curva. Efetuemos uma partição de I = [a, b] em n − 1 subintervalos de comprimentos ∆ti = ti+1 − ti , 1 ≤ i ≤ n, a qual induz uma partição do traço de γ em n − 1 sub-arcos de comprimentos ∆si, 1 ≤ i ≤ n. Em t = ti , temos que: ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) = |⃗ F(γ(ti))||γ′(ti)| cos(θ), em que θ é o ângulo formado pelos vetores ⃗ F(γ(ti)) e γ′(ti). 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
6. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição a b ti ti+1 γ x y γ(a) γ(b) γ(ti+1) γ(ti) ⃗ F(γ(ti)) γ′(ti) θ Figura: Curva parametrizada γ 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
7. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Dessa forma, como γ é regular, ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| = |⃗ F(γ(ti))| cos(θ), 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
8. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Dessa forma, como γ é regular, ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| = |⃗ F(γ(ti))| cos(θ), sendo que ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = |⃗ F(γ(ti))| cos(θ)∆si = Wi. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
9. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Dessa forma, como γ é regular, ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| = |⃗ F(γ(ti))| cos(θ), sendo que ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = |⃗ F(γ(ti))| cos(θ)∆si = Wi. Observe que como ∆si é uma boa aproximação para o comprimento do segmento que une os pontos γ(ti) e γ(ti+1) e; 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
10. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Dessa forma, como γ é regular, ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| = |⃗ F(γ(ti))| cos(θ), sendo que ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = |⃗ F(γ(ti))| cos(θ)∆si = Wi. Observe que como ∆si é uma boa aproximação para o comprimento do segmento que une os pontos γ(ti) e γ(ti+1) e; por ser ⃗ F contínua e, portanto, aproximadamente constante para uma muito pequena variação de t, o segundo membro desta última equação é uma aproximação para o trabalho Wi de uma partícula sujeita a ação de um campo de forças ⃗ F ao se deslocar de γ(ti) a γ(ti+1). 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
11. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Fazendo i variar de 1 a n, sua soma é dada por: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
12. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Fazendo i variar de 1 a n, sua soma é dada por: n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = n ∑ i=1 |⃗ F(γ(ti))| cos(θ)∆si = n ∑ i=1 Wi ≈ W, 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
13. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Fazendo i variar de 1 a n, sua soma é dada por: n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = n ∑ i=1 |⃗ F(γ(ti))| cos(θ)∆si = n ∑ i=1 Wi ≈ W, em que W é o trabalho de uma partícula sujeita ao campo de forças ⃗ F ao se deslocar de γ(a) a γ(b). 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
14. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Fazendo i variar de 1 a n, sua soma é dada por: n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = n ∑ i=1 |⃗ F(γ(ti))| cos(θ)∆si = n ∑ i=1 Wi ≈ W, em que W é o trabalho de uma partícula sujeita ao campo de forças ⃗ F ao se deslocar de γ(a) a γ(b). Considerando que ∆si = |γ′(ti)|∆ti , temos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
15. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição Fazendo i variar de 1 a n, sua soma é dada por: n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = n ∑ i=1 |⃗ F(γ(ti))| cos(θ)∆si = n ∑ i=1 Wi ≈ W, em que W é o trabalho de uma partícula sujeita ao campo de forças ⃗ F ao se deslocar de γ(a) a γ(b). Considerando que ∆si = |γ′(ti)|∆ti , temos: n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti)∆ti 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
16. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição O limite da soma, ao fazermos os valores de n crescerem indefinidamente, é: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
17. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição O limite da soma, ao fazermos os valores de n crescerem indefinidamente, é: lim n→∞ n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = lim n→∞ n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti)∆ti, 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
18. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição O limite da soma, ao fazermos os valores de n crescerem indefinidamente, é: lim n→∞ n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = lim n→∞ n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti)∆ti, ou seja, 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
19. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição O limite da soma, ao fazermos os valores de n crescerem indefinidamente, é: lim n→∞ n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = lim n→∞ n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti)∆ti, ou seja, ∫ γ ⃗ F(γ(t)) · ⃗ ν ds = ∫ b a ⃗ F(γ(t)) · γ′(t) dt, 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
20. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição O limite da soma, ao fazermos os valores de n crescerem indefinidamente, é: lim n→∞ n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti) |γ′(ti)| ∆si = lim n→∞ n ∑ i=1 ⃗ F(γ(ti)) · γ′(ti)∆ti, ou seja, ∫ γ ⃗ F(γ(t)) · ⃗ ν ds = ∫ b a ⃗ F(γ(t)) · γ′(t) dt, a integral de linha de ⃗ F ao longo de γ, 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
21. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
22. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
23. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
24. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição No caso R2, para ⃗ F(x, y) = P(x, y) ⃗ i + Q(x, y)⃗ j integrável e γ(t) = x(t) ⃗ i + y(t)⃗ j regular, contida no domínio de ⃗ F, temos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
25. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição No caso R2, para ⃗ F(x, y) = P(x, y) ⃗ i + Q(x, y)⃗ j integrável e γ(t) = x(t) ⃗ i + y(t)⃗ j regular, contida no domínio de ⃗ F, temos: ∫ b a [P x′(t) + Q y′(t)] dt = ∫ b a P dx + Q dy. usando a notação dx = x′(t) dt e dy = y′(t) dt. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
26. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição No caso R2, para ⃗ F(x, y) = P(x, y) ⃗ i + Q(x, y)⃗ j integrável e γ(t) = x(t) ⃗ i + y(t)⃗ j regular, contida no domínio de ⃗ F, temos: ∫ b a [P x′(t) + Q y′(t)] dt = ∫ b a P dx + Q dy. usando a notação dx = x′(t) dt e dy = y′(t) dt. Assim, ∫ γ ⃗ F · d⃗ s = ∫ b a P dx + Q dy. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
27. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição No caso R3, para ⃗ F(x, y, z) = P(x, y, z) ⃗ i + Q(x, y, z)⃗ j + R(x, y, z)⃗ k integrável e γ(t) = x(t) ⃗ i + y(t)⃗ j + z(t)⃗ k regular, contida no domínio de ⃗ F, temos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
28. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição No caso R3, para ⃗ F(x, y, z) = P(x, y, z) ⃗ i + Q(x, y, z)⃗ j + R(x, y, z)⃗ k integrável e γ(t) = x(t) ⃗ i + y(t)⃗ j + z(t)⃗ k regular, contida no domínio de ⃗ F, temos: ∫ b a [P x′(t) + Q y′(t) + R z′(t)] dt. = ∫ b a P dx + Q dy + R dz, usando a notação dx = x′(t) dt, dy = y′(t) dt e dz = z′(t) dt. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
29. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição No caso R3, para ⃗ F(x, y, z) = P(x, y, z) ⃗ i + Q(x, y, z)⃗ j + R(x, y, z)⃗ k integrável e γ(t) = x(t) ⃗ i + y(t)⃗ j + z(t)⃗ k regular, contida no domínio de ⃗ F, temos: ∫ b a [P x′(t) + Q y′(t) + R z′(t)] dt. = ∫ b a P dx + Q dy + R dz, usando a notação dx = x′(t) dt, dy = y′(t) dt e dz = z′(t) dt. Assim, ∫ γ ⃗ F · d⃗ s = ∫ b a P dx + Q dy + R dz. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
30. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Definição No caso R3, para ⃗ F(x, y, z) = P(x, y, z) ⃗ i + Q(x, y, z)⃗ j + R(x, y, z)⃗ k integrável e γ(t) = x(t) ⃗ i + y(t)⃗ j + z(t)⃗ k regular, contida no domínio de ⃗ F, temos: ∫ b a [P x′(t) + Q y′(t) + R z′(t)] dt. = ∫ b a P dx + Q dy + R dz, usando a notação dx = x′(t) dt, dy = y′(t) dt e dz = z′(t) dt. Assim, ∫ γ ⃗ F · d⃗ s = ∫ b a P dx + Q dy + R dz. Não é difícil provar que a integral de linha não depende da particular parametrização da curva, desde que não se inverta a sua orientação. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
31. Integrais Curvilíneas de Campos Vetoriais Referências G. B. Arfken and H. J. Weber. Mathematical methods for physicists. American Association of Physics Teachers, 1999. C. Bouvier, A. Benoit, A. Caplier, and P.-Y. Coulon. Open or closed mouth state detection: Static supervised classification based on log-polar signature. In Proceedings of the 10th International Conference on Advanced Concepts for Intelligent Vision Systems, volume 5259, pages 1093–1102, October 2008. G. D. Greenwade. The Comprehensive Tex Archive Network (CTAN). TUGBoat, 14(3):342–351, 1993. J. J. O’CONNOR and E. F. ROBERTSON. Friedrich Wilhelm Bessel, 1997. E. Tola, V. Lepetit, and P. Fua. Daisy: An efficient dense descriptor applied to wide-baseline stereo. IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence, 32(5):815–830, 2010. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022