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抽象代数学の勉強はじめました!その1

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November 15, 2020

 抽象代数学の勉強はじめました!その1

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reodon

November 15, 2020
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  1. 抽象代数学の勉強はじめました! ~ 手始めに『整数と群・環・体 −素数と数の認識 論』を読んでみた ~ 日本 Android の会秋葉原支部ロボット部 第

    98 回勉強会 2020/11/15 reodon
  2. 2 発表の流れ 1)自己紹介 2)書籍について 1)書籍の目次 3)著者について 4)第 1 章「素数に関する入試問題から」 5)群・環・体について

    6)まとめ
  3. 自己紹介 名前 : reodon 職業 : AI エンジニア?(学習データ作成) Twitter :

    reodon@reodon2 鹿児島のエンジニアサークル「ヒラマサ」で Flutter の勉強中です 最近、中国語を習っています インターバルトレーニングにハマっています
  4. 4 書籍について • 月刊誌「理系への数学」の連載 「素数と数の認識論」の15回分を まとめたもの – 「現代数学」の旧ヴァージョン • 全体構成

    – 16章 – 205ページ • 2017年5月20日 初版発行 (ISBN : 978-4-7687-0467-7) – https://www.gensu.jp/product/ 整数と群・環・体-素数と数の認識論/
  5. 5 著者について • 河田直樹 氏(KAWATA, Naoki) • 予備校講師 – 実際の生徒の質問や入試問題が記述されている

    • 数理哲学研究科 • 東京理科大学理学部数学科卒業 – 同大学理学専攻科修了 • 著書 – 『世界を解く数学』(河出書房新社),『数学的思考の本質』(PHP研究所),『優雅な eiπ=-1への旅』(現代数学社)など
  6. 6 目次( 1/2 ) 1) 素数に関する入試問題から 2) 素数を拾う 3) 素数と合同式 4) ウィルソンの定理と群 5) 剰余環 6) 剰余環から体へ ← いまここ!

    7) 位数と直積群 8) ベルトラン・チェビシェフの定理
  7. 7 目次( 2/2 ) 9) 巡回群とラグランジュの定理 10)  準同型定理と有限巡回群 11)  いくつかの具体的問題 12)

     カーマイケル数 13)  原始根と位数 14)  原始根の存在定理 15)  合成数と原始根 16)  今後の指針と展望
  8. 8 1 章 .1 「素数に関する入試問題から」 • フェルマーの最終定理 – n が

    3 以上の自然数であるとき,以下の数式を満たす自 然数 x, y, z は存在しない. • 1995 年,英国のアンドリュー・ワイルズによって証明された xn+ yn=zn
  9. 9 1 章 .2 問題 1-1 • フェルマーの最終定理を知らないものとして、以下 の命題を証明せよ –

    1998 年の信州大学・理学部,経済学部の問題 x , y , zを0でない整数とし ,もし等式 x3+ y3=z3 が成立しているならば , x , y ,z のうち少なくとも1つは3の倍数である.
  10. 10 1 章 .3 解答 1-1 • この問題は「 x, y,

    z がすべて 3 の倍数でない」 と仮定して,矛盾を導けばいいだけの話で, ‘合同式’を用いれば簡単に証明できる.(原文 ママ)
  11. 11 1 章 .4 • 「フェルマー予想」,「ポアンカレ予想」が解決され, 残された有名な未解決問題は「リーマン予想」のみ • 教え子からこれらの問題に関する質問をされるように なった

    • この書籍では,受験生や大学初年級の学生を対象に,ご くやさしい素数や整数の話題から始めて,「リーマン予 想」の入口まで案内したい
  12. 12 1 章 .5 問題 1-2 • 素数に関する問題 – p,

    2p+1, 4p+1 がいずれも素数であるような p をす べて求めよ • 2005 年の一橋大学の入試問題
  13. 13 1 章 .6 解答 1-2 • 2 <= p

    <= 17まで調べるとp = 3のときのみ条件(p, 2p+1, 4p+1全てが素数)を満たす • pを3で割ったときの「余り」に着目する – 余りが1のとき – 余りが2のとき ∴ pが3以外の場合は条件を満たさないので,求めるpは3  ▪ 2 p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1) 4 p+1=4(3k+2)+1=3(4 k+3) p=3k+1(k∈ℕ) p=3k+2(k∈ℕ)
  14. 14 群の定義 • 空でない集合Gの元a, bに対して2項演算*が定義され,a*b G ∈ が成り立ち(Gが*に関して‘閉じ ている’),かつ以下の3条件を満たすとき,Gは*に関して‘群(group)’をなす. 1)

    結合的 Gの任意の元a, b, cに対して が成り立つ. 2) 単位元の存在 Gには1つの元eが存在して,Gの任意の元aに対して が成り立つ. 3) 逆元の存在 Gの任意の元aに対して を満たすGの元bが存在する. (a∗b)∗c=a∗(b∗c) a∗b=b∗a=e a∗e=e∗a=a
  15. 15 群のざっくりとした説明 • (誤解を恐れずに言えば,)*は掛け算の「×」あるいは足し算の「+」だと思ってよい. – *が×のとき,単位元eは「1」 – *が+のとき,単位元eは「0」 • Gが整数の場合

    – 加法に関して群をなす. – 乗法に関して群をなさない. • Gが有理数の場合 – 加法に関して群をなす. – 「0」を除いた場合(G-{0}),乗法に関して群をなす. • 可換性を持つ群(a*b = b*a)を可換群(Abel群)という.
  16. 16 環の定義 • Rを空でない集合とし,この集合の任意の元a, bに対して, – 加法(足し算,和):a + b (

    R) ∈ – 乗法(掛け算,積):a・b ( R) ∈ という2つの演算が定義され,この演算について以下の4条件が満たされるとき,集合Rは‘環 (Ring)’をなす. 1) Rは加法について,可換群をなす. 2) Rは乗法について,結合律(associative law)を満たす. 3) 乗法は加法に対して以下のような分配律(distributive law)を満たす.(a, b, cはRの任意の元) 4) Rは乗法に関して単位元eをもつ. ・4番目の条件は,流儀によって要請されない場合もある.4番目の条件を満たす環を‘ユニタリー環’と いう. (∀ a∈R,∀ b∈R,a+b=b+a) (∃e∈R ,∀a∈R ,e⋅a=a⋅e=a) a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c (b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a (∀ a∈R ,∀ b∈R,∀ c∈R ,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c))
  17. 17 環のざっくりとした説明 • ‘ 環’とは整数世界 Z のように「足し算,引き算, 掛け算が自由に行える構造をもった世界」と理解 してよい. •

    例えば ... – 整数全体の集合,有理数全体の集合,実数全体の集 合,複素数全体の集合 – さらに,以下のような集合も環である. S={a+b √2|a,b∈ℚ}
  18. 18 体の定義 R を環とし,「 1 」を R の乗法に関する単位元とする. いま a

    R ∈ に対して となる元 x が R に存在するならば, a を R の‘単元’と言 い, x を a の逆元と呼ぶ. • そして,環 R の「 0 」(加法に関する単位元)以外の元 が単元であるとき,これを‘体’という. ax=xa=1
  19. 19 体のざっくりとした説明 • 要するに,環 R の「 0 」以外の元すべての集合( R-{0} )が

    乗法に関して群をなすとき, R を体という. • 端的に言ってしまえば,‘体’とは「足し算,引き算,掛け算, 割り算がその集合内で自由に行える世界」のことである. • 例えば ... – 有理数の世界,実数の世界,複素数の世界 – 集合 Γ = {1, -1}
  20. 20 まとめ • 無味乾燥な教科書ではなく,読み物としてもおもしろい – 多様な引用があり,教養も深められそう • 理解できていない証明があるので,じっくり考えたい – 初心者向けの数学コミュニティをご存知であれば,教えてください!

    • 2章以降の話題もスライドにまとめる予定 – 素数 – 合同式 – ウィルソンの定理