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voltageequation5

yuki
January 23, 2022
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 voltageequation5

yuki

January 23, 2022
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  1. 3 同期モータの電圧方程式 ✓ 平衡3相交流駆動の同期モータを考える 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 = 𝑅𝑎 𝑖𝑢

    𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 𝑣𝑢 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑤 :u,v,w相電圧 𝑖𝑢 , 𝑖𝑣 , 𝑖𝑤 :u,v,w相電流 𝛹𝑢 , 𝛹𝑣 , 𝛹𝑤 :u,v,w相磁束鎖交数 𝑅𝑎 :電機子抵抗 u相コイル u v w u相鎖交磁束 u相電圧 u相電流 v相 w相 電機子抵抗 ロータ ステータ
  2. 4 電圧方程式のdq変換 ✓ 前回までの記事では3相座標系の電圧方程式を d-q回転座標系に変換 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 = 𝑅𝑎

    𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 𝑣𝑑 𝑣𝑞 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + −𝜔𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝜔𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝜔𝛹𝑎 𝑣𝑑 , 𝑣𝑞 :d,q軸電圧 𝑖𝑑 , 𝑖𝑞 :d,q軸電流 𝐿𝑑 , 𝐿𝑞 :d,q軸インダクタンス 𝛹𝑎 :永久磁石による電機子鎖交磁束 𝜔:電気角速度
  3. 5 本記事の目標 ✓ 本記事ではd-q回転座標系の電圧方程式から 3相座標系の電圧方程式を導出 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 = 𝑅𝑎

    𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 𝑣𝑑 𝑣𝑞 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + −𝜔𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝜔𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝜔𝛹𝑎 𝑣𝑑 , 𝑣𝑞 :d,q軸電圧 𝑖𝑑 , 𝑖𝑞 :d,q軸電流 𝐿𝑑 , 𝐿𝑞 :d,q軸インダクタンス 𝛹𝑎 :永久磁石による電機子鎖交磁束 𝜔:電気角速度
  4. 6 変換行列の逆行列 ✓ 絶対変換で零相成分が無視できる場合を考える ✓ 絶対変換では変換行列が直交行列となるため 逆行列は転置を考えればよい 𝑪𝑢𝑣𝑤𝑑𝑞 = 2

    3 cos(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) cos(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) −sin(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) −sin(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 = 𝑪𝑢𝑣𝑤𝑑𝑞 −1 = 𝑪𝑢𝑣𝑤𝑑𝑞 𝑇 = 2 3 cos(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) −sin(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) cos(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) −sin(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) 3相座標系⇒d-q回転座標系 d-q回転座標系⇒3相座標系 ✓ 変換行列に関してはこちら↓を参照 ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/07/12/dqrotatingcoordinate2/
  5. 7 d-q回転座標系⇒3相座標系への変換 ✓ 電圧方程式の両辺に変換行列𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 を左から掛ける 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝑣𝑑 𝑣𝑞 = 𝑅𝑎

    𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 −𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 ⇔ 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 = 𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑖𝑑 𝑖𝑞 − 𝑑 𝑑𝑡 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 −𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝑇 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝑖𝑑 𝑖𝑞 − 𝑑 𝑑𝑡 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 −𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝑇 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 − 𝑑 𝑑𝑡 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 −𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 定義より𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝑇 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 = 𝑰 積の微分則より
  6. 8 右辺の第2項目の計算(1/3) ✓ まず右辺の第2項目を計算 𝑑 𝑑𝑡 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝐿𝑑 0 0

    𝐿𝑞 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝑇 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 = 𝑑 𝑑𝑡 2 3 cos(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) −sin(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) cos(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) −sin(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 2 3 cos(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) cos(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) −sin(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) −sin(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 = 2 3 𝑑 𝑑𝑡 𝐿𝑑 cos(𝜔𝑡) −𝐿𝑞 sin(𝜔𝑡) 𝐿𝑑 cos(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) −𝐿𝑞 sin(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) 𝐿𝑑 cos(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) −𝐿𝑞 sin(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) cos(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) cos(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) −sin(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) −sin(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 = 2 3 𝑑 𝑑𝑡 𝐿𝑑 cos2 𝜔𝑡 + 𝐿𝑞 sin2(𝜔𝑡) − − 𝐿𝑑 cos(𝜔𝑡) cos 𝜔𝑡 − 2 3 𝜋 + 𝐿𝑞 sin(𝜔𝑡)sin(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) 𝐿𝑑 cos2(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) + 𝐿𝑞 sin2(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) − 𝐿𝑑 cos(𝜔𝑡) cos 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 + 𝐿𝑞 sin(𝜔𝑡)sin(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) 𝐿𝑑 cos 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 cos 𝜔𝑡 − 2 3 𝜋 + 𝐿𝑞 sin 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 sin(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) 𝐿𝑑 cos2(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) + 𝐿𝑞 sin2(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 上三角行列は下三角行列と同じ式となるため省略
  7. 9 右辺の第2項目の計算(2/3) ✓ つづき 2 3 𝑑 𝑑𝑡 𝐿𝑑 cos2

    𝜔𝑡 + 𝐿𝑞 sin2(𝜔𝑡) − − 𝐿𝑑 cos(𝜔𝑡) cos 𝜔𝑡 − 2 3 𝜋 + 𝐿𝑞 sin(𝜔𝑡)sin(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) 𝐿𝑑 cos2(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) + 𝐿𝑞 sin2(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) − 𝐿𝑑 cos(𝜔𝑡) cos 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 + 𝐿𝑞 sin(𝜔𝑡)sin(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) 𝐿𝑑 cos 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 cos 𝜔𝑡 − 2 3 𝜋 + 𝐿𝑞 sin 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 sin(𝜔𝑡 − 2 3 𝜋) 𝐿𝑑 cos2(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) + 𝐿𝑞 sin2(𝜔𝑡 + 2 3 𝜋) 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 = 2 3 𝑑 𝑑𝑡 𝑙𝑎 + 3 2 𝐿𝑎 − 3 2 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − − − 1 2 𝑙𝑎 − 3 4 𝐿𝑎 − 3 2 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝑙𝑎 + 3 2 𝐿𝑎 − 3 2 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 4𝜋 3 − − 1 2 𝑙𝑎 − 3 4 𝐿𝑎 − 3 2 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 − 1 2 𝑙𝑎 − 3 4 𝐿𝑎 − 3 2 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 𝑙𝑎 + 3 2 𝐿𝑎 − 3 2 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 4𝜋 3 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 = 𝑑 𝑑𝑡 2 3 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − − − 1 3 𝑙𝑎 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 2 3 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 − − 1 3 𝑙𝑎 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 − 1 3 𝑙𝑎 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 2 3 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 𝐿𝑑 = 𝑙𝑎 + 3 2 𝐿𝑎 − 3 2 𝐿𝑎𝑠 , 𝐿𝑞 = 𝑙𝑎 + 3 2 𝐿𝑎 + 3 2 𝐿𝑎𝑠 𝑙𝑎 :漏れインダクタンス 𝐿𝑎 :有効インダクタンスの平均値 𝐿𝑎𝑠 :有効インダクタンスの 高調波振幅 とおくと 上三角行列は下三角行列と同じ式となるため省略
  8. 10 右辺の第2項目の計算(3/3) ✓ つづき 2 3 𝑙𝑎 − 1 3

    𝑙𝑎 − 1 3 𝑙𝑎 − 1 3 𝑙𝑎 2 3 𝑙𝑎 − 1 3 𝑙𝑎 − 1 3 𝑙𝑎 − 1 3 𝑙𝑎 2 3 𝑙𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 = 2 3 𝑙𝑎 𝑖𝑢 − 1 3 𝑙𝑎 𝑖𝑣 − 1 3 𝑙𝑎 𝑖𝑤 − 1 3 𝑙𝑎 𝑖𝑢 + 2 3 𝑙𝑎 𝑖𝑣 − 1 3 𝑙𝑎 𝑖𝑤 − 1 3 𝑙𝑎 𝑖𝑢 − 1 3 𝑙𝑎 𝑖𝑣 + 2 3 𝑙𝑎 𝑖𝑤 = 𝑙𝑎 𝑖𝑢 𝑙𝑎 𝑖𝑣 𝑙𝑎 𝑖𝑤 = 𝑙𝑎 0 0 0 𝑙𝑎 0 0 0 𝑙𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 𝑑 𝑑𝑡 2 3 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − − − 1 3 𝑙𝑎 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 2 3 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 − − 1 3 𝑙𝑎 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 − 1 3 𝑙𝑎 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 2 3 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 3相座標系でのインダクタンス行列が導出できた! より 𝑖𝑢 + 𝑖𝑣 + 𝑖𝑤 = 0より
  9. 11 右辺の第3,4項目の計算 ✓ 右辺の第3,4項目を計算 − 𝑑 𝑑𝑡 𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 𝐿𝑑 0

    0 𝐿𝑞 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 −𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 = − 𝑑 𝑑𝑡 2 3 cos 𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 − 2 3 𝜋 − sin 𝜔𝑡 − 2 3 𝜋 cos 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 − sin 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 −𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 = − 2 3 −𝜔 sin 𝜔𝑡 −𝜔 cos 𝜔𝑡 −𝜔 sin 𝜔𝑡 − 2 3 𝜋 −𝜔 cos 𝜔𝑡 − 2 3 𝜋 −𝜔 sin 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 −𝜔 cos 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 −𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 = −𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 0 −1 1 0 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 0 −1 1 0 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 0 𝛹𝑎 = 𝜔𝑪𝑑𝑞𝑢𝑣𝑤 0 𝛹𝑎 = 2 3 𝛹𝑎 −𝜔 sin 𝜔𝑡 −𝜔 sin 𝜔𝑡 − 2 3 𝜋 −𝜔 sin 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 = 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 − 2 3 𝜋 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 𝛹𝑎 = 3 2 𝛹𝑓 𝛹𝑓 :3相座標系での界磁磁束振幅
  10. 12 導出した3相座標系の電圧方程式 ✓ 以上までの計算をまとめると,電圧方程式は次式のとおり ✓ dq軸上の電圧方程式の導出に使用した 3相座標系の電圧方程式を復元することができた! 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤

    = 𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝐿𝑢 𝑀𝑣𝑢 𝑀𝑤𝑢 𝑀𝑢𝑣 𝐿𝑣 𝑀𝑤𝑣 𝑀𝑢𝑤 𝑀𝑣𝑤 𝐿𝑤 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 − 2 3 𝜋 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 + 2 3 𝜋 𝑀𝑢𝑣 = 𝑀𝑣𝑢 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝑀𝑣𝑤 = 𝑀𝑤𝑣 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 𝑀𝑤𝑢 = 𝑀𝑢𝑤 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 𝐿𝑢 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 𝐿𝑣 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 𝐿𝑤 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 自己インダクタンス 相互インダクタンス 電圧方程式
  11. 13 3相座標系の相互インダクタンスに関する考察 ✓ 3相座標系の相互インダクタンスの導出は 第1回記事で非常に曖昧に記載(よくわかっていなかった) ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/11/voltageequation/ ✓ 本記事の導出結果から,3相座標系の相互インダクタンスは ①

    自己インダクタンスがモータ周期の半分 ② dq座標上での相互インダクタンスが0 ✓ この二つの仮定のもと導出されたのではないか,と推測 𝑀𝑢𝑣 = 𝑀𝑣𝑢 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝑀𝑣𝑤 = 𝑀𝑤𝑣 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 𝑀𝑤𝑢 = 𝑀𝑢𝑤 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3