いろいろな問題の解説

IOI2013 直前合宿にて, HotterColder, SaveIt, Parrots, Maze, Disparityの解説

Transcript

1. いろいろな問題の解説 Masaki Hara IOI2013直前合宿にて
2. 目次 • Hotter Colder (IOI 2010) • SaveIt (IOI 2010) • Parrots (IOI 2011) • Maze (IOI 2010) • Disparity (JOI Open 2013)
3. Hotter Colder • 1以上N以下の整数を当てたい • 1以上N以下の整数を質問する • 直前に聞いたときよりも近いか遠いかがわか る • できるだけ少ない回数で当てたい
4. Hotter Colder • 考察 △ △ 直前に質問した位置 今回質問した位置
5. Hotter Colder • 考察 △ • △ 直前に質問した位置 今回質問した位置 Colder
6. Hotter Colder • 考察 △ • △ 直前に質問した位置 今回質問した位置 Same
7. Hotter Colder • 考察 △ • △ 直前に質問した位置 今回質問した位置 Hotter
8. Hotter Colder • 考察 Colder Same Hotter 直前に質問した位置 今回質問した位置
9. Hotter Colder • 考察 Colder Same Hotter 直前に質問した位置 今回質問した位置
10. Hotter Colder • 考察 • 大きいか小さいかがわかる • 基準: (直前のクエリ + 今回のクエリ) / 2
11. Hotter Colder • 普通の「大きい/小さい」問題との違い
12. Hotter Colder • 普通の「大きい/小さい」問題との違い – 思った通りの質問ができないことがある – 例1: 直前に5を質問しているときに5との大小 – 例2: 直前に5を質問しているときに1との大小
13. Hotter Colder • 対策
14. Hotter Colder • 対策1: 1クエリに2回質問する – こうすれば必ず好きな質問ができる • (50点)
15. Hotter Colder • 対策2: 大きい/小さい/同じ の3値情報である ことを利用する – クエリの回数を少しだけ減らせる • (75点)
16. Hotter Colder • 満点解法
17. Hotter Colder • 満点解法を考える前に、小さいケースで試す
18. Hotter Colder • 問題 – Nが与えられたとき、質問回数を最小化しなさい – N <= 100
19. Hotter Colder • 問題 – Nが与えられたとき、質問回数を最小化しなさい – N <= 100 • 解答 – DP – dp[直前の質問,絞り込んだ範囲] =そこからの質問回数
20. Hotter Colder • これを実際に実行するとわかること – 十分小さいときは、1→3→5→7の順番で質問する のが良い – それより大きいときは、 = 3 ⋅ 2 − 1のときが一 番効率がよい
21. Hotter Colder • = 3 ⋅ 2 − 1 の場合の戦略
22. Hotter Colder • = 3 ⋅ 2 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個
23. Hotter Colder • = 3 ⋅ 2 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 • 1回目の質問
24. Hotter Colder • = 3 ⋅ 2 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 • • 1回目の質問 2回目の質問
25. Hotter Colder • = 3 ⋅ 2 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 • • 1回目の質問 2回目の質問
26. Hotter Colder • = 3 ⋅ 2 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 • • • 1回目の質問 2回目の質問 3回目の質問
27. Hotter Colder • = 3 ⋅ 2 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 • • • 1回目の質問 2回目の質問 3回目の質問 両方右側に進んだ場合： 右端で2分探索 (毎回のクエリを必ず実行できる)
28. Hotter Colder • = 3 ⋅ 2 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 • • • 1回目の質問 2回目の質問 3回目の質問 右左の順に進んだ場合： 中央で2分探索 (毎回のクエリを必ず実行できる)
29. Hotter Colder • = 3 ⋅ 2 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 • • 1回目の質問 2回目の質問 最初に左に進んだ場合： 左端で2分探索 (2回目の結果は使わない)
30. Hotter Colder • これによりどの場合でも均等に効率よくクエリ を消費することができる
31. Hotter Colder • これによりどの場合でも均等に効率よくクエリ を消費することができる • あとは、境界条件に注意しながらNが一般の 場合に拡張する(結構むずい)
32. Hotter Colder • Hotter Colder 教訓: 実験は大事
33. SaveIt • グラフ中の最短経路を何セットか求めたい – 高々1000個の頂点と高々36個のハブの間の最 短経路たちを求めたい • 通信計算量を小さくしてね – 質問をそのまま送っても、答えをそのまま送って も、損失が出る
34. SaveIt • グラフ中の最短経路を何セットか求めたい – 高々1000個の頂点と高々36個のハブの間の最 短経路たちを求めたい • 通信計算量を小さくしてね – 質問をそのまま送っても、答えをそのまま送って も、損失が出る
35. SaveIt • 質問をそのまま送る: 25点 • 答えをそのまま送る: 50点
36. SaveIt • 共通する構造を抜き出す • 差分をとることで情報を圧縮する • ということから、次のように考える
37. SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める
38. SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める
39. SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める 2 1 0 1 1 2
40. SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める +1 -1 +1 -1 0
41. SaveIt • 全域木の情報 – ノード数1000 × ノード番号10bit = 10000bit • ハブからの距離 – ハブ数36 × ノード数1000 × 差分2bit = 72000bit
42. SaveIt • 全域木の情報 – ノード数1000 × ノード番号10bit = 10000bit • ハブからの距離 – ハブ数35 × ノード数1000 × 差分2bit = 70000bit • 全域木を、ハブ0からのBFSで構築すると、情 報を節約できる • (75点)
43. SaveIt • 全域木の情報 – ノード数1000 × ノード番号10bit = 10000bit • ハブからの距離 – ハブ数36 × ノード数1000 × 差分5/3bit = 60000bit • 差分は3通りなので3つまとめて5bitで送れる • (100点)
44. Parrots • オウムに乗せてデータを送る • データの到着順はわからない
45. Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある？
46. Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある？
47. Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある？
48. Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある？
49. Parrots • 単に番号をつければいい
50. Parrots • 単に番号をつければいい 状況 番号 オウム0羽 0 オウム1羽(0) 1 ： ： オウム1羽(255) 256 オウム2羽(0,0) 257 オウム2羽(0,1) 258 ： ：
51. Parrots • どのように番号をつけるか？
52. Parrots • どのように番号をつけるか？ • 前処理： 常に一定数のオウムを送るものとし て扱う(送らない分は256というデータだと考え る)
53. Parrots • どのように番号をつけるか？ • 「y未満の自然数x個からなる単調非減少列」 を考えればよい • これは何個あるか？
54. Parrots • どのように番号をつけるか？ • 「y未満の自然数x個からなる単調非減少列」 を考えればよい • これは何個あるか？ • 実は、 + 個ある
55. Parrots • 証明 – = 0のとき、空の列はちょうど1通り。 – = 0のとき、0からなる列はちょうど1通り。 – 数列の末尾が − 1に等しい場合の列は帰納法 の仮定より + − 1 − 1 通り 一方、それ以外の場合の列は帰納法の仮定より + − 1 通り なので帰納法より正しい
56. Parrots • この証明と同じ手順で符号化・復号ができる
57. Parrots • この証明と同じ手順で符号化・復号ができる
58. Parrots / SaveIt • Parrots / SaveIt 教訓: – SaveItみたいに発想力が試されるものもある – でもParrotsみたいにただ対応させるだけというも のもある
59. Maze • 畑を切り開いて迷路を作ります • 幅優先探索したときの深さを大きくしたい • 切り開ける場所と切り開けない場所がありま す • 10問
60. Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク
61. Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索
62. Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索 – ランダム要素を加えて局所探索＋繰り返し試行 がオススメ • 実装が簡単 • 時間をかければ多少は改善するようになる
63. Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索 – ランダム要素を加えて局所探索＋繰り返し試行 がオススメ – 少し工夫したいならSAっぽいことをやると良い
64. Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索 – ランダム要素を加えて局所探索＋繰り返し試行 がオススメ – 職人の技が光るところ • 近傍の定め方 • 評価関数の定め方 • 焼きなまし等のパラメーター
65. Maze • 入力の傾向
66. Maze • Field1 – むっちゃ簡単
67. Maze • Field2,4 – 簡単そう
68. Maze • Field2 – これはよく見るとどうやって生成したかわかる
69. Maze • Field3,5 – 格子が入っている
70. Maze • Field3,5 – 格子が入っている – NP困難性の証明に使われた？
71. Maze • Field7,8 – 小さい
72. Maze • Field6,9 – まっしろ
73. Maze • FieldA – おおきい
74. Maze • FieldAの特徴： 大域的な探索をうまくする必 要があって難しい – 手でやる？
75. Maze • FieldAの特徴： 大域的な探索をうまくする必 要があって難しい – 手でやる？ – 手で大域的な解を作って局所探索をするという手 もある
76. Maze • FieldAの特徴： 大域的な探索をうまくする必 要があって難しい – 手でやる？ – 手でやる場合の注意： 斜めに進んだほうが効率 的
77. Disparity • 有権者の数ができるだけ均等になるように小 選挙区を定めて下さい • 5問
78. Disparity • データの傾向
79. Disparity • データの傾向 – 01,03,05
80. Disparity • データの傾向 – 04
81. Disparity • データの傾向 – 04
82. Disparity • データの傾向 – 02
83. Disparity • 近傍の定め方 • 以下の近傍はどうか？
84. Disparity • 近傍の定め方 • 以下の近傍はどうか？ • あんまり良くない(幅が大きすぎて微調整がき かない)
85. Disparity • 近傍を次のようにとる 境界10個くらいを抽出 一番良い境界を探す
86. Disparity • 評価関数の定め方：disparityそのものを評価 関数とする？
87. Disparity • 評価関数の定め方：disparityそのものを評価 関数とする？ – 最大の地域・最小の地域を動かさないと評価に 反映されない
88. Disparity • 評価関数の定め方：disparityそのものを評価 関数とする？ – 最大の地域・最小の地域を動かさないと評価に 反映されない – 例えば：分散を使うと勾配がきれいにつく
89. まとめ • これをやれば良いという定石はあんまないっ ぽい
90. まとめ • これをやれば良いという定石はあんまないっ ぽい • せっかくなので楽しんで