抽象代数学の勉強はじめました！その１

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1. 抽象代数学の勉強はじめました！
   ~ 手始めに『整数と群・環・体 −素数と数の認識
   論』を読んでみた ~
   日本 Android の会秋葉原支部ロボット部 第 98 回勉強会
   2020/11/15
   reodon
   

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   発表の流れ
   1)自己紹介
   2)書籍について
   1)書籍の目次
   3)著者について
   4)第 1 章「素数に関する入試問題から」
   5)群・環・体について
   6)まとめ
   

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3. 自己紹介
   名前 ： reodon
   職業 ： AI エンジニア？（学習データ作成）
   Twitter ： reodon@reodon2
   鹿児島のエンジニアサークル「ヒラマサ」で
   Flutter の勉強中です
   最近、中国語を習っています
   インターバルトレーニングにハマっています
   

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4. 4
   書籍について
   ●
   月刊誌「理系への数学」の連載
   「素数と数の認識論」の15回分を
   まとめたもの
   – 「現代数学」の旧ヴァージョン
   ●
   全体構成
   – 16章
   – 205ページ
   ●
   2017年5月20日 初版発行 (ISBN : 978-4-7687-0467-7)
   – https://www.gensu.jp/product/ 整数と群・環・体-素数と数の認識論/
   

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   著者について
   ●
   河田直樹 氏（KAWATA, Naoki）
   ●
   予備校講師
   – 実際の生徒の質問や入試問題が記述されている
   ●
   数理哲学研究科
   ●
   東京理科大学理学部数学科卒業
   – 同大学理学専攻科修了
   ●
   著書
   – 『世界を解く数学』(河出書房新社)，『数学的思考の本質』(PHP研究所)，『優雅な
   eiπ=-1への旅』(現代数学社)など
   

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   目次（ 1/2 ）
   1)　素数に関する入試問題から
   2)　素数を拾う
   3)　素数と合同式
   4)　ウィルソンの定理と群
   5)　剰余環
   6)　剰余環から体へ　←　いまここ！
   7)　位数と直積群
   8)　ベルトラン・チェビシェフの定理
   

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   目次（ 2/2 ）
   9)　巡回群とラグランジュの定理
   10)
   　準同型定理と有限巡回群
   11)
   　いくつかの具体的問題
   12)
   　カーマイケル数
   13)
   　原始根と位数
   14)
   　原始根の存在定理
   15)
   　合成数と原始根
   16)
   　今後の指針と展望
   

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   1 章 .1 「素数に関する入試問題から」
   ●
   フェルマーの最終定理
   – n が 3 以上の自然数であるとき，以下の数式を満たす自
   然数 x, y, z は存在しない．
   ●
   1995 年，英国のアンドリュー・ワイルズによって証明された
   xn+ yn=zn
   

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   1 章 .2 問題 1-1
   ●
   フェルマーの最終定理を知らないものとして、以下
   の命題を証明せよ
   – 1998 年の信州大学・理学部，経済学部の問題
   x , y , zを0でない整数とし ,もし等式 x3+ y3=z3 が成立しているならば ,
   x , y ,z のうち少なくとも1つは3の倍数である.
   

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    1 章 .3 解答 1-1
    ●
    この問題は「 x, y, z がすべて 3 の倍数でない」
    と仮定して，矛盾を導けばいいだけの話で，
    ‘合同式’を用いれば簡単に証明できる．（原文
    ママ）
    

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    1 章 .4
    ●
    「フェルマー予想」，「ポアンカレ予想」が解決され，
    残された有名な未解決問題は「リーマン予想」のみ
    ●
    教え子からこれらの問題に関する質問をされるように
    なった
    ●
    この書籍では，受験生や大学初年級の学生を対象に，ご
    くやさしい素数や整数の話題から始めて，「リーマン予
    想」の入口まで案内したい
    

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    1 章 .5 問題 1-2
    ●
    素数に関する問題
    – p, 2p+1, 4p+1 がいずれも素数であるような p をす
    べて求めよ
    ●
    2005 年の一橋大学の入試問題
    

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    1 章 .6 解答 1-2
    ●
    2 <= p <= 17まで調べるとp = 3のときのみ条件(p, 2p+1, 4p+1全てが素数)を満たす
    ●
    pを3で割ったときの「余り」に着目する
    – 余りが1のとき
    – 余りが2のとき
    ∴ pが3以外の場合は条件を満たさないので，求めるpは3　
    ■
    2 p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)
    4 p+1=4(3k+2)+1=3(4 k+3)
    p=3k+1(k∈ℕ)
    p=3k+2(k∈ℕ)
    

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    群の定義
    ●
    空でない集合Gの元a, bに対して2項演算＊が定義され，a＊b G
    ∈ が成り立ち(Gが＊に関して‘閉じ
    ている’)，かつ以下の3条件を満たすとき，Gは＊に関して‘群(group)’をなす．
    1) 結合的 Gの任意の元a, b, cに対して
    が成り立つ．
    2) 単位元の存在 Gには1つの元eが存在して，Gの任意の元aに対して
    が成り立つ．
    3) 逆元の存在 Gの任意の元aに対して
    を満たすGの元bが存在する．
    (a∗b)∗c=a∗(b∗c)
    a∗b=b∗a=e
    a∗e=e∗a=a
    

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    群のざっくりとした説明
    ●
    (誤解を恐れずに言えば，)＊は掛け算の「×」あるいは足し算の「＋」だと思ってよい．
    – ＊が×のとき，単位元eは「1」
    – ＊が＋のとき，単位元eは「0」
    ●
    Gが整数の場合
    – 加法に関して群をなす．
    – 乗法に関して群をなさない．
    ●
    Gが有理数の場合
    – 加法に関して群をなす．
    – 「0」を除いた場合(G-{0})，乗法に関して群をなす．
    ●
    可換性を持つ群（a＊b = b＊a）を可換群(Abel群)という．
    

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    環の定義
    ●
    Rを空でない集合とし，この集合の任意の元a, bに対して，
    – 加法（足し算，和）：a + b ( R)
    ∈
    – 乗法（掛け算，積）：a・b ( R)
    ∈
    という2つの演算が定義され，この演算について以下の4条件が満たされるとき，集合Rは‘環
    (Ring)’をなす．
    1) Rは加法について，可換群をなす．
    2) Rは乗法について，結合律(associative law)を満たす．
    3) 乗法は加法に対して以下のような分配律(distributive law)を満たす．(a, b, cはRの任意の元)
    4) Rは乗法に関して単位元eをもつ．
    ・4番目の条件は，流儀によって要請されない場合もある．4番目の条件を満たす環を‘ユニタリー環’と
    いう．
    (∀ a∈R,∀ b∈R,a+b=b+a)
    (∃e∈R ,∀a∈R ,e⋅a=a⋅e=a)
    a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
    (b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a
    (∀ a∈R ,∀ b∈R,∀ c∈R ,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c))
    

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    環のざっくりとした説明
    ●
    ‘ 環’とは整数世界 Z のように「足し算，引き算，
    掛け算が自由に行える構造をもった世界」と理解
    してよい．
    ●
    例えば ...
    – 整数全体の集合，有理数全体の集合，実数全体の集
    合，複素数全体の集合
    – さらに，以下のような集合も環である．
    S={a+b √2|a,b∈ℚ}
    

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    体の定義
    R を環とし，「 1 」を R の乗法に関する単位元とする．
    いま a R
    ∈ に対して
    となる元 x が R に存在するならば， a を R の‘単元’と言
    い， x を a の逆元と呼ぶ．
    ●
    そして，環 R の「 0 」（加法に関する単位元）以外の元
    が単元であるとき，これを‘体’という．
    ax=xa=1
    

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    体のざっくりとした説明
    ●
    要するに，環 R の「 0 」以外の元すべての集合（ R-{0} ）が
    乗法に関して群をなすとき， R を体という．
    ●
    端的に言ってしまえば，‘体’とは「足し算，引き算，掛け算，
    割り算がその集合内で自由に行える世界」のことである．
    ●
    例えば ...
    – 有理数の世界，実数の世界，複素数の世界
    – 集合 Γ = {1, -1}
    

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    まとめ
    ●
    無味乾燥な教科書ではなく，読み物としてもおもしろい
    – 多様な引用があり，教養も深められそう
    ●
    理解できていない証明があるので，じっくり考えたい
    – 初心者向けの数学コミュニティをご存知であれば，教えてください！
    ●
    2章以降の話題もスライドにまとめる予定
    – 素数
    – 合同式
    – ウィルソンの定理
    

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