ベクトル解析

ベクトルの積分

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1. 1 ベクトル解析 講師：さんのみや
2. 2 目次 1.目的 2.線積分 3.面積分 4.体積分 5.勾配、発散、および回転の定義 6.ガウスの定理 7.グリーンの定理 8.ストークスの定理
3. 3 講義の目的・目標 • 目的：流体力学の基礎方程式の意味を含めて導 出方法を理解すること 連続の式 ナビエ・ストークス方程式 • 講義の目標：ガウスの発散定理、グリーンの定 理およびストークスの定理の物理的意味を説明 できるようになること
4. 4 勾配のイメージ（復習） スカラー場の意味 空間にある領域の各々の点　　　　 について考えたスカラー　　　 　　　の全体 スカラー場の具体例：温度 37.0℃ 36.7℃ 36.4℃ 勾配のイメージ たとえば上の勾配∇ Φ は Z 方向の増加量 が他の軸方向と比べて大きいことがわかる スカラー場の勾配
5. 5 発散のイメージ（復習） ベクトル場の意味 空間にある領域の各々の点　　　　 について考えたベクトル　　　 　　　の全体 ベクトル場の具体例：速度 ベクトル場 収支は 発散のイメージ 軸方向に＋３ 軸方向 ＋４ 軸方向 ＋４ ＋２ ＋１ ＋２ (2-4)+(4-3)+(2-1)=0
6. 6 回転のイメージ（復習） F G H I 点の周りの循環の強さを 示す。
7. 7 線積分 r + dr r dr 曲線 C において t を任意の媒介変数とした位置ベクトル r を下記のように表す。 は基底ベクトル C に沿った微小な変位を表すベクトル dr を下記の ように表す。 微小変位ベクトルによる積分を線積分と呼ぶ。例 えば下記のように表す。 直行座標系における基底ベクトル Q P 曲線 C
8. 8 面積分 u と v を媒介変数とした位置ベクトル r は以下の通り 点 P における変動関数を とすると曲面の微分要素　　は となり単位法線ベクトルを とすると 曲面積の微分要素　　を含む積分を面積分と言う 　 P S O 外積のイメージ
9. 9 体積分 体積要素　　はスカラーである。 ここである領域　　上で体積分を考える。 直行座標系においては = とすると とすると スカラー場の体積分 ベクトル場の体積分
10. 10 勾配、発散および回転の定義
11. 11 ガウスの定理
12. 12 ストークスの定理
13. 13 グリーンの定理