抽象代数学の勉強はじめました！その１

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1. 抽象代数学の勉強はじめました！ ~ 手始めに『整数と群・環・体 −素数と数の認識 論』を読んでみた ~ 日本 Android の会秋葉原支部ロボット部 第 98 回勉強会 2020/11/15 reodon
2. 2 発表の流れ 1)自己紹介 2)書籍について 1)書籍の目次 3)著者について 4)第 1 章「素数に関する入試問題から」 5)群・環・体について 6)まとめ
3. 自己紹介 名前 ： reodon 職業 ： AI エンジニア？（学習データ作成） Twitter ： reodon@reodon2 鹿児島のエンジニアサークル「ヒラマサ」で Flutter の勉強中です 最近、中国語を習っています インターバルトレーニングにハマっています
4. 4 書籍について • 月刊誌「理系への数学」の連載 「素数と数の認識論」の15回分を まとめたもの – 「現代数学」の旧ヴァージョン • 全体構成 – 16章 – 205ページ • 2017年5月20日 初版発行 (ISBN : 978-4-7687-0467-7) – https://www.gensu.jp/product/ 整数と群・環・体-素数と数の認識論/
5. 5 著者について • 河田直樹 氏（KAWATA, Naoki） • 予備校講師 – 実際の生徒の質問や入試問題が記述されている • 数理哲学研究科 • 東京理科大学理学部数学科卒業 – 同大学理学専攻科修了 • 著書 – 『世界を解く数学』(河出書房新社)，『数学的思考の本質』(PHP研究所)，『優雅な eiπ=-1への旅』(現代数学社)など
6. 6 目次（ 1/2 ） 1)　素数に関する入試問題から 2)　素数を拾う 3)　素数と合同式 4)　ウィルソンの定理と群 5)　剰余環 6)　剰余環から体へ　←　いまここ！ 7)　位数と直積群 8)　ベルトラン・チェビシェフの定理
7. 7 目次（ 2/2 ） 9)　巡回群とラグランジュの定理 10) 　準同型定理と有限巡回群 11) 　いくつかの具体的問題 12) 　カーマイケル数 13) 　原始根と位数 14) 　原始根の存在定理 15) 　合成数と原始根 16) 　今後の指針と展望
8. 8 1 章 .1 「素数に関する入試問題から」 • フェルマーの最終定理 – n が 3 以上の自然数であるとき，以下の数式を満たす自 然数 x, y, z は存在しない． • 1995 年，英国のアンドリュー・ワイルズによって証明された xn+ yn=zn
9. 9 1 章 .2 問題 1-1 • フェルマーの最終定理を知らないものとして、以下 の命題を証明せよ – 1998 年の信州大学・理学部，経済学部の問題 x , y , zを0でない整数とし ,もし等式 x3+ y3=z3 が成立しているならば , x , y ,z のうち少なくとも1つは3の倍数である.
10. 10 1 章 .3 解答 1-1 • この問題は「 x, y, z がすべて 3 の倍数でない」 と仮定して，矛盾を導けばいいだけの話で， ‘合同式’を用いれば簡単に証明できる．（原文 ママ）
11. 11 1 章 .4 • 「フェルマー予想」，「ポアンカレ予想」が解決され， 残された有名な未解決問題は「リーマン予想」のみ • 教え子からこれらの問題に関する質問をされるように なった • この書籍では，受験生や大学初年級の学生を対象に，ご くやさしい素数や整数の話題から始めて，「リーマン予 想」の入口まで案内したい
12. 12 1 章 .5 問題 1-2 • 素数に関する問題 – p, 2p+1, 4p+1 がいずれも素数であるような p をす べて求めよ • 2005 年の一橋大学の入試問題
13. 13 1 章 .6 解答 1-2 • 2 <= p <= 17まで調べるとp = 3のときのみ条件(p, 2p+1, 4p+1全てが素数)を満たす • pを3で割ったときの「余り」に着目する – 余りが1のとき – 余りが2のとき ∴ pが3以外の場合は条件を満たさないので，求めるpは3　 ▪ 2 p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1) 4 p+1=4(3k+2)+1=3(4 k+3) p=3k+1(k∈ℕ) p=3k+2(k∈ℕ)
14. 14 群の定義 • 空でない集合Gの元a, bに対して2項演算＊が定義され，a＊b G ∈ が成り立ち(Gが＊に関して‘閉じ ている’)，かつ以下の3条件を満たすとき，Gは＊に関して‘群(group)’をなす． 1) 結合的 Gの任意の元a, b, cに対して が成り立つ． 2) 単位元の存在 Gには1つの元eが存在して，Gの任意の元aに対して が成り立つ． 3) 逆元の存在 Gの任意の元aに対して を満たすGの元bが存在する． (a∗b)∗c=a∗(b∗c) a∗b=b∗a=e a∗e=e∗a=a
15. 15 群のざっくりとした説明 • (誤解を恐れずに言えば，)＊は掛け算の「×」あるいは足し算の「＋」だと思ってよい． – ＊が×のとき，単位元eは「1」 – ＊が＋のとき，単位元eは「0」 • Gが整数の場合 – 加法に関して群をなす． – 乗法に関して群をなさない． • Gが有理数の場合 – 加法に関して群をなす． – 「0」を除いた場合(G-{0})，乗法に関して群をなす． • 可換性を持つ群（a＊b = b＊a）を可換群(Abel群)という．
16. 16 環の定義 • Rを空でない集合とし，この集合の任意の元a, bに対して， – 加法（足し算，和）：a + b ( R) ∈ – 乗法（掛け算，積）：a・b ( R) ∈ という2つの演算が定義され，この演算について以下の4条件が満たされるとき，集合Rは‘環 (Ring)’をなす． 1) Rは加法について，可換群をなす． 2) Rは乗法について，結合律(associative law)を満たす． 3) 乗法は加法に対して以下のような分配律(distributive law)を満たす．(a, b, cはRの任意の元) 4) Rは乗法に関して単位元eをもつ． ・4番目の条件は，流儀によって要請されない場合もある．4番目の条件を満たす環を‘ユニタリー環’と いう． (∀ a∈R,∀ b∈R,a+b=b+a) (∃e∈R ,∀a∈R ,e⋅a=a⋅e=a) a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c (b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a (∀ a∈R ,∀ b∈R,∀ c∈R ,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c))
17. 17 環のざっくりとした説明 • ‘ 環’とは整数世界 Z のように「足し算，引き算， 掛け算が自由に行える構造をもった世界」と理解 してよい． • 例えば ... – 整数全体の集合，有理数全体の集合，実数全体の集 合，複素数全体の集合 – さらに，以下のような集合も環である． S={a+b √2|a,b∈ℚ}
18. 18 体の定義 R を環とし，「 1 」を R の乗法に関する単位元とする． いま a R ∈ に対して となる元 x が R に存在するならば， a を R の‘単元’と言 い， x を a の逆元と呼ぶ． • そして，環 R の「 0 」（加法に関する単位元）以外の元 が単元であるとき，これを‘体’という． ax=xa=1
19. 19 体のざっくりとした説明 • 要するに，環 R の「 0 」以外の元すべての集合（ R-{0} ）が 乗法に関して群をなすとき， R を体という． • 端的に言ってしまえば，‘体’とは「足し算，引き算，掛け算， 割り算がその集合内で自由に行える世界」のことである． • 例えば ... – 有理数の世界，実数の世界，複素数の世界 – 集合 Γ = {1, -1}
20. 20 まとめ • 無味乾燥な教科書ではなく，読み物としてもおもしろい – 多様な引用があり，教養も深められそう • 理解できていない証明があるので，じっくり考えたい – 初心者向けの数学コミュニティをご存知であれば，教えてください！ • 2章以降の話題もスライドにまとめる予定 – 素数 – 合同式 – ウィルソンの定理