Chowla-Selberg公式

数学について話す会

https://unaoya.github.io/event.html

Transcript

1. ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   Chowla-Selberg ͷެࣜ
   ക࡚௚໵@unaoya
   September 24, 2018
   

   View Slide

2. ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   Chowla-Selberg ͷެࣜ
   ∏
   a∈Cl(k)
   ∆(a)∆(a−1) =
   (
   2π
   d
   )12h ∏
   a∈(Z/dZ)×
   Γ
   ( a
   d
   )6wϵ(a)
   ▶ k = Q(
   √
   −d) ͸ڏೋ࣍ମͰ ok
   Λͦͷ੔਺؀
   ▶ Cl(k) ͸ΠσΞϧྨ܈Ͱ h = |Cl(k)|, w = |o×
   k
   |
   ▶ ϵ ͸ೋ࣍ମ k ʹରԠ͢Δ Dirichlet ࢦඪʢฏํ৒༨ه߸ʣ
   ▶ ∆ ͸ weight 12 ͷ cusp form
   

   View Slide

3. ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ղੳతͳূ໌
   Chowla-Selberg ʹΑΔ
   ∏
   a∈Cl(k)
   ∆(a)∆(a−1) =
   (
   2π
   d
   )12h ∏
   a∈(Z/dZ)×
   Γ
   ( a
   d
   )6wϵ(a)
   ํ਑
   ζ′
   k
   ζk
   Λ;ͨ௨Γͷํ๏Ͱܭࢉɻ
   1. Kronecker limit formula Λ࢖͏ͱࠨล͕ग़ͯ͘Δ
   2. Lerch ͷެࣜͱ Dirichlet ྨ਺ެࣜΛ࢖͏ͱӈล͕ग़ͯ͘Δ
   

   View Slide

4. ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ୅਺زԿతͳূ໌
   Gross ʹΑΔ
   ∏
   a∈Cl(k)
   ∆(a)∆(a−1) ∼
   (
   2π
   d
   )12h ∏
   a∈(Z/dZ)×
   Γ
   ( a
   d
   )6wϵ(a)
   ҧ͍
   1. ΑΓҰൠͷ৔߹ʹ΋ެࣜ
   2. ୅਺త਺ഒͷͣΕ͸ಛఆͰ͖ͳ͍
   ํ਑
   1. ྆ลΛ͋ΔΞʔϕϧଟ༷ମͷपظͱͯ͠ղऍ
   2. ͜ΕΒͷΞʔϕϧଟ༷ମΛ͏·͘࿈ଓతʹมܗ͢Δ
   3. มܗͨ࣌͠ʹपظ͕୅਺త਺ഒͷͣΕͰ͋Δ͜ͱΛࣔ͢
   

   View Slide

5. ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ∆
   discriminant
   ∆(z) ͸ Ez = C/(Z + zZ) ͷ discriminant Ͱ͋Γɺ͜Ε͸ z ͷؔ਺ͱͯ͠ weight 12 Ͱ
   level SL(2, Z) ͷอܕܗࣜͰ͋Δɻ
   Ez : y2 = 4x3 − g2(τ)x − g3(τ)
   ʹ͍ͨ͠
   ∆(τ) = g2(τ)3 − 27g3(τ)2
   

   View Slide

6. ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   पظ
   ൺֱఆཧ
   ඍ෼ܗࣜΛੵ෼͢Δ͜ͱͰίϗϞϩδʔͷಉܕ͕ಘΒΕΔɻ
   Hi
   dR
   (X/k) ⊗ C → Hi (X(C), C)
   ω → (γ →
   ∫
   γ
   ω)
   Hodge ෼ղ
   H1
   dR
   (X/C) = H0(X, Ω1) ⊕ H1(X, OX )
   ପԁۂઢ X = E ͷ৔߹ ωE
   ͕ H0(E, Ω1) ͷجఈʢਖ਼ଇඍ෼ܗࣜʣ
   

   View Slide

7. ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ପԁۂઢͷੵ
   ପԁۂઢ n = ϕ(d) ݸͷੵ A=E1 × · · · × En Ͱ k Ͱڏ਺৐๏Λ࣋ͭ΋ͷΛ࡞Δɻ
   ▶ ֤ Ei ͕ k Ͱڏ਺৐๏Λ࣋ͭ΋ͷͱ͢Δ
   ▶ ͜ΕΒ͸શͯಉछͰ͋Γɺपظ͸୅਺త਺ഒͷͣΕ
   ▶ E ͕ڏ਺৐๏Λ࣋ͭͱ͖ɺ∆(τ) ͱपظ ω12
   E
   ͷͣΕ͸୅਺త਺ɻ
   ʢWeil ͷຊʣ
   A ͷपظͱͯ͠ࠨล͕Ͱͯ͘Δɻ
   

   View Slide

8. ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   Fermat ۂઢ
   B ؔ਺
   B(
   a
   d
   ,
   b
   d
   ) =
   ∫
   1
   0
   t a
   d
   −1(1 − t)b
   d
   −1dt
   =
   ∫
   1
   0
   xa−1yb−d dx mod Q×
   ͜͜Ͱ y = d
   √
   1 − xd ͱ͢Δɻ͜Ε͸ Fermat ۂઢ F(d) : xd + yd = 1 ͷपظɻ
   

   View Slide

9. ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   ‌
   Jacobian
   Jacobian
   ۂઢ C ʹରͯ͠ఆ·ΔΞʔϕϧଟ༷ମ JC
   ɻ
   ▶ H1 ͸ C ͱҰக
   ▶ dim JC = g(C)
   C = F(d) : xd + yd = 1 ͷ৔߹ɺJC
   ͸ n ࣍ݩͷ঎Λ࣋ͭɻ·ͨ µd
   ͷ࡞༻͔Βڏ਺৐
   ๏Λ࣋ͭɻ
   

   View Slide

10. ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ପԁۂઢͷ଒
    ૬ର 1 ܗࣜ
    τ ∈ H ʹରͯ͠ Eτ = C/(Z ⊗ τZ) ͸ y2 = 4x3 − g2(τ)x − g3(τ) ͱॻ͚ͯ
    ωτ =
    dx
    y
    =
    dx
    √
    4x3 − g2(τ)x − g3(τ)
    Ϟδϡϥʔۂઢ
    L = {(τ, x), x ∈ Z ⊕ τZ ⊂ C} ͱ͠ɺπ : h × C/L → h Λ SL2(Z) ͰΘΔɻ
    ڏ਺৐๏
    ڏೋ࣍ମʹରԠ͢Δ఺Λ h ͷ෦෼ू߹ͱࢥ͍ɺSL2(Z) ͕࡞༻ɻ͜ΕʹପԁۂઢΛҾ
    ͖໭ׂͯ͠Δɻ
    

    View Slide

11. ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ૬ରతͳঢ়گ
    π : A → S ΛΞʔϕϧଟ༷ମͷ଒ͱ͢ΔɻHn
    dR
    (A/S) ͸ Hn
    dR
    (As/s) Λ·ͱΊͨ S ্ͷ
    ૚ɻRnπ∗C ͸ Hn(As, C) Λ·ͱΊͨ S ্ͷ૚ɺOS
    ͸ਖ਼ଇؔ਺ͷ૚ɻ
    ૬ର൛ൺֱఆཧ
    Hn
    dR
    (A/S) → Rnπ∗C ⊗C OS
    HdR(A/S) ͷ੾அ ω ʹ͍ͭͯɺ֤఺ s ∈ S ͝ͱʹ ωs ͷपظ͕ఆ·Δɻω ͕ఆ਺पظΛ
    ࣋ͭͱ͸͜ͷपظ͕ҰఆͰ͋Δ͜ͱɻ
    

    View Slide

12. ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ࢤଜଟ༷ମ
    k = Q(
    √
    −d) ͱ͠ɺok
    Ͱڏ਺৐๏Λ࣋ͭ n ࣍ݩΞʔϕϧଟ༷ମΛશ෦ूΊΔɻ
    ʢภۃ
    ͱϨϕϧߏ଄΋͚ͭΔʣ
    ࢤଜଟ༷ମ
    ීวతͳΞʔϕϧଟ༷ମͷ଒
    A → S
    ͕Ͱ͖ͯɺS ͸୅਺ମ্ͷ୅਺ଟ༷ମʹͳΔ
    

    View Slide

13. ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    େҬ੾அ
    ڏ਺৐๏Λ࣋ͭ͜ͱΛ࢖ͬͯɺ֤఺Ͱͷपظ͕ Q ഒͷͣΕͰ͋Δ͜ͱΛূ໌Ͱ͖Δɻ
    ▶ ڏ਺৐๏ʹΑΔ k ͷ Hn
    dR
    (A/S) ΁ͷ࡞༻Λ෼ղͯ͠ɺS ্ͷେҬ੾அ ω Λ࡞Δɻ
    ▶ ҰํͰ Rnπ∗C ʹ΋ τn Ͱ࡞༻͢Δ෦෼ۭ͕ؒଘࡏ͠ɺ͜ΕΒ͸ൺֱಉܕͰରԠ
    ͢Δɻ
    ▶ Hn
    dR
    (A/S) ʹ͸ Gauss-Manin ઀ଓͱ͍͏୅਺తͳඍ෼ํఔ͕ࣜఆ·͍ͬͯΔɻ͜
    ΕΛ༻͍ͯɺ্ͷେҬ੾அ͕୅਺తͰɺ͞Βʹ Q×
    ্ఆٛ͞ΕΔ͜ͱ͕Θ͔Δɻ
    ▶ ·ͨ͜ͷେҬ੾அͷ࣍ݩ͸ίϯύΫτԽΛ༻͍ͯܭࢉ͢Δͱ 1 Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ
    ͔Δɻ
    

    View Slide

14. ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    Hodge ༧૝
    Deligne ͷίϝϯτ
    I began by saying that I had found a new proof of the period implication of the Chowla
    Selberg formula, using some techniques from algebraic geometry. Deligne immediately
    asked, in all seriousness, if I had proved the Hodge conjecture. I replied that I would be
    delighted to hear that I had done so, as I was still looking for a thesis topic (and felt
    that a proof of the Hodge conjecture would probably be sufficient).
    

    View Slide

15. ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ‌
    ࢀߟจݙ
    1. Andre Weil, ΞΠθϯγϡλΠϯͱΫϩωοΧʔʹΑΔପԁؔ਺࿦
    2. Benedict H. Gross, On the Periods of Abelian Integrals and a Formula of Chowla
    and Selberg
    3. Benedict H. Gross, On the periods of abelian varietiese
    

    View Slide