同期モータの電圧方程式ー⑤d-q回転座標系⇒3相座標系大阪府立大学 工学研究科清水 悠生
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2本記事を読む前に✓ 本記事はこちらの続きです✓ 同期モータの電圧方程式①~④✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/11/voltageequation/✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/18/voltageequation2/✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/25/voltageequation3/✓ https://yuyumoyuyu.com/2021/07/05/voltageequation4/
3同期モータの電圧方程式✓ 平衡3相交流駆動の同期モータを考える𝑣𝑢𝑣𝑣𝑣𝑤= 𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤𝑣𝑢, 𝑣𝑣, 𝑣𝑤：u,v,w相電圧𝑖𝑢, 𝑖𝑣, 𝑖𝑤：u,v,w相電流𝛹𝑢, 𝛹𝑣, 𝛹𝑤：u,v,w相磁束鎖交数𝑅𝑎：電機子抵抗u相コイルuvwu相鎖交磁束u相電圧u相電流v相w相電機子抵抗ロータステータ
4電圧方程式のdq変換✓ 前回までの記事では3相座標系の電圧方程式をd-q回転座標系に変換𝑣𝑢𝑣𝑣𝑣𝑤= 𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤𝑣𝑑𝑣𝑞= 𝑅𝑎𝑖𝑑𝑖𝑞+𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑑𝑑𝑡𝑖𝑑𝑖𝑞+−𝜔𝐿𝑞𝑖𝑞𝜔𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝜔𝛹𝑎𝑣𝑑, 𝑣𝑞：d,q軸電圧𝑖𝑑, 𝑖𝑞：d,q軸電流𝐿𝑑, 𝐿𝑞：d,q軸インダクタンス𝛹𝑎：永久磁石による電機子鎖交磁束𝜔：電気角速度
5本記事の目標✓ 本記事ではd-q回転座標系の電圧方程式から3相座標系の電圧方程式を導出𝑣𝑢𝑣𝑣𝑣𝑤= 𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤𝑣𝑑𝑣𝑞= 𝑅𝑎𝑖𝑑𝑖𝑞+𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑑𝑑𝑡𝑖𝑑𝑖𝑞+−𝜔𝐿𝑞𝑖𝑞𝜔𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝜔𝛹𝑎𝑣𝑑, 𝑣𝑞：d,q軸電圧𝑖𝑑, 𝑖𝑞：d,q軸電流𝐿𝑑, 𝐿𝑞：d,q軸インダクタンス𝛹𝑎：永久磁石による電機子鎖交磁束𝜔：電気角速度
6変換行列の逆行列✓ 絶対変換で零相成分が無視できる場合を考える✓ 絶対変換では変換行列が直交行列となるため逆行列は転置を考えればよい𝑪𝑢𝑣𝑤𝑑𝑞=23cos(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 −23𝜋) cos(𝜔𝑡 +23𝜋)−sin(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡 −23𝜋) −sin(𝜔𝑡 +23𝜋)𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤= 𝑪𝑢𝑣𝑤𝑑𝑞−1 = 𝑪𝑢𝑣𝑤𝑑𝑞𝑇=23cos(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡)cos(𝜔𝑡 −23𝜋) −sin(𝜔𝑡 −23𝜋)cos(𝜔𝑡 +23𝜋) −sin(𝜔𝑡 +23𝜋)3相座標系⇒d-q回転座標系d-q回転座標系⇒3相座標系✓ 変換行列に関してはこちら↓を参照✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/07/12/dqrotatingcoordinate2/
7d-q回転座標系⇒3相座標系への変換✓ 電圧方程式の両辺に変換行列𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤を左から掛ける𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝑣𝑑𝑣𝑞= 𝑅𝑎𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑑𝑑𝑡𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤−𝐿𝑞𝑖𝑞𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝛹𝑎⇔𝑣𝑢𝑣𝑣𝑣𝑤= 𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑖𝑑𝑖𝑞−𝑑𝑑𝑡𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤−𝐿𝑞𝑖𝑞𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝛹𝑎= 𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝑇 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝑖𝑑𝑖𝑞−𝑑𝑑𝑡𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤−𝐿𝑞𝑖𝑞𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝛹𝑎= 𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝑇𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤−𝑑𝑑𝑡𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤−𝐿𝑞𝑖𝑞𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝛹𝑎定義より𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝑇 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤= 𝑰積の微分則より
8右辺の第2項目の計算(1/3)✓ まず右辺の第2項目を計算𝑑𝑑𝑡𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝑇𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤=𝑑𝑑𝑡23cos(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡)cos(𝜔𝑡 −23𝜋) −sin(𝜔𝑡 −23𝜋)cos(𝜔𝑡 +23𝜋) −sin(𝜔𝑡 +23𝜋)𝐿𝑑00 𝐿𝑞23cos(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 −23𝜋) cos(𝜔𝑡 +23𝜋)−sin(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡 −23𝜋) −sin(𝜔𝑡 +23𝜋)𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤=23𝑑𝑑𝑡𝐿𝑑cos(𝜔𝑡) −𝐿𝑞sin(𝜔𝑡)𝐿𝑑cos(𝜔𝑡 −23𝜋) −𝐿𝑞sin(𝜔𝑡 −23𝜋)𝐿𝑑cos(𝜔𝑡 +23𝜋) −𝐿𝑞sin(𝜔𝑡 +23𝜋)cos(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 −23𝜋) cos(𝜔𝑡 +23𝜋)−sin(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡 −23𝜋) −sin(𝜔𝑡 +23𝜋)𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤=23𝑑𝑑𝑡𝐿𝑑cos2 𝜔𝑡 + 𝐿𝑞sin2(𝜔𝑡) − −𝐿𝑑cos(𝜔𝑡) cos 𝜔𝑡 −23𝜋 + 𝐿𝑞sin(𝜔𝑡)sin(𝜔𝑡 −23𝜋) 𝐿𝑑cos2(𝜔𝑡 −23𝜋) + 𝐿𝑞sin2(𝜔𝑡 −23𝜋) −𝐿𝑑cos(𝜔𝑡) cos 𝜔𝑡 +23𝜋 + 𝐿𝑞sin(𝜔𝑡)sin(𝜔𝑡 +23𝜋) 𝐿𝑑cos 𝜔𝑡 +23𝜋 cos 𝜔𝑡 −23𝜋 + 𝐿𝑞sin 𝜔𝑡 +23𝜋 sin(𝜔𝑡 −23𝜋) 𝐿𝑑cos2(𝜔𝑡 +23𝜋) + 𝐿𝑞sin2(𝜔𝑡 +23𝜋)𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤上三角行列は下三角行列と同じ式となるため省略
9右辺の第2項目の計算(2/3)✓ つづき23𝑑𝑑𝑡𝐿𝑑cos2 𝜔𝑡 + 𝐿𝑞sin2(𝜔𝑡) − −𝐿𝑑cos(𝜔𝑡) cos 𝜔𝑡 −23𝜋 + 𝐿𝑞sin(𝜔𝑡)sin(𝜔𝑡 −23𝜋) 𝐿𝑑cos2(𝜔𝑡 −23𝜋) + 𝐿𝑞sin2(𝜔𝑡 −23𝜋) −𝐿𝑑cos(𝜔𝑡) cos 𝜔𝑡 +23𝜋 + 𝐿𝑞sin(𝜔𝑡)sin(𝜔𝑡 +23𝜋) 𝐿𝑑cos 𝜔𝑡 +23𝜋 cos 𝜔𝑡 −23𝜋 + 𝐿𝑞sin 𝜔𝑡 +23𝜋 sin(𝜔𝑡 −23𝜋) 𝐿𝑑cos2(𝜔𝑡 +23𝜋) + 𝐿𝑞sin2(𝜔𝑡 +23𝜋)𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤=23𝑑𝑑𝑡𝑙𝑎+32𝐿𝑎−32𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 − −−12𝑙𝑎−34𝐿𝑎−32𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋3𝑙𝑎+32𝐿𝑎−32𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −4𝜋3−−12𝑙𝑎−34𝐿𝑎−32𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3−12𝑙𝑎−34𝐿𝑎−32𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 𝑙𝑎+32𝐿𝑎−32𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +4𝜋3𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤=𝑑𝑑𝑡23𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 − −−13𝑙𝑎−12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋323𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3−−13𝑙𝑎−12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3−13𝑙𝑎−12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡23𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋3𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤𝐿𝑑= 𝑙𝑎+32𝐿𝑎−32𝐿𝑎𝑠, 𝐿𝑞= 𝑙𝑎+32𝐿𝑎+32𝐿𝑎𝑠𝑙𝑎：漏れインダクタンス𝐿𝑎：有効インダクタンスの平均値𝐿𝑎𝑠：有効インダクタンスの高調波振幅とおくと上三角行列は下三角行列と同じ式となるため省略
10右辺の第2項目の計算(3/3)✓ つづき23𝑙𝑎−13𝑙𝑎−13𝑙𝑎−13𝑙𝑎23𝑙𝑎−13𝑙𝑎−13𝑙𝑎−13𝑙𝑎23𝑙𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤=23𝑙𝑎𝑖𝑢−13𝑙𝑎𝑖𝑣−13𝑙𝑎𝑖𝑤−13𝑙𝑎𝑖𝑢+23𝑙𝑎𝑖𝑣−13𝑙𝑎𝑖𝑤−13𝑙𝑎𝑖𝑢−13𝑙𝑎𝑖𝑣+23𝑙𝑎𝑖𝑤=𝑙𝑎𝑖𝑢𝑙𝑎𝑖𝑣𝑙𝑎𝑖𝑤=𝑙𝑎0 00 𝑙𝑎00 0 𝑙𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤𝑑𝑑𝑡23𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 − −−13𝑙𝑎−12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋323𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3−−13𝑙𝑎−12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3−13𝑙𝑎−12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡23𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋3𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤=𝑑𝑑𝑡𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋3−12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3−12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋3𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3−12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡−12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3−12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋3𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤3相座標系でのインダクタンス行列が導出できた！より𝑖𝑢+ 𝑖𝑣+ 𝑖𝑤= 0より
11右辺の第3,4項目の計算✓ 右辺の第3,4項目を計算−𝑑𝑑𝑡𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤−𝐿𝑞𝑖𝑞𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝛹𝑎= −𝑑𝑑𝑡23cos 𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡cos 𝜔𝑡 −23𝜋 − sin 𝜔𝑡 −23𝜋cos 𝜔𝑡 +23𝜋 − sin 𝜔𝑡 +23𝜋𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤−𝐿𝑞𝑖𝑞𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝛹𝑎= −23−𝜔 sin 𝜔𝑡 −𝜔 cos 𝜔𝑡−𝜔 sin 𝜔𝑡 −23𝜋 −𝜔 cos 𝜔𝑡 −23𝜋−𝜔 sin 𝜔𝑡 +23𝜋 −𝜔 cos 𝜔𝑡 +23𝜋𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤−𝐿𝑞𝑖𝑞𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝛹𝑎= −𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤0 −11 0𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤0 −11 0𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤0𝛹𝑎= 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤0𝛹𝑎=23𝛹𝑎−𝜔 sin 𝜔𝑡−𝜔 sin 𝜔𝑡 −23𝜋−𝜔 sin 𝜔𝑡 +23𝜋=𝑑𝑑𝑡𝛹𝑓cos 𝜔𝑡𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 −23𝜋𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 +23𝜋𝛹𝑎=32𝛹𝑓𝛹𝑓：3相座標系での界磁磁束振幅
12導出した3相座標系の電圧方程式✓ 以上までの計算をまとめると，電圧方程式は次式のとおり✓ dq軸上の電圧方程式の導出に使用した3相座標系の電圧方程式を復元することができた！𝑣𝑢𝑣𝑣𝑣𝑤= 𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝐿𝑢𝑀𝑣𝑢𝑀𝑤𝑢𝑀𝑢𝑣𝐿𝑣𝑀𝑤𝑣𝑀𝑢𝑤𝑀𝑣𝑤𝐿𝑤𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝛹𝑓cos 𝜔𝑡𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 −23𝜋𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 +23𝜋𝑀𝑢𝑣= 𝑀𝑣𝑢= −12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋3𝑀𝑣𝑤= 𝑀𝑤𝑣= −12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡𝑀𝑤𝑢= 𝑀𝑢𝑤= −12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3𝐿𝑢= 𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡𝐿𝑣= 𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3𝐿𝑤= 𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋3自己インダクタンス 相互インダクタンス電圧方程式
133相座標系の相互インダクタンスに関する考察✓ 3相座標系の相互インダクタンスの導出は第1回記事で非常に曖昧に記載（よくわかっていなかった）✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/11/voltageequation/✓ 本記事の導出結果から，3相座標系の相互インダクタンスは① 自己インダクタンスがモータ周期の半分② dq座標上での相互インダクタンスが0✓ この二つの仮定のもと導出されたのではないか，と推測𝑀𝑢𝑣= 𝑀𝑣𝑢= −12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋3𝑀𝑣𝑤= 𝑀𝑤𝑣= −12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡𝑀𝑤𝑢= 𝑀𝑢𝑤= −12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3
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