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三宮
February 16, 2021
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ベクトル解析
ベクトルの積分
三宮
February 16, 2021
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Transcript
1 ベクトル解析 講師:さんのみや
2 目次 1.目的 2.線積分 3.面積分 4.体積分 5.勾配、発散、および回転の定義 6.ガウスの定理 7.グリーンの定理 8.ストークスの定理
3 講義の目的・目標 • 目的:流体力学の基礎方程式の意味を含めて導 出方法を理解すること 連続の式 ナビエ・ストークス方程式 • 講義の目標:ガウスの発散定理、グリーンの定 理およびストークスの定理の物理的意味を説明
できるようになること
4 勾配のイメージ(復習) スカラー場の意味 空間にある領域の各々の点 について考えたスカラー の全体 スカラー場の具体例:温度 37.0℃ 36.7℃ 36.4℃
勾配のイメージ たとえば上の勾配∇ Φ は Z 方向の増加量 が他の軸方向と比べて大きいことがわかる スカラー場の勾配
5 発散のイメージ(復習) ベクトル場の意味 空間にある領域の各々の点 について考えたベクトル の全体 ベクトル場の具体例:速度 ベクトル場 収支は 発散のイメージ
軸方向に+3 軸方向 +4 軸方向 +4 +2 +1 +2 (2-4)+(4-3)+(2-1)=0
6 回転のイメージ(復習) F G H I 点の周りの循環の強さを 示す。
7 線積分 r + dr r dr 曲線 C において
t を任意の媒介変数とした位置ベクトル r を下記のように表す。 は基底ベクトル C に沿った微小な変位を表すベクトル dr を下記の ように表す。 微小変位ベクトルによる積分を線積分と呼ぶ。例 えば下記のように表す。 直行座標系における基底ベクトル Q P 曲線 C
8 面積分 u と v を媒介変数とした位置ベクトル r は以下の通り 点 P
における変動関数を とすると曲面の微分要素 は となり単位法線ベクトルを とすると 曲面積の微分要素 を含む積分を面積分と言う P S O 外積のイメージ
9 体積分 体積要素 はスカラーである。 ここである領域 上で体積分を考える。 直行座標系においては = とすると とすると スカラー場の体積分 ベクトル場の体積分
10 勾配、発散および回転の定義
11 ガウスの定理
12 ストークスの定理
13 グリーンの定理